Учет нелокальности вакуумных конденсатов в правилах сумм КХД для легких мезонов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Пимиков, Александр Владимирович

• Пимиков, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пимиков, Александр Владимирович

Введение

1 Метод правил сумм КХД

1.1 Теоретическая часть правил сумм.

1.2 Феноменологическая часть правил сумм

1.3 Анализ правил сумм КХД.

1.4 Правила сумм КХД для константы распада и амплитуды распределения пиона.

Выводы.

2 Метод правил сумм КХД с нелокальными конденсатами

2.1 Нелокальные конденсаты.

2.1.1 Скалярный и векторный кварковые конденсаты

2.1.2 Кварк-глюонный конденсат.

2.1.3 Четырехкварковый конденсат.

2.1.4 Глюонный конденсат.

2.2 Уравнения движения КХД и ограничение на конденсаты

2.3 Операторное разложение коррелятора двух векторных токов

2.4 Анализ гауссовых моделей.

Выводы.

3 Амплитуда распределения пиона

3.1 Уравнение эволюции АР пиона.

3.2 Правила сумм КХД с нелокальными конденсатами для АР пиона.

3.3 Данные CLEO и решеточная КХД.

Выводы.

4 Электромагнитная структура пиона

4.1 Асимптотическое поведение формфактора пиона.

4.2 Построение правил сумм КХД.

4.3 Анализ правил сумм КХД

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Учет нелокальности вакуумных конденсатов в правилах сумм КХД для легких мезонов»

Квантовая хромодинамика (КХД) зародилась в 1973 г. как калибровочная теория кварковых полей с неабелевой SU(3)-группой локальной калибровочной симметрии. Именно, в работах /1, 2/ было показано, что КХД с лагранжианом

Cqcd = Y, MiD-mq),pqq=u,d,b d.Al-dvAl + gf^Ai-, D^ = dp-igPAl, (0.1) где fabc — структурные константы группы SU(3), ta = \\a, Xa — матрицы Гелл-Мана, обладает свойством асимптотической свободы, т. е. ее эффективный заряд ("бегущая константа связи"), a.b{Q2), при больших передачах импульса Q2 1 ГэВ2 логарифмически спадает:

Лтг ab{Q2) «-=-т. (0.2)

Ь0 In qcd

Асимптотическая свобода означает, что однопетлевой коэффициент /3функции, 60 = (lliVc — 2iY/)/3, положителен при iVc = 3 и Nj = 3, а именно bo = 9. Триумф и признание КХД в качестве теории сильного взаимодействия были связаны в первую очередь с работами /3, 4, 5/, в которых на основе КХД-теории возмущений были объяснены резуль

Г ТУ таты по логарифмическому \uQ2/AqCD ) нарушению скейлинга по переменной Бьеркена xbj в структурных функциях глубоко неупругого ер-рассеяния, полученные в SLAC.

Однако описание адронов как связанных состояний кварков осложнялось тем обстоятельством, что кварки в свободном состоянии экспериментально не наблюдались. Это в конце концов привело к представлению о пленении (конфайнменте) кварков и глюонов внутри адропов, что для взаимодействия кварка и антикварка означало бесконечное возрастание gg-потенциала на больших расстояниях. Такая картина качественно согласуется с ростом эффективной константы связи as(Q2) при малых Q2: при Q2 —> AqCD эффективный заряд КХД неограниченно растет (полюс Ландау), как видно из (0.2).

Однако из-за такого роста теория возмущений в области больших расстояний (малых Q2) становится неприменимой и для понимания спектроскопии адронов необходимо использовать непертурбативные методы или адекватные модели. В качестве таковых применялись модели мешков, различные составные кварковые модели (нерелятивистские и релятивистские) и эффективные киральные модели. Роль же КХД в анализе адронного спектра сводилась только к определению приближенных флей-ворных симметрий спектра.

Ситуация существенно изменилась в 1979 г. после опубликования цикла работ Шифмана, Вайнштейна и Захарова (ИТЭФ) /6, 7, 8/ по правилам сумм (ПС) КХД и их применению в спектроскопии мезонов. Предложенный ими метод ПС КХД позволял рассчитывать характеристики адронных состояний (массы, распадные константы, магнитные моменты), ничего не говоря о самом процессе связывания кварков в адрон, т. е. обходя проблему конфайнмента, что было продемонстрировано в /7/ для 7г-, р-, и-, J/ф- и ?7с-мезонов.

Основная идея метода проста: интересующая нас проекция коррелятора двух или более адронных токов определяется двумя способами, а ПС КХД получается в результате их согласования. В первом случае строится операторное разложения коррелятора Поре, а во втором он определяется модельной спектральной плотностью через спектральное представление этого коррелятора Hhadi^h, fh)- Эта спектральная плотность содержит искомые параметры адронного спектра. Для корреляторов двух токов такими параметрами будут: массы (т^) и константы распадов (Д) нижайших состояний (как правило учитывается одно-два состояния), а также параметр порога (s0) с которого начинается описание высших состояний пертурбативной спектральной плотностью ^pert(s) согласно гипотезе о локальной дуальности кварк-адронного описания:

Ohad(s) = fh 6 (s - m2h) + ppCTi{s) в {s - s0) .

Из равенства результатов двух подходов получаем ПС КХД

Ilhad(тол, fh) = Поре , анализируя которое можно извлекать искомые величины тЛ и /Л, что подробно рассмотрено в первой главе диссертации.

В 1980-ые годы метод ПС КХД был успешно применен практически для всех известных радиально-невозбужденных мезонов. Для работы с барионами потребовалось научиться строить соответствующие токи для барионов. Оказалось возможным рассчитывать магнитные моменты ад-ронов. Обзор различных приложений метода см. в /9/.

Примерно в то же время метод был применен для анализа мезонных амплитуд распределения (АР) /10, 11/. В стандартных ПС КХД вычисление теоретической части Поре осуществляется с использованием локальных конденсатов, получаемых тейлоровским разложением нелокальных конденсатов по координатам полей. При этом ряд обрывается, т. е. пре-небрегается локальными конденсатами высшей размерности d > 6. В результате непертурбативные вклады операторного разложения при изучении АР мезонов tp(x) имеют поведение: с\ 5 {х) + (с2 + сз х) 5' (х) + (ж —> х) , значительно отличающиеся от поведения пертурбативного вклада: х{\ — х). Непертурбативные вклады сосредоточены в концевых точках х = 0 и х — 1 из-за того, что локальный конденсат не пропускает через себя импульс и как следствие импульс исследуемого мезона будет нести один из его кварков. Одним из недостатков в использовании локальных конденсатов при вычислении вкладов в ПС КХД для АР мезонов следует признать плохую сбалансированность получающегося ПС /12, 13, 14, 15, 16, 17/.

Рассматриваемая в нашей работе пионная АР является амплитудой перехода тт(Р) —у и{Рх) + d{P{ 1 — х)) физического пиона с импульсом Р в йс^-пару с импульсами хР и (1 — х)Р (здесь х — доля импульса, х е [0,1]), в которой кварк и антикварк находятся на световом конусе, как показано на рис. 0.1. Она определяется согласно

0 | Ф)7"75и(0) | тг(Р)> - UnP" Г dx </?7f (х, д2), (0.3) г2=0 J о где /i2 фиксирует точку нормировки. Из-за рассогласованности вкладов

7Г (Р)

Рис. 0.1. Физический смысл пионной АР.

ПС для АР пиона оказываются устойчивыми и хорошо сбалансированными только для случая нулевого момента (что соответствует изучению константы распада), а уже для первого нетривиального конформного момента они становятся разбалансированными и генерируют завышенное значение второго момента (£,2)п = 0.66, полученное в работе /10/. Для получения реалистической ^-зависимости непертурбативных вкладов необходимо отсуммировать вклады операторов высшей размерности типа (q(0)D2q(0)), (q(0)(D2)2q(0)) и т.п., получаемых как тейлоровское разложение (1.10) изначально нелокального конденсата (напр. (g(O)g(z))).

Предложенный в работах /12, 13, 15, 18/ для анализа мезонных АР и в1 работе /14/ для анализа мезонных ФФ метод избегает тейлоровского разложения и оперирует непосредственно с нелокальными конденсатами. Это приводит к модифицированной диаграммной технике, включающей в себя новые линии и вершины отвечающие нелокальным конденсатам, что детально рассмотрено во второй главе диссертации. Координатные зависимости нелокальных конденсатов в этом подходе выражаются через изначально неизвестные функции fs, fs, Л (см- (2.2), (2.3) и (2.10)) с помощью ^-представления. Нелокальные конденсаты в локальном пределе должны совпадать с локальным конденсатом, откуда получают единственные достоверные сведения (2.5 и 2.13) об этих функциях. Этих сведений явно недостаточно для определения функции /s> Л- Явный вид этих функций должен браться, вообще говоря, из конкретной модели непертурбативного вакуума КХД, например из ин-стантонной модели, либо из моделирования на решетке. В отсутствии информации о координатных зависимостях кварковых конденсатов было предложено /12, 13, 15, 18/ пользоваться первым нетривиальным приближением, учитывающим лишь конечную ширину пространственного распределения кварков и глюонов в вакууме (2.4), (2.15).

Важно то, что несогласованный выбор этих функций может привести к тому, что будут нарушены такие важные принципы как калибровочная инвариантность и уравнения движения. По этой причине мы исследовали наиболее популярную минимальную модель /19, 20, 21/ (2.43), основанную на предположении о гауссовой зависимости конденсатов от ^ координат полей, и показали /22/, что она приводит к нарушению указанных принципов: нарушены уравнения движения для кварковых полей (2.19) безмассовой КХД и непертурбативная часть коррелятора векторных токов (2.27) непоперечена. Важно отметить, что поскольку мы рассматриваем случай легких мезонов, а именно пионов, мы можем работать в киральном пределе, положив массы кварков равными нулю. Предложенная в диссертационной работе улучшенная модель (2.21) /23/ также основана на гауссовых распределениях, но за счет обобщения модели позволяет точно удовлетворить уравнения движения и минимизировать непоперечные вклады в коррелятор векторных токов, что продемонстрировано во второй главе. Эта модель была применена для изучения АР пиона в третьей главе, где были получены уточненные конформные моменты гшонной амплитуды распределения в новой модели и допустимая область значений гегенбауеровских коэффициентов а-2 и а4 пиопной амплитуды распределения.

В четвертой главе мы рассматриваем электромагнитный форм-фактор (ФФ) пиона в евклидовой области значений квадратов передач импульса (q2 = —Q2 < 0, где q — 4-импульс фотона), который, в однопетлевом приближении при асимптотически больших Q2, имеет вид F~ert(Q2) = 87Гa^(Q2) f2/Q2. Значение импульса Q'2, при котором этот режим должен преобладать, не может быть определено точно. Выполненные оценки показали, что этот переходный масштаб порядка 100 ГэВ2 /26, 29, 25/, а-возможно и ниже - 20 ГэВ2 /24, 75, 76/. Но даже такие малые квадраты передач импульса далеки от возможностей действующих и планируемых экспериментальных установок.

Ситуация на промежуточных значениях передачи импульса 20 ГэВ'2 > Q2 > 1 ГэВ2 осложняется тем, что факторизация здесь частично нарушена из-за значительного, так называемого мягкого вклада, который нефакторизуем. Поэтому, необходимо вычислять эту часть пи-онного формфактора используя либо феноменологические модели /26, 27, 28, 29/, либо непертурбативные подходы: метод ПС КХД /33, 34, 14/ или подход локальной кварк-адронной дуальности /30, 31, 32/. Одно из преимуществ подхода трехточечных ПС КХД для формфактора пиона /34, 33/ то, что оно не как не связано с АР пиона, в отличие от подхода факторизации, сокращая таким образом теоретическую неопределенность.

Однако, стандартные ПС имеют серьезный недостаток из-за использования локальных конденсатов: они нестабильны при Q2 > 3 ГэВ2. Причиной тому служит наличие в операторном разложении вкладов, одни и из которых постоянны, а другие растут линейно с увеличением Q2 (Таб. 4.2). Такие вклады неверно описывают непертурбативную составляющую правил сумм. Для более правильного учета непертурбативных вкладов мы использовали минимальную и улучшенную модель нелокальных конденсатов.

К сожалению, первая попытка обобщить подход ПС КХД /14/, используя нелокальные вакуумные конденсаты, неполна, поскольку все еще содержит вклады локального типа. Источником таких вкладов является использовавшаяся специфическая модель для трехточечного кварк-глюон-кваркового нелокального конденсата. В этой модели нелокальный конденсат, описываемый функцией МДх2, у2, (х — у)'2) (см. (2.10)), является нелокальным лишь по отношению к двум из трех расстояний х2 (между кварком и антикварком), у2 (между антикварком и глюоном) и (.х — у)2 (между кварком и глюоном). Например, скалярная функция Мь описывающая тензорную структуру г — 1, в этой модели не зависит от квадрата расстояния между кварком и антикварком х2. Поэтому, полученные в /14/ ПС также обладают недостатками стандартных ПС КХД.

Несмотря на этот недостаток, полученные в рамках этого подхода вклады от нелокальных конденсатов имеют модельно-независимый вид, т.е. полученные выражения для непертурбативных вкладов представлены для произвольных параметрических функций fs, fv и /,• (см. (2.7) и (2.10)). Это позволяет нам использовать полученные в /14/ выражения, но уже с применением более точных моделей для кварк-глюонного нелокального конденсата. В четвертой главе получены оценки для пионного формфактора в минимальной и улучшенной моделях, которые представлены в сравнении с экспериментальными данными /35, 36/, решеточными вычислениями /37/, методом голографической КХД /38, 39, 40, 41/ и другими подходами.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Показано, что минимальная гауссова модель не удовлетворяет уравнениям движения безмассовой КХД и приводит к непоперечности непертурбативного вклада в коррелятор векторных токов.

2. Построена улучшенная гауссова модель нелокальных конденсатов, ч согласованная как с уравнениями движения, так и с поперечностыо коррелятора векторных токов.

3. Произведен расчет области допустимых значений коэффициентов а-2 и а4 гегенбауэровского разложения амплитуды распределения пиона в улучшенной модели.

4. Вычислен электромагнитный формфактор пиона в пространственно-подобной области квадрата передачи импульса 1 — 10 ГэВ2 в минимальной и улучшенной моделях.

Апробация работы:

Результаты представленные в диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова (ОИЯИ, Дубна), на семинарах кафедры теоретической физики Иркутского государственного университета (ИГУ, Иркутск), на семинаре Европейского центра теоретической физики (ЕСТ*, Трен-то, Италия, декабрь 2006), в Мюнхенском университете им. Людвига и Максимилиана (LMU, Мюнхен, март 2008) и на Международных конференциях: "Рождение, свойства и взаимодействие мезонов" (Краков, Польша,- июнь 2006), "Новые направления в физики высоких энергий" (Ялта,

Украина, июнь 2006), "Структура адронов" (Модра-Гармония, Словакия, сентябрь 2007), "Структура адронов и КХД" (Гатчина, Россия, июнь 2008), "Возбужденная КХД" (Закопапе, Польша, февраль 2009). Публикации: По материалам диссертации опубликовано 6 работ /22, 23, 42, 43, 44, 45/ в отечественных и зарубежных изданиях.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Пимиков, Александр Владимирович

Выводы

Эта глава диссертации посвящена вычислению формфактора пиона в рамках подхода ПС КХД с нелокальными конденсатами /12, 13, 15, 14/, для которых применяется минимальная и улучшенная модели, подробно рассмотренные во второй главе диссертации. При этом, используется значение параметра нелокальности А2 = 0.4 ГэВ2 и пертурбативная спектральная плотность О(а5)-порядка, полученная в работе /88/. Мы обнаружили, что 0(а5)-часть спектральной плотности дает 20-процентный вклад в изучаемый формфактор, что немного меньше чем оценки полученные в /88, 25/. Применяемое значение параметра А2 поддерживается недавним анализом /56, 96, 98/ данных CLEO по пион-фотонному переходу. Использование больших значений этого параметра влечет за собой уменьшение пионного формфактора благодаря сильному влиянию эффектов нелокальности, в то время как использование меньших значений приведет к увеличению результатов по той же причине. Проведенное варьирование этого параметра А2 = 0.4 ±0.05 ГэВ2 показало, что неопределенность его значения сказывается лишь при больших значениях передаваемого фотоном импульса Q2 > 6 ГэВ2 и при Q2 = 10 ГэВ2 достигает 10% в улучшенной и 14% в минимальной моделях, т.е. имеет порядок величины ошибки, заложенной в методе ПС КХД. Использование нелокальных конденсатов позволяет расширить область применимости ПС КХД до значения квадрата переданного фотоном импульса 10 ГэВ2. Для сравнения напомним, что стандартные ПС КХД с локальными конденсатами /30, 63, 34/ применимы лишь в области Q2 < 3 ГэВ2.

Мы обнаружили, что центральная линия предсказания в улучшенной модели нелокальных конденсатов находится в пределах ошибки результата минимальной модели вплоть до значений Q2 = 6 ГэВ2. Поэтому мы делаем вывод, что обе модели одинаково хороши в области 1 ^ Q2 ^ 6 ГэВ2. В силу отсутствия более точных экспериментальных данных, мы не можем отдать предпочтение одной из двух рассмотренных моделей и не можем наложить каких либо ограничений на модельные параметры. Необходимо ждать планируемое обновление установки JLab, которое позволит получить достаточно точные данные на интервале значений Q2 = 1-6 ГэВ2.

Наш результат /44, 45, 99/ имеет отличное согласие с решеточными вычислениями /37/, моделью, основанной на уравнении Бете-Солпитера /95/, а также в пределах ошибки согласуется с вычислениями в рамках голографической КХД /38, 40/. Обе гауссовы модели нелокальных вакуумных конденсатов, как минимальная, так и улучшенная, дают пионный формфактор, который хорошо согласуется в пределах ошибок с доступными на сегодняшний день экспериментальными данными.

Заключение

Диссертация посвящена анализу модели нелокальных конденсатов, описывающих непертурбативный КХД-вакуум, и построению модели, согласованной с важными физическими принципами теории поля, такими как калибровочная инвариантность и уравнения движения КХД.

В первой главе, была продемонстрирована необходимость использования нелокальных конденсатов на примере ПС для амплитуды распределения пиона. Использование локальных конденсатов из-за несогласованности пертурбативного и непертурбативного вкладов позволяет исследовать лишь константу распада, а второй момент АР пиона оказывается сильно (более чем в два раза) завышенным /12, 13, 14, 15, 16, 17/. Также имеются ограничения при исследовании формфакторов: для ФФ пиона это Q2 < 3 ГэВ2. Введение нелокальных конденсатов является необходимым условием для построения стабильных правил сумм и извлечения из них реалистических АР и ФФ.

Вторая глава диссертации посвящена рассмотрению модели нелокальных конденсатов: билокального кваркового, кварк-глюон-кваркового, четырехкваркового и глюонного конденсатов. Рассмотрен ряд основных приближений используемых при построении этой модели. В данной главе мы проанализировали лоренцеву структуру коррелятора двух векторных кварковых токов. Оказалось, что в минимальной гауссовой модели вакуума КХД, использовавшейся в работах /15, 19, 20, 21/, поперечность этого коррелятора нарушена и нелокальные конденсаты не согласованы с уравнениями движения КХД. Для исправления этой ситуации была предложена улучшенная гауссова модель нелокальных конденсатов (2.24), согласованная с уравнениями движения КХД, в которой указанное нарушение калибровочной инвариантности минимизировано специальным выбором (2.45) параметров модели. Следует отметить, что полное устранение непоперечности нереализуемо, поскольку это связано с выходом за рамки гауссова приближения. Полученная модель может быть использована для уточнения моментов амплитуд распределения (N < 10) и формфакторов (Q2 < 10 ГэВ2) мезонов.

В третьей главе, используя предложенную модель нелокального вакуума КХД, мы проанализировали правила сумм КХД для пионной АР и показали, что правила сумм КХД приводят к 2-параметрическому "пучку" допустимых моделей для пионной АР с параметрами а2 и а4 (коэффициентами гегенбауэровского разложения (3.8)). Особо хотим подчеркнуть тот факт, что результат в улучшенной модели имеет согласие на уровне ошибок метода ПС с результатом полученным ранее в минимальной модели. Это говорит, с одной стороны, о преемственности обоих подходов, а с другой - о том, что все характерные черты старого "пучка" минимальной модели присущи и новому "пучку". Полученный 2-параметрический "пучок" допустимых моделей для пионной АР находятся в хорошем согласии как с последними решеточными вычислениями /80, 79, 81/, так и с результатом анализа /56, 78/ данных CLEO по формфактору F-^YyiQ2)■

В четвертой главе мы вычислили формфактор пиона при евклидовых значениях передачи импульса 1-10 ГэВ2 в рамках подхода ПС КХД t с нелокальными конденсатами /12, 13, 15, 14/, для которых применялась минимальная и улучшенная модель. Следует отметить, что центральная линия предсказания в улучшенной модели находиться в пределах ошибки результата минимальной модели вплоть до значений Q2 = 6 ГэВ2. При больших Q2 > 7 ГэВ2 разница в моделях превышает ошибку, заложенную в методе ПС КХД, т.е. необходимо учитывать ошибку моделирования, что приведет к увеличению погрешности результата. Поэтому, для получения результата при Q2 > 7 ГэВ2 с ошибкой заложенной в ПС необходимо более точно зафиксировать модель НВК исходя из сравнения с экспериментальными данными, либо из теоретических ограничений, таких как калибровочная инвариантность. Но, несмотря на это, полученные при Q2 > 7 ГэВ2 предсказания представляют интерес. Полученный результат имеет хорошее согласие с решеточными предсказаниями /37/, экспериментальными данными группы Cornell /91, 92, 35/ и JLab /36/, гологра-фической моделью КХД, основанной на AdS/QCD-дуальности /38, 40/ и моделью /95/, основанной на уравнении Бете-Солпитера.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Бакулеву Александру Петровичу за многочисленные обсуждения, постоянную поддержку и помощь в работе.

Хотелось бы выразить благодарность сотрудникам кафедры теоретической физики Иркутского государственного университета и отдельно заведующему кафедрой А. Н. Баллу. Я глубоко признателен С. В. Михайлову и Н. Г. Стефанису за внимание и неоценимую помощь.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пимиков, Александр Владимирович, 2009 год

1. Politzer Н. D. Reliable perturbative results for strong interactions? // Phys. Rev. Lett., 1973, Vol. 30, Pp. 1346-1349.

2. Gross D. J., Wilczek F. Ultraviolet behavior of nonabelian gauge theories // Phys. Rev. Lett., 1973, Vol. 30, Pp. 1343-1346.

3. Georgi H., Politzer H. D. Electroproduction scaling in an asymptotically free theory of strong interactions // Phys. Rev. —1974, Vol. D9, Pp. 416-420.

4. Gross D. J., Wilczek F. Asymptotically free gauge theories. 1 // Phys. Rev., 1973, Vol. D8, Pp. 3633-3652.

5. Gross D. J., Wilczek F. Asymptotically free gauge theories. 2 // Phys. Rev., 1974, Vol. D9, Pp. 980-993.

6. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and resonance physics. Sum rules // Nucl. Phys., 1979, Vol. B147, Pp. 385-447.

7. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and resonance physics: Applications // Nucl. Phys., 1979, Vol. B147, Pp. 448-518.

8. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and resonance physics. The p-u mixing // Nucl. Phys., 1979, Vol. B147, Pp. 519.

9. Reinders L. J., Rubinstein H., Yazaki S. Hadron properties from QCD sum rules // Phys. Rept., 1985, Vol. 127, Pp. 1.

10. Chernyak V. L., Zhitnitsky A. R. Exclusive decays of heavy mesons // Nucl. Phys., 1982, Vol. B201, Pp. 492.

11. Chernyak V. L., Zhitnitsky A. R. Asymptotic behavior of exclusive processes in QCD // Phys. Rept., 1984, Vol. 112, Pp. 173.

12. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. Nonlocal condensates and QCD sum rules for pion wave function // JETP Lett., 1986, Vol. 43, Pp. 712-715.

13. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. Quark condensate nonlocality and pion wave function in QCD // Sov. J. Nucl. Phys., 1989, Vol. 49, Pp. 494-503.

14. Bakulev A. P., Radyushkin A. V. Nonlocal condensates and QCD sum rules for the pion form-factor // Phys. Lett., 1991, Vol. B271, Pp. 223230.

15. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. The pion wave function and QCD sum rules with nonlocal condensates // Phys. Rev., 1992, Vol. D45, Pp. 1754-1759.

16. Radyushkin A. V. Pion wave function from QCD sum rules with nonlocal condensates // River Edge, N.J. World Scientific, 1994, Pp. 238-248.

17. Bakulev A. P., Mikhailov S. V. QCD sum rules for pion wave function revisited // Z. Phys., 1995, Vol. C68, Pp. 451-458.

18. Mikhailov S. V. Nonlocal gluonic condensate in QCD sum rules for the meson wave functions // Phys. Atom. Nucl., 1993, Vol. 56, Pp. 650657.

19. Bakulev A. P., Mikhailov S. V. The /з-meson and related meson wave functions in QCD sum rules with nonlocal condensates // Phys. Lett., 1998, Vol. B436, Pp. 351.

20. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. QCD-based pion distribution amplitudes confronting experimental data // Phys. Lett., 2001, Vol. B508, Pp. 279-289.

21. Бакулев А. П., Пимиков А. В. Самосогласованная Гауссова модель непертурбативного КХД вакуума // Письма в ЭЧАЯ, 2007, Т. 4, С. 637-653.

22. Bakulev А. P., Pimikov А. V. Self-consistent Gaussian model of nonperturbative QCD vacuum // Acta Phys. Polon., 2006, Vol. B37, Pp. 3627-3634.

23. A. P. Bakulev, K. Passek-Kumericki, W. Schroers, N. G. Stefanis Pion form factor in QCD: From nonlocal condensates to NLO analytic perturbation theory // Phys. Rev., 2004, Vol. D70, Pp. 033014.

24. Braguta V., Lucha W., Melikhov D. Pion form factor at spacelike momentum transfers from local-duality QCD sum rule // Phys. Lett. — 2008, Vol. B661, Pp. 354-359.

25. Isgur N., Llewellyn Smith С. H. Asymptopia in high Q2 exclusive processes in QCD // Phys. Rev. Lett., 1984, Vol. 52, Pp. 1080.

26. Jacob О. C., Kisslinger L. S. Applicability of asymptotic QCD for exclusive processes // Phys. Rev. Lett., 1986, Vol. 56, Pp. 225.

27. Isgur N., Llewellyn Smith С. H. The applicability of perturbative QCD to exclusive processes // Nucl. Phys., 1989, Vol. B317, Pp. 526-572.

28. Jakob R., Kroll P. The pion form-factor: Sudakov suppressions and intrinsic transverse momentum // Phys. Lett., 1993, Vol. B315, Pp. 463-470.

29. Nesterenko V. A., Radyushkin A. V. Sum rules and pion form-factor in QCD // Phys. Lett., 1982, Vol. B115, Pp. 410-413.

30. Radyushkin A. V. Quark-hadron duality and intrinsic transverse momentum // Acta Phys. Polon., 1995, Vol. B26, Pp. 2067-2096.

31. Bakulev A. P., Radyushkin A. V., Stefanis N. G. Form factors and QCD in spacelike and timelike regions // Phys. Rev., 2000, Vol. D62, Pp. 113001.

32. Nesterenko V. A., Radyushkin A. V. QCD sum rule analysis of the pion form-factor behavior in small Q2 region // JETP Lett., 1984, Vol. 39, Pp. 707.

33. Ioffe B. L., Smilga A. V. Meson widths and form-factors at intermediate momentum transfer in nonperturbative QCD // Nucl. Phys., 1983, Vol. B216, Pp. 373.

34. Bebek C. J. et al. Electroproduction of single pions at low e and a measurement of the pion form-factor up to Q2 = 10 GeV2 // Phys. Rev., 1978, Vol. D17, Pp. 1693-1705.

35. Huber G. M. et al. Charged pion form factor between Q2 = 0 60 and 2.45 GeV2. II. Determination of, and results for, the pion form factor // Phys. Rev., 2008, Vol. C78, Pp. 045203.

36. Brommel D. et al. The pion form factor from lattice QCD with two dynamical flavours // Eur. Phys. J., 2007, Vol. C51, Pp. 335-345.

37. Brodsky S. J., de Teramond G. F. Light-Front Dynamics and AdS/QCD Correspondence: The Pion Form Factor in the Space- and Time-Like

38. Regions // Phys. Rev., 2008, Vol. D77, Pp. 056007.i

39. Agaev S. S., Gomshi Nobary M. A. Pion distribution amplitude from holographic QCD and the electromagnetic form factor F7V(Q2) // Phys. Rev., 2008, Vol. D77, Pp. 074014.

40. Grigoryan H. R., Radyushkin A. V. Pion in the Holographic Model with 5D Yang-Mills Fields // Phys. Rev., 2008, Vol. D78, Pp. 115008.

41. Kwee H. J., Lebed R. F. Pion Form Factor in Improved Holographic QCD Backgrounds // Phys. Rev., 2008, Vol. D77, Pp. 115007.

42. Bakulev A. P., Pimikov A. V. Pion quark structure in QCD // Int. J. Mod. Phys., 2007, Vol. A22, Pp. 654-658.

43. A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, A. V. Pimikov, N. G. Stefanis Pion structure in QCD: From theory to lattice to experimental data// Fizika, 2008, Vol. B17, Pp. 217-230.

44. Bakulev A. P., Pimikov A. V., Stefanis N. G. , Pion Form Factor in the NLC QCD SR approach// ArXiv:0903.1994 hep-ph., 2009.

45. Bakulev, A. P. and Pimikov, A. V. and Stefanis, N. G., QCD sum rules with nonlocal condensates and the spacelike pion form factor// Phys. Rev. D, 2009, Vol. 79, Pp. 093010.

46. Wilson K. G. Nonlagrangian models of current algebra // Phys. Rev., 1969, Vol. 179, Pp. 1499-1512.

47. Grozin A. G. Methods of calculation of higher power corrections in QCD // Int. J. Mod. Phys., 1995, Vol. A10, Pp. 3497-3529.

48. Belyaev V. M., Ioffe B. L. Determination of baryon and baryonic masses from QCD sum rules. Strange baryons // Sov. Phys. JETP—1983, Vol. 57, Pp. 716-721.

49. Ovchinnikov A. A., Pivovarov A. A. QCD sum rule calculation of the quark gluon condensate // Sov. J. Nucl. Phys., 1988, Vol. 48, Pp. 721723.

50. D'Elia M., Di Giacomo A., Meggiolaro E. Gauge-invariant quark antiquark nonlocal condensates in lattice QCD // Phys. Rev., 1999, Vol. D59, Pp. 054503.

51. Bakulev A. P., Mikhailov S. V. Lattice measurements of nonlocal quark condensates, vacuum correlation length, and pion distribution amplitude in QCD // Phys. Rev., 2002, Vol. D65, Pp. 114511.

52. Dorokhov A. E., Esaibegian S. V., Mikhailov S. V. Virtualities of quarks and gluons in QCD vacuum and nonlocal condensates within single instanton approximation // Phys. Rev., 1997, Vol. D56, Pp. 4062-4068.

53. Polyakov M. V., Weiss C. Mixed quark-gluon condensate from instantons // Phys. Lett., 1996, Vol. B387, Pp. 841-847.

54. Bakulev A. P. QCD sum rules: From quantum-mechanical oscillator to pion structure in QCD // Acta Phys. Polon., 2006, Vol. B37, Pp. 36033626.

55. Schael S. et al. Branching ratios and spectral functions of tau decays: Final ALEPH measurements and physics implications // Phys. Rept., 2005, Vol. 421, Pp. 191-284.

56. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. Unbiased analysis of CLEO data beyond LO and pion distribution amplitude // Phys. Rev., 2003, Vol. D67, Pp. 074012. .

57. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. Tagging the pion quark structure in QCD // Phys. Rev., 2006, Vol. D73, Pp. 056002.

58. Gronberg J. et al. Measurements of the meson photon transition form factors of light pseudoscalar mesons at large'momentum transfer // Phys. Rev., 1998, Vol. D57, Pp. 33-54.

59. Baier V. K., Pinelis Y. F. Effect of vacuum'fluctuations on cross-sections of hard processes in QCD, IYF preprint 81-141, Novosibirsk, 1981.

60. Gromes D. Space-time dependence of the gluon condensate correlation function and quarkonium spectra // Phys. Lett., 1982, Vol. B115, Pp. 482-486.

61. Shuryak Е. V. The role of instantons in quantum chromodynamics. 3. quark-gluon plasma // Nucl. Phys., 1982, Vol. B203, Pp. 140-156.

62. Stefanis N. G. Gauge invariant quark two-point Green's function through connector insertion to 0(as) // Nuovo Cim., 1984, Vol. A83, Pp. 205.

63. Ioffe B. L., Smilga A. V. Pion form-factor at intermediate momentum transfer in QCD // Phys. Lett., 1982, Vol. B114, Pp. 353-358.

64. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. The process 7*7* —»• 7т0 and the nonlocality of condensates // Sov. J. Nucl. Phys. — 1990, Vol. 52, Pp. 697-703.

65. Dosch H. G., Simonov Y. A. The Area Law of the Wilson Loop and-Vacuum Field Correlators // Phys. Lett., 1988, Vol. B205, Pp. 339.

66. Simonov Y. A. Cluster expansion, nonabelian stokes theorem and magnetic monopoles // Sov. J. Nucl. Phys., 1989, Vol. 50, Pp. 134.

67. Radyushkin A. V. Deep elastic processes of composite particles in field theory and asymptotic freedom, Dubna preprint P2-10717, 1977, hep-ph/0410276.

68. Efremov A. V., Radyushkin A. V. Factorization and asymptotic behaviour of pion form factor in QCD // Phys. Lett., 1980, Vol. B94, Pp. 245-250.

69. Lepage G. P., Brodsky S. J. Exclusive processes in quantum chromodynamics: Evolution equations for hadronic wave functions and the form-factors of mesons // Phys. Lett., 1979, Vol. B87, Pp. 359-365.

70. Efremov A. V., Radyushkin A. V. Asymptotical behavior of pion electromagnetic form factor in QCD // Theor. Math. Phys., 1980, Vol. 42, Pp. 97-110.

71. Lepage G. P., Brodsky S. J. Exclusive processes in perturbative quantum chromodynamics // Phys. Rev., 1980, Vol. D22, Pp. 2157.

72. Bakulev A. P., Mikhailov S. V. QCD vacuum tensor susceptibility and properties of transversely polarized mesons // Eur. Phys. J., 2000, Vol. C17, Pp. 129-135.

73. Khodjamirian A. Form factors of 7* p —> ix and 7*7 —»7r° transitions and light-cone sum rules // Eur. Phys. J., 1999, Vol. C6, Pp. 477-484.

74. Schmedding A., Yakovlev O. Perturbative effects in the form factor 77* —> 7T° and extraction of the pion wave function from CLEO data // Phys. Rev., 2000, Vol. D62, Pp. 116002.

75. Stefanis N. G., Schroers W., Kim H.-C. Pion form factors with improved infrared factorization // Phys. Lett., 1999, Vol. B449, Pp. 299.

76. Stefanis N. G., Schroers W., Kim H.-C. Analytic coupling and Sudakov effects in exclusive processes: Pion and 7*7 —» 7r° form factors// Eur. Phys. J., 2000, Vol. C18, Pp. 137-156.

77. Ruiz Arriola E., Broniowski W. Pion light-cone wave function and pion distribution amplitude in the Nambu-Jona-Lasinio model // Phys. Rev., 2002, Vol. D66, Pp. 094016.

78. Agaev S. S. Impact of the higher twist effects on the 77* —» 7Г° transition form factor // Phys. Rev., 2005, Vol. D72, Pp. 114010, hep-ph/0511192.

79. Gockeler M. et al. Second moment of the pion's distribution amplitude // Nucl. Phys. Proc. Suppl., 2006, Vol. 161, Pp. 69-74.

80. Del Debbio L. Pion distribution amplitude from the lattice // Few Body Syst., 2005, Vol. 36, Pp. 77-82.

81. Donnellan M. A. et al. Lattice Results for Vector Meson Couplings and Parton Distribution Amplitudes // PoS, 2007, Vol. LAT2007, Pp. 369.

82. Braun V. M. et al. Moments of pseudoscalar meson distribution amplitudes from the lattice // Phys. Rev., 2006, Vol. D74, Pp. 074501, hep-lat/0606012.

83. Martinelli G., Sachrajda С. T. A lattice calculation of the pion's form-factor and structure function // Nucl. Phys., 1988, Vol. B306, Pp. 865.

84. Chernyak V. L., Zhitnitsky A. R. Asymptotic behavior of hadron form-factors in quark model, (in russian) // JETP Lett., 1977, Vol. 25, Pp. 510-513.

85. Chernyak V. L., Zhitnitsky A. R., Serbo V. G. Asymptotic hadronic form-factors in quantum chromodynamics // JETP Lett., 1977, Vol. 26, Pp. 594-597.

86. Efremov A. V., Radyushkin A. V. Asymptotical behavior of pion electromagnetic form factor in QCD // Theor. Math. Phys., 1980, Vol. 42, Pp. 97-110.

87. Lepage G. P., Brodsky S. J. Exclusive processes in quantum chromodynamics: Evolution equations for hadronic wave functions and the form-factors of mesons // Phys. Lett., 1979, Vol. B87, Pp. 359-365.

88. Braguta V. V., Onishchenko A. I. Pion form factor and QCD sum rules: Case of axial current // Phys. Lett., 2004, Vol. B591, Pp. 267-276.

89. Shirkov D. V., Solovtsov I. L. Analytic model for the QCD running coupling with universal as(0) value // Phys. Rev. Lett., 1997, Vol. 79, Pp. 1209-1212.

90. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and resonance physics. Sum rules // Nucl. Phys., 1979, Vol. B147, Pp. 385-447.

91. Bebek C. J. et al. Further measurements of forward-charged-pion electroproduction at large к2 // Phys. Rev., 1974, Vol. D9, Pp. 12291242.

92. Bebek С. J. et al. Measurement of the pion form-factor up to Q2 = 4 GeV2 // Phys. Rev., 1976, Vol. D13, Pp. 25-42.

93. Ruiz Arriola E., Broniowski W. Pion electromagnetic form factor, perturbative QCD, and large-Nc Regge models // Phys. Rev., 2008, Vol. D78, Pp. 034031.

94. Raha U., Aste A. Electromagnetic pion and kaon form factors in light-cone resummed perturbative QCD // Phys. Rev., 2009, Vol. D79, Pp. 034015.

95. Maris P., Tandy P. C. The pi, K+, and K0 electromagnetic form factors // Phys. Rev., 2000, Vol. C62, Pp. 055204.

96. Stefanis N. G. New vistas of the meson structure in QCD from low to high energies // Nucl. Phys. Proc. Suppl., 2008, Vol. 181-182, Pp. 199203.

97. Bakulev A. P., Pimikov A. V., Stefanis N. G. , Pion form factor in the QCD sum-rule approach with nonlocal condensates.// ArXiv:0905.2522 hep-ph., 2009.