Структурная и параметрическая идентификация разностных нейронечётких переключаемых моделей и нечётких многоэтапных входных процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Жбанова, Наталья Юрьевна

• Жбанова, Наталья Юрьевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Жбанова, Наталья Юрьевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. НЕЙРОНЕЧЁТКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1.1. Введение

1.2. Нечёткие множества и процессы

1.2.1. Гауссовские нечёткие множества

1.2.2. Операции над гауссовскими нечёткими множествами

1.2.3. Нечёткие процессы

1.3. Нечёткое моделирование

1.3.1. Нечёткие модели Мамдани и этапы их функционирования

1.3.2. Нечёткие модели Такаги-Сугено

1.3.3. Динамические нечёткие модели в пространстве состояний

1.3.4. Разностные нечёткие модели

1.4. Нейронечёткие модели

1.4.1. Преобразование нечёткой модели в нейронечёткую АЛИЕ-систему

1.4.2. Параметрическая идентификация нейронечётких моделей типа АМТЭ

1.5. Нечёткие переключаемые модели

1.5.1. Переключаемые системы

1.5.2. Формальное описание переключаемой системы

1.5.3. Типы переключающих сигналов

1.5.4. Нечёткие переключаемые модели

1.6. Применение нечётких переключаемых и нечётких разностных моделей к описанию сложных процессов

1.7. Выводы по главе и постановка задач исследования

ГЛАВА 2. РАЗНОСТНЫЕ НЕЙРОНЕЧЁТКИЕ ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫЕ МОДЕЛИ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ИХ ПАРАМЕТРОВ

2.1. Введение

2.2. Структура разностной нечёткой переключаемой модели

2.3. Структура разностной нейронечёткой переключаемой модели

2.4. Механизм фаззификации входных воздействий разностной нейронечёткой переключаемой модели

2.4.1. Нечёткие процессы с линейными центрами

2.4.2. Нечёткие процессы с нелинейными центрами

2.5. Идентификация параметров разностных нейронечётких переключаемых моделей

2.5.1. Одновременная настройка параметров разностной нейронечёткой переключаемой модели

2.5.2. Раздельная настройка разностной нейронечёткой переключаемой модели

2.5.3. Идентификация параметров центров входных нечётких процессов

2.5.4. Идентификация параметров ширины входных нечётких процессов

2.6. Выводы по главе

ГЛАВА 3. СТРУКТУРА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ ДЛЯ РАБОТЫ С КЛАССОМ РАЗНОСТНЫХ НЕЙРОНЕЧЁТКИХ ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫХ МОДЕЛЕЙ

3.1. Введение

3.2. Комплекс программ для работы разностными нейронечёткими переключаемыми моделями

3.3. Вычислительные эксперименты

3.3.1. Сравнение двумерных и одномерных гауссовских нечётких множеств

3.3.2. Исследование влияния зашумлённых входных воздействий на выход разностной нейронечёткой переключаемой модели с предлагаемым механизмом фаззификации

3.3.3. Влияние выбора ширины двумерных нечётких множеств на выход разностной нейронечёткой переключаемой модели

3.3.4. Раздельный и одновременный подходы к обучению разностной нейронечёткой переключаемой модели с двумерными нечёткими множествами в предпосылках правил

3.4. Выводы по главе

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОЭТАПНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА НА ПРИМЕРЕ ПРОЦЕССА ВАРКИ САХАРНОГО СИРОПА

4.1. Введение

4.2. Задача моделирования варки сахарного сиропа

4.3. Необходимость предварительной коррекции обучающего множества

4.3.1. Предлагаемый метод решения задачи коррекции

4.3.2. Применение нечёткой переключаемой модели для решения задачи коррекции

4.3.3. Аналитический подход к решению задачи коррекции

4.3.4. Проверка результатов коррекции обучающего множества

4.4. Определение структуры разностных нейронечётких переключаемых моделей для описания многоэтапного динамического процесса варки

4.4.1. Этапы процесса варки сахарного сиропа

4.4.2. Разностная нейронечёткая переключаемая модель для определения контрольных точек плотности

4.4.3. Разностная нейронечёткая переключаемая модель для определения контрольных точек уровня

4.4.4. Разностная нейронечёткая переключаемая модель для определения контрольных точек давления пара

4.5. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структурная и параметрическая идентификация разностных нейронечётких переключаемых моделей и нечётких многоэтапных входных процессов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время качественное управление сложными процессами требует высокоточного вычисления значимых параметров. В задачах моделирования процессов, которые характеризуются сложностью и наличием погрешностей в измерениях, широко применяются методы искусственного интеллекта, основанные на нечётком и нейронечётком моделировании. К достоинствам нечётких моделей относят устойчивость к неточным входным данным. Неточность в нечётких моделях учитывается посредством фаззификации - преобразования чётких входных величин в нечёткие. Нейронечёткие модели пользуются популярностью, так как объединяют преимущества нечётких моделей и нейронных сетей — простоту и возможность автоматической настройки параметров (обучение).

К перспективным направлениям нечёткого моделирования можно отнести разностные нечёткие модели и нечёткие модели с переключениями. Анализ посвященных этим подходам работ показывает, что разностные нечёткие модели обладают рядом полезных особенностей и с успехом применяются для описания динамических процессов. Нечёткие переключаемые модели используются для описания многоэтапных процессов, характеризующихся резкими изменениями в структуре или параметрах.

На практике часто возникает необходимость моделирования многоэтапных динамических процессов, зависящих от нескольких меняющихся во времени факторов, которые могут быть измерены с погрешностью. Это требует использования модели, сочетающей свойства разностных, переключаемых и нейронечётких моделей с большим количеством входов и большой глубиной памяти каждого входа. Такая модель учтёт неопределённости, преобразуя посредством фаззификации входные воздействия в нечёткие процессы, и точно отразит многоэтапность и

динамику изучаемого объекта. Однако большое количество параметров может существенно затруднить её настройку.

Для преодоления описанного недостатка предлагается решить задачу разработки класса разностных нейронечётких переключаемых моделей, идентификация которых не будет трудоёмкой и не потребует больших временных затрат. Такие модели должны сочетать в себе возможность учёта входных процессов большой длины с относительно простой структурой, обеспечивающей лёгкость настройки. Разработка и исследование методов обучения моделей описанного типа также представляет собой актуальную проблему.

Тематика работы соответствует научному направлению Липецкого государственного технического университета «Алгебраические методы прикладной математики и информатики в моделировании и управлении сложными распределёнными системами».

Цель работы и задачи исследования. Целью работы является повышение эффективности структурного и параметрического моделирования многоэтапных динамических процессов за счёт разработки класса разностных нейронечётких переключаемых моделей, а также разработки и исследования подходов к фаззификации дискретных процессов на входах модели, позволяющих упростить процесс её настройки. В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:

- обзор существующих нечётких, нейронечётких и переключаемых моделей сложных динамических процессов, постановка задач исследования;

- разработка разностной нейронечёткой переключаемой модели, подходящей для описания многоэтапных динамических процессов;

- исследование и модификация существующих подходов к параметрической идентификации разработанной разностной переключаемой нейронечёткой модели, в том числе модификация подхода к преобразованию входных воздействий модели в нечёткие процессы;

- разработка и тестирование комплекса программ для построения и идентификации разностных нейронечётких переключаемых моделей;

- построение и настройка разностной нейронечёткой переключаемой модели многоэтапного динамического процесса на примере процесса варки сахара, определение с её помощью параметров варки.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, объектно-ориентированного

программирования, теории нечётких множеств, теории нейронных сетей, теории нечётких процессов, теории переключаемых систем, численные методы, а также вычислительные эксперименты.

Тематика работы. Содержание диссертации соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»; п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; п. 5 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- новый класс разностных нейронечётких переключаемых моделей, отличающихся сочетанием структур разностных нечётких моделей, нейронечётких систем и систем с переключениями и позволяющих моделировать сложные многоэтапные процессы, характеризующиеся резкими изменениями структуры или параметров;

- механизм фаззификации входных воздействий разностной нейронечёткой переключаемой модели, отличающийся возможностью преобразовывать входные воздействия в дискретные нечёткие процессы с использованием двумерных нечётких множеств и

позволяющий сокращать количество настраиваемых параметров модели;

- численные методы идентификации параметров центров и ширин входных дискретных нечётких процессов, отличающиеся анализом реализаций нечётких процессов с использованием метода наименьших модулей, учётом условия разбиения единицы и позволяющие повысить точность моделирования;

- структура комплекса программных средств, позволяющих моделировать сложные многоэтапные процессы, отличающихся реализацией предложенного класса разностных нейронечётких переключаемых моделей и численных методов идентификации параметров входных дискретных нечётких процессов.

Практическая значимость работы заключается в создании комплекса программ, предназначенного для структурной и параметрической идентификации разностных нейронечётких переключаемых моделей с использованием предложенных численных методов настройки параметров. С помощью разработанного комплекса была создана разностная нейронечёткая переключаемая модель технологического процесса варки сахарного сиропа, позволяющая предотвратить снижение качества сахара, которое может наблюдаться в случае ошибки оператора.

Реализация и внедрение результатов работы. Разработанная разностная нейронечёткая переключаемая модель процесса варки сахарного сиропа применяется на ОАО «Добринский сахарный завод» для вычисления контрольных точек параметров варки сиропа. Модель рекомендует оператору варки значения контрольных точек и позволяет скорректировать его действия в случае ошибки. Это приводит к повышению качества готового сахара и снижению затрат энергии на варку.

Теоретические результаты диссертации используются в учебном процессе Липецкого государственного технического университета при чтении специальных дисциплин.

Апробация работы. Теоретические и практические результаты работы докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях и форумах: VIII Международной конференции «Интерактивные системы и технологии: проблемы человеко-компьютерного взаимодействия» (Ульяновск, 2009), XVII Международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в экономике и обеспечении безопасности» (Воронеж, 2012), XVII Международной научной конференции «Современные проблемы информатизации в анализе и синтезе технологических и программно-телекоммуникационных систем» (Воронеж, 2012), VI, IX, X Всероссийских школах-конференциях молодых учёных «Управление большими системами» (Ижевск 2009; Липецк, 2012; Уфа, 2013), школе-семинаре «Модели и методы исследования гетерогенных систем» (Геленджик, 2012), Третьей и Пятой традиционных всероссийских молодёжных летних школах «Управление, информация, оптимизация» ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН (Ярополец, 2011; Солнечногорск, 2013), XV Международной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» (Будапешт, 2013), а также на научных семинарах кафедры прикладной математики Липецкого государственного технического университета.

Научная работа по теме диссертационного исследования «Применение нейронечёткой переключаемой системы с запаздыванием к моделированию процесса варки» была отмечена дипломом победителя на конкурсе научных работ молодых учёных по теории управления и её приложениям ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН (Москва, 2012).

Исследование проводилось в рамках инициативного научного проекта, поддержанного грантом РФФИ «Разработка математического и программного обеспечения для моделирования, прогнозирования, оптимизации и управления сложными системами на основе методов идемпотентной математики и интервального анализа», проект № 11-07-00580-а (2011-2013 г).

Публикации. Основные результаты исследования изложены в 14 опубликованных научных работах. Из них 3 работы опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ, получено 1 свидетельство на программу для электронных вычислительных машин. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат: [2] — разработка разностной нейронечёткой переключаемой модели; [3] — структура разностной нейронечёткой переключаемой модели и алгоритмы настройки параметров входных нечётких процессов; [4] - структура программного комплекса для реализации класса разностных нейронечётких переключаемых моделей.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованной литературы. Основная часть работы изложена на 141 странице машинописного текста, содержит 61 рисунок и 11 таблиц. Список литературы содержит 113 наименований.

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи, сформулированы научная новизна и практическая значимость, определена структура диссертации.

В первой главе рассматриваются нечёткий и нейронечёткий подходы к моделированию сложных процессов. Приводятся основные понятия, используемые в теории нечёткого моделирования, краткие характеристики основных типов нечётких и нейронечётких моделей, чаще всего применяемых на практике.

Уделено внимание классу разностных нечётких моделей, отличающихся от классических нечётких моделей учётом расширенного набора предпосылок и разностными уравнениями в заключениях правил. Разностные нечёткие модели предназначены для моделирования динамических процессов.

Кроме этого, рассмотрены классы систем с переключениями и нечётких переключаемых моделей. Системы с переключениями (в частности,

нечёткие) широко применяются при моделировании многоэтапных процессов, характеризующихся изменениями в структуре и/или параметрах.

В силу специфики прикладной области исследований приводится краткое описание многоэтапного динамического процесса варки сахара.

На основе анализа процесса варки и обзора существующих типов моделей делается вывод о необходимости разработки разностной нейронечёткой переключаемой модели, которая наиболее полно учитывает особенности сложных производственных процессов и при этом не требует настройки большого числа параметров.

Во второй главе предлагается новый класс разностных нейронечётких переключаемых моделей, сочетающий особенности разностных нечётких моделей, нейронечётких систем и систем с переключениями. Класс разностных нейронечётких переключаемых моделей позволяет описывать сложные многоэтапные динамические производственные процессы.

Также представлен механизм фаззификации входных воздействий моделей предложенного класса, основанный на преобразовании входов в дискретные нечёткие процессы с применением двумерных нечётких множеств. Применение данного механизма ведёт к существенному сокращению числа настраиваемых параметров в предпосылках правил моделей. Разработаны алгоритмы определения предпосылочных параметров разностных нейронечётких переключаемых моделей с предложенным механизмом фаззификации входных воздействий.

Третья глава посвящена описанию структуры программного комплекса для реализации класса разностных нейронечётких переключаемых моделей и численных алгоритмов параметрической идентификации. Структура программного комплекса отличается возможностью моделирования многоэтапных динамических процессов за счёт сочетания модулей, реализующих предложенный класс моделей, и модулей, реализующих разработанные алгоритмы настройки их параметров.

Приводятся результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие преимущества предложенного механизма фаззификации входных воздействий разностных нейронечётких переключаемых моделей, который основан на преобразовании входов в дискретные нечёткие процессы с применением двумерных нечётких множеств.

Четвёртая глава посвящена применению класса разностных нейронечётких переключаемых моделей и методов идентификации их параметров к описанию многоэтапного процесса на примере процесса варки сахарного сиропа. Приводятся разностные нейронечёткие переключаемые модели процесса варки.

Приведённые результаты подтверждают возможность использования моделей предложенного класса для описания многоэтапного процесса варки. Механизм фаззификации входных процессов позволяет сократить количество настраиваемых параметров и упростить процесс обучения модели. Численные алгоритмы идентификации параметров позволяют настроить модель с высокой точностью.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

ГЛАВА 1. НЕЙРОНЕЧЁТКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1.1. Введение

В главе описаны методы нейронечёткого моделирования динамических процессов, раскрыты основные понятия теорий нечёткого и нейронечёткого моделирования. Дано представление о классах нечётких и разностных нечётких моделей, обладающих большими возможностями в плане моделирования динамических процессов, а также о классе нечётких переключаемых моделей, применяемых при описании многоэтапных процессов, характеризующихся резкими изменениями в структуре и/или параметрах. На основе обзора существующих типов моделей делается вывод о необходимости разработки разностной нейронечёткой переключаемой модели, которая наиболее полно учитывает особенности сложных динамических многоэтапных процессов.

1.2. Нечёткие множества и процессы

1.2.1. Гауссовскне нечёткие множества

Теория нечётких множеств — инструментарий, посредством которого можно формализовать качественные понятия и оперировать с ними. Её основы были заложены Л.Заде в середине 1960-х [111], и до сих пор она активно развивается [7, 46, 50, 73, 79, 99, 100]. Нечёткие множества используются для учёта различного вида неопределённостей в моделях реальных объектов и процессов [34, 41, 67, 68, 82, 110]. В случаях, когда параметры объекта не известны или известны приблизительно, высокоточный результат даст моделирование, основанное на применении нечётких множеств.

Дадим формальное определение нечёткого множества.

Определение 1. Пусть V с Я — некоторая числовая область. Нечёткое множество А, определённое на £/, представляет собой совокупность пар А = {(и,/^(м))| и е и). Здесь /лА{и) — степень принадлежности элемента и нечёткому множеству А.

Ввёдем понятие функции принадлежности нечёткого множества.

Определение 2. Функцией принадлежности ¡лА нечёткого множества А называется функция ¡лА (и):11 —»[0,1]. Функция принадлежности задаёт соответствие между элементами и е17 и значениями из интервала [0,1], которые представляют собой степени принадлежности нечёткого множества А.

Существует множество различных типов функций принадлежности, однако наиболее часто используемыми считаются треугольная, трапециевидная и гауссовская функции принадлежности.

Определение 3. Функция принадлежности гауссовского нечёткого множества А определяется следующей формулой [45]:

(м) = ехР

xv

(1.1)

Параметры с им? определяют центр и ширину нечёткого множества. | мА(и)

Рисунок 1.1- Функция принадлежности гауссовского нечёткого

множества

Основными достоинством гауссовской функции принадлежности является её непрерывная дифференцируемость на всей области определения. Кроме этого, в контексте данной работы, преимуществом нечёткого

множества, определяемого гауссовской функцией, является присутствие в формуле центра и ширины. Недостатком гауссовского нечёткого множества является нарушение условия разбиения единицы [45].

Введём понятие условия разбиения единицы [45, 90].

Определение 3. Пусть на числовой области V задана совокупность

нечётких множеств А1,..., А1. Условие разбиения единицы выполняется, когда для любого элемента и е и сумма степеней принадлежности всем нечётким множествам А1, / = , равна 1:

Влияние условия разбиения единицы на результат нечёткого моделирования подробно рассматривается в п. 1.2.1.

При использовании гауссовских нечётких множеств для выполнения условия требуют [45], чтобы точкой пересечения соседних функций принадлежности являлась так называемая критическая точка нечёткого множества — та, для которой степень принадлежности /л равна 0.5 (рис. 1.2,

точка О1).

Если для описания чётких элементов и е и используется набор из трёх и более гауссовских нечётких множеств с разными расстояниями между центрами, условие разбиения единицы грубо нарушается из-за их симметричности.

ь

/=1

о С1 с2 с3

Рисунок 1.2 — Симметричные гауссовские нечёткие множества —

л

нарушение условия разбиения единицы в точке О

В таких случаях обычно применяют асимметричные гауссовские нечёткие множества с четырьмя параметрами, степень принадлежности которым вычисляется по формуле [45]:

ц{и) = о ехр[- (1 - ¿у)ехр[-

где и- входное значение, с- центр ассиметричного нечёткого множества, и^ и м?2 ~ параметры ширины слева и справа, т — вспомогательная логическая переменная, определяемая формулой:

Г 0, и е(-оо,с] е(с,+со)

Асимметричные гауссовские нечёткие множества будут выглядеть так, как показано на рис 1.3. Два параметра ширины асимметричной функции

Л

принадлежности нечёткому множеству А подбираются так, чтобы пересечение с соседними функциями попадало в критические точки.

со -

Рисунок 1.3 - Асимметричное нечёткое множество А , условие разбиения единицы не нарушено

Выполнение условия разбиения единицы имеет большое значение для нечёткого моделирования, и в частности, для рассматриваемых в данной работе разностных нейронечётких переключаемых моделей.

1.2.2. Операции над гауссовскими нечёткими множествами

Большая часть операций над нечёткими множествами была заимствована из логики и расширена с учетом особенностей нечётких множеств. Ниже будут рассмотрены основные операции над нечёткими множествами.

Нечёткое пересечение возникло как расширение классического пересечения. Были предложены различные способы выполнения этой операции, что привело к формированию понятия 1;-нормы [75, 84, 94].

Определение 4. Оператор 1-нормы - это функция Т: [0,1] х [0,1] [0,1], которая используется для реализации пересечения двух и более нечётких множеств и удовлетворяет при этом свойствам обнуления, коммутативности, ассоциативности и монотонности.

К наиболее распространенным ^нормам относятся операторы минимума, произведения, произведения Гамахера, Эйнштейна, усиленное произведение, ограниченная разность, однако чаще всего используются минимум и произведение. Пересечение нечётких множеств А и В с использованием оператора произведения определяется по формуле №аг\в(х) = Ма(х)№в(х)> с использованием оператора минимума — по формуле

Маглв (*) = тЦ^(*), ЦВ(*)) [45, 72].

Нечёткое объединение, также как и пересечение, возникло при попытке применения классического объединения к нечётким множествам. Первыми операторами, предложенными Л. Заде для выполнения объединения, были оператор максимума и алгебраическая сумма. Сейчас для выполнения операции объединения над нечёткими множествами используются э-нормы (или 1-конормы).

Определение 5. Оператор ^конормы — это функция £: [0,1] х [0,1] —»[0,1], реализующая объединение двух и более нечётких множеств и удовлетворяющая, как и оператор 1:-нормы, свойствам обнуления, коммутативности, ассоциативности и монотонности.

К основным t-конормам относятся операторы максимума, алгебраической суммы, суммы Гамахера, суммы Эйнштейна, усиленной и ограниченной сумм. Объединение двух нечётких множеств с использованием оператора максимума определяется следующей формулой: JuA(jB{x) = тах(//л (х), /лв(х)). Объединение с использованием оператора суммы вычисляется так: juAuB (х) = juA (х) + juB (х) - juA (x)juB (х) [45, 72].

1.2.3. Нечёткие процессы

Теория нечётких процессов возникла как аналог теории случайных процессов в теории нечётких множеств. Нечёткие процессы представляют собой удобный способ описания неопределённостей во времени и являются предметом исследования на протяжении последних лет [63, 96, 98]. Методы теории нечётких процессов широко применяются в экономическом моделировании [9, 13], финансовой математике [96] и некоторых других областях.

Помимо этого, нечёткие множества нашли применение в смежной области - теории временных рядов [2, 65, 80]. Новые методы исследования временных рядов, в основе которых лежат нечёткие множества, активно развиваются в последние два десятилетия [65, 66].

Дадим основные понятия теории нечётких процессов в обозначениях, соответствующих принятым в работе.

Определение б. Скалярный нечёткий процесс ¡лАщ («[/]) е [0,1], u[t] е и) с дискретным временем, принимающем значения из

множества натуральных чисел, t е N (нечёткий временной ряд) определяется как последовательность нечётких множеств A[t] с U.

Реализацией нечёткого процесса, по аналогии с реализацией случайного процесса, назовём последовательность значений {(ф!],...,m[/J), u[t]eU}.

Нечёткий процесс, описанный совокупностью произвольных нечётких множеств, изображён на рис. 1.4.

Определение 7. Векторный нечёткий процесс {ДМ с: U, ^ф](мг-И)е[0,1], ui[i]еU, i = \,...m\ с дискретным временем ieN определяется как последовательность нечётких множеств A^t] с; U, i =1 ,...т.

Определение 8. Гауссовский скалярный нечёткий процесс //,ф](иМ)е[0,1], u[t]eU\ с дискретным временем te N определяется как последовательность гауссовских нечётких множеств A[t\ с U, каждое из которых характеризуется центром c[t]eR и шириной е R. Процесс в целом характеризуется линией центров c[t\ eR, t gN, и окаймляющими её линиями c[i] - w|7]/2, c[f\ + w\t\/2, условно называемыми «линиями ширин».

1.2. Нечёткое моделирование

Нечёткие модели возникли при попытке формализовать процесс рассуждения человека (эксперта или оператора). Впервые понятие нечёткой модели было сформировано в середине 60-х годов, но из-за отсутствия прикладных результатов многие ученые выступали против нового подхода. Однако в 80-х с появлением устройств, основанных на применении нечёткой логики, начался бум нечёткости, и нечёткими моделями заинтересовались многие исследователи [41, 67, 68].

Сейчас нечёткий подход широко применяется при моделировании сложных технологических [34, 43, 57] и экономических процессов [65, 66], а также биологических объектов [68]. Нечёткие модели удобны тем, что при отсутствии математического описания изучаемого объекта позволяют формализовать неизвестные зависимости в виде доступных для понимания правил.

Основным элементом нечёткой модели является её база правил, имеющая вид «IF-THEN» и определяющая направление quasi-рассуждений модели.

1.2.1. Нечёткие модели Мамдани и этапы их функционирования

Наиболее известны, удобны и широко распространены нечёткие модели двух типов - Мамдани и Такаги-Сугено.

Нечёткая модель Мамдани [8, 62], реализующая некоторую функциональную зависимость у = /(м,,...,мто), может быть описана правилами вида:

Rl: If щ is Al and,...,and ит is Alm then у is С1, (1.2)

где и¡, i - l,...,m, — входные значения, у — выход правила модели, А- и С7 — нечёткие множества предпосылочной и заключительной части правила соответственно, / = 1 ,...,L, - число правил в модели. Модель (1.2) относится к типу MISO (multiple input, single output). С помощью моделей Мамдани удобно описывать качественные знания.

Нечёткая модель Мамдани включает в себя три блока: блок фаззификации, блок нечёткого вывода, и блок дефаззификации.

На этапе фаззификации чётким числам u¡, i = 1,...т, поступившим на входы модели, присваиваются степени принадлежности входным

(предпосылочным) нечётким множествам ц ¡ {ui). Степени принадлежности

Л

затем используются в блоке нечёткого вывода. Тип и параметры нечётких множеств Al¡ задаются исследователем заранее.

Блок нечёткого вывода, используя входные степени принадлежности

И i (и( ), базу правил и выходные нечёткие множества, вычисляет Л/

результирующую функцию принадлежности выходного значения модели МгеАу)- Эта функция выражает обобщенное значение заключений всех правил базы. При этом каждое заключение модифицируется в соответствии с уровнем активации (уровнем истинности) его предпосылки. Уровень активации правила R1 вычисляется в зависимости от входных степеней

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жбанова, Наталья Юрьевна, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Ануфриев И. Е., Смирнов А. Б., Смирнова Е. Н. MATLAB 7 // СПб.: БХВ-Петербург. - 2005. - 1104 с.

2. Афанасьева Т. В. Методология, модели и комплексы программ анализа временных рядов на основе нечетких тенденций, дисс. на соискание степени докт. тех. наук. УлГТУ, Ульяновск, 2011.

3. Бабич Л.О., Квасников В.П. Управление интеллектуальным мобильным роботом на основе гибридной нейро-нечеткой системы // Авиационно-космическая техника и технология. - 2009. — № 7. — С. 140-144.

4. Батыршин И. 3. и др. Нечеткие гибридные системы. Теория и практика / Под ред. Н. Г. Ярушкиной // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 208 с.

5. Бериков В.Б., Лбов Г.С. Современные тенденции в кластерном анализе // Новосибирск: Институт математики им. С.Л. Соболева, 2008. - 26 с.

6. Блюмин С. Л., Миловидов С. П., Погодаев А. К. Нелинейный метод наименьших квадратов: учебное пособие // Липецк: ЛипПИ, 1992. - 80 с.

7. Блюмин С. Л. Нечеткая логика: алгебраические основы и приложения: Монография / С.Л. Блюмин, И.А. Шуйкова, П.В. Сараев, И.Д. Черпаков. - Липецк: ЛЭГИ, 2002. - 111 с.

8. Болдина Е.А., Солдатов В.В. Идентификация нелинейных функциональных зависимостей с использованием нечеткого логического вывода. Электронный ресурс: http://www.rgazu.ru/db/vestnic/2010%281 %29/agroingeneriva/008.pdf

9. Бочарников В. П. Fuzzy-технология: Математические основы. Практика моделирования в экономике. - СПб.: Наука, 2001. - 328 с.

10. Бублей С. Е. Исследование алгоритмов обучения нейронечетких систем для задач управления // Известия ЮФУ. Технические науки. — 2010. — № 12.-С. 178-185.

11. Бугаенко И. Ф., Тужилкин В. И. Общая технология отрасли. Научные основы технологии сахара: учебник. Ч. 1 // СПб.: ГИОРД. - 2007. - 512 с.

12. Васильев С. Н., Маликов А. И. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем. Электронный ресурс: http://www.imm.knc.ru/sb2011/Vasilev Malikov.pdf

13. Горемычкин Р. С. Моделирование социокультурных процессов в контексте теории нечетких мер // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. - 2011. - № 17.- Юс.

14. Громковский А. И., Последова Ю. И., Бражников Н. Н. Оптимальный режим уваривания утфеля I продукта // Сахар. - 2008. - № 8. - С. 54-56.

15. Доугерти К. Введение в эконометрику: пер. с англ. // М.: ИНФРА-М, 1999. - 402 с.

16. Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6® в математике и моделировании. -М.: Солон-Пресс, 2005. - 576 с.

17. Дьяконов В. П. MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. - М.: ДМК Пресс, 2008. - 768 с.

18. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений // М.: Мир, 1988. - 440 с.

19. Егоренков Д. JL, Фрадков А. Д., Харламов В. Ю. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке MATLAB // М.: Высшая школа, 1998. - 188 с.

20. Еременко Ю.И., Еременко А.Ю., Полещенко Д.А., Глущенко А.И. К вопросу реализации схемы управления с подстройкой параметров пид-регулятора при помощи нейронной сети // Материалы VIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых «Управление большими системами». - Магнитогорск: МГТУ. - 2011. - С. 65-69.

21. Еременко Ю. И., Уварова JI. В. Нечеткое управление системой водоотведения в условиях параметрической идентификации // Электротехнические комплексы и системы управления. — 2010. — № 2. — С. 18-22.

22. Еременко Ю. И., Уварова Л. В. О построении нечеткой динамической модели нелинейных объектов на примере насосной станции водоотведения // Современные наукоемкие технологии. — 2009. — № 11. -С. 38-41.

23. Жбанова Н. Ю. Идентификация параметров входных нечётких процессов разностных нейронечётких переключаемых моделей / С. Л. Блюмин, А. М. Шмырин, Н. Ю. Жбанова // Системы управления и информационные технологии. - 2014. -№ 1(55). - С. 8-12.

24. Жбанова Н. Ю. Коррекция исходных данных по варке сахара с использованием нечёткой переключаемой системы // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 12. - С. 14-23.

25. Жбанова Н. Ю. Моделирование процесса варки сахара разностной нейронечёткой системой с переключениями // Программные системы: теория и приложения. - 2012. - Т. 3. - № 5. - С. 71-79.

26. Жбанова Н.Ю. Моделирование процесса варки сахара с использованием нейронечеткой переключаемой модели // Сборник трудов по итогам ХУЛ Международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в анализе и синтезе технологических и программно-телекоммуникационных систем». Вып. 17. — Воронеж: «Научная книга». - 2012. - С. 300-302.

27. Жбанова Н.Ю. Моделирование технологического процесса переключаемой нейронечёткой системой с запаздыванием // Вестник ЛГТУ. - 2012.-№1(20). - С. 18-25.

28. Жбанова Н.Ю. Нейронечёткое моделирование процесса варки сахара // Управление большими системами: материалы IX Всероссийской школы-конференции молодых ученых. - Том 2. - Тамбов -Липецк: изд-во Першина Р.В. -2012. - С. 202-206.

29. Жбанова Н.Ю. Нечёткие и нейронечёткие переключаемые модели // Сборник трудов по итогам XVII Международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в экономике и

обеспечении безопасности». - Вып. 17. — Воронеж: «Научная книга». - 2012.-С. 72-75.

30. Жбанова Н.Ю. Особенности идентификации разностной нечёткой модели с переключениями // Информационные технологии моделирования и управления. - 2013. -№ 6(84). - С. 555-562.

31. Жбанова Н.Ю. Построение и настройка переключаемой нейронечёткой системы для моделирования процесса варки сахара // Материалы X Всероссийской школы-конференции молодых ученых «Управление большими системами». - ТомЗ.- Уфа: УГАТУ. - 2013. - С. 91-94.

32. Жбанова Н. Ю. Реализация программного комплекса для настройки и последующей работы с разностными нейронечёткими переключаемыми моделями / С. Л. Блюмин, А. М. Шмырин, Н. Ю. Жбанова // Вестник ТГУ. - 2014. - № 2(19). - С. 341-348.

33. Жбанова Н. Ю., Блюмин С. Л. Разностная нейронечёткая переключаемая модель технологического процесса // М.: ФГБУ ФИПС, 2014. Госрегистрация № 2014612417 от 26.02.2014.

34. Иванов А. П. Усовершенствование нечеткой модели управления режимами тяги поездов // 1КСЗТ. - 2010. - № 4. - С. 103-106.

35. Кетков Ю. Л., Кетков А. Ю., Шульц М. М. МАТЛАБ 7: программирование, численные методы // СПб.: БХВ-Петербург. -2005. - 752 с.

36. Ким Дж.-О. и др. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ // М.: Финансы и статистика, 1989. - 215 с.

37. Котов К.Ю., Шпилевая О.Я. Переключаемые системы: устойчивость и проектирование (обзор) // Автометрия. - 2008. - № 5 (44) . - С.71-87.

38. Кремер Н. Ш. Эконометрика: учеб. для вузов // М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.-311 с.

39. Круглов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. — М.: Физматлит, 2001. - 225 с.

40. Кудинов Ю. И. Нечеткие динамические модели // Вести высших учебных заведений Черноземья. - 2011. - № 1(17). - С. 15-20.

41. Кудинов Ю. И., Венков А. Г. Нечеткие множества в задачах моделирования технологических процессов // Сборник научных трудов семинара «Методы и модели искусственного интеллекта». — Липецк: ЛГТУ. - 2003. - С. 5-19.

42. Кудинов Ю. И., Суслова С. А. Исследование нечетких динамических моделей и алгоритмов идентификации // Вести высших учебных заведений Черноземья. - 2006. - № 1(3). - С. 8-10.

43. Кудинов Ю. И., Суслова С. А. Разработка нечеткой разностной модели // Сборник научных трудов семинара «Методы и модели искусственного интеллекта». - Липецк: ЛГТУ. - 2003. - С. 20-33.

44. Мудров В. И., Кушко В. Л. Метод наименьших модулей // М.: Знание, 1971.-64 с.

45. Пегат А. Нечёткое моделирование и управление // М.: Бином, 2009. -800 с.

46. Пальчунов Д. Е., Яхъяева Г. Э. Нечеткие алгебраические системы //Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: математика, механика, информатика. — 2010. — Т. 10. — №. 3. - С. 76-93.

47. Петров С. М., Миленко Е. Е., Филатов С. Л., Тужилкин В. И. Управление увариванием утфелей на основе кинетических закономерностей кристаллизации сахарозы в вакуум-аппаратах // Сахар. -2009. -№ 7. - С. 55-57.

48. Попов В.Д. Основы теории тепломассообмена при кристаллизации сахарозы // М.: Пищевая промышленность. — 1973. — 320 с.

49. Поршнев С. В. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете МАТЬАВ. - М.: Горячая линия-Телеком, 2003. - 592 с.

50. Рзаев Р. Р., Намазов Р. Б., Имранов И. Р. Нечёткое моделирование в макроэкономическом анализе //Математические машины и системы. — 2011. — Т. 1. — №. 2.

51. Сапронов А. Р. Технология сахара // М.: Легкая и пищевая промышленность. - 1983. - 232 с.

52. Сараев П. В. Идентификация нейросетевых моделей: монография // Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2011. -94 с.

53. Сараев П. В. Метод Голуба-Перейры для задач снижения размерности // Нейроинформатика и её приложения: материалы IX Всероссийского семинара. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2001. - С. 173-174.

54. Сараев П. В. Суперпозиционное линейно-нелинейное нейроструктурное моделирование, дисс. на соискание степени докт. тех. наук. ВГТУ, Воронеж, 2013.

55. Сараев П. В. Теоретические основы конструирования гибридных нейро-нечетких структур // Сборник научных трудов семинара «Методы и модели искусственного интеллекта». - Липецк: ЛГТУ. -2003. - С. 91-104.

56. Силин П. М. Технология сахара // М.: Пищевая промышленность. -1967. - 625 с.

57. Субботин С. А. Построение диагностических нейро-нечетких моделей на основе фрактального разбиения пространства признаков // Информатика и системы управления. - 2009. — № 3. - С. 94-100.

58. Суслова С. А. Идентификация динамики технологических процессов на основе моделей нечеткой логики, дисс. на соискание степени канд. тех. наук. ВГТУ, Воронеж, 2006.

59. Сытник Б. Т., Яцько С. И., Брыксин В. А., Михайленко В. С. Реализация нейронечетких моделей и регуляторов гарантированной точности // 1КСЗТ. - 2011. - № 4. - С. 24-28.

60. Терёшин, Б. Н. Центрифуги в сахарной промышленности. — М.: Пищевая промышленность, 1975. - 600 с.

61. Ханина (Жбанова) Н.Ю. Применение гибридных нейронечетких систем к моделированию процесса центрифугирования // Управление большими системами: сборник трудов VI Всероссийской школы-

семинара молодых ученых. - Том 2. - Ижевск: ООО Информационно-издательский центр «Бон Анца». — 2009. - С. 407-412.

62. Ходашинский И. А. Технология идентификации нечетких моделей типа Синглтон и Мамдани // Труды VII Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO. - 2008. - Т. 8. -С. 137-163.

63. Чуличков А. И. Математические модели нелинейной динамики. — М.: Физматлит, 2003. - 296 с.

64. Щуцкий И. В. Практические аспекты работы вакуум-аппаратов: теплотехнические факторы и время уваривания утфеля // Сахар. - 2007. -№ 10.-С. 49-50.

65. Ярушкина Н. Г., Перфильева И. Г., Т. В. Афанасьева Интеграция нечетких моделей для анализа временных рядов // Известия Самарского научного центра РАН. - 2010. - Т. 12. - № 4(2). - С. 506509.

66. Ярушкина Н. Г. Интеллектуальный анализ временных рядов : учебное пособие / Н. Г. Ярушкина, Т. В. Афанасьева, И. Г. Перфильева. -Ульяновск: УлГТУ, 2010. - 320 с.

67. Яшин Е. Н., Хоруб X. X. Нечеткое моделирование отказов нагревательных элементов электрических печей // Информационные процессы. - 2006. - № 1. - С. 56-64.

68. Abbod М. F. et al. Survey of utilisation of fuzzy technology in medicine and healthcare // Fuzzy Sets and Systems. - 2001. - Vol. 120. - № 2. - P. 331349.

69. Abiyev R., Abiyev V. H., Ardil C. Electricity consumption prediction model using neuro-fiizzy system // World Academy of Science, Engineering and Technology. - 2005. - Vol. 50. -№ 8. -P. 128-131.

70. Abonyi J., Babuska R., Szeifert F. Fuzzy modeling with multivariate membership functions: Gray-box identification and control design //

Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics, IEEE Transactions on. - 2001. - Vol. 31. - № 5. - P. 755-767.

71. Abraham A. Neuro fuzzy systems: State-of-the-art modeling techniques // Connectionist models of neurons, learning processes, and artificial intelligence. - Springer Berlin Heidelberg, 2001. - P. 269-276.

72. Akgul M. Analysis and design of switching and fuzzy systems. PhD thesis. Bilkent university, 2002.

73. Babuska R., Verbruggen H. Neuro-fuzzy methods for nonlinear system identification // Annual reviews in control. - 2003. - Vol. 27. - № 1. - P. 73-85.

74. Bae J. Y., Badr Y., Abraham A. A Takagi-Sugeno Fuzzy Model of a Rudimentary Angle Controller for Artillery Fire // Computer Modelling and Simulation, 2009. UKSIM'09. 11th International Conference on. — IEEE, 2009. - P. 59-64.

75. Beliakov G. Definition of general aggregation operators through similarity relations // Fuzzy Sets and Systems. - 2000. - Vol. 114. - № 3. - P. 437453.

76. Boyd S. P., Vandenberghe L. Convex optimization // Cambridge university press, 2004.-716 p.

77. Buckley J. J., Hayashi Y. Can neural nets be universal approximators for fuzzy functions? // Fuzzy Sets and Systems. - 1999. - Vol. 101. - № 3. - P. 323-330.

78. Buckley J. J., Hayashi Y., Czogala E. On the equivalence of neural nets and fuzzy expert systems //Fuzzy Sets and Systems. - 1999. - Vol. 100. - P. 145-150.

79. Chen Q., Kawase S. On operations and order relations between fuzzy values //Fuzzy sets and systems. - 1999. - Vol. 108. - № 3. - P. 313-324.

80. Chen S. M., Tanuwijaya K. Multivariate fuzzy forecasting based on fuzzy time series and automatic clustering techniques // Expert Systems with Applications.-2011.-Vol. 38.-№8.-P. 10594-10605.

81. Coleman, T.F. and Y. Li. An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds // SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, pp. 418-445, 1996.

82. Coufal D. Switching Fuzzy Classifier for Classification of EEG Spectrograms // Proc. of 9-th International Symposium of Hungarian Researchers on Computational Intelligence and Informatics, CINTI. Budapest. - 2008. - P. 143-150.

83. Dunyak J., Wunsch D. Fuzzy number neural networks // Fuzzy Sets and Systems. - 1999. -Vol. 108. -№ 1. - P. 49-58.

84. Fan Z. T. A note on the power sequence of a fuzzy matrix //Fuzzy sets and systems. - 1999.-Vol. 102.-№2.-P. 281-286.

85. Feuring Т., Lippe W. M. The fuzzy neural network approximation lemma // Fuzzy sets and systems. - 1999. -Vol. 102. - № 2. - P. 227-236.

86. Grant M., Boyd S. CVX users' guide for CVX version 1.21 (build 808). -2011.-72 p.

87. Golub G.H., Pereyra V. The Differentiation of Pseudo-Inverses and Nonlinear Least Squares Problems Whose Variables Separate // SIAM J. Num.Anal., 1973.— V.10.— P.413-432.

88. Hunt R. В. и др. Matlab: официальный учеб. курс Кембриджского университета: пер. с англ. // М.: Изд-во ТРИУМФ, 2008. - 352 с.

89. Johansen Т. A., Babuska R. On multi-objective identification of Takagi-Sugeno fuzzy model parameters // Preprints 15th IFAC World Congress. -2002.

90. Kelly W. E., Painter J. H. Hypertrapezoidal fuzzy membership functions // Fuzzy Systems, Proc. of the Fifth IEEE International Conference on. -IEEE, 1996. - Vol. 2. - P. 1279-1284.

91. Khanina (Zhbanova) N.Y. Investigation of the Possibility of Hybrid Systems Application to the Process of Centrifuging Modeling // Proc. of 8-th International Conference "Interactive Systems and Technologies: the

Problems of Human-Computer Interaction". - Volume III. - Ulyanovsk: ULSTU. - 2009. - P. 261-264.

92. Lam H. K., Leung F. H. F., Lai J. C. Y. Fuzzy-model-based control systems using fuzzy combination techniques // International Journal of Fuzzy Systems. - 2007. - Vol. 9. - № 3. - P. 123-132

93. L§ski J., Czogala E. A new artificial neural network based fuzzy inference system with moving consequents in if-then rules and selected applications // Fuzzy Sets and Systems. - 1999. - Vol. 108. - № 3. - P. 289-297

94. Li Y. M., Shi Z. K. Remarks on uninorm aggregation operators // Fuzzy Sets and Systems. - 2000. - Vol. 114. - № 3. - P. 377-380.

95. Liberzon D. Switching in Systems and Control. Boston, MA: Birkhauser, 2003. - 233 p.

96. Liu B. Fuzzy process, hybrid process and uncertain process // Journal of Uncertain Systems. - 2008. - Vol. 2. -№ 1. - P. 3-16.

97. Lorenz A. et al. Comparison of different neuro-fuzzy classification systems for the detection of prostate cancer in ultrasonic images // Ultrasonics Symposium. - IEEE, 1997. - Vol. 2. - P. 1201-1204.

98. Luca L. Aspects regarding operations with fuzzy processes // Annals. Computer Science Series. - 2009. - Vol. 7. - № 1. - P. 205-214.

99. Ma M., Friedman M., Kandel A. A new fuzzy arithmetic // Fuzzy sets and systems. - 1999. - Vol. 108. -№ 1. - P. 83-90.

100. Ma M., Friedman M., Kandel A. Duality in fuzzy linear systems // Fuzzy sets and systems. - 2000. - Vol. 109. - № 1. - P. 55-58.

101. Mastorakis N. E. Modeling dynamical systems via the Takagi-Sugeno fuzzy model // Proc. of the 4th WSEAS International Conference on Fuzzy sets and Fuzzy Systems, Udine, Italy. - 2004. - Vol. 3. - № 2. - P. 668-676.

102. Nunez A. et al. A New Method for Hybrid-Fuzzy Identification // World Congress.-2011.-Vol. 18.-№ l.-P. 15013-15018.

103. Nunez A. et al. Fuzzy-model-based hybrid predictive control // ISA transactions. - 2009. - Vol. 48. - № 1. - P. 24-31.

104. Ojleska V., Stojanovski G. Switched Fuzzy Systems: Overview and Perspectives // Proc. of the 9th International PhD Workshop on Systems and Control, Izola, 2008, p. 221-226.

105. Palm R., Driankov D. Fuzzy Switched Hybrid Systems - Modeling and Identification // Proc. of the IEEE ISIC/CIRA/ISAS Joint Conference. Gaithersburg, 1998. P. 130-135.

106. Ruan X. A dynamic neuro-fuzzy system Configuration, stability, and fuzzy operational function // Fuzzy sets and systems. - 1999. - Vol. 101. - № 3. -C. 315-321.

107. Tanaka K., Wang H. O. Fuzzy Control Systems Design and Analysis: A LMI Approach. - Wiley-Interscience, 2001. - 320 p.

108. Xie X. P., Zhang H. G. Stabilization of discrete-time 2-D TS fuzzy systems based on new relaxed conditions // Acta Automatica Sinica. - 2010. - Vol. 36. -№ 2. - C. 267-273.

109. Yang H., Lu H., Liu X. Observer-Based Robust Control of Uncertain Switched Fuzzy Systems with Combined Switching Controller // Mathematical Problems in Engineering. - 2013. - Vol. 2013. - 13 p.

110. Yao J. F. F., Yao J. S. Fuzzy decision making for medical diagnosis based on fuzzy number and compositional rule of inference // Fuzzy sets and systems. - 2001. - Vol. 120. - № 2. - P. 351-366.

111. Zadeh L. Fuzzy Sets // Information and Control. - 1965. - Vol. 8. - P. 338-353.

112. Zhao J., Yang H., Dimirovski G. M., Switched Fuzzy Systems: representation modeling, stability analysis, and control design // Proc. of the third International IEEE Conference on Intelligent Systems, London, 2006, p. 306-311.

113. ZhbanovaN.Y. Design of Switching ANFIS for Sugar Boiling Modeling // Proc. of the 15th International Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2013. - Vol. 3. - Ufa: ed. «ARKAIM». -2013. -P. 29-31.