Теоремы существования равновесия в современной экономической теории тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, доктор физико-математических наук Маракулин, Валерий Михайлович

• Маракулин, Валерий Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Маракулин, Валерий Михайлович

Введение

1 Экономическое равновесие с нестандартными ценами

1.1 Абстрактная модель экономики типа Эрроу-Дебре и понятие равновесия с нестандартными ценами.

1.1.1 Характеризация оптимальных по Парето состояний экономики.

1.1.2 Теорема существования аппроксимирующих равновесий

1.1.3 Концепция равновесия с нестандартными ценами

1.1.4 Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений.

1.2 Неоклассические модели экономики с нестандартными ценами.

1.2.1 Модель рынка с нестандартными ценами

1.2.2 Экономика с производством в классической модели Эрроу-Дебре.

1.2.3 Экономики с общественными благами.

1.3 Конечность равновесий с нестандартными ценами

1.3.1 Пространство экономик и теорема о конечности равновесий с нестандартными ценами.

1.3.2 Доказательство основной теоремы.

2 Равновесие в бесконечномерной модели экономики

2.1 Двойственность товаров и цен в модели Эрроу-Дебре

2.2 Существование равновесий в моделях экономики чистого обмена.

2.2.1 Стратегия доказательства и вспомогательные результаты.

2.2.2 Доказательства теорем и других результатов

2.3 Существование равновесий в линейно-решёточной модели Эрроу-Дебре.

2.3.1 Правильные модели Эрроу-Дебре и продолже

• ние линейных функционалов.

2.3.2 Равновесия по Эджворту и существование квазиравновесий с непрерывными ценами.

2.3.3 Доказательства теорем и вспомогательных утверждений

2.4 Рынки с перекрывающимися поколениями экономических агентов

2.4.1 Модель и теорема существования равновесий в экономиках с перекрывающимися поколениями экономических агентов.

2.4.2 Стратегия доказательства, вспомогательные результаты и обсуждение

2.4.3 Доказательство основной теоремы и вспомогательных результатов.

3 Равновесный анализ в неполных рынках

3.1 Равновесие в базовой модели неполного рынка.

3.1.1 С-равновесия и предельные равновесия Раднера

3.1.2 Теорема существования обобщённых равновесий

3.1.3 Доказательство теоремы существования обобщённых равновесий.

3.2 Динамические неполные рынки.

3.2.1 Неполный рынок с перекрывающимися поколениями экономических агентов.

3.2.2 Компенсированные и обобщённые равновесия в динамическом неполном рынке.

3.2.3 Теоремы существования, идея доказательства и вспомогательные результаты

3.2.4 Завершение доказательств теорем существования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы существования равновесия в современной экономической теории»

Настоящая диссертация посвящена математическому анализу одного из наиболее важных вопросов экономической теории — вопроса о существовании равновесия. Диссертация основана на результатах автора, полученных в трёх наиболее теоретически значимых направлениях исследований моделей типа Эрроу-Дебре, оформленных в виде трёх глав. Особенностью настоящей работы является интенсивное использование, наряду с обычными методами (математический и функциональный анализ, теория полу упорядоченных линейных пространств, элементы дифференциальной топологии и пр.), методов нестандартного анализа. Эти методы позволяют не только упростить изучение чисто математических проблем, но также и предложить ряд новых концепций обобщённого решения, с помощью которых удаётся избежать некоторых навязанных предположений и, тем самым, углубить понимание базисных принципов теории общего равновесия. Для удобства читателя, в работу включено приложение, излагающее авторское введение в нестандартные методы и содержащее сводку некоторых необходимых результатов.

Содержание первой главы составило то, что можно было бы кратко назвать'теорией равновесия с нестандартными ценами в неоклассической (конечномерной) модели экономики. Здесь анализируются не столько условия существования обычного равновесия, сколько изучаются собственно свойства предложенной автором концепции, в числе которых (и наиболее привлекательным) является отсутствие условия выживаемости экономических агентов в теореме существования равновесия.

Вторая глава посвящена исследованиям товарно-бесконечномерных моделей экономики, в контексте которых рассматривается также модель с перекрывающимися поколениями экономических агентов. Здесь представлена серия теорем существования, а также предложены новые (важные в данном контексте) условия правильности предпочтений и производственных множеств, слабейшие из известных в литературе по этой тематике.

Третья глава посвящена анализу неполных (финансовых) рынков. Здесь формулируются новые концепции компенсированного и обобщенного равновесия, чьи теоремы существования доказываются в рамках слабейших предположений. Кроме того, в завершающей части главы и диссертации представлена новая модель неполного рынка, определённого на счётно-бесконечном дереве событий. Эта модель соединяет в себе основные черты неполного рынка с моделью с перекрывающимися поколениями экономических агентов. Будучи весьма общей и лучше описывающей экономические реалии, она в то же время избавлена от известного парадокса моделей с перекрывающимися поколениями, когда агенты могут "качать финансовые ресурсы" из бесконечности.

Результаты диссертации опубликованы в 10 работах автора [42]— [49], [81]—[82], в совместных с М. Флорензано [28], с М. Флорензано и П. Гурделем [27], а также в двух совместных с А. В. Коноваловым [78], [37]. Диссертация содержит 13 иллюстраций и 8 примеров. Ниже содержание глав и исследованных вопросов излагается более подробно и даётся обзор литературы по тематике.

В своей основополагающей работе Кеннет Эрроу и Джерард Де-бре [11] заложили основы современных математических моделей замкнутой децентрализованной экономической системы, отразив присущие ей черты в наиболее специфической математической форме. Развитая в этих рамках теория экономического равновесия является, по-видимому, одним из наиболее выдающихся достижений математической ветви экономической теории второй половины 20-го века. Последние 40 лет были отмечены обширным потоком работ, обобщающих результаты Эрроу-Дебре в самых различных направлениях. В частности, многими исследователями ослаблялись предположения, гарантирующие существование равновесий — первого ключевого вопроса теории, означающего, ко всему прочему,математическую корректность исследуемой модели. Большая часть этих предположений усилиями многих авторов (таких как Мас-Колелл, Ауманн, Хильден-бранд, Гейл и многие другие) была доведена до математического совершенства и, по-видимому, не может быть принципиально ослаблена в дальнейшем (во всяком случае для конечномерных моделей). Тем не менее, одно из этих предположений — условие выживаемости, иногда формулируемое как "ресурсная связность" или "нередуциру-емость" экономической модели, а фактически играющая роль "условия Слейтера" в задаче потребителя, хотя и является экономически интерпретируемым свойством, однако вызывает ощущение дискомфорта и, главное, по твердому мнению автора не является безусловно необходимым требованием. Основной целью первой главы настоящей работы является устранение подобного рода предположений из условий, гарантирующих существование экономических равновесий. Эта проблема не может быть разрешена в традиционных модельных рамках ибо, как показывают многие примеры (см. основной текст и [41], [75], [81]), при отсутствии какого либо аналога условию Слейтера и при прочих обычных посылках, (причем гораздо более сильных по сравнению с имеющимися в современной теории существования), равновесия могут не существовать. Мы преодолеваем эту трудность, ревизуя собственно понятие цены, а именно, вместо обычных "стандартных" цен мы предлагаем использовать "нестандартные" (в смысле нестандартного анализа). Другими словами, цены на продукты могут быть не только обычными числами но и нестандартными, т. е. выбранными из нестандартного расширения числовой прямой *Н (о нестандартном анализе см. напр. [76], [83], а также приложение). С математической точки зрения мы заменяем обычное понятие "решения" на обобщенное, которое существует уже при более слабых предпосылках, — типичный для математики прием, эффективно работающий в ряде других областей математики (таких как теория обычных и частных дифференциальных уравнений, вариационный анализ и др.). С экономической точки зрения представляется, что наш подход не должен вызывать серьезных возражений, ибо фактически он всего лишь означает, что шкала измерений для цен на разного рода продукты должна быть мельче (в достаточной мере) шкалы, используемой для исчисления физических благ, не изменяя методологической концепции равновесия. Фактически же мы предлагаем определенную асимметрию, — продукты измеряются в стандартных величинах, а цены — нестандартных. Таким способом мы явным образом вводим в модель более тонкий, по сравнению с традиционным, механизм стоимостного регулирования, что и позволяет достичь намеченной цели.

В. И. Данилов и А. И. Сотсков в [75], [19] предложили подход, обобщающий классическую концепцию равновесия и близко связанный с исследуемым в первой главе настоящей работы понятием равновесия с нестандартными ценами. Авторы вводят понятие равновесия с меновыми стоимостями, используя в явной форме иерархическую конструкцию цен, с целью избежать предположений типа "условия Слейтера" (работа выполнена в чисто стандартных терминах), и затем устанавливают теорему существования этих равновесий. Наш подход более общий, мы покажем, что равновесия в меновых стоимостях по Данилову-Сотскову являются частным случаем равновесий с нестандартными ценами. При этом, в отличии от [75], где постулируется надлежащая конструкция бюджетных множеств экономических агентов, мы доказываем, что при соответствующих предположениях бюджетные множества при нестандартных ценах могут быть представлены в форме близкой к данной в [19], [75].

Основное содержание первой главы состоит в ряде теорем существования экономического равновесия с нестандартными ценами при слабейших современных предположениях на модель экономики и при отсутствии какого либо аналога условию Слейтера, причем рассматриваются как классические модели типа Эрроу-Дебре, так и модели с внешними влияниями (в потреблении). Дано явное описание бюджетных множеств в стандартных терминах (изначально эти множества определяются как стандартная часть всех нестандартных потребительских и производственных планов экономических агентов, удовлетворяющих бюджетным ограничениям (для потребителей) или максимизирующих доход (для фирм)). Последний результат является одним из наиболее технически сложных (наряду с другими) результатов первой главы. Кроме того, установлена двойственная характеристика оптимальных по Парето состояний экономики (вторая теорема благосостояния), данная в терминах нестандартных цен и избавленная от разного рода дополнительных предположений типа "потребительские планы являются внутреннимн точками потребительских множеств" или ему подобных. Наконец, в последнем разделе главы устанавливается конечность числа равновесий с нестандартными ценами для массивного множества экономик чистого обмена. Этот результат получен с помощью техники дифференциальной, топологии, в частности применялись теоремы Тома о плотности и открытости трансверсальных сечений. Основные результаты, изложенные в первой главе, опубликованы в работах автора [81], [42], [43] и в совместной с Коноваловым A.B. [78]. Нужно отметить, что содержание работ [81], [43] существенно переработано и изложено здесь с единых позиций, отвечающих "абстрактной модели экономики".

С начала 70-х годов в экономико-математической литературе отмечен устойчивый интерес к моделям экономики с бесконечным числом продуктов. Этот факт имеет простое объяснение. Действительно, уже самая обычная модель обмена с конечным числом торговцев превращается в бесконечно-товарную, если принять во внимание и смоделировать тот факт, что продукты могут быть распределены в пространстве, (а не только среди агентов), обладать потенциально различными "непрерывными" потребительскими свойствами (например, содержание белков, жиров, витаминов и проч. в продуктах питания), — а это все свойства реальной экономики, которыми пренебрегает классическая теория распределения ресурсов. Другой важный фактор, превращающий обычные модели в бесконечномерно-товарные, — это время, ибо продукты, потребляемые в различные моменты времени, следует считать различными. Кроме того, на рынке могут появляться новые и исчезать старые агенты, — такого рода постановки приводят к важному классу моделей с нарождающимися поколениями — и т. д. С поверхностной точки зрения, бесконечно-товарная постановка может показаться надуманной математической проблемой, ибо, казалось бы, всегда можно рассмотреть модель экономики с конечным, но достаточно большим числом продуктов. Однако именно для того и нужны исследования бесконечномерных экономик, чтобы обосновать теоретическую корректность такого рода конечномерных аппроксимаций. Действительно, если исследуемая проблема (например, о существовании равновесных цен) имеет решение в бесконечномерной постановке, то это означает, что соответствующие ей конечномерные решения являются инвариантными по отношению к типу аппроксимации. Другими словами, анализ бесконечномерных моделей позволяет найти экономически значимые условия, при которых предельные "решения" обоснованы. В то же время бесконечномерная постановка позволяет вычленить наиболее общие свойства и предположения, дающие в рассматриваемом случае существование равновесных цен в конкурентных экономиках и оценить их экономическую значимость (например, если продукты различаются по содержанию питательных веществ, то естественно ожидать, что равновесные цены будут непрерывно зависеть от содержания этих веществ; однако этот и подобные ему факты можно проанализировать только исследуя бесконечно-товарную модель).

Основоположником теории экономического равновесия с бесконечномерным пространством продуктов следует считать Трумана Ф. Бьюли, работа которого [14] инициировала широкие исследования в этом направлении1. В [14] Бьюли установил существование равновесий в модели типа Эрроу-Дебре с конечным числом экономических агентов, в которой в качестве пространства продуктов было избрано Ьоо^И!) — пространство существенно ограниченных измеримых функций (с областью значений Нг и областью определения [0,1]). Эта работа высветила значение теоремы Алаоглу и ту роль, которую играют "слабые топологии", ассоциированные с дуальностью — слабая, слабая со звездой и Макки — в проблеме существования равновесия с непрерывными, в исходной топологии пространства продуктов, ценами. Изменилась и точка зрения на то, чем являются цены, (отмеченная формально ещё Дебре в [20]), — теперь это уже не просто вектор, но линейный функционал. Пространство ¿«»(И') очень удобно для математического анализа и обладает рядом ключевых свойств конечномерного пространства. Одним из этих свойств является тот факт, что конус неотрицательных элементов имеет непустую внутренность в исходной топологии (определяемой нормой — существенный супремум модуля функции). Последнее позволило использовать обычную математическую идею конечномерных аппроксимаций, в которых привычными методами устанавливается существование "конечномерных равновесий". В дальнейшем функционал цен продолжается до непрерывного функционала на всём пространстве, а затем реализуется предельный переход. Таким способом Бьюли получает цены из топологически двойственного к /^(Н*) — пространству (Ьа)1. Переход к ценам из (В/) С (Ьа)1 осуществляется при повышении требования к непрерывности предпочтений — предполагается полунепрерывность снизу в топологии Макки (сильнейшая локально выпуклая топология, ассоциированная с двойственностью) в двойственности (Ь00(в!)1Ь1[Я1)).

1 Несколько раньше появилась работа Пелега и Ярри [55].

Другим примечательным результатом, заложившим основы современного равновесного анализа в экономиках с бесконечным числом продуктов, является работа Пелега и Ярри [55]. Авторы рассмотрели довольно частный случай экономики обмена с конечным числом потребителей и пространством продуктов Ноо (т. е. где К - натуральный ряд "временных периодов"). Работа интересна прежде всего методом доказательства, который сводится к обобщению теоремы Дебре-Скарфа о совпадении ядра и равновесия в условиях совершенной конкуренции (в "реплицированных" экономиках) и обобщению теоремы Скарфа (на случай бесконечномерных пространств) — тем фактом, что ядро непусто в сбалансированных кооперативных играх без побочных платежей. Цены в этой модели интерпретировались как ставки процента при переходе от одного временного периода к другому (модель однопродуктовая). Именно в силу этой трактовки в модели Бьюли более предпочтительны цены из а не из Ьа (чисто конечно-аддитивную меру трудно интерпретировать с содержательной экономической точки зрения). В модели Пелега-Ярри проявилась также характерная трудность бесконечномерных пространств — конус неотрицательных элементов, который принимался в качестве потребительского множества, очень часто имеет пустую внутренность.

Последующие исследования выявили теоретическую значимость порядковых структур основного пространства продуктов, (что не имеет большого значения в конечномерных пространствах). В явной форме частично упорядоченные пространства (и отвечающие им модельные понятия) впервые были рассмотрены Крепсом [38]. Пространства Рисса (линейные решётки, а в русскоязычной литературе, — пространства Канторовича2) были введены в теорию конкурентного равновесия Алипрантисом и Брауном (см. [4]). В последствии решёточная структура пространства продуктов была использована Мас-Колеллом [50], чтобы доказать его замечательную теорему о существовании равновесия (общий обзор литературы по этому вопросу можно найти в [53]). В этой же работе Мас-Колелл водит важное понятие равномерной правильности (собственности) предпочтений: (это своеобразный аналог равномерной непрерывности или липшицируемости) и расши

2Точнее, насколько это известно автору, под термином пространство Канторовича понимается полная по Дедекинду (каждое порядково ограниченное сверху множество имеет супремум) линейная решётка. ряет рамки анализа до топологических векторных решеток. Монография Алипрантиса, Брауна и Бёркеншо [5] подвела определённый итог достижений 80-х годов в равновесном анализе моделей с бесконечным числом продуктов. Особое внимание в ней было уделено двойственности векторных решеток и их локально солидных топологий. Именно эти топологии обеспечивают равномерную непрерывность решёточных операций (операции взятия супремума или инфи-мума). Сравнительно недавно Мас-Колелл и Ричард [52] сделали следующий шаг и установили существование равновесий в моделях, где пространство продуктов описывается как линейная векторная решетка. Данный термин, в отличие от топологических векторных решеток, не предполагает непрерывность решёточные операций. Важным является тот факт, что это не просто очередное обобщение, но таким образом могут быть описаны экономически содержательные модели, ранее не включенные в общую теорию. Например, в исследованной Джонсом [34] модели с дифференцируемыми продуктами, пространство продуктов описывается как пространство мер, определенных на некотором компакте. Это пространство является линейной, но не топологической решеткой (в слабой со звездой топологии, определяемой двойственностью (С(Л4), са(Л4)), см. также работу Хуанга и Крепса [33]). Отметим, что в работе Мас-Колелла и Ричарда явным образом используются порядковые свойства предпочтений экономических агентов, (а значит они могут быть представлены в виде функций полезности, что позволяет искать неподвижную точку в критериальном "пространстве полезностей" — это так называемый поход Негииши). В последующих исследованиях многие авторы (см. [61], [66], [22], [28]) избавили теорию от этого навязанного предположения, устанавливая существование равновесий при нетранзитивных и неполных предпочтениях экономических агентов (это, конечно, требует коренного пересмотра всего доказательства). Кроме того, в большинстве из указанных работ требование равномерной правильности предпочтений заменяется на поточечную характеризацию (первыми на эту возможность указали Арайо и Монтеро в [10]), что существенно слабее и, главное, лучше соответствует содержательной стороне вопроса в ряде приложений общей модели (например, к финансовой теории, где уже в модели Пелега и Ярри предпочтения не являются равномерно правильными).

В последние два десятилетия 20-го столетия в рамках общего бесконечномерного равновесного анализа также интенсивно исследовались динамические равновесные модели особого типа, так называемые экономики с перекрывающимися поколениями экономических агентов (OLG-economies3, см. обзор [32]). Этот класс моделей характеризуется счётно-дискретным множеством временных периодов жизни экономики и счетным числом экономических агентов, причем в каждом временном периоде "живет" только конечное (и ненулевое) их число. Вильсон [68] установил существование равновесных цен (т. е. последовательности цен, соответствующих периодам жизни экономики) при условии, что либо каждый агент обладает только конечно-живущими ресурсами, либо имеется конечная группа агентов, обладающая положительной долей всех ресурсов экономики во всех периодах её жизни. Он также показал, что если экономика не удовлетворяет этим требованиям, то можно гарантировать существование только скомпенсированных равновесий (были построены соответствующие примеры). Относительно недавно Данилов [74] обобщил понятие скомпенсированного равновесия, допуская в качестве цен линейные функционалы, принимающие конечные значения на ресурсах отдельных индивидуумов, — на совокупных ресурсах экономики их значения могут быть бесконечны. Так же как и в работе Вильсона здесь рассматривались модели с конечномерным пространством продуктов в каждом временном периоде. Равновесные цены по Данилову имеют лучшую, чем у Вильсона экономическую интерпретацию и обладают многими дополнительными свойствами, вытекающими из линейности функционала. В частности, если ресурсы какого-либо агента представлены в виде линейной комбинации ресурсов некоторых других агентов (конечного числа!), то в таком же соотношении находятся их равновесные компенсирующие стоимости и т. д. Ещё в монографии Алипранти-са и др. [5] была рассмотрена модель и получены первые результаты для OLG-экономик, где допускается бесконечномерное пространство продуктов в каждом отдельно взятом периоде жизни экономики. В последнее время в этом направлении был получен ряд результатов других авторов (напр. см. [22], [59]), однако все они исходят из тради

3OLG это аббревиатура с английского термина "overlapping generations". ционных для бесконечномерного равновесного анализа структурных предпосылок, — доказывается существование равновесий и используются локально солидные топологии.

Содержание второй главы диссертации составляют три группы теорем существования равновесия (квазиравновесия) в модели рынка, модели Эрроу-Дебре, а также в модели с перекрывающимися поколениями экономических агентов в рамках (бесконечномерного) пространства продуктов, которое описывается как линейная векторная решётка. Кроме того, во всех случаях предпочтения могут быть неполными и нетранзитивными, а в качестве цен рассматриваются непрерывные линейные функционалы, определённые на всём пространстве продуктов. Результаты были опубликованы в работах автора [45]—[49], а также в совместной с Флорензано [28]. В первой из этих теорем рассматривается модель чистого обмена с монотонными и М-равномерно правильными предпочтениями, заданными на конусе неотрицательных элементов пространства продуктов (отождествляемом с потребительскими множествами). Метод доказательства этой теоремы обобщает подход Негииши на случай непорядковых предпочтений. Во второй группе теорем изучается модель Эрроу-Дебре, причём отсутствуют какие-либо требования типа "свободного расходования" (для предпочтений это монотонность). Здесь вводятся и исследуются два новых и слабейших из известных в литературе требования правильности предпочтений и производственных множеств, имеющих вид поточечной характеризации и заданных относительно некоторого подпространства продуктов — это так называемая ^-правильность и ¿'-правильность. При комбинации .Р-правильности с (топологической) плотностью соответствующего подпространства получена одна серия теорем существования, при наличии ^-правильности — другая. Наконец, в теореме третьего типа рассматриваются ОЬС-экономики, в которых для каждого временного периода дуальность товары-цены удовлетворяет тем же требованиям, что и для моделей с конечным числом участников. Здесь вводится новое понятие ОЬС-равновесия с нестандартными ценами — аналог обобщенного скомпенсированного равновесия по Данилову, теорема существования которого устанавливается. При этом компенсирующие стоимости (это стоимости, добавляемые к правой части бюджетных ограничений участников экономики), которые также появляются в этом "нестандартном" понятии равновесия, имеют явное представление в виде стандартной части суммы ряда нестандартных стоимостей исходных ресурсов, — эта сумма вычисляется для членов ряда, отвечающих временным периодам, начиная с некоторого "бесконечного". Указанная явная формула позволяет сделать те же выводы относительно свойств компенсирующих стоимостей, — их линейность по запасам и проч. — что и в случае компенсирующих стоимостей по Данилову. Более того, эта формула позволяет, на основе факта о существовании равновесия с нестандартными ценами, легко получать теоремы существования равновесия при наличии дополнительных предположений о структуре исходных запасов — такая теорема получена как следствие в случае классических предпосылок, упомянутых выше. Отметим также, что доказательство ключевой теоремы для ОЬС-экономик существенно опирается на первую теорему существования квазиравновесий в модели рынка с М-равномерно правильными предпочтениями.

Третья глава диссертации посвящена исследованиям моделей неполного рынка. Неполные рынки появляются в экономической теории как обобщение модели Эрроу-Дебре с целью наиболее адекватно отразить на модельном уровне функционирование финансового сектора реальных экономик. В исходном, классическом варианте модели экономики (неявно) предполагается, что вся экономическая жизнь протекает как бы в отдельно взятом временном периоде, в котором физические параметры остаются (более-менее) неизменными, агенты обладают достаточно полной информацией о значении экономических переменных для принятия собственных рациональных решений, сделки осуществляются за бесконечно малое время и т. д. О такого рода постановках принято говорить, что это полный рынок, описываемый классической теорией распределения ресурсов, (представленный в наиболее законченном виде теорией (моделью) Эрроу-Дебре). Однако в мире реальной экономики индивидуумам приходится принимать решения в условиях неопределённости, обусловленной как неполнотой информации так и объективной неопределённостью будущего. В результате в мире современной экономики наряду с рынками обычных продуктов можно наблюдать сложившиеся рынки специфических финансовых инструментов, называемых активами (assets). Функционирование этих рынков нацеленно именно на разрешение задач, связанных с неопределённостью будущих событий. Данная проблема, связанная с неопределённостью будущего, понималась и классиками экономической теории (см. обзор [57]), но привлекла особо пристальное внимание экономистов к началу 80-х годов 20 века, когда классическая теория Эрроу-Дебре исчерпала возможности дальнейшего развития. Результатом проведённых исследований явилось построение, в расширенных структурных рамках модели Эрроу-Дебре, теории неполных рынков (см. [31], [40]). Термин неполный здесь аппелирует к тому обстоятельству, что потенциально бесконечное многообразие возможных реализаций будущего (событий) заведомо шире множества придуманных людьми "страховочных вариантов", выраженных в форме финансовых активов. В современной версии теории неполных рынков формулируется понятие финансового равновесия (GEI-равновесия), характерной чертой которого является множественность бюджетных ограничений, отвечающих разным событиям, связь между которыми осуществляется только через торговлю активами. Таким образом, здесь нет полной свободы в "перетоке" стоимости из одного события в другое. Другой их чертой является тот факт, что, вообще говоря, эти равновесия могут не существовать уже при самых "обычных" модельных предположениях и в конечномерной постановке, как, например, это происходит в известном примере Харта, см. [31], [40] (пример 5 на с. 1537). Основная тому причина состоит в том, что матрица финансовых отдач может иметь переменный ранг при изменении определяющих её параметров (цен). Проблема находит теоретическое разрешение при переходе к теоремам существования в генерических терминах, т. е. существование равновесий устанавливается для почти всех (в некотором строгом смысле) экономик. В процессе доказательства генерической теоремы важную роль играет концепция псевдоравновесия. Именно, сначала устанавливают существование псевдоравновесия в терминах "всегда", (но при весьма жестких прочих предположениях), а уже затем тот факт, что почти всегда оно совпадает с равновесием. При этом концепция псевдоравновесия играет сугубо вспомогательную, техническую роль.

Возможное несуществование GEI-равновесий мотивирует поиск экономически состоятельного преобразования этой концепции с целью достичь удовлетворительной теоремы существования, и, тем самым, обеспечить непротиворечивость предъявляемых условий. Последнее и является, в рамках базовой модели двустадийного (настоящее-будущее) неполного ринка с конечным числом событий, основным предметом исследования первой части третьей главы диссертации. Здесь вводится и изучается концепция компенсированного равновесия (С-равновесия) и близко к ней примыкающего обобщённого равновесия. Эти понятия, впервые введённые автором в [44], обладают следующими преимуществами в отношении ранее известных. Во-первых, обобщённые и С-равновесия существуют всегда в рамках довольно слабых предположений, близких к условиям существования равновесия в классическом рынке. Доказательство теоремы основывается на том факте (отмечен Раднером в [56]), что при ограничениях на торговлю активами, обеспечивающих компактность совокупности всех сбалансированных торговых портфелей, финансовое равновесие существует всегда. В дальнейшем осуществляется (нестандартный) предельный переход. Во-вторых, в отличии от псевдоравновесия, введённые нами понятия являются экономически интерпретируемыми, — отвечающие им распределения можно понимать как некоторое предельное решение, полученное в результате ослабления ограничений на торговлю активами до бесконечности. Предельный процесс, в результате которого оно появляется, можно понимать как процесс регулирующего воздействия на финансовый рынок управляющего органа. Этот орган, наблюдая отсутствие равновесия на рынке активов и, как крайняя мера, накладывая временные ограничения на объёмы их продаж, затем ослабляет их до бесконечности, тем самым пытаясь восстановить свободу рынка. Доказанная теорема говорит о том, что устраниться сразу органу не удастся, и какое-то реальное время будут функционировать компенсирующие активы с ограничением на объёмы их торгов — новый модельный элемент, появляющийся в понятии обобщённого равновесия. Можно ожидать, что по мере развития рынка, с появлением новых активов, ситуация изменится и рынок самостоятельно найдёт нормальное равновесие. Вопрос об описании пределов равновесий Раднера при ослаблении ограничений на объёмы продаж появляется в работе Дженакополуса [31].

Во второй части третьей главы предлагается и исследуется новая модель динамического неполного рынка, представленного на счётно-бесконечном дереве (граф) событий. Такого рода модель содержит в себе черты рынка с перекрывающимися поколениями экономических агентов и реализует попытку более адекватно описать бесконечно-живущую экономику, избавленную, в том числе, от парадоксов ОЬй-моделей. В модели постулируется, что агенты и активы "рождаются" в некоторых событиях и затем "живут" в рамках некоторого конечного поддерева событий с начальной вершиной в момент их рождения. Причём в каждом событии живёт непустое конечное множество агентов, а торговля активами осуществляется только в момент их появления (рождения) на рынке. В каждом событии имеется собственный рынок обычных продуктов и активов, вся торговля осуществляется относительно отвечающих этому событию рыночных цен. В модели рассматривается класс реальных активов типа фьючерсных контрактов, которые обеспечивают покупателю актива отдачи в форме материальных благ, которые затем продаются по текущим рыночным ценам. В каждом периоде-событии может появиться не более чем конечное число новых активов, и агенты формируют свои торговые портфели заказов только на те из них, которые появляются в течении их жизни. Как обычно для модели неполного рынка, агенты функционируют в рамках множественности бюджетных ограничений — в каждом событии имеется собственное ограничение. Таким образом, в динамическом неполном рынке, в отличии от классической ОЬС-модели, агенты ограничены торговлей активами в способах трансформации (переноса) стоимости из одного события в другое. При этом может сложится ситуация, когда в событиях после их смерти могут остаться некоторые неизрасходованные стоимости. Причём здесь это принципиально, в отличии от двустадийной модели, где агенты живут в течении всего периода жизни рынка. Поэтому мы вводим в модель новый элемент — функции унаследованных стоимостей, которые распределяют неизрасходованные данным агентом стоимости среди его наследников. Формально эти функции служат для исполнения закона сохранения стоимости (закона Вальраса), которая со •смертью агента не исчезает из экономического оборота, но передаётся его наследникам (по каким-то разумным правилам). Таким образом, ещё один элемент реальной жизни находит своё воплощение в нашей модели. На модель динамического неполного рынка переносятся понятия равновесия, компенсированного (кратко — С-равновесия, их частным случаем являются псевдоравновесия) и обобщенного равновесия, рассмотренные ранее в контексте конечномерной модели в первой части третьей главы. Основным результатом являются теоремы существования компенсированных и обобщенных равновесий, доказанные в рамках предположений, близких к современным условиям, гарантирующим существование вальрасовских равновесий (равновесия могут не существовать по тем же причинам, что и для конечномерных моделей неполного рынка). Основной результат достигается посредством двойного предельного перехода по раднеровским равновесиям, с использованием техники нестандартного анализа. Модель и собственно результаты этой части диссертации были опубликованы в [82]. В техническом плане они развивают идеи, заложенные автором в [44], [48].

В научной литературе имеются и некоторые другие подходы, имеющие общетеоретическую цель, близкую к нашей последней. Здесь мы хотели бы отметить только работу Шматенберга [65], чей подход наиболее близок. Хотя модель Шматенберга гораздо менее общая, математические методы весьма различаются, а результаты были получены совершенно независимо, но их объединяют общие представления о функционировании бесконечно-живущей экономической системы. В частности, в некотором смысле, рассмотренный нами подход реализует почти все соображения Шматенберга по возможному обобщению предложенной им модели.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Маракулин, Валерий Михайлович, 2003 год

1. Brown, D.J., Robinson A, "The cores of large standard exchange economies", J. Econ. Theory 9 (1974), p. 245-254

2. Brown, D.J., Robinson A, "Nonstandard exchange economies", Econometrica 43 (1975), p. 41-55

3. Gale, D., Mas-Colell, A., "An equilibrium existence theorem for a general model without ordered preferences", J. Math. Econ. 2 (1975), p. 9-15

4. Geanakoplos, J.D., Polemarchakis, H.M., "Overlapping generations", In: Hildenbrand, W., Sonnenschein, H. (eds.): Handbook of Mathematical Economics, Vol. IV, North-Holland, Amsterdam, 1991, p. 1899-1960

5. Huang, C., Kreps, D., "Intertemporal Preferences with a Continuous Time Dimension", Sloan School Working Paper, 1986

6. KREPS, D.M., "Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities", J. Math. Econ. 8 (1981), p. 15-35

7. Loeb, P.A., "An introduction to non-standard analysis", In: P. A. Loeb, M. Wolff (eds.): Nonstandard analysis for the working mathematician, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000

8. M. magill and w.shafer, "Incomplete markets", In: Hilden-brand, w., Sonnenschein, H. (eds.): "Handbook of Mathematical Economics", Vol. IV, Amsterdam: North-Holland, 1991, p. 1523-1614

9. Успенский, В.А., "Что такое нестандартный анализ?" — Москва: Наука, 1987, 128 с.84. шефер, X., "Топологические векторные пространства", пер. с англ. — Москва: Мир, 1971, 360 с.

10. ШМЫРЁВ, В.И., "Лекции по математическому програмирова-нию. Часть II" — Учеб. пособие, Новосибирск: изд. НГУ, 1998, 93 с.