Мартингально-эргодические и эргодико-мартингальные процессы с непрерывным временем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Подвигин, Иван Викторович
- Специальность ВАК РФ01.01.01
- Количество страниц 60
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Подвигин, Иван Викторович
Введение
1 Определение исследуемых процессов
1.1 Мартингальная часть.
1.2 Эргодическая часть
1.3 Сходимость процессов по норме.
2 Случай интегрируемого супремума
2.1 Сходимость процессов почти всюду.
2.2 Доминантное и максимальное неравенства.
3 Случай коммутируемости усреднения и условного ожидания
3.1 Предварительные замечания
3.2 Теорема сходимости для атомических фильтраций.
3.3 Распространение теоремы сходимости на пространство Лебега
4 Родственные процессы
4.1 Обобщенные мартингалы Рота.
4.2 Асимптотические мартингалы.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК
Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа2011 год, кандидат физико-математических наук Седалищев, Владимир Викторович
Теория мартингальных пространств со смешанной нормой и связи с классами Харди и ВМО2002 год, доктор физико-математических наук Павлов, Игорь Викторович
Неравномерные усреднения в эргодической теореме2010 год, кандидат физико-математических наук Королев, Александр Владимирович
Об оценках скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа2023 год, доктор наук Подвигин Иван Викторович
Α-интеграл в теории рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара2001 год, кандидат физико-математических наук Костин, Валентин Викторович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мартингально-эргодические и эргодико-мартингальные процессы с непрерывным временем»
Проблемой унификации эргодических средних и обращенных мартингалов начали заниматься с середины прошлого века. Любопытное совпадение поведения и сходство доказательств теорем сходимости для этих стохастических процессов привели к задаче о нахождении суперструктуры, унифицирующей и мартингалы, и эргодические средние.
Совпадение параметров в максимальном и доминантном неравенствах, в неравенствах пересечения полосы, в различных колебательных характеристиках - все это привело к мысли о наличии глубоких связей между этими процессами.
Приведем для сравнения некоторые из этих характеристик - обращенный мартингал и Anf - эргодические средние).
Максимальное неравенство [2, 27]: fdX,
А{ max £fc > е} < - [ frdA , А{ max Akf > ej < - f
1<к<п £ J 1<к<п £ J
1 Шп(к~е} {^nAkf~E}
A{ max dk>£}< ¿Etf, A {max Akf > e} < ¿E fp.
1 <k<n £V 1 <k<n £V
Доминантное неравенство (для неотрицательных процессов) [13, 27]: max^lli<-b"(l+ [6bg+ei^A), || max Akf\\, < -^-(1 + //log+/dA), l <k<n e + 1 J i <fc<n e + I J
I £ 11 s ftt11'11' •
Неравенства пересечения полосы [2, 16, 29].
Пусть — число пересечений последовательностью хп интервала [а, Ь] снизу вверх (сверху вниз), тогда:
- а)+, Еи1ь(Ап/) < - а)+,
Еи^п) < ~ Ь)+, Е< ^Е(/ - Ь)+; в случае неотрицательности процессов [3, 17]:
Неравенство для е-флуктуаций [4].
Пусть - множество, на котором последовательность хп допускает к с-флуктуаций, тогда:
МЛ^п/П <
Неравенство для квадратической варигщии [4, 13].
Для Н2(хп) = Iхп ~ х„+1|2)1/2 верно: н2кп)\\р < с\ыР, т2(лпл\\р < ¿>11/11,.
Много других интересных примеров совпадения характеристик поведения эрго-дических средних и мартингалов можно найти в [4, 25].
Наличие особенностей в поведении процессов привело С. Какутани в 1950 году к постановке вопроса о нахождении причин такого поведения [26]. Была поставлена задача о нахождении общего унифицирующего максимального неравенства, которое бы включало максимальное неравенство и для мартингалов, и для эргодических средних.
С тех пор было разработано шесть подходов к решению этой проблемы (М. Дже-рисон, Дж.-К. Рота, А. и К. Ионеску-Тулча, А. М. Вершик и А. М. Степин, А. Г. Качуровский). Кроме того, есть ряд работ, так или иначе связанных с задачей унификации (см., например, [3, 16, 21, 28]).
М. Джерисои в своей работе [24] доказал, что эргодические средние можно рассматривать как мартингалы на некотором пространстве с а-копечпой мерой. Однако, поведение таких мартингалов и обычных (на вероятностном пространстве) различно.
Рассматриваемый в его работе унифицирующий процесс, давая возможность унификации формулировок теорем, не обладает, тем не менее, в достаточной мере свойствами ни эргодических средних, ни (стандартных) мартингалов. И не отвечает на вопрос о причинах совпадения поведения мартингалов и эргодических средних. Подход применим и к эргодическим средним для сжатий в пространствах суммируемых функций, и к эргодическим средним для ограниченных линейных операторов в абстрактных банаховых пространствах.
Кроме того, в рамках подхода был получен вывод индивидуальной эргодической теоремы по некоторым подпоследовательностям из теоремы Дуба о сходимости мартингалов. Вывод теоремы Дуба из индивидуальной эргодической теоремы был проделан Ж. Неве в [28].
Дж.-К. Рота в работах [32, 33] рассмотрел так называемые обобщенные мартингалы, которые унифицируют мартингалы и эргодические средние относительно суммирования по Абелю, и доказал теорему сходимости для этих объектов: и по норме, и п.в.
Основой работы было исследование структуры так называемых операторов Рей-нольдса (связанных с системой Навье-Стокса), образующих при определенных алгебраических условиях обобщенный мартингал. Для таких операторов было найдено интегральное представление, благодаря которому удалось доказать основные результаты.
Таким образом, подход Дж.-К. Рота дает унификацию формулировок теоремы о сходимости регулярного мартингала (класса Зигмунда) и утверждения о сходимости эргодических средних (с усредняемой функцией из того же класса), не давая при этом унифицирующего и мартингалы, и эргодические средние стохастического процесса, поскольку в эргодических теоремах усреднение идет по Чезаро, а не по Абелю. Кроме того, подход неприменим к унификации эргодических теорем для действий сжатий (не порожденных сохраняющими меру преобразованиями).
Позднее М.М. Pao в [30, 31] детализировал результаты Рота.
Содержание абстрактной эргодической теоремы Ионеску-Тулча [23] состоит в рассмотрении общего унифицирующего максимального неравенства, которое решает проблему Какутани в случае с "модулями".
Поскольку из этого неравенства немедленно следуют максимальные неравенства и для эргодических средних, и для обращенных мартингалов, из которых в свою очередь немедленно вытекают утверждения о сходимости п.в. и тех и других, то подход дает (опирающееся на более ранние идеи Р. Чакона и Дж. Окстоби) единственное независимое унифицированное доказательство индивидуальной эргодической теоремы (для сжатий) и теоремы Дуба о сходимости обращенного мартингала.
Кроме того, все результаты формулируются и доказываются в общем случае ба-наховозначных стохастических процессов. В частности, получено независимое доказательство сильной сходимости ¿^-ограниченного мартингала со значениями в банаховом пространстве со свойством Радона-Никодима.
Однако, в этом подходе, имеющем унифицированное доказательство сходимости, нет унифицирующего процесса.
Еще два независимых доказательства сходимости индивидуальной эргодической теоремы и теоремы о сходимости мартингалов получены в работах Э. Бишопа [16] и В. В. Иванова [3]. Их глубокие результаты основаны на рассмотрении характеристик, связанных с пересечением величинами полосы у одного и колебанием хорды монотонных функций у другого автора. Однако, в работах нет ни унифицирующей структуры, пи унифицированного доказательства.
Подход A.M. Вершика и A.M. Степина (см. работы [1, 35] и примыкающую к ним [12]) основан па рассмотрении локально конечных групп, действующих свободно на фазовом пространстве. Эргодическая теорема для таких действий выводится из теоремы сходимости для некоторого однородного обращенного мартингала. И обратно, теорема сходимости для однородного обращенного мартингала может быть реализована как эргодическая для некоторой локально-конечной группы.
Таким образом, теория сходимости (обращенных) мартингалов оказывается почти идентичной теории сходимости в рассматриваемых эргодических теоремах.
Последние два подхода А. Г. Качуровского [5, 6] состоят в нахождении унифицирующей суперструктуры для мартингалов и эргодических средних — мартингально-эргодических (5-й подход) и эргодико-мартингальных (б-й подход) стохастических процессов. Рассматривая композицию операторов усреднения и условного математического ожидания, удалось показать, что полученные унифицирующие процессы обладают свойствами и мартингалов, и эргодических средних.
Для процессов с дискретным параметром были получены:
1. теоремы сходимости по норме и п.в. (мартингально-эргодическая и эргодико-мартингальная теоремы), которые включают в себя как индивидуальную и статистическую эргодическую теоремы, так и теоремы сходимости мартингалов;
2. максимальное и доминантное неравенства;
3. все результаты обобщены также на действия сжатий и решеток.
В работе также предложена интересная интерпретация теоремы сходимости мартингалов с точки зрения эргодической теории. В этой теореме с эргодической точки зрения на каждом шаге происходит усреднение по однократному покрытию фазового пространства измеримыми множествами ("чешуйками"), монотонно растущими или убывающими, в зависимости от фильтрации; в индивидуальной же теореме на каждом п-ом шаге идет п-кратное усреднение вдоль траекторий динамической системы (траектория рассматривается покрывающей фазовое пространство п раз). "Чешуйками" здесь являются п точечные отрезки траекторий.
Такой взгляд на мартингально-эргодическую теорему приводит к замечательному результату: в ней па п-ом шаге идет усреднение по покрытию фазового пространства любой кратности от 1 до п.
Резюмируя сказанное, можно сказать, что подход Качуровского, единственный пока, дает унифицирующую структуру и унифицированные формулировки теорем сходимости (доказательства используют в качестве составляющих и эргодические и мартингальные аналоги) из рассмотренных выше.
Рассмотрение мартингально-эргодических процессов получило также продолжение в работе китайских математиков [22], в которой они исследовали уже банахо-возпачный случай.
Обстоятельный обзор всех перечисленных подходов можно найти в обзоре [6].
Настоящая работа посвящена исследованию мартингально-эргодических и эргодико-мартингальных стохастических процессов с непрерывным временем. Главный вектор работы направлен па исследование сходимости почти всюду этих процессов при стремлении их параметров к бесконечности.
Проблемой в исследовании сходимости процессов с непрерывным параметром является возможное наличие несчетного числа множеств, на которых процесс обладает патологическими свойствами. Для эргодических средних переход к непрерывному времени осуществляется достаточно "безболезненно" , для мартингалов также имеются свои методы, связанные с понятием сепарабельности. Однако, при композиции возникают технические трудности.
Рассмотрение сходимости исследуемых процессов в диссертации происходит при двух различных условиях:
1. при условии интегрируемости супремума (супремума эргодических средних для мартингально-эргодических процессов и супремума регулярного мартингала для эргодико-мартингальных);
2. при условии коммутируемости операторов эргодического усреднения и условного математического ожидания.
При этом второе гарантирует совпадение между собой рассматриваемых процессов.
Оба условия являются унифицирующими, т.е при этих условиях оба процесса сохраняют свое главное свойство — унификацию регулярных мартингалов и эргодических средних. Второе из них распространяет унификацию на все интегрируемые фуикции, участвующие в построении процессов, в отличие от первого, которое справедливо для функций из класса Зигмунда.
Полученные в работе новые результаты, в соответствии с рассматриваемыми условиями, можно разбить на следующие пункты.
1. Доказана сходимость по норме для обоих процессов при стремлении их параметров к бесконечности.
2. В случае интегрируемого супремума: a) Доказана сходимость обоих процессов п.в. при стремлении их параметров к бесконечности; b) Получены доминантные и максимальные неравенства для обоих процессов; c) Рассмотрен процесс, унифицирующий абелевские эргодические средние и регулярные мартингалы, обобщающий унификацию Дж-К. Рота. Для него доказана сходимость п.в. и по норме при стремлении параметра процесса к бесконечности.
3. В случае коммутируемости операторов усреднения и условного математического ожидания: a) Доказана сходимость п.в. процесса с дискретным временем, построенного по эндоморфизму, при стремлении параметров процесса к бесконечности; b) Доказана сходимость п.в. этого же процесса с непрерывным временем, построенного по полупотоку, при стремлении параметров процесса к бесконечности.
В работе используются методы эргодической теории, теории меры, элементы теории стохастических процессов, а также ряда общих разделов функционального анализа.
Структурно работа состоит из введения, четырех разделов и списка литературы. Каждый из разделов разбит на подразделы. Каждый из подразделов делится на пункты. Нумерация теорем, лемм и замечаний сквозная. Нумерация формул также сквозная, и нумеруются только формулы, которые считаются наиболее важными и на которые в дальнейшем в тексте есть ссылка. Конец доказательства утверждений обозначается значком □.
Перейдем к подробному обсуждению разделов.
В первом разделе вводятся определения процессов, и доказывается их сходимость по норме (теорема 1). Необходимые для определения понятия разделены на мартии-гальную и эргодическую части. Доказательство сходимости по норме в основном соответствует доказательству аналогичной теоремы в дискретном случае: сходимость в нормированном пространстве следует из свойства сжатия в этом пространстве обоих образующих процессы операторов.
Во втором разделе рассматривается случай интегрируемого супремума. Центральным результатом этого раздела является теорема 2 о сходимости почти всюду. Трудности при ее доказательстве носят технический характер. Важной для доказательства является лемма 2 (см. также замечание 3), в которой строится модификация мартингальио-эргодического процесса. Доказывается, что эта модификация обладает свойством сходимости п.в., и для нее справедливы доминантное и максимальное неравенства (теорема 3). Построение такой модификации возможно из-за п.в. непрерывности (эргодических) усреднений по параметру и сепарабельности регулярного мартингала. Для эргодико-мартингальиых процессов доказательство несколько проще. Их сходимость зависит от сепарабельности регулярного мартингала и положительности обоих образующих процесс операторов. Для них также доказываются доминантное и максимальное неравенства (теорема 4). Доказательство этих неравенств для обоих процессов следует аналогичному доказательству в дискретном случае и последовательно использует в качестве ключевых составляющих неравенства для эргодических средних и мартингалов с непрерывным временем.
Третий раздел посвящен рассмотрению условия коммутирования операторов (эр-годического) усреднения и условного математического ожидания. Главным и самым общим результатом этого раздела является теорема 8. Она есть конечный итог цепочки теорем: теорем 5,6 и 7. Ключевой из них является теорема 5, в которой показывается сходимость мартипгально-эргодических процессов (совпадающих с эргодико-мартингальными), построенных по автоморфизму и убывающей фильтрации атомических <т-алгебр. Оказалось, что в этом случае условие коммутирования, эквивалентное сохранению фильтрации (см. лемму 5), выглядит наиболее просто. Благодаря ему, удается ограничить рассматриваемый процесс некоторым обращенным одно-параметрическим мартингалом, инвариантным относительно автоморфизма. После этого сходимость процесса легко следует из мартипгально-эргодической теоремы Качуровского и обобщенного принципа Банаха.
Этот простой случай переносится затем на автоморфизмы (теорема 6) и эндоморфизмы (теорема 7) пространства Лебега. Процесс при этом ограничивается уже суммой некоторого обращенного мартингала и эргодических средних, зависящих каждый от своего параметра. При доказательстве в этом случае использовалась развитая теория измеримых разбиений пространства Лебега. Переход от автоморфизмов к эндоморфизмам осуществлен за счет интересной конструкции естественного расширения эндоморфизма.
Наконец, доказательство в случае полупотока (теорема 8) опирается на технику Данфорда-Шварца перехода к дискретному случаю.
В последнем разделе обсуждается вопрос о связи мартипгально-эргодических и эргодико-мартипгальиых процессов с другими процессами: обобщенными и асимптотическими мартингалами.
Важным результатом этого раздела является теорема 9, в которой доказывается сходимость по норме и п.в. аналога эргодико-мартингального процесса для усреднений по Абелю. Этот результат обобщает унификацию мартингалов и абелевских эргодических средних в подходе Дж.-К. Рота. В его подходе рассматривались только операторы, порождаемые сохраняющими меру преобразованиями, а не более общий случай как в теореме 9. Доказательство этого результата опирается на известный переход от суммируемости по Чезаро к суммируемости по Абелю к одному и тому же пределу. Суммируемость по Чезаро содержится как раз в теореме 2.
В заключении раздела обсуждается вопрос о доказательстве мартиигально-эргодической теоремы с помощью понятия асимптотического мартингала, частным случаем которого является мартингально-эргодический процесс с условием интегрируемости супремума.
Результаты работы рассказывались па Международной научной студенческой конференции в Новосибирском государственном университете (2007 г.), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С. J1. Соболева (2008 г.), и Международной конференции "Современные проблемы анализа и геометрии" (2009 г.) в Институте математике СО РАН , на семинарах в Новосибирском (2007-2009 гг.) и Московском (семинар Д. В. Аносова и A.M. Степина, 2008 г.) государственных университетах и в Институте математики СО РАН (2009 г.).
Имеются четыре публикации по теме диссертации [37, 38, 39, 40]. Основные результаты содержатся в [39].
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю А. Г. Качуровскому за поставленную задачу и постоянное внимание к работе.
1 Определение мартингально-эргодического и эргодико-мартингального процессов
Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК
Применений мартингальных методов в некоторых задачах, связанных с гауссовскими процессами1984 год, кандидат физико-математических наук Бутов, Александр Александрович
Моделирование хааровских расширений статических процессов с помощью интерполяционных мартингальных мер2017 год, кандидат наук Цветкова, Инна Владимировна
Принцип умеренно больших уклонений для решений стохастических уравнений2015 год, кандидат наук Логачёв, Артём Васильевич
Асимптотические свойства повторяющихся игр с неполной информацией и моделирование динамики финансовых рынков2013 год, кандидат наук Сандомирский, Федор Алексеевич
Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости2008 год, кандидат физико-математических наук Колодий, Наталья Александровна
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Подвигин, Иван Викторович, 2009 год
1. Вершик А. М. Теория убывающих последовательностей измеримых разбиений // Алгебра и анализ. 1994. Т. 6, № 4. С. 1—68.
2. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.
3. Иванов В. В. Геометрические свойства монотонных функций и вероятности случайных колебаний // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 1. С. 117-150.
4. Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН. 1996. Т. 51, № 4. С. 73-124.
5. Качуровский А. Г. Мартингально-эргодическая теорема // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 2. С. 311-314.
6. Качуровский А. Г. Единые теории, унифицирующие эргодические средние и мартингалы // Динамические системы и оптимизация. Труды МИАН. 2007. Т. 256. С. 172-200.
7. Козлов В. В. Весовые средние, равномерное распределение и строгая эргодичность // УМН. 2005. Т. 60, № 6. С. 115-138.
8. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.
9. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969.
10. Рохлин В. А. Об основных понятиях теории меры // Матем. сб. 1949. Т. 25, № 1. С. 107-150.
11. Рохлин В. А. Точные эндоморфизмы пространства Лебега // Известия АН, серия матем. Т. 25. 1961. С. 499-530.
12. Степип А. М. Энтропийный инвариант убывающих последовательностей измеримых разбиений // Функц. анализ и его прил. 1971. Т. 5, № 3. С. 80-84.
13. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.
14. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.
15. Argiris G., Rosenblatt J. М. Forcing divergence when the supremum is not integrable // Positivity. 2006. V. 10, N 2. P. 261-284.
16. Bishop E. An upcrossing inequality with applications // Michigan Math. J. 1966. V. 13, N 1. P. 1-13.
17. Dubins L. E. Rises and upcrossings of nonnegative martingales // 111. J. Math. 1962. V. 6, N 2. P. 226-241.
18. Dunford N., Miller D.S. On the ergodic theorem // Trans. Amer. Math. Soc. 1946. V. 60. P. 538-549.
19. Dunford N., Schwartz J.T. Convergence almost everywhere of operator averages // Journal of Rational Mechanics and Analysis. 1956. V. 5, N 1. P. 129-178.
20. Edgar G.A., Sucheston L. Stopping times and directed processes. Cambridge: University Press, 1992.
21. Goubran N. Pointwise inequalities for ergodic averages and reversed martingales // J. Math. Anal, and Appl. 2004. V. 290, N 1. P. 10-20.
22. Guangzhou L., Peide L. B-valued martingale ergodic theorems and maximal inequalities // J. Wuhan Univ., Nat. Sci. Ed. 2007. V. 53, N 3. P. 255-258.
23. Ionescu Tulcea A., Ionescu Tulcea C. Abstract ergodic theorems // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 107, N 1. P. 107-124.
24. Jerison M. Martingale formulation of ergodic theorems // Proc. Amer. Math. Soc. 1959. V. 10, N 4. P. 531-539.
25. Jones R. L., Rosenblatt J.M., Wierdl M. Counting in ergodic theory // Canad. J. Math. 1999. V. 51, N 5. P. 996-1019.
26. Kakutani S. Ergodic theory // Proc. Intern. Congr. Math. 1950. Providence (R.I.): Amer. Math. Soc., 1952. V. 2. P. 128-142.
27. Krengel U. Ergodic Theorems. Berlin New York: Walter de Gruyter, 1985.
28. Neveu J. Deux remarques sur la theorie des martingales // Ztschr. Wahrscheinlichkeitsth. unci verw. Geb. 1964. V. 3. P. 122-127.
29. Neveu J. Discrete parameter martingales. Amsterdam: North Holland Publishind Co., 1975.
30. Rao M. M. Abstract martingales and ergodic theory // Multivariational analysis III. Proc. Third Intern. Symp. Wright State Univ., Dayton (Ohio), 1972. New York: Acad. Press, 1973. P. 45-60.
31. Rao M. M. Foundations of Stochastic Analysis. New York: Academic Press, 1981.
32. Rota G.-C. Une theorie unifiee des martingales et des moyennes ergodiques // C. r. Acad. sci. Paris. 1961. V. 252, N 14. P. 2064-2066.
33. Rota G.-C. Reynolds operators // Proc. Symp. Appl. Math. 1964. V. 16. P. 70-83.
34. Stroock D. Probability Theory, an Analytic view. Cambridge: University Press, 1993.
35. Vershik A.M. Amenability and approximation of infinite groups // Sel. Math. Sov. 1982. V. 2, N 4. P. 311-330.
36. Widder D.V. The Laplace Transform. Princeton: Univ. Press, 1941.Работы автора по теме диссертации
37. Подвигин И. В. Мартингалыю-эргодические процессы с непрерывным временем // Материалы XLV международной науч. студ. конф. "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. С. 105-106.
38. Подвигин И. В. Мартингалыю-эргодическая теорема без условия интегрируемости супремума. Новосибирск, 2009. 10 с. (Препринт/ РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 228).
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.