Свойства ρ-мезона и непертурбативные параметры квантовой хромодинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Самсонов, Александр Васильевич

• Самсонов, Александр Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Самсонов, Александр Васильевич

Введение

Глава 1 Второй момент кварковой структурной функции р-мезона

Глава 2 Магнитный момент р-мезона

Глава 3 Коррелятор плотностей топологического заряда в инстантонной модели

Глава 4 Глюонный конденсат из правил сумм для аксиальновекторного тока

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства ρ-мезона и непертурбативные параметры квантовой хромодинамики»

В настоящее время общепринято, что квантовая хромодинамика (КХД) является полной теорией, то есть в ней возможно описание любого процесса с участием сильного взаимодействия. Однако на практике это пока что проверено только для жестких процессов. Действительно, в случае больших переданных импульсов расчеты в рамках КХД имеют высокую точность и хорошо подтверждаются экспериментом Примером могут служить эффекты глубоко-неупругого рассеяния лептонов на адронах (в частности, явление скейлинга) и рождение глюонных струй в е+е~ аннигиляции Связано это со свойством асимптотической свободы, присутствующей КХД Именно, при больших переданных импульсах эффективная константа связи as уменьшается, в результате чего становится возможным применение теории возмущений.

Однако КХД как полная теория должна описывать также динамику на больших расстояниях, и прежде всего свойства адронов. Действительно, кварки, фигурирующие в теории, не наблюдаются в свободном состоянии, они связаны в адронах сильным взаимодействием При этом константа взаимодействия на адронных расстояниях (порядка 1 /Aqcd) не мала, следовательно, пертурбатив-ное описание неприменимо. Проблема заключается в том, что непертурбатив-ное описание просто отсутствует. То есть последовательного метода вычисления эффектов сильной связи, исходя из основных принципов КХД (по сути, из лагранжиана теории), до сих пор не существует. Поэтому единственной возможностью остается применение тех или иных приближений

Одним из таких приближенных подходов является метод правил сумм КХД. Он был предложен в 1979 г. М. Шифманом, А. Вайнштейном и В. Захаровым [1] и развит в дальнейшем во множестве теоретических исследований (см., например, обзоры [2-7] и ссылки в них).

В отличие от модельных подходов, описывающих адроны с помощью кон-ституентных кварков, метод правил сумм изучает адронные токи при больших переданных импульсах. Основным объектом исследования являются корреляционные функции, или корреляторы, рассматриваемые в рамках операторного разложения. При этом коэффициенты операторного разложения зависят от вида адронного тока. Именно поэтому правила сумм позволяют описывать свойства самых разных адронов. Взаимодействия кварков и глюонов на малых расстояниях вычисляются на основе стандартной теории возмущений, а на больших расстояниях описываются с помощью универсальных в КХД вакуумных конденсатов Полученный таким образом коррелятор посредством дисперсионного соотношения связывается с вкладами адронных состояний В результате возникает правило сумм.

Данный метод является очень эффективным средством для нахождения самых разных величин в физике адронов благодаря своей модельной независимости и малому числу используемых параметров. За последние десятилетия с помощью правил сумм вычислялись массы, ширины, константы взаимодействия как мезонов, так и барионов, их формфакторы, структурные функции, магнитные моменты и так далее. Большинство результатов хорошо согласуется с экспериментальными данными. Разумеется, правила сумм позволяют также находить параметры, которые на опыте не определялись вовсе.

Настоящая диссертация посвящена применению метода правил сумм КХД к некоторым вопросам адронной физики. Поэтому рассмотрим сейчас технику построения правил сумм и связанные вопросы подробнее.

Важнейшим математическим инструментом в правилах сумм является обобщенное операторное разложение Вильсона [8, 1].

В корреляторе адронных токов . J d4xe^(T(j,(x),j+(0))) из физических соображений выбирается нужная инвариантная функция П(д2), которую мы в дальнейшем будем называть также коррелятором. П(<72) представляется в виде ряда вакуумных ожиданий локальных операторов:

П (q2)=EC}(q3)<05), (0-1) d,k упорядоченного по размерности последних. Первый член такого разложения

- это пертурбативный вклад ПРег*, вычисляемый в рамках теории возмущений. Поэтому в равенстве (0.1) оператор низшей размерности равен единице, а

Со1 = n^V).

Следующие члены разложения описывают взаимодействие с вакуумными флуктуациями полей, возникающими в КХД из-за наличия нелинейных членов в лагранжиане. На основе инстантонных оценок, а также решеточных вычислений известно, что характерный масштаб этих флуктуаций имеет порядок Aqcd- При больших внешних импульсах Q2 — —q2 AqCD расстояние между точками рождения и аннигиляции кварк-антикварковой пары существенно меньше характерного размера флуктуации. Поэтому в первом приближении можно считать, что кварк (и антикварк) взаимодействует с внешним постоянным полем глюонов или кварков. Это взаимодействие параметризуется с помощью вакуумных ожиданий соответствующих операторов, так называемых конденсатов.

Индекс к в (0.1) говорит о возможном существовании нескольких операторов данной размерности. Например, (0\) = (qOMq), (0\) = где q и G*u

- кварковое и глюонное поля соответственно, Ом - массовый оператор, а (О4)

- сокращенная запись матричного элемента оператора по вакууму (OlO^O).

В отличие от пертурбативного слагаемого в ряде (0.1), который описывает процессы на малых расстояниях, конденсаты содержат информацию о взаимодействии на больших расстояниях. При этом очень важно, что они не зависят от свойств кваркового тока. По сути, вакуумные конденсаты являются важнейшими параметрами при описании сильных взаимодействий. Например, глюонный конденсат {G^G* ) определяет непертурбативную плотность энергии вакуума, кварковый конденсат (qq) - степень нарушения киральной симметрии в теории. При этом коэффициенты в (0.1) вычисляются при больших q2, где константа взаимодействия мала.

Таким образом, представление коррелятора с помощью ряда операторного разложения подразумевает возможность разделения эффектов больших и малых расстояний в рассматриваемом физическом состоянии или процессе.

С другой стороны, коррелятор адронных токов с помощью дисперсионного соотношения может быть выражен через вклады резонансов с теми же квантовыми числами. Такое представление называется феноменологическим. Поскольку обычно известно лишь несколько первых резонансов (а часто только один), остальные заменяются континуумом. Вычисляется он из следующих соображений. При q2 —> —оо все степенные (то есть непертурбативные) поправки заведомо малы, и П(<?2) —> ПPert(q2). Поэтому приближенно вклад континуума в дисперсионный интеграл от порога континуума до бесконечности равен пер-турбативному вкладу на этом же интервале Это свойство называется кварк-адронной дуальностью. Величина порога определяется положением нижнего состояния, относящегося к континууму.

В результате сшивания представления на основе операторного разложения с феноменологическим получается правило сумм.

Обычно к левой и правой частям полученного таким способом правила сумм как к функциям Q2 применяют преобразование Бореля В(М2): где М2 - параметр, также называемый борелевским.

Такое преобразование позволяет улучшить правило сумм в следующих аспектах. Во-первых, после борелизации уменьшаются вклады высших состояний в феноменологическую часть по сравнению с основным состоянием. Это важно, так как характеристики таких состояний обычно неизвестны, а целью построения правила сумм является нахождение тех или иных параметров наинизшего состояния. Во-вторых, борелевское преобразование подавляет вклады операто

Q2 п-юо Q2/n= \f2

0.2) ров высокой размерности, которые, как правило, также неизвестны. Действительно, операторы в разложении обезразмериваются множителями вида (Q2)~n, п = 1,2,., с ростом размерности п увеличивается, а

Ь 1 = 1 1

Q2)™ (п - 1)! (М2)""1 ' Поэтому для больших п появляется малый множитель 1 /(п — 1)!. Наконец, в-третьих, борелевское преобразование позволяет устранить возможные вычи-тательные члены в правиле сумм.

В результате обе части правила сумм есть функции борелевского параметра. На последнем этапе необходимо определить границы интервала по М2, на котором правила сумм осмыслены. При малых значениях борелевского параметра вклад операторов высоких размерностей становится большим. Поэтому следует ограничиться таким М2, где вклад последнего члена операторного разложения мал по сравнению с суммой прочих членов. С другой стороны, величина континуума не должна быть большой по сравнению с пертурбативным вкладом. Это условие дает верхнюю границу интервала М2.

В итоге в феноменологическую часть рассматриваемого на определенном интервале правила сумм входят различные характеристики (массы, ширины, константы взаимодействия и прочее) рассматриваемых адронов, а в теоретическую, основанную на операторном разложении, - конденсаты. Если последние, являющиеся параметрами в правилах сумм, известны, то становится возможным вычислить и наблюдаемые характеристики адронов. В этом, собственно, и состоит задача метода Однако, возможно решение и обратной задачи. Используя экспериментально известные параметры адронов, можно находить величины вакуумных конденсатов. Этот способ часто применяется на практике.

Действительно, конденсаты, как уже говорилось, играют важную роль в хромодинамике. Вместе с тем, как объекты чисто непертурбативной природы, в настоящий момент они не могут быть последовательно найдены в рамках КХД. Поэтому их численные значения определяются теми или иными косвенными методами, в частности, методом правил сумм.

Так, величина глюонного конденсата была вычислена в [1] с помощью правил сумм для чармония: а,

С*^М = 0 012ГэВ4. liV~ iiv

Взятый с константой связи, глюонный конденсат является масштабно-инвариантной величиной

Кварковый конденсат, как уже упоминалось, определяет степень нарушения киральной симметрии, поэтому его значение представляло существенный интерес для адронной физики еще до появления техники правил сумм КХД. На масштабе 1 ГэВ f2m2 qq) = - J" * = -(0.24 ГэВ)3. (0.3)

2(ти + rrid)

Здесь тж и - масса и константа взаимодействия пиона, ти и mj - массы ии й?-кварков, q = u,d.

Для вакуумного ожидания, содержащего три глюонных поля, существует только оценка на основе инстантонной модели [9].

0.4)

Здесь fabc -структурные константы группы, а рс - радиус инстантона. Правило сумм, из которого можно было бы найти конденсат (0.4), на данный момент не построено

Вакуумные ожидания, содержащие четыре кварковых (или глюонных) поля, сводятся к кварковому (или глюонному) конденсату с помощью гипотезы факторизации, которая предполагает, что среди всех промежуточных состояний вакуумное вносит наибольший вклад. Действительно, для любых бесцветных операторов при большом количестве цветов Nc можно написать:

O|0iOa|O) = <0|01|0><0|02|0)(l + О(^)) . (0.5)

Нефакторизуемые вауумные ожидания (то есть которые невозможно представить таким образом) по сравнению с факторизуемыми подавлены множителем порядка 1/NC. В КХД Nc = 3.

Важно отметить, что одно из преимуществ операторного разложения состоит в возможности контролировать точность получаемых результатов. Вообще говоря, имеет смысл анализировать только те правила сумм, в которых вклад операторов по мере увеличения их размерности становится меньше. Тогда, обрывая ряд на некотором операторе, можно предполагать, что отброшенные члены будут меньше последнего из оставленных, и таким способом оценивать соответствующую неопределенность результатов.

Точность метода правил сумм ограничивается также незнанием вида физического спектра в дисперсионном интеграле. Как уже говорилось, после выделения основного состояния остальные аппроксимируются континуумом, величина которого находится из соображений кварк-адронной дуальности.

Помимо вышесказанного, точность результатов в значительной степени зависит от неопределенностей параметров, входящих в теоретическую часть правил сумм. Таковыми могут быть параметры инстантонной модели, если ин-стантоны вносят непосредственный вклад в рассматриваемый канал, но прежде всего это относится к конденсатам. Так, недавно на основе анализа т-распада [10] для кваркового конденсата было получено заметно большее по сравнению с (0.3) значение [4]. Глюонный конденсат ^{G'^G^) известен с точностью менее 50%. Гипотеза факторизации сводит вакуумные средние операторов высокой размерности к кварковому и глюонному конденсатам, внося при этом дополнительную неопределенность (0.5). Для трехглюонного конденсата инстантонная оценка (0.4) дает только порядок величины. При этом, конечно, следует учесть, что конденсаты умножаются на коэффициенты C%(q2) (0.1), кроме того, обычно к правилу сумм применяется преобразование Бореля (0.2), уменьшающее роль вакуумных ожиданий операторов высоких размерностей. В итоге влияние на ответ значительных неопределенностей в величинах конденсатов может быть достаточно малым.

В целом же точность результатов, полученных в рамках правил сумм, колеблется, как правило, от десяти до нескольких десятков процентов.

Правила сумм позволяют работать как с мезонными, так и с барионными токами. Данная диссертация целиком посвящена рассмотрению корреляторов мезонных токов. Она состоит из настоящего введения, четырех глав, заключения и приложения.

В первой главе вычисляется второй момент кварковой структурной функции р-мезона для случаев продольной и поперечной поляризации последнего. При этом используется метод правил сумм во внешнем поле. В операторном разложении учитываются операторы до шестой размерности включительно. Кварки и и d считаются безмассовыми.

Вторая глава посвящена вычислению магнитного момента р-мезона тем же методом. Здесь в пертурбативной части учитываются а5-поправки первого порядка, которые, как оказывается, вполне заметны. В непертурбативную часть входят операторы шестой размерности.

В третьей главе рассматривается правило сумм для коррелятора синглет-ных аксиальных токов Доминирующую роль в этом канале играют ин-стантоны, влияние которых изучается с помощью модели инстантонного газа. Построенное правило сумм позволяет выяснить поведение топологической восприимчивости как функции Q2 в КХД при больших Q2. Вычисляется также ее производная при Q2 = 0, связанная с вакуумным ожиданием тока во внешнем синглетном аксиальном поле. При введении ненулевой массы з-кварка рассматриваемое правило сумм позволяет найти константу взаимодействия г\'~ мезона с током и угол смешивания 0g г\- и ?/-мезонов в модели с двумя углами смешивания.

Наконец, в четвертой главе метод правил сумм используется для определения ограничений на величину глюонного конденсата. С этой целью рассматривается коррелятор аксиально-векторного тока с-кварков. Правило сумм учитывает трехпетлевые пертурбативные поправки, вакуумные ожидания от операторов до восьмой размерности включительно и a: s-поправки к оператору наименьшей размерности. Масса с-кварка считается заданным параметром. Операторы шестой и восьмой размерностей оцениваются как в рамках инстан-тонной модели, так и с помощью гипотезы факторизации.

В результате будет получено, что

-G2) = (0.005 + 0 001 - 0 004) ГэВ4 . (0.6)

7Г

В дальнейшем для глюонного конденсата мы будем использовать именно это значение.

В заключении собраны основные результаты диссертации. Приложение является дополнением к первой главе. В него вынесено рассмотрение нефакторизуемых вакуумных ожиданий операторов шестой размерности во внешнем тензорном поле.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Самсонов, Александр Васильевич

Заключение

В диссертации методом правил сумм КХД вычисляются второй момент кварковой структурной функции р-мезона, магнитный момент /з-мезона, ограничения на глюонный конденсат, а также обсуждается коррелятор плотностей топологического заряда в инстантонной модели.

Глава 1 настоящей диссертации посвящена нахождению вторых моментов кварковых структурных функций для продольно и поперечно поляризованных /?-мезонов, Мр и Mj соответственно. Получены следующие значения:

Mf = 0.81 ±0.05, Mj = 0.5 ±0.1.

Очевидно, что M.Lp > М.тр1 и их разность заведомо превосходит ошибки в самих моментах. Это говорит о значительном влиянии поляризации на распределение импульсов в />-мезоне.

Далее, величина второго момента в случае продольной поляризации позволяет определить долю импульса, уносимую глюонами: Л4ро ~ Обычно на глюоны приходится примерно половина импульса адрона. Столь малая величина аналитически найдена впервые.

Величины моментов находятся в согласии с оценками, сделанными совершенно другим способом (путем нахождения самих структурных функций), хотя также в рамках правил сумм [13]. Этот факт подтверждает полученные результаты.

Найденные значения вторых моментов совпадают с результатами решеточных вычислений [23].

В главе 2 вычисляется магнитный момент р-мезона цр. Полученный результат р,р = 2.0 ± 0.3 (в единицах е/(2тр)) полностью согласуется с предсказанием модели векторной доминантности, рассматривающей р-мезон как векторный бозон Янга-Миллса. Интересно, что в партонном приближении магнитный момент также равен 2, а отрицательные непертурбативные поправки к нему компенсируются положительными а3-поправками.

В главе 3 в рамках модели разреженного инстантонного газа обсуждается коррелятор плотностей топологического заряда в КХД x(Q2)- Показано, что простейшая инстантонная модель вполне подходит для описания синглетного аксиального канала.

С помощью правила сумм для продольной части коррелятора синглетных аксиальных токов найдены вакуумное ожидание этого тока в синглетном аксиальном поле /о и связанная с ним величина х'(0): о2 = (2.1 ±0.6) х Ю-2 ГэВ2, х'(0) = (1.8 ± 0.5) х 10~3 ГэВ2.

Значение /q не противоречит результату, полученному из правила сумм для доли спина протона, уносимой кварками [38].

В дополнение к этому, в случае ненулевой массы s-кварка вычислена константа взаимодействия fv> r/'-мезона с синглетным аксиальным током, а также угол смешивания г/ — rj' 6s в модели с двумя углами смешивания: = 170 ± 17 МэВ , в8= -(18.8 ±5.0)°.

Величины fv/ и #8 согласуются со значениями, полученными в низкоэнергетической эффективной теории [48]-[51].

Найдена функция x(Q2) ПРИ больших Q2. При этом она очень хорошо согласуется с x(Q2) ПРИ малых Q2, полученной с учетом х'(0) и вкладов тт- и г/-мезонов [37].

В главе 4 из правила сумм для коррелятора аксиально-векторных токов с-кварков найдены ограничения на величину глюонного конденсата:

-G2) = (0.005 + 0.001 - 0.004) ГэВ4 .

7Г

Этот ответ согласуется с результатами анализа правил сумм для чармония в случаях векторного [56] и псевдоскалярного [57] токов, причем по сравнению с этими работами получено более сильное ограничение на глюонный конденсат сверху.

Итак, правила сумм, учитывающие как теорию возмущений, так и степенные поправки (вакуумные конденсаты), позволяют успешно решать самые разные задачи адронной физики. Полученные результаты, как правило, находятся в согласии с расчетами, сделанными в рамках совсем иных подходов (в частности, с решеточными вычислениями в случае вторых моментов структурных функций р-мезонов).

Будучи модельно-независимым, рассматриваемый метод позволяет осуществлять количественную проверку различных гипотез. Примером может служить величина магнитного момента в модели векторной доминантности.

Среди прочих результатов следует отметить подтверждение с помощью правил сумм определяющей роли инстантонов в синглетном аксиальном канале.

Важно, что расчеты в рамках правил сумм одних и тех же величин совершенно разными способами дают близкие результаты. Это является свидетельством самосогласованности метода в целом.

Все результаты диссертации содержатся в работах [72]—[76].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Самсонов, Александр Васильевич, 2004 год

1. М. Shifman, A. Vainshtein, V. Zakharov, Nucl.Phys. B147 (1979) 385, 448.

2. M. Shifman, "Vacuum structure and QCD sum rules", North Holland, 1992.

3. L. Reinders, H. Rubinstein, S. Yazaki, Phys.Rep. 127 (1985) 1.

4. B. Ioffe, Phys.Atom.Nucl. 66 (2003) 30; Yad.Fiz. 66 (2003) 32.

5. P. Colangelo, A. Khodjamirian, "At the frontier of particle physics. Handbook of QCD", edited by M. Shifman, World Scientific, 2001.

6. E. Shuryak, Rev.Mod.Phys. 65 (1993) 1.

7. E. de Rafael, Lectures at Les Houches Summer School, Session 68, Les Houches, France, 1997.

8. K.Wilson, Phys.Rev. 179 (1969) 1499.

9. V. Novikov, M. Shifman, A. Vainshtein, V. Zakharov, Phys.Lett. B86 (1979) 347.

10. B. Ioffe, K. Zyablyuk, Nucl.Phys. A687 (2001) 437.

11. И. V. Belyaev, B. Ioffe, Nucl.Phys. B310 (1988) 548; B313 (1989) 647.

12. B. Ioffe, A. Oganesian, Eur.Phys.J. C13 (2000) 485.

13. B. Ioffe, A. Oganesian, Phys.Rev. D63 (2001) 096006.

14. B. Ioffe, A. Smilga, Nucl.Phys. B232 (1984) 109;

15. I.Balitsky, A.Yung, Phys.Lett. B129 (1983) 328.

16. A. Kolesnichenko, Yad.Fiz. 39 (1984) 1527.

17. V. Belyaev, B.Blok, Phys.Lett. 167B (1986) 99; Yad.Fiz. 43 (1986) 706.

18. Y. Nishino, Int.J.Mod.Phys. E5 (1996) 121.

19. B. Ioffe, A. Smilga, Nucl.Phys. B216 (1983) 373.

20. V.Belyaev, B.Blok, Z.Phys. C30 (1986) 279.

21. T. Aliev, M. Shifman, Yad.Fiz. 36 (1982) 1532.

22. B. Ioffe, Yad.Fiz. 58 (1995) 1492.

23. C. Best et al, Phys.Rev. D56 (1997) 2743.

24. P.Sutton, A.Martin, R.Roberts, W.Stirling, Phys.Rev. D45 (1992) 2349.

25. N.Kroll, T.Lee, B.Zumino, Phys.Rev. 157 (1967) 1376.

26. B. Ioffe, V.Khoze, L. Lipatov, "Hard Processes", North Holland, 1984, ch.5.

27. K. Chetyrkin, F. Tkachov, Nucl.Phys. B192 (1981) 159.

28. P. Ball, V. Braun, N. Kivel, Nucl.Phys. B649 (2003) 263.

29. V. Belyaev, Ya.Kogan, Yad.Fiz. 40 (1984) 1035; Sov.J.Nucl.Phys. 40 (1984) 659.

30. F.Hawes, M. Pichowsky, Phys.Rev. C59 (1999) 1743.

31. M.Hecht, B.H.J. McKellar, Phys.Rev. C57 (1998) 2638.

32. J.P.B.C de Melo, T.Frederico, Phys.Rev. C55 (1997) 2043.

33. T. Aliev, I. Kanik, M. Savci, Phys.Rev. D68 (2003) 056002.

34. A. Belavin, A.Polyakov, A. Schwartz, Yu.Tyupkin, Phys.Lett. B59 (1975) 85.

35. R. Crewther, Phys.Lett. B70 (1977) 349.

36. G. Veneziano, Nucl.Phys. B159 (1979) 213.

37. B.Ioffe, Phys.At.Nucl. 62 (1999) 2052; Yad.Fiz. 62 (1999) 2226.

38. B.Ioffe, A.Oganesian, Phys.Rev. D57 (1998) R6590.

39. B.Ioffe, Surveys High Energ.Phys. 14 (1999) 89.

40. B. Ioffe, A. Khodzhamirian, Yad.Fiz. 55 (1992) 3045.

41. E.Shuryak, Nucl.Phys. B203 (1982) 93, Nucl.Phys. B214 (1983) 237.

42. T. Schafer, E.Shuryak, Rev.Mod.Phys. 70 (1998) 323.

43. B. Geshkenbein, B.Ioffe, Nucl.Phys. B166 (1980) 340.

44. R. Reinders, H.Rubinstein, H. Yazaki, Phys.Lett. B138 (1984) 425.

45. V. Novikov, M. Shifman, A. Vainshtein, V. Zakharov, Nucl.Phys B191 (1981) 301.

46. B.Ioffe, Nucl.Phys. B188 (1981) 317; Nucl.Phys. B191 (1981) 591.

47. V. Belyaev, B.Ioffe, JETP 83 (1982) 876.

48. H. Leutwyler, Nucl.Phys. (Proc. Suppl.) B64 (1998) 223.

49. R. Kaiser, H. Leutwyler, hep-ph/9806336.

50. Th. Feldmann, P.Kroll, B.Stech, Phys.Rev. D58 (1998) 114006.

51. Th. Feldmann, P. Kroll, B. Stech, Phys.Lett. B449 (1999) 339.

52. E.Shuryak, J.Verbaarschot, Nucl.Phys. B410 (1993) 37,55.

53. T. Schafer, Phys.Lett. B389 (1996) 445.

54. S. Narison, G. Shore, G.Veneziano, Nucl.Phys. B546 (1999) 235. S. Nikolaev, A. Radyushkin, JETP Lett. 37 (1982) 526. B. Ioffe, K. Zyablyuk, Eur.Phys. J. C27 (2003) 229.

55. К. Zyablyuk, JHEP 0301 (2003) 081.

56. K. Hagiwara et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D66 (2002) 010001.

57. A.Hoang, T. Teubner, Nucl.Phys. B519 (1998) 285.

58. K. Chetyrkin, J.Kuhn, M. Steinhauser, Nucl.Phys. B505 (1997) 40. K. Chetyrkin, R.Harlander, M. Steinhauser, Phys.Rev. D58 (1998) 014012.

59. B.Kniehl, J.Kuhn, Nucl.Phys. B329 (1990) 547. L. Landau, Dokl.Akad. Nauk USSR 60 (1948) 207.

60. C. Yang, Phys.Rev. 77 (1950) 242.

61. S. Nikolaev, A. Radyushkin, Sov.J.Nucl.Phys. 39 (1984) 91; Yad.Fiz. 39 (1984) 147.

62. D. Broadhurst, P. Baikov, V. Ilyin, J. Fleischer, O.Tarasov, V. Smirnov, Phys.Lett. B329 (1994) 103.

63. A. Hoang, M. Jamin, Phys.Lett. B594 (2004) 127.

64. B. Ioffe, A. Samsonov, Phys.Atom.Nucl. 63 (2000) 1448. A. Oganesian, A. Samsonov, JHEP 09 (2001) 002.

65. A. Samsonov, Phys.Atom.Nucl. 66 (2003) 2304 (annot.). A. Samsonov, JHEP 12 (2003) 061.

66. A. Samsonov, hep-ph/0407199; submitted to Nucl.Phys. A.1. Благодарности

67. Автор признателен за многочисленные полезные дискуссии Армену Оганесяну, в соавторстве с которым написана одна из вошедших в работу статей, а также Константину Зяблюку.

68. Работа частично поддержана грантами RFBR 97-02-16131; RFBR 00-02-17808; RFBR 03-02-16209; CRDF RP2-2247; INTAS 2000, 587.