Групповые подсхемы редуктивных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Сопкина, Екатерина Александровна

• Сопкина, Екатерина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сопкина, Екатерина Александровна

Содержание.

Введение.

Глава 1. Связные групповые подсхемы.

1.1. Предварительные сведения.

1.2. Основной результат.

1.3. Квази-замкнутые множества корней

1.4. Гладкие групповые подсхемы

1.5. Морфизм Фробениуса.

1.6. Построение связных групповых подсхем.

1.7. Свойства связных групповых подсхем.

1.8. Редукция к алгебраически замкнутому полю.

1.9. Приведенная подсхема.

1.10. Подгруппы редуктивной группы над кольцом

1.11. Функция <р.

Глава 2. Нормализатор.

2.1. Основной результат.

2.2. Пересечение с нормализатором тора

2.3. Построение групповых подсхем.

2.4. Свойства групповых подсхем.

2.5. Пара (W, <р).

2.6. Пересечения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Групповые подсхемы редуктивных групп»

Тема настоящей работы относится к структурной теории алгебраических групп. С середины прошлого столетия и по сей день линейные алгебраические группы находятся в центре внимания математиков. На эту тему опубликованы многие сотни статей, а монографии, в которых излагаются основы этой теории и среди которых можно назвать работы А. Бореля [25], Т. Спрингера [47], Дж. Хамфри [34] и других, многократно переизданы и давно стали классикой математической литературы.

Прежде чем переходить непосредственно к обсуждению настоящей работы и связанных с ней результатов, обрисуем коротко возникновение и развитие теории редуктивных групп.

Структурная теория линейных групп

Основы современной теории алгебраических групп были заложены в 50-е годы XX века, когда были опубликованы знаменитые статьи Э. Колчи-на [38, 39], К. Шевалле [30, 31] и А. Бореля [25], синтезировавшие методы теории групп Ли, абстрактной теории групп и алгебраической геометрии.

В своих работах [38, 39] Э. Колчин изучил строение коммутативных алгебраических групп, в частности, торов, и разрешимых алгебраических групп (теорема Ли—Колчина), а также свойства замкнутых подгрупп, компоненты связности единицы и др. При этом все доказательства были проведены на языке алгебраической геометрии, без использования алгебр Ли, и не зависели от характеристики основного поля. Этот же подход позднее использовал А. Борель [25].

В книгах К. Шевалле [28, 29] алгебры Ли, группы Ли и алгебраические группы изучаются совместно. В этих книгах рассматриваются такие важные понятия, как разложение Жордаца, подгруппа Картана и др. Большую роль играет переход от алгебры Ли группы к самой группе с помощью формальной экспоненты, что, в частности, вынуждает рассматривать только поля характеристики ноль. В статье К. Шевалле [30] была предложена универсальная конструкция простых групп всех типов над произвольным полем. В действительности, в этой статье была построена групповая схема над Z, которая в настоящее время называется групповой схемой Шевалле—Демазюра. Ключевой идеей этой конструкции является выбор базиса Шевалле в полупростой комплексной алгебре Ли.

После классификации полупростых алгебраических групп, завершенной в работе К. Шевалле [31] в 1956 году, теория алгебраических групп во многом стала теорией полупростых алгебраических групп, или, более общо, ре-дуктивных групп. Универсальный язык схем, разработанный в 1950-е годы А. Гротендиком, сделал возможным широкое обобщение результатов об алгебраических группах над полями. В частности, в SGA [44] М.Демазюр и А. Гротендик перенесли на редуктивные групповые схемы результаты К. Шевалле [30, 31].

К настоящему времени теория линейных алгебраических групп — это обширная область математики, включающая в себя широкий круг взаимосвязанных вопросов, относящихся к описанию различных подгрупп, автоморфизмов, разложений, связанных с проблемами порождения и многих других. Не имея возможности охватить их все, мы сосредоточимся на направлении, связанном с описанием промежуточных подгрупп в линейных группах. Надгруппы максимального тора

Прежде чем перейти к обсуждению основных результатов данного направления исследований, напомним необходимую терминологию. Пусть Т — подгруппа в группе G, и пусть выделен естественный класс {G(cr) | а € Е} промежуточных подгрупп Т < G(a) < G. Предположим, что для любой подгруппы Я такой, что Т < Н < G, найдется единственная такая группа G(a), что

G(cr) <Н< Na(G(o)).

В этом случае говорят, что для надгрупп группы Т имеет место стандартное описание. Такого рода "сэндвич-классификация" довольно часто выступает в качестве ответа при описании решетки промежуточных подгрупп в линейных группах.

Первым результатом, относящимся к описанию надгрупп максимального тора, можно считать классификацию связных групповых алгебраических подгрупп, содержащих расщепимый максимальный тор в группе Шевалле над алгебраически замкнутым полем. Такие подгруппы отвечают некоторым подмножествам в соответствующей системе корней. В настоящей работе, как и в статье А. Бореля и Ж. Титса [27], эти подмножества называются квазизамкнутыми; в Exp. XXII SGA 3 [44] такие подмножества называют R-множествами. Из этого результата, в частности, следует, что если К — алгебраически замкнутое поле, <3(Ф, К) — группа Шевалле типа Ф над К, а Т — ее расщепимый максимальный тор, то для каждой алгебраической подгруппы Н такой, что Т < Н < G{Ф, К), существует единственное такое подмножество S С Ф, что выполнены включения

G(S) <Н< N(S), где G(S) — связная подгруппа, отвечающая подмножеству 5, a N(S) — нормализатор подгруппы G(S) в группе G(<I>, К). Т.е. решетка алгебраических надгрупп тора в этом случае допускает стандартное описание.

Следующим важным продвижением стали работы Г.Зейтца [41, 42, 43], в которых было установлено, что стандартное описание надгрупп максимального (не обязательно расщепимого) тора выполнено в группах Шевалле всех типов, если К — конечное поле, содержащее не менее тринадцати элементов, а характеристика этого поля отлична от двойки. При этом доказательство Г. Зейтца существенно использует и конечность поля, и нечетность характе-, ристики.

В дальнейших исследованиях авторы случай за случаем рассматривали группы Шевалле разных типов, прежде всего классические группы, в конкретных представлениях. Ранний этап развития этого направления отражен в обзорах А. Е. Залесского [15, 16] и А. С. Кондратьева [21].

Так, в работах З.И.Боревича [1, 2, 3] были изучены подгруппы полной линейной группы. Предполагая, что поле К содержит не менее семи элементов, 3. И. Боревич доказал, что решетка надгрупп группы диагональных матриц в GLп(К) допускает стандартное описание.

Аналогичные результаты были получены Н.А.Вавиловым для SOп{К) в работах [48, 7], для SLп(К) при п > 3 в работах [6, 50] и для GSp2i{K) совместно с Е. В. Дыбковой [10].

В работах Н. А. Вавилова [9] и Е. А. Филипповой [24] доказано, что над-группы расщепимого максимального тора в спинорной группе над полем нечетной характеристики, содержащим не менее девяти элементов, также допускают стандартное описание.

Стандартность описания надгрупп тора в SL^-K") для ноля нечетной характеристики установил О.Кинг [36]. Сильные результаты о подгруппах в симплектической группе и, в частности, описание надгрупп группы диагональных матриц в Sp2i(K), если поле К содержит не менее 13 элементов, были получены Е. В. Дыбковой [11, 12, 13, 14] (в контексте унитарных групп Бака).

Следует отметить, что случаи маленьких полей действительно являются исключительными. Исследованию некоторых таких случаев посвящены работы В. А. Койбаева [17, 18, 19].

3. И. Боревич предложил использовать понятия сеть и сетевая подгруппа для описания подгрупп в классических линейных группах над кольцами [1, 2]. Это понятие, а также его модификации и уточнения позволили обобщить многие из перечисленных выше результатов на полулокальные кольца.

Следует упомянуть также и о работах, посвященных описанию надгрупп нерасщепимого максимального тора. Важные результаты в этом направлении принадлежат Д.Дьоковичу [33], В.П.Платонову [40] и В.А.Койбаеву [20].

Глубокие исследования на эту тему обнаружили ее связь с арифметическими свойствами полей, алгебраической К-теорией и другими актуальными проблемами современной алгебры, в подробности которых не будем теперь вдаваться.

Групповые подсхемы

В настоящей работе мы развиваем результаты о надгруппах расщепи-мого максимального тора в несколько другом направлении. А именно, мы классифицируем групповые подсхемы редуктивной группы, содержащие рас-щепимый максимальный тор, над произвольным полем.

Теоретико-схемный подход к изложению теории алгебраических групп использован в книге М.Демазюра и П.Габриэля [32] и в SGA 3 [44]. Эти работы постоянно будут служить нам источниками ссылок.

Согласно теореме Картье (см., например, [32] II §6 no. 1), над полем характеристики нуль все аффинные групповые схемы приведены. В этом случае классификация групповых надсхем расщепимого максимального тора в редуктивной группе сводится к упомянутому выше классическому результату А. Бореля и Ж. Титса. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только случай, когда основное поле имеет положительную характеристику.

Некоммутативным неприведенным групповым схемам посвящено сравнительно небольшое количество работ. Отметим статьи К. Венцеля [53, 54] и Ф. Кнопа [37], имеющие самое непосредственное отношение к рассматриваемой нами задаче. При создании настоящей работы одной из основных мотиваций было желание обобщить следующие результаты. В статье [53] К. Венцель получил классификацию всех параболических групповых подсхем в редук-тивных группах над алгебраически замкнутым полем с небольшими ограничениями на характеристику. В работе Ф. Кнопа [37] классифицированы все групповые подсхемы в SL2.

Основные результаты и методы диссертации

Основные результаты настоящей работы сформулированы в теоремах А и В. Первая из них содержит классификацию всех связных групповых подсхем редуктивной группы, содержащих расщепимый максимальный тор над полем. Во второй теореме классифицированы все (не обязательно связные) групповые надсхемы расщепимого максимального тора в редуктивной группе. Ответ сформулирован в терминах функций на системе корней и подгрупп в группе Вейля.

Эти теоремы являются совместным обобщением классического результата А. Бореля и Ж. Титса о связных алгебраических подгруппах редуктивных групп над алгебраически замкнутым полем и результата К. Венцеля о параболических групповых подсхемах.

Следует отметить, что в полученном доказательстве используется общий, единый подход ко всем редуктивным группам, как к классическим, так и к исключительным, а не разбираются случай за случаем все типы систем корней и конкретные представления. Такой подход позволил лучше структурировать доказательство и сделать его менее громоздким. Кроме того, этот подход позволил получить одновременно классификацию и для случая исключительных групп, что прежде представлялось неизмеримо более сложной задачей.

Особенно следует подчеркнуть, что полученное решение является исчерпывающим, в том смысле, что оно включает в себя даже случаи малой характеристики основного поля, которые являются традиционными исключениями в большинстве работ данной области. В частности, работа К. Венцеля о параболических подсхемах, которую обобщает настоящее исследование, содержала ограничения на характеристику.

Возникающие в ответе функции на системах корней, которыми параметризованы связные промежуточные групповые подсхемы, удовлетворяют наглядным комбинаторным условиям и отражают важнейшие свойства промежуточных подсхем, такие как их взаимное расположение, пересечение с корневыми подгруппами, строение их приведенных подсхем и т.п. Кроме того, эти функции являются естественным обобщением понятия квази-замкнутых множеств, появляющихся при классификации промежуточных алгебраических подгрупп. Тем самым, полученные результаты органично вписываются в контекст классической теории редуктивных групп.

Часть работы, относящаяся к схемным аспектам проблемы, использует стандартную технику и методы алгебраической геометрии, такие как расширение поля скаляров, морфизм Фробениуса, функториалыюсть, переход к приведенной подсхеме и т.п. Но ключевым и технически наиболее сложным этапом решения является основная лемма 1.15, описывающая некоторый специальный класс подгрупп в группе Шевалле над коммутативным кольцом.

Помимо перечисленного выше, в работе получены также некоторые другие результаты, описывающие решетку промежуточных групповых подсхем, например, предложение 2.6 о пересечении двух данных промежуточных групповых подсхем.

Структура диссертации

Первая глава диссертации посвящена классификации связных промежуточных групповых подсхем в редуктивной группе. В первом разделе мы напоминаем необходимые сведения о редуктивных группах и фиксируем обозначения. Во втором разделе мы формулируем основной результат первой главы, теорему А. В третьем разделе мы обсуждаем понятие квази-замкнутого множества корней. Четвертый раздел основан на главе Exp. XXII [44] и содержит сводку результатов о гладких промежуточных групповых подсхемах. В пятом разделе мы доказываем лемму и фиксируем обозначения, связанные с морфизмом Фробениуса.

Разделы первой главы, начиная с шестого, относятся непосредственно к доказательству теоремы А. В шестом и седьмом разделах мы строим связные промежуточные групповые подсхемы и описываем их свойства. После этого нам остается показать, что все связные промежуточные групповые подсхемы исчерпываются построенными нами примерами. В восьмом разделе мы сводим эту задачу к случаю алгебраически замкнутого поля. В девятом разделе мы изучаем приведенную подсхему. В десятом разделе мы доказываем ключевую лемму о промежуточных подгруппах в группе точек (7(Ф) над коммутативным кольцом. Наконец, в последнем, одиннадцатом разделе мы приводим доказательство теоремы А.

Основным результатом второй главы диссертации является классификация всех (не обязательно связных) промежуточных групповых подсхем. Этот результат сформулирован в первом разделе (теорема В) и сводится, по сути, к вычислению нормализаторов связных промежуточных групповых, подсхем. Во втором разделе мы изучаем пересечения связных групповых подсхем с нормализатором тора. В третьем и четвертом разделах мы строим промежуточные групповые подсхемы и описываем их свойства. Пятый раздел содержит доказательство теоремы В. Наконец, в шестом разделе мы описываем решетку промежуточных групповых подсхем (предложение 2.6).

Содержание работы отражено в статьях [22, 23, 45, 46].

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Сопкина, Екатерина Александровна

Заключение

В работе мы исследовали групповые подсхемы редуктивных групп. Перечислим основные результаты настоящей работы.

• Получена классификация связных групповых подсхем редуктивной группы С(Ф), содержащих расщепимый максимальный тор, в терминах функций на системе корней Ф (теорема А). Установлено, что каждая такая групповая подсхема порождена своими пересечениями с корневыми подгруппами и максимальным тором (конструкция в разделе 1.6 и лемма 1.11).

• Получена полная классификация всех групповых подсхем редуктивной группы Сг(Ф), содержащих расщепимый максимальный тор, в терминах функций на системе корней Ф и подгрупп в группе Вейля Ж(Ф) (теорема В). При этом функция на системе корней отвечает компоненте связности промежуточной групповой подсхемы, а подгруппа группы Вейля отвечает щ (лемма 2.3).

• Получено описание решеток как связных, так и произвольных промежуточных групповых подсхем (предложение 2.6).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сопкина, Екатерина Александровна, 2006 год

1. Боревич З.И., О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцом, Вестник Ленингр. Ун-та, 13 (1976), с. 16-24.

2. Боревич 3. И., О параболических подгруппах в специальной линейной группе над полулокальным кольцом, Вестник Ленингр. Ун-та, 19 (1976), с. 29-34.

3. Боревич 3. И., Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 64 (1976), с. 1229.

4. Боревич 3. И., Вавилов Н. А., Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц, Труды МИАН 148 (1978), с. 43-57.

5. Вавилов Н.А., О подгруппах полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц, Вестник Ленингр. Ун-та, 1 (1981), с. 10-15.

6. Вавилов Н. А., О подгруппах специальной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. I-V, Вестник Ленингр. Ун-та, 4 (1985), с. 37; 2 (1986), с. 10-15; 2 (1987), с. 3-8; 3 (1988), с. 10-15; 2 (1993), с. 10-15.

7. Вавилов Н. А., О подгруппахрасщепимых ортогональных групп. I, II, Сиб. мат. журн. 29 (1988), с. 12-25; Зап. научн. семин. ПОМИ, 265 (1999), с. 4263.

8. Вавилов Н. А., Подгруппы групп Шевалле, содержащие максимальный тор, Труды Лен. мат. общ. 1 (1990), с. 64-109.

9. Вавилов Н.А., О подгруппах спинорной группы, содержащих расщепимый максимальный тор. I, II, Зап. научн. семин. ПОМИ, 191 (1991), с. 4975; 289 (2002), с. 37-56.

10. Вавилов Н. А., Дыбкова Б. В., Подгруппы полной симплектической группы, содержащие группу диагональных матриц. I, II, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 103 (1980), с. 31-47; 132 (1983), с. 44-56.

11. И. Дыбкова Б. В., Форменные сети и решетка наддиагональных подгрупп симплектической группы над полем характеристики 2, Алгебра и анализ, 10:4 (1998), с. 113-129.

12. Дыбкова Е. В., О наддиагональных подгруппах гиперболической унитарной группы над некоммутативным телом, Зап. научн. семин. ПОМИ, 289 (2002), с. 154-206.

13. Дыбкова Б. В., Наддиагональные подгруппы гиперболической унитарной группы для хорошего форменного кольца над некоммутативным телом, Зап. научн. семин. ПОМИ, 305 (2003), с. 121-135.

14. Дыбкова Б. В., Теорема Боревича для гиперболической унитарной группы над некоммутативным телом, Зап. научн. семин. ПОМИ, 321 (2005), с. 136-167.

15. Залесский А. Б, Линейные группы, Успехи мат. наук, 36:5 (1981), с. 57107.

16. Залесский А. Е, Линейные группы, В кн.: Итоги науки. Алгебра, геометрия, топология, М (1985), с. 135-182.

17. Койбаев В. А., Подгруппы полной линейной группы над полем из трех элементов, в кн.: Структурные свойства алгебраических систем, Нальчик, 1981, с. 56-68.

18. Койбаев В. А., Подгруппы специальной линейной группы над полем из пяти элементов, содержащие группу диагональных матриц, IX Всесоюзн. симпозиум по теории групп. Тезисы докл. М., 1984, с. 210-211.

19. Койбаев В. А., Подгруппы специальной линейной группы над полем из четырех элементов, содержащие группу диагональных матриц, XVIII Всесоюзн. алгебр, конф. Тезисы докл. Кишинев, 1985, с. 264.

20. Койбаев В. А., Подгруппы группы GL(2, к), содержащие нерасщепимый максимальный тор, Зап. научн. семин. ПОМИ, 211 (1994), с. 136-145.

21. Кондратьев А. С., Подгруппы конечных групп Шевалле, Успехи мат. наук, 41:1 (1986), с. 57-96.

22. Сопкина Е.А., О сумме корней замкнутого множества, Зап. научн. семин. ПОМИ 289 (2002), с. 277-286.

23. Сопкина Е. А., Классификация групповых подсхем GLn, содержащих расщепимый максимальный тор, Зап. научн. семин. ПОМИ 321 (2005), с. 281-296.

24. Филиппова Е.А., О подгруппах спинорной группы, содержащих расщепимый максимальный тор. III, Зап. научн. семин. ПОМИ, 289 (2002), с. 287-299.

25. Borel A. Groupes lineares algebriques, Ann. Math. 64, (1956), pp. 20-82.

26. Borel A. Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, History Math., 21, Amer. Math. Soc., Providence, and London Math. Soc., Cambridge, 2001.

27. Borel A. Tits J., Groupes rfductifs, Inst. Hautes 6tudes Sci. Publ. Math. 27 (1965), pp. 55-151.

28. Chevalley С., TMorie des groupes de Lie II. Groupes alg'ebriques, Hermann, Paris, 1951.

29. Chevalley С., ТЬёопе des groupes de Lie III. Groupes algebriques, Hermann, Paris, 1954.

30. Chevalley C., Sur certaines groupes simples, Tohoku Math. J. 7 (1955), pp. 14-66.

31. Chevalley C., Classification des groupes algebriques, Seminaire Ecole Normale Sup£rieure 1956-1958, Secr£tariat de Mathematiques, Institut Henri Poincard, Paris (1958).

32. Demazure M. Gabriel P., Introduction to algebraic geometry and algebraic groups, North-Holland, Amsterdam, 1980, 357 p.

33. Djokovic D.Z., Subgroups of compact Lie groups containing a maximal torus are closed, Proc. Amer. Math. Soc., 83:2 (1981), pp. 431-432.

34. Humphreys, J. E., Linear algebraic groups, New York: Springer, 1975, 247 p.

35. Jantzen J. C., Representations of algebraic groups, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, 2003, 576 p.

36. King O., Subgroups of the special linear group containing the diagonal subgroup, J. Algebra, 132 (1990), pp. 198-204.

37. Knop F., Homogeneous varieties for semisimple groups of rank one, Сотр. Math. 98 (1995), pp. 77-89.

38. Kolchin E., Algebraic matric groups, Proc. N. A. S. 32 (1946), pp. 306-308.

39. Kolchin E., The Picard ~ Vessiot theory of homogeneous linear ordinary diffrential equations, Proc. N. A. S. 32 (1946) pp. 308-311.

40. Platonov V. P., Subgroups of algebraic groups over local or global fields containing a maximal torus, C. R. Acad. Sci. Paris, 318:10 (1994), pp. 899-903.

41. Seitz G. M., Subgroups of finite groups of Lie type, J. Algebra, 61 (1979), pp. 16-27.

42. Seitz G. M., On the subgroup structure of classical groups, Comm. Algebra, 10 (1982), pp. 875-885.

43. Seitz G. M., The root subgroups for maximal tori in finite groups of Lie type, Pacific J. Math., 106 (1983), pp. 153-244.

44. Schemas en groupes (SGA 3), Seminaire de Geometrie Alg6brique du Bois Marie 1962/64, dirige par Demazure M. et Grothendieck A., Springer, Berlin, 1970, T. 1-3.

45. Sopkina E., Classification of all connected subgroup schemes of a reductive group containing a split maximal torus, POMI Preprint, 2006, 17 p.

46. Sopkina E., Subgroup schemes of a reductive group containing a split maximal torus, POMI Preprint, 2006, 10 p.

47. Springer T.A., Linear algebraic groups, 2nd ed., Birkhauser, Boston, 1998, 334 p.

48. Vavilov N. A., On subgroups of split orthogonal groups in even dimensions, Bull. Acad. pol. sci., S6r. sci. math., 29 (1981), pp. 425-429.

49. Vavilov N., Intermediate Subgroups in Chevalley Groups, Proc. Conf. Groups of Lie type and their geometries (Como, 1993), Cambridge Univ. Press, 1995, pp. 233-280.

50. Vavilov N.A., Subgroups of SL n over a semilocal ring, Preprint Univ. Bielefeld, 11 (1998), pp. 1-13.

51. Vavilov N. Plotkin Б., Chevalley groups over commutative rings I. Elementary calculations, Acta Appl. Math. 45 (1996), pp. 73-113.

52. Waterhouse W.C., Introduction to affine group schemes, Springer, New York, 1979, 164 p.

53. Wenzel Ch., Classification of all parabolic subgroup-schemes of a reductive linear algebraic group over an algebraically closed field, Trans. Amer. Math. Soc. 337 (1993), pp. 211-218.

54. Wenzel Ch., Rationality of Gf P for a nonreduced parabolic subgroup-scheme P, Proc. Amer. Math. Soc. 117 (1993), pp. 899-904.