Асимптотическое поведение конформных модулей двусвязных областей и ёмкостей конденсаторов при их растяжении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Даутова Дина Наилевна

• Даутова Дина Наилевна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Даутова Дина Наилевна

ласти

2.5 Выводы ко второй главе

3 Асимптотика модуля двусвязной области достаточно произвольного вида

3.1 Обобщенная теорема Радо

3.2 Основной результат об асимптотике модуля двусвязной области

3.3 Выводы к третьей главе

4 Конформный модуль внешности двух прямолинейных разрезов

4.1 Интегральное представление конформных отображений кольца на внешность двух разрезов

4.2 Однопараметрические семейства конформных отображений

4.3 Случай симметричной относительно оси области

4.4 Монотонность конформного модуля

5 Приложения

5.1 Приложение

5.2 Приложение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое поведение конформных модулей двусвязных областей и ёмкостей конденсаторов при их растяжении»

Актуальность работы

Геометрическая теория функций комплексного переменного — один из наиболее интересных и актуальных разделов современного комплексного анализа. Исследованию различных вопросов этой теории посвящено большое количество обзоров и монографий (см., например, [1]-[3], [12], [18], [20], [28], [29], [31], [33], [34], [60], [76], [77], [93]). Важным разделом геометрической теории функций является изучение геометрических характеристик областей и конформных отображений, таких как функционалы на множестве аналитических функций, осуществляющих конформные отображения, и имеющие геометрический смысл, например площади, конформного радиуса, гармонической меры, коэффициенты аналитических функций, шварциан, конформный модуль областей на плоскости, ёмкость конденсатора и т.д. Исследованию этих характеристик посвящено немало работ, в том числе опубликованных в последнее время (например, [36], [43]—[45], [56], [57], [61], [64], [68], [69], [71], [82]—[84], [102]).

Настоящая диссертация посвящена изучению поведения конформных модулей двусвязных областей при геометрических преобразованиях. Конформный модуль двусвязной области и ёмкость конденсатора с двумя пластинами — взаимнообратные величины (см., например, [20]), поэтому все результаты, полученные для модулей,

можно легко переписать в терминах конденсаторов.

Изучение свойств конформных модулей и ёмкостей конденсаторов представляет несомненный интерес, поскольку данные характеристики областей имеют важные приложения в теории функций и физике (см., напр., [42], [59], [80]).

Важной задачей является исследование искажения конформного модуля при квазиконформных отображениях области. В настоящей диссертации решена задача известного финского математика Матти Вуоринена: исследовать асимптотику конформного модуля двусвязной области достаточно произвольного вида при ее неограниченном растяжении вдоль оси ОХ. Также изучено поведение модуля внешности двух прямолинейных разрезов, когда один из них фиксирован, а второй движется вдоль прямой с сохранением длины.

История вопроса и степень разработанности проблемы Конформным инвариантом называется свойство некоторого класса областей, которое остается неизменным под действием конформных преобразований, примененных к этим областям. Исследование свойств конформных инвариантов под действием различных преобразований — важный раздел геометрической теории функций комплексного переменного. К примеру, изучению функции Грина, гармонической меры, функции Неймана, обобщенным инвариантам ёмкости и функции Робена посвящено множество работ (см., например, [19], [21], [22], [35], [55]). Наряду с другими конформными инвариантами современная геометрическая теория функций активно изучает конформные модули и ёмкости конденсаторов. Особенно интересно исследование поведения этих характеристик под действием каких-либо преобразований. В обзоре Р. Кюнау [75], п. 25, подробно описаны задачи, возникавшие в разное время в связи с конформными модулями и ёмкостями конденсаторов. Кроме того, в ряде

работ рассматривается изменение модулей и ёмкостей под действием симметризации (например, симметризаций Шварца и Штейнера), поляризации [58], растяжения вдоль оси координат и т.д. Отметим работу [56],где рассматривается изменение модулей прямоугольников при движении одной из вершин, когда остальные вершины фиксированы, в работе [44] даются алгоритмы численного нахождения ёмкости плоских конденсаторов. Нахождение численных значений конформных инвариантов также является важной задачей в геометрической теории функций. Для упрощения вычислений в этих задачах часто можно использовать конформное отображение исследуемой области на каноническую. Поэтому вычисление конформных инвариантов имеет естественную связь с численными методами теории конформнымных отображений. Такие методы развивали многие авторы, в том числе в последние десятилетия [100].

В частности, стандартным инструментом в этой области стала программа Т. Дри-сколла и Н. Трефетена [54], касающаяся отображения Кристоффеля-Шварца. В серии работ Т. ДеЛилло, Дж. Пфальцграфф, Д. Крауди и их соавторы распространили метод Кристоффеля-Шварца на конкретные случаи многосвязных областей с полигональной границей [48, 52, 53]. Также в последнее время опубликовано немало статей, посвященных созданию новых методов приближенного вычисления конформных модулей. Так, в [69] предложен эффективный алгоритм вычисления модуля колец и четырехсторонников. В [82] описан новый численный метод нахождения ёмкости обобщенных конденсаторов в случае, когда границами пластин являются кусочно-гладкие жордановы кривые или прямолинейные разрезы.

По-видимому, в смысле, наиболее близком к тому, который мы используем в данной работе, первым понятие модуля использовал Б. Риман [39]. В своих исследова-

ниях, в которых он впервые представил рпмановы поверхности, Риман рассмаривал 3р-3 комплексных «модуля», соответствующих компактной поверхности родар > 2. Позднее, в работах О. Тейхмюллера, где были введены пространства Тейхмюллера, наделенные комплексной структурой, число модулей было интерпретировано как размерность некоторого комплексного пространства.

Дадим определение модуля двусвязной области и так называемого четырехсторонника.

Назовем четырехсторонником жорданову область Q, на границе которой отмечены 4 точки (вершины) — А, В, С и О. Стороны АВ и СО назовем горизонтальными сторонами четырехсторонника, а АО и ВС — вертикальными. Конформным модулем m(Q) четырехсторонника ^ ^^^^^^^ ^^^^^шальную длину А(Г) семейства кривых Г в Q, соединяющих его вертикальные стороны.

Конформным модулем т(О) двусвязной области О назовем величину, равную экстремальной длине А(Г) семейства Г кривых в обл асти О, соединяющих ее граничные компоненты.

В 1.2 также описан еще один подход к вычислению конформного модуля с использованием вариационного свойства интеграла Дирихле.

С появлением понятия квазиконформного отображения, стало актуальным изучение изменения модулей областей при их деформации под действием таких отображений.

Впервые понятие квазиконформного отображения ввели Г. Грёч [65], [66] и М.А. Лаврентьев [78]. В монографии Л. Альфорса [4] определение квазиконформного отображения дано двумя способами: геометрически и аналитически. Во-первых, топологическое отображение ^ облает и О называет ся К-квазикопформпым, если

1) ^ абсолютно непрерывна на линиях в

ч , , К - 1, ,

2) \<Рг| < |.

С другой стороны, сохраняющий ориентацию гометморфизм /, называется К-квазиконформным, если модули всех четырехсторонников К-квазиинвариантны, то есть если ( = /((), то выполняется неравенство К-1т(() < т(С) < Кт((() (см. также [5]). Можно показать, что геометрическое и аналитическое определения эквивалентны.

До работ Грёча и Лаврентьева квазиконформные отображения возникали в задачах геометрии, где вместо поиска конформного отображения пространственной области на плоскую искали отображение проекции, которое конформным уже не являлось. Затем Г. Грёч сформулировал задачу о построении отображения, близкого к конформному, которое переводило бы квадрат на прямоугольник, не являющийся квадратом, переводящего четыре вершины в четыре вершины, хотя слово «квазиконформность» в его работе еще не употреблялось. М.А. Лаврентьев в своих исследованиях использовал квазиконформные отображения для работы с уравнениями в частных производных, для решения задач из теории динамики сплошных сред, привел основные идеи теории квазиконформных отображений областей пространства. Впервые термин «квазиконформное отображение» появился в 1935 г. в работе Л. Альфорса [41]. В этой статье он дал неголоморфное обобщение теории Р. Невалинны распределения значений мероморфных функций при помощи аппарата квазиконформных отображений. О. Тейхмюллер в статье [96] разработал теорию квазиконформных отображений между произвольными римановыми поверхностями. Также он был первым, кто изучал квазиконформные инварианты и поведение конформных инвариантов под действием квазиконформных отображений [91]. Идеи

Тейхмюллера дали направление многим исследованиям, результаты которых изложены в монографиях [10], [79], [97], [98], главе 1 обзора [77]. Выдающиеся результаты в теории квазиконформных отображений получил П.П. Белинский. В частности, он предложил использовать ёмкости конденсаторов для того, чтобы измерять деформацию среды при решении практических задач в тех случаях, когда ее сложное строение не позволяет получить решение задачи методами математического анализа и дифференциальных уравнений. Ю.Г. Решетняк в своих работах обобщил понятие квазиконформного отображения. Синтезировав классическую теорию функций и теорию пространств Соболева, он создал новое направление — квазиконформный анализ, широко развивающийся в настоящее время [37]. В.В. Асеев развил эту идею в своих работах [6]-[8]. В монографиях С.Л. Крушкаля и Р. Кюнау [26], [27] рассмотрены вариационные методы решения экстремальных задач теории квазиконформных отображений, геометрические методы теории пространств Тейхмюллера, вопросы построения общей теории искажения для квазиконформных отображений.

Мы будем рассматривать один из частных случаев квазиконформных отображе-

ОХ

Это отображение является квазиконформным с коэффициентом квазиконформно-

третьей главах при исследовании описанной выше задачи М. Вуоринена. Отметим, что задача Вуоринена впервые упоминается С. Р. Насыровым в [84], там же дано решение этой задачи для двусвязных областей, являющихся разностью двух гомотетичных прямоугольников, чьи стороны параллельны осям координат.

Также в диссертации исследуются однопараметрические семейства конформных

/(х + гу) = Нх + гу, Н ^ ж.

сти

¡г | + ¡г

Н

¡г

отображений ]прямоугольника на внешность двух прямолинейных разрезов. Помимо построения самого отображения, интерес представляет вычисление модуля неограниченных двусвязных областей, его изменение при преобразованиях области. Хорошо известно дифференциальное уравнение Лёвнера-Комату, которое является обобщением уравнения Лёвнера для двусвязного случая [73]. Однопараметрические семейства функций, удовлетворяющие такому уравнению, например, отображают двусвязные области с полигональными границами на кольцо [52]. Подход Комату был развит Голузиным [13] и другими (см., напр., [3, 46, 47]). Мы выводим интегральное представление конформного отображения / используя а-функции Вей-ерштрасса, в отличие от представлений, полученных другими авторами ранее, с использованием ^-функций.

Цели и задачи работы:

1. Изучение асимптотики модуля двусвязной области достаточно произвольного вида при растяжении вдоль оси ОХ (решение задачи Вуоринена).

2. Исследование равномерной сходимости конформных отображений в случае двусвязных областей с вырождающимися модулями.

3. Изучение однопараметрических семейств конформных отображений кольца на внешность двух прямолинейных разрезов.

Научная новизна

В работе получена новая формула, описывающая асимптотику модуля двусвяз-

ОХ

на новая теорема (обобщенная теорема Радо) о равномерной сходимости конформных отображений последовательности двусвязных областей с вырождающимися модулями, дан новый способ построения однопараметрического семейства конформ-

ных отображений прямоугольника на внешность двух прямолинейных разрезов.

Все результаты, полученные в данной работе, являются новыми.

Методология и методы исследования

В работе использованы методы геометрической теории функций: теория К. Кара-теодори сходимости областей к ядру, теория Г. Д. Суворова простых концов последовательности областей, метод симметрии Римана-Шварца, а так же методы теории квазиконформных отображений, методы дифференциального и интегрального исчисления.

Научная и практическая значимость

Установленные результаты позволяют определить поведение конформного модуля двусвязной области и ёмкости соответствующего конденсатора при деформации, что может быть полезно для исследований в области геометрической теории функций и приложениях в механике и физике. Асимптотика позволяет оценить правдоподобность приближенных значений конформных модулей и ёмкостей конденсаторов, полученных численными методами.

Положения, выносимые на защиту:

1. Получена асимптотическая формула, описывающая поведение конформного модуля симметричной относительно оси двусвязной области при растяжении вдоль оси абсцисс. Изучена асимптотика модуля двусвязной области достаточно произвольного вида при растяжении.

2. Установлено обобщенние теоремы Радо о равномерной сходимости конформных отображений последовательности двусвязных областей с вырождающимся модулем.

3. Получена формула, дающая новое интегральное представление отображения кольца на внешность двух прямолинейных разрезов. При помощи этой формулы

в некоторых случаях изучена монотонность модуля рассматриваемой области при движении одного из разрезов вдоль содержащей его прямой.

Апробация работы

Результаты, излагаемые в данной работе, докладывались на следующих конференциях:

1. XIV Всероссийская молодежная школ а-конференция «Лобачевские чтения-2015», Казань, 22.10.2015-27.10.2015.

2. Международная математическая конференция по теории функций, посвященная 100-летию чл.-корр. АН СССР А. Ф. Леонтьева, Уфа, 24.05.2017-27.05.2017 г.

3. XII Международная школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 21.08.2017-27.08.2017.

4. XVII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения-2018», Казань, 23.11.2018-28.11.2018.

5. Научно-техническая конференция по итогам совместного конкурса фундамен-талных исследований РФФИ-РТ в 2018 году, Казань, 22.11.2018.

6. XIV Международная Казанская научная школ а-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 7.09.2019-12.09.2019

Публикации

Основные результаты данной работы изложены в публикациях [14], [15], [16], [17], [49], [50].

Совместную работу [51] инициировал проф. М. Вуоринен. Ему и проф. С. Р. На-сырову принадлежат постановки задач и методы решений. Решения задач принадлежат автору данной работы.

Личный вклад

Постановка основных задач и некоторые методы решения принадлежат научному руководителю, доказательство основных теорем и решение задач — автору работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка использованной литературы, содержащего 102 наименования.

В первой главе приводятся известные определения и теоремы, используемые автором в дальнейшем для решения поставленных задач. Дается определение конформного модуля области и некоторые его свойства, принцип симметрии для экстремальных длин семейств кривых, формулируется классическая теорема Радо о сходимости областей и конформных отображений. Также в первой главе излагаются основы теории Г. Д. Суворова простых концов последовательностей областей и некоторые свойства эллиптических функций, используемые в четвертой главе.

Во второй главе устанавливается асимптотика модуля двусвязной области О, симметричной относительно оси абсцисс, при растяжении вдоль этой оси с коэф-Н

Г = {х + гу : |у| = /(х), а < х < Ь},

Г2 = {х + гу : |у| = д(х), с < х < б},

—ж <с<а<Ь<б< +ж. Здесь функ ция / определена па от резке [а, Ь], функция д определена на от резке [с, б]. Обе функции непрерывны, неотрицательны и обращаются в нуль на концах этих отрезков, причем /(х) < д(х), х € [а, Ь].

Получена

Теорема 15 Если граница области О состоит из кривых Г и Т2, описанных

выше, и Он = /н(О), то при Н ^ ж

ь

1 Г

т(Он) , где с= / ^-7Г~\ '

2сН ] д(х) — /(х)

а

Для доказательства этой теоремы мы доказываем несколько вспомогательных утверждений: в п. 2.2 установлена справедливость леммы 1, которая утверждает, что для модуля трапеции, растянутой вдоль оси ОХ с коэффициентом растяжения Н ^ ж, выполняется эквивалентность

1п Х2 - 1п Х1

т(/н(Т)) - -Н, Н ^ ж,

а2 — а1

где

Т = {(х,у) : а1х + в < у < а2 х + в, х1 < х < х2}, — трапеция, а1 < а2, 0 < х1 < х2.

Далее принцип симметрии для семейств кривых, описанный в 1.3, позволяет рассматривать вместо двусвязных областей четырехсторонники, определенные выше. Лемма 2 утверждает, что и рассматриваемые четырехсторонники можем упростить, принимая во внимание только те их части, которые лежат внутри вертикальных полос. Это упрощение не нарушает эквивалентность модулей интересующих нас областей.

Наконец, в лемме 3 мы доказываем, что вместо модуля растянутого четырехсторонника можно рассматривать эквивалентную ему сумму модулей растянутых трапеций, которыми мы этот четырехсторонник приближаем.

В заключение второй главы мы приводим примеры нахождения асимптотики модуля растянутой симметричной двусвязной области: концентрического кругового кольца и ромбовидного окна:

1. Если О = {г € С : г < |г| < Я}, то

т(Он) ~ , Н ^ ж, где аН

1 / о .г

а = -о 1 пг2 + 2Я2 arcsiп ^ + 2г\/Я2 — г

Я2 г2 Я

2. Если = {(х,у) | 1 < |х/Н| + |у| < к}, то справедлива оценка к — 1 1п2 (к — 1)2 / 1 \ к — 1

+ 0[ < ш(Оя) < , Н ^ ж.

4Н 2п Н2 \Н3; - - 4Н '

В третьей главе сначала устанавливается справедливость теоремы Радо, обобщенной на случай последовательности двусвязных областей с вырождающимися модулями:

Теорема 18 Пусть последовательность функций г = /п(£)7 однолистно отображает области Бп на Сп, причем, /п(0) = гп0 € дОп = Сп1 и Сп2; функция г = I(С) однолистно отображает Б на С, и I(0) = г0 € дС = С1 и С2. Предположим также, что гп0 ^ г0, г0 = п ^ ж. Если существуют гомеоморфизмы дп1 : С1 ^ Сп1 и д„2 : С2 ^ С„2, такие что

Уе> 0 ЗА : Уп > N |д^(г) — ^ < е, г € С1;

|дп2(«) — в| <е, в € С2, (1)

то 1п ^ I в Б.

Для доказательства этой теоремы мы, проведя необходимые разрезы, сводим дело к односвязным областям, что позволяет применить к рассуждениям классическую теорему Радо [12]. Также в доказательстве применяется теория Г. Д. Суворова о простых концах и теория Каратеодори о сходимости областей как к ядру. На основании этой теоремы доказан основной результат данной работы:

Теорема 19 При коэффициенте растяжения Н ^ ж имеет место асимптотика

ь ь

1 Г <х Г <1х

т Н (С1 + С2)Н' С1 J ¡\(х) — дг(х), С2 J д2(х) — ¡2(х)

а а

для двусвязных областей ОН, границы которых удовлетворяют следующим условиям: дВ = Г1 и Г2, где

Г1 = {х + %у : у = ¡1(х), а < х < Ь} и {х + %у : у = ¡2(х), а < х < Ь},

Г2 = {х + %у : у = д1(х), с < х < <} и {х + %у : у = д2(х), с < х < <},

причем,:

1) —ж < а < с < < <Ь < ж;

2) д1(х) < Л(х), и ¡2(х) < д2(х) с < х < <

3) д2(х) < д1(х), с < х < <

4) ¡2(х) < ¡1 (х) а < х < Ь;

5) ¡2(а) = ¡1(а), ¡2(Ь) = ¡1(Ь) д2(с) = д1(с) д2(<) = д1(<).

Доказательство этого факта является конструктивным: мы приводим конкретные гомеоморфизмы границ областей, сходящихся к ядру, которые удовлетворяют обобщенной теореме Радо (теорема 18).

В четвертой главе рассматриваются неограниченные кольцевые области, чьими дополнениями являются отрезки и описываются однопараметрические семейства функций ¡'(г,£), каждая из которых конформно отображает кольцо {д < | < 1} па внешность О = О (£) двух непересекающихся отрезков А1А2 и А3А4. Здесь А^ = А1 < ] < 4, ~ некоторые гладкие функцпн ид = д(I); где £ — вещественный параметр. Далее мы будем обозначать такие области через О (А1, А2, А3, А4). Также

предполагается, что прямые линии, содержащие отрезки AiA2 и A3A4, зафиксированы.

Мы выводим дифференциальное уравнение для/(z, t) в рассматриваемом случае:

Теорема 21 Семейство /(z,t) удовлетворяет уравнению в частных производных

HzA = h(z )

/'(z, t) h(z,t),

где h(z,t) определена формулой (4-Щ)', здесь Yk(t) и Dk(t) определены формулой (4.16) и (4-14)- Период ш1 (t) равен 1 и пери од ш 2(t) удовлетворяет (4-25).

В отличие от Лёвнера и Комату, мы не предполагаем, что семейство образов

t

стве следствия мы получаем систему ОДУ для определения поведения акцессорных параметров, которые являются прообразами точек Aj, и конформного модуля m(t) := mod G(t) = Основываясь па системе, мы предлагаем приближен-

ный метод для нахождения акцессорных параметров и конформного модуля. Далее мы применяем полученные результаты для изучения поведения конформного модуля в случае когда один из отрезков и длина другого фиксированы.

В разделе 4.1 мы описываем интегральное представление отображения кольца на внешность двух прямолинейных разрезов AiA2 и A3A4 (теорема 20). В отличие от известных представлений [73]; (см. также [70], [52], [53]), наше представление основано па а-функциях Вейерштрасса. Представление содержит некоторые неизвестные постоянные. Они называются акцессорными параметрами. В разделе 4.2 мы рассматриваем однопараметрические семейства таких функций /(z,t) и выводим дифференциальное уравнение для них (теорема 21). В качестве следствия мы получаем систему ОДУ для акцессорных параметров (теорема 22). Заметим, что

для того чтобы вывести систему уравнений, мы используем подход, разработанный ранее для однопараметрических семейств рациональных функций [87] и конформных отображений комплексных торов [85, 86]. В разделе 4.3 мы даем некоторые численные результаты. В разделе 4.4 мы изучаем монотонность конформного модуля внешности двух разрезов, когда один разрез зафиксирован, а другой скользит вдоль прямой линии и имеет фиксированную длину.

.....I......I с^Т^с"^1 !■

Предварительные сведения

1.1 Конформный модуль и способы его вычисления

Опишем подходы к определению конформного модуля двусвязной области, основанные на методе экстремальных длин семейств кривых, теории конформных отображений и интеграле Дирихле.

Рассмотрим в области О семейство кривых Г. В этом семействе каждая кривая 7 локально спрямляема и является объединением счетного числа открытых дуг, замкнутых дуг или замкнутых кривых. Пусть р(х, у) — измеримая функция па комплексной плоскости, р > 0.

О

Рис. 1.1

р

7 € Г

¿7(Р) = J Р(г^^

7

и обобщенную площадь области О, в которой рассматривается семейство кривых Г:

А(р) = JJ р2(г)(х(у.

С

г

координат (х,у).

Рассмотрим «длину самой короткой кривой» семейства Г:

¿7(Р) =: Ь(р).

7б!

Назовем величину

Т Ш==: Л(Г)

Г

Модуль области — это конформный инвариант ([4], с. 20), т.е. выполняется равенство

т(1 (О)) = т(О),

если I — конформное отображение О на I(О). Перечислим способы вычисления модуля т(О):

1) Конформным модулем т(О) облает и О называется величина, равная экстремальной длине Л (Г) семейства Г кривых в обл асти О, соединяющих ее граничные компоненты.

в

Рис. 1.2

в

Рис. 1.3

2) Если Г' — семейство кривых, разделяющих граничные компоненты области В, то модуль В можно вычислить по формуле т(В) = Л-1 (Г').

3) Для любой двусвязной области В с невырожденными граничными компонентами существует конформное отображение д этой области на круговое кольцо с радиусами окружностей Г1 и г2, г1 < г2 ([12], с. 206), модуль которого известен ([4 с. 19).

В

Рис. 1.4

д

Тогда г2/г\ не зависит от выбора д и

т(Б) = А(Г) = — 1п —.

При изучении модулей двусвязных областей часто бывает удобно исследовать конформные модули так называемых четырехсторонников.

Определение 1 Назовем четырехсторонником жорданову область ( на границе которой отмечены 4 точки (вершины,) ^ А, В, С и Б. Стороны АВ и СБ назовем, горизонтальными сторонами четырехсторонника, аАБ и ВС — вертикальными. Конформным модулем т(() четырехсторонника( назовем, экстремальную длину А(Г) семейства кривых Г в ( соединяющих его вертикальные стороны.

У

А

а х

Б

Рис. 1.5

Модуль четырехсторонника также является конформным инвариантом. Дадим его эквивалентное описание. Существует конформное отображение р четырехсторонника ( на прямоугольник Р = [0,а] х [0,6] ([12], с. 29), переводящее горизонтальные стороны ( в горизонтальные стороны Р.

(Р

а

т(() = —. Отметим, что это отношение не зависит от выбора р.

Ь

1.2 Некоторые свойства конформного модуля

Рассмотрим жорданову область О. Пусть и — вещественнозначная функция, и € С(О) П ^(О), т.е. и непрерывна в О и принадлежит пространству Соболева

Определение 2 (Интеграл Дирихле) [90], с. 64■ Функционал

называется интегралом Дирихле функции и по области Q. Более общее определение интеграла Дирихле см. также в [20].

Теорема 1 (Принцип Дирихле) [29], с. 17. Пусть граница 7 облаетий, состоит из жордановых кривых, и — функция, непрерывная в Q + 7, кусочно-гладкая в Q и интеграл Дирихле Dq[u] — конечная, величина. Рассмотрим класс всех функций v, удовлетворяющих условиям:

1) v непрерывны в Q + 7,

2) v кусочно-гладкие в Q

3) v принимают на 7 те же граничные значения U, что и функция и.

v,

d = min Dq[v], имеет единственное решение v = w. Функция w решает граничную

dxdy

v

задачу для уравнения, Лапласа

Аи = 0

(1.1)

и заданных на 7 граничных значений и.

Теорема 2 (Вариационное свойство) [90], с. 63. Рассмотрим четырехсторонник ( := {й; г1,г2,г3,г4}. Пусть К — класс действительнозначных функций, непрерывных в й, принимающих граничные значения и = 0 и и = 1 на участках границы (г1, г2) и (г3, г4) соответственно, лежащих в пространстве Соболева W1(й). Пусть V — решение краевой задачи для уравнения Лапласа (1.1), когда граничные значения на (г\,г2) и (г3,г4) равны VI =0, v2 = 1. Тогда,

1 = min Dq [u] = Dq [v].

т(() пек

Определение 3 (Конденсатор с двумя пластинами) [20], с. 7. Конденсатором в С называется всякая упорядоченная пара, С = (Е0,Е1) непустых непересекающихся замкнутых множеств Е0 и Е\, принадлежа,щихС. От,крытое множество С = С \ (Е0 и Е1) назовем, полем, а сами множества Е0 и Е1 пластинами С

В [20] вариационное свойство интеграла Дирихле взято за определение ёмкости cap(C) конденсатора C. Таким образом, имеем еще одно определение конформного модуля двусвязной области:

Определение 4 Пусть C = (E0, E\) - двусвязное множество. Тогда конформным C

m(C ^ = inf(Dc[u]),

где u G Lip, u = 0 на E0 и u = 1 на E\.

Теорема 3 ([90],с. 64) Рассмотрим четырехсторонники Q := {Q; z\,z2,z3,z4} и Q := {Q, Z\, z2, z3, z4}, у которых есть два, общих граничны,х сегмента (z2,z3) и

(г4, Х\), такие, что О — подмножество О. Тогда,

ш(0) < ш(0).

Теорема 4 ([12], сю 209) Пусть В и В' — двусвязные области, В С ВТогда ш(В) < ш(В').

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Даутова Дина Наилевна, 2021 год

Литература

[1] Авхадиев, Ф. Г. Введение в геометрическую теорию функций (II издание) / Ф.Г. Авхадиев. - Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2019. - 133 с.

[2] Авхадиев, Ф. Г. Конформные отображения и краевые задачи/ Ф. Г. Авхадиев. -Казань: Издательство Казанского университета, 2019. - 412 с.

[3] Александров, И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций/ И.А. Александров. М.: Наука, 1976. - 344 с.

[4] Альфорс, Л. Лекции по квазиконформным отображениям/ Л. Альфорс. - М.: Мир, 1969. - 133 с.

[5] Альфорс, Л. Пространства Римановых поверхностей и квазиконформные отображения/ Л. Альфорс, Л. Вере. - М.: IIзл-по иностранной литературы, 1961. -175 с.

[6] Асеев, В.В. Выпуклое раздутие пластин конденсатора/ В.В. Асеев. - Изв. вузов. Ми тем.. 2010. \"о 8. С. 3-15.

[7] Асеев, В.В. Деформация пластин малых конденсаторов и проблема П.П. Белинского/ В.В. Асеев. - Сиб. матем. журн., 2001. - N0 42:6. - С. 1215 - 1230.

[8] Асеев, B.B. Однозначная определенность трехмерных выпуклых многогранных областей относительными конформными модулями граничных конденсаторов/

B.В. Асеев, А.П. Копылов. - Сиб. журн. чист, и прикл. матем., 2017. - No 17(4). - С. 3-17.

[9] Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций/ Н. И. Ахиезер. - М.: Физматлит, 1970. - 304 с.

[10] Белинский, П.П. Общие свойства квазиконформных отображений/ П.П. Белин-скийю М.: Наука, 1974,- 98 с.

[11] Борисова, Е. В. Асимптотика модуля двусвязной области, являющейся разностью гомотетичных прямоугольников/ Е. В. Борисова, С. Р. Насыров// Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского.- 2011. - Т. 44. - С. 62-63.

[12] Голузин, Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного/ Г. М. Голузин. - М.: Наука, 1966. - 628 с.

[13] Голузин, Г.М. О параметрическом представлении функций, однолистных в кольце/ Г.М. Голузин// Матем. сб. - 1951. -No 29(71 ):2. - С. 469-476

[14] Даутова, Д. Н. Асимптотика модулей ромбовидных окон/ Д. Н. Даутова// Труды Математического центра им. H.H. Лобачевского. - Казань, 2013. - Т. 47. -

C. 39-40

[15] Даутова, Д.Н. Асимптотическое поведение модуля двусвязной области при растяжении ее вдоль оси абсцисс/ Д.Н. Даутова, С.Р. Насыров// Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. - Казань, 2017. - Т. 54. - С. 146-148.

[16] Даутова, Д.Н. Искажение конформных модулей областей при их деформации/ Д.Н. Даутова, С.Р. Насыров// Международная математическая конференция по

теории функций, посвященная 100-летию чл.-корр. АН СССР А. Ф. Леонтьева: сборник тезисов - Уфа: РИЦ БашГУ, 2017. - 214 с.

[17] Даутова, Д. Н. Уточнение асимптотики искажения модуля ромбовидной дву-связной области при растяжении/ Д. Н. Даутова// . Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. - Казань, 2015. - Т. 52. - С. 57-58

[18] Дженкинс, Дж. Однолистные функции и конформные отображения/ Дж.Дженкинс. - М.: Изд. иностр. лит., 1962. - 265 с.

[19] Дубинин, В. Н. Асимптотика ёмкости конденсатора с переменными уровнями потенциала/ В. Н. Дубинин.// Сиб. матем. журн. - 2020. - N0 61:4. - С. 796-802.

[20] Дубинин, В. Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного/ В. Н. Дубинин. - Владивосток: Даль-наука, 2009. - 390 с.

[21] Дубинин, В. Н. Круговая симметризация и функция Грина/ В. Н. Дубинин// Дальневост. матем. журн. - 2019. - N0 19:1. - С. 24-30.

[22] Дубинин, В. Н. О квадратичных формах, порожденных функциями Грина и Робена/ В. Н. Дубинин// Матем. сб. - 2009. - N0 200:10. - С. 25-38.

[23] Евграфов, М. А. Аналитические функции. 3-е изд., перераб. и доп. / М.А. Евграфов. М.: Физматлит, 1991. - 448 с.

[24] Евграфов, М.А. Асимптоитческие оценки и целые функции. 3-е изд., перераб. и доп. / М.А. Евграфов. - М.: Наука, 1979. - 320 с.

[25] Жури вс к и. и А. М. Справочник по эллиптическим функциям / А. М. Журав-ский. М.: Издательство АН СССР, 1941. - 236 с.

[26] Крушкаль, С.Л. Квазиконформные отображения - новые методы и приложения/ СЛ. Крушкаль, Р. Кюнау. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд, 1984. - 216 с.

[27] Крушкаль, СЛ. Квазиконформные отображения и римановы поверхности/ СЛ. Крушкаль. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд, 1975. - 196 с.

[28] Кузьмина, Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы/ Г.В. Кузьмина// Тр. МИ АН СССР,1980. - Т. 139, С. 3-241.

[29] Курант, Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности / Р. Курант. - М.: Издательство иностранной литературы, 1953. -310 с.

[30] Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного/ М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

[31] Лебедев, Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций/ Н. А. Лебедев. М.: Наука, 1975. - 334 с.

[32] Миклюков, В.М. Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применение/ В. М. Миклюков,- Волгоград: ВолГУ, 2005. - 271 с.

[33] Милин, И. М. Методы поиска экстремума функции многих переменных/ И. М. Милин - Москва : Воениздат, 1971. - 204 с.

[34] Насыров, С. Р. Геометрические проблемы теории разветвленных накрытий ри-мановых поверхностей/ С. Р. Насыров. - Казань: Магариф, 2008. - 279 с.

[35] Насыров, С. Р. Вариации ёмкостей Робена и их приложения/ С. Р. Насыров// Сиб. матем. журн. - 2008. - N0 49:5. - С. 1128-1146.

[36] Прохоров Д.В. Новые методы аппроксимации и оптимизации в задачах действительного и комплексного анализа/ Д.В. Прохоров, С.С. Волосивец, С.И. Дудов, Г.В. Хромова. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2016. - 296 с.

[37] Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением/ Ю. Г. Решетняк// Докл. АН СССР, 1967. - Т. 174. Хо 6. С. 1281-1283

[38] Суворов, Г. Д. Простые концы и последовательности плоских отображений/ Г. Д. Суворов. - Киев: Наукова думка, 1986. - 192 с.

[39] A'Campo, N. On the early history of moduli and Teichmiiller spaces/ Norbert A'Campo, Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos.// Amercian Mathematical Society. -L Keen, I. Kra and R. E. Rodriguez. Lipman Bers, a Life in Mathematics. - 2015. -P. 175-262, 978-1-4704-2056-7. fflial-01276761f

[40] Abramowitz, M. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables/ M. Abramowitz, I. A. Stegun, Washington, D.C.: National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, Government Printing Office, 1964.

- xiv 1046 pp.

[41] Ahlfors, L. Zur Theorie der Uberlagerungsflachen/ L. Ahlfors// Acta Mathematica.

- 1935. - V. 65. - P. 157-194.

[42] Arcozzi N. Capacity of shrinking condensers in the plane/ N. Arcozzi// Journal of Functional Analysis. - 2012. - V. 263. - No 10. - P. 3102-3116

[43] Avkhadiev F. G. Conformal invariants of hyperbolic planar domains/ F. G. Avkhadiev, R. G. Nasibullin, I. K. Shafigullin// Ufa Mathematical Journal. - 2019.

- V. 11. - No 2. - P. 3-18

[44] Betsakos, D. The computation of capacity of planar condensers/ D. Betsakos, K. Samuelsson, M. Vuorinen// Publications De L'institut Mathématique. - 2004. - V. 75. - No 89. - P. 233-252.

[45] Bezrodnykh S. On capacity computation for symmetric polygonal condensers/ S. Bezrodnykh, A. Bogatyrëv, S. Goreinov, O. Grigor'ev, H. Hakula, M. Vuorinen// Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2019. - V. 361 - PP. 271-282

[46] Contreras, M.D. Loewner theory in annulus I: Evolution families and differential equations/ M.D. Contreras, S. Diaz-Madrigal, P. Gumenyuk// Trans. Amer. Math. Soc. - 365 (2013). - PP. 2505-2543

[47] Contreras, M.D. Loewner theory in annulus II: Loewner chains/ M.D. Contreras, S. Diaz-Madrigal, P. Gumenyuk// Analysis and Mathematical Physics.- 2011. - Vol. 1. - Is. - 4. - PP. 351-385

[48] Crowdy, D. Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions/ D. Crowdy// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 2007. - Vol. 142 - Is. 2. - PP. 319-339

[49] Dautova, D.N. Asymptotics of the Modules of Mirror Symmetric Doubly Connected Domains under Stretching/ D. N. Dautova, S. R. Nasyrov// Mathematical Notes. -2018. - Vol. 103-4. - PP. 537-549

[50] Dautova D. N. Asymptotics of Conformai Module of Nonsymmetric Doubly Connected Domain under Unbounded Stretching Along the Real Axis / D. Dautova, S. Nasyrov // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2019. - V. 40. - Iss. 9. - P. 1268-1274

[51] Dautova D. Conformal modulus of the exterior of two rectilinear slits/ D.Dautova, S. Nasyrov, M. Vuorinen// Comput. Methods Funct. Theory. - 2021. - V. 21. - P. 109-130

[52] DeLillo, T.K. Schwarz-Christoffel Mapping of the Annulus / T.K. DeLillo, A.R. Elcrat, J.A. Pfaltzgraff// SIAM Rev. - 2001. - Vol. 43(3). - PP. 469-477.

[53] DeLillo, T.K. Computation of Multiply Connected Schwarz-Christoffel Maps for Exterior Domains / T.K. DeLillo, T.A. Driscoll, A.R. Elcrat, J.A. Pfaltzgraff // Computational Methods and Function Theory. - 2006. - Vol. 6. - Is. 2. - PP. 301315

[54] Driscoll, T.A. Schwarz-Christoffel mapping /T.A. Driscoll, L.N. Trefethen // Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, Cambridge University Press. - 2002. -No 8.- xvi 132 pp.

[55] Dubinin, V. N. An extremal decomposition problemfor harmonic measure/ V. N. Dubinin, M. Vuorinen// Proceedings of the american mathematical society. - 2012. - V. 140. - No 7. - PP. 2441-2446.

[56] Dubinin, V. N. On conformal moduli of polygonal quadrilaterals/ V. N. Dubinin, M. Vuorinen// Israel Journal of Mathematics. - 2009. - V. 171. Xo 1. PP. 111-125

[57] Dubinin, V. N. Some Unsolved Problems About Condenser Capacities on the Plane/ V. N. Dubinin// In: Complex Analysis and Dynamical Systems. Trends in Mathematics.- Birkhauser, Cham, 2018. - PP. 81-92

[58] Dubinin, V.N. Symmetrization in the geometric theory of functions of a complex variable/ V.N. Dubinin// Russian Mathematical Surveys. - 1994. -Vol. 49:1. - PP. 1-79

[59] Dubinin, V.N. Transformation of condensers in n-dimensional space/ V.N. Dubinin// Journal of Mathematical Sciences. - 1994. - Vol. 70:6. - PP. 2085-2096

[60] Düren, P. L. Univalent Functions/ P. L. Düren. - Springer-Verlag New York, 1983. - 384 p.

[61] Elizarov A. M. Generalized Reduced Module of a Domain Over the Unit Disc with Circular and Radial Slits/ A. M. Elizarov, A. V. Kazantsev, M. I. Kinder// Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2018. - Vol. 39. - No. 5. - PP. 664-672

[62] Gaier, D. Konstruktive Methoden der konformen Abbildung/ D. Gaier. - Singapore: Springer-Verlag, 1964. - 242 p.

[63] Garnett, J.B. Harmonie measure. Reprint of the 2005 original. New Mathematical Monographs, 2/ J.B. Garnett, D.E. Marshall. - Cambridge: Cambridge University Press, 2008. - xvi+571 pp.

[64] Grebenkov D. S. Semi-analytical computation of Laplacian Green functions in three-dimensional domains with disconnected spherical boundaries/ D. S. Grebenkov, Traytak S. D.// Journal of Computational Physics. - 2019. - V. 379. - PP. 91-117

[65] Grötsch, H. Uber die Verzerrung bei Schlichten nichtkonformen Abbildungen und über eine damit zusammenhängende Erweiterung des Picardschen Satzes / H. Grötsch. // Ber. Verh. Sachs. Acad. Wiss. Leipzig. - 1928.-Bd. 80. - P. 503-507

[66] Grötsch, H. Uber einige Extremalprobleme der konformen Abbildung/ H. Grötsch.//Ber. Verh. Sachs. Acad. Wiss. Leipzig.-1928, Bd.80. - P. 367-376

[67] Hakula, H. Conformal modulus and planar domains with strong singularities and cusps/ H. Hakula, A. Rasila, M. Vuorinen// Electron. Trans. Numer. Anal. - 2018.

- Vol.48. - PP. 462-478

[68] Hakula, H. Conformal modulus on domains with strong singularities and cusps/ H. Hakula, A. Rasila, M. Vuorinen https://arxiv.org/abs/1501.06765, 2015

[69] Hakula, H. On Moduli of Rings and Quadrilaterals: Algorithms and Experiments/ H. Hakula, A. Rasila, M. Vuorinen// SIAM Journal on Scientific Computing. - 2011.

- V. 33. - No 1. - P. 279-302

[70] Henrici,P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 3: Discrete Fourier Analysis, Cauchy Integrals, Construction of Conformal Maps, Univalent Functions/ P. Henrici. - New York: Wiley, 1986. - 656 p.

[71] Kayumov I. R. On a powered Bohr inequality/ I. R. Kayumov, S. Ponnusamy// Annales Academic Scientiarum Fennic^, Mathematica. - V. 44. - 2019. - PP. 301 -310

[72] Komatu, Yu. Untersuchungen über konforme Abbildung zweifach zusammenhängender Bereiche/ Yu. Komatu// Proc. Phys., Math. Soc. Japan. -1943. -Vol. 25.-PP. 1-42

[73] Komatu, Yu. Darstellungen der in einem Kreisringe analytischen Funktionen nebst den Anwendungen auf konforme Abbildung über Polygonalringgebiete/ Yu. Komatu// Jap. J. Math. -1945. -Vol. 19. -PP. 203-215

[74] Koppenfels, W. Praxis der konformen Abbildung/ W. Koppenfels F. Stallmann. -Berlin: Springer, 1959. - XV + 375 p.

[75] Kühnau, R. The conformai module of quadrilaterals and of rings/ R. Kühnau// In: Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory, (ed. by R. Kühnau) Vol. 2. - North Holland, Amsterdam: Elsevier, 2005. - PP. 99-129

[76] Kühnau, R. Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory (ed. by R. Kühnau) Vol. 1/ R. Kühnau. - North Holland, Amsterdam: Elsevier, 2002. -536 p.

[77] Kühnau, R. Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory (ed. by R. Kühnau) Vol. 2/ R. Kühnau. - North Holland, Amsterdam: Elsevier, 2005. -861 p.

[78] Lavrentieff, M. Sur une classe de représentations continues/ M. Lavrentieff // MaTeM. c6. - 1935. T. 42:4. - C. 407-424

[79] Lehto, O. Univalent functions and Teichmüller spaces/ O. Lehto, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1990. - 257 p.

[80] Morales, M. Solutions of Laplace's equation with simple boundary conditions, and their applications for capacitors with multiple symmetries/ M. Morales, R.A. Diaz, W.J. Herrera// Journal of Electrostatics. - 2015. - V. 78. - PP. 31-45

[81] Nasser, M. Computation of conformai invariants/ M. Nasser, M. Vuorinen, Manuscript, August 2019.

[82] Nasser, M. Numerical computation of the capacity of generalized condensers/ M. Nasser, M. Vuorinen// Journal of Computational and Applied Mathematics(2020)/ - V. 377. - https://doi.Org/10.1016/j.cam.2020.112865

[83] Nasyrov, S. R. Conformai mappings of stretched polyominoes onto half-plane // https://arxiv.org/abs/1308.4392, 2013

[84] Nasyrov, S. R. Riemann-Schwarz reflection principle and asymptotics of modules of rectangular frames/ S.R. Nasyrov// Computational Methods and Function Theory.

- vol. 15-1, 2015. - PP. 59-74

[85] Nasyrov, S.R. Uniformization of One-Parametric Families of Complex Tori./ S.R. Nasyrov// Russian Mathematics. - 2017. - Vol. 61. - No. 8. - PP. 36-45.

[86] Nasyrov, S.R. Families of elliptic functions and uniformization of complex tori with a unique point over infinity/ S.R. Nasyrov// Probl. Anal. Issues Anal. - 2018. - Vol. 7(25):2. - PP. 98-111

[87] Nasyrov, S.R. Uniformization of Simply-Connected Ramified Coverings of the Sphere by Rational Functions /S.R. Nasyrov// Lobachevskii Journal of Mathematics.

- 2018. - Vol.39. - No.2. - PP. 252-258

[88] Olver, F.W.J. NIST Handbook of Mathematical Functions/ F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert, Ch.W.Clark (eds.). - Cambridge: Cambridge University Press, 2010. - xvi+951 pp.

[89] Papamichael ,N. A Domain Decomposition Method for Conformal Mapping onto a Rectangle/ N. Papamichael, N. Stylianopoulos// Constructive Approximation. -1991,-V. 7-PP. 349-379.

[90] Papamichael, N. Numerical Conformal Maping : Domain Decomposition and the Mapping of Quadrilaterals./ N. Papamichael, N. Stylianopoulos. - Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2010. - 242 p.

[91] Papadopoulos, A. Quasiconformal mappings, from Ptolemy's geography to the work of Teichmiiller// https://arXiv:1702.03756vl

[92] Pommerenke, Ch. Boundary Behaviour of Conformai Maps/ Ch. Pommerenke. -Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992. - 300 p.

[93] Pommerenke, Ch. Univalent Functions: With a Chapter on Quadratic Differentials by Gerd Jensen/ Ch. Pommerenke, G. Jensen - Vandenhoeck und Ruprecht, 1975. -376 p.

[94] Reinhardt, W.P. Digital Library of Mathematical functions. Chapter 20. Theta Functions/ W.P. Reinhardt, P.L. Walker. - https://dlmf.nist.gov/20.

[95] Reinhardt, W.P. Digital Library of Mathematical functions. Chapter 23. Weierstrass Elliptic and Modular Functions./ W.P. Reinhardt P.L. Walker. -https://dlmf.nist.gov/23.

[96] Teichmüller O. Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale/ O. Teichmüller// Abhandlungen der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. - 1939. - No 22.

[97] Vasil'ev, A. Moduli of families of curves for conformai and quasiconformal mappings/ A. Vasil'ev - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2002. - 217 p.

[98] Vuorinen, M. Conformai geometry and quasiregular mappings/ M. Vuorinen -Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1988. -209 p.

[99] Villat ,H. Le problème de Dirichlet dans une aire annulaire/ H. Villat// Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. - 1912. - V. 33 - PP. 134-174.

[100] Wegmann, R. Methods for Numerical Conformai Mapping/ R. Wegmann// In: Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory, (ed. by R. Kühnau) Vol. 2. - North Holland, Amsterdam: Elsevier, 2005. - PP. 351-477

[101] Xiao, J. Geometrical logarithmic capacitance/ J. Xiao// Advances in Mathematics (2020) - vol. 365 - https://doi.Org/10.1016/j.aim.2020.107048

[102] Vuorinen, M. On exterior moduli of quadrilaterals and special functions/ M. Vuorinen, X. Zhang// J. Fixed Point Theory Appl. - vol. 13-1, 2013. - PP. 215-230