Асимптотика конформных модулей неограниченных двусвязных областей и четырехсторонников при их растяжении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Нгуен Ван Занг

• Нгуен Ван Занг
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Ван Занг

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Некоторые эквивалентные определения конформного модуля

1.2. Основные свойства конформного модуля

1.3. Экстремальная задача Тейхмюллера

1.4. Аналитическое продолжение по симметрии

1.5. Отображения Кристоффеля-Шварца

1.6. Теоремы о сходимости последовательности конформных отображений

1.7. Эллиптические функции и эллиптические интегралы

Глава 2. Асимптотика конформного модуля неограниченной симметричной двусвязной области при ее растяжении

2.1. Обобщение теоремы Радо

2.2. Конформный модуль четырехсторонника и его искажение при растяжении

2.3. Асимптотика конформного модуля неограниченной симметричной двусвязной области

2.4. Выводы ко второй главе

Глава 3. Асимптотика конформного модуля произвольной неограниченной двусвязной области при ее растяжении

3.1. Локальные версии теоремы Радо о сходимости

3.2. Доказательство основного результата об асимптотике конформного модуля несимметричной неограниченной двусвязной области

3.3. Выводы к третьей главе

Глава 4. Асимптотика внешнего конформного модуля четырех-

сторонника при его растяжении

4.1. Гипотеза С. Р. Насырова

4.2. Поведение внешнего конформного модуля симметричного четырехсторонника при его растяжении

4.3. Асимптотика внешнего конформного модуля произвольного четырехсторонника при его растяжении

4.4. Выводы к четвертой главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотика конформных модулей неограниченных двусвязных областей и четырехсторонников при их растяжении»

Введение

Актуальность темы исследования. Одним из наиболее интересных и актуальных разделов современного комплексного анализа является геометрическая теория функций комплексного переменного. Изучению различных аспектов этой теории посвящено большое количество статей и монографий (см., напр., [1, 2, 4, 11, 15, 16, 19, 22-30, 32, 36, 37, 39, 57, 75-78, 95, 100, 101, 107]).

В геометрической теории функций основное внимание уделяется изучению геометрических характеристик плоских областей и конформных отображений, среди которых можно отметить такие как площадь области, коэффициенты разложения в ряд Тейлора аналитических функций, конформные модули, емкости и т. д.

За прошедшие годы было получено много результатов, касающихся исследования этих вопросов. Отметим, например, работы [10, 13, 14, 41, 42, 46-48, 54-56, 67-71, 73, 83, 87-92, 94, 102, 108].

Важные приложения в теории функций, механике сплошных сред и физике находят конформные модули и емкости (см., напр., [16, 27, 40-42, 53, 86, 100]). При этом, представляет интерес исследование изменения величины конформных модулей областей при квазиконформных отображениях.

Эта диссертация посвящена решению задачи известного финского математика Матти Вуоринена, а именно, изучению поведения конформных модулей двусвязных областей и четырехсторонников при неограниченном растяжении их вдоль оси абсцисс в случае неограниченных областей.

Степень разработанности темы исследования. Хорошо известно, что конформные модули остаются неизменными под действием конформных отображений, таким образом, они являются конформными инвариантами. Изучению конформных инвариантов посвящено немало работ, среди которых отметим работы [17-19, 31, 55, 56]. Следует отметить также обзорную статью [76, гл. 13], в которой дается описание основных направлений исследований, связанных с

конформными модулями. Некоторые работы посвящены изучению вопроса об изменении модулей и емкостей под действием операций симметризации, поляризации [52], растяжения вдоль оси абсцисс [14, 47, 48, 90, 91].

В последние годы достаточно много внимания уделяется вопросу о приближенном нахождении численных значений конформных инвариантов. Эта проблематика тесно связана с приближенными методами теории конформных отображений, см, напр., работы [59, 60, 74, 76, 79, 85, 99-101, 109]. Следует особо отметить проблему нахождения акцессорных параметров в интегралах Кристоффеля-Шварца, дающих конформные отображения канонических областей на полигональные области; см., напр., численный пакет Т. А. Дрискол-ла и Л. Н. Трефетсена [51]. В ряде работ рассматриваются обобщения метода Кристоффеля-Шварца на случай полигональных многосвязных областей, см., напр., [45, 49, 50, 56].

Также в последнее время появилось много статей, посвященных созданию новых методов приближенного нахождения конформных модулей, см., напр., [41, 46, 68, 70, 86].

Напомним теперь определение модуля четырехсторонника и двусвязной области (см., напр., [76], [100, гл. 2, разд. 2.1]). В разделе 1.1 мы также даем некоторые эквивалентные определения этого понятия.

Четырехсторонник Q = (Q; z1,z2,z3,z4) — это жорданова область Q на сфере Римана с четырьмя отмеченными точками zi, z2, z3, и z4 (вершинами) на ее границе; при этом увеличение индекса j соответствует положительному обходу границы dQ. Для удобства будем полагать по определению z5 = z1, а дуги (zj ,zj+1) на границе dQ называть сторонами четырехсторонника.

Для заданного четырехсторонника Q, по теореме Римана об отображении существует однолистное конформное отображение f области Q на прямоугольник [0,1] х [0, m], такое что точки z1,z2,z3, и z4 переходят в точки 0, 1, 1 + im и im. Определяемая единственным образом величина m = Mod (Q) называется конформным модулем четырехсторонника Q. Такой модуль Mod (Q) также

часто называется внутренним конформным модулем четырехсторонника Q.

Точно так же можно конформно отобразить область Qc, дополнительную к области Q, с помощью функции д : Qc ^ [0,1] х [0, к] так, что четыре граничные точки (вершины Q) отображаются в вершины прямоугольника д(гх) = 0, д(г2) = 1, д(г3) = 1 + гк, д(г4) = гк. Тогда число к определяется единственным образом и называется внешним модулем четырехсторонника Q. Мы будем обозначать этот конформный модуль ExtMod

Теперь дадим определение конформного модуля двусвязной области О, обе компоненты границы которой невырождены. Как известно, существует однолистное конформное отображение / области О на концентрическое кольцо {г < |г| < Я}, 0 < г < Я < ж. Величина

1 Я

Мос1Ш) = — 1п-1 ; 2тг г

называется конформным модулем двусвязной области О.

В связи со свойством квазиинвариантности конформных модулей при квазиконформных отображениях представляет интерес изучение изменения таких модулей при некоторых деформациях, вызванными некоторыми вполне определенными квазиконформными отображениями.

Опишем кратко историю возникновения и развития теории квазиконформных отображений. Г. Грёч — главный основоположник теории квазиконформных отображений, хотя слово «квазиконформный» в его работах еще не употреблялось. В серии статей, написанных между 1928 и 1932 гг. (см., напр., [62-66, 98]), он ввел эти отображения как естественное обобщение конформных отображений и исследовал некоторые их основные свойства. Термин «квазиконформное отображение» впервые появился в 1935 г. в работе Л. В. Альфор-са, в его фундаментальной статье о накрывающих поверхностях [38], где показано, что геометрические аспекты теории распределения значений верны для функций, которые являются локально квазиконформными, а не локально конформными. Наконец, отметим, что М. А. Лаврентьев изучал квазиконформные

отображения, пытаясь найти геометрическую интерпретацию дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамику сжимаемой жидкости, в [81] он установил вариант обобщенной теоремы Римана об отображении.

Квазиконформное отображение на плоскости можно определить двумя способами, см., напр., [4].

Аналитическое определение. Сохраняющее ориентацию топологическое отображение ^ области Q называется K-квазиконформным (K > 1), если

1) ^ абсолютно непрерывно на почти всех горизонтальных и вертикальных линиях в

2) неравенство \ср-\ < f^jl^! выполняется почти всюду в Q.

Геометрическое определение. Сохраняющий ориентацию гомеоморфизм

f называется K-квазиконформным, если модуль каждого четырехсторонника K-квазиинвариантен, т. е. если Q' = f (Q), то

K-1Mod (Q) < Mod (Q') < KMod (Q)

(см., также [3, 38]).

Можно показать, что геометрическое и аналитическое определения эквивалентны.

Отметим, что О. Тейхмюллер в своей статье [105] развил теорию квазиконформных отображений римановых поверхностей. Он же первым изучил квазиконформные инварианты и поведение конформных инвариантов при квазиконформных отображениях [97]. Идеи О. Тейхмюллера дали направление многим исследованиям, результаты которых представлены в монографиях [9, 76-78, 82, 106, 107].

П. П. Белинский использовал емкости конденсаторов для решения задач, связанных с деформацией среды со сложной структурой; его идеи нашли продолжение в работах В. В. Асева [5-7]. Ю. Г. Решетняк существенно обобщил понятие квазиконформного отображения, создав новое направление квазикон-

формного анализа [35], его идеи наши развитие в трудах его коллег и учеников С. К. Водопьянова, В. М. Гольдштейна, М. Б. Кармановой и др.

Следует также отметить монографии [24, 25] где вариационные методы применяются для исследования экстремальных задач в теории квазиконформных отображений.

Важнейшим квазиконформным отображением на плоскости является растяжение вдоль оси абсцисс:

](х + гу) = Нх + гу, Н ^

Очевидно, что оно является Н-квазиконформным во всей комплексной плоскости.

Это отображение существенно используется в описанной выше проблеме М. Вуоринена, впервые описанной в работе [33, 90]; в этой статье дано решение задачи для прямоугольных окон, т. е. областей, являющихся разностью двух прямоугольников. В работах [47, 48] Д. Н. Даутова и С. Р. Насыров представили решение этой проблемы для случая ограниченных двусвязных областей.

Цели и задачи диссертационной работы:

1. Изучить асимптотику конформного модуля произвольной неограниченной двусвязной области при ее растяжении вдоль оси абсцисс.

2. Исследовать равномерную сходимость семейства конформных отображений в случае двусвязных областей.

3. Изучить поведение внешнего конформного модуля четырехсторонника достаточно произвольного вида при его неограниченном растяжении вдоль оси абсцисс.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Часть результатов получена в соавторстве с научным руководителем С. Р. Насыровым. Результаты, относящиеся к внешним конформным модулям симметричных четырехсторонников, получены совместно с А. Ю. Дютиным.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации дано описание асимптотического поведения конформного модуля неограниченной дву-связной области при ее растяжении. Эти результаты могут быть использованы для исследований в области геометрической теории функций и их приложений в механике и физике. Полученные асимптотические формулы позволяют находить приближенные значения конформных модулей для областей, сильно растянутых вдоль оси абсцисс.

Методология и методы исследования. В работе используются методы геометрической теории функций: теоремы К. Каратеодори и Р. Радо о сходимости областей к ядру; метод симметрии Римана-Шварца; экстремальная задача Тейхмюллера, а также методы теории конформных и квазиконформных отображений, методы теории эллиптических функций и степенных рядов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Получены асимптотические формулы, описывающие поведение конформного модуля неограниченной симметричной или несимметричной двусвязной области при ее неограниченном растяжении вдоль оси абсцисс.

2. Установлена асимптотическая формула, описывающая поведение внешнего конформного модуля четырехсторонника достаточно произвольного вида при его неограниченном растяжении вдоль оси абсцисс.

3. Доказаны локальные версии теоремы Радо о равномерной сходимости последовательности функций, заданных в односвязных и двухсвязных областях.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты, представленные в данной работе, докладывались на следующих конференциях:

1. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, Казань, Казанский федеральный университет, 22.08.2021 - 28.08.2021.

2. Итоговая научная конференция Казанского федерального университета за 2021 год, секция математического анализа, 27.01.2022.

3. Международная конференция «Комплексный анализ и смежные вопросы», Казань, Казанский федеральный университет, 30.06.2022 - 04.07.2022.

4. Международная научная школа-конференция «Экстремальные задачи теории функций», посвященная 75-летию со дня рождения профессора Ф. Г. Ав-хадиева, Казань, Казанский федеральный университет, 29-30 октября 2022 г.

5. Итоговая научная конференция Казанского федерального университета за 2022 год, секция математического анализа, 24.01.2023.

Кроме того, работа в целом докладывалась на научном семинаре при кафедре математического анализа Казанского (Приволжского) федерального университета (научный руководитель — проф. С. Р. Насыров).

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 7 печатных работах, из них 4 статьи [34, 58, 94, 96] опубликованы в рецензируемых журналах, входящих в список ВАК РФ или приравненных к ним, а также в изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus, 3 работы опубликованы в сборниках трудов конференций как тезисы докладов [20, 61, 93].

Личный вклад автора. Личный вклад автора отражен в содержании диссертации и опубликованных научных работах. Постановка задач, а также направление их решения принадлежат научному руководителю. Доказательства основных результатов принадлежат автору работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 105 страниц. Библиография включает 109 наименований.

Содержание работы

Во введении кратко изложена история вопроса, обоснована актуальность диссертационной темы, описаны основные цели и задачи диссертации, используемые методы, обоснованы научная новизна и практическая значимость работы, сформулированы выносимые на защиту положения, описана структура диссертации.

В главе 1 «Предварительные сведения» описаны основные понятия и факты, которые используются в последующих главах: преобразование Кри-стоффеля-Шварца, аналитическое продолжение по симметрии, конформные модули двусвязной области и четырехсторонника и некоторые их свойства, принцип симметрии для экстремальной длины семейств кривых; теоремы Каратео-дори и Радо о сходимости областей к ядру, теорема Альфорса-Варшавского о верхней и нижней оценках конформного модуля четырехсторонников. Также описана экстремальная задача Тейхмюллера о максимальном конформном модуле двусвязной области. Наконец, напоминаются определения используемых в работе полных и неполных эллиптических интегралов и некоторые формулы, связанные с их степенными разложениями.

В главе 2 «Асимптотика конформного модуля неограниченной симметричной двусвязной области при ее растяжении» устанавливается асимптотика конформного модуля неограниченной двусвязной области О, симметричной относительно координатных осей, при растяжении ее вдоль оси абсцисс с коэффициентом Н, стремящимся к бесконечности. Граница этой области О состоит из графиков непрерывных на отрезке [—а, а], а > 0, функций

f +,/ — ,д+ и д— таких, что

/

0 <f + (х) < д + (х), < /+(ж) = f+(—х), д+(х) = д + (—х), О2.1)

f—(х) = —f+(x), д—(х) = —д+(х)

для всех x £ [—а, а], причем f+(a) = g+ (а).

Обозначим через M множество всех таких областей Q. Доказан следующий результат.

Теорема 2.3.1. Если Q £ M и QH = fH(&), то

а

f dx

Mod (Qh) ~ -77, H —>■ +oo, где 1 = ——. (2.8)

YH J f+(x)

0

Более того,

Mod (Г2я) < 77 для каждого H > 0. (2.9)

Y H

Для обоснования утверждения теоремы сначала мы формулируем и доказываем обобщенную версию теоремы Радо 1.6.4 для случая, когда каждое отображение fn определено в своей области определения Dn (теорема 2.1.1), и удовлетворяет условиям нормировки в точке, которая может не совпадать с началом координат. Здесь мы также приводим теорему 2.1.2 — более простую форму теоремы 2.1.1, не использующую теорию Г. Д. Суворова о простых концах последовательностей областей, сходящихся к ядру.

Затем мы используем классическую теорему Альфорса-Варшавского (теорема 2.2.1) для нахождения асимптотики конформного модуля четырехсторонника, получающегося из данного, под действием отображении f# при H ^

Предположим, что f и g — две непрерывные функции на отрезке [a,b], f (x) < g(x), x £ [a,b]. Пусть Q = {(x,y) £ R2 : f (x) < y < g(x), a < x < b}. Рассмотрим четырехсторонник Q = (Q; z\, z2, z3, z4), где = a + ig(a), z2 = a + if (a), z3 = b + if (b), z4 = b + ig(b). Обозначим QH = fH (Q).

Теорема 2.2.2. Конформный модуль QH имеет следующее асимптотическое поведение при H ^

b

/d x

Wa' (2'5)

u(x)

a

Более того, Mod (QH) > cH и Mod (QH) — cH = O(H—1) при H ^

Далее мы рассматриваем четырехсторонник DH := (DH; iS1, 0, то, iS2), где = f +(0), S2 = g+(0), а Dh _ часть Qh, лежащая в первой четверти плоскости, и исследуем асимптотику его конформного модуля. По принципу симметрии (теорема 1.2.7), мы имеем

Mod (Qh) = 2Mod (Q+), (2.10)

Mod {П+) = ^Mod ~\DH), (2.13)

2

где QH _ верхняя половина области Qh.

Поскольку конформный модуль инвариантен при конформных отображениях, мы рассматриваем вместо Dh область DH, которая получается из Dh сдвигом по вещественной оси на величину (—aH). При таком сдвиге вершины четырехсторонника (Dh; iS1, 0, оо, iSi) переходят в точки A(—aH + iS1) , B(—aH), C(то) и D(—aH + iS2) соответственно.

Из (2.10), (2.13) и равенства Mod (DH) = Mod (DH) получаем, что

Mod (Qh) = Mod —1(DH). (2.14)

Далее мы разбиваем DH на две подобласти PH и QH, и рассматриваем четырехсторонники DaH := (D°H; A,B,C,D), QH := (QH; A,B,O,E), и PH := (PH; E, O, C, D). Устанавливается

Лемма 2.3.5. Справедлива эквивалентность

Mod (DH) - Mod (Ph) + Mod (QH), H ^ +то. (2.17)

Наконец, с помощью интегрального преобразования Кристоффеля-Швар-ца, четырехсторонник Ph конформно отображается на кольцо Тейхмюллера (раздел 1.3) и устанавливается лемма 2.3.6 о том, что Mod (PH) — o(Mod (QH)) при H ^ +то. Это в комбинации с (2.14) и (2.17) дает

Mod —1(Qh) — Mod (QH), H ^ +то.

С другой стороны, согласно теореме 2.2.2 имеем

а

/Их / +(х)

о

и таким образом теорема 2.3.1 доказана.

В главе 3 «Асимптотика конформного модуля произвольной неограниченной двусвязной области при ее растяжении», которая продолжает исследования главы 2, в ней устанавливается асимптотика конформного модуля для неограниченных двусвязных областей, границы которых имеют достаточно произвольной вид, при их растяжении вдоль оси абсцисс.

Пусть & — множество всех областей О, удовлетворяющих следующим условиям:

(I) О — неограниченная двусвязная область;

(и) граница О состоит из графиков непрерывных функций: функции д\, ¡1 заданы на отрезке [а,Ь\ и ¡\(х) < д\(х), х £ [а,Ь\; функции д2, ¡2 заданы на отрезке [с,И\ С [а,Ь\ и д2(х) < ¡2(х) < ¡\(х), х £ [с,И\; при этом

¡1(а) = д\(а),1\(Ьь) = д1(Ь); ¡2(с) = д2(с),/2(И) = д2(И) рж. 3.5).

Следующая теорема является основным результатом этой главы. Теорема 3.2.1. Если О £ & и Он = (О), то

а

С Их

Мое! (Пн) ~ ——, Н —>■ +оо, где 7 = / ——-у— . (3.3)

1Н ] ¡1(х) - ¡2 (х)

с

Более того,

Мое! (ОД < для каждого Н > 0. (3.4)

Для доказательства этой теоремы мы предварительно доказываем некоторых теорем, утверждений. Сначала мы доказываем локальную версию классической теоремы Радо о равномерной сходимости конформных отображений (см., напр., [11, гл. 2, разд. 3]).

Теорема 3.1.1. Пусть Бп — последовательность жордановых областей, ограниченных кривыми Гп, сходящаяся к ядру относительно точки г0, и это ядро является жордановой областью Б, ограниченной кривой Г. Пусть fn : Е —>• Пп — последовательность непрерывных функций, конформно отображающих Е на Бп и нормированная условиями ^(0) = г0, f'n(0) > 0, и пусть / : Е —>• И — непрерывная функция, конформно отображающая Е на Б и удовлетворяющая условиям f (0) = г0, ^(0) > 0. Пусть существуют последовательность поддуг 7п С Гп с концами ап, Ьп, последовательность непрерывных отображений фп : 7п ^ Г и точка гш0 € Г такие, что:

(г) для каждого п > 1 отображение фп является гомеоморфизмом 7п \ {ап, Ьп} на Г \ {що};

(гг) для каждого п > 1, фп(ап) = фп(Ьп) = гш0;

(ггг) для любых е > 0 существует число N > 0 такое, что

|^п(г) — < е, для У г € 7п и Уп > N;

(г-и) существует последовательность сечений ап областей Бп с концами в точках ап и Ьп, диаметры которых стремятся к 0 при п ^ то.

Тогда последовательность ^ сходится к f локально равномерно на Е'\{Со}, где (о = /_1('Шо), и последовательность сходится равномерно к /_1 на каждом компактном подмножестве множества \ {шо}.

С помощью этой теоремы мы доказываем локальную версию теоремы Радо 1.6.6, но для случая, когда равномерная сходимость нарушается в окрестности какой-то точки.

Пусть Рп — последовательность неконцентрических колец, каждое из которых ограничено единичной окружностью {|£| = 1} и окружностью {|С + ггп/2| = гп/2}, где 0 < гп < 1 и Нш гп = 1. Тогда Vn сходится к круговой луночке Р, ограниченной единичной окружностью и окружностью

{|С + г/21 = 1/2}.

Пусть 0п — последовательность двусвязных областей в С, каждая из ко-

торых ограничена жордановыми кривыми ГП1 и Гп2, причем Гп2 — внешняя компонента дGn. Пусть существует последовательность сечений ап областей Gn с концами an, bn такая, что lim an = lim bn = w0 для некоторого w0 £ C и

n—уто n—уто

диаметры an стремятся к 0 при n — то. Для каждого n обозначим через Yn поддугу кривой Гп2 с концами в точках an и bn, такую что Yn U an — граница жордановой области, содержащей Гп1. Пусть последовательность Gn сходится к односвязной области G, граница которой состоит из двух жордановых кривых Г1 и Г2, причем Г1 П Г2 = {wo}.

Теорема 3.1.2. Пусть fn — последовательность функций, конформно отображающая Dn на Gn, и fn(0) = zn0 £ Гп1 . Пусть функция f (Z) отображает D на G и f (0) = z0 £ Г^ где z0 = w0. Предположим, что lim zn0 = z0 и существуют гомеоморфизмы Фп1 : Г1 — Гп1 и i^n2 : Г2 — Гп2 такие, что

Ve> 0 3N : Vn > N (t) - t\ <e, t £ Г1; (s) - s\ < e, s £ Г2. (3.2)

Тогда последовательность fn сходится локально равномерно к f на T>\{—i}, а последовательность fn-1 сходится равномерно к f-1 на каждом компактном подмножестве множества H^Li Gn \

Метод доказательства аналогичен методу, примененному нами для доказательства теоремы 2.3.1 в главе 2. Он основан на теоремах 1.2.3 и 1.2.5. Вместо непосредственной оценки конформного модуля области Qh, мы разбиваем Qh на два четырехсторонника Pн и Qh, а потом устанавливаем оценку для суммы модулей этих четырехсторонников. В частности, устанавливаются следующие леммы.

Лемма 3.2.1. Справедлива эквивалентность

Mod -1(Qh) ~ Mod (Ph) + Mod (QH), H — (3.9)

Лемма 3.2.2. Имеем

Mod (Ph) = O(ln H), H —

(3.11)

Эти результаты в комбинации с утверждением теоремы 2.2.2 о том, что Mod (QH) ~ yH при H ^ +то, где

fd dx

Y =

с Л(х) — У2(х) '

дают утверждение теоремы 3.2.1.

В главе 4 «Асимптотика внешнего конформного модуля четырехсторонника при его растяжении» находится асимптотика внешнего конформного модуля произвольного четырехсторонника при его неограниченном растяжении. Полученный нами результат подтверждает справедливость гипотезы, высказанной С. Р. Насыровым.

Пусть f и д — непрерывные функции на отрезке [а, Ь], —то < а < Ь < +то, а f (х) < д(х) для всех х € [а, Ь]. Пусть ^ — семейство всех четырехсторонников Q = ¿1, г2, ¿з, г4), где область Q ограничена двумя вертикальными отрезками [¿1, г2] и [г3, ], оканчивающимися в точках = а + гд(а), г2 = а + гf (а), г3 = Ь + гf (Ь), г4 = Ь + гд(Ь) и двумя кривыми

Г1 = {х + гу : у = f (х), а < х < Ь}, Г2 = {х + гу : у = д(х), а < х < Ь}.

Обозначим через QH образ четырехсторонника Q при отображении fH, определенном в (1.3). На основании исследований, проведенных в работах [89, 108], профессор С. Р. Насыров предложил следующую гипотезу.

Гипотеза 4.1.1 (С. Р. Насыров). Асимптотика внешнего конформного модуля четырехсторонника Q € ^ при Н ^ +то не зависит от его формы. В частности, Ех1Мос1 ~ \ 1пН при Н —>• +то.

Основной результат этой главы содержится в следующей теореме.

Теорема 4.1.1. Для каждого четырехсторонника Q € ^ имеем

Ех1Мос1 {С)н) ~ - 1пЯ, Н —>■ +оо. (4.5)

п

Сначала мы проверяем гипотезу С. Р. Насырова для четырехсторонников

Q E R в случае, когда их области симметричны относительно обеих осей координат. Доказана следующая теорема.

Теорема 4.2.1. Пусть четырехсторонник Q E R симметричен относительно обеих осей координат. Тогда

ExtMocl {QH) ~ - In Я, Я —>■ +оо. (4.6)

п

Мы доказываем (4.6), оценивая с двух сторон внешний конформный модуль четырехсторонника QH через конформные модули четырехсторонников Gih и G2h, таких что их области Gih и G2h удовлетворяют условиям G\h с QCH с G2h 1 где QCH = С \ — дополнение в расширенной комплексной плоскости. Тогда в силу свойства монотонности конформного модуля имеем

Mod (G2H) < ExtMod (QH) < Mod (Gih). (4.9)

Далее, мы показываем, что конформные модули четырехсторонников G1h и G2h также удовлетворяют асимптотической формуле (4.6). В частности, доказываются следующие леммы.

Лемма 4.2.1. Имеем

Mod {Gih) ~ - In Я, Я —>■ +оо. (4.10)

п

Лемма 4.2.2. Имеем

Mod {G2H) - - In Я, Я ^ +оо. (4.15)

п

С помощью лемм 4.2.1 и 4.2.2, а также используя Кн-квазиконформное преобразование qh с коэффициентом Кн ^ 1 при H ^ мы оцениваем

внешний конформный модуль произвольного четырехсторонника, показывая, что конформные модули двух четырехсторонников PЗн и Р2н удовлетворяют условиям

Mod (PЗн) < ExtMod (QH) < Mod (P2H). (4.33)

Затем мы доказываем, что конформные модули РзЯ и Р2н также удовлетворяют (4.5) (леммы 4.3.1 и 4.3.2) и, таким образом, теорема 4.1.1 доказана.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в этой диссертации.

Благодарности. Прежде всего, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Насырову Семену Рафаиловичу за предложенную очень интересную тему исследования, постоянную поддержку и внимание к работе.

Автор выражает искреннюю признательность коллективу Института математики и механики им. Н. И. Лобачевского и кафедры математического анализа за помощь в процессе обучения автора в КФУ. Особенно, автор выражает благодарность профессорам кафедры математического анализа Семену Рафаиловичу Насырову, Ренату Нельсоновичу Гумерову и Юрию Викторовичу Обно-сову за отличные, очень познавательные лекции, которые помогли автору в его исследованиях. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры Анисимовой Ирине Леонидовне и Даутовой Дине Наилевне за помощь автору в процессе обучения в КФУ.

Автор хотел бы поблагодарить друзей и коллег, работающих в университете Кханьхоа (Вьетнам), за создание ему благоприятных условий для работы, чтобы он мог в срок и успешно завершить свои исследования.

Наконец, автор выражает благодарность своей семье, отцу, матери и особенно жене и детям, которые всегда поддерживали, поощряли и создавали все условия для того, чтобы автор чувствовал себя комфортно во время учебы и проведения научных исследований за границей в течение 5 лет.

Глава 1

Предварительные сведения

1.1. Некоторые эквивалентные определения конформного модуля

Существует множество способов определения конформного модуля четы-рехсторонка, а также двусвязной области. Опишем подходы к определению конформных модулей четырехсторонников и двусвязных областей, основанные на методе теории конформных отображений, экстремальных длин семейств кривых и интеграла Дирихле.

Определение 1.1.1. Четырехсторонник Q = (Q; z1,z2,z3, z4) — это жорданова область Q на сфере Римана с четырьмя отмеченными точками zi, z2, z3, и z4 (вершинами) на ее границе; при этом увеличение индекса j соответствует положительному обходу границы dQ. Для удобства будем полагать z5 = z1, а дуги (zj ,zj+1) на границе dQ называть сторонами четырехсторонника.

Для заданного четырехсторонника Q, по теореме Римана об отображении существует однолистное конформное отображение f области Q на прямоугольник [0,1] х [0,m], такое что точки z1,z2,z3, и z4 переходят в точки 0, 1, 1 + im и im. Определяемая единственным образом величина m = Mod (Q) называется конформным модулем четырехсторонника Q. Такой модуль Mod (Q) также называется внутренним конформным модулем четырехсторонника Q. Точно так же можно конформно отобразить Qc, дополнительную к области Q, при помощи отображения д : Qc — [0,1] х [0, к] так, что четыре граничные точки отображаются в вершины прямоугольника д(z1) = 0, д(z2) = 1, g(z3) = 1 + ik, д(z4) = ik с обратной ориентацией. Снова число к определяется единственным образом и называется внешним модулем четырехсторонника Q. Мы будем обозначать этот конформный модуль ExtMod (Q) (см., напр., [108]).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Ван Занг, 2023 год

Список литературы

1. Авхадиев, Ф. Г. Конформные отображения и краевые задачи / Ф. Г. Ав-хадиев. — Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1996.— 412 с.

2. Авхадиев, Ф. Г. Введение в геометрическую теорию функций (п издание) / Ф. Г. Авхадиев. — Казань: КПФУ, 2019.— 133 с.

3. Альфорс, Л. В. Пространства Римановых поверхностей и квазиконформные ототбражения / Л. В. Альфорс, Л. Берс— М.: Изд-во иностр. лит., 1961.— 175 с.

4. Альфорс, Л. В. Лекции по квазиконформным отображениям / Л. В. Альфорс— М.:Мир, 1969.— 133 с.

5. Асеев, В. В. Деформация пластин малых конденсаторов и проблема П. П. Белинского / В. В. Асеев // Сиб. матем. журн. — 2001.— Т. 42, № 6.-С. 1215-1230.

6. Асеев, В. В. Выпуклое раздутие пластин конденсатора / В. В. Асеев // Изв. вузов. Матем. — 2010. — № 8. — С. 3-15.

7. Асеев, В. В. Однозначная определенность трехмерных выпуклых многогранных областей относительными конформными модулями граничных конденсаторов / В. В. Асеев, А. П. Копылов // Сиб. журн. чист. и прикл. матем. — 2017. — Т. 17, № 4. — С. 3-17.

8. Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахие-зер.— М.: Физматлит, 1970.— 304 с.

9. Белинский, П. П. Общие свойства квазиконформных отображений / П. П. Белинский. — Изд-во «Наука», Сиб. отд-ние, 1974.— 100 с.

10. Волосивец, С. С. Новые методы аппроксимации и оптимизации в задачах действительного и комплексного анализа / С. С. Волосивец, С. И. Дудов, и др.— Саратов. ун-т, 2016.— 296 с.

11. Голузин, Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин. — Физматлит, М., 1966.— 628 с.

12. Гурвиц, А. Теория Функций / А. Гурвиц, Р. Курант. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968.— 648 с.

13. Даутова, Д. Н. Асимптотика модулей ромбовидных окон / Д. Н. Дауто-ва // Труды Метеметического центра им. Н. И. Лобачевского. — Т. 47. -Казань: КПФУ, 2013. — С. 39-40.

14. Даутова, Д. Н. Искажение конформных модулей областей при их деформации / Д. Н. Даутова, С. Р. Насыров // Международная математическая конференция по теории функций, посвящённая 100-летию чл.-корр. АН СССР АФ Леонтьева. — 2017. — С. 56-57.

15. Дженкинс, Д. Однолистные функции и конформные отображения: Пер. с англ. В. П. Хавина / Д. Дженкинс. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962.— 268 с.

16. Дубинин, В. Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного / В. Н. Дубинин. — Дальнаука, 2009.— 390 с.

17. Дубинин, В. Н. О квадратичных формах, порожденных функциями Грина и Робена / В. Н. Дубинин // Матем. сб.— 2009. — Т. 200, № 10. — С. 25-38.

18. Дубинин, В. Н. Круговая симметризация и функция Грина / В. Н. Дубинин // Дальневосточный матем. журн. — 2019. — Т. 19, № 1.— С. 24-30.

19. Дубинин, В. Н. Асимптотика ёмкости конденсатора с переменными уровнями потенциала / В. Н. Дубинин // Сиб. матем. журн. — 2020. — Т. 61, № 4. — С. 796-802.

20. Дютин, А. Ю. О внешних конформных модулях симметричных четырехугольников при отображении растяжения / А. Ю. Дютин, В. З. Нгуен / / Международная научная школа-конференция «Экстремальные проблемы теории функций», посвященная 75-летию профессора Ф. Г. Авхадиева. — Т. 64. — Казань: КФУ, 2022. — С. 15-16.

21. Евграфов, М. А. Асимптотические оценки и целые функции —3-е изд., пе-рераб. и доп. / М. А. Евграфов.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,

1979.— 320 с.

22. Евграфов, М. А. Аналитические функции —3-е изд., перераб. и доп. / М. А. Евграфов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 448 с.

23. Коппенфельс, В. Практика конформных отображений: Перевод с немецкого / В. Коппенфельс, Ф. Штальман. — Изд-во иностр. лит., 1963. —406 с.

24. Крушкаль, С. Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности / С. Л. Крушкаль. — Изд-во «Наука», Сиб. отд-ние, 1975.— 196 с.

25. Крушкаль, С. Л. Квазиконформные отображения - новые методы и приложения / С. Л. Крушкаль, Р. Кюнау. — Изд-во «Наука», Сиб. отд-ние, 1984.— 216 с.

26. Кузьмина, Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы / Г. В. Кузьмина // Тр. МИАН СССР. — 1980. — Т. 139, № 0. — С. 3-241.

27. Курант, Р. Принцип дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности: Пер. с англ / Р. Курант, Б. В. Шабат. — Иностр. лит., 1953. — 310 с.

28. Лебедев, Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций / Н. А. Лебедев. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.— 334 с.

29. Маркушевич, А. О конформном представлении областей с переменными границами / А. Маркушевич // Матем. сб. — 1936.— Т. 1, № 6.— С. 863-886.

30. Миклюков, В. М. Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применения / В. М. Миклюков. — Волгоград: ВолГУ, 2005.— 271 с.

31. Насыров, С. Р. Вариации ёмкостей Робена и их приложения / С. Р. Насы-ров // Сиб. матем. журн. — 2008. — Т. 49, № 5. — С. 1128-1146.

32. Насыров, С. Р. Геометрические проблемы теории разветвленных накрытий римановых поверхностей / С. Р. Насыров // Казань: Изд-во «Магариф». — 2008. — 279 с.

33. Насыров, С. Р. Асимптотика модуля прямоугольного окна при растяжении его вдоль одной из осей / С. Р. Насыров // Комплексный анализ и

приложения. — ПетрГУ, 2012. — С. 51-53.

34. Насыров, С. Р. Асимптотика внешнего конформного модуля четырехсторонника при его растяжении / С. Р. Насыров, В. З. Нгуен // Изв. вузов. Машем. — 2023. — № 5. — С. 89-95.

35. Решешняк, Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением / Ю. Г. Решетняк // Сиб. машем. журн. — 1967. — Т. 174, № 6. -С. 1281-1283.

36. Суворов, Г. Д. Простые концы последовательности плоских областей, сходящейся к ядру / Г. Д. Суворов // Машем. сб. — 1953.— Т. 33, № 1.— С. 73-100.

37. Шабаш, В. Б. Введение в комплексный анализ / В. Б. Шабат. — Москва, Изд-во «Наука», 1976. — Т. 1-2. — 577 с.

38. Ahlfors, L. V. Zur theme der iiberlagerungsfiiche / L. V. Ahlfors // Acta Math. — 1935. — Vol. 80. — Pp. 157-194.

39. Ahlfors, L. V. Conformal invariants: topics in geometric function theory / L. V. Ahlfors. — Am. Math. Soc., 2010. — Vol. 371.

40. Arcozzi, N. Capacity of shrinking condensers in the plane / N. Arcozzi // J. Funct. Anal. — 2012. — Vol. 263, no. 10. — Pp. 3102-3116.

41. Betsakos, D. The computation of capacity of planar condensers / D. Betsakos, K. Samuelsson, M. Vuorinen // Publ. Inst. Math. (Beograd) (N. S.). — 2004. — Vol. 75, no. 89. — Pp. 233-252.

42. Betsakos, D. Conformal capacity of hedgehogs / D. Betsakos, A. Solynin, M. Vuorinen // Conformal Geometry and Dynamics Am. Math. Soc. — 2023.— Vol. 27, no. 2. — Pp. 55-97.

43. Bickley, W. Two-dimensional potential problems for the space outside a rectangle / W. Bickley // Proc. London Math. Soc. — 1934.— Vol. 2, no. 1.— Pp. 82-105.

44. Byrd, P. F. Elliptic integrals resulting from laplace transformations / P. F. Byrd, M. D. Friedman // Handbook of Elliptic Integrals for Engineers

and Scientists. — Springer, 1971. — Pp. 249-251.

45. Crowdy, D. Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions / D. Crowdy // Math. Proc. Camb. Philos. Soc. / Cambridge University Press. — Vol. 142. — 2007. — Pp. 319-339.

46. Dautova, D. Conformal modulus of the exterior of two rectilinear slits / D. Dau-tova, S. Nasyrov, M. Vuorinen // Comput. Methods Funct. Theory. — 2021. — Vol. 21, no. 1. — Pp. 109-130.

47. Dautova, D. N. Asymptotics of the modules of mirror symmetric doubly connected domains under stretching / D. N. Dautova, S. R. Nasyrov // Math. Notes. — 2018. — Vol. 103, no. 3-4. — Pp. 537-549.

48. Dautova, D. N. Asymptotics of conformal module of nonsymmetric doubly connected domain under unbounded stretching along the real axis / D. N. Dautova, S. R. Nasyrov // Lobachevskii J. Math. — 2019.— Vol. 40, no. 9.— Pp. 1268-1274.

49. DeLillo, T. K. Schwarz-Christoffel mapping of the annulus / T. K. DeLillo, A. R. Elcrat, J. A. Pfaltzgraff // SIAM Review. — 2001.— Vol. 43, no. 3.— Pp. 469-477.

50. DeLillo, T. K. Computation of multiply connected Schwarz-Christoffel maps for exterior domains / T. K. DeLillo, T. A. Driscoll et al. // Comput. Methods Funct. Theory. — 2006. — Vol. 6, no. 2. — Pp. 301-315.

51. Driscoll, T. A. Schwarz-Christoffel mapping / T. A. Driscoll, L. N. Tre-fethen. — Cambridge University Press, 2002. — Vol. 8. — 149 p.

52. Dubinin, V. N. Symmetrization in the geometric theory of functions of a complex variable / V. N. Dubinin // Russ. Math. Surv. — 1994. — Vol. 49, no. 1. — Pp. 1-79.

53. Dubinin, V. N. Transformation of condensers in n-dimensional space / V. N. Dubinin // J. Math. SCI. — 1994. — Vol. 70, no. 6. — Pp. 2085-2096.

54. Dubinin, V. N. On conformal moduli of polygonal quadrilaterals / V. N. Dubinin, M. Vuorinen // Israel J. Math. — 2009. — Vol. 171, no. 1. — Pp. 111-125.

55. Dubinin, V. N. An extremal decomposition problem for harmonic measure / V. N. Dubinin, M. Vuorinen // Proc. Am. Math. Soc. - 2012.- Vol. 140, no. 7. - Pp. 2441-2446.

56. Duren, P. Robin capacity and extremal length / P. Duren, J. Pfaltzgraff // J. Math. Anal. Appl. - 1993.-Vol. 179, no. 1.-Pp. 110-119.

57. Duren, P. L. Univalent functions / P. L. Duren. - Springer Science & Business Media, 2001.-Vol. 259.- 395 p.

58. Dyutin, A. Asymptotics of the exterior conformal modulus of a symmetric quadrilateral under stretching map / A. Dyutin, Giang V. Nguyen // Lobachevskii J. Math. - 2023. - Vol. 44, no. 4. - Pp. 1289-1298.

59. Gaier, D. Numerical methods in conformal mapping / D. Gaier // Computational Aspects of Complex Analysis. - Springer, 1983. - Pp. 51-78.

60. Gaier, D. Konstruktive Methoden der konformen Abbildung / D. Gaier. -Springer-Verlag, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1964. - Vol. 3. - 294 p.

61. Giang, N. V. On Vuorinen's problem in the case of an arbitrary unbounded doubly connected domain / N. V. Giang, S. R. Nasyrov // Int. Conf. "Complex Analysis and Related Topics". - Vol. 63. - Kazan: KFU, 2022. - Pp. 21-22.

62. Grötzsch, H. Über einige extremalprobleme der konformen abbildung / H. Grotzsch // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Phys.- 1928. -Vol. 80. - Pp. 367-376.

63. Grötzsch, H. Über einige extremalprobleme der konformen abbildung / H. Grotzsch // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Phys. - 1928. -Vol. 80. - Pp. 497-502.

64. Grötzsch, H. Über die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen abbildungen und über eine damit zusammenhangende erweiterung des picardschen satzes / H. Grotzsch // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Phys. - 1928. -Vol. 80. - Pp. 503-507.

65. Grötzsch, H. Über die Verzerrung bei nichtkonformen schlichten abbildungen mehrfach zusammenhangender schlichter bereiche / H. Grützsch // Ber. Verh.

Sächs. Akad. Wies. Leipzig. Math.-Phys.- 1930,-Vol. 82.-Pp. 69-80.

66. Grötzsch, H. Über möglichst konforme abbildungen von schlichten bereichen / H. Grötzsch // Ber. Verh. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Phys. - 1932. — Vol. 84.- Pp. 114-120.

67. Hakula, H. Conformal capacity and polycircular domains / H. Hakula, M. Nasser, M. Vuorinen // J. Comput. Appl. Math. - 2023.-Vol. 420. - Pp. 114802.

68. Hakula, H. Conformal moduli of symmetric circular quadrilaterals with cusps / H. Hakula, S. R. Nasyrov, M. Vuorinen // Electron. Trans. Numer. Anal. -2021. - Vol. 54. - Pp. 460-482.

69. Hakula, H. Computation of exterior moduli of quadrilaterals / H. Hakula, A. Rasila, M. Vuorinen // Electron.Trans. Numer. Anal. 2013.- Vol. 40.-Pp. 436-451.

70. Hakula, H. On moduli of rings and quadrilaterals: algorithms and experiments / H. Hakula, A. Rasila, M. Vuorinen // SIAM J. Sci. Comput. - 2011. - Vol. 33, no. 1.- Pp. 279-302.

71. Hakula, H. Conformal modulus on domains with strong singularities and cusps / H. Hakula, A. Rasila, M. Vuorinen // arXiv preprint arX-iv:1501.06765. - 2015.

72. Imayoshi, Y. An introduction to Teichmöller spaces / Y. Imayoshi, M. Taniguchi.- Springer-Verlag, Tokyo, 2012.- 279 p.

73. Kalmoun, E. M. Numerical computation of preimage domain and condenser capacity for a strip with rectilinear slits / E. M. Kalmoun, M. Nasser, M. Vuorinen // arXiv preprint arXiv:2204.00726. - 2022.

74. Koebe, P. Über die konforme Abbildung mehrfach zusammenhangender Bereiche / P. Koebe // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker- Vereinigung. -1910.-Vol. 19.-Pp. 339-348. http://eudml.org/doc/145249.

75. Kähnau, R. Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory / R. Köhnau. - North Holland, Amsterdam: Elsevier, 2002.-Vol. 1.- 547 p.

76. Kähnau, R. Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory /

R. Kühnau. — North Holland, Amsterdam: Elsevier, 2005. —Vol. 2.— 861 p.

77. Künzi, H. P. Quasikonforme Abbildungen / H. P. Künzi. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete 26. — Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1960.

78. Künzi, H. P. Quasikonforme Abbildungen, Differentialgleichungen und pseudoanalytische Funktionen / H. P. Künzi // Quasikonforme Abbildungen. -Springer, 1960.—Pp. 155-170.

79. Kushnarov, A. Numerical method for conformal map building / A. Kush-narov // Dynamic systems. — 2010. — no. 28. — Pp. 69-80.

80. Lang, S. Complex analysis / S. Lang. — Springer Science & Business Media, 2003. —Vol. 103.— 504 p.

81. Lavrentieff, M. Sur une classe de representations continues / M. Lavrentieff // Math. Sb.— 1935. — Vol. 42, no. 4. — Pp. 407-424.

82. Lehto, O. Univalent functions and Teichmüller spaces / O. Lehto. — Springer-Verlag, New York, 2012. —Vol. 109.— 260 p.

83. Lehto, O. Quasikonforme Abbildungen / O. Lehto, K. J. Virtanen. — Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2013. —Vol. 126.— 269 p.

84. Markushevich, A. I. Theory of functions of a complex variable / A. I. Marku-shevich. — Prentice-Hall, Inc., 1967.— Vol. 3.— 374 p.

85. Menikoff, R. Methods for numerical conformal mapping / R. Menikoff, C. Zemach // J. Comput. Physics. — 1980. —Vol. 36, no. 3.— Pp. 366-410.

86. Nasser, M. Numerical computation of the capacity of generalized condensers / M. Nasser, M. Vuorinen // J. Comput. Appl. Math. — 2020.— Vol. 377.— P. 112865.

87. Nasser, M. Circular arc polygons, numerical conformal mappings, and moduli of quadrilaterals / M. Nasser, O. Rainio, A. Rasila et al. // arXiv preprint arXiv:2107.11485. — 2021.

88. Nasser, M. Computation of conformal invariants / M. Nasser, M. Vuorinen // Appl. Math. Comput. — 2021. —Vol. 389. — P. 125617.

89. Nasyrov, S. Moduli of quadrilaterals and quasiconformal reflection / S. Nasy-

rov, T. Sugawa, M. Vuorinen // J. Math. Anal. Appl. — 2023.— Vol. 524, no. 2. — P. 127092.

90. Nasyrov, S. R. Riemann-Schwarz reflection principle and asymptotics of modules of rectangular frames / S. R. Nasyrov // Comput. Methods Funct. Theory. — 2015. — Vol. 15, no. 1. — Pp. 59-74.

91. Nasyrov, S. R. Conformal mappings of stretched polyominoes onto half-plane / S. R. Nasyrov // Lobachevskii J. Math. — 2017. — Vol. 38, no. 3. — Pp. 494-501.

92. Nasyrov, S. R. Uniformization of one-parametric families of complex tori / S. R. Nasyrov // Russian Math. — 2017. — Vol. 61, no. 8. — Pp. 36-45.

93. Nasyrov, S. R. On Vuorinen's problem in the case of an unbounded symmetric doubly connected domain / S. R. Nasyrov, N. V. Giang // Int. Conf. Alg. Anal. Geom. 2021. — Vol. 60. — Kazan: Acad. Sci. Re. Tatar., 2021. — Pp. 157-158.

94. Nasyrov, S. R. Asymptotics of the conformal modulus of unbounded symmetric doubly connected domain under stretching / S. R. Nasyrov, N. V. Giang // Lobachevskii J. Math. — 2021. — Vol. 42, no. 12. — Pp. 2895-2904.

95. Nehari, Z. Conformal mapping / Z. Nehari. — Dover Publications, Inc., New York, 1975.— 396 p.

96. Nguyen, G. V. Asymptotics of the conformal modulus of a nonsymmet-ric unbounded doubly-connected domain under stretching / G. V. Nguyen, S. R. Nasyrov // Lobachevskii J. Math. — 2022.— Vol. 43, no. 10.— Pp. 2977-2988.

97. Papadopoulos, A. Quasiconformal mappings, from Ptolemy's geography to the work of Teichmüller / A. Papadopoulos // HAL. — 2018. — Vol. 1, no. 0.

98. Papadopoulos, A. Handbook of Teichmüller Theory / A. Papadopoulos. — Eur. Math. Soc. 2020. —Vol. 7.— 616 p.

99. Papamichael, N. Computational Methods And Function Theory 1997-Pro-ceedings Of The Third Cmft Conference / N. Papamichael, S. Ruscheweyh, E. B. Saff. —World Scientific, 1999. —Vol. 11.— 664 p.

100. Papamichael, N. Numerical conformal mapping: Domain decomposition and

the mapping of quadrilaterals У N. Papamichael, N. Stylianopoulos — World Scientific, 2010.— 242 p.

101. Papamichael, N. A domain decomposition method for conformal mapping onto a rectangle У N. Papamichael, N. S. Stylianopoulos У У Constr. Approx. -1991. — Vol. 7, no. 1. — Pp. 349-379.

102. Pommerenke, C. Boundary behaviour of conformal maps У C. Pommerenke. — Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2013. —Vol. 299.— 300 p.

103. Prasolov, V. V. Elliptic functions and elliptic integrals У V. V. Prasolov, Y. Solovyev. — Am. Math. Soc., 1997. —Vol. 170.— 185 p.

104. Seppalö, M. Geometry of Riemann surfaces and Teichmüller spaces У M. Seppüla, T. Sorvali. — Elsevier, 2011. —Vol. 169.— 262 p.

105. Teichmüller, O. Extremale quasikonforme abbildungen und quadratische differentialen У O. Teichmüller ^ Ahh. Preuss. Akad. Wiss. — 1939.— Vol. 22.— Pp. 3-197.

106. Vasil'ev, A. Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal mappings У A. Vasil'ev. — Springer, 2004. — Vol. 1788.— 214 p.

107. Vuorinen, M. Conformal geometry and quasiregular mappings У M. Vuorinen. — Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2006. — Vol. 1319.— 214 p.

108. Vuorinen, M. On exterior moduli of quadrilaterals and special functions У M. Vuorinen, X. Zhang ^ J. Fixed Point Theory Appl. — 2013.— Vol. 13, no. 1. — Pp. 215-230.

109. Wegmann, R. Methods for numerical conformal mapping: dedicated to the memory of dieter gaier У R. Wegmann У У Geometric function theory. — Elsevier, 2005. — Pp. 351-477.