Стохастические модели межвременного экономического равновесия с капиталом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Андреев, Михаил Юрьевич

• Андреев, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Андреев, Михаил Юрьевич

Введение.

Глава 1. Детерминированная модель с управлением капиталом и подходы к построению стохастических динамических моделей равновесия.

1.1 Детерминированная модель Эрроу-Дебре без ресурсов.

1.2 Принципы построения моделей: рациональные ожидания и полное предвидение

1.3 Детерминированная модель межвременного равновесия с управлением капиталом.

1.4 Обзор стохастических моделей равновесия.

1.4.1 Условные товары и стохастическая модель Эрроу.

1.4.2 Равновесие Раднера в модели со спот-рынками и ограниченным числом условных товаров.

1.4.3 Полные и неполные рынки.

1.5 Битро^равновесия.

1.6 САРМ и ССАРМмодели.

1.7 Проблема неоднозначности и множественности равновесий.

1.8 Поведение фирмы в стохастических моделях общего равновесия.

Глава 2. Стохастическая модель чистого обмена и актуально бесконечно большие цены

2.1 Формулировка модели.

2.2 Существование собственных равновесий.

2.3 Проблема неоднозначности равновесий в стохастической задаче чистого обмена.

2.4 Несобственные равновесия в стохастической модели чистого обмена.

2.5 Существование несобственных равновесий.

2.6 Структура сравнительных цен в равновесии.

2.7 Парето оптимальность равновесий с дефолтами.

2.8 О типе несобственных равновесий и связь с зитроиравновесиями.

2.9 О возможности представления несобственных равновесий в альтернативной форме и равновесия-пари.

2.10 Задача чистого обмена с начальными чистыми сбережениями.

2.11 Выводы.

Глава 3. Стохастическая модель межвременного экономического равновесия с управлением капиталом.

3.1 Обоснование рассмотрения случая полных рынков в стохастической модели с управлением капиталом.

3.2 Общая структура модели и обозначения.

3.3 Описание поведения агентов и определение равновесия.

3.4 Регулярное равновесие в регулярной модели.

3.5 Задача благосостояния.

3. б Основные свойства регулярного равновесия.

3.7 Декомпозиция задачи благосостояния в задачу равновесия.

Глава 4. Свойства модели равновесия с управлением капиталом.

4.1 Некоторые общие свойства равновесия.

4.2 Динамика цены капитала.

4.3 Модель с управлением капиталом при производственном множестве общего вида

4.4 Сравнение с моделью ССАРМ.

4.5 р -форма модели с управлением капиталом.

Глава 5. Интерпретация условия согласования взглядов агентов о рынке капитала

5.1 Одинаковость стохастических трендов.

5.2 Теоретико-игровая интерпретация условия согласования взглядов агентов о рынке капитала.

5.3 Модель с рынком капитала.

5.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастические модели межвременного экономического равновесия с капиталом»

Актуальность темы. С бурным развитием вычислительной техники широкое распространение получили вычислимые модели общего равновесия (CGE models). Вычислимые модели общего равновесия являются имитациями реальной экономической среды, которые комбинируют в себе абстрактную структуру общего равновесия, формализованную в моделях Эрроу и Дебре, с описаниями реальных экономических механизмов с целью численного нахождения равновесного спроса, предложения, цен, реализующихся на определенных рынках. CGE модели в настоящее время являются стандартным инструментом эмпирического анализа и широко используются для исследования следующих вопросов:

Изменения внутри национальной экономики (последствия налоговой реформы, пенсионной реформы, монетарной политики, регулирование естественных монополий, структурные изменения, политика направленная на поддержку определенных отраслей)

Анализ последствий глобализации и увеличения объемов внешней торговли (в частности создание и расширение торговых блоков, последствия вступления в ВТО, последствия либерализации внешней торговли)

Проблемы экологии и долгосрочного развития (контроль выбросов в окружающую среду, последствия истощения полезных ископаемых, переход на альтернативные источники энергии и т.д.)

Наиболее крупные и подробные из CGE моделей служат, во-первых, описанием того уровня экономических отношений, который достигнут в стране. Во-вторых, во многих случаях позволяют указать ту причину, по которой произошел спад или кризис в прошлом, или на какой проблеме в будущем споткнутся существующие экономические отношения и на что нужно обращать более пристальное внимание экономистам и органам власти.

Для исследования аналогичных вопросов CGE модели используются более чем в 40 странах мира. В число этих стран входят абсолютно все наиболее крупные, в том числе Россия [47], Япония [28], США [18], Великобритания [26], Голландия [22], Австралия [16], Китай [15], Индия [37], Бразилия [23] и многие другие.

Наиболее актуальными для России является изучение вопросов, касающихся изменений во внутренней экономике и внешней торговли, включая последствия глобализации.

В России в Вычислительном центре имени А.А.Дородницына Российской академии наук вычислимые модели общего равновесия начали разрабатываться с 1975 года в рамках нового направления исследований САРЭ (системный анализ развивающейся экономики) [62, 60]. Это направление синтезирует методологию математического моделирования сложных систем, развитую в естественных науках [53, 58] и достижения современной экономической теории. Была поставлена цель научиться строить замкнутые математические модели, которые описывали бы механизмы развития во времени макроэкономических структур и правильно воспроизводили совокупность основных качественных особенностей эволюции изучаемой экономической системы.

Исследования начались с моделей рыночной экономики [62, 53:стр.280], а в 1988 г. была построена модель, которая воспроизводила основные качественные особенности эволюции плановой экономики [63:стр.115, 53:стр.305, 54]. Поэтому к моменту начала экономических преобразований в СССР, а затем в России уже был разработан подход к анализу происходивших в экономике изменений. В частности, за два года до реформы 1992г. были правильно предсказаны краткосрочные ее последствия [61, 63:стр.181]. Каждая из последующих моделей (модель экономики периода высокой инфляции 1992-1995гг. [63:стр.181], модель экономики периода «финансовой стабилизации» 1995-1998гг. [45, 63:стр.269], предсказавшая кризис 1998 г., модель для оценки перспектив развития экономики России после кризиса 1998г. [44]) была основана на системе гипотез относительно характера тех экономических отношений, которые складывались в соответствующий период в России.

С помощью моделей удалось понять внутреннюю логику развития экономических процессов, скрывшуюся за видимой, часто, казалось бы, парадоксальной картиной экономических явлений, которая не укладывалась в известные теоретические схемы. Опыт применения моделей показал, что они служат надежным инструментом анализа макроэкономических закономерностей, а также прогноза последствий макроэкономических решений при условии сохранения сложившихся отношений. Можно сказать, получилась целая «летопись» российских экономических реформ, выраженная языком математических моделей. Эти модели детально описаны в [44,45,62, 63].

Одной из последних моделей является разработанная в 2002-2004 годах по заказу Агенства по налогам и сборам РФ модель экономики России с учетом теневого оборота [47]. Модель позволила

Восстановить и спрогнозировать несглаженные квартальные временные ряды основных макроэкономических показателей экономики России: темпа инфляции, реального ВВП, реальных инвестиций и др.

Восстановить динамику и оценить изменение собираемости четырех типов налогов в зависимости от изменения различных налоговых ставок и управляемых параметров экономики

Оценить размер теневого оборота, уровень теневых заработных плат

Главной особенностью этой модели было описание взаимодействия фирмы и ее собственника, как процесса управления финансовым капиталом фирмы. В рамках модели определялся капитал двух секторов: финансового и реального. Величина капитала в каждом из этих секторов могла быть либо нулевая, либо положительная, что давало четыре различных возможных режима. Расчеты по модели показали, что развитие экономики России лучше описывалось режимом, в котором собственники вкладывают капиталы только в финансовый сектор. Для реального сектора это означает, что активы создаются не за счет прибыли, а за счет привлечения средств в виде кредитов. Таким образом, расчеты показали, что, несмотря на кажущееся улучшение финансового состояния предприятий с момента кризиса 1998 года, в экономике сохранилось преобладание средств в финансовом секторе. Как долго такой режим будет продолжаться - использованная детерминированная модель ответить не смогла ввиду своих принципиальных внутренних свойств.

Причиной неоднозначности определения режимов явилось постоянство цены капитала в каждом секторе, что характерно для детерминированной модели. Постоянство цены приводит к равной доходности капитала в каждом секторе. Собственникам безразлично вкладывать ли капитал в один сектор, либо в другой сектор, либо вовсе сохранить благосостояние в денежной форме. Постоянство цены капитала и существенная неоднозначность в определении самого капитала могла быть разрушена введением случайности в модель.

Разрешение неоднозначности и возможность придания цене капитала нетривиальной динамики посредством введения стохастики представляется актуальным вопросом, в противном случае затруднительно описывать переходные процессы в указанных секторах экономики.

Актуальность разработки модели с капиталом, опирающейся на стохастические процессы, связано так же с необходимостью учитывать высокую степень неопределенности, присутствующую в экономике России: высокие и нестабильные темпы инфляции, необычайная волатильность макроэкономических показателей. Неопределенность при принятии решений приводит к достаточно малым горизонтам планирования субъектов российской экономики. Малые горизонты планирования ведут к отсутствию долгосрочных инвестиций в экономику и ориентации экономики на наименее рискованных и, как следствие, наименее прибыльных схемах. Описание неопределенности возможно с позиции стохастических моделей, что, несомненно, обуславливает интерес к их разработке.

Цель работы. При создании вычислимых моделей равновесия в отделе академика А.А.Петрова «Математического моделирования экономических систем» ВЦ РАН стохастические модели использовались только лишь на микроуровне, в частности для описания действия менеджера-торговца в теневой экономике [47]. Учитывая это, а также актуальность построение стохастической конструкции на уровне макровзаимодействия, было решено рассмотреть стохастическую модель с капиталом в наиболее простой постановке, включающей в себя принцип рациональных ожиданий и обозреваемые всеми агентами случайные величины, задающие временную структуру развития будущего в древовидной форме.

Целями настоящей диссертационной работы стали:

Постановка стохастической модели с управлением капиталом и аналитическое разрешение задачи

Исследование особенностей и свойств стохастических задач, основанных на основополагающей схеме Эрроу-Дебре, которые интересны с теоретической точки зрения или должны быть учтены при применении стохастической модели с управлением капиталом или ее результатов в более подробной конструкции описания экономики страны

Построение и проведение численного эксперимента со стохастической моделью с управлением капиталом для случая конкретной производственной функции, оценка сложности вычисления стохастической модели

Методы и объект исследования. В диссертации используются методы теории оптимального управления [46]; теории случайных процессов [49]; элементы теории игр [57]; аппарат работы с бесконечными ценами, разработанный В.И.Даниловым и А.И. Сотсковым [12, 51] , близкий к нестандартному анализу [68]; элементы теории матриц [50].

Основным объектом исследования служит стохастическая модель чистого обмена и стохастическая модель равновесия с управлением капиталом, построенные на основе преобразованной И.Г. Поспеловым модели Эрроу-Дебре [14] в детерминированную модель с управлением капиталом [65].

Научная новизна. Научная новизна работы состоит:

В создании новой стохастической модели чистого обмена с актуально бесконечно большими ценами. Предложена трактовка дефолтов экономики как естественного результата планирования действий агентами экономики. Показана Парето оптимальность равновесий с дефолтами в подавляющем большинстве экономик чистого обмена.

В создании модели межвременного равновесия с управлением капиталом для стохастического случая. Найдены необходимые и достаточные условия существования и эффективности равновесий. Описано множество начальных условий стохастической модели равновесия, при которых существует решение. Показано, что дефолт в модели равновесия с управлением капиталом ведет не только к несопоставимому росту цен продуктов, но и цен капитала. Показано независимость стоимости фирмы от текущих цен на продукты

Введено и обосновано дополнительное ограничение на деятельность фирмы, связывающее назначаемые фирмой цены капитала в разные периоды времени. Предложена теоретико-игровая конструкция, которая позволяет интерпретировать дополнительное ограничение как результат деятельности банка, функционирующего в условиях совершенной конкуренции и максимизирующего приведенную прибыль от операций заимствования и предоставления средств

Практическая ценность. Практическая ценность работы состоит в обнаруженных особенностях стохастических моделей, которые должны быть учтены при построении вычислимых моделей общего равновесия. А именно следует:

Учитывать необходимость введения элементов монетарной политики и управления денежной массой как способа устранения проблемы множественности равновесий в стохастической модели

Рассматривать появление дефолтов в модели не как недостаток конструкции, а как, возможно, оптимальную траекторию развития экономики

Включать уравнение на связь цен капитала в тех конструкциях, когда цена капитала определяется не из равновесия спроса и предложения капитала, а напрямую назначается производителем

Принять во внимание сложность численного вычисления равновесия стохастической модели. Как альтернатива прямому вычислению следует проводить декомпозицию задачи благосостояния в задачу равновесия и вычислять только более простую задачу благосостояния. В противном случае следует рассматривать детерминированную модель, а от стохастической модели взять выражения для цен капиталов, полученных в рамках подхода ССАРМ моделей.

Учитывать возможность получения ставок дисконтирования финансовых потоков изнутри модели как отношение двойственных переменных в противовес заданию ставок дисконтирования экзогенно

Апробация работы. Результаты диссертации и материалы исследований докладывались, обсуждались и получили одобрение на ряде конференций:

Tikhonov and Contemporary Mathematics", 19-26 июня 2006 г., Москва.

49-я научная конференция МФТИ, 24-25 ноября 2006 г., Москва.

New Developments in Macroeconomic Modelling and Growth Dynamics", September 7-9, 2006, University of Algarve, Faro Portugal.

Вторая Международная конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007), 20-22 июня, 2007.

Вторая всероссийская научная конференция с молодежной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики» (ЭКОМОД-2007), 9-15 июля, Киров.

Ряд результатов диссертации использовался в работе по проектам РФФИ № 07-01-00563, РГНФ № 05-01-02113а, 07-02-00362а.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, 4 приложений и списка литературы из 68 наименований. Общий объем работы - 129 страниц, включая 13 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Андреев, Михаил Юрьевич

Основные результаты работы заключаются в следующем:

Поставлена стохастическая модель межвременного равновесия с управлением капиталом. Введено определение регулярного равновесия регулярной модели, доказано существование и эффективность регулярных равновесий. Дано описание множества регулярных равновесий, и доказана вторая теорема благосостояния

Доказано отличительное свойство стохастической модели с управлением капиталом и модели чистого обмена - свойство неоднозначности (множественности) равновесий. Показано, что типичным среди Парето оптимальных равновесий являются равновесия с актуально бесконечно большими ценами - равновесия с дефолтами. Доказано существование равновесий с дефолтами

Предложена теоретико-игровая интерпретация условия регулярности динамики курсов фирмы

Обосновано, что при применении стохастических моделей, в которых выполняется свойство неоднозначности равновесий, наиболее разумно рассматривать такие варианты моделей, в которых дополнительными свойствами, в том числе свойством полноты рынков, обеспечивается эффективность всех равновесий

В модели с управлением капиталом для случая линейной производственной функции проведен численный эксперимент. Показано, что наиболее реалистичным способом вычисления равновесия стохастической задачи является вычисление решения задачи благосостояния и декомпозиция решения задачи благосостояния в равновесие модели с управлением капиталом

Результаты, представленные в данной диссертационной работе, были получены автором совместно с научным руководителем профессором И.Г. Поспеловым. Выбор ключевых направлений исследования - их совместный результат, техническая работа по построению доказательств и примеров - результат автора диссертации.

По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе одна работа в рецензируемом журнале из списка ВАК и одна монография в соавторстве:

M.Yu. Andreyev, I.G. Pospelov. Ineffective Economic Stochastic Equilibrium and the Model of the Capital Value. Book of Abstracts of International Conference "Tikhonov and Contemporary Mathematics", section 2, pp.15-16, 2006.

М.Ю.Андреев. Подход к проблеме неполных рынков без введения дополнительных инструментов. Труды 49-й научной конференции МФТИ, часть 7 «управление и прикладная математика», с. 108-109 ,2006.

M.Yu.Andreyev, I.G.Pospelov. Readability of the economic growth on the assumption of rational expectations of the agents. Book of Abstracts of International Conference "New Developments in Macroeconomic Modelling and Growth Dynamics", 2006.

М.Ю.Андреев, И.Г.Поспелов. Equilibrium multiplicity in the stochastic model with the capital and sufficient conditions for effectiveness of equilibria. Труды 2й Международная конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики», с. 14-16, 2007.

М.Ю.Андреев. Необходимые и достаточные условия эффективности множества равновесий в стохастической модели с капиталом. Тезисы докладов II Всероссийской научной конференции ЭКОМОД-2007, с. 31, 2007.

М.Ю.Андреев, И.Г.Поспелов. Капитал в стохастической динамической модели экономического равновесия. Математическое моделирование, Том 19, №9, 2007.

М.Ю.Андреев, И.Г.Поспелов, И.И.Поспелова, М.А.Хохлов. Новая технология моделирования экономики и модель современной экономики России II МИФИ, Москва, 2007.

Заключение

В настоящей работе были рассмотрены стохастическая модель чистого обмена для собственных и несобственных равновесий, стохастические модели межвременного равновесия с управлением капиталом для случаев производственного множества общего вида и линейной производственной функции, а также альтернативная постановка модели с капиталом - модель с рынком капитала.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Андреев, Михаил Юрьевич, 2007 год

1. Arrow K.J., Debreu G. Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy. Eco-nometrica, Vol. 22, No. 3, pp. 265-290,1954.

2. Balasko Y., Cass D. The Structure of Financial Equilibrium with Exogenous Yields: The Case of Incomplete Markets, Econometrica, vol. 57, pp. 135-162,1989.

3. Balasko Y., Cass D., Shell K. Market Participation and Sunspot Equilibria. Review of Economic Studies, vol. 62(3), pp. 491-512,1995.

4. Black F. Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing. Journal of Business 45, Vol. 45, No. 3, pp. 444-455,1972.

5. Breeder) D. An intertemporal asset pricing model with stochastic consumption and investment opportunities. Journal of Financial Economics, Vol. 7, No. 3, pp. 265-296, 1979.

6. CassD., Shell K. Do sunspots matter? Journal of Political Economy 91, pp. 193227,1983.

7. Chamberlain G. Asset Pricing in Multiperiod Securities Markets. Econometrica, 56, pp. 1283-1300,1988.

8. Constantinides G. Habit formation: A resolution of the equity premium puzzle. Journal of Political Economy, Vol. 98, No. 3, 519-543,1990.

9. Danilov V.I., Sotskov A.I. A generalized economic equilibrium. Journal of Mathematical Economic, Vol. 19, Issue 4, pp. 341-356,1990.

10. Debreu G. New Concepts and Techniques for Equilibrium Analysis. Economic Review, Vol. 3, No. 3, 257-273, 1962.

11. Debreu G. Theory of Value. An axiomatic analysis of economic equilibrium // New York: John Wiley & Sons Inc., 1959

12. DiaoX., Fan S., ZhangX. China's WTO accession: impacts on regional agricultural income— a multi-region, general equilibrium analysis. Journal of Comparative Economics, Volume 31, Issue 2, pp. 332-351, 2003.

13. Dixon P.B., RlmmerM.T. Forecasting and Policy Analysis with a Dynamic CGE Model of Australia. Monash University Center of Policy Studies Working Paper No. OP-90,1998.

14. Ekern S„ Wilson R. On the Theory of the Firm in an Economy with Incomplete Markets // Bell Journal of Economics and Management Science, Vol. 5, No. 1, pp. 171-180, 1974.

15. Gallaway M.P., Blonigen B.A., Flyn J.E. Welfare costs of the U.S. antidumping and countervailing duty laws. Journal of International Economics, Volume 49, Issue 2, pp. 211-244, 1999.

16. Graafland J., Mooij R. MIMIC,. An Applied General Equilibrium model for the Netherlands. CPB Report 1998/3. Url: http://hdl.handle.net/1765/1958.1998.

17. Haddad E.A., Domingues E.P., Perobelli F.S. Regional effects of economic integration: the case of Brazil. Journal of Policy Modeling, Volume 24, Issue 5, pp. 453-482, 2002.

18. Handbook of Mathematical Economics. North-Holland, 1991.

19. Hansen L.P., Singleton K.J. Generalized instrumental variable estimation of nonlinear rational expectations models. Econometrica, Vol. 50, pp. 1269-1286,1982.

20. Harrison R., NikolovK., Quinn M., Ramsay G., Scott A., Thomas R. The Bank of England Quarterly Model. Bank of England, 2005. Url: http://www.bankofengland.co.uk/publications/index.htm

21. Hart O. On the optimality of equilibrium when the market structure is incomplete. Journal of Economic Theory 11:418-443,1975.

22. Hosoe N. The deregulation of Japan's electricity industry. Japan and the World Economy, Volume 18, Issue 2, pp. 230-246, 2006.

23. Lucas R.E. Asset Prices in an Exchange Economy. Econometrica, Vol. 46, pp. 14291445,1978.

24. Lucas R.E., Sargent T.J. Rational Expectations and Econometric Practice. Allen \& Unwin, London, 1981.

25. Magill M., Quinzii M. Real effects of money in general equilibrium. Journal of Mathematical Economics, Vol. 21(4), pp. 301-342,1992.

26. Magill M., Quinzii M. Theory of Incomplete Markets. Volume 1. The MIT Press, 1996.

27. Makowski L. Competitive Stock Markets. Review of Economic Studies, Vol. 50(2), pp. 305-30,1983.

28. Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic Theory // New York, Oxford University Press, 1995.

29. Mehra R., PrescottE. The equity premium: a puzzle. Journal of Monetary Economics, Vol. 15, pp.145-61, 1985.

30. ZQ.Muth J.F. Rational Expectations and the Theory of Price Movements. Econometrica, 1961, vol.29, 315-335.

31. Naastepad C.W.M. Trade-offs in stabilisation: a real-financial CGE analysis with reference to India. Economic Modelling, Volume 19, Issue 2, pp. 221-244,2002.

32. Prescott E., Shell K. Introduction to sunspot and lotteries. Journal of Economic Theory, Vol. 107, Issue 1, pp.1-10, 2002.

33. RadnerR. Existence of Equilibrium of Plans, Prices, and Price Expectations in a Sequence of Markets. Econometrica, Vol. 40, No. 2., pp. 289-303,1972.

34. Shorish J. Functional Rational Expectations Equilibria in Market Games. Economics Series, №186.

35. Sidrauski M. Rational Choice and Patterns of Growth in a Monetary Economy. The American Economic Review, Vol. 57, No. 2, pp. 534-544,1967.

36. АА.Автухович Э.В., Бурова H.К., Дорин Б.Л. Панов С.С., Петров A.A., Поспелов И.Г., Поспелова ИМ., Ташлицкая Я.М., Чуканов C.B., Шананин A.A., Шапошник Д.В. Оценка потенциала роста экономики России с помощью математической модели. М.: ВЦ РАН, 2000.

37. Автухович Э.В., Гуриев СМ., Оленев H.H., Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A., Чуканов C.B. Математическая модель региональной экономики. М.: ВЦ РАН, 1998.

38. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление//Изд-во «Наука», Москва, 1979.

39. Андреев М.Ю., Поспелов И.Г., Поспелова И.И., Хохлов М.А. Новая технология моделирования экономики и модель современной экономики России. // МИФИ, Москва, 2007.

40. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М. : Наука, 1984.

41. Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003

42. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц//М.: Наука, 1966.51 .Данилов В.И. Равновесия в экономике с перекрывающимися поколениями. Экономика и математические методы, Том 29, с.26-38, 1993.

43. Данилов В.И., Сотсков А.И. Чистый обмен при меновых стоимостях// Проблема равновесия и принятия экономических решений. М., Изд. ЦЭМИ АН СССР, 1985.

44. Краснощекое П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1983., М.: Фазис, 2000.

45. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

46. Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. М.:Наука,1973.

47. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. // МЗ Пресс, Москва, 2006.

48. Моисеев H.H. Математик ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.

49. НикайдоХ. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.

50. Петров A.A. Об экономике языком математики. М.: ФАЗИС, 2003.

51. Петров A.A., Бузин А.Ю., Крутое А.П., Поспелов И.Г. Оценки последствий экономической реформы и крупных технических проектов для экономики СССР. М.:ВЦАН СССР, 1990.

52. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат. 1996.

53. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A. От Госплана к неэффективному рынку: Математический анализ эволюции российских экономических структур. The Edvin Mellen Press. Lewiston, NY, USA. 1999.

54. Поспелов И.Г. Модель отбора поведения в социально-экономических системах / Сб. тр. конф. «Моделирование социального поведения», М.: Изд-во МГУ, 2001.

55. Поспелов И.Г. Модели экономической динамики, основанные на равновесии прогнозов экономических агентов // ВЦ РАН, Москва, 2003.

56. Саймон Г.А. Рациональность как процесс и продукт мышления. // Теория и история социальных институтов и систем, М.: THESIS, 1993. Т.1, вып. 3.

57. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа. // М.: Наука, 1988

58. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? // М.: Наука, 1987.