Внешние обратные краевые задачи в многосвязных областях и на римановых поверхностях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Киндер, Михаил Иванович

• Киндер, Михаил Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Киндер, Михаил Иванович

Глава I . Внешняя обратная краевая задача в случае конечносвязных областей

§ I. Разрешимость внешней обратной краевой задачи

§ 2. Общее решение задачи.

§ 3. Оценка числа корней уравнения Гахова

§ 4. Три типа решений уравнения Гахова.

Глава П . Особые случаи внешних обратных краевых задач.

§ 5. Обратная краевая задача по смешанным параметрам

S и 8.

§ 6. Исследование разрешимости внешней задачи по смешанным параметрам $ и 0.

§ 7. Симметричные решения обратных краевых задач

§ 8. Индексы корней уравнения Гахова в симметричных областях.

Глава Ш . Внешняя обратная краевая задача на римановых поверхностях.

§ 9. Разрешимость задачи в классе [N;1,.,1] • • •

§10. Обратная краевая задача на компактных римановых поверхностях.

§11. Исследование уравнения Гахова на римановых поверхностях рода > О.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Внешние обратные краевые задачи в многосвязных областях и на римановых поверхностях»

В диссертации рассмотрены внешние обратные краеше задачи теории аналитических функций для многосвязных областей и рима-новых поверхностей.

Теория обратных краевых задач (окз), основы которой были заложены в трудах Г.Г.Тумашева и М.Т.Нужина [42], имеет многочисленные приложения во многих задачах механики сплошных сред и математической физики. Развитие этой теории, ее современные достижения и применения отражены в монографиях [42, 36, 40], а также в обзорной статье [п].

Основные внутренняя и внешняя окз по дуговому параметру $ заключаются в отыскании аналитической функции w(2) и односвя-зной области ее определения с границей по известным граничным значениям =w(S) = ц($)+№($), о , искомой функции, где S - дуговая абсцисса кривой £z, 8 - длина &ъ . При постановке внешней окз предполагается, что искомая область 3DZ содержит одну бесконечно удаленную точку и значение w(co)=w0 не задано.

Вопросы разрешимости сформулированных окз были исследованы М.Т.Нужиным [34] и Ф.Д.Гаховым [20]. Кратко опишем этапы решения внешней окз.

Первый этап состоит в нахождении аналитической функции с логарифмической особенностью в точке w0 по известным граничным значениям ее вещественной части. Здесь Z'(w)- производная функции E(W), обратной к искомой W(2). Если перейти от к некоторой вспомогательной канонической области , например, к кругу J <1 , то для определения неизвестной величины С0 » соответствующей точке W0 , служит уравнение ea|e*(V«)|--0, x'ft). 2C/(1-«), (0-I) полученное Ф.Д.Гаховым [19, 20].

Второй этап решения внешней окз заключается в доказательстве разрапимости уравнения (0.1). В работе [20] Ф.Д.Гахов преобразовал (0.1) к соотношению г0 цхсо эс из которого следует, что корень уравнения (0.1) является стационарной точкой вещественной поверхности £1 с уравнением 6 0~СС)| • С помощью корня С0 находится функция 2(C), которая отображает круг |С| <1 на искомую область (ftг . В известной области <DZ легко оцределяется искомая функция W(Z), поэтому под решением задачи часто понимают задачу нахождения функции 2(C), или 2(w), обратной к W(2).

Внутренняя обратная краевая задача для аналитических функций в случае многосвязных областей была исследована Ф.Д.Гаховым [18] и М.Т.Нужиным [ЗЗ]. В своих работах сш отметили существенное отличие такой задачи от окз в односвязном случае. Основная сложность здесь заключается в том, что искомая функция2(w) может оказаться неоднозначной. Исследование осложняется еще из-за того, что уже на первом этапе решения задачи начальные данные не могут гарантировать однозначность аналитической функции Ы ЪХ*), Чтобы задача отыскания этой функции стала корректной, в ее постановку добавляются произвольные элементы. Этот цуть, предложенный Л.Н.Журбенко [2б], приводит к так называемой видоизмененной обратной краевой задаче, которая в случав внешней окз формулируется следующим образом.

Требуется найти регулярную функцию w(2) и (п+1) - связную область ее определения <DB , содержащую бесконечно удаленную точку, если на границе <№0г=р£2К заданы значения искомой функции в виде

0S 1 ;ВК» к = 1,1 , - неизвестные длины граничных кривых , $ -дуговая абсцисса при этом предполагается, что функции w^CT^UicCO+ilW) » Т €[0,1] (у , описывают границу плоской (а-и) -связной области eDwsw(2)2) с границей

Внешние окз по другим параметрам в многосвязных областях исследовались Р.Б.Салимовым, Л.Н.Журбенко, Р.Г.Авхадиевым ( см. обзор [п])> а также в диссертации С.Б.Сагитовой [S9J, где доказана разрешимость различных окз как в двусвязных, так и многое вя-зных областях.

Внешняя окз по дуговому параметру $ изучалась в основном только с гидромеханическими целями (за исключением двусвяз-ного случая [зб]) и с гидромеханической нормировкой: w(во) г во . Результаты по этим задачам описаны в [42, гл. 1У]. Во внешней окз с нормировкой w{©o) = w0 при неизвестной величине w0 в [42, с.80] намеченный путь исследования не привел к точному выводу о разрешимости задачи в многосвязной области. Аналог уравнения (0.1) для определения w0 в случае двусвязных областей впервые выведен в [44], а его разрешимость обоснована С.Б.Сагитовой[39].

Таким образом, возникла необходимость преодолеть разрыв, который наметился между внутренними и внешними задачами теории окз в случав многосвязных областей. Исследование возникающих во внешних окз аналогов уравнения (0.1) представляет собой важную проблему теории окз. Этим и обусловлена актуальность темы диссертации. Ее целью является доказательство разрешимости внешних окз в различных постановках и исследование окз в случае многосвязных областей и риманошх поверхностей.

Кратко изложим основные результаты работы. Диссертация состоит из трех глав, разделенных на одиннадцать параграфов. Нумерация формул и утверждений ведется по параграфам.

В первой главе изучена внешняя обратная краевая задача по дуговому параметру S в многосвязных областях.

В § I исследована разрешимость внешней окз в видоизмененной постановке, сформулированной для внутренней задачи в работе [2б]. В предположении, что значение w(°°)=W0 не задано, решение окз имеет вид

Z(w) = eu$e*(w)rV, we)dw + c, где d - вещественная, а С - комплексная постоянные. Для определения точки w0 получено уравнение w) = 2fUw,w)/f(w,w) (0.2) J означает производную по первому аргументу), которое обеспечивает однозначность функции a(w) в окрестности точки w0 . Здесь %(w) - определяемая по начальным данным функция, регулярная в области , flWjWjeJ^WjW), a 7Cw,w0) конформно и однолняъ но отображает область 3)w на единичный круг с концентрическими круговыми разрезами, ?(w0,w0) = 0 .

С соотношением (0.2) связана вещественная поверхность Q с уравнением Q=Q(u,V) , где Q(w) = | e*(W)/fWsunir, стационарными точками которой служат корни уравнения (0.2) и только они. Это уравнение обобщает (0.1) на случай многосвязных областей и совпадает с ним, когда <0W - единичный круг. Назовем его уравнением Гахова.

Теорема I.I. Уравнение Гахова в случае конечносвяз-ной области Sw всегда разрешимо.

В этом же параграфе приведены примеры, в которых уравнение Гахова имеет любое наперед заданное число или даже континуум решений.

В § 2 рассмотрена общая постановка внешней окз при минимальных ограничениях на граничные функции и^т), (X) ,Я=0,а. Исследование условий, обеспечивающих разрешимость внутренней и внешней окз (с незаданной величиной w(co)= w0 ), в односвязных областях было начато Ф.Д.Гахошм [20] и С.Н.Андриановым [13]. П.Л.Шабалин [44] обобщил го: результаты на случай внутренней окз для многосвязных областей. В работах [20, 13] общее решение внешней задачи для односвязных областей было получено в предположении, что уравнение (0.2) разрешимо и при минимальных ограничениях на функции Ug(T), l/K(T). В этом параграфе обосновывается это предположение в случае как односвязных, так и многосвязных областей со спрямляемыми границами. С использованием результатов [20, 44] доказано (теоремы 2.1 и 2.2), что минимальные ограничения, которым должны удовлетворять граничные функции WK (X)=U„(T) R = Q,n, для разрешимости внешней окз, имеют вид: а') функции U^X), 1^(1), л = 0,rv , являются абсолютно непрерывными, б') производные w£(X) почти всюду удовлетворяют неравенствам 0<|Wg(T)l<M .

В § 3 изучен вопрос о числе корней уравнения (0.2). Этот вопрос занимает важное место в теории окз, так как от количества корней уравнения (0.2) существенно зависит число решений внешней задачи. Результаты, касающиеся единственности решения уравнения (0.2) в односвязных областях, подробно описаны в обзорной статье [п].

Введем векторное поле градиента функции Q : особыми точками которого являются корни (0.2) и только они.С использованием теории плоских векторных полей [30] доказано, что уравнение Гахова в многосвязном случае всегда имеет неединственное решение. Точнее, справедлива

Теорема 3.1. Уравнение Гахова имеет в (гЫ) -связной области <DW не менее и-И решений.

В случае одно- и двусвязных областей приведены примеры,подтверждающие точность нижней оценки из теоремы 3.1.

В § 4 исследовано строение поверхности Q , связанной с уравнением (0.2).

Разобьем все корни WK уравнения Гахова на три группы в зависимости от значений их индексов [зо], которые могут цринимать лишь три значения: -I, 0, +1. На основе известных фактов из дифференциальной геометрии [25, 15] каждая из этих групп охарактеризована следующим образом.

Теорема 4.1. Поверхность П » связанная с уравнением Гахова, в окрестности UK особых точек (wK>Q(w„)) допускает только три типа строения: I) если у (we) « ♦ 1 , то UK выпукла; 2) если s 0 , то UK имеет полуседло образное строение; 3) если ^(wK) = -1 , то UK аналогична обыкновенному седлу.

Из теоремы 3.1 вытекает следующая простая зависимость между числом М ( М^И ) эллиптических ( + t ) и числом S гиперболических ( f (щ) = -1 ) корней уравнения Гахова: М-S = 1 - М, где п* 1 - порядок связности области <DW .

В главе П исследованы обратные краевые задачи по смешанным параметрам S и 8 (0 - угол наклона касательной к искомым граничным контурам), рассмотрены некоторые геометрические вопросы, связанные с решением окз.

В § 5 даны постановка и исследование внутренней окз по смешанным параметрам S и 0 , т.е. задача отыскания конечносвязной области «Dz в случае, когда граничные значения искомой функции на одних контурах заданы как функции параметра S , а на остальных контурах - как функции параметра 0 . Решение этой задачи приведено к решению прямой смешанной краевой задачи для аналитической в «Qw функции X(w) по известным значениям ее вещественной

SO /ч части на одних контурах и мнимои - на остальной части границы. С использованием идеи видоизменения постановки задачи [2б] , т.е. добавлением в граничные данные некоторых произвольных постоянных,показано (лемма 5.2), что за счет выбора этих постоянных всегда можно единственным образом отыскать однозначную и регулярную в области <DW функцию %(w), у которой граничные значения вещественной или мнимой части отличаются от заданных на аддитивные постоянные.

Теорема 5.1. Внутренняя обратная краевая задача по смешанным параметрам S и 0 в случае многосвязной области разрешима, если граничные функции ик(Т) ,lfK(X) , К - О,П , обладают непрерывными производными, не обращающимися одновременно в нуль, и если выполняются условия замкнутости

W) е cLw S О, К S 1,П. (0в3)

Функция 2(w) , определенная формулой 2(\N) = J 6 dw+C, при выполнении (0.3) осуществляет конформное отображение области £)w на искомую область Ю^ .

Внешняя окз по смешанным параметрам S и 6 , т.е. задача отыскания конечносвязной области ®2 , содержащей одну бесконечно удаленную точку, по граничным значениям искомой функции w(2), заданным в зависимости от параметра S или 8 , рассмотрена в § 6.

При решении этой задачи для устранения полюса второго порядка в точке w0 у использовано конформное и однолистное отображение области 3)w на единичный крут с радиальными и концентрическими круговыми разрезами. В лемме 6.1 с помощью аналогов функций Грина, Неймана и гармонических мер граничных контуров области fflw получен явный вид указанного отображения. Обозначим, как и в § I, каноническое конформное отображение (Dw на единичный круг с радиальными и крутовыми разрезами через J (w,W0) , 3F(w,w0)= (w-w0)f(w,w0)>f(wo>wo)*0 • С помощью ?(w,w0) разрешимость внешней окз по параметрам $ и 9 сводится к разрешимости аналога уравнения Гахова (0.2) 2f;(w,w)/f(w,w), (0.4) служащего для определения неизвестного полюса w0 функции H(w) .

С црименением свойств плоских векторных полей доказана

Теорема 6.1. Згравнение (0.4) в (rt + 1 )-связной области fflw разрешимо при любом .

Для исключенного в теореме 6.1 случая двусвязных областей приведены примеры неразрешимых уравнений (0.4).

Из разрешимости уравнения (0.4) следует

Теорема 6.2. Внешняя окз по параметрам $ и б будет разрешимой в случае ( 11+1 )-связной области, если порядок связности больше двух (п>1 ), а граничные функции UK(T), ,

1С = 0,1г, обладают гельдеровыми производными, не обращающимися одновременно в нуль, и если выполняются условия замкнутости вида eX(w)r\w,w0)dw = o,K=Mi.

В § 7 рассмотрены симметричные решения внутренних и внешних окз по параметру $ в случае многосвязных областей. Полученные здесь результаты уточняют и обобщают результаты [э] доказанные для односвязных и двусвязных областей. В этом параграфе введены условия пг -симметрии и зеркальной симметрии граничных функций, указаны необходимые и достаточные требования, цри которых решение внутренней или внешней окз является m -симметричной (или зеркально симметричной) функцией в пг -симметричной (зеркально симметричной) области Э2 .

Определение 7.5. Будем говорить, что. граничные функции WK(T), К в о,П , заданные на отрезке [0,1] , удовлетворяют условиям зеркальной симметрии, если W0(T) = W0(1 -X) и для каждого существует j^O такое, что WK(T) .

Граничные функции WK(T), R = 0,fi , этого типа описывают границу зеркально симметричной области £)w .Условие WK(T) = -X) при Ksj означает симметрганость граничного контура относительно вещественной оси, а при к Фд описывает зеркальную симметрию двух контуров <£WK и .

Приведем типичное утверждение из § 7.

Теорема 7.4. Для того чтобы внешняя окз обладала зеркально симметричным решением W(Z) в зеркально симметричной области Я2 , необходимо, а при выполнении условий замкнутости и достаточно, чтобы граничные функции WKCO, K«0,n , удовлетворяли условиям зеркальной симметрии.

В § 8 описаны простейшие критерии для определения индексов корней уравнения Гахова в симметричных областях. Приведенные здесь результаты позволяют в некоторых случаях установить существование дополнительных корней уравнения Гахова. В теореме 8.1 указан способ определения индексов точек по поведению функции Q(u,u) на оси симметрии поверхности Q . В конце параграфа 8 рассмотрен модельный пример поверхности, являющейся аналогом поверхности О , связанной с уравнением Гахова, исследованы стационарные точки этсй поверхности и с помощью теоремы 8.1 оцределены значения их индексов. Установлено, что доказанная в теореме 3.1 нижняя оценка числа стационарных точек £2 достигается для этой модельной поверхности.

В третьей главе исследованы более слоякые окз в ситуации, когда искомая и известная многосвязные области расположены на ри-мановых поверхностях рода р О .

В § 9 рассмотрена обратная краевая задача, когда граничные функции описывают границу конечносвязной плоской области i а искомая область 3)2 расположена на конечнолистной римановой поверхности 3t 2 рода нуль и может содержать точки ветвления 3ffcz. При этом предполагается, что конформность отображения нарушается в конечном числе точек, образы которых известны, и задано поведение в них функции 2(w), обратной к W(?).

Решение задачи найдено в определенном классе функций 2(w) €[n;пг1Э.,ntp] (т.е. Z(w) имеет в точках ,js1»p, области cDw полюсы порядков ntj , a обращается в нуль первого порядка в заданных точках CLg,0«1,N) ив классе областей с заданными геометрическими характеристиками искомых граничных контуров Лък

Для нахождения неизвестных полюсов , j » 1,р , возникает система уравнений J разрешимость которой обоснована в теоремах 9.1, 9.2 в классах[N;0],

N;1] , [N; 1 ,.,1] .В последнем случае разрешимость окз до

Р ' казана при дополнительном предположении о том, что граничные функции удовлетворяют условиям р -симметрии и описывают границу конеч-носвязной р -симметричной области 5)^0. При этих условиях с использованием теории плоских векторных полей и теории ортонормирован-ных систем в теореме 9.3 показано, что число различных наборов (64,.,6р) в обратной задаче с 2(W)e[N;1r^] не меньше М-1 + 2р .

Обратным краевым задачам на компактных римановых поверхностях ненулевого рода посвящен § 10. Впервые общая постановка таких задач рассмотрена в [б]. В этом параграфе дано уточнение общей постановки для случая окз с единственным полюсом второго порядка у Z'(w). Это уточнение основывается на постановке окз в случае римановых поверхностей [б], видоизменении такой постановки из работы [26] и внесении дополнительных ограничений геометрического характера на граничные контуры искомой области .

В § II для обратной краевой задачи, сформулированной в § 10, исследована разрешимость уравнения Гахова. Используя свойства векторных полей на двумерных многообразиях,дано обобщение теоремы 3.1 на случай компактных римановых поверхностей рода р .

Теорема II.2. В ограниченной конечносвязной области^, граница которой состоит из Л + 1 гладких кривых £Wk » уравнение Гахова имеет не менее 2p + n+f решений.

Выделим основные результаты работы:

- установлена зависимость числа корней уравнения Гахова от порядка связности и рода области, расположенной на римановой поверхности; приведена полная классификация корней этого уравнения;

- найдены наименьшие ограничения на граничные данные, обеспечивающие разрешимость внешней обратной краевой задачи; выделены случаи корректной постановки внешних задач в двусвязной области без дополнительных условий;

- поставлены и исследованы внутренняя и внешняя окз по смешанным параметрам $ и 0 ; доказана разрешимость внешней задачи в областях с порядком связности больше двух.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [l0, 12, 28, 29] . В статье [12], написанной совместно с Л.А.Аксентьевым и С.Б.Сагитовой, автору диссертации принадлежит доказательство разрешимости уравнения Гахова в случае многосвязной области с порядком связности больше двух (§ I), а также ряд примеров из § 2. В работе [io] им доказана теорема 2, остальные результаты статьи получены совместно .

По мере получения результаты докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель -профессор Л.А.Аксентьев), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1982-1984 г.г.), на IX Донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений, ее обобщениям и приложениям (сентябрь 1984 г.), на У Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование алгоритмов решения задач математической физики и теории приближений" (Казань, август 1984 г.) .

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Л.А.Аксентьеву за постоянное внимание к работе и A.M. Елизарову за полезные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Киндер, Михаил Иванович, 1984 год

1. Авхадиев Р.Г. Некоторые обратные краевые задачи теории аналитических функций с особыми точками на границах: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1978. - 15 с.

2. Авхадиев Ф.Г., Насыров С.Р. Необходимые условия существования римановой поверхности с заданной границей. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1985, вып. 22, с. 5-15.

3. Авхадиев Ф.Г., Шабалин П.Л. Об отображениях на многосвязные области, не принадлежащие классу В.И. Смирнова. Казань, 1976. -23 с. - рукопись представлена Казан, ун-том, НИИ мат. и мех. Деп. в ВИНИТИ 6 июля 1976 г., № 2550-76.

4. Аксентьев Л.А. Индексы функций на римановых поверхностях и их приложения. Изв. вузов. Математика, 1964, Р 4, с. 3-8.

5. Аксентьев Л.А. Обратная краевая задача для аналитических функций на римановых поверхностях. Тр. семинара по обратным краевым задачам / Казан, ун-т, 1964, вып. I, с. 3-13.

6. Аксентьев Л.А. Об условиях разрешимости и условиях однолистности. Тр. семинара по обратным краевым задачам / Казан, ун-т, 1964, вып. 2, с. 12-20.

7. Аксентьев Л.А. Приложение к обратным краевым задачам индексов функций на римановых поверхностях. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1966, вып. 3, с. 5-10.

8. Аксентьев Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области. Изв. вузов. Математика, 1984, № 2, с. 3-И.

9. Аксентьев Л.А. Симметричные решения обратных краевых задач. -Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1977, вып. 14, с. 20-27.

10. Аксентьев Л.А., Елизаров A.M., Киндер М.И. Обратные краевыезадачи для многосвязных областей на римановых поверхностях рода нуль. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1984, вып. 21, с. 19-32.

11. Аксентьев Л.А., КиндерМ.Й., Сагитова С.В. Разрешимость внешней обратной краевой задачи в случае многосвязной области. -Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1983, вып. 20, с. 22-34.

12. Андрианов С.Н. 0 существовании и числе решений обратной краевой задачи теории аналитических функций. Учен. зап. / Казан. ун-т, 1953, т. 113, кн. 10, с. 21-30.

13. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1970. - 304 с.

14. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию "в целом". М.: Наука, 1973. - 440 с.

15. Видякина Н.Н. О разрешимости одной обратной краевой задачи на римановой поверхности. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1974, вып. II, с. 32-42.

16. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

17. Гахов Ф.Д. Об обратной краевой задаче для многосвязной области. Учен. зап. / Ростов. н/Д. гос. пед. ин-т, 1955, вып. 3, с. 19-27.

18. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах. Докл. АН СССР, 1952, т. 86, W 4, с. 649-652.

19. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах. Учен. зап. / Казан, ун-т, 1953, т. ИЗ, кн. 10, с. 9-20.

20. Геронимус Я.Л. О некоторых свойствах аналитических функций, непрерывных в замкнутом круге или круговом секторе. Матем. сборник, 1956, т. 38, № 3, с. 319-330.

21. Голузин Г.М4 Геометрическая теория функций комплексного переменного.-2-е изд. М.: Наука, 1966. - 628 с.

22. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. M.t Наука, 1968.-648 с.

23. Ефимов Н.В. Изгибание окрестности параболической точки поверхности. Матем. сборник, 1956, т. 38, W- 3, с. 303-318.

24. Ефимов Н.В. Качественные вопросы теории деформаций поверхностей "в малом". Труды / Матем. ин-т им. Стеклова, 1949, т. 30, с. I-I28.

25. Журбенко Л.Н. Об устойчивости решения обратной краевой задачи с параметром S в случае многосвязной области. Тр. семинара по краевым задачам / Казан, ун-т, 1980, вып. 17, с. 74-84.

26. Зморович В.А. Про узагальнення Интегральнее формули Шварца на п-зв'язн1 кругов1 област1 . Доповд.д1 АН УРСР, 1958, № 5, с. 489-492.

27. Киндер М.И. Канонические конформные отображения многосвязных областей для обратных краевых задач. Казань, 1983. - 52 с.-Рукопись представлена Казан, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 28 окт. 1983 г., № 5871-83.-(РЖ Мат, 1984, 2Б 206 ДЕП).

28. Киндер М.И. О числе решений уравнения ш.Д. Гахова в случае многосвязной области. Изв. вузов. Математика, 1984, № 8, с. 69-72.

29. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963. - 245 с.

30. Насыров С.Р., Хохлов Ю.Е. Единственность решения внешней обратной краевой задачи в классе спиралеобразных областей. -Изв. вузов. Математика, 1984, №8, с. 24-27.

31. Неванлинна Р. Униформизация. М.: Изд-во иностр. лит-ры,-1955. - 435 с.

32. Нужин М.Т. Об обратных краевых задачах для многосвязных областей. Изв. вузов. Математика, 1964, № 5, с. 69-77.

33. Нужин М.Т. О некоторых обратных краевых задачах и их применении к определению формы сечения скручиваемых стержней. Учен, зап. / Казан, ун-т, 1949, т. 109, кн. I, с. 97-120 .

34. Нужин М.Т. Решение внешней обратной краевой задачи для дву-связной области. Учен. зап. / Казан, ун-т, 1950, т. НО, кн. 7, с. 39-43.

35. Нужин М.Т., Ильинский Н.Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1963. - 139 с.

36. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. 2-е изд., перераб. и доп. - M.-JL: Гостехиздат, 1950. - 336 с.

37. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. 4-е изд. -М.: Гостехиздат, 1956. - 420 с .

38. Сагитова С.Б. Исследования по обратным краевым задачам в многосвязных областях: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1984. - 12 с.

39. Салимов Р.Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения в механике жидкости. Казань: Изд-во Казан, высш. командно-инженер. училища, 1970. - 364 с.

40. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного: В 2-х т.-М.:Изд-во иностр. лит-ры, 1962. Т. 2. 416 с.

41. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. 2-е изд., перераб. и доп. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965. - 333 с.

42. Фет А.Й., Бодрецова Л.Б. Функции с простыми линиями уровня. -Матем. сборник, 1956, т. 38, IP 3, с. 303-318.

43. Шабалин П.Л. Исследование общего решения обратной краевой задачи теории аналитических функций: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1977. - 12 с.

44. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ: В 2-х ч. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1976. - Ч. I. 320 с.

45. Шиффер М. Некоторые новые результаты в теории конформных отображений. В кн.: Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М., 1953, с. 234-301.

46. Шиффер М., Спенсер Д.К. Функционалы на конечных римановых поверхностях. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1957. - 348 с.

47. Ahlfors L., Beurling A. Conformal invariants and function-theoretic null-sets. Acta Math., 195o, Bd. 83, If 1/2,p.101-129.

48. Bergnan S. The kernel function and conformal mapping.Hew York: Amer. Math. Soc., 1951. 161 p. - (American Mathematical Society, Math. Surveys, vol. 5) .

49. Hardy G.H., Littlewood J.E. A convergence criterion for Fourier series. Math. Zeitschrift, 1928, Bd. 28, s. 612-634.

50. Itfehari Z. Some inequalities in the theory of functions. -Trans. Amer. Math. Soc., 1953, v. 75, H 2, p. 256-286.

51. Schiffer M. The kernel function of an orthonormal system. -Duke Math. J., 1946, v. 13, N 4, p. 529-540.53* Walsh- J.L. Note on derivatives of functions analytic in the unit circle. Bull. Amer. Math. Soc., 1947, v. 53, N 6, ' P. 515-523.