Равновесные модели рынка ценных бумаг тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Николаева, Евгения Александровна

• Николаева, Евгения Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Николаева, Евгения Александровна

Введение.

Глава I. Статическая модель рынка рисковых ценных бумаг

§ 1. Модель рынка рисковых ценных бумаг. Построение и обоснование

§ 2. Равновесное состояние рынка и его существование.

§ 3. Необходимые и достаточные признаки равновесия.

§ 4. Вычисление равновесных портфелей на рынке ценных бумаг.

§ 5. Экстремальное равновесие на рынке ценных бумаг.

Глава II. Динамическая модель рынка ценных бумаг

§ 1. Построение динамической модели рынка рисковых ценных бумаг.

§ 2. Переход к задаче без фазовых ограничений.

§ 3. Существование и признаки оптимальности портфеля инвестора на рынке.

§ 4. Содержательность во времени равновесных траекторий.

§ 5. Алгоритм вычисления динамически устойчивых равновесных траекторий.

Глава III. Модели частных рынков ценных бумаг

§ 1. Анализ рынка со смешанными активами.

§ 2. Рынок государственных краткосрочных облигаций (ГКО).

§ 3. Структура эффективных портфелей на рынке ГКО.

§ 4. Геометрия множества допустимых портфелей инвестора на рынке с двумя видами рисковых ценных бумаг.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равновесные модели рынка ценных бумаг»

Большую роль в математических моделях рынка, как сферы столкновения интересов его участников, играет понятие экономического равновесия, которое имеет глубокое нормативное содержание. Оно указывает контуры идеального функционирования экономического организма, обеспечивающего эффективное распределение ресурсов между экономическими агентами при децентрализованном принятии решений. Концепция равновесия в значительной степени вобрала в себя мировой опыт развития рыночной системы и может быть полезна на практике для поиска путей развития и упрочения рыночных отношений в различных сегментах экономики. К последним относится и российский рынок ценных бумаг, который в последнее время характеризуется нестабильностью и слабой эффективностью. Этим и объясняется актуальность выбранной темы диссертационной работы.

В диссертационной работе изучается концепция равновесия в математических моделях рынка ценных бумаг. Ее цель - построение статической и динамической моделей (как более крупных задач, чем формирование оптимального портфеля отдельного инвестора), исследование вопросов существования, необходимых, достаточных признаков и методов построения равновесного состояния рынка ценных бумаг, а также проблемы его динамической устойчивости.

Новизна диссертационного исследования объясняется отсутствием в научной литературе как таковых математических моделей рынка ценных бумаг, как в статическом, так и в динамическом аспектах и вытекающей отсюда новизной всех полученных результатов.

Перед тем, как изложить содержание глав диссертации, приведем краткий обзор основных результатов, полученных в области моделирования портфеля ценных бумаг.

Начало портфельной теории было положено американским экономистом Г. Марковицем. В статье [56] - с применением теоретико-вероятностной формализации доходности и риска - впервые была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг и были приведены методы построения таких портфелей. Эта теория получила дальнейшее развитие в начале 60-х годов в работах другого американского экономиста Дж. Тобина [62]. Он предложил включить в анализ безрисковые ценные бумаги, такие как государственные облигации, и проанализировал адекватность отдельных количественных характеристик активов и портфелей ценных бумаг.

Следующим этапом развития портфельной теории следует считать появление модели оценки капитальных активов, известной под названием САРМ (Capital Asset Price Model). Для этой модели значительные результаты получены в работах У. Шарпа [60, 61], Дж. Линтнера [55], Дж. Мос-сина [58] и др. В этих работах были установлены соотношения между доходностью и риском актива для равновесного рынка. При этом важным оказывается тот факт, что при выборе оптимального портфеля инвестор учитывает лишь так называемый систематический (недиверсифицируе-мый) риск, который количественно представляется коэффициентом "бета", введенным У. Шарпом.

Можно заметить, что модель САРМ базируется на концепции эффективного рынка. Эффективность означает, что рынок ведет себя рационально в смысле справедливости цен, однородности информации для всех инвесторов и, что участники рынка преследуют свои собственные цели. В результате поиска инвесторами оптимальной структуры своих портфелей, эффективный рынок может прийти в равновесие, когда спрос на любую ценную бумагу в точности равен ее наличию на рынке (предложению).

Отметим еще одну модель - модель Блека. Она появилась в связи с возможностью осуществления так называемых коротких продаж (продаж без покрытия), т.е. у участников рынка появилась возможность получить "неограниченный" доход от сделок с ценными бумагами.

Указанные выше модели связаны с выбором класса допустимых портфелей. Имеется модель, которая в большей степени относится к структуре рынка, нежели к структуре допустимых портфелей. Речь идет о так называемой модели Тобина-Шарпа-Линтнера (ТШЛ). В этой модели предполагается существование так называемого безрискового актива, анализируется "касательный портфель" и рассматривается эффект от добавления безрискового актива к набору рисковых активов, а также изучается изменение множества достижимости [51].

Примерно в конце 70-х годов была предложена еще одна модель оценки капитальных активов (см., напр. [59]), получившая название "арбитражной модели" или АРМ (Arbitrage Pricing Model). Основным постулатом этой модели является требование о том, что соотношение между ожидаемой доходностью и риском должно быть таким, чтобы ни один участник рынка не мог получить "неограниченный" доход от чисто арбитражной сделки.

Существует ряд работ классического характера, посвященных моделированию производных ценных бумаг (опционов, фьючерсов и т.д.), среди которых следует особенно отметить модель Блека-Шоулса. Все эти результаты можно найти в фундаментальной монографии У. Шарпа, Дж. Александера и Дж. Блейли [51].

Внимание многих авторов привлекает проблема функционирования рынка государственных краткосрочных облигаций (ГКО). В этом направлении можно отметить работы [2, 14, 15, 17, 36 и др.].

В целом к настоящему времени имеется ряд монографий [25, 27, 34, 51 и др.] отечественных и зарубежных авторов и большое число журнальных статей [1, 18, 21, 24, 28, 29, 32, 33, 35, 42, 43, 46-48 и др.], содержащих те или иные фрагменты портфельной теории ценных бумаг, в которых применяется разнообразный математический аппарат (оптимизационные и теоретико-вероятностные методы, теория случайных процессов и теория игр, теория оптимального управления и др.).

Заметим, что во всех этих исследованиях рынок ценных бумаг понимается на содержательном уровне, исследуется с применением некоторых формул вычислительного или описательного характера, т.е. не строится строгая математическая модель рынка ценных бумаг так такового.

Для исследования сугубо рыночных проблем, связанных с понятиями спроса, предложения, равновесия и т.п., необходимо построение математических моделей, адекватных реальным условиям и позволяющих строить количественно оцениваемые механизмы реализации равновесных состояний. Следует также отметить, что в работах, изучающих функционирование рынка ценных бумаг во времени, динамические процессы представляются в виде простой совокупности статических явлений. При подобной формализации за рамками модели остаются сугубо динамические проблемы и не учитывается "связь времен".

Диссертационные исследования проводились с использованием методологии экономического равновесия Вальраса, известных из анализа теорем Вейерштрасса, Брауэра, Куна-Таккера и др., теории оптимального управления, многокритериальной оптимизации и динамического программирования. Кроме того, в работе применялась новая методология моделирования временного равновесия, основанная на принципе динамической устойчивости (впервые предложенного Л. А. Петросяном в работе [39]), который является обобщением известного из теории оптимального управления принципа оптимальности Р. Беллмана [5].

При моделировании рынка ценных бумаг были приняты следующие предпосылки:

1) во всех моделях рынка ценных бумаг известен прогноз изменения цен;

2) все сделки в фиксированный момент времени проводятся по одной и той же цене, расходы на покрытие трансакционных издержек и уплату налогов, а также инфляция в расчет не принимаются;

3) действия отдельного инвестора не влияют на динамику цен, последние определяются посредством рыночного механизма (спросом и предложением на ценные бумаги);

4) все ценные бумаги ликвидны и бесконечно делимы;

5) все ценные бумаги оцениваются только с точки зрения доходности и риска.

Предположения 4) и 5) являются обычными в работах, изучающих оптимальную структуру портфеля ценных бумаг. Условия 1)-3) можно характеризовать как рыночные и соответствующие природе эффективного рынка или более шире - рынка совершенной конкуренции [19, 30]. Наиболее жестким из них представляется условие 2) об осуществлении сделок по одной и той же цене (см. напр., [15, 52]). Данное предположение здесь применяется лишь для упрощения выкладок и не влияет на результаты исследования. Действительно, во-первых, равновесие во всех моделях определяется в терминах инвестиционного фонда, спроса и предложения без применения понятия цен; во-вторых, структура оптимального портфеля описывается с помощью соответствующего нормирования компонент портфеля (в терминах долей ценных бумаг), где также не используются цены в явном виде.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, формулируются следующим образом.

1. Построена статическая модель рынка ценных бумаг, в которой формализованы понятия спроса, предложения и равновесия; доказаны теоремы о существовании оптимального портфеля инвестора и равновесного состояния на рынке.

2. Найдены необходимые, а также достаточные признаки равновесности последовательности оптимальных портфелей инвесторов, с применением которых разработан алгоритм вычисления равновесного состояния рынка ценных бумаг.

3. Построена и исследована динамическая модель рынка ценных бумаг на конечном временном интервале, в которой доказано существование оптимального управления в задачах инвесторов, найдены необходимые и достаточные условия оптимальности траекторий.

4. С помощью концепции динамической устойчивости исследован вопрос о содержательности во времени равновесных траекторий: найдено достаточное условие существования и динамической устойчивости а-равновесной траектории, и разработана схема вычисления динамически устойчивых равновесных траекторий в терминах динамического программирования.

5. С точки зрения концепций равновесия и динамической устойчивости исследованы рынок со смешанными активами и рынок ГКО; вводится понятие эффективных по Парето портфелей на рынке ГКО, и доказаны конструктивные теоремы о структуре множества таких портфелей в различных случаях.

6. В двухмерном случае изучена геометрия множества допустимых портфелей, и найдены границы рационального выбора ожидаемой доходности по портфелю и инвестиционного фонда инвестора.

Содержание работы. Работа состоит из введения, трех глав, трех приложений и списка литературы. Общий объем работы (без приложений) составляет 135 стр.

В первой главе рассматривается статическая математическая модель рынка ценных бумаг с к рисковыми активами и п участниками (участниками рынка являются все держатели ценных бумаг), определены понятия спроса, предложения и равновесия на этом рынке. Доказана теорема о существовании равновесного состояния на рынке и найдены необходимые, а также достаточные признаки равновесности, разработан алгоритм вычисления равновесного состояния рынка ценных бумаг.

В § 1 описывается задача инвестора и модель рынка рисковых ценных бумаг. Задача инвестора отличается от известных моделей тем, что в ней имеются ограничения, учитывающие границы инвестирования в ценные бумаги. Связующим условием модели всех инвесторов (кроме эндогенных параметров рынка) является условие замкнутости рынка. Оно учитывает ограниченность инвестиционных возможностей всех участников, так как инвестиционная мощность рынка ограничена суммарной стоимостью всех ценных бумаг. Для каждого инвестора определены спрос и предложение на ценные бумаги. Введенное в этом параграфе понятие равновесия для рынка ценных бумаг соответствует известной концепции равновесия по Вальрасу для рынка товаров потребления, когда экономическое равновесие определяется посредством совокупного спроса и предложения на товары.

В § 2 исследуется вопрос существования равновесного состояния рынка ценных бумаг. Доказывается, что оптимальные портфели всех инвесторов существуют (в случае, если каждый инвестор выбирает ожидаемую доходность по своему портфелю не меньше наименьшей из доходностей по всем ценным бумагам и не больше наибольшей из доходностей по всем ценным бумагам, а свой инвестиционный фонд выбирает не больше, чем позволено ему условиями рынка). Далее с помощью теоремы Брауэра о неподвижной точке доказывается, что последовательность этих оптимальных портфелей при выполнении определенных условий, является равновесной (заметим, что все эти условия не привязаны к структуре портфелей инвесторов и легко проверяемы).

В § 3 доказывается ряд необходимых и достаточных признаков равновесности. Условие замкнутости рынка является необходимым признаком равновесности последовательности оптимальных портфелей. Для того, чтобы это условие было и достаточным признаком равновесия, требуется выполнение некоторых дополнительных условий.

В § 4 приведена вычислительная процедура равновесного состояния рынка. Сначала решаются оптимизационные задачи всех инвесторов с помощью необходимых условий оптимальности. Далее с помощью доказанных в § 3 необходимых и достаточных признаков последовательность найденных оптимальных портфелей проверяется на равновесность.

В § 5 описан другой возможный формализм понятия равновесия на рынке ценных бумаг, названное экстремальным. Введение понятия экстремального равновесия (последовательность оптимальных портфелей всех инвесторов) оправдывается тем обстоятельством, что в этом состоянии на рынке отсутствует необходимость в купле-продаже ценных бумаг. Доказана теорема реализуемости такого равновесия.

Вторая глава посвящена построению и исследованию динамических моделей рынка ценных бумаг с дискретным временем, исследованию вопросов существования и динамической устойчивости равновесных траекторий.

В § 1 описываются динамические модели задач инвесторов и соответствующая динамическая модель рынка ценных бумаг. Формализованы понятия спроса и предложения на всем инвестиционном периоде. На множестве допустимых траекторий этой модели определяются понятия слабой и сильной равновесных траекторий, а также г -равновесной траектории.

В § 2 получена теорема об условиях, при которых исходную задачу с фазовыми ограничениями можно свести к задаче без фазовых ограничений. Оказывается, что, если инвестиционные средства инвестора больше максимально возможной стоимости его портфеля за вычетом максимально возможного вложения в одну из бумаг, то задача инвестора сводится к более простой задаче оптимального управления без фазовых ограничений. Для доказательства этого факта установлена справедливость ряда вспомогательных утверждений, сформулированных в виде лемм.

В § 3 доказано существование оптимального управления в задачах инвесторов, найдены необходимые и достаточные условия оптимальности траекторий.

В § 4 в качестве механизма реализации слабой, сильной и г-равновесной траекторий предлагается концепция динамической устойчивости. Приводится формальное определение принципа динамической устойчивости и ее обоснование для рассматриваемой модели рынка ценных бумаг. Общая идея динамической устойчивости заключается в том, что траектория, построенная в начальный момент времени на весь период согласно того или иного принципа оптимальности, должна удовлетворять тому же принципу оптимальности в каждых момент времени вплоть до конечного. Применительно к рынку ценных бумаг это означает, что, если траектория, как последовательность совокупностей портфелей, равновесна на интервале [0,Т], то ее сужение на любом промежутке [t,T] (t=l,.,T) также является равновесной траекторией. В последнем параграфе главы II описана процедура, с помощью которой можно числено решить задачу оптимального управления инвестора, а также приведен алгоритм вычисления динамически устойчивой траектории.

В третьей главе с точки зрения концепций равновесия и динамической устойчивости исследованы модели частных видов рынков (рынка со смешанными активами, рынка ГКО и рынка с двумя активами). Вводится понятие эффективных по Парето портфелей на рынке ГКО, и доказаны конструктивные теоремы о структуре множества таких портфелей в различных случаях. В случае двух активов установлены разумные пределы выбора ожидаемой доходности и инвестиционного фонда участников рынка.

В § 1 рассматривается случай, когда инвестор может наряду с покупкой рисковых ценных бумаг делать вложения, не связанные с риском (безрисковые ценные бумаги), т.е., кроме к видов рисковых ценных бумаг, о которых говорилось в главе I, на рынке существует безрисковая ценная бумага (напр., депозитный счет, государственные ценные бумаги и др.). Для данной модели доказана теорема существования равновесного состояния, приведен алгоритм его вычисления и рассмотрен динамический аспект.

В § 2 построена динамическая модель рынка ГКО, и доказано существование оптимальных управлений для участников такого рынка.

В § 3 с точки зрения концепций равновесия и динамической устойчивости исследован рынок ГКО; введено понятие эффективных по Парето портфелей на рынке ГКО и доказаны конструктивные теоремы о структуре множества таких портфелей в различных случаях.

14

В § 4 рассматривается случай, когда на рынке присутствует два вида ценных бумаг (двухмерная модель). С использованием геометрического представления критериального пространства для таких моделей проанализирован вопрос: каково реальное значение инвестиционного фонда инвестора (ожидаемой доходности по его портфелю), для фиксированного значения ожидаемой доходности по портфелю (его инвестиционного фонда), для которого допустимое множество не пусто. Найдены "разумные" пределы выбора ожидаемой доходности по портфелю и инвестиционного фонда для каждого участника рынка.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [63-73].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Николаева, Евгения Александровна, 2002 год

1. Аверьянов А. Диверсификация инвестиций // Рынок ценных бумаг. -1995. -№20. С. 21-25

2. Адекенов Т., Коршунов М. Хеджирование на рынке ОГСЗ // Рынок ценных бумаг. 1996.- № 15. - С. 13-16

3. Алехин Б. И. Рынок ценных бумаг. Введение в фондовые операции. -М.: Финансы и статистика, 1991. 158 с.

4. Анесянц С.А. Основы функционирования рынка ценных бумаг: учебное пособие. М.: Наука, 1998.-368 с.

5. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. - 207 с.

6. Беренс В. А., Хавранек П.М. Руководство к оценке эффективности инвестиций. М.: Интерэксперт, 1995. - 527 с.

7. Фондовый рынок / Н. И. Берзон, Е. А. Буянова и др.; под ред. Н. И. Бер-зона, М.: Вита-пресс, 1998. 399 с.

8. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами. -М.: Наука, 1973.-446 с.

9. Бочаров В. В. Финансово-кредитные методы регулирования рынка инвестиций. М.: Финансы и статистика, 1993.- 144 с.

10. Буренин А. Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. М.: 1 Федеративная Книготорговая Компания, 1998. - 347 с.

11. Ван Хорн Дж. Основы управления финансами. М.: Финансы и статистика, 1996. - 799 с.

12. Витин А. Привлечение инвестиций на рынке ценных бумаг // Вопросы экономики. 1996. - № 12. - С. 121-128

13. Воронцовский А. В. Инвестиции и финансирование. С.-П.: Изд-во С-ПГУ, 1998. - 527 с.

14. Горелов М. Чего нельзя упускать при построении модели управленияпортфелями ГКО // Рынок ценных бумаг .- 1996. № 11. - С. 12-16

15. Горелов М., Никифоров JI. Построение оптимального портфеля ГКО: как максимизировать прибыль // Рынок ценных бумаг. 1996. - № 6. - С. 19-23

16. Грабовый П. Г., Петрова С. Н., Полтавцев С. И. Риски в современном бизнесе. М.: Алане, - 1994. - 237 с.

17. Губерниев В. ГКО в оптимальном портфеле // Рынок ценных бумаг. -1996.-№15.-С. 6-10

18. Данилов Н. Н. Динамическая оптимизация портфеля инвестиций // Тез. Док. II Междунар. Конф. По матем. моделированию. Якутск, 1997. -С. 36-40

19. Данилов Н. Н. Курс математической экономики. Н.: Изд-во СО РАН, 2002. - 444 с.

20. Данилов Н., Иноземцева JT. Управление финансовыми потоками. Формализованный подход // Вестник КемГУ. Вып. 3. - 2001. - С. 63-73

21. Делягин М. Портфельные инвестиции в России // Рынок ценных бумаг. -1996. № 8. - С. 40-44

22. Инвестиционно-финансовый портфель. М.: "СОМИНТЕК", 1993. - 752 с.

23. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. - 606 с.

24. Казаков А. Модель рынка "по Соросу" // Рынок ценных бумаг. 1999. -№24.-С. 51-54

25. Касимов Ю. А. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. -М.: Фитиль, 1998. 140 с.

26. Ковалев В. В. Финансовый анализ. М.: Наука, 1998. - 510 с.

27. Колемаев В. А. Математическая экономика. М.: Юнити, 1998. - 182 с.

28. Коломина М. Сущность и измерение инвестиционных рисков // Финансы.- 1994.-№4.- С. 21-23

29. Лукашин Ю. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг // Экономика и математические методы. 1995. - том 31, вып.1. - С. 138-150

30. Макаров В. Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973. - 336 с.

31. Малыхин В. И. Финансовая математика. М.: Юнити, 2002. - 248 с.

32. Марченко А. Риски на рынке ценных бумаг: источники и распределение // Рынок ценных бумаг. 1995. - № 20. - С. 30-33

33. Мельников Р. Оптимизация рискового портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом // Рынок ценных бумаг. 2000. - № 20. - С. 35-37

34. Миркин Я. М. Ценные бумаги и фондовый рынок. М.: Наука, 1995. -532 с.

35. Михеев А. Как оценить эффективность управления портфелями // Рынок ценных бумаг. 1996. - № 5. - С. 17-19

36. Михеев А. Управление портфелем ГКО // Рынок ценных бумаг. 1995. -№21.-С.35-38

37. Оуэн Г. Теория игр. -М.: Мир, 1971. 230 с.

38. Первозванский А. А., Первозванская Т. Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: "ИНФРА-М", 1994. - 191 с.

39. Петросян Л. Устойчивость решений в диффференциальных играх со многими участниками // Вестн. ЛГУ. 1977. - №19. - С. 46-52

40. Петросян Л. А., Данилов Н. Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск: Изд-во ТГУ. ун-т, 1985. - 276 С.

41. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. - 254 с.

42. Рукин А. Портфельные инвестиции. Финансово-математические методы // Рынок ценных бумаг. 1995. - № 18. - С. 45-47

43. Рукин А., Стеценко А. Портфельные инвестиции: классический и современный подходы // Рынок ценных бумаг. 1995. -№ 21. - С. 38-40

44. Рынок ценных бумаг / Под ред. В.А. Галанова. М.: Финансы и статистика, 1996. - 350 с.

45. Теплова Т. В. Финансовые решения: стратегия и тактика. М.: Магистр, 1998.-263 с.

46. Фадеев А. Управление портфелем ценных бумаг // Рынок ценных бумаг.- 1995.-№ 19.-С. 35-38

47. Фадеев Ю., Рукин А. Инвестиционные портфели // Рынок ценных бумаг.- 1995.-№14.-С. 46-47

48. Филатов А. "Рядовой инвестор" и его инвестиционные цели // Рынок ценных бумаг. 2000. - № 5. - С. 43-46

49. Холт Р. Н. Основы финансового менеджмента. М.: "Дело Лтд", 1995. -127 с.

50. Четыркин Е. М. Методы финансовых и коммерческих расходов. М.: "Дело Лтд", 1995.-320 с.

51. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1999. -1024 с.

52. Шведов А. С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М.: ГУ ВШЭ, 1999.- 144 с.

53. Alexander G., Francis J. Portfolio Analysis.-New York. 1986.

54. Black F. Beta and Return // Journal of Portfolio Management. 1993. - №1. -P. 8-18

55. Linther J. The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets, Review of Economics and Statistics, February, 1965, P. 13-27.

56. Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. - №1. - P. 7791

57. Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. New York: John Wiley, 1959.

58. Mossin J. Equilibrium in a Capital Asset Martet, Econometrica 34(4) October 1966, P. 83-768

59. Ross S. A. The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing? Journal of Economic Theory, Dec. 1976.

60. Sharpe W. F. A Simplified Model for Portfolio Analysis, Management Science, January, 1963.

61. Sharpe W. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk // Journal of Finance. 1964. - № 3. - P. 425-552

62. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F. H. Hahn and F. R. P. Bre-chling (eds), The Theory of Interest Rate, London, Macmillan, 1965 P. 3-51Труды автора

63. Николаева E. А. Об одной модели равновесия на рынке ценных бумаг // "Студент и научно-технический прогресс": Тез. докл. XXXVII между-нар. науч. студ. конф. г. Новосибирск, 1999. С. 32-33 (в соавторстве с Даниловым Н.Н.)

64. Николаева Е. А. О равновесном состоянии рынка ценных бумаг // Вестник КемГУ. Вып. 4,- 2000. - С. 54-60

65. Николаева Е. А. Анализ параметрической зависимости множества допустимых портфелей на рынке ценных бумаг // Мат. заметки ЯГУ. -2000. Том 7. - Вып. 1. - С. 120-129

66. Николаева Е. А. О равновесном состоянии рынка ценных бумаг: Тез. докл. Четв. сибир. конгр. по приклад, и индустр. математике. Н. - 2000. -С. 158-159135

67. Николаева Е. А. Существование равновесия на рынке ценных бумаг // ВестникКемГУ. Вып. 3. - 2001. - С. 49-55

68. Николаева Е. А. О применении модели Марковича на рынке ценных Бумаг // Мат. заметки ЯГУ. 2001. - Том 8. - Вып. 1. - С. 61 -66

69. Николаева Е. А. Геометрия множества допустимых портфелей на рынке ценных бумаг: Тез. докл. III Междунар. конф. по математическому моделированию. Якутск, 2001. - С. 101-102

70. Николаева Е. А. О двух аспектах равновесия на рынке ценных бумаг: Тез. докл. Четв. всерос. науч. конф. Новокузнецк. - 2001. - С. 55-58

71. Николаева Е. А. Существование равновесия в математической модели рынка ценных бумаг: Тез. докл. всерос. науч.-практ. конф. Анжеро-Судженск. - 2001. - С. 56-57

72. Николаева Е. А. Динамическая модель рынка ценных бумаг. Освобождение от фазовых ограничений : Тез. докл. XXIX конф. студентов и молодых ученых КемГУ. Кемерово. - 2002. - С. 281-283

73. Николаева Е. А. Содержательность во времени равновесных траекторий на рынке ценных бумаг // "Сибресурс 8 - 2002": Тез. докл. науч. конф. г. Кемерово, 2002. - С. (в соавторстве с Даниловым Н.Н.)