Свойства конформного радиуса и теоремы единственности для внешних обратных краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ахметова, Альбина Наилевна

• Ахметова, Альбина Наилевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ахметова, Альбина Наилевна

Введение.

Глава 1. О геометрических свойствах конформного радиуса и его градиента.

§ 1.1. Дифференциальные свойства поверхности конформного радиуса

1.1.1. Случай выпуклых областей.

1.1.2. Случай областей с конечными выпуклыми дополнениями.

§ 1.2. Квазиконформные отображения, определяемые градиентом конформного радиуса.

1.2.1. Исключительные случаи квазиконформности градиента конформного радиуса

1.2.2. Особенности строения образа градиента конформного радиуса.

Глава 2. О единственности решения внешних обратных краевых задач.

§ 2.1. Радиус Гахова и теоремы единственности для решения внешних обратных краевых задач

2.1.1. Единственность решения внешней задачи в классе функций М.Т. Нужина

2.1.2. Единственность решения внешней задачи в классе дуг Н.Е. Жуковского

§ 2.2. Теоремы существования и единственности для интегралов Кристоффеля-Шварца и их аналогов в двусвязном случае.

Глава 3. Конформный и внутренний радиусы для двусвязных областей

§ 3.1. Конформный радиус, определяемый поверхностью наложения для двусвязной области.

§ 3.2. Исследование внутреннего радиуса для двусвязной области

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства конформного радиуса и теоремы единственности для внешних обратных краевых задач»

Диссертация посвящена исследованию свойств конформного радиуса, его градиента и их приложениям в теории внешних обратных краевых задач для аналитических функций [21], [25], [52], [51], [6].

Одно из направлений изучения конформного радиуса определяется его связью с различными характеристиками плоской области (трансфинитным диаметром, площадью области, длиной её границы и др.), широким применением в математической физике и вовлечением всех этих понятий в изопериметрические неравенства. Изучением конформного радиуса занимались ещё Д. Полна и Г. Сегё [44], и интерес к получению различных оценок упомянутых величин подтверждается появлением новых достижений в этой области [61], [33], [37], [1].

Г. Хиги [66] получена формула для вычисления конформного радиуса односвязной области I) в точке г; в виде |/'(С)|(1- К12), (0.1) где 2 = /(£) — функция, реализующая конформное отображение единичного круга Е = : < 1} на область D = /(-Б). При этом выражение (0.1) интерпретируется как график функции представляющий собой поверхность в Е3 над кругом Е или областью И. Назовем эти области основаниями поверхности конформного радиуса.

Д. Минда, С.-А. Ким и Д. Райт [65], [64] доказали, что необходимым и достаточным условием выпуклости (вверх) поверхности конформного радиуса над конечной областью И является выпуклость Б. Л.В. Ковалёв [63] установил, что критерием выпуклости (вниз) поверхности конформного радиуса над бесконечной областью , оо € является выпуклость граничной кривой Выпуклость области В остается необходимым условием выпуклости поверхности конформного радиуса, построенной над основанием Е, но не достаточным.

В настоящей работе выделены классы областей, для которых поверхность конформного радиуса теряет свойство выпуклости при построении над кругом Е для конечной области О или над внешностью круга Е для бесконечной области (оо £ -О-).

В неравенствах математической физики [55], [43], [23], [22], [39], [40], [2] участвует величина

2 = х + гу € Д которую будем называть комплексным градиентом (для краткости градиентом) конформного радиуса. Инициатива в. изучении (0.2) как самостоятельного объекта принадлежит Ф.Г. Авхадиеву и К.-Й. Виртсу [60]. На основании поведения якобиана градиента конформного радиуса ими доказана диффеоморфность градиента и выяснено строение множества его значений в зависимости от вида области.

В данной диссертации получены результаты, характеризующие градиент конформного радиуса в терминах квазиконформных отображений [Ц], и выделены не отмеченные в [60] эффекты для УД(/(г£|), /(г£)). 0 < г < 1, при переходе из Е в гЕ.

Интерес специалистов по геометрической теории функций к конформному радиусу вызван также его связями с различными экстремальными и граничными задачами, в частности, с внешней обратной краевой задачей (окз).

Внешняя окз по параметру 5 ([21], [52]) состоит в односвязном случае в отыскании области БгсСс границей Ьг и регулярной в функции w{z) по известным граничным значениям w(z) = u(s) + iv(s), 0 < s < I, (0.3)

Lz искомой функции, где s — дуговая абсцисса кривой Lz, I — её длина.

Как известно [21], в процессе решения задачи сначала восстанавливается функция x{w) = в области Dw, ограниченной кривой Lw с уравнением (0.3), а затем определяется функция z(w), обратная к искомой. В постановке М.Т. Нужина ([52], с. 35) при фиксированном значении w(oo) = wq для однозначности функции z(w) в Dw необходимо выполнение одного условия разрешимости. В постановке Ф.Д. Гахова ([21], с. 303), когда значение Wq не фиксируется, это условие служит для определения полюса wq функции z(w) и известно в теории внешних окз как уравнение Ф.Д. Гахова, который впервые его получил и доказал разрешимость [20].

Исследованию числа решений уравнения Ф.Д. Гахова и получению условий единственности решения внешней окз посвящен ряд работ [3], [36], [5], [59], [8], [56], [42], [29], [9], [11], [10]. Ф.Д. Гаховым [20], [21], B.C. Рогожиным [47], [48], М.Т. Нужиным [52], С.Н. Кудряшовым [34], [35] построены примеры неединственности решения уравнения Ф.Д. Гахова.

В настоящей диссертации по функциям, определяющим неединственность решения внешней окз, получены классы единственности решения на базе понятия радиуса единственности (или радиуса Ф.Д. Гахова).

Вопрос разрешимости внешней окз возникает и для многосвязных областей. П.Л. Шабалиным [57] получено интегральное представление для решения такой задачи и выведен аналог уравнения Ф.Д. Гахова. Я.А. Аксентьевым [7], [8] установлено, что точка Wq является решением уравнения Ф.Д. Гахова тогда и только тогда, когда она является стационарной точкой некоторой поверхности в R3. Используя этот факт, М.И. Киндер [27], [28] доказал, что число решений уравнения Ф.Д. Гахова не меньше порядка связности области. A.B. Киселёв и С.Р. Насыров [29] выяснили структуру множества корней этого уравнения.

Градиентный подход к внешней окз даёт следующий результат: однократное покрытие нуля в множестве значений градиента будет соответствовать однократному решению внешней окз, а многократное покрытие нуля приведёт к неединственному решению окз.

Перейдём к детальному изложению результатов работы.

Диссертация состоит из шести параграфов, объединённых в три- главы. Нумерация теорем, лемм, примеров и формул сквозная.

В первой главе речь идет о дифференциальных свойствах конформного радиуса (0.1). В § 1.1 исследуется поверхность конформного радиуса (0.1) для области с выпуклой границей, включающей прямолинейный отрезок. Через будем обозначать поверхность конформного радиуса над конечной областью D, через — поверхность над бесконечной областью D~~ (оо Е D~). Имеют место

Теорема 1. Поверхность Î2+ конформного радиуса для выпуклой области D с прямолинейным участком границы I С dD, построенная над основанием Е, не является поверхностью, выпуклой вверх.

Теорема 2. Поверхность конформного радиуса для внешности выпуклой области D с прямолинейным участком границы I С dD, построенная над основанием Е~ = {( G С : |£| > 1}, не является поверхностью, выпуклой вниз.

В § 1.2 изучается поведение градиента (0.2) конформного радиуса как квазиконформного отображения [14] и строится классификация градиентных отображений для областей с выпуклыми границами на основе исследования неравенства

0 < ^ < 1. (0.4)

Как уже было отмечено, задача такого построения инициирована статьей [60], результаты которой дополняются материалами данного параграфа.

Достижение равенства в (0.4) «слева» связано с улучшением свойств градиентного отображения.

Теорема 3. Градиент (0.2) конформного радиуса (0.1) осуществляет конформное отображение области И тогда и только тогда, когда граница Б является окружностью в С.

Другие случаи квазиконформности (в том числе и вырожденные в связи с достижением равенства в (0.4) «справа», соответствующие случаям вырождения диффеоморфности в [60]) представлены в следующих трёх теоремах.

Пусть Ва = {г : | < 0 < а < 1, и = {г : 11тг| < |}.

Для выпуклой области И справедлива

Теорема 4. Градиент (0.2) конформного радиуса (0.1) для любой выпуклой области И, отличной от Иа и -Оо> осуществляет квазиконформное отображение. Для угловой области 0 < а < 1, и полосы D0 по всей области

Rzz{D,z)

Rzz{D,z) 1.

При переходе ко вложенным областям f(rE), 0 < г < 1, получим К (г2)-квазиконформные отображения для любой выпуклой обла-emu f(E), где К(г2) <

В случае области = С\Й с конечным выпуклым дополнением И конформный радиус области определяет выпуклую вниз поверхность [30], [31]. Строение градиента конформного радиуса отражает

Теорема 5. Градиент (0.2) конформного радиуса /(С)) для любой области с конечным выпуклым дополнением осуществляет квазиконформное отображение.

При переходе ко вложенным областям 1 < г < оо, получим

К{1 /г2)-квазиконформные отображения для любой области где к( 1/г2) <

Для области с выпуклым дополнением Б и бесконечно удалённой точкой на границе имеет место

Теорема 6. Градиент (0.2) конформного радиуса для любой области за исключением £)а, а 6 [1,2], с выпуклым дополнением и бесконечно удалённой точкой на границе осуществляет квазиконформное отображение. Для Оа, а £ [1,2], по всей области справедливо тождество

Дгг(Дг) 1.

В статье [60] на примере одной угловой области получена структура множества значений градиента как эпициклоиды. В данной работе справедливость подобных рассуждений для любой угловой точки подчеркивает

Теорема 7. Предельным множеством для угловой точки г = 0 многоугольной области И под действием градиентной функции (0.2) при приближении к х — 0 по радиальным направлениям будет кривая: при 0 < а < 1 - гипоциклоида, при 1 < а < 2 - эпициклоида. В случае а = 1 точке 2 = 0 будет соответствовать единственная точка на

Ы = 2.

Вторая глава посвящена исследованию уравнения Ф.Д. Гахова для некоторых классов функций. В § 2.1 вводится понятие радиуса единственности Яе < 1, который связан с радиусом выпуклости R}z ([22], с. 166) соотношением Н^ < Яе < 1. Имеет место

Теорема 8. Для функции / из класса Т, состоящего из функций, для которых

J0 £П , ЛП+1 ,

С) ; ; ' м, 1 < м < оо, т радиус единственности и радиус выпуклости равны соответственно

In-2

МрГ2(1-Р§)Г V —

Re[f] = min ( 1, С/ п2,,-— ) , где р0 = \/— > / е ^ радиус выпуклости

Rem - min (l, yjj ,

Л = лет =

Для каждой функции / найдётся соответствующее значение поэтому в случае определённой функции / будем писать Re[f], для определённого класса Т функций — Re{F].)

Далее даются оценки Rk и Re в классе JF/v (обозначение автора) функций М.Т. Нужина ([52], с. 54) и для дуг Н.Е. Жуковского ([38], с. 150).

Теорема 9. В классе Тм функций М. Т. Нужина внешняя обратная краевая задача разрешима единственным образом в круге радиуса

Re[f}= min( 1, , а>1> /е^, 1

Re[FjA = а>1,

V а 9 причём радиус выпуклости для этого класса функций равен

Я>к[Рлг] = —¡==, а > 1у2а

Теорема 10. Если одним из решений внешней обратной краевой задачи является дуга Жуковского с отображающей функцией 1 /х/о^ТТ? а2 С , , то будет существовать и второе решение. При этом радиус единственности опишется выражением г/27с4 + 45с2 + 16 - 2л/4 + Зс2(4 + Зс2) 1 п Ш = \1-27с2 (с2 + 1) -±<1,0<с<+оо, где /'(С) = С2^'(0- В случае вырождения дуги при с = 0 в прямолинейный отрезок решение будет единственным (Re[f] — 1)

В § 2.2 найдены необходимые и достаточные условия однозначности интегрального представления Кристоффеля-Шварца

ЛС) = <* £ K-afaji-^A + <>■ - ПК - ¿Т"1. (°-5) при ajfc = 1 + к = 1, п. Это отражает

Теорема 11. При п = 3 интегральное представление (0.5) определяет однозначную функцию с а — 0 тогда и только тогда, когда егвк, к = 1,3, являются вершинами правильного вписанного в единичную окружность треугольника, при п = 4 - тогда и только тогда, когда егвк, А; = 1,4, являются вершинами вписанного в единичную окружность прямоугольника.

При п > 5 достаточным условием однозначности функции (0.5) с а = 0 является расположение ег9к в вершинах правильного вписанного в окружность п-угольника.

В случае двусвязной полигональной области справедлива Теорема 12. Существует однозначное представление аналога интеграла Кристоффеля-Шварца в двусвязном случае где §1 — эллиптическая тета-фунщия. При вырождении одной из граничных компонент в точку оно совпадает с (0.5).

Глава 3 посвящена исследованию поверхности конформного и внутреннего радиусов в двусвязном случае.

Понятие конформного радиуса согласно [67], [55] распространяется на многосвязные области двояким образом: с помощью универсальной поверхности наложения и с помощью отображения многосвязной области на круг с концентрическими разрезами. Будем отождествлять конформный радиус универсальной поверхности наложения многосвязной области и конформный радиус самой многосвязной области.

В первом параграфе третьей главы изучено строение поверхности конформного радиуса для кольцевой канонической области.

Теорема 13. Поверхность конформного радиуса над кольцом Щ1&] — {г '■ 1 < М < Ф} состоит из следующих трёх частей: а) поверхность над кольцом 1 < \г\ < является выпуклой вниз, б) поверхность над кольцом < \г\ < является выпуклой вверх, в) поверхность над кольцом < \г\ < Ссостоит из седловых точек, 0 < а < (5 < 1.

Для кольца д] формулируется аналогичная теорема 14.

В [60] имеется результат о строении множества значений градиента для двусвязной области, когда одна из двух выпуклых граничных компонент вырождается и область представляет собой проколотую в оо внешность выпуклой кривой. Дополнением к этому результату является

Теорема 15. Градиент конформного радиуса для кольцевой области Е^д] осуществляет отображение кольца на вырожденную риманову поверхность, состоящею из двух кругов радиуса 2 с единственной точкой скрепления в нуле и кольцевой складкой вдоль границы одного из них.

Предельные положения теорем 13 и 14 (при д 0 и <3 —> оо) и соответствующие предельные положения для внутреннего радиуса приводят к выводу о существенном геометрическом различии конформного и внутреннего радиусов в двусвязном случае.

Выделим основные результаты работы.

Доказано, что поверхность конформного радиуса для области с выпуклой границей, включающей прямолинейный участок, теряет свойство выпуклости при переносе её основания на каноническую область (теоремы 1,2).

Проведена классификация градиентных отображений (определяемых конформным радиусом) областей с выпуклыми границами. Выявлены четыре случая: конформность градиента,

II) квазиконформность градиента в замкнутой области,

III) квазиконформность градиента в открытой области с вырождением на границе, iv) глобальное вырождение градиента (теоремы 3-6).

По всему классу выпуклых функций на г-линиях уровня этих функций обоснована невырожденность градиента конформного радиуса с коэффициентом квазиконформности К (г2) < 0 < г < 1 (теоремы 4, 5).

Для г-линий уровня решений внешней обратной краевой задачи введено понятие радиуса Ф.Д. Гахова и даны оценки этого радиуса в классе профилей Н.Е. Жуковского и классе примеров М.Т. Нужина (теоремы 8-10).

Даны сравнительные характеристики внутреннего и конформного радиусов в двусвязном случае (на примере кольцевых областей) (теоремы 13, 14).

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17], [19] и тезисах [16], [18]. В статье [17], написанной совместно с JI.A. Аксентье-вым и A.B. Хмельницкой, автору принадлежат теоремы 3-6, теорема 7 получена совместно. В кратком сообщении [19] в соавторстве с JI.A. Ак-сентьевым формулировки (и идеи доказательств) теорем принадлежат научному руководителю, доказательства — автору. В диссертацию включены результаты, принадлежащие только автору.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель — профессор JI.A. Аксентьев), на итоговых научных конференциях Казанского университета (2006-2009), на семинаре отдела математического анализа НИИММ им. Н.Г. Чеботарева КГУ (руководитель — профессор Ф.Г. Авхадиев), на VI и VII международных Казанских летних школах-конференциях (2005, 2007).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ахметова, Альбина Наилевна, 2009 год

1. Авхадиев, Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства и их приложения/ Ф.Г. Авхадиев. - Препринт № 95-1. - Изд-во Казан, фонд «Математика». - Казань. - 1995. - 26 с.

2. Авхадиев, Ф.Г. Неравенства для интегральных характеристик областей/ Ф.Г. Авхадиев. Уч. пособие. - Казань: Казан, ун-т, 2006.- 141 с.

3. Авхадиев, Ф.Г. Об одном классе однолистных функций/ Ф.Г. Авхадиев, JI.A. Аксентьев // Изв. вузов. Математика. 1970. - № 10.- С. 12-20.

4. Авхадиев, Ф.Г. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения/ Ф.Г. Авхадиев, JT.A. Аксентьев, A.M. Елизаров //В кн.: Итоги науки и техники: Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1987. - Т. 25. - С. 3-121.

5. Аксентьев, JI.A. О единственности решения внешней обратной краевой задачи/ JT.A. Аксентьев, Ю.Е. Хохлов, Е.А. Широкова // Мат. заметки. 1978. - Т. 24. - С. 319-333.

6. Аксентьев, Л.А. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения/ JI.A. Аксентьев, Н.Б. Ильинский, М.Т. Нужин, Р.Б. Салимов, Г.Г. Тумашев //В кн.: Итоги науки и техники: Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1980. - Т. 18. - С. 69-126.

7. Аксентьев, JI.A. Разрешимость внешней обратной краевой задачи в случае многосвязной области/ JI.A. Аксентьев, М.И. Киндер,C.B. Сагитова // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан. ун-т. - 1983. - Вып. 20. - С. 22-34.

8. Аксентьев, J1.A. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области/ JI.A. Аксентьев // Изв. вузов. Математика. 1984. - № 2 (261). - С. 3-11.

9. Аксентьев, JI. А., О классах единственности внешней обратной краевой задачи/ JT.A. Аксентьев, A.B. Казанцев, М.И. Киндер, A.B. Киселёв // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан. ун-т. - 1990. - Вып. 24. - С. 39-62.

10. Аксентьев, JI.A. О поведении конформного радиуса в подклассах однолистных областей/ JI.A. Аксентьев, В.П. Микка // Изв. вузов. Математика. 2001. - № 8. - С. 20-28.

11. Аксентьев, JI.A. О теоремах единственности для внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций/ JI.A. Аксентьев, A.B. Казанцев, Н.И. Попов // Изв. вузов. Математика. -1998. № 8. - С. 3-13.

12. Аксентьев, JI.A. Локальное строение поверхности внутреннего конформного радиуса для плоской области/ JI.A. Аксентьев // Изв. вузов. Математика. 2002. - № 4. - С. 3-12.

13. Аксентьев JI.A. Выпуклость поверхности конформного радиуса и оценки коэффициентов отображающей функции/ JI.A. Аксентьев // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 4. - С. 8-15.

14. Альфорс, JI. Лекции по квазиконформным отображениям/ JI. Альфорс. М.: Мир, 1969. - 135 с.

15. Ахиезер, Н.И. Элементы теории эллиптических функций/ Н.И. Ахиезер. 2 изд. - М.: Наука, 1970. - 304 с.

16. Ахметова, А.Н. Свойства поверхностей конформного радиуса для интегралов Кристоффеля-Шварца/ JI.A. Аксентьев, А.Н. Ахметова, A.B. Хмельницкая // Матер. Седьмой международ. Казан, летней научной шк.-конф. 2005. - С. 10-11.

17. Ахметова, А.Н. О выпуклости поверхностей, определяемых конформным радиусом плоской области/ Л.А. Аксентьев, А.Н. Ахметова, A.B. Хмельницкая // Изв. вузов. Математика. 2007. - № 4 (539). - С. 3-20.

18. Ахметова, А.Н. Об отображениях, связанных с градиентом конформного радиуса/ Л.А. Аксентьев, А.Н. Ахметова // Матер. Восьмой международ. Казан, летней научной шк.-конф. 2007. -С. 19-20.

19. Ахметова, А.Н. Об отображениях, связанных с градиентом конформного радиуса/ Л.А. Аксентьев, А.Н. Ахметова // Изв. вузов. Математика. 2009. - № 6. - С. 60-64.

20. Гахов, Ф.Д. Об обратных краевых задачах/ Ф.Д. Гахов // ДАН СССР. 1952. - Т. 86. - № 4. - С. 649-652.

21. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи/ Ф.Д. Гахов. 2 изд. - М.: Гос. изд-во физ.-матем. лит-ры, 1977. - 640 с.

22. Голузин, Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного/ Г.М. Голузин. 2-е изд. - М.: Наука, 1966. - 628 с.

23. Дженкинс, Дж. Однолистные функции и конформные отображения/ Дж. Дженкинс. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. - 266 с.

24. Елизаров, A.M. Обратные краевые задачи аэрогидромеханики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей/ A.M. Елизаров, Н.Б. Ильинский, A.B. Поташев. М.: Физматлит. - 1994. - 436 с.

25. Ильинский, Н.Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации/ Н.Б. Ильинский, М.Т.Нужин. Казань: Казан, ун-т, 1963. - 139 с.

26. Казанцев, A.B. Экстремальные свойства внутренних радиусов и их приложения: дисс. . канд. физ.-матем. наук/ A.B. Казанцев; Казан, гос. ун-т. Казань, 1990. - 145 с.

27. Киндер, М.И. Внешние обратные краевые задачи в многосвязных областях и на римановых поверхностях: дисс. . канд. физ.-матем. наук/ М.И. Киндер; Казан, гос. ун-т. Казань, 1984. -146 с.

28. Киндер, М.И. Исследование уравнения Ф.Д. Гахова в случае многосвязной области/ М.И. Киндер // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан, ун-т. - 1985. - Вып. 22. - С. 104-116.

29. Киселёв, A.B. О структуре множества корней уравнения Ф.Д. Гахова для односвязной и многосвязной областей/ A.B. Киселёв, С.Р. Насыров // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан, ун-т. - 1990. - Вып. 8. - С. 105-115.

30. Ковалёв, Л.В. Приведённые модули и теоремы искажения в теории однолистных функций: дисс. . канд. физ.-матем. наук/ Л.В. Ковалёв; Дальневост. гос. ун-т. Владивосток, 2000. - 106 с.

31. Ковалёв, Л.В. Дифференциальные свойства конформного радиуса/ Л.В. Ковалёв // Тез. докл. 3-й Дальневосточной конф. по матем. моделир. Владивосток. - 1999. - С. 31.

32. Коппенфельс, В. Практика конформных отображений/ В. Коп-пенфельс, Ф. Штальман. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. - 406 с.

33. Костюченко, Е.В. Задача об экстремальном разбиении круга на три неналегающие области/ Е.В. Костюченко. Препринт К2 18.- Владивосток: Дальнаука, 1998. 17 с.

34. Кудряшов, С.Н. О единственности решения внешних обратных краевых задач/ С.Н. Кудряшов //IV науч. конф. аспирантов Ро-стовск. ун-та: Материалы. Ростов н.Д. - 1962. - С. 56-59.

35. Кудряшов, С.Н. О числе решений внешних обратных краевых задач/ С.Н. Кудряшов // Изв. вузов. Математика. 1969. - № 8. -С. 30-32.

36. Кудряшов, С.Н. О числе решений внешней обратной краевой задачи/ С.Н. Кудряшов, Ф.Г. Авхадиев // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан, ун-т. - 1971. - Вып. 8. - С. 136-143.

37. Кузнецов, В.О. О свойствах конформного радиуса области/ В.О. Кузнецов // Зап. науч. семинаров ПОМИ. Т. 276. - 2001.- С. 237-252.

38. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. 5-е изд. - М.: Наука, 1987. -688 с.

39. Митюк, И.П. Симметризационные методы и их применение в геометрической теории функций. Введение в симметризационные методы/ И.П. Митюк. Краснодар: Кубан. ун-т, 1980. - 90 с.

40. Митюк, И.П. Применение симметризационных методов в геометрической теории функций/ И.П. Митюк. Краснодар: Кубан. ун-т, 1985. - 94 с.

41. Михлин, С.Г. Интегральные уравнения и их приложения/ С.Г. Михлин. М.: ОГИС, 1949. - 380 с.

42. Насыров, С.Р. Единственность решения внешней обратной краевой задачи в классе спиралеобразных функций/ С.Р. Насыров, Ю.Е. Хохлов // Изв. вузов. Математика. 1984. - № 8. -С. 24-27.

43. Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике/ Г. Полиа, Г. Сегё. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962.- 336 с.

44. Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа: В 2 ч./ Г. Полиа, Г. Сегё.- М.: Наука, 1978. 2 ч.- 431 с.

45. Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного/ И.И. Привалов. 13-е изд. - М.: Наука, 1984. - 432 с.

46. Птолемей, К. Альмагест или математическое сочинение в тринадцати книгах/ К. Птолемей. М.: Наука, 1998. - 672 с.

47. Рогожин, B.C. О единственности решения внешней обратной краевой задачи/ B.C. Рогожин // Учен. зап. Казан, ун-та. Казань. -1957. - Т. 117. - № 2. - С. 38-41.

48. Рогожин, B.C. О числе решений внешней обратной краевой задачи/ B.C. Рогожин // Учен. зап. Ростовск.н/Д ун-та. Ростов н/Д.- 1959. Т.66. - № 7. - С. 155-158.

49. Сагитова, C.B. Исследования по обратным краевым задачам в многосвязных областях: автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук/ C.B. Сагитова; Казан, гос. ун-т. Казань, 1984. - 12 с.

50. Савелов, A.A. Плоские кривые/ A.A. Савелов. М.: Физматгиз. -1960. - 290 с.

51. Салимов, Р.Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения в механике жидкости/ Р.Б. Салимов. Казань: КВВКИУ, 1970. - 364 с.

52. Тумашев, Г.Г. Обратные краевые задачи и их приложения/ Г.Г. Тумашев, М.Т. Нужин. 2-е изд. - Изд-во Казан, ун-та, 1965.- 334 с.

53. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Г.М. Фихтенгольц. В 3-х т. Т. III. - 8-е изд. - М.: Наука, 2003. - 728с.

54. Форд, JI.P. Автоморфные функции/ JI.P. Форд. М.:ОНТИ, 1936.- 340 с.

55. Хейман, В.К. Многолистные функции/ В.К. Хейман. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. - 180 с.

56. Хохлов, Ю.Е. О разрешимости внешних обратных краевых задач для аналитических функций/ Ю.Е. Хохлов // ДАН СССР. 1984.- Т. 278. № 2. - С. 298-301.

57. Шабалин, П.Л. Исследование общего решения обратной краевой задачи теории аналитических функций: автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук/ П.Л. Шабалин; Казан, гос. ун-т. Казань, 1977. -12 с.

58. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть 1. Функции одного переменного/ Б.В. Шабат. 2-е изд., переработанное и дополненное. - М.: Наука, 1976. - 320 с.

59. Широкова, Е.А. О единственности корня уравнения Гахова/ Е.А. Широкова // Изв. вузов. Математика. 1981. - № 11. -С. 64-68.

60. Avkhadiev, F.G. The conformal radius as a function and its gradient image/ F.G. Avkhadiev, K.-J.Wirths // Israel Journal of Mathematics.- 2005. V. 145. - P. 349-374.

61. Avkhadiev, F.G. Schwarz-Pick type inequalities/ F.G. Avkhadiev, K.-J.Wirths. Birkhauser Verlag, 2009. - 156 p.

62. Finkelstein, M. On the relation between measures and convex analytic functions/ M. Finkelstein // Illinois j. math. 1968. - V. 12. - № 2. -P. 175-183.

63. Kovalev, L.V. Domains with convex hyperbolic radius/ L.V. Kovalev // Acta Mathematica Universitatis Comenianae. 2001. - V. 70. -P. 207-213.

64. Kim, S.-A. The hyperbolic and quasihyperbolic metrics in convex regions/ S.-A. Kim, D. Minda //J. Anal. 1993. - V. 1. -P. 109-118.

65. Minda, D. Univalence criteria and the hyperbolic metric in convex regions/ D. Minda, D.J. Wright // Rocky Mtn. J. Math. 1982. -V. 12. - P. 471-479.

66. Haegi, H. R. Extremalprobleme und Ungleichungen konformer Gebietsgrössenj H. R. Haegi // Compositio Mathematica. T. 8. -1951. - P. 81-111.

67. Schiffer, M.Hadamard's formula and variation of domain functions/ M. Schiffer // Amer. J. of Math. 1946. - V. 68. - № 4. - P. 417-448.

68. Szegö, G. On the capacity of a condenser/ G. Szegö // Bull. Amer. Math. Soc. 1945. - V. 51. - № 5. - P. 325-350.