Температурная зависимость лондоновской глубины проникновения в купратных ВТСП тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Сюняев, Даниил Альбертович

• Сюняев, Даниил Альбертович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Сюняев, Даниил Альбертович

Введение....................................................... 3

Глава 1. Микроскопическая теория лондоновской глубины

проникновения в сверхпроводник вне приближения эффективной массы...........................................................8

1.1. Простой вывод формулы для глубины проникновения

постоянного магнитного поля через групповые скорости квазичастиц вблизи поверхности Ферми.................. 8

1.2. Вывод формулы для парамагнитного вклада через

корреляционную функцию «ток-ток»...................... 13

Глава 2. Температурная зависимость глубины проникновения в оптимально- и передопированных купратах....................... 21

2.1. Определение значения 2ДДвТ^ по данным о температурной

зависимости лондоновской глубины проникновения в сверхпроводниках типа La2-xSrxCuO4................... 21

2.2. Влияние ромбических искажений решетки на глубину

проникновения в YBa2Cu3O6.98.......................... 27

Глава 3. Лондоновская глубина проникновения в режиме сосуществования сверхпроводимости и волн зарядовой плотности . . . . 33

3.1. Модельный гамильтониан и его диагонализация.......... 33

3.2. Расчет функции Грина «ток-ток»....................... 42

3.3. Диамагнитная компонента сверхтока в режиме сосуществования

ВТСП и ВЗП............................................ 76

3.4. Полное выражение для глубины проникновения магнитного

поля в режиме сосуществования ВТСП и ВЗП ............. 77

3.5. Градиентная инвариантность и закон сохранения заряда. 92

3.6. Численные расчеты и обсуждение....................... 94

Заключение..................................................... 101

Список литературы.............................................. 106

3

Введение

Актуальность темы. Несмотря на то, что высокотемпературная сверхпроводимость (ВТСП) была открыта около 30 лет назад, до сих пор не существует микроскопической теории, которая бы объясняла природу этого феномена.

В настоящее время открыто большое количество ВТСП соединений, например La2-xSrxCuO4, Bi2Sr2CaCu2O8+5, ҮВа2СщО8. Важным структурным элементом таких соединений являются плоскости CuO2. Медь-кислородные слои на текущий момент считаются ответственными за сверхпроводимость. Ионы меди и кислорода образуют квадратную сетку, причем первые располагаются в узлах решетки, а вторые - на линиях, соединяющих эти узлы.

Как известно из соотношения братьев Лондонов, напряженность магнитного поля убывает экспоненциально с продвижением вглубь сверхпроводника. Характерная глубина проникновения X, называемая лондоновской глубиной проникновения, несет в себе важную информацию о микроскопических свойствах сверхпроводника.

Микроскопическая теория лондоновской глубины проникновения приведена в ряде книг [1, 2], однако при этом для расчетов используется приближение эффективной массы, которое не подходит для ВТСП.

Предпринимались, естественно, попытки выйти за рамки приближения эффективной массы при расчете глубины проникновения [3-10].

Вывод формулы для подсчета X в приближении сильной связи был приведен в [11]. Другой эквивалентный вывод той же формулы был дан в [12]. Важной особенностью формулы для глубины проникновения в приближении сильной связи является наличие членов, содержащих производную параметра порядка по волновому вектору.

Предпринимались попытки обобщить формулу для глубины проникновения на случай конкуренции сверхпроводимости с иными фазами [13]. Наиболее вероятной фазой, конкурирующей со сверхпроводящей в купратах с пониженным

4

индексом допирования, считается фаза волн зарядовых плотностей (ВЗП). В настоящее время ВЗП обнаружены в большом количестве недодопированых ВТСП купратов и активно изучаются [14-21]. В работе [22] предложен феноменологический вариант описания псевдощелевой фазы, и на его основе в [13] предложена формула для расчета температурной зависимости плотности сверхпроводящего тока и глубины проникновения магнитного поля в купратах. Однако, формула в [13] имеет очевидный недостаток: в отсутствие псевдощели она не сводится к формуле, полученной в приближении сильной связи [11].

Цель работы. Выявить возможность определения параметра порядка сверхпроводника по температурной зависимости глубины проникновения как для купратов с тетрагональной симметрией, так и для купратов с ромбическими искажениями кристаллической решетки. Вывести формулу для лондоновской глубины проникновения в режиме сосуществования сверхпроводимости с волнами зарядовой плотности (ВЗП), которая при отсутствии ВЗП сводилась бы к полученной ранее [11, 12].

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. По данным о температурной зависимости лондоновской глубины проникновения в сверхпроводниках типа La2-xSrxCuO4 определены значения 2Д/^вТ^.

2. По температурной зависимости лондоновсклй глубины проникновения в ВТСП с ромбическими искажениями кристаллической решетки (YBa2Cu3O7-g) оценены относительные величины параметров порядка с л- и типами симметрии.

3. Выведена и апробирована формула для расчета температурной зависимости лондоновской глубины проникновения в режиме сосуществования фаз сверхпроводимости и ВЗП.

Положения, выносимые на защиту.

1. Проведен анализ экспериментальных данных по глубине проникновения в соединении La2-xSrxCuO4. Определено значение соотношения 2Д/^Т^ для этого соединения.

5

2. Проведен анализ глубины проникновения в кристаллах с ромбической

симметрией (YBa2Cu3O7-g), позволивший получить оценку

относительной величины и ^-компонент сверхпроводящей щели.

3. Выведена формула для температурной зависимости лондоновской глубины проникновения в условиях сосуществования сверхпроводимости и ВЗП. Показано, что в этом случае ВЗП подавляет плотность сверхпроводящего тока. При этом конкуренция сверхпроводимости и ВЗП может приводить к немонотонной температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник.

Научная и практическая значимость. Полученные в данной работе результаты дополняют знания об электромагнитных свойствах ВТСП купратов. Развитые методы анализа данных по температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля могут оказаться полезными и для других соединений. Формула для глубины проникновения в режиме сосуществования сверхпроводимости и волн зарядовых плотностей, выведенная в данной работе, предсказывает ряд особенностей, которые могут послужить предметом для дополнительных экспериментальных исследований. Рассмотренная в данной работе модель может быть полезной для последующих обобщений в теории псевдощелевого состояния ВТСП купратов.

Достоверность результатов работы обеспечивается согласованностью с имеющимися экспериментальными данными, подробно задокументированным выводом излагаемых формул, многократной перепроверкой как аналитических, так и численных результатов работы, публикациями в престижных научных журналах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Температурная зависимость лондоновской глубины проникновения в купратных ВТСП»

Апробация работы

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XXXIII международная школа физиков-теоретиков «Коуровка» (Новоуральск, 22-27 февраля 2010), XIII International Youth Scientific School «Actual problems of magnetic resonance and its application» (Казань, 4-8 октября

6

2010), “Resonances in Condensed Matter” (2011, Казань), Moscow International Symposium on Magnetism (Москва, 21-25 августа 2011), 4-я международная конференция «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости» (Звенигород, 3-7 октября 2011), 55th Conference of International school of solid-state physics «Phase Separation and superstripes» (Erice, Italy, July 11-17, 2012), XV International Youth Scientific School «Actual problems of magnetic resonance and its application» (Казань, 22-26 октября 2012), всероссийская школа-конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «материалы и технологии XXI века» (Казань, 11-12 декабря 2014), XXXVII Совещание по физике низких температур НТ-37 (Казань, 29 июня - 3 июля, 2015), 5-я международная конференция «Фундаментальные проблемы

высокотемпературной сверхпроводимости» (г. Малахова Моск. обл., 5-9 октября 2015).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 4 научных статьях, входящих в перечень ВАК [Письма в ЖЭТФ (2), Journal of Superconductivity and Novel Magnetism, Journal of Low Temperature Physics], в 1 журнале, не входящем в перечень ВАК [Journal of Modern Physics] и в 10 тезисах российских и международных конференций.

Личный вклад автора состоит в:

* проведении численных расчетов при анализе экспериментальных данных по глубине проникновения; в выявлении значений ключевых параметров, необходимых для достижения соответствия расчетных кривых с экспериментальными данными;

* написании и отладке программ для расчета температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводники;

* в активном участии в аналитических расчетах по выводу обобщенной формулы для лондоновской глубины проникновения.

7

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, и списка цитируемой литературы. Диссертация изложена на 114 страницах, содержит 10 иллюстраций и 1 таблицу.

Во введении обосновывается актуальность работы, формируются цели и положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводится две различные методики для расчета лондоновской глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник в приближении сильной связи.

Во второй главе исследуется возможность использования полученных формул для анализа экспериментальных данных по глубине проникновения в оптимально- и передопированных образцах. Определяется отношение для 4Д

соединения La2-xSrxCuO4 и соотношение величин параметров порядка с J- и .s'-типами симметрии для YBa2Cu3O7-g. Теоретико-групповой запрет на смешивание J- и s-типов симметрии в соединении YBa2Cu3O7-g снят из-за ромбических искажений кристаллической решетки.

Третья глава посвящена обобщению формулы для лондоновской глубины проникновения на случай сосуществования сверхпроводимости с ВЗП. Полученные результаты сопоставляются с экспериментальными данными для соединения BiSrCaCuO.

В заключении формируется краткое резюме диссертационной работы, затем приводится список опубликованных работ и конференций, на которых автор докладывал свои результаты.

8

Глава 1. Микроскопическая теория лондоновской глубины проникновения в сверхпроводник вне приближения эффективной массы

Как уже упоминалось выше, глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник является важным параметром, который может дать нам ценную информацию об электронном строении сверхпроводящей фазы и, в частности, о параметре порядка ВТСП.

Для того чтобы рассчитать глубину проникновения магнитного поля в сверхпроводник исходя из основных его параметров (энергетическая щель, закон дисперсии, температура), необходимо для начала рассмотреть метод описания линейного отклика сверхпроводника на приложенное внешнее поле. Логично начать с простой ситуации, в которой конкуренции фаз нет, что соответствует случаю купратов с избыточным индексом допирования (передопированные купраты). Интересующую нас формулу можно получить несколькими способами. В настоящей главе приведено два метода получения такой формулы. Первый из них основывается на обычной теории возмущений и не требует предварительного ознакомления с релятивистки инвариантной теорией линейного отклика.

Этот метод, однако, имеет некоторые ограничения, о которых речь пойдет ниже. В этой связи, во второй части настоящей главы будет описана более совершенная методика с привлечением техники функций Грина. Обобщение этой техники на случай сосуществования сверхпроводимости с волнами зарядовых плотностей будет описано в Главе 3.

1.1. Простой вывод формулы для глубины проникновения постоянного магнитного поля через групповые скорости квазичастиц вблизи поверхности Ферми

Во внешнем магнитном поле амплитуда перехода заряда из точки i в точку j модифицируется следующим образом [23]:

9

exp [-' — j A^s] exp{-b— }.

(1.1)

Здесь векторный потенциал направлен вдоль оси х. Считая поле слабым,

проводим разложение в ряд,

-/ — .4,Л;;

=3. / g ей ;

—

1 - '-^ ей "

2 [ с-- J+...

(1.2)

Имеются поправки двух типов: линейные и квадратичные по векторному потенциалу. Рассмотрим линейную поправку,

= -^ү X ^-'4,Л,2'йХй',^. (1.3)

сй -,'

Векторный потенциал берем в виде разложения по гармоникам, как в [2]:

4, (Д0) = 14, (-'"- + -'"') + А.с., (1.4)

затем переходим к квазичастичным операторам. Результат сравниваем с

известным выражением для энергии Җ*'- =-14,", (-q) + Ас.

с

Таким образом, определяется выражение для оператора тока:

(1.5)

(1.6)

",(q)=- X

2й 4

6^; а(А; + )

+?,^

Здесь =Х - выражение для энергии квазичастиц в приближении сильной связи. Отметим, что в приближении параболических зон (когда =^= (йА)2/2т,

где w - эффективная масса носителей) формула (1.6) приобретает вид [2]:

", (?)=- X [2А,+?, +^,^

(1.7)

Таким образом, выражение для оператора тока (1.6) можно рассматривать как естественное обобщение известной формулы (1.7), которая справедлива лишь в приближении слабой связи (в случае параболических зон), с изотропной эффективной массой носителей.

10

Гамильтониан сверхпроводника с учетом членов, линейных по векторному

потенциалу, имеет вид:

=Х

=Х дййй,

СЙ X

-' — X + ЙС.

СЙ и,/

Э^й +? + Э^й

Э(й.+ ) Эй.

+ —-

Э(й. + ) ЭУ

(1.8)

Я + Я, .

й+0", й, ст

+

X

Я+^, +

Здесь й^ (й^) - операторы рождения (уничтожения) боголюбовских квазичастиц.

Поправочные члены записаны через обычные операторы. Выразим их через операторы Боголюбова. Так как выражение в квадратных скобках является нечетной функцией, удобно сразу выделить разности

= (яй^ + ууХ^, й ' -йД, ^й-й, J-

й-д, +йр, 'й-й,

я+'Я^, ' - ЯД,^ я-й,^ -(яйУ^ - )(йй, '

(1.9)

й

где

1

2

1+^

2 1 и у2 =-

й 2

(1.10)

. Дй

Для глубины приобретает вид:

получения

проникновения следует положить q=0, тогда оператор

формулы для температурной зависимости лондоновской

энергии

(q = о) = X ДйИй^йГ'+X

й, ЙС й

ЭГ

Эй.

(й;"0йуйй").

(1.11)

Отсюда находим, что в поле однородного векторного потенциала боголюбовских квазичастиц переписываются следующим образом

энергии

д.' = д, + Д.,

йс Эй^.

у еЛ""=° Э^

(1.12)

йс Эй^.

Полученные формулы являются естественным обобщением известных

формул в приближении слабой связи (см., например, (3.108) в [1]). Далее находим

среднее значение тока:

11

7.(q = 0) = g(< >)

Л , бу.

= g [f (У) - f (У)]

л , a,t

(1.13)

Функции распределения Ферми f() раскладываем в ряд по

векторному

потенциалу, ограничиваясь линейными членами:

1

1 _ + JL

/(^ - ^)2 +iA I2 ағ, лс a,.

1 + exP( ) 1 + exp^(^^Li^&) У .

^=0

(1.14)

Подставляя их затем в (1.13), получаем среднее значение компоненты тока

п2

7. (q = 0) = - ^;=0

2е'

af (ғ,)

(1.15)

которую называют парамагнитной. Такая терминология появилась по аналогии со сложившейся в теории парамагнетизма и диамагнетизма. Парамагнитный член в исходном гамильтониане связан с линейными поправками по полю, а диамагнитный - с квадратичными.

Теперь мы рассмотрим диамагнитную компоненту. Она появляется благодаря квадратичным поправкам к оператору кинетической энергии.

җ(2 = 1 1Х)2 <.А.?.

(1.16)

В (1.16) перейдем к квазичастичным операторам и усредним поправку к энергии по основному состоянию сверхпроводника. Таким образом, для диамагнитной

компоненты тока имеем:

2 ^2/

7''(q = 0) = -T=0 гт,2 < ^+, . > л с,,. a(y.)

.. g2 a2 г + = - < [MW t- y,w-,,

л с,,. а,)

,t - ,^]+ ... >

(1.17)

g2

= -2T^=0 лХ Х

б 2у,

a(,. )2

22

-

+ У

2

,

+ 1

12

В приближении слабой связи вторая производная д , как легко видеть, не ^(4)

будет зависеть от волнового вектора. В этом случае сумма Х( - есть число

носителей тока, которое не зависит от температуры.

При численных расчетах формулу (1.17) удобно преобразовать следующим образом. Суммирование в (1.17) заменим интегрированием путем введения плотности состояний, после чего интеграл берем по частям. Учитывая, что

плотность состояний на дне и потолке зоны равна нулю, находим:

7^ (q = 0) = ^^2 ^,'=о *

ей2 " дй.

2 2

дй —+1 й

(1.18)

д

Теперь, когда у нас есть выражения для среднего значения оператора тока, мы можем вывести полную формулу для глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник.

Подставляя коэффициенты Боголюбова (1.10) в (1.18), с учетом (1.5), получаем следующую формулу:

± = 4^—Yjx— Л дГ (Г -^) д Л " 1 д " tanh^ )

22 L ей дй. дй. дй. L JJ

Здесь (^-^)2 + ]Л12 , а Л - параметр сверхпроводящей щели, который в

общем случае может быть комплексным. Заметим, что в формулу (1.19) входит

модуль параметра порядка, и поэтому она инвариантна относительно градиентного преобразования потенциалов электромагнитного поля. Видно также, что при Г>Гс величина 1/ (плотность сверхпроводящей компоненты - superfluid density) обращается в ноль, как и в случае приближения эффективной массы. Отметим, что промежуточный вид формулы (1.19), до интегрирования по частям, соответствует варианту, приведенному в [5-7], а после интегрирования, варианту работы [9, 12]. Описанный выше метод вывода формулы (1.18) предложен в [12].

13

1.2. Вывод формулы для парамагнитного вклада через корреляционную функцию «ток-ток»

Представим оператор энергии в виде:

У = ТУ. + и.

(1.20)

Здесь И - оператор, описывающий взаимодействие носителей тока с векторным потенциалом магнитного поля A. Используя формализм S' - матрицы (теория возмущений, зависящих от времени) имеем

У

I = S (/. ' 0 )] 0 = [1 - ' j И (У; )^/; + ...]1 ^(/0 , (1.21)

'0

где И(^) = е'^0'1^-'^0'1 - оператор возмущения в представлении взаимодействия.

Среднее значение произвольного оператора F(?) равно

)] (' =

(^(/о ) ]Ғ(')] ^(/0 + ' j ^'1 (^(?0 ) ]И(У; )Ғ(') - F(')И(/; )] ^(/о ))

'0

=(^(у0)] (' )к(у0^+

+' j (^(^) g'^0'1 И- 0'1 -'У0'Ғ- "^0'

'0

- Җ/ ^- -'У 0' - 'У 0'1 И- -'^0'1

^(^0))

(1.22)

= (^(У0)] (' )к(У0^ +

+' j [-'^0('1 -') (^(^) ]и- "^1 -') F] ^(^)) - -'^0('-'1) (^(^) ] Ғ- "^0('-'1)и] ^('о ^.

'0

Здесь учтено, что волновые функции в начальный момент времени являются собственными функциями нулевого гамильтониана.

Оператор взаимодействия тока с полем запишем в виде [24]:

и = --X'.(^)4.(r.') - у X ^.(r)42(r,'). (L23)

r 2 r

Тогда суммарный ток

6И

(r.') = (r) + (r) 4^ (r.').

64а(Г.')

(1.24)

14

Здесь первое слагаемое - парамагнитный ток. Диагональный матричный элемент его на функциях )) равен нулю. Это следует уже из правил отбора по четности. В этой связи потребуется учесть второе слагаемое в (1.22), которое соответствует второму приближению теории возмущений.

Второе слагаемое в операторе (1.24) - диамагнитная компонента тока. Этот оператор четный относительно преобразования инверсии. Его матричный элемент отличен от нуля уже в первом приближении.

Векторный потенциал задаем в виде

ДХЕ 7) = j ДДЕД^Э^.

В формуле (1.22) подставляем

(?) = -2. (Е ?) = j .. (г, ^'^.

(1.25)

(1.26)

При этом ограничиваемся первым приближением по векторному потенциалу (линейный отклик).

В правой части (1.22), под интегралом, вместо Е подставляем:

7. (r' )Д. (r',',) = Л (r') j Д. (r', ,

Г' Г' -ж

и вместо оператора F ставим компоненту тока из (1.24):

= ..(Е 7) = ДДг) + е'(r)ДД^ 7).

(1.27)

(1.28)

В линейном приближении по векторному потенциалу получаем

2.(r,^) =

^0(71 -7) < 7.(r')д.(r',Д)e"'^(71 -7)e"^0(71 -7(7.(r) >

-6'^0(7-71) <7.(r)6-'^0(7-71(7.(r')^.(r',^)6-(71 -7) >

< 7.(r')6'^°Y(r)E'^> '

-< E^0\7.(r)6-'^0\/.(r') >

6"'^^д.(r',Д)

(1.29)

-'Ж.г

д < (r) >(r,^<- '6' xj

Г' 7о

=(r) >Д. (r,^<- 'б' Xj

Г' 7o

= Д (r) > -'6'X j7.(r'L7.(r,E) >-<7.(r,^).7.(r') >]^""A(r',Д).

Г' 0

Здесь использованы следующие преобразования. Взаимодействие включается адиабатически, т.е. время включения . Затем замена переменных

15

интегрирования ' = -т . Пределы интегрирования изменяются = -ж^у = ж ,

у = о . Квадратичные члены по векторному потенциалу отброшены.

Введено обозначение (г, у) = (г)е'^0^ . Далее, сравниваем (1.29) с

определением коммутаторной функции Грина

« УДфД0) >>=^(') < 7,(Ф'Д0)- 7'^(01/,(') >, (1.зо)

и её фурье-образом

<< Д('7'^(0) >>^ f << 7,('7^(0) >> . (1.31)

Сравнивая, имеем:

-2.(г,") = < К,(r) > Д,(г,") + 2^e''X<< ',(г','7,(г) >>" Д/Г"), (1.32)

Е 2,(q',^)e"' =

7V q'

= < ^, (Ri) > Д, (Ri,") + 2^?"'Е << 7,(г','7, (Ri) >>" Д,(г',") =

г'

2

=Е< ^,(q') > ^,(q,^)^"q'+q'Rl

7V q'

2

+2^4 Е<<7,(q',')7,(q'')>> 4,(q,")^'q'R- +'q'Rl+'qR-V q',q'',r'=R-

Домножаем на e ' qRl и суммируем по индексу Z:

2, (q,") =

=Е< ^, (q') > Д, (q,")^q',0

q'

2 -

+ 2^e) Е<<7,(q',')./,(q") >>" 4,(q,")e'q'R- +'qR-^,-„

V q',q'',R-

=< ^,(q = 0) > ")+2^e'' << 7, (q) >>" ").

Далее переходим к фурье-компонентам

2,(R,,") = У Е 2,(q,")e'qRl,

7V q

Д,(R-,") = ^,(q,^)e'qR-.

Так как в равновесном состоянии импульс может быть лишь нулевым,

< ^, (qi- q) >=< ^, (q = 0) > 4, ,q.

(1.33)

(1.34)

(1.35)

(1.36)

(1.37)

16

Надо также учесть, что

« 7. (q', -)1 7. (q) =« 7. (-q. -)] 7. (q) >>^^,. -q - (1-38)

В итоге, получаем:

<4(^) = [g" < ^.(q = 0) > +2лг'7 <<7.(-q,-)7.(q) >>^l^.(q,^) . (1.39)

Лондоновская глубина проникновения измеряется в постоянном поле.

Переходя к пределу 0 и q 0 получаем:

=1 [g[< (q =0) > -2^^' << 7. (-q^7. (q) >>^^o,q^o ]э. -

Учитывая, что

д 2-

< (q = 0) >= -Xyy-yr < я^я^,- >'

д(й.)

(1-40)

(1-41)

получаем следующее выражение:

1

4яТ2

Г g) 2

V ей J

т^д(^ )2 , ,

п й )2

> -2я/ —

V )

<< 7. (-^I7'.(%) >>^о,^о

(1-42)

(1-19)-

Эта формула имеет более широкую область применения, чем

Покажем, что (1-42) сводится к (1-19) в случае однофазного сверхпроводящего

состояния-

Преобразования Боголюбова имеют вид

.7 = м*яХ- ,1,

.^ = м^я^ + Т^я-^ ,7 -

(1-43)

Здесь - коэффициенты преобразования Боголюбова (1-10)-

После преобразования Боголюбова гамильтониан примет диагональный вид: =-1 X ,^ -

(1-44)

Для сокращения записи удобно обозначить p=k+q- Тогда (1-6) преобразуется к

д^. дй.

7. (-q) = ^^ X

2й Y

яя,

2й

_д-^+ д^.

д/ ) [[м,.

—& J -дй. J + [м.

- т,я-][м^я^,1 - ,7]

'^ + ][м,.2 ]

17

(1.45)

аг а(

-—X

а(; а(р р

а(; а(р z +

а^ Л" р р,р -

аГ а(р /

аГ (.

--— +---— М М.(.Э., ^+.Т., i)

я;' р р, I ;, I р,^ ;,^*

X

2Й

X

2Й

X

2^ X

а;. ар.

ас"

ар.

а(.

ар. а(.

. ар.

'-р,^.-р ,^ + .-р,р.-; ,р)

-; ,^

- р,^.; ,1

.р,^.-; ,р)

.-р,.; ,^).

Это выражение может быть использовано, чтобы разбить функцию Грина «ток-ток» в (1.40) на части:

<< 7. (q^ 7з (-q) >>=

а(

а;.

аУ; а^

аУ;

а;.

_а(;

а;

=—X

2Й

+—X

2^

X

2^

X

2^

р

Ф.

ар.

Ф.

+ ^(р . ар.

+

м;мр << (^,ф%ф + .^.р,^ 7з (-^) >>

ГТр

м;^р

<< (.-;,.-рТ + .-;7.-р7 73 (-^) >>

<< (^+,ф^-р,^

<< (^%t

(1.46)

-^+T^Xt 7'з (-^) >>

-.-;,р.р7 7 (-^) >> .

-; 7

диагонален на операторах а, мы можем

Благодаря тому, что гамильтониан рассчитать все функции Грина в выражении (1.46) порознь.

Функция Грина операторов Э и Б определяется из следующего уравнения [25]:

6? << Т ] < [Т, ^] > + << [Т, ».

2^

(1.47)

Тогда:

(^ + Е; - .Ер) << ^+,ф^р,^7з (-q) >>=

/ е

= 2^ 2^

/ е

2^ 2^

/ е

.+

; ,р

а; 3 '

аГ

_р_

аЕ'з а(р,

М^Мр4иХр,р^ - и,;0

+

2^ 2^ Зр^

а( - р

е

+------

2^ 2^ а(-р)

+

а;ар'

а(; .

а;з _'

I а(-; .

з а(-;)з_

Г^р'&И^р,-;, + и р^;,_ р0

3 _

М;Мр (ир - ир )

(и р - X

(1.48)

7 g

7 g

18

(1.49)

отсюда следует, что:

7у (-q) »=

2^ 2й ф

Далее:

7у (-q) >>=

2^ 2^ a^

a/^ I a/, (M,M,+T,T^)(^- ) у a,g

a^+_a/^ 1 (M,M,+T„^ )(^i- ) у a,y

^+ E, - E^

^+ - E^

ф + E-+ E,) << 7у (-q) »=

+ ^/p_

'у aP'a a/, + ^/.L"

ф_

у I a/,

2^ 2^ 7 a,^

a/-, , a/-. a(-^a(-

у a/^ +_a^

2^ 2й 77 a^^ ay

g

2^ 2^ 7

v^M,'(^^-^-- [p - ]J,,,)

g

+------7

2^ 2^ У

7 g

g

+------7

2^ 2^ У

7 g

следовательно:

т^.м,(-и^- ^,, + [ p - ]J,,-

(и^- [ p - и) ])

v,M^(-^ +[ p - ])

(v^M^- )(и1+ - p).

(^+p- + E,)« 7у (-q)»

7 g

V a/^ I a/, 2^ 2A a^y a,^

(v^M^ - T,M^ )(^i + - p).

(1.50)

(1.51)

Уравнение на следующую функцию, содержащую перекрестный член имеет вид:

(ф- E^- Е-,) << ^-, 7у (-q) >>

g

= 2^ 2Д

_ay_ a^' у

_a/^

a^' у

+

2^ 2Д фу

g

+------7

2^ 2Д у

7 g

+

g

2^ 2Д

-,ДУД

+ ат^ a^' у

з/^

+ aP ' у )

_ay

a,.„

v,4[p - ]У, - И^-, ,-,0

M^T,'(-[Р - ]^^,,-, + И^-^'-, )

M^v,(Р - - ) у _

(1.52)

a/-, + ^/^_

a(-^ )у a(-ру)

M,v^(-Р + + )

g

2^ 2Д

, a/, Фу ay

(M^v,- M,v^)(Р - - ).

7 g

2^ 2^

19

(1.53)

Отсюда получаем:

(^ _ Ер - Е_, ) << ^_,,^] /g (_q) >>

<(р +^_

(^Р^^ _ ^,тр)(^ _ ).

Наконец, последнее уравнение имеет вид:

+ Е_р _ Е_,) << а_,/g (-q) >>

7 g

2^ 2й у

7 g Х*л

+------у

2^2й

7g

2^ 2й

7g

-)-----

2^ 2й

7g

2^ 2й

<P'g

У,' У,' _? [-(-"_, + ^)^_ р,у + (-"_р + ^)^_,, pl

Тр1(-"_, + ^)^_р,_р' _ (-"-р + ^)^_,,_,]

<(_, I <(_ р

<(-,g) <(-P)g

м^Мр (_^ip+ )

(1.54)

I _<4 <p'g <%g

трт,(-"-, + "-р)

<(р +^4

<pg <%g

(М^Мр + ТрТ,)(^ip _ и),у

<^'g cp'g

откуда следует, что

<<^-^т^^т1 yg (-q) >>= 7 g

<^ + (МрМр + ТрУ^ )(и

2^ 2Д <pg <,g

'_р -)

^ + Е- р _ Е-,

Поскольку гамильтониан системы диагонален на операторах а, то = /(Е,).

(1.55)

(1.56)

Теперь мы можем подставить (1.49), (1.51), (1.53), (1.55) в (1.46) и получить

явное выражение для функции Грина «ток-ток». Проделав это, нетрудно убедиться, что

<< (q^ yg (-q) >>^

2/F Т

2^(2йJ

<р^

<(р +^_

<pg <%g

(^, q),

(1.57)

X

где

. . / , «(Ер)-/(Е,) , ^/(Е,)-/(Д,)

(^, q)=("*"р+ Т,Т, +^Е + т,тр (","р+трт, Г+Р _/

< «(Е,)+ /(д,)_ _ /(Е,)-/(д,)

+ Т,«р _ М,Тр )------------+ Т,«р (т,Мр _ Тр«, )------.

,р\р р ,р/ ^-_ Е_^ р р^ ^ + Е_^ +

(1.58)

20

Для получения расчетной формулы для лондоновской глубины проникновения, соотношение (1.57) следует подставить в (1.42). Имея ввиду, что

в случае постоянного поля 0, q 0, Е, получаем

(^^ 0, q 0) = " (м,"

2

+г

22 +

, .2/(Е,)-1

- (мгТг - )---------+

2Е-г

, Д - 2/(Е,) /(Е,)

(Тгмг - )— = '

2Ег аЕг

(1.59)

Тогда формула для глубины

проникновения постоянного магнитного поля

принимает вид:

1 Г«) 2 >- 2^ 2 / (Е,)

4 Л2? L ей J a,,J

(1.60)

при этом корреляционная функция в диамагнитной компоненте может быть расписана следующим образом:

< <^>= м2./(ЕЕ )+гУ(- Е, ). (1.61)

Для оптимизации расчетов выражение (1.60) можно взять по частям и объединить

две суммы. Тогда получится следующее выражение:

= 4J— Yjx—

2.2 L ей ЭЕ.

А аЕЕ (е, -^) а А * 1 а " tanh

_ г2 аг. 2Е2 ЭЕ. _ _ Е,

J)

2Е.Е JJ

(1.62)

Видно, что оно идентично (1.19).

Несмотря на то, что методика, описанная в первом параграфе настоящей главы, является более краткой и понятной, она имеет несколько ограничений. Дело в том, что когда в системе учитывается наличие других фаз (например, ВЗП), расчет парамагнитного тока требует применения второго порядка теории возмущений по разности энергий подзон, которые, в общем случае, могут совпадать в ряде точек на контуре Ферми. Это вызывает ряд технических сложностей и ставит под сомнение выводы, сделанные с помощью такой формулы. Напротив, методика, содержащая функцию Грина «ток-ток», лишена этого недостатка, так как не предполагает разложение по разности энергий подзон.

21

Глава 2 Температурная зависимость глубины проникновения в оптимально- и передопированных купратах

Формула (1.62) позволяет рассчитать температурную зависимость лондоновской глубины проникновения в ВТСП при различных значениях параметров зоны проводимости и сверхпроводящей щели. Главная цель - по температурным зависимостям глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник попытаться получить сведения о параметрах сверхпроводящей щели.

В первом параграфе будут описаны результаты нашего анализа температурных зависимостей магнитной глубины проникновения для соединений типа La2-xSrxCuO4. Поскольку происхождение псевдощелевой фазы пока не выяснено, мы ограничиваемся рассмотрением образцов с оптимальным и избыточным допированиями. Во втором параграфе данной главы будет обсуждаться соединение с ромбическими искажениями кристаллической решетки. Из-за ромбических искажений теоретико-групповой запрет на смешивание компонент сверхпроводящей щели л- и J-типа снимается, поэтому оказывается возможным оценить их обе одновременно.

2.1 Определение значения 2A/A^7^. по данным о температурной зависимости лондоновской глубины проникновения в сверхпроводниках типа La2-xSrxCuO4

Уже первые исследования температурной зависимости лондоновской глубины проникновения в купратных ВТСП показали, что она отличается от таковой в обычных сверхпроводниках [26]. В частности, при низких температурах она оказалась линейной, что явилось одним из первых указаний на d-тип спаривания в купратах. Важным параметром сверхпроводников является отношение 2Д/^дГс. Логично поставить вопрос: а какую информацию можно получить об этой характеристике ВТСП, анализируя имеющиеся

22

экспериментальные данные по температурной зависимости плотности лондоновской глубины проникновения? Для решения этой задачи требуются знания о таких характеристиках ВТСП купратов, как поверхность Ферми, закон дисперсии квазичастиц, температурная зависимость сверхпроводящей щели.

Наиболее распространенный способ экспериментального определения параметров поверхности Ферми в ВТСП - это фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (angle resolved photoemission spectroscopy - ARPES). Когда высокоэнергетичный фотон рассеивается на исследуемом образце, он "выселяет" электрон из занятого им состояния, в результате чего в электронной жидкости образуется "дырка". Анализ интенсивности "выбитых" электронов дает информацию об изначальном распределении электронов по энергии и импульсу.

В соответствии с обзором [27], степень допирования существенно влияет на температурную зависимость глубины проникновения (см. рисунок 1 ). Принято считать, что псевдощель отсутствует в сверхпроводниках с избыточным допированием, или же ее влияние незначительно [28, 29]. В этом случае может быть использована формула (1.62). С другой стороны, в [30] присутствуют данные ARPES для этого соединения, как для недодопированного состояния, так и для сверхпроводника с избыточным допированием. В соответствии с

результатами этих экспериментов закон дисперсии принимает следующий вид:

^ = ^ - 2^ (cos + cos ,ул)_ 4?з

cos cos - 2^ (cos 2,^ + cos

2^).

(2.1)

Параметры и приведены в Таблице 1.

Таблица 1. Химический потенциал и интегралы перескока, определенные в результате анализа экспериментов по ARPES [30].

La2-xSrxCuO4 ^, эВ 0, эВ ^, эВ ^, эВ

х = 0.20 0.215 0.25 -0.034 0.017

х = 0.22 0.22 0.25 -0.325 0.0162

х = 0.24 0.227 0.25 -0.032 0.0159

23

т,к

Рисунок 1 - Температурная зависимость величины, обратно пропорциональной квадрату лондоновской глубины проникновения в La2_xSrxCuO4, по данным работы [27].

24

Известно, что в ходе экспериментов по ARPES, детектируемые электроны выбиваются в основном с поверхности исследуемого образца, поэтому интегралы перескока, полученные таким образом, могут нести значительные неточности. Между тем, величина интегралов перескока сильно влияет на расчетную величину глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник. В этой связи, для того чтобы нивелировать влияние неточности интегралов перескока и одновременно с этим выявить качественные свойства температурной зависимости лондоновской глубины проникновения, были построены нормированные графики этих зависимостей. Семейство таких графиков приведено на рисунке 2.

Интересно сравнить такие графики с экспериментальными значениями [27]. Пример такого сопоставления приведен на рисунке 3. Для проведения расчетов мы задаем критическую температуру и закон дисперсии, наблюдаемые экспериментально в [27]. Затем, варьируя параметр щели Л., мы подбираем его

таким, чтобы формула (1.62) наиболее точно соответствовала экспериментальным данным. Параллельно с нашими расчетами аналогичные исследования для других образцов проводились в [12, 31]. В частности, было установлено, что отношение 2Л

—- при оптимальном допировании для Ti2Ba2CuO6+g составляет ~4.5, а для

Bi2Sr2CaCu2O8 - около 6.5.

Подчеркнем, что определенное нами отношение

2Л.

имеет тенденцию

уменьшаться с увеличением допирования. Этот результат можно интерпретировать как ослабление сильных корреляций в сверхпроводнике с избыточным допированием по сравнению с оптимально допированным образцом. Стоит отметить, что анализ температурных зависимостей, проведенный в [13] показал, что подобные тенденции наблюдаются и в других соединениях купратов. Эта особенность, по всей видимости, отражает фундаментальные свойства ВТСП

купратов.

25

A--(O) / ^'(T)

Рисунок 2 - Относительная зависимость плотности сверхпроводящего тока от

2Л 2Л

величины —рассчитанная по формуле (1.62). Значение —-=4.8 - пунктирная

линия, 6.8 - штрихпунктирная и 8.8 - сплошная.

26

X '(0) / X

Рисунок 3 - Температурные зависимости величины, обратно пропорциональной квадрату лондоновской глубины проникновения в передопированном La2_xSrxCuO4. Символы (ромбы, треугольники, окружности) - экспериментальные данные из [27], сплошные линии - расчеты с использованием формулы (1.62). Отношения 2До/%в7). равны 6.1(1), 5.8(1) и 5.4(1) для х=0.20, х=0.22 и х=0.24,

соответственно.

27

2.2. Влияние ромбических искажений решетки на глубину проникновения в ҮВа2Си3Об.98

В тетрагональном кристалле параметры порядка с J- и л- типами симметрий одновременно существовать не могут. Решение интегрального уравнения на параметр порядка должно преобразовываться по одному из неприводимых представлений точечной группы симметрии зоны Бриллюэна.

При наличии ромбических искажений в решетке ситуация меняется. Оба типа симметрий преобразуются по одному и тому же неприводимому представлению ромбической группы. Таким образом, теоретико-групповой запрет снимается, и параметр порядка может иметь как J-, так и л- компоненту. Считается, что за J- и л- компоненты ответственны различные взаимодействия. В этой связи представляется важным выяснить их относительные вклады в полную щель в кристаллах с ромбической симметрией. Такая задача уже ставилась в исследованиях по ARPES и по рассеянию нейтронов, но лондоновская глубина проникновения в этом аспекте не анализировалась.

Предполагается, что в купратах доминирует компонента с симметрией d-типа. Об этом свидетельствуют различные данные: ARPES [32], анализ экспериментов по рассеянию нейтронов [33, 34], эксперименты по

туннелированию электронов с угловым разрешением [35, 36], а также эксперименты по рамановской спектроскопии [37].

По ряду причин для этих целей хорошо подходит кристалл YBa2Cu3O7-g. Во-первых, этот кристалл обладает анизотропными свойствами, что позволит выделить компоненту параметра порядка, не зависящую от волнового вектора. Во-вторых, для этого кристалла присутствуют данные о температурной зависимости лондоновской глубины проникновения вдоль разных осей [38]. Наконец, для этого кристалла есть оценки интегралов перескока, входящих в закон дисперсии [33, 39], уже подразумевающие анизотропию, что позволит нам получить разную величину глубины проникновения вдоль осей a и b.

28

Закон дисперсии для расчетов берется в соответствии с [33], в следующем

виде:

^ = ^ + ү (1 + J) cos (1 - J) cos cos cos (1 + J) cos 2^ +

+ (1 - J) cos 2^ + (cos 2^. cos + cos cos 2^,)+ cos 2^. cos 2^,,

(2.2)

где й=588.1 meV, ^2=146.1 meV, ^3=9.5 meV, ^=-129.8, ^^5=6.9 meV, p=110 meV,

8=-0.037 meV.

Дисперсия параметра порядка бралась в следующем виде:

А =А(cos-cos)+А2,(cos+ cos)+А,. (2.3)

При этом температурные зависимости разных компонент считались одинаковыми и соответствующими данным ЯМР [40]:

А(Г) = А(0) tanh

(2.4)

Как уже отмечалось выше, оценки интегралов перескока несут в себе большие неточности, но в то же время сильно влияют на величину глубины проникновения. Для того чтобы минимизировать влияние этих неточностей и выявить качественные особенности, при дальнейшем анализе фитировались нормированные кривые температурной зависимости глубины проникновения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сюняев, Даниил Альбертович, 2016 год

Список литературы

1. Tinkham, M. Introduction to Superconductivity [Text] / M. Tinkham. -New York : McGraw-Hill, 1996. - 454 p. - ISBN 0-07-064878-6.

2. Schriffer, J. R. Theory of Superconductivity [Text] / J. R. Schriffer. - New York : Benjamin, 1964. - 282 p. - ISBN 0-7382-0120-0.

3. Scalapino, D. J. Superfluid density and the Drude weight of the Hubbard model [Text] / D.J. Scalapino, S.R. White, S.C. Zhang // Phys. Rev. Lett. - 1992. -Vol. 68, iss. 18. - P. 2830-2833.

4. Xiang, T. . Axis Superfluid Response of Copper Oxide Superconductors [Text] / T. Xiang, J.M. Wheatley // Phys. Rev. Lett. - 1996. - Vol. 77, iss. 22. - P. 46324635.

5. Benfatto, L. Gap and pseudogap evolution within the charge-ordering scenario for superconducting cuprates [Text] / L. Benfatto, S. Caprara, C. Di Castro // Eur. Phys. J. - 2000. - Vol. 17, N 1. - P. 95-102.

6. Wang, Q.-H. Superfluid Density in the Underdoped YBa2Cu3O7-x: Evidence for d-Density-Wave Order of the Pseudogap [Text] / Q.-H. Wang, J.H. Han, D.-H. Lee // Phys. Rev. Lett. -2001. - Vol. 87, iss. 7. - P. 077004, 1-4.

7. Micnas, R. Superfluid properties of the extended Hubbard model with intersite electron pairing [Text] / R. Micnas, B. Tobijaszewska // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2002. - Vol. 14, N 41. - P. 9631-9649.

8. Bussmann-Holder, A. Polaronic origin of the isotope effect on the London penetration depth in high-temperature superconducting oxides [Text] / A. Bussmann-Holder, R. Micnas, A.R. Bishop // Phil. Mag. - 2004. - Vol. 84, N 12. - P. 1257-1264.

9. Sheehy, D. E. Unified theory of the ab-plane and c-axis penetration depths of underdoped cuprates [Text] / D. E. Sheehy, T. P. Davis, M. Franz // Phys. Rev. B. - 2004. - Vol. 70, iss. 5. - P. 054510, 1-12.

107

10. Kim, M.S. Reflection of a two-gap nature in penetration-depth measurements of MgB2 film [Text] / M.S. Kim, J.A. Skinta, T.R. Lemberger // Phys. Rev. B. - 2002.

- Vol. 66, iss. 6. - P. 064511, 1-5.

11. Misawa, S. London penetration depth in a tight-binding model of layered narrowband anisotropic superconductors [Text] / S. Misawa // Phys. Rev. B. - 1995. -Vol. 51, iss. 17. - P. 11791-11797.

12. Eremin, M. V. London penetration depth in the tight binding approximation: orthorhombic distortion and oxygen isotope effects in cuprates [Text] / M. V. Eremin, I. A. Larionov, I. E. Lyubin // Journal of Physics: Condensed Matter.

- 2010. - Vol. 22, N 18. - P. 185704, 1-6.

13. Effect of pseudogap formation on the penetration depth of underdoped high-Tc cuprates [Text] / J.P. Carbotte, K.A.G. Fisher, J.P.F. LeBlanc, E.J. Nicol // Phys. Rev B. - 2010. - Vol. 81, iss. 1. - P. 014522, 1-13.

14. Chen, C.-W. Charge density waves in strongly correlated electorn systems / Chih-Wei Chen, Jesse Choe, E. Morosan // Rep. Prog. Phys. - 2016. - Vol. 79, N 8. -P. 084505, 1-15.

15. Competition of Superconductivity and Charge DensityWaves in Cuprates: Recent Evidence and Interpretation / A.M. Gabovich, A.I. Voitenko, T. Ekino, Mai Suan Li, H. Szymczak, M. P$kala // Adv. in Cond. Mat. Phys. - 2010. -Vol. 2010. - P. 681070, 1-40.

16. Benfatto, L. Optical-conductivity sum rule in cuprates and unconventional charge density waves: a short review / L. Benfatto, S.G. Sharapov // Low Temperature Physics. - 2006. - Vol. 32, iss. 6. - P. 533-545.

17. Remarkable Stability of Charge Density Wave Order in La1.875Ba0.125CuO4 / X.M. Chen, B. Thampy, C. Mazzoli, A.M. Barbour, H. Miao, G.D. Gu, Y. Cao, J.M. Tranquada, M.P.M. Dean, S.B. Wilkins // Phys. Rev. Lett. - 2016. - Vol. 117, iss. 16. - P. 167001, 1-6.

18. Inhomogeneity of charge-density-wave order and quenched disorder in a high-Tc superconductor / G. Campi, A. Bianconi, N. Poccia, G. Bianconi, L. Barba, G. Arrighetti, D. Innocenti, J. Karpinski, N.D. Zhigadlo, S.M. Kazakov,

108

M. Burghammer, M.v. Zimmermann, M. Sprung, A. Ricci // Nature. - 2015. -Vol. 525, iss. 7569. - P. 359-362.

19. Blackburn, E. X-ray diffraction srudies of charge density waves in cuprate superconductors: A brief review / E. Blackburn // Phys. B: Cond. Mat. - 2015. -Vol. 460. - P. 132-135.

20. Three-dimendional charge density wave order in YBa2Cu3O6.67 at high magnetic fields / S. Gerber, H. Jang, H. Nojiri, S. Matsuzawa, H. Yasumura, D.A. Bonn,

R. Liang, W.N. Hardy, Z. Islam, A. Mehta, S. Song, M. Sikorski, D. Stefanescu, Y. Kivelson, T.P. Devereaux, Z.-X. Shen, C.-C. Kao, W.-S. Lee, D. Zhu, J.-S. Lee // Science. - 2015. - Vol. 350, iss. 6263. - P. 949-952.

21. Charge ordering in the electron-doped superconductor Nd2-xCexCuO4 / Eduardo H. da Siilva Neto, Riccardo Comin, Feizhou He, Ronny Sutarto, Yeping Jiang, Richard L. Greene, George A. Sawatzky, Andrea Damascelli // Science. - 2015. -Vol. 347, iss. 6219. - P. 282-285.

22. Yang, K.-Y. Phenomenological theory of the pseudogap state [Text] / K.-Y. Yang, T.M. Rice, F.C. Zhang // Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 73, iss. 17. - P. 174501, 1-

10.

23. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике [Текст]. В 10 т. Т. 9. Квантовая механика II / Р. Фейман, Р. Лейтон, М. Сэндс. - М. : Мир, 1967. -226 с.

24. Dagotto, E. Correlated electrons in high-temperature superconductors [Text] /

E. Dagotto // Rev. Mod. Phys. - 1994. - Vol. 66, iss. 3. - P. 763-840.

25. Кузьмин, Е.В. Физика магнитоупорядоченных веществ / Е.В. Кузьмин, Г. А. Петраковский, Э.А. Завадский ; Отв. ред. д-р физ.-мат. наук Г. А. Петраковский ; АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т физики им. Л.В. Киренского. - Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1976. - 287 с.

26. Precision Measurements of the Temperature Dependence of X in YBa2Cu306.95: Strong Evidence for Nodes in the Gap Function / W.N. Hardy, D.A. Bonn, D.C. Morgan, Ruixing Liang, Kuan Zhang // Phys. Rev. Lett. - 1993. - Vol. 70, iss. 25. - P. 3999-4002.

109

27. Effects of carrier concentration on the superfluid density of high-Tc cuprates [Text] / C. Panagopoulos, B.D. Rainford, J.R. Cooper, W. Lo, J.L. Tallon, J.W. Loram, J. Betouras, Y.S. Wang, C.W. Chu // Phys. Rev. B. - 1999. - Vol. 60, iss. 21. -P.14617-14620.

28. Садовский, М. В. Псевдощель в высокотемпературных сверхпроводниках [Текст] / М. В. Садовский // Успехи физических наук. - 2001. - Т. 171, вып. 5.

- С. 539-564.

29. Tallon, J.L. The doping dependence of T* - what is the real high-Tc phase diagram? [Text] / J. L. Tallon, J. W. Loram // Physica C. - 2001. - Vol. 349, iss. 1/2. -P. 53-68.

30. Systematic doping evolution of the underlying Fermi surface of La2-xSrxCuO4 [Text] / T. Yoshida, X.J. Zhou, K. Tanaka, W.L. Yang, Z. Hussain, Z.-X. Shen, A. Fujimori, S. Sahrakorpi, M. Lindroos, R.S. Markiewicz, A. Bansil, Seiki Komiya, Yoichi Ando, H. Eisaki, T. Kakeshita, S. Uchida // Phys. Rev. B. -2006. - Vol. 74, iss. 22. - P. 224510, 1-5.

31. Любин, И.Е. Параметр порядка и лондоновская глубина проникновения в оптимально- и передопированных сверхпроводящих купаратах [Текст] : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.04.07 / Любин Игорь Евгеньевич. - Казань, 2015. - 112 с.

32. Superconducting gap and strong in-plane anisotropy in untwinned YBa2Cu3O7-g [Text] / D.H. Lu, D.L. Feng, N.P. Armitage, K.M. Shen, A. Damascelli, C. Kim,

F. Ronning, Z.-X. Shen, D.A. Bonn, R. Liang, W.N. Hardy, A.I. Rykov, S. Tajima // Phys. Rev. Lett. - 2001. - Vol. 86, iss. 19. - P. 4370-4373.

33. Theory for inelastic neutron scattering in orthorhombic high-Tc superconductors [Text] / Andreas P. Schnyder, Dirk Manske, Christopher Mudry, Manfred Sigrist // Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 73, iss. 22. - P. 224523, 1-8.

34. Eremin, I. Fermi-liquid based theory for the in-plane magnetic anisotropy in untwined high-Tc superconductors [Text] / I. Eremin, D. Manske // Phys. Rev. Lett.

- 2005. - Vol. 94, iss. 6. - P. 067006, 1-4.

110

35. Angle resolved phase-sensitive determination of the in-plane gap symmetry in Yba2Cu3O7-5 [Text] / J.R. Kirtley, C.C. Tsuei, Ariando, C.J.M. Verwijs,

S. Harkema, H. Hilgenkamp // Nature Physics. - 2006. - Vol. 2, N 3. - P. 190-194.

36. Admixtures to d-wave gap symmetry in untwined Yba2Cu3O7 superconducting films measured by angle-resolved electron tunneling [Text] / H.J.H. Smilde, A.A. Golubov, Ariando, G. Rijnders, J.M. Dekkers, S. Harkema, D.H.A. Blank, H. Rogalla, H. Hilgenkamp // Phys. Rev. Lett. - 2005. - Vol. 95, iss. 25. -P. 257001, 1-4.

37. Electronic and phononic Raman scattering in detwinned Yba2Cu3O6.95 and Y0.85Cac.15Ba2Cu3O6.95: л-wave admixture to the <%^-wave oreder parameter [Text] / M. Bakr, A.P. Schnyder, L. Klam, D. Manske, C.T. Lin, B. Keimer, M. Cardona, C. Ulrich // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 80, iss. 6. - P. 064505, 1-11.

38. Bonn, D.A. Microwave Electodynamics of High Temperature Superconductors [Text] / D.A. Bonn, W.N. Hardy // Handbook of High-Temperature Superconductivity : Theory and Experiment / ed. J. Robert Schrieffer; ass. ed. James S. Brooks. - New York : Springer Science + Business Media. - 2007. -Chap. 4. - P. 145-214.

39. Norman, M.R. Magnetic collective mode dispersion in high-temperature superconductors [Text] / M.R. Norman // Phys Rev. B. - 2001. - Vol. 63, iss. 9. P. 092509, 1-3.

40. Spin dynamics of itinerant holes in HTSC cuprates: the singlet-correlated band model and its applications [Text] / T. Mayer, M. Eremin, I. Eremin, P.F. Meyer // J. Phys.: Condens. Matter. - 2007. - Vol. 19, N 11. - P. 116209, 1-18.

41. Long-Range Incommensurate Charge Fluctuations in (Y,Nd)Ba2Cu3O6+x [Text] /

G. Ghiringhelli, M. Le Tacon, M. Minola, S. Blanco-Canosa, C. Mazzoli, N.B. Brookes, G.M. De Luca, A. Frano, D.G. Hawthorn, F. He, T. Loew, M. Moretti Sala, D.C. Peets, M. Salluzzo, E. Schierle, R. Sutarto, G.A. Sawatzky, E. Weschke, B. Keimer, L. Braicovich // Science. - 2012. - Vol. 337, iss. 6096. -P. 821-825.

111

42. Direct observation of competition between superconductivity and charge density wave order in YBa2Cu3O6.67 [Text] / J. Chang, E. Blackburn, A.T. Holmes, N.B. Christensen, J. Larsen, J. Mesot, R. Liang, D.A. Bonn, W.N. Hardy, A. Watenphul, M.V. Zimmermann, E.M. Forgan, S.M. Hayden // Nat. Phys. - 2012. - Vol. 8, N 12. - P. 871-876.

43. Charge Order Driven by Fermi-Arc Instability in Bi2Sr2-xLaxCuO6+g [Text]. /

R. Comin, A. Frano, M.M. Yee, Y. Yoshida, H. Eisaki, E. Schierle, E. Weschke, R. Sutarto, F. He, A. Soumyanarayanan, Y. He, M. Le Tacon, I.S. Elfimov, J.E. Hoffman, G.A. Sawatzky, B. Keimer, A. Damascelli // Science. - 2014. -Vol. 343, iss. 6169. - P. 390-392.

44. Ubiquitous Interplay Between Charge Ordering and High-Temperature Superconductivity in Cuprates [Text] / E.H. da Silva Neto, P. Aynajian, A. Frano,

R. Comin, E. Schierle, E. Weschke, A. Gyenis, J. Wen, J. Schneeloch, Z. Xu,

S. Ono, G. Gu, M. Le Tacon, A. Yazdani // Science. - 2014. - Vol. 343, iss. 6169. P. 393-396.

45. Жен, П. де. Метод самосогласовонного поля [Текст] / П.Де Жен // Сверхпроводимость металлов и сплавов / П.Де Жен ; пер. с англ. А.И. Русинова ; под ред. Л.П. Горькова. - М. : Мир, 1968. - Глава V. - С. 148150.

46. Абрикосов, А.А. Основные идеи микроскопической теории [Текст] / А.А. Абрикосов // Основы теории металлов: Учеб. руководство / А.А. Абрикосов. - М. : Наука, 1987. - Глава XVI. - С. 310-311.

47. Садовский, М.В. Электромагнитные свойства сверхпроводников [Текст] / М.В. Садовский // Диаграмматика. Лекции по избранным задачам конденсированного состояния / М.В. Садовский. - Екатеринбург : Институт Электрофизики, 2002. - Глава 5. - С. 207-221.

48. Direct spectroscopic evidence for phase competition between the pseudogap and superconductivity in Bi2Sr2CaCu2O8+g [Text] / M. Hashimoto, E.A. Nowadnick, R.-

H. He, I.M. Vishik, B. Moritz, Y. He, K. Tanaka, R.G. Moore, D. Li, Y. Yoshida,

112

M. Ishikado, T. Sasagawa, K. Fujita, S. Ishida, S. Uchida, H. Eisaki, Z. Hussain,

T.P. Davaraux, Z.-X. Shen // Nat. Mat. - 2015. - Vol. 14, N 1. - P. 37-42.

49. Варламов, С.В. К теории псевдощели в спектре элементарных возбуждений нормальной фазы бислойных купратов [Текст] / С.В. Варламов, М.В. Еремин, И.М. Еремин // Письма ЖЭТФ. - 1997. - Т. 66, вып. 8. - C. 533-538.

50. Варламов, А.А. Теория флуктуаций в сверхпроводниках [Текст] / А.А. Варламов, А.И. Ларкин. - М. : Добросвет, 2007. - 558 с. - ISBN 978-57913-0073-7.

51. Relation between the nodal and antinodal gap and critical temperature in superconducting Bi2212 [Text] / H. Anzai, A. Ino, M. Arita, H. Namatame, M. Taniguchi, M. Ishikado, K. Fujita, S. Ishida, S. Uchida // Nat. Comm. - 2013. -Vol. 4, N 1815. - P. 1-7.

52. Phase competition in trisected superconducting dome [Text] / I.M. Vishik, M. Hashimoto, Rui-Hua He, Wei-Sheng Lee, Felix Schmitt, Donghui Lu,

R. G. Moore, C. Zhang, W. Meevasana, T. Sasagawa, S. Uchida, Kazuhiro Fujita,

S. Ishida, M. Ishikado, Yoshiyuki Yoshida, Hiroshi Eisaki, Zahid Hussain, Thomas P. Devereaux, Zhi-Xun Shen // PNAS. - 2012. - Vol 109, N 45. -P. 18332-18337.

53. Timusk, T. The pseudogap in high-temperature superconductors: an experimental survey [Text] / Tom Timusk, Bryan Statt // Rep. Prog. Phys. - 1999. - Vol. 62, N 1. - P. 61-122.

54. Norman, M.R. The pseudogap: friend or foe of high Tc? / M.R. Norman, D. Pines,

C. Kallin // Adv. in Phys. - 2005. - Vol. 54, iss. 8. - P. 715-733.

55. Effect of hole doping on the London penetration depth in Bi2.15Sr1.85CaCu2O8+5 and Bi2.1Sr1.9Cac.85Y0.15Cu2O8+5 [Text] / W. Anukol, S. Barakat, C. Panagopoulos, J.R. Cooper. / Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 80, iss. 2. - P. 024516, 1-5.

56. Survival of the <7-Wave Superconducting State near the Edge of Antiferromagnetism in the Cuprate Phase Diagram [Text] / A. Hosseini,

D. M. Broun, D.E. Sheehy, T.P. Davis, M. Franz, W.N. Hardy, Ruixing Liang, D.A. Bonn / Phys. Rev. Lett. - 2004. - Vol. 93, iss. 10. - P. 107003, 1-4.

113

57. Hettel, I. Quantum critical behaviour in the superfluid density of strongly underdoped ultrathin copper oxide films [Text] / I. Hetel, T.R. Lemberger, M. Randeria // Nat. Phys. - 2007. - Vol. 3, N 10. - P. 700-702.

58. Superfluid Density in a Highly Underdoped YBa2Cu3O6+y Superconductor [Text] / D.M. Broun, W.A. Huttema, P.J. Turner, S. Ozcan, B. Morgan, R. Liang, W.N. Hardy, D.A. Broun // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 99, iss. 23. - P. 237003, 1-4.

59. Stability of nodal quasiparticles in underdoped YBa2Cu3O6+y probed by penetration depth and microwave spectroscopy [Text] / W.A. Huttema, J.S. Bobowski, P.J. Turner, R. Liang, W.N. Hardy, D.A. Bonn, D.M. Broun // Phys. Rev. B. -2009. - Vol. 80, iss. 10. - P. 104509, 1-12.

60. In-Plane and c-Axis Microwave Penetration Depth of Bi2Sr2Ca1Cu2Og+g Crystals /

T. Jacobs, S. Sridhar, Qiang Li, G.D. Gu, N. Koshizuka // Phys. Rev. Lett. - 1995. - Vol. 75, iss. 24. - P. 4516-4519.

61. Muon-spin-rotation measurements of the penetration depth in the YBa2Cu4O8 family of superconductors / A. Shengelaya, C.M. Aegerter, S. Romer, H. Keller, P.W. Klamut, R. Dybzinski, B. Dabrowski, I.M. Savic, J. Klamut // Phys. Rev. B. -1998. - Vol 58, iss. 6. - P. 3457-3461.

62. Superfluid Density Measurements of Bi2Sr2CaCu2O8+x Films from Optimal Doping to Strong Underdoping / Jie Yong, A. McCray, T.R. Lemberger, M. Naamneh, A. Kanigel, M. Randeria // J. of Phys.: Conference Series. - 2012. - Vol. 400. -P. 022141, 1-3.

63. Kapon, I. Finite penetration depth above Tc in LSCO x=1/8 [Text] / I. Kapon, A. Keren // Superstripes 2015 : Quantum in Complex Matter Superconductivity, Magnetism & Ferroelectricity : conference paper / ed. Antonio Bianconi. - Rome : Superstripes Press, 2015. - P. 326.

64. Lack of Evidence for Orbital-Current Effects in the High-Temperature Y2Ba4Cu7O15-g Superconductor using 89Y Nuclear Magnetic Resonance [Text] / S. Strassle, J. Roos, M. Mali, H. Keller, T. Ohno // Phys. Rev. Lett. - 2008. -Vol. 101, iss. 23. - P. 237001, 1-4.

114

65. The phase diagram for coexisting d-wave superconductivity and charge-density waves: cuprates and beyond [Text] / T. Ekino, A.M. Gabovich, M.S. Li, M. Pekala, H. Szymczak, A.I. Voitenko // J. Phys.: Cond. Mat. - 2011. - Vol. 23, N 38. -P. 385701, 1-22.

66. Еремин, М.В. Особенности ^-спаривания в бислойных купратах при пайерлсовской нестабильности нормальной фазы [Текст] / М.В. Еремин, И.А. Ларионов // Письма ЖЭТФ. - 1998. - Т. 68, вып. 7. - С. 583-587.

67. EPR Study of the Local Magnetic Field Distribution over the Bi2Sr2Ca1-^Y^Cu2O8+y Crystal Surface above the Superconducting Transition Temperature [Text] / Y. Talanov, L. Salakhutdinov, T. Adachi, T. Noji, Y. Koike // Appl. Mag. Res. -2015. - Vol. 46, iss. 8. - P. 897-907.