Статистическое моделирование метеорологических процессов и полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.12, кандидат физико-математических наук Огородников, Василий Александрович

• Огородников, Василий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Огородников, Василий Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРШХ ГАУССОВСКИХ ВРЕМЕННЫХ

РЯДОВ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОРРЕЛНЩЮНШЙ ФУНКЦИЕЙ

1.1. Метод условных математических ожиданий.

1.2. Регуляризация алгоритма.

1.3. Контроль точности вычислений.

1.4. Авторегрессионные процессы с заданной корреляционной структурой.

ГЛАВА П. ШДЕШРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ГАУССОВСКИХ ПОЛЕЙ С

ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ СТРУКТУРОЙ.

2Д. Моделирование стационарных гауссовских полей.

2.2. Алгоритм Левинсона.

2.3. Моделирование изотропных и локально изотропных гауссовских случайных процессов и полей

2.4. Моделирование стационарных гауссовских долей для корреляционных матриц одного специального вида.

ГЛАВА Ш. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ШДЕШРОВАНШ ГАУССОВСКИХ ШСЭДРВАТЕШОСТЕЙ И ПОЛЕЙ В НЕКОТОРЫХ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ МЕТЕОРОЛОГИИ.

3.1. Учет влияния неопределенности в начальных данных на точность баротропного прогноза

3.2.0 точности разложения вертикальных профилей температуры в рад по собственным векторам выборочной ковариационной матрицы.

3.3. Расчет некоторых характеристик выбросов временных рядов температуры воздуха.

ОБЩЕ ВЫВОда.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКОМУ ИСПОЛЬЗОВАНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ

ДИССЕРТАЦИИ.

ПРИМЕЧАНИЕ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическое моделирование метеорологических процессов и полей»

Методами статистического моделирования временных рядов и пространственных полей метеорологических элементов в настоящее время решается широкий круг задач, имеющих как практическое, так и методологическое значение. Имеется в виду, что эти ряды и поля являются случайными функциями с аргументом, принимающим дискретные значения.

Иногда только таким способом можно получить решение многих важных прикладных задач. В особенности велика роль статистического моделирования при изучении вероятностных характеристик экстремальных погодных условий. Обусловлено это тем, что экстремальные (или, лучше сказать, неблагоприятные с определенной точки зрения) значения метеорологических элементов встречаются сравнительно редко, поэтому имеющиеся ряды наблюдений, охватывающие обычно несколько десятилетий, не позволяют сколько-нибудь надежно оценить эти характеристики. Очевидный интерес представляет, например, распределение вероятностей годового минимума температуры воздуха в каком-либо конкретном пункте. В течение года фиксируется только одно значение этой случайной величины, так что объем выборки для статистических выводов совпадает с числом лет наблюдений в данном пункте. Но распределение вероятностей случайной величины, как известно, можно надежно оценить только по выборке из нескольких сотен элементов, следовательно, располагая данными наблюдений за минимальной температурой лишь по нескольким десятилетиям, мы лишены возможности решить задачу на их основе. В то же время объем всех (а не только экстремальных) измеренных значений температуры воздуха обычно достаточен для того, чтобы получить достоверные оценки для одномерных распределений вероятностей и нескольких моментов низшего порядка, а также для корреляционных функций. Эти характеристики могут служить входными данными для подходящей вероятностной модели временных рядов, с достаточной точностью отражающих свойства временных рядов температуры воздуха . Генерируя на ЭВМ в соответствии с этой моделью искусственные временные ряды большой длины, можно затем извлечь из них распределение вероятностей экстремальных значений температуры воздуха.

Хотя рассмотренный пример сам является экстремальным в том смысле, что количество наблюдений здесь крайне мало, однако с аналогичными трудностями приходится сталкиваться и при расчете различных вероятностных 'характеристик выбросов метеорологических процессов за высокие уровни. Большой вклад в постановку и конструктивное решение этих проблем внесен сотрудниками Главной геофизической обсерватории им. А.И.Воейкова (основополагающие результаты изложены в работах [ , АЦг 55,5 6]). Вероятностные модели для временных рядов некоторых метеорологических элементов и методы построения реализаций этих рядов разрабатывались также в Вычислительном центре СО АН СССР [ 20, 24 } 25] .

Модельные временные ряды могут найти непосредственное применение в задачах расчета динамического воздействия метеорологических процессов на различного рода объекты и сооружения (системы). Здесь главный интерес представляет изучение реакции системы на воздействие метеорологического процесса, причем и реакция и воздействие могут быть векторными. В качестве примера укажем на деформации высотных сооружений при ветровых нагрузках или на выхолаживание отапливаемых помещений под совместным воздействием низкой температуры воздуха и скорости ветра. Обычно не удается выразить реакцию системы на входное воздействие в виде простого аналитического выражения, хотя известны дифференциальные уравнения, описывающие работу системы. В таких случаях результат можно получить многократным численным решением этих уравнений для независимых реализаций воздействующих метеорологических процессов, построенных в соответствии с подходящей вероятностной моделью.

Распределения вероятностей большинства метеорологических элементов заметно отличаются от нормального [ 2 0, 25, 4 3, 55]. Кроме того, метеорологические процессы нестационарны, что проявляется прежде всего в наличии суточного и сезонного изменения параметров одномерного распределения вероятностей.

Тем не менее моделирование стационарных нормальных (гаус-совских) временных рядов с произвольной корреляционной структурой играет фундаментальную роль в задачах построения нестационарных временных рядов с произвольным одномерным распределением вероятностей. От нестационарности удается хотя бы в первом приближении избавиться путем подходящих функциональных преобразований, а редукцию нормальных величин в произвольно распределенные можно всегда осуществить с помощью универсального метода "обратных функций" 58] . Пусть у - нормальная случайная величина с нулевым средним значением, единичной дисперсией и функцией распределения N (х) » а £ "* случайная величина с функцией распределения . Связь между ^ и ^ выражается уравнением

При этом, как известно, корреляционная функция о¿^ исходного гауссовского временного ряда ^ ? 2. > • • • однозначно определяет корреляционную функцию У итогового временного ряда п/

••• * Если зависимость между записать в виде V к ~ ^ * то 0 ФУНКЦ0011^® ? р (индекс £ указывает на то, что функционал зависит от функции распределения можно сказать, что он переводит положительно определенную функцию в снова-таки положительно определенную. Пусть ^ - множество всех положительно определенных функций, а Г,0 - мно

4* гжество положительно определенных функций вида X ^ = Ф ^ ^, где А (общеизвестно, что для любого элемента из Д существует соответствующий гауесовский процесс). Основное затруднение при использовании метода "обратных функций" обусловлено тем, что множество Г^ уже, чем А . Практически это означает следующее: если мы хотим редуцировать гауесовский временной ряд во временной ряд с некоторым другим распределением вероятностей и с заданной корреляционной функцией Й ^ , то это можно осуществить лишь при условии в Г ш , иначе решение уравнения о ь г Фр (оС^) относительно ос ^ , даже если оно существует, окажется вне множества А . Другими словами, если то не существует гауссовского процесса, который можно было бы редуцировать в процесс с заданным распределением и с корреляционной функцией К ^ . Затруднение преодолевается выбором (Я ^ из

А с таким расчетом, чтобы функция Ч«- 1 ) в подходящей о ^ метрике минимально отличалась от К^

Иногда удается найти прямое преобразование гауссовского временного ряда в ряд с заданным распределением Рсх) без использования метода "обратных функций", что существенно упрощает процедуру моделирования [20,24,25,42] .

Другой важной областью применения методов статистического моделирования в метеорологии являются задачи, связанные с динамико-вероятностным прогнозом 47, И], В частности, при решении прогностических уравнений с использованием разностных методов желательно учитывать неопределенность в начальных данных, обусловленную ограниченностью и нерегулярностью сети метеорологических станций. Если рассматривать начальные поля метеоэлементов как случайные, то оптимальный в среднеквадратическом смысле прогноз получается решением бесконечной зацепляющейся цепочки уравнений для моментов вероятностного распределения. Для того, чтобы численно решить эту задачу, црименяются разные способы замыкания системы, например, предполагается, что начальные и прогностические поля распределены совместно нормально. Это - искусственное предположение, ибо прогностические уравнения, как цравило, нелинейны.

Использование методов статистического моделирования позволяет избавиться от этой трудности. Решение всей системы уравнений для моментов можно получить косвенно путем моделирования ансамбля начальных случайных полей с решением црогностического уравнения для кадцого элемента ансамбля. Соответствующая статистическая обработка прогностических полей при достаточном объеме выборки дает искомое решение и снимает проблему замыкания системы уравнений для моментов. При этом наибольший интерес представляют лишь младшие моменты распределения - средние значения и ковариации, так что такой подход в некоторых случаях оказывается цроще в вычислительном отношении по сравнению с непосредственным решением системы уравнений для моментов. Для этой цели необходимы алгоритмы моделирования случайных полей метеоэлементов, которые, как и в случае временных рядов, могут быть получены из соответствующих гауссовских полей.

К настоящему времени разработано достаточно много алгоритмов, позволяющих строить гауссовские временные ряды с широким классом корреляционных функций Г 5. 8 , 27, 2 9 , 3 & 38, и ' / / / } у у ) *

42,4 5,50,63 6&].0дной из первых в этой области является работа Е.М.Шойера и Д.С.Столлера {,66] . В ней излагаются общие принципы моделирования гауссовских векторов (рассматривается нестационарный случай), основанные на двух типах линейных преобразований независимых гауссовских величин с нулевым средним и единичной дис

Персией. В первом случае матрица линейного преобразования получается из заданной корреляционной матрицы путем разбиения последней на цроизведение двух треугольных. Во втором случае реализуется метод условных математических ожиданий, в котором кавдая последующая случайная величина является условным математическим ожиданием относительно предыдущих смоделированных случайных величин. Для моделирования нестационарных (по корреляциям) временных рядов большой длины метод неэффективен из-за трудоемкости вычислений, однако он может быть кардинально упрощен в стационарном случае. Каким способом это достигается, показано в первых двух главах настоящей диссертации.

Все остальные известные нам алгоритмы моделирования временных рядов, невзирая на их простоту в вычислительном отношениии,ориентированы на специальные классы корреляционных,функций и, таким образом, не обладают универсальностью. В равной мере это относится также к алгоритмам моделирования случайных полей [ 40, 44,28, 29 , 36 .

Главная цель настоящей работы состояла в разработке универсальных и эффективных алгоритмов моделирования скалярных и векторных гауссовских стационарных последовательностей большой длины с цроизвольной корреляционной структурой как основы для моделирования метеорологических процессов и полей. В качестве приложения этих алгоритмов исследовано влияние неопределенности в начальных данных на точность баротропного црогноза, предложена и на конкретном 'материале проиллюстрирована методика оценки статистической устойчивости базиса из собственных векторов выборочных ковариационных матриц метеоэлементов, а также методика вычисления вероятностных характеристик сильных и продолжительных понижений температуры воздуха.

0 постановке этих задач скажем несколько подробнее. Главная задача заключается в разработке эффективных алгоритмов моделирования гауссовских векторов § = ( , £2 ^ -" > большой размерности с нулевым средним значением и заданной произвольной корреляционной матрицей стационарного вида К ~ всюду обозначена операция транспонирования. При небольших значениях VI можно воспользоваться линейным преобразованием ^ = Д Ц) , где ф = С5 .Л) - гауссовский вектор с нулевым средним значением и единичной корреляционной матрицей, А - нижняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами, удовлетворяющая уравнению А А - Я. . Однако стационарный характер корреляций позволяет решить задачу значительно проще. В диссертации дательно изучается алгоритм рекурсивного типа = , и

Гпч ^ I А ■ и-4 «М и при этом (что особенно важно) он рекурсивен не только по отноше-» нию к моделируемым величинам ^ , но и по отношению к К параметрам р'ь [ К1 , : вектор. £ ~ ( •••

С К-Н] ) ' и скаляр зависят лишь от одного вектора С Ю = ( (^ИЮ > . , р к I К 3 ) с предыдущего шага. В матричных обозначениях алгоритм можно записать в виде В| =Рф , где В - нижняя треугольная матрица, Р ной матрицы из условия Т'Т «г\ диагональная матрица. Задача сводится к нахождению нижней треугольь

Оказывается, что в вычислительном отношении эта задача гораздо проще, чем нахождение нижней треугольной матрицы А из условия Основные результаты изложены в первой главе.

Во второй главе диссертации алгоритм обобщается на стационарно связанные векторные ряды ^ , с произвольной корреляционной матрицей вида Я - ( К ^^ , - ^п , К^ = Я^Д . Это обобщение позволяет, в частности, эффективно строить реализации двумерных полей с произвольной изотропной или локально изотропной корреляционной структурой.

Задача по учету неопределенности в начальных данных при гидродинамическом прогнозе метеорологических полей в общей постанов

1 ^ ке состоит в следующем. Пусть вектор У^ обозначает линейно развернутое прогностическое поле со значениями в узлах регулярной сетки, а X 0 - линейно развернутое поле начальных значений, локализованных в тех же узлах. Тогда решение конечно-разностной прогностической задачи можно записать в виде - П ^ ( X 0 ), где - прогностический оператор. Набор измеренных на метеостанциях начальных значений для прогностической задачи образует вектор Хф • Если предположить, что П ^ - точный оператор, то наилучшим, в среднеквадратическом смысле прогнозом будет условное среднее значение М 1 ) = М 1\ (X I ^о ) № 1 . В правой части этого соотношения оператор |\/) означает усреднение по всевозможным условным полям )( | Х^ , где Хо фиксировано • Задача сводится к моделированию ансамбля условных начальных полей, решению прогностических уравнении для каждого элемента этого ансамбля и "усреднению результатов прогноза^ Конкретно для баротропной модели она рассматривается в параграфе 3.1 третьей главы. —> —

Вопрос о статистической устойчивости базиса ОЦ , 01^ > .т из ортонормировании собственных векторов выборочной ковариационной матрицы о , вычисленной по наблюдениям , ., ^ над вектором р с истинной ковариационной матрицей з представляет большой интерес для тех метеорологических задач, в которых производится разложение векторов по этому базису. Обычно сохраняют лишь несколько первых членов разложения с целью либо. "сжать" информацию, либо, что важнее,ради отфильтровки несущественных или даже мешающих коротковолновых флуктуации в данных наблюдений. Разложение в определенном смысле оптимально только по базису оС^ ^ оС2 у .^ о^ т из собственных векторов истинной ковариационной матрицы В параграфе 3.2 этот вопрос исследуется с использованием модельных выборок вертикальных профилей температуры воздуха.

Наконец, требовалось методами моделирования временных рядов температуры воздуха в соответствии с моделью [ 2 4 ] вычислить главным образом такие пороговые ее значения, ниже которых она опускается в среднем один раз за данное число лет при дополнительном условии, что, оказавшись ниже порога, она остается там не менее заданного количества времени. Для одной из метеостанций приведены конкретные числовые результаты.

Включенные в диссертацию прикладные задачи представляют самостоятельннй: интерес каждая по отдельности, но их объединяет методика решения - все они решаются (и, как представляется, только так могут быть решены) на основе модельных временных рядов и полей.

Заключение диссертации по теме «Геофизика», Огородников, Василий Александрович

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Разработан действующий, проверенный многочисленными экспериментами, алгоритм моделирования гауссовских стационарных последовательностей большой длины с произвольной корреляционной функцией.

2. Разработаны способы регуляризации алгоритма в случае, когда он вычислительно неустойчив.

3. Разработаны алгоритмы моделирования гауссовских стационарных векторных последовательностей с цроизвольной корреляционной структурой, алгоритмы моделирования изотропных и локально изотропных полей.

4. На основе этих алгоритмов разработан способ получения оптимального в среднеквадратическом смысле динамико-вероятностного баротропного прогноза.

5. Получены оценки точности разложения вертикальных профилей температуры воздуха в ряд по собственным векторам выборочной корреляционной матрицы в зависимости от объема выборки, числа членов разложения и размера выборочной матрицы.

6.Рассчитаны пороговые уровни, ниже которых температура опускается в среднем один раз за % лет, ^ = 5(5 )50, при дополнительном условии, что, оказавшись, ниже порога, она останется там не менее заданного числа часов.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКОМУ ИСПОЛЬЗОВАНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИИ

Предложенные алгоритмы моделирования гауссовских скальных и векторных временных рядов с произвольной корреляционной структурой могут служить основой для статистического моделирования гидрометеорологических процессов и полей9 для решения широкого круга прикладных задач, в частности, для расчета характеристик редких событий, связанных с выбросами этих процессов и полей.

Разработанные алгоритмы могут быть использованы в ПО им. А.И.Воейкова (г.Ленинград), ЗапСибНИИ Госкомгидромета (г.Новосибирск), ВЦ СО АН СССР (г.Новосибирск), ВНИИГМИ-МЦЦ (г.Обнинск).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Огородников, Василий Александрович, 1984 год

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов (пер. с англ.). - М.: Мир, 1976, -757 с.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ (пер. с англ.). М.: Физматгиз, 1963, -500 с.

3. Альтшулер C.B. Метода оценки параметров авторегрессии -скользящего среднего. Известия АН СССР, Автоматика и телемеханика, 1982, №8, с. 5-18.

4. Бокс Дж., Дженкинс Т. Анализ временных рядов (пер. с англ.), Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974, -308 с.

5. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике, М.: Сов.радио, 1971, -328 с.

6. Гандин Л.С., Каган Р.Л. Статистические методы интерпретации метеорологических данных. Л.: Гидрометеоиздат, 1976, -359 с.

7. Глуховский А.Б. О статистическом моделировании метеорологических полей. Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1969, т.5, №7, с. 724-729.

8. Ермаков С.М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. 2-е изд.,перераб. и доп., - Наука, 1975, -471 с.

9. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование.-М.: Наука, 1982, -295 с.

10. О пакете программ "Моделирование реализаций случайных процессов и полей"/Ермаков С.М., Павлов А.И., Сизова А.Ф. и др. -Ж. Теория вероятностей и ее применения, 1982, т.ХХУП, вып. 3, с. 609-610.

11. Общее описание пакета программ моделирования распределений, случайных процессов и полей /Ермаков С.М., Павлов А.И., Сизова А.Ф. и др. Деп. ВИНИТИ, 1980, per. № 4190-80.

12. Каган Р.Л., Федорченко Е.И. 0 расчете статистических характеристик выбросов случайной функций. Труды ПО, 1970, вып. 268, с. 146-172.

13. Каган Р.Л., Канашкин В.К., Федорченко Е.И. О расчете характеристик временных рядов методом статистического моделирования.- Труды ГШ, 1972, вып. 286, с. 7Е-82.

14. Каган Р.Л., Федорченко Е.И. 0 применении теории выбросов к исследованию температурных рядов. Труды IT0, 197Э, вып. 267, с. 86-99.

15. Каган Р.Л., Федорченко Е.И. К вопросу о статистическом моделировании двумерных метеорологических полей. Труды ПО, 1973, вып. 308, с. 20-26.

16. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений (пер. с англ.)- М.: Наука, 1966, -58$ с.

17. Королева З.А., Михайлов Г.А. Оптимальные процедуры моделирования некоторых случайных величин. Новосибирск, 1969, - 35 с. (Препринт, Вычислительный центр СО АН СССР).

18. Марченко A.C., Минакова Л.А., Семочкин А.Г. Восстановление вертикальных профилей температуры и ветра методом статистической экстраполяции. В кн.: Применение статистических методов в метеорологии, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1971, с. 82-121.

19. Марченко A.C. Об оптимальности объективного анализа с точки зрения точности прогнозов. Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1966, т.II, Jfe8t с. 891-892.

20. Марченко A.C., Семочкин А.Г. Изучение выбросов относительной влажности воздуха путем статистического моделирования бета-последовательностей. Труды IT0, 1977, вып. 397, с. 35-43.

21. Марченко A.C., Огородников В.А. Моделирование стационарных гауссовских временных рядов большой длины с произвольной корреляционной функцией, Новосибирск, 1983, -17 с. (препринт/ 444,- 112

22. Вычислительный центр СО АН СССР: МН 17683).

23. Марченко A.C., Огородников В.А. Авторегресионные процессы с заданной корреляционной структурой. Новосибирск, 1983,-18 с. (препринт/ 445, Вычислительный центр СО АН СССР: МН,00896).

24. Марченко A.C., Семочкин А.Г. Модели одномерных и совместных распределений неотрицательных случайных величин. Ж. Метеорология и гидрология, 1982, ЖЗ, с. 51-56.

25. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды, Л.: Гидрометеоиздат. 1967, -353 с.

26. Михайлов Г.А. О методе повторения для моделирования случайных векторов и процессов (рандомизация корреляционных матриц)-Теория вероятностей и ее применения, 1974, т.19, М, с. 873-880.

27. Михайлов Г.А. Численное построение случайного поля с заданной спектральной плотностью Докл. АН СССР, 1978, т.238, M с. 793-795.

28. Михайлов Г.А. Моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма. -Докл. АН СССР, 1982,т.262, №3, с. 531-535.

29. Естественные составляющие метеорологических полей / Мещерская A.B., Руховец Л.В., Юдин M .И. и др. Л.: Гидрометеоиздат, 1970, -198 с.

30. Обухов А.М. 0 статистически ортогональных разложениях эмпирических функций. Известия АН СССР, серия геофизическая,i960, №3, с. 432-439.

31. Огородников В.А. О динамико-вероятностном прогнозе. -Известия АН СССР,.физика атмосферы и океана, 1975, т. XI, J£8, с. 851-853.

32. Огородников В.А. Моделирование стационарных гауссовских векторных рядов с заданной корреляционной структурой. В кн.: Методы и алгоритмы статистического моделирования. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 21-30.

33. Петров A.B., Хамитов Г.П:. Алгоритмы и программы имитации случайных процессов с произвольным одномерным законом распределения вероятностей и экспоненциально-косинусной автокорреляционной функцией. Информ. листок, № 659-77, Иркутск, 1977, ЦНТИ, -4 с.

34. Петров A.B., Хамитов Г.П. Об одном подходе к моделированию случайных полей. В кн.: Информационные и измерительные устройства в радиотехнике, Рига, 1974, - 49 с.

35. Перфилов В.И. О выборочных собственных значениях выборочной ковариационной матрицы метеорологических полей. Труды ГМЦ СССР, 1982, вып. 243, с. II4-II9.

36. Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М.: Сов. радио, 1971, -400 с.

37. Полляк Ю.Г. Моделирование последовательностей неравноотстоящих по времени выборок из гауссова случайного процесса. Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1969, Ж, с. 50-56.

38. Протасов A.B., Чепурова В.В. Использование естественных- 114 базисов для восстановления шлей метеорологических элементов по данным измерений на редкой сети станций. Ж. Метеорология и гидрология, 1983, Ж, с. 105-109.

39. Романенко Т.П. К вопросу о временной статистической структуре температуры воздуха в тропосфере и низшей стратосфере. В кн.: Применение статистических методов в метеорологии, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1971, с. 122-138.

40. Сванидзе Г.Г. Математическое моделирование гидрологических рядов. Л.: Гидрометеоиздат, 1977, -296 с.

41. Семочкин А.Г. О распределении повторяемости относительной влажности в свободной атмосфере. Ж. Метеорология и гидрология, 1973, йб, с. 92-94.

42. Сонечкин Д.М. Динамико-стохастический подход к проблеме долгосрочного прогноза. Труды ГМЦ СССР, 1982, вып. 243, с.3-78.

43. Срагович В.Г. Моделирование некоторых классов случайных процессов. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1963, т. 3, №3, с. 586-593.

44. Талахадзе М.В. Оценки коэффициентов линейной регрессии с конечным числом параметров. В кн.: Математические методы в экономических исследованиях, Тбилиси, Менциереба, 1979, с. 130-140.

45. Татарский В.И. Использование динамических уравнений при вероятностном прогнозе барического поля. Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1969, т. 5 ЛЗ. с. 293-297.

46. Тихонов В.И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970, -342 с.

47. Товстик Т.М. Моделирование однородного гауссовского поля. Труды X Всесоюзного симпозиума "Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей". I.: 1978, секция 1У, с. 75-77.- 115

48. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967, -450 с.

49. Фадцеев Д.К., Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. M.-JL.: Гос.издат.физико-математической литературы, 1963, -734 с.

50. Федорченко Е.И. О суточном ходе характеристик выбросов температурных рядов. Труды ГГО, 1977, вып. 397, с. 27-34.

51. Федорченко Е.И. Об учете отклонений от нормального распределения при расчете вероятности выброса случайной последовательности. Труды ГГО, 1976, вып. 374, с. 159-167.

52. Федорченко Е.И. 0 среднем числе выбросов средней суточной температуры воздуха на территории СССР, Труды ГГО, 1977, вып. 374, с. 181-185.

53. Федорченко Е.И. О влиянии суточного хода параметров распределения на среднее число выбросов температуры воздуха. Труды ГШ, 1977, вып. 397, с. 21-26.

54. Хеннан Э. Анализ временных ряцов (пер. с англ.). M.î Наука, 1969, -216 с.

55. Хеннан Э. Многомерные временные ряды (пер. с англ.). -М.: Мир, 1971, -576 с.

56. Arakawa A. Computation design for long-term numerical integration of the equation of fluid motion two-dimensional in- , compressible flow. Part 1. J. Comput.Phys., 1966, v. 1, lío. 1, p. П9-Ш.-^TL&J

57. Epstein E.S. Stochastic dynamic prediction, -Tellus, 1969, v. 21,No. 6, p.739-759.

58. Durbin J. The fitting of time series models. -Rev. Inst.Interrat.Statist., 1960, Ho. 28, p.233-244.

59. Franclin J.li. numerical simulation of stationary-random processes. SIAM Review, 1965, v. 7, Ho. 1, p.68-80.

60. Gringorten I.I. Modelling conditional probability. J.Appl.Meteorol., 1971, v.10, lio. 4, p.646-657.

61. Robinson E.A. Multichannel time series analysis and digital computer programs. S.E.I Holden D,ay,1967.

62. Sheuer E.LI., Stoller D.S. On the generation of normal random vectors. Technometries, 1962, v. 4, Ho. 2,p. 278-281.

63. Yule G. On a method for investigation periodicities in the disturbed series with special reference to Wolfer's sunspot numbers. Philosophical Transactions, 1927, V.A226, p. 267-298.