Методы и алгоритмы распознавания и оценки параметров случайных процессов в спектральной области при действии мешающих факторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, доктор технических наук Паршин, Валерий Степанович

• Паршин, Валерий Степанович
• доктор технических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор технических наук Паршин, Валерий Степанович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 11 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В БАЗИСЕ ФУРЬЕ

1.1 Вводные замечания

1.2 Спектральное представление случайных сигналов

1.3 Статистические характеристики оценок СПМ стационарных случайных процессов

1.4 Статистические характеристики оценок спектральной плотности мощности импульсных случайных процессов

1.4.1 Статистические характеристики оценок спектральной плотности мощности последовательности импульсов со случайной амплитудой, появляющихся на детерминированных тактовых интервалах

1.4.2 Статистические характеристики оценки спектральной плотности последовательности импульсов, модулированных по положению

1.4.3 Статистические характеристики спектральной плотности ИСП в виде группы импульсов со случайными временем появления и амплитудой

1.5 Распределения спектральных составляющих спектральной плотности ИСП в виде случайной группы импульсов

1.6 Влияние коррелированности амплитуды и времени появления импульсов на форму спектральной плотности мощности импульсной последовательности

1.7 Распределение вероятностей оценок спектральных плотностей, инвариантных к интенсивности сигналов

1.7.1 Распределения инвариантных статистик в частотной области для стационарных случайных сигналов

1.7. 2 Распределения инвариантных статистик в частотной области для ИСП

1.8. Выводы 80 2. ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МОЩНОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И

ИХ РАСПОЗНАВАНИЕ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ В КАЧЕСТВЕ ПРИЗНАКОВ ВЫБОРОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

2.1 Введение

2.2 Статистические характеристики оценок характеристических функций параметров импульсных случайных процессов

2.3 Оценка СПМ ИСП с помощью выборочных ХФ

2.3.1 Вычислитель СПМ ИСП с детерминированным тактовым

интервалом

2.3.2. Результаты моделирования вычислителя спектральной плотности

мощности

2.3.3 Оценка СПМ апериодических импульсных процессов с помощью выборочных характеристических функций

2.4 Оценка СПМ редко повторяющихся импульсных

последовательностей

2.5 Оценка законов распределения случайных процессов с

помощью выборочных характеристических функций

2.6 Распознавание ИСП при выборе в качестве признаков значений выборочной ХФ

2.7 Результаты моделирования при использовании в качестве признаков значений выборочной оценки ХФ

3

2.8 Выводы 119 3. ВЛИЯНИЕ ПОМЕХ НА ДОСТОВЕРНОСТЬ РАСПОЗНАВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ

СИГНАЛОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

3.1 Введение

3.2 Вычисление вероятностей ошибочного распознавания стационарных сигналов в спектральной области

3.3 Вычисление вероятностей ошибочного распознавания сигналов, принимаемых на фоне шумовой помехи

3.4 Алгоритмы распознавания стационарных случайных сигналов в спектральной области, инвариантные к масштабу сигналов

3.5 Вычисление вероятностей ошибочного решения для инвариантных алгоритмов распознавания

3.6 Оценка влияния импульсных помех на распознавание стационарных сигналов в спектральной области

3.6.1 Влияние аддитивной помехи в виде одиночного импульса

3.6.2 Аддитивная помеха в виде пуассоновского потока импульсов

3.6.3 Аддитивная помеха в виде группы импульсов

3.7 Распознавание стационарных случайных сигналов в условиях воздействия мощных импульсных помех

3.7.1 Распознавание в условиях пропусков наблюдений

3.7.2 Процедуры компенсации влияния пропусков наблюдений

3.8 Сравнение методов компенсации влияния пропусков на вероятности ошибочного распознавания 157 3.8.1 Тестовые сигналы для сравнения эффективности методов компенсации пропусков при распознавании случайных сигналов

3.8.2 Сравнение методов компенсации влияния пропусков на вероятность ошибочного распознавания

3.9 Обучение решающего правила по эталонной выборке конечного объема

3.9.1. Определение объема обучающей выборки

3.9.2. Обучение классификатора по одной обучающей выборке для каждого класса сигналов

3.9.3 Практические рекомендации по выбору параметра СО при обучении по одной реализации выборочной спектральной плотности мощности

3.10 Сокращенное описание случайных сигналов в спектральной области. Распознавание по спектральным моментам

3.11 Распознавание последовательностей, состоящих из импульсов, появляющихся в случайные моменты времени

3.12 Выводы 181 4. РАСПОЗНАВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ВЕКТОРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

4.1 Введение

4.2 Распознавание векторных случайных процессов в спектральной области

4.2.1 Распознавание векторных случайных процессов

при использовании в качестве признаков СС спектральной плотности

4.2.2 Распознавание векторных случайных процессов при использовании

в качестве признаков СС выборочных спектральных матриц 189 4.3. Параметрические алгоритмы распознавания двумерных

стационарных сигналов в спектральной области 193 4.4 Распознавание векторных случайных процессов, различающихся

матрицами ковариаций

4.4.1 Оптимальный алгоритм распознавания

4.4.2 Распознавание векторных случайных процессов при их бинарном квантовании

4.5 Распознавание многомерных сигналов с некоррелированными компонентами, различающимися законами распределений

4.6 Выводы

5. ОЦЕНКА ЧАСТОТЫ СИГНАЛА БИЕНИЙ ДАЛЬНОМЕРА С ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ИЗЛУЧАЕМОГО СИГНАЛА МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

5.1 Введение

5.2 Оценка расстояния методом максимального правдоподобия. Потенциальная точность оценки

5.3 Двухэтапная процедура оценки частоты СБ методом максимального правдоподобия

5.4 Основные факторы, влияющие на погрешность измерения частоты методом максимального правдоподобия

5.5 Оценка фазы СБ

5.6 Моделирование алгоритма оценки расстояния, основанного на

методе максимального правдоподобия

5.6.1 Моделирование алгоритма оценки расстояния, основанного на методе максимального правдоподобия, при неизвестной фазовой характеристике

5.6.2 Оценка расстояния, основанная на методе максимального правдоподобия, при известной фазовой характеристике

5.7 Оценка частоты короткой реализации СБ, принимаемого на фоне аддитивного белого шума

5.8 Выводы

6. АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ЧАСТОТЫ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

6.1 Введение

6.2 Алгоритмы оценки частоты сигнала биений

6

6.3 Влияние белого нормального шума на точность оценки центральной частоты узкополосного сигнала в спектральной области 270 6.3.1 Вычисление дисперсии оценки частоты для алгоритма, использующего добавление нулевых отсчетов

6.3.2. Влияние шумовой помехи на точность оценки центральной частоты узкополосного сигнала при использовании для уточнения оценки поправок

6.3.3 Влияния шумовой помехи на средневзвешенную оценку частоты заполнения радиоимпульса

6.3.4 Влияние шумовой помехи на оценку частоты узкополосного сигнала с помощью скользящих полустробов

6.4 Моделирование алгоритмов оценки частоты узкополосных сигналов

6.5 Систематическая погрешность оценки частоты в спектральной области

6.5.1 Систематическая погрешность оценки расстояния для средневзвешенной оценки частоты

6.5.2 Систематическая погрешность оценки расстояния для алгоритма, использующего поправочные коэффициенты

6.6 Влияние паразитной амплитудной модуляции и нелинейности модуляционной характеристики на погрешность измерения частоты сигнала биений

6.6.1 Влияние паразитной амплитудной модуляции

6.6.2 Влияние нелинейности модуляционной характеристики

6.7 Выводы 292 7. СИНТЕЗ И АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ЧАСТОТЫ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ПРИ НАЛИЧИИ МЕШАЮЩИХ ОТРАЖЕНИЙ РАЗЛИЧНОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ 294 7.1 Введение 294 7.2. Оценка помеховой ситуации 297 7.3 Компенсация мешающих отражений

7.3.1. Использование для компенсации МО спектральной плотности

7.3.2 Использование для компенсации спектральной плотности мощности СБ

7.4 Снижение погрешности измерения расстояния при наличии мешающих отражений методами распознавания образов

7.4.1 Распознавания при использовании спектральной плотности

7.4.2 Распознавание при использовании спектральной плотности мощности

7.5 Использование метода максимального правдоподобия для уменьшения влияния МО на точность оценки расстояния

7.5.1 Следящий измеритель

7.5.2 Влияние погрешности оценки фазы сигнала биений на точностные характеристики следящего измерителя

7.5.3 Определение условий, при которых происходит срыв слежения

7.5.4 Использование метода максимального правдоподобия для измерения расстояния при наличии мешающих отражений малой интенсивности

7.6 Алгоритм измерения частоты, основанный на анализе собственных векторов в подпространстве шума

7.7 Уменьшение влияния мешающих отражений на точность измерения расстояния с использованием оценки скорости перемещения отражателя

7.7.1. Равномерная скорость движения отражателя

7.7.2. Неравномерная скорость движения отражателя

7.8 Выводы 359 8. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ЧАСТОТЫ СИГНАЛА БИЕНИЙ, ПРИНИМАЕМЫХ НА ФОНЕ МЕШАЮЩИХ ОТРАЖЕНИЙ 361 8.1 Введение

8.2 Краткое описание экспериментальных стендов, используемых для тестирования алгоритмов

8.2.1 Экспериментальный стенд для свободного пространства

8.2.2 Экспериментальный волноводный стенд

8.3 Программное обеспечение, используемое для тестирования алгоритмов

8.4 Результаты проверки алгоритмов оценки расстояния при работе РД ЧМ на малых удалениях отражающей поверхности от антенны

8.5 Результаты экспериментальных исследований алгоритмов оценки расстояния на стенде в свободном пространстве

8.5.1 Условия тестирования алгоритмов. Результаты, полученные при использовании алгоритма, основанного на поиске максимальной спектральной составляющей

8.5.2 Результаты тестирования алгоритмов на основе метода анализа собственных векторов

8.6 Результаты экспериментальных исследований алгоритмов оценки расстояния на волноводном стенде

8.7 Результаты опытной эксплуатации РД ЧМ с алгоритмами оценки расстояния на основе метода анализа собственных векторов

8.8 Тестирование алгоритма, основанного на методе максимального правдоподобия

8.9 Тестирование следящего измерителя расстояния

8.10 Результаты тестирования алгоритма, предсказывающего скорость движения отражателя перед входом в зону повышенной погрешности

8.11 Выводы 389 9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 391 ЛИТЕРАТУРА 398 СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ 421 ПРИЛОЖЕНИЕ А1 423 ПРИЛОЖЕНИЕ А2

ПРИЛОЖЕНИЕ АЗ ПРИЛОЖЕНИЕ А4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы распознавания и оценки параметров случайных процессов в спектральной области при действии мешающих факторов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Четко выраженной тенденцией, начиная примерно с 7080 годов 20 века, является переход к цифровым методам анализа при решении широкого круга задач, возникающих при синтезе алгоритмов обнаружения, фильтрации, распознавания, оценки параметров случайных сигналов в радиотехнических и радиолокационных системах широкого назначения. Использование цифровых методов анализа позволило решить многие проблемы, возникающие при аналоговой обработке сигналов, но их применение часто ограничивалось вычислительными затратами, необходимыми для реализации оптимальных или приближающихся к оптимальным алгоритмов обработки радиосигналов, синтезированных исходя из выбранного или заданного критерия качества.

Снять многие ограничения, связанные с вычислительными затратами при реализации цифровых методов анализа сигналов, позволил переход в спектральную область. Широкое внедрение методов обработки сигналов, использующих спектральные плотности наблюдаемых сигналов, обусловлено следующими основными причинами. В первую очередь, это разработка быстрых алгоритмов спектрального анализа (быстрых преобразований Фурье и его аналогов в других базисах), развитие которых началось после выхода известной статьи Кули и Тьюки [1]. Большой вклад в развитие теории и техники цифрового спектрального анализа внесли результаты, изложенные в монографиях [2-6] зарубежных ученых JI. Рабинера и Б. Гоулда, А. Оппенгейма и Р. Шафера Р., Г. Нуссбаумера, Дж. Макклелана и Ч. Рейдера, Р. Блейхута. Среди отечественных ученых заметный вклад в разработку быстрых алгоритмов цифрового спектрального анализа внесли результаты исследований, изложенные в монографиях В.Г. Лабунца, А. М. Крот и Е. Б. Минервиной [7-8]. Полученные теоретические результаты по разработке методов цифрового спектрального анализа очень быстро нашли практическое применение благодаря стремительному развитию средств вычислительной техники, появлению высокопроизводительных процессоров обработки данных.

Параллельно с развитием теории и техники быстрых спектральных преобразований развивалась теория оценивания спектральной плотности мощности (СПМ) как стационарных, так и случайных нестационарных процессов. В работах отечественных и зарубежных ученых сформулированы условия, при выполнении которых возможно распространение положений спектральной теории детерминированных сигналов на случайные процессы, исследованы статистические характеристики (СХ) оценок СПМ, причем основное внимание как зарубежных, так и отечественных ученых было уделено оценкам СПМ, полученным по одной реализации случайного процесса. Существенный вклад в изучение поведения оценок СПМ случайных процессов внесли работы, опубликованные в журнальных статьях и монографиях такими отечественными учеными как A.A. Харкевич [9], H.A. Железное [10], И.А. Ибрагимов [11], B.C. Пугачев [12], С.М. Рытов [13], В.А. Омельченко [14], A.A. Свешников [15], В.Г. Алексеев [16-18], Ю.И. Грибанов и B.JI. Мальков [19], К.В. Коняев [20] и многими другими исследователями. Фундаментальные результаты по теории спектрального оценивания изложены в работах зарубежных ученых Д. Кокса и П. Льюиса [21], Т.Андерсона [22], Э.Хеннана [23], Дж. Бендата [24], В.Б. Давенпорта [25] и других авторов. Заметным событием стал выход в свет двухтомника Г. Джен-кинса и Д. Ваттса [26], в котором были подведены основные итоги полученных к тому времени результатов по непараметрическому спектральному оцениванию случайных процессов.

Достигнутый уровень теоретических исследований, разработка быстрых процедур спектрального оценивания послужили основой для синтеза алгоритмов распознавания случайных процессов, использующих в качестве признаков выборочные СПМ реализаций случайных процессов. Основой для построения решающих правил послужили работы, в которых рассматривались общие принципы синтеза параметрических и непараметрических решающих правил, выбора словаря признаков, синтеза алгоритмов распознавания при параметрической априорной неопределенности, снижения размерности признакового пространства, вычислению вероятностей ошибочного распознавания. Эти проблемы рассмотрены в работах A.A. Харкевича [2728], А.Л. Горелика и В.А. Скрипкина [29-30], A.B. Миленького [31], В.Н. Вапника

и А.Я. Червоненкиса [32], Р.Дуды и П. Харта [33], К. Фукунаги [34], Э. Патрика [35], Б.Р. Левина [36], Я.А. Фомина, Г.Р. Тарловского, A.B. Савича [37-41], Т. Андерсона [22], Э. Лемана [42], У. Гренандера [43] и других отечественных и зарубежных ученых.

Существенный вклад в решение задачи распознавания сигналов, различающихся вторыми моментами распределений, внесли работы многих авторов [14,4454]. В этих работах предложены алгоритмы принятия решения, в том числе в условиях априорной неопределенности, в ряде случаев проведен анализ полученных решающих правил. Проведено исследование эффективности распознавания и представления случайных сигналов в различных ортогональных базисах [48]. Из работ, опубликованных в последнее время, необходимо отметить работы В.В. Савченко [55], Л.А. Гиколо [56], Г.В. Певцова [57-59], в которых исследуются общетеоретические вопросы распознавания случайных сигналов, в том числе и в спектральной области. Простота статистического описания оценок СПМ (асимптотическая некоррелированность спектральных составляющих (СС), их экспоненциальное распределение) позволила получить решающие правила, требующих для принятия решения о классе сигнала меньшего числа вычислительных операций.

Наряду с распознаванием, в последние 15...20 лет проявилась отчетливо выраженная тенденция к переходу в спектральную область при синтезе алгоритмов оценки некоторых параметров радиосигнала. Синтез таких алгоритмов основывается на общетеоретических положениях, полученных в работах А.И. Перова [60], Ю.Г Сосулина [61], В.И. Тихонова [62,63], Е.И Куликова А.П. Трифонова [64] и других авторов. Задачу оценки параметров радиосигнала в целом можно рассматривать как задачу многоальтернативного распознавания с конечным или бесконечным числом альтернатив.

Наиболее отчетливо тенденция перехода в спектральную область проявляется при решении задач, связанных с оценкой частоты узкополосных случайных процессов. В работе [62] показано, что максимально правдоподобной оценкой частоты случайного узкополосного процесса с неизвестной начальной фазой, принимаемого на фоне нормального белого шума, является оценка, равная частоте, на которой на-

ходится максимальная СС спектральной плотности амплитуд (СПА) сигнала и определены граничные значения Рао-Крамера для дисперсии оценки. В многочисленных публикациях [65-75] предложены различные алгоритмы оценки частоты случайного узкополосного процесса в спектральной области, разработанные для применения в различных условиях, в том числе и по выборке сигнала длительностью в 1-2 периода и менее [76-77], определена разрешающая способность дискретного преобразования Фурье. Для минимизации методической погрешности, возникающей при оценке частоты в спектральной области, предложены различные весовые функции (ВФ) [78-79].

На практике оценку частоты узкополосных случайных процессов зачастую приходится осуществлять при наличии узкополосных помех. Оценка частоты сигналов при наличии такого рода помех в том случае, когда спектральные плотности (СП) сигнала и узкополосной помехи не разрешаются по частоте, остается одной из труднейших задач как в чисто теоретическом плане, так и в практических приложениях. Классическое решение такой задачи - использование методов параметрического спектрального анализа. В монографии [80] и более поздних работах других авторов [81] подробно рассмотрены многие методы параметрического спектрального анализа (авторегрессионное спектральное оценивание, оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего, метод Прони, методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных векторов и некоторые другие). Отмечен главный недостаток этих методов - неустойчивость спектральных оценок. Поэтому методы параметрического спектрального анализа позволяют в ряде случаев достаточно уверено определять число узкополосных компонент в принимаемом сигнале, но не позволяют идентифицировать СС полезного сигнала, принимаемого на фоне узкополосной помехи.

В данной работе вид узкополосного случайного процесса конкретизирован -под ним понимается сигнал биений (СБ), снимаемый с выхода смесителя радиолокационного дальномера с частотной модуляцией излучаемого сигнала (РД ЧМ). Повышению точности измерения частоты СБ, однозначно связанной с дальностью, посвящены, в частности, работы Комарова И.В. и Смольского С.М. [83-85]. Ряд алго-

ритмов, связанных с уменьшением методической ошибки измерения частоты, предложен в докторской диссертации Езерского В.В. [86] и в работах [87-90]. Однако в [83-90] повышение точности достигается путем улучшения схемотехнических характеристик РД ЧМ, либо, при оценке частоты СБ в спектральной области, выбором оптимальной ВФ.

Несмотря на существенные результаты, достигнутые при решении упомянутых задач, высокую степень обобщения, целый ряд проблем остается неисследованным. Полученные результаты по спектральному оцениванию случайных процессов в основном относятся к непрерывным случайным стационарным процессам (ССП). Спектральному анализу импульсных случайных процессов (ИСП) посвящено существенно меньше работ. Следует отметить работу [21], в которой проведен анализ СХ оценок СПМ случайных пуассоновских процессов, вычисленных по одной реализации случайного процесса. В работах [36,82] проведено подробное исследование СПМ, усредненных по множеству, многих типов ИСП. Однако законы распределения СС, корреляционные связи между СС, влияние коррелированности разнородных параметров импульсных последовательностей на форму его СП остались невыясненными. Также остается открытым вопрос об оценивании СПМ случайных импульсных последовательностей с детерминированным тактовым интервалом по одной реализации процесса, поскольку процедуры сглаживания спектральных оценок, детально разработанные [16-19,26] для сглаживания выборочных СПМ ССП, в этом случае приводят к большему смещению оценок.

При решении задачи распознавания сигналов в спектральной области основные результаты получены при распознавании ССП, причем для нетипичного на практике случая заданного классификатора. Не исследовано влияние объема обучающей выборки на ошибки распознавания сигналов в спектральной области, поскольку выводы, сформулированные в работе [37] о необходимом объеме обучающей выборки, относятся к распознаванию в основном дельта - коррелированных последовательностей во временной области. Остается неисследованным влияние шумовой помехи на достоверность распознавания ССП с неизвестным параметром

масштаба. Также недостаточно исследовано влияние импульсных помех и пропусков наблюдений на ошибки распознавания.

Недостаточная проработка вероятностных моделей оценок СПМ ИСП оставляет открытыми вопросы, относящиеся к распознаванию импульсных последовательностей в спектральной области. В частности, не определена структура алгоритмов распознавания ИСП, что не позволяет оценить вероятности ошибочного распознавания различных классов импульсных сигналов.

Распознаванию векторных случайных процессов (ВСП), в том числе в спектральной области, посвящено крайне ограниченное число работ. Следует отметить работу [14], в которой в качестве признаков используются только СП компонент ВСП. Исследование эффективности распознавания (ВСП) при использовании в качестве признаков выборочных спектральных матриц не проведено.

Выбор в качестве признаков СС не позволяет осуществлять синтез алгоритмов распознавания векторных случайных процессов, которые различаются только коэффициентами корреляции между компонентами. Поэтому в работе определена структура алгоритмов распознавания таких процессов и проведен их анализ.

Современные требования к точности оценки параметров радиосигнала требуют использования алгоритмов, которые по своим характеристикам приближаются к оптимальным. Поэтому необходимо определить потенциальную точность оценки частоты СБ, установить ее связь с основными параметрами РД ЧМ - частотой несущего колебания и ее диапазоном перестройки. Важным является формулировка требований к стабильности основных параметров РД ЧМ при синтезе оптимальных алгоритмов оценки частоты.

Существенным фактором, который ограничивает область использования РД ЧМ, является наличие мешающих отражений (МО), природа которых может быть самой различной. Причинами появления МО могут являться как переотражения в СВЧ модуле РД ЧМ, так и отражения от элементов конструкции замкнутых резервуаров при использовании РД ЧМ в качестве уровнемера. Погрешность оценки частоты СБ при наличии МО в зависимости от отношения сигнал - помеха может увеличиваться на несколько порядков. Несмотря на важность, этой проблеме по-

священо крайне ограниченное число работ. Можно упомянуть лишь работы ВгитЫ О. [91,92], в которых проблема МО рассмотрена очень сжато.

Поэтому для расширения области практического использования РД ЧМ важным является синтез алгоритмов, которые позволят снизить влияние МО на точность оценки частоты СБ.

Цель и задачи работы. Основной целью работы является синтез алгоритмов распознавания и оценки параметров случайных процессов в спектральной области при действии мешающих факторов для повышения эффективности радиотехнических и радиолокационных систем широкого назначения. Достижение поставленной цели предусматривает решение следующих основных задач:

- статистический анализ спектральных характеристик импульсных случайных процессов, вычисляемых по одной реализации, определение законов распределения статистик в спектральной области, инвариантных к параметру масштаба;

- разработка методов оценивания СПМ ИСП, позволяющих получать состоятельные и несмещенные оценки по одной реализации процесса;

- анализ алгоритмов распознавания случайных сигналов, принимаемых на фоне импульсных помех, определение необходимого объема обучающей выборки, позволяющего обеспечить требуемую вероятность правильного распознавания ССП;

- синтез и анализ алгоритмов распознавания векторных случайных процессов в спектральной области;

-синтез и анализ алгоритмов оценки частоты СБ РД ЧМ при наличии мощных МО методами распознавания образов, компенсации, параметрического спектрального анализа;

- синтез и анализ алгоритмов оценки СБ РД ЧМ при наличии МО на основе метода максимального правдоподобия (ММП);

- практическая реализация предложенных алгоритмов на современной элементной базе.

Таким образом, в диссертации поставлена и решена крупная научная проблема, направленная на повышение качества функционирования радиотехнических и

радиолокационных систем, позволяющая повысить достоверность принятия решения при распознавании случайных сигналов на фоне помех, расширить области применения РД ЧМ при сохранении их точностных характеристик при воздействии помех, имеющая важное хозяйственное значение.

Методы исследования. При проведении исследований в диссертационной работе использовались математический аппарат теории случайных процессов, математической статистики, теории статистических решений. Анализ полученных решений проводился с использованием методов вычислительной математики и статистического моделирования. Отдельные технические решения исследовались с использованием опытных и серийных образцов РД ЧМ.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Новый метод, использующий выборочную характеристическую функцию (ХФ) случайной последовательности, которой модулированы импульсы по положению, позволяющий получать состоятельную и асимптотически несмещенную оценку СГТМ стационарных импульсных процессов со случайным временем появления импульсов по одной реализации процесса.

2. Методы обучения классификатора при распознавании в спектральной области и модифицирования контрольной выборки, позволяющие на 20% ... 60% уменьшить влияние импульсных помех, превышающих по амплитуде динамический диапазон регистрирующих устройств, на достоверность распознавания широкополосных ССП по сравнению с адаптивным решающим правилом и процедуру, позволяющую определить необходимый объем обучающей выборки.

3. Алгоритм распознавания векторных случайных процессов, использующий в качестве признаков спектральные матрицы распознаваемых сигналов и алгоритм распознавания, использующий качестве признаков выборочные коэффициенты корреляции между бинарно - квантованными компонентами векторного случайного сигнала, позволяющий принимать решения о классе сигнала в реальном масштабе времени.

4. Эффективные алгоритмы оценки частоты СБ РД ЧМ, позволяющие уменьшить дисперсию оценки частоты в 2...7 раз по сравнению с алгоритмами, определяющими частоту СБ по положению максимальной спектральной составляющей.

5. Алгоритмы оценки частоты СБ, основанные на методах распознавания образов, компенсации помех при перестройке несущей частоты передатчика, методе анализа собственных векторов, позволяющие в 2... 10 раз уменьшить погрешность оценки частоты, возникающую из-за влияния МО по сравнению с алгоритмами, определяющими частоту СБ по положению максимальной спектральной составляющей.

6. Метод оценки частоты СБ, синтезированный на основе ММП, позволяющий уменьшить погрешность оценки расстояния, возникающую из-за влияния МО, примерно в 80 раз при диапазоне перестройки частоты несущего колебания 500 МГц по сравнению с алгоритмами, определяющими частоту СБ по положению максимальной спектральной составляющей.

Научная новизна полученных результатов. Наиболее значимые новые научные результаты диссертационной работы заключаются в том, что в ней впервые: 1. Проведен статистический анализ спектров ИСП, вычисленных по одной реализации процесса, заключающийся в определении моментов распределений СС и корреляционных соотношений между СС, которые выражены через параметры импульсного процесса. Получены законы распределений инвариантных к параметру масштаба статистик в спектральной области как для СПМ ССП, так и для СП импульсных процессов, проведена аппроксимация полученных распределений более простыми, позволяющая использовать их для решения практических задач. Проведена оценка влияния коррелированности разнородных параметров импульсного процесса (времени появления импульсов и их амплитуды) на форму его СПМ.

2. Проведен анализ влияния шума на достоверность распознавания ССП в спектральной области при использовании решающих правил, реализующий критерий максимального правдоподобия и равномерно наиболее мощное (РНМ) правило проверки статистических гипотез. Разработана и оценена эффективность процедуры обучения алгоритмов распознавания ССП в спектральной области в условиях пара-

метрической априорной неопределенности. Проведено исследование влияния импульсных помех на достоверность распознавания ССП в спектральной области.

3. Получены статистические характеристики оценки ХФ и показано, что ее оценка является состоятельной и несмещенной, а оценка квадрата модуля ХФ асимптотически не смещена и состоятельна. Предложена процедура оценки непрерывной части СПМ ИСП, позволяющая получать асимптотически несмещенные и состоятельные оценки СПМ по одной реализации процесса, используя оценку ХФ параметров ИСП.

4. Предложен и проведен статистический анализ алгоритмов распознавания векторных случайных процессов, различающихся спектральными матрицами и матрицами корреляций, при их предварительном бинарном квантовании.

5. Проведен анализ влияния шумовой помехи на погрешность измерения частоты СБ ЧМ РД в спектральной области при использовании средневзвешенной оценки частоты и алгоритма оценки частоты при использовании поправок. Показано, что закон распределения СС, формирующих средневзвешенную оценку, подчиняется распределению Дирихле, а закон распределения оценки частоты с использованием алгоритма на основе поправок - обобщенному бета - распределению.

6. Получены предельные точности при оценке частоты СБ РД ЧМ и предложен алгоритм оценки частоты СБ на основе метода ММП, предусматривающий оценку фазы СБ. Определены границы применимости ММП при использовании современной элементной базы, определены вероятности аномальных ошибок.

7. Предложен и исследован алгоритм оценки частоты сигнала, представленного малой выборкой (длительностью менее периода) и проведен его анализ.

8. Предложены алгоритмы измерения частоты СБ, основанные на компенсации МО, отличающиеся от известных перестройкой несущей частоты передатчика, что позволяет в 3...4 раза уменьшить величину интервала дальности, на котором МО влияют на результаты измерения.

9. Предложены алгоритмы измерения частоты СБ, принимаемого на фоне МО, основанные на методах распознавания образов, и проведен их анализ.

20

10. Предложен алгоритм измерения частоты СБ, принимаемого на фоне МО, основанный на методе анализа собственных векторов, позволяющий производить оценку расстояния при отношении сигнал - помеха, меньшем единица. Определены границы применимости метода.

11. Предложен следящий алгоритм измерения частоты СБ РД ЧМ , принимаемого на фоне МО, основанный на ММП, и проведен его анализ. Определены условия, при которых наступает срыв слежения. Показано, что предложенные алгоритмы позволяют уменьшить погрешность измерения дальности, вызываемую МО, примерно в 80 раза.

Практическая значимость и внедрение результатов работы. Полученные результаты развивают теорию распознавания случайных сигналов и оценивания их параметров в условиях воздействия различного рода помех и могут использоваться при проектировании и анализе радиотехнических и радиолокационных систем широкого назначения. Приведенные результаты получены в ходе выполнения гранта ГК РФ ВО № 80-96, хоздоговорных НИР с предприятием ООО «Контакт-1».

Реализация научных результатов и практических рекомендаций позволяет:

1. Повысить достоверность принятия решений при распознавании случайных сигналов в условиях воздействия шума и импульсной помехи, определить минимально необходимый объем обучающей выборки.

2. Получать состоятельные и несмещенные оценки СПМ ИСП по одной реализации процесса.

3. Производить проектирование прецизионных измерителей малых расстояний на основе РД ЧМ, функционирующих в сложной помеховой обстановке.

Полученные результаты внедрены:

- в учебный процесс Рязанской государственной радиотехнической академии в виде отдельных разделов курса "Радиосистемы управления", используются в ходе дипломного и курсового проектирования;

- на рязанском приборостроительном предприятии ООО "Контакт-1" при разработке уровнемеров, обеспечивающих высокую точность измерения малых расстояний в условиях воздействия узкополосных помех, вызванных МО. Разработан-

21

ное под руководством соискателя программное обеспечение к уровнемерам третьего поколения «БАРС-351» прошло всестороннюю проверку на сертифицированном из-

ч

мерительном стенде предприятия ООО "Контакт-1" и в ходе опытной промышленной эксплуатации на ряде промышленных предприятий;

- в центре медицинской профилактики «Истоки здоровья», г. Рязань.

Вклад автора в разработку проблемы. Все основные научные положения, выводы и рекомендации предложены соискателем. В большинстве публикаций, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежит постановка задачи и решающая роль, в остальных вклад соискателя эквивалентен вкладу других соавторов.

Большая часть программ, использованных при моделировании алгоритмов обработки сигналов, разработана лично автором. Программное обеспечение, внедренное в уровнемеры Барс-351, основанное на научных положениях соискателя, разработано под его руководством.

Технические решения, вытекающие из теоретических результатов, разработаны при непосредственном участии автора и под его руководством.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всесоюзной научно-технической конференции «Обработка локационных сигналов, отраженных протяженными объектами» (г. Свердловск, 1981 г.), отраслевом семинаре «Имитация, измерение и анализ случайной вибрации» (г. Казань, 1982), Всесоюзном научно-практическом семинаре «Статистические методы исследования процесса функционирования сложных технических систем» (г. Москва, 1983 г.), республиканской научно-технической конференции «Моделирование в задачах радиолокации и интроскопии неоднородных сред» (г. Свердловск, 1983 г.), Всесоюзной научно-технической конференции «Измерение параметров формы и спектра радиотехнических сигналов» (г. Харьков, 1989 г.), зональном семинаре «Тренажеры и имитаторы» (г. Пенза, 1990 г.), Украинской республиканской школе-семинаре «Методы представления и обработки случайных сигналов и полей» (Харьков, 1990 г.), второй Всесоюзной конференции «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования» (г. Тамбов, 1991 г.), Украинской республиканской школе-семинаре «Вероятностные

модели и обработка случайных процессов и полей» (г. Черкассы, 1991 г.), второй Всесоюзной научно-технической конференции «Методы представления и обработки случайных сигналов и полей» (г. Туапсе, 1991г.), Всесоюзной научно-технической конференции «Применение сверхширокополосных сигналов в радиоэлектронике и геофизике» (г. Красноярск, 1991), Международной конференции «Технологии и системы сбора, обработки и представления информации» (г. Рязань, 1993 г.), секции «Теория информации» Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова (г. Рязань, 1994 г.), второй, третьей и седьмой Международных конференциях «Оптоэлектронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации» (г. Курск, 1995 г., 1997 г., 2005г.), Международной конференции «Медицинские технологии на рубеже веков» (г. Тула, 1998 г.), Международных конференциях «Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества» (г. Москва, 2003 г., 2004 г.), Международной конференции «Информатизация. Контроль. Измерение» (г. Барнаул, 2003 г.), 58, 60, 61 научных сессиях, посвященным Дню радио (г. Москва, 2003 г., 2005 г., 2006г.), 5-10 Международных конференциях «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (г. Москва, 2003 г.- 2008 г.), третьей Международной конференции «Физика и техническое приложение волновых процессов» (г. Волгоград, 2004 г.), Международной конференции «Информационные системы и технологии» (г. Харьков, 2005 г.), 14 Международной конференции «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» (г. Рязань, 2005 г.), 2 Международном радиоэлектронном форума « Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития» (Харьков, 2005), Международной конференции «Физика и техническое приложение волновых процессов» (г. Самара, 2008 г.), Российской конференции с международным участием «Управление, контроль, измерение» (г. Москва, 2012), 18 Международной конференции «Радиолокация, навигация, связь» (г. Воронеж, 2012 г.)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 77 работ, в том числе монография, 17 работ в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 12 авторских свидетельств и патентов, 38 текстов докладов и тезисов докладов на Всесоюзных, Меж-

дународных и Республиканских конференциях, одна депонированная рукопись, 8 статей в региональных научных сборниках.

Содержание работы

В первой главе диссертационной работы кратко рассмотрены модели скалярных случайных стационарных процессов, векторных стационарных случайных процессов и стационарных скалярных случайных полей в спектральной области, приведены соотношения, позволяющие определить среднее значение, дисперсию, законы распределений оценок СПМ, полученных по одной реализации случайного процесса. Проведен статистический анализ выборочных СПМ импульсных случайных процессов с детерминированным тактовым интервалом в виде последовательности импульсов со случайной амплитудой, последовательности импульсов со случайным временем появления, группы импульсов со случайными временем появления и амплитудой. Выполнен анализ влияния на форму СПМ коррелированности времени появления и амплитуды импульсов в импульсной последовательности. Получены соотношения, позволяющие определить дисперсию оценки СПМ группы импульсов со случайными временем появления и амплитудой. Получены распределения инвариантных статистик к параметру масштаба как для выборочной СПМ, так и для СП.

Во второй главе предложен метод оценки СПМ импульсных случайных последовательностей, использующий аппарат ХФ. Проведен анализ оценки ХФ, показано, что эта оценка несмещена и состоятельна. Доказано, что процедура спектрального оценивания, заключающаяся в определении ХФ параметров импульсной последовательности, позволяет получить состоятельную оценку СПМ по одной реализации случайного импульсного процесса. Предложен алгоритм оценки СПМ импульсных последовательностей, использующий формульное определение СПМ таких сигналов. Предложено в качестве признаков для распознавания использовать выборочные ХФ.

Третья глава посвящена распознаванию стационарных случайных процессов в спектральной области. Проведено исследование влияния шума на достоверность распознавания, получены формулы, позволяющие выразить вероятности ошибочного решения через СПМ мощности шума и распознаваемых сигналов. Получены ал-

горитмы распознавания ССП в спектральной области при неизвестном параметре масштаба и проведен их анализ, позволяющий вычислить вероятности ошибочного решения. Проведен анализ объема обучающей выборки на достоверность распознавания, причем исследованы случаи, когда имеется либо одна обучающая выборка, либо ансамбль обучающих выборок конечного объема. Проведен анализ влияния импульсных помех на вероятности распознавания. Проведен анализ эффективности распознавания при наличии в распознаваемых сигналах нулевых отсчетов (пропусков наблюдений). Предложено использовать в качестве признаков для распознавания стационарных сигналов функционалы от СПМ - спектральные моменты и проведен анализ их информативности.

В четвертой главе рассмотрены параметрические алгоритмы распознавания векторных случайных процессов с неизвестным параметром масштаба в спектральной области. Проведен анализ и оценены вероятности правильного распознавания векторных стационарных случайных процессов, различающиеся коэффициентами корреляции между компонентами при их бинарном квантовании, проведен сравнительный анализ полученных решающих правил с оптимальными алгоритмами распознавания.

Пятая глава посвящена оценке частоты узкополосного радиосигнала методом максимального правдоподобия с учетом фазы СБ применительно к измерению расстояния с помощью РД ЧМ. Определена потенциальная точность оценки частоты СБ. Предложен алгоритм измерения частоты сигнала на основе ММП с учетом фазы СБ, проведен его анализ и определены границы его применимости. Предложена процедура оценки фазы СБ. Рассмотрены алгоритмы оценки частоты сигнала, представленного короткой выборкой (менее 1-2 периодов).

В шестой главе проведен сравнительный анализ алгоритмов оценки частоты СБ. Исследован алгоритм оценки частоты, основанный на искусственном увеличении периода сигнала путем добавления нулевых отсчетов, алгоритмы, основанные на оптимизации целевой функции, сплайн интерполяции, средневзвешенный алгоритм оценки частоты, медианная оценка частоты и алгоритм оценки частоты с использованием поправочных коэффициентов.

В седьмой главе рассмотрены проблемы, относящиеся к оценке частоты узкополосного радиосигнала, принимаемого на фоне мешающих отражений. Синтезирован алгоритм обнаружения МО в спектральной области, рассмотрена возможность компенсации мешающих отражений, определена необходимая точность определения параметров компенсирующего сигнала. Предложены и проанализированы алгоритмы измерения частоты сигнала, принимаемого на фоне мешающих отражений, основанные на принципах распознавания образов. Предложен и проанализирован алгоритм измерения частоты СБ, основанный на методе анализа собственных векторов, проведен анализ его устойчивости и определены границы применимости. Предложен следящий алгоритм оценки частоты СБ, использующий особенности ЛФП СБ, проведен его подробный анализ.

В восьмой главе приведены результаты экспериментальных исследований предложенных алгоритмов по измерению частоты сигнала биений, принимаемого на фоне МО. Экспериментальные исследования выполнены на измерительном стенде Рязанского научно-производственного предприятия «Контакт-1», который аттестован как средство измерения. Приведены результаты проверки алгоритмов, реализующих методы распознавания, анализа собственных векторов, следящего измерителя СБ, а также результаты опытной эксплуатации уровнемера серии «Барс - 351» с алгоритмами оценки частоты на основе метода анализа собственных векторов..

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Благодарности.

Автор благодарен коллективу кафедры радиоуправления и связи РГРТА, заведующему кафедрой д.т.н., проф. Кириллову С.Н. за дружескую поддержку, заинтересованное обсуждение работы и ценную деловую критику.

Автор благодарен профессорам - д.т.н. Езерскому В.В. и д.т.н. Паршину Ю.Н. за внимательный просмотр рукописи, высказанные ценные замечания, способствующие ее улучшению, за одобрение работы.

Автор признателен коллективу ООО "Предприятие Контакт-1" за доброжелательное отношение, большую помощь в работе, постоянную подпитку новыми задачами и поддержку при внедрении результатов в реальные приборы.

Огромную благодарность автор выражает Атаянцу Борису Аванесовичу, генеральному директору ООО "Предприятие Контакт-1", научному руководителю при написании кандидатской диссертации автора. Без его активной, заинтересованной, результативной критической оценки результатов, деловых обсуждений и предложений, всесторонней поддержки эта работа не могла состояться.

1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В БАЗИСЕ ФУРЬЕ

1.1 Вводные замечания

Задачи синтеза оптимальных алгоритмов распознавания и оценки параметров случайных сигналов в спектральной области решаются на основе общей статистической теории обработки сигналов. Одно из основных положений, способствующих успешному решению этих задач в рамках статистической теории обнаружения, различения, оценки параметров случайных сигналов, является получение априорной информации о вероятностных моделях сигналов и помех в спектральной области. Задачей главы является изучение и разработка статистических моделей случайных процессов в спектральной области.

При исследовании СХ СПМ случайных процессов наиболее законченные результаты, изложенные в многочисленных публикациях [10,15-26] (среди которых необходимо отметить монографии [19,20,26]), получены при анализе выборочных СПМ скалярных ССП и стационарных векторных случайных процессов, полученных по одной реализации случайного процесса. Исследованы различные типы спектральных окон (СО), использование которых позволяет получать состоятельные оценки СПМ, найдено смещение сглаженных оценок СПМ, их законы распределения. Сводка наиболее удачных спектральных окон ( Бартлетта, Хана, Хэммин-га, Тьюки, Парзена, Даниэля и некоторых других) приведена в [26]. Известна работа [93], в которой предложено синтезировать спектральные окна, минимизирующие средний квадрат оценивания СПМ. В главе приведены известные основные сведения о СХ оценок СПМ ССП, что позволяет проводить синтез и анализ алгоритмов обработки случайных сигналов в спектральной области.

Что касается ИСП, то изучению СХ оценок их выборочных СПМ посвящено ограниченное число работ. Достаточно подробно изучены [21] СХ оценки СПМ только пуассоновских случайных процессов. Необходимо отметить вывод, сформулированный в работе [21, стр. 147] «приведенные выше (то есть в [21]) результаты трудно распространить на последовательности событий, которые не описываются пуассоновским процессом».

В работах [36,82] проведено детальное исследование СПМ, усредненных по множеству реализаций, для многих видов ИСП. Представим в общем виде к -тую реализацию произвольного ИСП как

/1=1

где /п(г)~ безразмерная функция, описывающая форму п- го импульса; уп - момент времени, соответствующий появлению п - го импульса; Ап и ¿;п - среднее и отклонение от среднего амплитуды п - го импульса.

В [36,82] получены соотношения, позволяющие выразить усредненные по множеству СПМ импульсных последовательностей (1.1) через первые два момента распределений амплитуд импульсов, ХФ флюктуаций импульсов по положению, средние значения моментов времени появления импульсов. Для определения СПМ произвольных случайных ИСП, усредненных по множеству, в [36,82] введены некоторые вспомогательные функции, через среднее значение которых определяются СПМ. Однако такие характеристики оценок СПМ ИСП, получаемые по одной реализации процесса, как вид распределений СС и их моменты, статистические связи между СС остались невыясненными. Получить расчетные формулы, позволяющие определить СХ оценок спектров ИСП, получаемых по одной реализации, в общем случае (для произвольного ИСП), не представляется возможным. Поэтому при нахождении СХ оценок СПМ в работе было сделано допущение - длительность и форма импульсов, составляющих ИСП, одинаковы. СХ оценок получены для трех видов ИСП - последовательности равноотстоящих импульсов со случайной амплитудой, последовательности импульсов одинаковой амплитуды со случайным временем появления, группы, состоящей из N импульсов со случайными временем появления и амплитудой. Наряду с пуассоновским потоком импульсов перечисленные ИСП охватывают широкий класс ИСП. Нахождение СХ ИСП позволит решить две задачи - провести анализ влияния импульсных помех на алгоритмы обработки сигналов в спектральной области и определить структуры алгоритмов принятия решений при распознавании ИСП в спектральной области.

г-у

Ьп

(к)

(1.1)

В наиболее известных работах [36,82], в которых исследуется форма СПМ ИСП, делается допущение о статистической независимости разнородных параметров процесса (времени появления и амплитуды импульсов). На практике такое допущение может оказаться неприемлемым. Поэтому необходимо провести исследование влияния коррелированное™ разнородных параметров импульсной последовательности на форму его СПМ.

На практике задачи распознавания и оценивания параметров случайных сигналов приходится проводить при неизвестном параметре масштаба. Для синтеза решающих правил, инвариантных к интенсивности сигнала, необходимо найти распределения инвариантных статистик. Как правило, такие распределения оказываются достаточно сложными, что приводит к необходимости аппроксимации полученных распределений более простыми. Таким образом, основным содержанием главы является:

1. Анализ СХ оценок СПМ скалярных ССП, векторных ССП, скалярных стационарных случайных полей, заключающийся в определении распределений оценок СПМ, корреляционных связей между СС.

2. Получение СХ СПМ ИСП в виде последовательности равноотстоящих импульсов со случайной амплитудой, последовательности импульсов одинаковой амплитуды и со случайным временем появления, группы импульсов со случайными временем появления и амплитудой.

3. Анализ влияния коррелированности разнородных параметров импульсной последовательности на форму его СПМ;

4. Определение распределений статистик, инвариантных к параметру масштаба и их аппроксимация более простыми распределениями.

Полученные в первой главе вероятностные модели оценок СПМ случайных сигналов позволяют провести как синтез алгоритмов обработки сигналов в спектральной области, так и выполнить анализ влияния помех на качество их функционирования.

Основное содержание главы опубликовано в работах автора [94-100].

1.2 Спектральное представление случайных сигналов

В исследованиях, посвященных распространению спектральной теории детерминированных сигналов на случайные, центральным вопросом является нахождение условий, при выполнении которых возможно представление случайных процессов в спектральной области. В [19,20] показано, что для ССП z{t) с конечной мощностью

1 т

Pm = lim— \z2(t)dt <оо

Т о W (1-2)

Г-> оо

всегда существует преобразование Винера-Хинчина

+00

G(o))= jA"(r)exp(- jcor)i(o. (1.3)

—оо

Если условие (1.3) выполняется для ССП, то с вероятностью единица оно будет выполняться для всех реализаций процесса. Это утверждение является основой для оценивания СПМ при использовании выборочных ковариационных функций (КФ), то есть

т

G^k\co) = 4lk(T)cos{cüT)dT, (1.4)

о

где

(t-r)dt- выборочная КФ; Т- длительность &-той реали-

Т о

зации случайного процесса.

В работе [10] рассмотрены вопросы, относящиеся к спектральному анализу нестационарных сигналов и показано, что для реальных физических сигналов (ограниченных во времени и имеющих ограниченное максимальное значение) каждая реализация обладает СП, то есть физический случайный процесс представим интегралом Фурье на всем множестве его реализаций с вероятностью единица.

В работах [10, 14, 19, 20] практически не рассмотрены вопросы, относящиеся к спектральному анализу белых шумов. В работе [26] спектральному оцениванию как непрерывных, так и дискретных дельта - коррелированных шумов посвящены

одни из центральных разделов. Результаты, полученные в [26], будут приведены ниже, при анализе СХ выборочных СПМ ССП.

Практическое определение оценок СПМ согласно (1.4) нельзя признать удачным [19], поскольку необходима предварительная оценка КФ. В работах [26,36] доказано, что для ССП с абсолютно интегрируемыми КФ справедливо следующее равенство

11 2 1 G(cd)= lim —Mi S{Tk\jco) U \к{т)ъщ>(]ú)z)dco,

Т^Юо Т \ I „

(1.5)

где М - оператор математического ожидания.

Текущая СП S^k\jcо) есть преобразование Фурье к - той реализации ^k\t) случайного процесса

S™(ja>) = T'\^k)it)^v{joyt)it. (1.6)

-77 2

За оценку СПМ, полученную по той реализации, в соответствии с (1.5)

принимается выборочная СПМ, определяемая формулой [26,36]

G^k\co) = \s^k\ja^ /Т. (1.7)

Дискретным аналогом выражения (1.7) на основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ) является [80]

Лг!*-1 2

G^^Y.&Kl^Á-nmllK) К 1=0

At_ К

, i = 0,К/2-1 ,

(1.8)

где & - шаг дискретизации; К - число отсчетов сигнала.

Соотношение (1.8) принимается для вычислений оценок СПМ случайных процессов. Для уменьшения вычислительных затрат алгоритм (1.8) обычно реализуется на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ). Как правило, СПМ вычисляется на кратных частотах, то есть

о), = 2т/Т = 2т! КАг. (1.9)

Вычисление на частотах, кратных частоте о){, позволяет исключить паразитную амплитудную модуляцию СПМ (исключить эффект частокола) [102], поскольку частоты (1.9) совпадают с центральными частотами фильтров ДПФ.

Можно отметить, что оценки СПМ, полученные на основе преобразования Винера - Хинчина и с помощью формулы (1.7), имеют некоторое различие, что отмечено в [19]. Однако для практики это различие несущественно. Более того, применение БПФ к реализации случайного процесса позволяет получить ее СП, что невозможно при использовании преобразования Винера - Хинчина.

Наряду с оценками СПМ мощности (1.7) часто используются и оценки спектральной плотности энергии, вычисленные по А:-той реализации случайного процесса

Когда интервал определения сигналов конечен, что выполняется всегда для физических сигналов, СП, определенные по формулам (1.8), (1.10), отличаются только масштабом, а СХ оценок одинаковы с точностью до постоянного множителя. Поэтому в дальнейшем будем использовать только термин СПМ, полагая, что она определяется согласно (1.8).

Необходимо отметить, что при синтезе алгоритмов обработки скалярных стационарных сигналов достаточно использовать СПМ, определенную согласно (1.7). Представление СП ССП в виде

G(*)(©/)=5(t)(M)2» i = 0,K/2-\

(1.10)

(1.11)

где Яе5(убу)= ^(^сов^г)*/* и 1ш5,(/®)= -

но реальная и мнимая части СП реализации либо в виде

соответствен-

(1.12)

эквивалентно представлению (1.6), поскольку распределение аргумента

33

= (1.13)

случайной функции Ф^'щ) для гауссовского ССП подчиняется [26] равномерному распределению К(-7г,л) для СС, вычисленных на частотах ¿у >0. Для негауссов-ских ССП распределение функции ф{а>1) асимптотически равномерно при К —» оо. Объясняется это гауссовским или асимптотически гауссовским распределениями реальной и мнимой частей СП и их нулевым математическим ожиданием [26].

Для скалярных ИСП распределение аргумента ф{а>1) в общем случае будет

отлично от равномерного. Примером может служить ИСП вида (1.1). Из формулы (1.1) следует, что средние значения реальной и мнимой частей СП будут отличны от нуля, чем и объясняется отличие распределения от равномерного. Поэто-

му представление таких сигналов в спектральной области в виде (1.7) приведет к дополнительной потере информации и необходимо представление таких сигналов в виде (1.11), либо в виде (1.12).

Выбор представления СП сигнала должен решаться с точки зрения сокращения вычислительных затрат и простоты статистического описания функции ^О'®). Спектральное представление (1.11) предпочтительнее, так как при этом не возникает необходимость вычисления модуляр^к\со) и аргумента Ф(к\со). Очевидно, что и статистическая структура СП при его представлении в виде (1.11) будет проще. Поэтому при синтезе и анализе параметрических алгоритмов обработки гауссов-ских сигналов для описания СХ СП целесообразно использовать 2п - мерное нормальное распределение реальной и мнимой частей СП, вычисленных на п несовпадающих частотах

= Г-;-ТоУ ехР

рх)2п с!е1(я)Г

±{Х-тУ1Г\Х-тх)

(1.14)

где Г-знак транспонирования; Хи тх- векторы - столбцы; ёе^Т?)-определитель

матрицы Я; - матрица, обратная матрице Я.

Матрица ковариаций распределения (1.14) определяется как [18]

я =

К/иЛ

(1.15)

где ковариационные матрицы действительной и мнимой частей СП и

их взаимная ковариационная матрица.

Вместо распределения (1.14) возможно использовать и нормальное комплексное распределение [18], которое имеет несколько более компактную запись. При представлении реализаций стационарных ВСП

4 (0 =

№ ЯЧ'Л

,п- \,К.

(1.16)

в частотной области так же, как и для скалярных сигналов, возможно их различное описание. Во-первых, вычисляя СП на частотах (1.9), р -мерные сигналы в спектральной области можно представить в виде р векторов вида

5(*>(М) =

,< = 0,А72-1.

(1.17)

Для описания реализаций стационарных ВСП возможно использование выборочных СМ [18]

= \,п,1,т - \,р.

(1.18)

На главной диагонали этой матрицы расположены выборочные СПМ компонент реализации ВСП, а элемент матрицы с номером /, т является оценкой взаимной СП /-ой и т-ой компонент, то есть элемент с номером 1,т будет определяться как

где черта означает знак комплексного сопряжения.

(1.19)

В том случае, когда число р достаточно велико, можно трактовать реализацию многомерного случайного процесса как двумерное скалярное поле (пространственно-временной сигнал)[103]

1 = йр, т = 1К, (1.20)

где р - число отсчетов по пространственной координате; К - число отсчетов по времени. При обработке таких сигналов в спектральной области целесообразно перейти к двумерной СП ^(уД^'^Уу-), которая вычисляется с помощью алгоритма

БПФ сначала по координате р на частотах П/5 а затем по координате К на частотах со у, либо к выборочной двумерной СПМ

= (1.21)

где ЛИ - шаг дискретизации по пространственной координате; Лt - шаг дискретизации по времени.

1.3 Статистические характеристики оценок СПМ стационарных случайных процессов

СХ оценок СПМ ССП - корреляционные соотношения и законы распределения СС, подробно изучались во многих работах [15-21,26]. Основные результаты следующие. Принимая в качестве оценки СПМ оценку, вычисленную в соответст-

Л

вии с (1.7) на частотах (1.9), для среднего значения и дисперсии оценки (/(¿У,) получены следующие результаты (в обозначении оценки номер реализации к опущен)

М^р{(о1))^С{со1) + 0(\1 К), (1.22)

о1р(а>1)}*в2(о)1) + 0(1/К), (1.23)

где в(о)() - СПМ ССП £(*).

Для дельта-коррелированных дискретных ССП среднее значение и дисперсию оценки СПМ можно представить как [26]

М}(7(Й;/)}= о-2 А?, (1.24)

о{д((01)}=(т4А12+%Ш2/к, (1.25)

2

где (т и - дисперсия и четвертый кумулянт [104] процесса .

Второй смешанный центральный момент (ковариация) [36] оценок СПМ, вычисленный на кратных несовпадающих частотах (1.9) со1 ± а>1, имеет порядок [26]

М2{д{со1),дм\=о(ук). (1.26)

Для дельта-коррелированных ССП ковариация имеет вид [26]

М2 {¿(¿у,-), 6{а>])} = АГ2/К. (1.27)

Соотношения (1.24-1.25) показывают, что оценка Сг(со) является асимптотически несмещенной и несостоятельной. Причины появления смещения оценки СПМ очень подробно анализируются в работах [36,102] и многих других.

Несостоятельность оценки объясняется тем, что оценка С(гу) относится к классу непараметрических оценок [15], то есть оценивается не параметр, а поведение всей функции С(а>). При увеличении длительности реализации происходит не уточнение оценки СПМ, а вычисление новых некоррелированных СС на частотах (1.9). Соотношения (1.26-1.27) показывает, что СС, вычисленные на частотах (1.9), некоррелированы только для гауссовых дельта-коррелированных ССП. Для негауссовых ССП и для гауссовых окрашенных ССП СС будут асимптотически некоррелированы. _ . __ __ _ _____________ - _________

Предположим, что ССП £(*) нормально распределен. Обозначим реальную и мнимую части СП произвольной реализации ССП, вычисленную на конечном ин-

а

тервале времени как Ке8т^(о) и 1т£у(у'бу). Тогда распределение оценки С(гу; ) будет описываться [36] распределением суммы двух в общем случае коррелированных случайных величин с нормальным распределением Функции частоты Ке5у(у'£у) и 1т Бт(]со) для частот со> 0 имеют нулевое среднее и соответственно дисперсии .Од, £)/. Поэтому распределение оценки СПМ может быть представлено в виде [36]:

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Паршин, Валерий Степанович

8.11 Выводы

По результатам, полученным как при тестировании алгоритмов на сертифицированном измерительном стенде, так и в ходе опытной эксплуатации, можно сформулировать следующие основные выводы.

1. Использование алгоритмов оценки расстояния, основанных на методах распознавания, позволяет существенно уменьшить погрешность измерения, вызванную отражением от раскрыва антенны по сравнению с результатами, которые обеспечивает алгоритм (5.48). Уменьшение погрешности зависит от расстояния от антенны РД ЧМ до полезного отражателя. На расстоянии от антенны до РД ЧМ 0.5 м. погрешность измерения уменьшается примерно на порядок. Выигрыш в точности монотонно уменьшается с увеличением расстояния от антенны РД ЧМ до отражателя.

2. Результаты исследований на стенде в свободном пространстве позволяют утверждать, что использование методов анализа собственных векторов позволяет уменьшить погрешность измерения расстоянии в 4-6 раз по сравнению с (5.48) в зависимости от расстояния от МО до РД ЧМ.

3. Результаты, полученные в ходе опытной эксплуатации на резервуаре с дизельным топливом, проведенной на предприятии «Рязаньнефтепродукт», показали, что алгоритм измерения дальности на основе метода собственных векторов позволяет увеличить точность измерения дальности примерно в 3 раза по сравнению с алгоритмом (5.48). Однако необходимо учитывать, что реальный выигрыш может быть больше. Объясняется это тем, что зоны повышенной погрешности, где влияние МО наиболее сильно сказывается на точности измерения расстояния и где выигрыш алгоритмов на основе метода собственных векторов существенно больше, чем у (5.48), не была достигнута при сливе содержимого резервуара. Исходя из результатов моделирования (глава 7) и экспериментальных исследований, можно сделать вывод, что факторами, ограничивающими точность измерения дальности на практике, являются искажения, которые присутствуют в СБ. Можно предположить, что основной вклад в ограничение точности измерения дальности вносит ПАМ.

4. Алгоритм оценки расстояния, реализующий ММП с учетом фазы сигнала, позволяет существенно уменьшить погрешность оценки расстояния при наличии МО малой интенсивности по сравнению с (5.48). Теоретически достижимый выигрыш в точности оценки расстояния равен примерно 80 при диапазоне перестройки несущей 500 МГц.

5. Результаты тестирования следящего алгоритма подтвердили сформулированные выше теоретические предположения о его высокой эффективности. Уменьшение погрешности оценки расстояния, вызванной МО, примерно равно 80 при диапазоне перестройки несущей 500 МГц. Программные затраты на его реализацию в несколько раз меньше требуемых для реализации алгоритмов на основе метода анализа собственных векторов.

6. Результаты испытаний алгоритмов на основе ММП и следящего алгоритма позволяют утверждать об их малой чувствительности к изменениям температуры окружающей среды. По сравнению с (5.48) уход упомянутых алгоритмов при изменении температуры примерно на порядок меньше, чем у (5.48).

7. Проведено тестирование алгоритма оценки расстояния, основанного на оценке скорости движения отражателя и последующему предсказанию его положения. Отмечено, что для несмещенной оценки скорости необходимо выполнение условия - время измерения расстояния, на основе которого определяется скорость отражателя, должна быть фиксирована. При равномерной скорости движения отражателя уменьшение погрешности измерения расстояния может достигать существенной величины - примерно в два порядка. Однако при неравномерной скорости перемещения отражателя погрешность измерения расстояния уменьшается в 3-6 раз.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведена оценка влияния помех на распознавание ССП и оценку частоты случайных сигналов в спектральной области. Основные научные положения диссертации сводятся к следующему:

1. Получены соотношения, позволяющие определить СХ (среднее значение, дисперсию, корреляционные связи) СС СП ИСП в виде последовательностей импульсов со случайными амплитудой и местоположением, появляющихся как на детерминированных тактовых интервалах, так и в случайные моменты времени, по одной реализации случайного процесса. Проведен анализ влияния коррелированности однородных параметров ИСП на форму его СПМ. Полученные автором результаты позволяют проводить как оценку влияния импульсных помех на распознавание случайных процессов, так и синтезировать алгоритмы распознавания ИСП.

2. Получены в спектральной области распределения статистик, инвариантных к параметру масштаба, как для непрерывных, так и для импульсных случайных сигналов и проведена методом моментов аппроксимация полученных распределений. Показано, что основным аппроксимирующим распределением инвариантных статистик в спектральной области является бета - распределение.

3. Проведено исследование СХ оценок ХФ, получаемой по одной реализации ССП с абсолютно суммируемой АКФ, в том числе оценок ХФ параметров ИСП. Показано, что оценки ХФ являются состоятельными и несмещенными. Показано, что оценка квадрата модуля ХФ является асимптотически несмещенной. Получены соотношения, позволяющие определить дисперсии оценки ХФ и квадрата модуля ее оценки, корреляционные связи оценок ХФ при различных значениях ее аргумента.

4. Предложено на основании исследования СХ оценок ХФ использовать их для спектрального оценивания ИСП как с детерминированным тактовым интервалом, так и апериодических, СПМ которых определяются через ХФ и числовые параметры ИСП (длительности и амплитуды импульсов, период их повторения). Приведены результаты моделирования, которые показывают, что использование ХФ позволяет получить состоятельные оценки СПМ ИСП по одной реализации случайного процесса.

5. Показано, что использование для спектрального оценивания редко повторяющихся импульсных последовательностей алгоритма, основанного на предварительном измерении амплитуд импульсов и моментов времени их появления, позволяет увеличить быстродействие при вычислении СП и увеличить отношение сигнал/шум на выходе спектроанализатора.

6. Проведен анализ возможности использования выборочных ХФ в качестве признаков для распознавания ИСП с бимодальными распределениями флюктуаций по положению.

7. Предложено для оценки влияния стационарного шума на вероятность ошибочного распознавания использовать расстояние Бхатачария. Использование расстояния Бхатачария позволяет определять влияние шумовой помехи при распознавании по фрагментам СПМ, содержащих ограниченное число СС. В этом случае аппроксимация распределения решающего правила нормальным приводит к слишком большим погрешностям при вычислении вероятности ошибочного распознавания. Для вычисления расстояния Бхатачария необходимо провести интегрирование квадратного корня из произведений ФП для проверяемых гипотез, что не вызывает затруднений.

8. Показано, что решающее правило, основанное на ИП, реализующее отношении СС выборочного СПМ к мощности распознаваемого сигнала, обеспечивает вероятности ошибочного распознавания, практически равные вероятностям, которые обеспечивает инвариантный РНМ критерий проверки статистических гипотез.

9. Проведен анализ влияния импульсных помех в виде одиночного импульса, пуассоновского потока импульсов и группы импульсов со случайными временем и амплитудой на достоверность распознавания ССП в спектральной области. Полученные соотношения для моментов распределения решающего правила позволяют установить аналитическую связь вероятности ошибочного распознавания с параметрами импульсной помехи.

10. Проведен анализ влияния пропусков наблюдений в контрольной реализации на достоверность распознавания для сигналов с различной формой СПМ. Исследованы такие методы, позволяющие уменьшить вероятность ошибочного распознавания, как масштабирование контрольной реализации, ее сдвиг, заполнение пропусков сигнала средним значением реализации, восстановление пропущенных значений с помощью линейного предсказания. Показано, что выбор метода компенсации влияния пропусков зависит как от модели пропусков, так и от формы СПМ распознаваемых сигналов. Показано, что наиболее устойчивое снижение вероятности ошибочного распознавания обеспечивается при адаптации решающего правила к пропускам наблюдений.

11. Получены соотношения, позволяющие аналитически связать вероятность ошибочного распознавания с объемом обучающей выборки. Проведенные расчеты, подтвержденные результатами моделирования, позволяют утверждать, что минимальный объем обучающей выборки должен составлять не менее 25-30 реализаций.

12. Показано, что при распознавании векторных случайных процессов переход в спектральную область существенно упрощает реализацию решающего правила. Наиболее существенным преимуществом при переходе в спектральную область является «подготовительная работа». Вместо обращения матрицы размерности РКхРК, что при достаточно больших РК является достаточно сложной вычислительной задачей, необходимо произвести обращение К матриц размерности РхР, что представляет существенно более легкую задачу. Проведен анализ решающего правила, основанный на использовании в качестве признаков спектральных матриц векторных случайных процессов. Получена ХФ решающего правила, которая выражена через собственные вектора решающего правила. Получены моменты решающего правила, которые выражены через СПМ и взаимные СП компонент распознаваемых сигналов, что облегчает его анализ.

13. Предложено устройство для распознавания векторных случайных процессов с дельта - коррелированными компонентами, различающимися матрицами ковариаций. В качестве признаков в предложенном устройстве используются величины, линейно связанные с оценками матрицы ковариаций бинарно - квантованного сигнала. Для обработки сигнала в предлагаемом алгоритме нет необходимости в аналого-цифровом преобразовании. Проведен синтез оптимального алгоритма распознавания, использующего в качестве признаков число совпадений ат появления несовместных событий Ат, т = 1,2я в реализации длиной К отсчетов. Получены моменты решающего правила. Результаты статистического моделирования показали, что использование в качестве признаков число совпадения число ат появления несовместных событий

Ат, т- \,2Р в реализации длиной К отсчетов позволяют получить вероятности ошибочного распознавания, примерно на 15-20% превышающих аналогичные вероятности для оптимального алгоритма. Результаты моделирования и расчетов по полученным соотношениям можно признать для предложенного алгоритма несущественными.

14. Определены соотношения, позволяющие определить потенциальную точность оценки расстояния. Показано, что использовании ММП при априорно известной фазе СБ позволяет в зависимости от значения несущей частоты и диапазона ее перестройки уменьшить дисперсию оценки расстояния примерно на три порядка по сравнению с алгоритмом, не учитывающим фазу сигнала.

15. Определены основные составляющие погрешности, влияющие на ошибку определения расстояния методом ММП. Показано, что в первую очередь к ним относится погрешность оценки фазы СБ, отличия частот несущего колебания СБ и опорного сигнала, ПАМ. Предложена процедура, позволяющая оценивать фазу с помощью СБ, полученных в процессе измерения расстояния. Предложен простой и эффективный способ устранения выбросов при оценке фазу.

16. Получены соотношения, позволяющие определить методическую погрешность оценки фазы СБ. Показано, что основная составляющая методической погрешности оценки фазы СБ определяется методической погрешностью оценки частоты.

17. Предложен алгоритм оценки частоты СБ, представленного короткой реализацией, основанный на использовании элементов теории распознавания. Предложено новое определение понятия «короткая реализация». С помощью моделирования показано, что СКО оценки частоты уменьшается как минимум в два раза по сравнению с известными алгоритмами оценки частоты сигнала, представленного короткой реализацией.

18. Показано, что алгоритмы оценки частоты, основанные на поиске максимальной СС (в том числе и алгоритм на основе сплайн интерполяции) и медианная оценка частоты обеспечивают одинаковую помехоустойчивость при обработке СБ на фоне белого нормального шума.

19. Получены соотношения, позволяющие определить смещение оценки частоты и ее дисперсию при использовании алгоритма, использующие поправки. Установлено, что дисперсия оценки частоты для этого алгоритма превышает дисперсию оценки частоты алгоритмами, основанных на поиске максимальной СС, примерно в 1.25 раза.

20. Показано, что совместное распределение частот, формирующих СВО частоты, подчиняется распределению Дирихле. Получено соотношение, позволяющее определить дисперсию оценки. Установлено, что дисперсия оценки частоты для этого алгоритма превышает дисперсию оценки частоты алгоритмами, отыскивающих максимальную СС, примерно в 2.25 раза.

21. Проведен анализ влияния ПАМ на СКО измерения частоты. Показано, что для алгоритмов, реализующих поиск максимальной СС, медианную оценку частоты и СВО оценку частоты, влияние ПАМ приводит к росту систематической погрешности на 30 - 50 %. Систематическая погрешность оценки частоты для этого алгоритма АП увеличивается в несколько раз.

22. Компенсация МО наиболее эффективна при предложенном в работе варьировании частоты несущего колебания РД ЧМ. В этом случае использование режима компенсации позволяет примерно на порядок уменьшить зону повышенной погрешности при варьировании частоты несущего колебания в пределах, соизмеримых с диапазоном перестройки несущей частоты генератора, что вполне осуществимо на практике.

23. Для уменьшения влияния МО с помощью алгоритмов, основанных на методах распознавания образов, необходим большой объем обучающей выборки, что требует достаточно больших организационных ресурсов и производственных затрат. Основное ограничение при использовании методов, основанных на распознавании образов - изменение фазы СБ в процессе эксплуатации РД ЧМ. Достижимое уменьшение погрешности составляет примерно 3-10 раз в зависимости от отношения сигнал - помеха по сравнению с алгоритмами, использующие для оценки расстояния СП в базисе Фурье.

24. Предложен следящий алгоритм оценки расстояния, основанный на особенностях ЛФП СБ. Показано, что следящий алгоритм позволяет уменьшить погрешность измерения расстояния по сравнению с алгоритмами, использующими спектр в базисе Фурье, примерно в 80 раз. Определены ограничения на его практическое использование. Показано, что допустимая скорость перемещения отражателя зависит от отношения сигнал - помеха. При отношении сигнал - помеха 2 дБ перемещение отражателя от измерения к измерению не должно превышать 3 мм. и может быть увеличено при уменьшении отношения сигнал - помеха. Определена величина расстояния до МО с интенсивностью, превышающей интенсивность полезного сигнала, при котором наступает срыв слежения. Это расстояние равно примерно 0.2 м при отношении сигнал - помеха - 4.5 дБ.

25. Проведено исследование возможности использования алгоритма оценки расстояния, основанного на анализе собственных векторов, для измерения расстояния до уровня содержимого в резервуарах. Показано, что на точностные характеристики такого алгоритма оценки расстояния влияет ПАМ. В зависимости от глубины ПАМ погрешность измерения расстояния может быть уменьшена примерно на порядок.

Анализ приведенных выше результатов позволяет сделать вывод о теоретическом обобщении и решении в рамках диссертационной работы крупной научно-технической проблемы, направленной на повышение качества функционирования радиотехнических и радиолокационных систем, позволяющей повысить достоверность принятия решения при распознавании случайных сигналов на фоне помех, расширить области применения РД ЧМ при сохранении их точностных характеристик при воздействии помех, имеющая важное хозяйственное значение.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Паршин, Валерий Степанович, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Cooley J.W., Tuckey J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series // Math. Comput, 1965, v. 19, April, p. 297-301.

2. Рабинер Jl., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Пер. с англ. Под ред. Ю. И. Александрова. М.:, Мир, 1978 - 848 с.

3. Оппенгейм А. В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. М., Мир.: 1979,- 416 с.

4. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. М.: Мир, 1985,-248 с.

5. Макклеллан Дж., Рейдер Ч. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. М.: Мир, 1983,-264 с.

6. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989, -442 с.

7. Лабунец В.Г. Алгебраическая теория сигналов и систем. Цифровая обработка сигналов. Красноярск, 1984,- 247 с.

8. Крот A.M., Минервина Е.Б. Быстрые алгоритмы и программы цифровой спек-

тральной обработки сигналов и изображений. Минск, Навука i тэхшка, 1995, -408 с.

9. Харкевич A.A.. Спектры и анализ. М.: Физматгиз, 1962, - 176 с.

10. Железнов H.A. Вопросы спектрально - корреляционной теории нестационарных сигналов // Радиотехника и электроника. - 1959. - Т .3 .- № 3. - С . 358-353.

11. Ибрагимов И.А.. Об оценке спектральной функции стационарного гауссовского процесса // Теория вероятностей и ее применение. - 1 963. - Т .8. - № 4, - С . 22-34.

12. Пугачев B.C.. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962, - 883 с.

13. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч 2. Случайные поля. - М.: Наука, 1978, - 464 с.

14. Омельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов. Харьков, Вища школа, Изд-во при Харьк. Ун-те, 1983, - 156 с.

15. Свешников A.A.. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968,-464 с.

16. Алексеев В.Г.. Некоторые практические рекомендации по спектральному анализу гауссовских стационарных процессов // Проблемы передачи информации.-1973.-Т.9.- №4.-С. 42-48.

17. Алексеев В.Г. О выборе спектрального окна при оценке спектра гауссовского стационарного случайного процесса// Проблемы передачи информации. - 1971.

- Т.7. - № 4. - С . 45-54.

18. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980, -536 с.

19. Грибанов Ю.И., Мальков В.Л.. Выборочные характеристики спектральных характеристик случайных процессов. - М .: Энергия, - 1978, - 320 с.

20. Грибанов Ю.И., Мальков B.JI. Спектральных анализ случайных процессов. -М .: Энергия, 1974,- 240 с.

21. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательности событий. М.: Мир, 1969,-312 с.

22. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз, 1963 г.-400 с.

23. Хеннан Э. Анализ временных рядов. Пер. с англ. Под ред. Ю.А.Розанова. М.:

Наука, 1964, - 448 с.

24. Бендат Дж. Основы теории случайных шумов и ее применение. М.: Наука, 1965,

- 464 с.

25. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. М.: И.Л., 1960, - 468 с.

26. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Т 1. Пер. с англ: - М.: Мир, 1971.-316 с.

27. Харкевич A.A. Опознавание образов // Радиотехника. - 1959. - Т. 14. - № 5. с. 3 -9.

28. Харкевич A.A. О выборе признаков при машинном опознавании // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1963. - № 2.

29. Горелик А.JI, Скрипкин В.А. Построение систем распознавания. - М.: Сов. радио, 1974,-224 с.

30. Горелик А.Л, Скрипкин В.А. Методы распознавания. - М.: Высшая школа, 1984, - 208 с.

31. Миленький A.B. Классификация сигналов в условиях неопределенности. - М.: Сов. радио, 1975, - 328 с.

32. Вапник В.Н., Червоненкис А.Я. Теория распознавания образов (статистические проблемы обучения). - М.: Наука, 1974, - 416 с.

33. Дуда Р., П. Харта П. Распознавание образов и анализ сцен: пер. с англ. под ред. В.Л. Стефанюка. - М.: Мир, 1976, - 511 с.

34. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. Пер. с англ. под ред. A.A. Дорофеюка. - М.: Наука, 1979, - 367 с.

35. Патрик Э. Основы теории распознавания образов: пер. с англ. под ред. Б.Р. Левина. - М.: Сов. радио, 1980, - 408 с.

36. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Сов. радио, 1974 - 1976, кн. 1-3. - кн.1 - 552 е., кн.2 - 392 е., кн.З - 288 с.

37. Фомин Я.А., Тарловский Г.Р. Распознавание нормальных совокупностей с неизвестными и разными средними и дисперсиями // Проблемы передачи информации. - 1981. - Т. 17, вып. 1.- С. 43-49.

38. Фомин Я.А., Тарловский Г.Р., Савич A.B. Распознавание многомерных нормальных совокупностей с неизвестными векторами средних и ковариационной матрицей // Радиотехника и электроника. - 1985. - Т.30. - № 2. - С. 402-404.

39. Фомин Я.А., Тарловский Г.Р. Статистическая теория распознавания образов. -М.: Радио и связь, 1986, - 264 с.

40. Фомин Я.А., Савич A.B. Оптимизация системы распознавания многомерных

нормальных совокупностей // Радиотехника. - 1985. - Т. 40. - № 12. - С. 811.

41. Фомин Я.А., Савич A.B. Оптимизация временных параметров системы распо-

знавания одномерных нормальных совокупностей // Радиотехника. - 1984. -Т.39.- № 11.-С. 28-31.

42. Леман Э. Проверка статистических гипотез: пер. с англ. под ред. Ю.В. Прохорова. - М .: Наука, 1979, - 408 с.

43. Гренандер У. Лекции по теории образов: Пер. с англ. под ред. Ю.И. Журавлева. -М.: Мир, 1979, Т.1.-384 с.

44. Омельченко В.А. Распознавание сигналов по спектру мощности в оптимальном базисе Карунена - Лоэва // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 1980. - Т. 23. - № 12. - С.11-17.

45. Омельченко В.А., Матевицкий Е.О. Распознавание сигналов по спектру в собственном базисе при первичных признаках Виленкина - Крестенсона // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 1979. - Т. 22. - №9. - С.52-55.

46. Омельченко В.А., Матевицкий Е.О. Спектрально - статистический метод распознавания сигналов // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 1977. - Т. 20. - №5. - С.99 - 101.

47. Омельченко В.А., Матевицкий Е.О., Балабанов В.В., Безрук В.М. Распознавание случайных сигналов по спектру // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 1979. - Т. 22. -№12.-С. 16-22.

48. Гусинская Г.В. Распознавание случайных сигналов по спектральным коэффициентам Уолша и Хаара // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. - 1988. - Т.31. - № 7. -С. 13-18.

49. Рог А.И., Сирота A.A. Исследование декоррелирующих свойств дискретных спектральных преобразований при многоальтернативном распознавании сигналов на фоне коррелированных шумов // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. - 1983. - Т. 26.-№3.-С. 45-49.

50. Апокорин Д.С. Асимптотическое поведение вероятностей ошибок первого и второго рода при проверке гипотез о спектре гауссовского стационарного процесса // Проблемы передачи информации. - 1966. - Т.2. - № 3. - С . 45-54.

51. Рубичев H.A. Спектральные критерии принадлежности наблюдаемых реализаций одному случайному процессу // Радиотехника и электроника. - 1978. -Т.23. -№ 2. - С. 402-404.

52. Сенин А.Г. Распознавание случайных процессов. - Новосибирск: Наука, Сибир-

ское отделение, 1974, - 76 с.

53. Геппенер В.В., Назаров В.Б. Алгоритмы распознавания при наличии помех //

Автометрия. - 1978. - № 6. - С . 24-30.

54. Федоров Г.С., Филимонов Р.П. Оптимальность и относительная эффективность некоторых инвариантных критериев в спектральном пространстве // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 1982. - Т. 25. - №1. - С. 25-31.

55. Савченко В.В. Различение случайных сигналов в частотной области // Радиотехника и электроника. - 1997. - Т.42. - № 4. - С. 426-430.

56. Гиголо Л.А. Распознавание сигналов по спектру со сложными спектрами при изменении его масштаба // Радиотехника и электроника. - 2003. - Т.48. - № 7. — С. 810-817.

57. Певцов Г.В. Колисниченко Д.А. Синтез алгоритмов многоальтернативного распознавания образов, заданных сложными эталонными описаниями, при наличии класса неизвестных объектов. // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. - 2005. - Т. 48. -№12.-С. 27-31.

58. Певцов Г.В. Синтез байесовских алгоритмов многоальтернативного распознавания образов, заданных сложными эталонными описаниями. // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. - 2003. -№1. - С.58-63.

59. Певцов Г.В., Лупандин В.А. Синтез алгоритмов многоальтернативного распознавания образов на основе проверки сложных статистических гипотез по критерию максимума апостериорной вероятности. // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. - 2001. - №11. - С.77-80.

60. Перов А.И. Методы и алгоритмы оптимального приема сигналов в аппаратуре потребителей спутниковых радионавигационных систем.: учеб. пособие для вузов. М.: Радиотехника, 2012, - 240 с.

61. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. -М.: Сов. радио, 1978, - 320 с.

62. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. - М .: Радио и связь, 1983, - 320 с.

63. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Радио и связь, 1983, - 624 с.

64. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. - М.: Сов. радио, 1978, - 296 с.

65. Патюков В. Г., Чмых М.К. Оптимальный алгоритм измерения частоты // Известия Вузов СССР. Приборостроение. - 1976. - Т. 19. - № 4. - С.21-29.

66. Паршин Б.В. Методическая погрешность дискретного преобразования Фурье

при спектральном анализе сигналов // Техника средств связи. Серия "Техника проводной связи". - 1987. - Вып. 3. - С. 109 -113.

67. Куликов Е.И. Методы измерения случайных процессов. - М.: Радио и связь, 1986,-272 с.

68. Моржаков А.А. Оценка частоты узкополосного сигнала // Радиотехника. - 1988. -Т.43.- № 10.-с. 41-43.

69. Ярхо Т.А. Определение положения пика спектральной компоненты при быстром преобразовании Фурье // Радиотехника. - Харьков. -1989. - вып.90. - С. 6-11.

70. Пискорж В.В. Цифровой алгоритм измерения частоты и фазы неизвестного сигнала // Радиотехника. - 1991. - Т.46. - № 10. - С. 75-76.

71. Иванов Ю.Е. О наивысшей точности спектрального оценивания гармонических сигналов дискретным преобразованием Фурье // Проблемы управления и информатики. - 1998. - № 2. - С. 102.

72. Гаврилов В.Л., Сизов В.П. Оценивание параметров гармонического сигнала на ограниченном времени наблюдения // Радиотехника. - 1998. - Т.53. - № 11. -С. 67-70.

73. Гринев С.Н., Игнатьев В.К., Никитин А.В. Оценивание мгновенной частоты радиосигналов по текущему спектру // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2003 - Том 6. - №4 - С. 63-72.

74. Ханян Г.С. Аналитическое исследование и оценка погрешностей в задаче измерения параметров гармонического сигнала методом преобразования Фурье // Измерительная техника. - 2004. - № 8. - С. 3-10.

75. Кошелев В.И., Горкин В.Н. Повышение точности оценки центральной частоты узкополосного процесса в процессоре БПФ // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. -2004. - Т. 47. - №1. - С. 67-73.

76. Лабутин С.А., Пугин M.B. Помехоустойчивость и быстродействие методов измерения частоты по короткой реализации гармонического сигнала // Измерительная техника. - 1998. - № 9. - С. 34-77.

77. Зандер Ф.В. Алгоритмы оптимальной оценки параметров радиосигнала при времени измерения менее периода и некратном периоду с привязкой результата к началу измерительного интервала // Измерительная техника. - 2003. - №2. -43-50.

78. Хэррис Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИР. -1978. - Т. 66. - №1. - С. 60-96.

79. Дворкович A.B. Ещё об одном методе расчёта эффективных оконных функций, используемых при гармоническом анализе с помощью ДПФ // Цифровая обработка сигналов. - 2001.- №3.-С. 13-18.

80. Марпл С.П.-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. / Пер. с англ. под ред. О.И. Хабарова и Г.А. Сидоровой. - М.: Мир, 1990. - 584 с.

81. Свентковский P.A. Сверхразрешение сигналов: возможности, ограничения, не-авторегрессионный подход // Радиотехника и электроника. - 1998. - Т. 43. - № 3,- С. 288-292.

82. Коновалов Г.В., Тарасенко Е.М. Импульсные случайные процессы в электросвязи. - М.: Связь, 1973, - 304 с.

83. Komarov I.V., Smolskiy S.M., Fundamentals of Short-Range FM Radar.- Artech House Publishers; Norwood, MA. 2003. - 289 p.

84. Комаров И.В., Смольский C.M. От систем вооружения к прецизионным измерителям малых перемещений (из опыта научных исследований кафедры Радиоприемных устройств МЭИ) // «Современная радиоэлектроника в ретроспективе идей В.А. Котельникова»: Доклад на междун. Конфер. - М.: МЭИ, 2003. -С.90-92.

85. Остапенков П.С., Смольский С.М. Цифровая обработка сигналов высокоточного радиолокационного измерителя сверхмалых перемещений // Цифровая обработка сигналов и ее применение. Труды Российского НТО радиотехники, электро-

ники и связи им. A.C. Попова: тез. докл. конф. - М.: 2004. Вып. - 6, Т. 2. М., 2004. - С.207-209.

86. Езерский В.В. Методы повышения точности измерения расстояния в радиодальномере с частотной модуляцией для промышленных систем ближней радиолокации. Дис. на соискание ученой степени доктора техн. наук. - Рязань. - 2005, -449 с.

87. Давыдочкин В.М., Езерский В.В. Минимизация погрешности измерения расстояния при цифровой обработке сигналов в ближней частотной радиолокации // Цифровая обработка сигналов. - 2005. - № 3. - С. 22-27.

88. Давыдочкин В.М., Езерский В.В. Методическая погрешность частотного дальномера при спектральной обработке сигнала биений // Прикладная Радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития: тез. докл. 2-го межд. Радиоэлектронного Форума МРФ - 2005. - Харьков, 2005. - С. 274-277.

89. Давыдочкин В.М., Езерский В.В. Минимизация погрешности измерения расстояния в ближней частотной радиолокации // Прикладная Радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития: тез. докл. 2-го межд. Радиоэлектронного Форума МРФ - 2005. - Харьков, 2005. - С. 266-269.

90. Езерский В.В., Давыдочкин В.М. Оптимизация спектральной обработки сигнала прецизионного датчика расстояния на основе частотного дальномера. // Измерительная техника. - 2005. - № 2. - С. 21-25.

91. Brumbi D. Measuring Process and storage tank level with radar technology // Record of the IEEE 1995 Int. Radar Conference. Alexandria, Virginia, USA. Record of the IEEE. - 1995. - P. 256-260.

92. Bruimbi D. Low power FMCW radar system for level gauging //2000 IEEE MTT-S International microwave symposium digest. - 2000. - vol. 3P. - 1559-1562.

93. Кириллов C.H., Соколов М.Ю., Стукалов Д.Н. Оптимальная весовая обработка при спектральном анализе сигналов. // Радиотехника. - 1996. - № 6. - С. 36-38.

94. Атаянц Б.А., Паршин B.C. Статистические характеристики оценок спектра группы случайных импульсов. Деп. В ВИНИТИ 16 авг. 1982 г., № 4506 - 82 (Представлено ред. коллегией журнала Изв. вузов СССР. Радиофизика).

95. Атаянц Б.А., Паршин B.C. Статистические характеристики оценок спектров импульсных случайных процессов // Измерение и анализ случайной вибрации: тез. докл. - М.: Центральный НИИ информации и технико-экономических исследований, 1982.-С.87- 88.

96. Атаянц Б.А., Паршин B.C. Распознавание стационарных сигналов по нормированному спектру мощности. // Известия вузов СССР. Радиоэлектроника. - 1983. - Т.26. - № 11.-С. 73-75.

97. Паршин B.C. Оценка влияния импульсных помех на распознавание стационарных сигналов в спектральной области. // Радиоэлектроника. - 1999. - Т.42. - № З.-С. 44-50.

98. Паршин B.C., Багдагюлян A.A. Аппроксимация плотности вероятностей взвешенной суммы экспоненциально распределенных величин. // Методы и устройства обработки сигналов в радиотехнических системах. Вып. 2 - Рязань: -РГРТА, 2003.-С. 15-18.

99. Паршин B.C. Статистические характеристики оценки спектра последовательности импульсов, модулированных по положению // Вестник РГРТА. - Рязань, 2005.-Вып. 16.-С. 61-65.

100. Паршин B.C., Лавров A.M. Влияние коррелированности амплитуды и времени появления импульсов на форму спектра мощности импульсной последовательности // Научная сессия, посвященная Дню радио. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им А.С Попова: тез. докл. конф. - М., 2006. -Вып. 61. - Т.1.- С.107-109.

101. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. 3-е изд., перераб. Т.1. Линейные преобразования. - М.: Гелиос АРВ, 2006, - 464 с.

102. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов / Пер. с англ. под ред. Г.Я. Мирского. - М.: Мир, 1974, - 468 с.

103. Рытов С. М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. 4.2. Случайные поля. - М.: Наука, 1978, - 464 с.

104. Малахов А.И. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. - М.: Сов. Радио, 1978, - 376 с.

105. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971,- 1108 с.

106. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы - М.: Радио и связь, 1986, - 512 с.

107. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. - М.: Мир, 1969,- 395 с.

108. Поздняк С.И., Мелитицкий В.А. Введение в статистическую теорию поляризации радиоволн. - М.: Сов. радио, 1974, - 480 с.

109. Исследование обобщённой модели радиосигнала, отражённого от протяженного объекта / Атаянц Б.А., Карпов А.Ф., Паршин B.C. и др. // Моделирование в задачах радиолокации и интроскопии неоднородных сред: тез. докл. Республиканской НТК. - Свердловск, 1983. - С.56.

110. Атаянц Б.А., Езерский В.В., Карпов А.Ф. Исследование обобщённой вероятностной модели радиосигнала // Изв. Вузов СССР. Радиоэлектроника. - 1988. --Т.31,- №4.- С. 43-49.

111. Атаянц Б.А., Езерский В.В. Об аппроксимации законов распределения оги-

бающей радиосигнала // Радиотехника и электроника. - 1979. - Т. 24, № 2. -С. 309-315.

112. Уилкс С. Математическая статистика. - М.: Наука, 1967, - 632 с.

113. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. - М.: Наука, 1971, -576 с.

114. Ширман Я. Д., Манжос В.Н. Техника и теория обработки радиолокационной информации на фоне помех. - М.: Радио и связь, 1981, - 416 с.

115. Небабин В.Г., Сергеев В.В. Методы и техника радиолокационного распознавания. - М.: Радио и связь, 1984, - 152 с.

116. A.c. 1446618 СССР, МКИ G06F 7/58. Генератор случайных сигналов / B.C. Паршин, В.Г. Барабанов; заявл. 08.07.87; опубл. 23.12.88. Бюл. № 47.

117. Фельдман Ю.И. Плотность вероятности случайного процесса при весовом квадратичном суммировании // Радиотехника. - 1979. - Т. 34. - №4. - С. 7174.

118. Закс Ш. Теория статистических выводов. - М.: Мир, 1975, - 776 с.

119. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Сов. Радио, 1966. - 678 с.

120. Вешкурцев Ю.М. Статистическая оценка точности анализатора флюктуаций с контуром в цепи формирования опорного колебания // Радиотехника и электроника. - 1980. - Т. 25. - №5. -С. 981-989.

121. Вешкурцев Ю.М., Лукиных О.Г. Экспериментальное изучение анализатора характеристической функции // Радиоэлектроника. Изв. высш. учеб. заведений.

- 1986. - Т.29. -№ 1.-С. 89-91

122. Гольберг Н.И. Анализатор характеристической функции случайной фазы // -

ПТЭ. - 1966. - №3. - С. 115-120.

123. Паршин B.C. Оценивание характеристических функций параметров импульсных случайных процессов // Радиоэлектроника. Изв. высш. учебн. заведений. -1989. - Т.32. - №3. - С. 53-55. (

124. A.c. 1388999 СССР, МКИ G06F 15/36. Устройство для определения характеристической функции / B.C. Паршин; заявл. 24.06.1986; опубл. 15.04.1988. Бюл. № 14.

125. A.c. 1821752 СССР, МКИ G01R 23/00. Спектроанализатор / Б.А Атаянц, B.C. Паршин, М.В. Кулакова; заявл. 12.06.1990; опубл. 15.06.1993. Бюл. № 22.

126. Паршин B.C., Кулакова М.В. Цифровой метод измерения спектра импульсных последовательностей // Измерение параметров формы и спектра радиотехнических сигналов: тез. докл. Всесоюзной научн.-техн. конф. Харьков, 1989. С. 103104.

127. Паршин B.C., Кулакова М.В. Сравнение двух алгоритмов оценки спектров импульсных последовательностей / Методы и устройства обработки сигналов в радиотехнических системах. - Рязань, РРТИ, - 1990. - С. 95-98.

128. Тихонов В.И. Выбросы случайных процессов.- М.: Наука, 1970. - 392 с.

129. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции в 3-х т.: пер. с англ. -М.: Сов. радио, 1972-1977. - Т.1. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции. - М.: Сов. радио, 1972, - 744 с.

130. Паршин B.C. Спектральные алгоритмы распознавания гауссовых сигналов // Радиоэлектронные устройства. - Рязань: РРТИ, 1981. - С. 37-39.

131. A.c. 928374 СССР, МКИ G06G 7/52. Устройство для распознавания случайных сигналов / Б.А. Атаянц, B.C. Паршин; заявл. 11.07.1980; опубл. 15.05.1982. Бюл. № 18.

132. Атаянц Б.А., Паршин B.C. Распознавание случайных сигналов по спектральным моментам // Изв. вузов и ССО СССР. Радиоэлектроника. - 1983. - Т. 26. -№ 12,- С. 55-57.

133. A.c. 1013987 СССР, МКИ G06K 9/00. Устройство для распознавания случайных сигналов / Б.А. Атаянц, B.C. Паршин; заявл. 23.10.1982; опубл. 23.04.1983. Бюл. № 15.

134. Атаянц Б.А., Паршин B.C. Оценка качества функционирования технических систем по спектру наблюдений // Статистические методы исследования процесса функционирования сложных технических систем: тез. докл. Всесоюзного научно-практ. семинара. Часть 1. - М., 1983. - С.140-141.

134. Паршин B.C., Козминых С.Е. Оценивание спектра мощности стационарных сигналов с пропусками наблюдений / Радиоэлектронные системы и устройства. - Рязань: РГРТА, 1999. - С. 60-63.

136. Паршин B.C., Комаров A.A. Оценка эффективности инвариантного решающего правила в спектральном пространстве / Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей. - Киев, - УМК ВО, 1991. - С. 155-159.

137. Паршин B.C., Комаров A.A. Распознавание случайных сигналов по спектру наблюдений // Статистический синтез и анализ информационных систем: тез. докл. секции «Теория информации» Российского научн.-техн. общества радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова - Рязань: РРТИ, 1994, - С.55-56.

138. Паршин B.C., Егоров A.B. Оценка влияния аддитивных импульсных помех на распознавание стационарных сигналов // Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и сим-

вольной информации: тез. докл. 3 Международной научн.-техн. конф. - Курск: КГТИ, 1997. -С.67- 69.

139. Егоров A.B., Паршин B.C. Оценка влияния объема обучающей выборки на вероятность распознавания стационарных процессов в спектральной области // Вестник РГРТА. - Вып. 7. - Рязань. - 2000. - С. 14-16.

140. Паршин B.C., Егоров A.B. Определение объема обучающей выборки при распознавании случайных сигналов по спектру // Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества: тез. докл. научн.-техн. международной конф. - М.: МГТУ ГА, 2003. - С.77.

141. Егоров A.B., Паршин B.C. Оценка вероятности правильного распознавания стационарных случайных процессов в спектральной области при ограниченном объеме обучающей выборки // Научный вестник МГТУ ГА. - Серия " Радиофизика и радиотехника". - № 76(3). - М.: МГТУ ГА, 2004. - С. 61- 69.

142. Паршин B.C., Егоров A.B. Минимизация вероятности ошибки решения при распознавании стационарных случайных процессов в условиях воздействия импульсных помех. // Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации: тез. докл. 7 международной научн.-техн. конф. - Курск: КГТИ, 2005. - С. 4950.

143. Егоров A.B., Паршин B.C. Распознавание стационарных сигналов с пропусками наблюдений // Научная сессия, посвященная Дню радио. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи: тез. докл. конф. - М., 2005. - Вып. 60.- Т.2.-С. 62-6 5.

144. Егоров A.B., Паршин B.C. Оценка влияния объема обучающей выборки на ве-

роятности распознавания стационарных случайных процессов в спектральной области / Радиоэлектроника. Изв. высш. учебн. заведений. - 2005. - № 2. - С. 55-61.

145. Егоров A.B., Паршин B.C. Методы адаптации алгоритма принятия решений в спектральной области к пропускам наблюдений // Проблемы передачи и обра-

ботки информации в сетях и системах телекоммуникаций: тез. докл. 14 международной конф. - Рязань: РГРТА, 2005. - С. 55 - 56.

146. Егоров A.B., Паршин B.C. Распознавание стационарных случайных процессов в условиях пропусков наблюдений // Вестник РГРТА. - Рязань. -2006. - Вып. 17.-С. 61-65.

147. Основы радиоуправления. Под ред. В. А. Вейцеля и В. Н. Типугина. Учебное

пособие для вузов. - М.: «Сов. радио», 1973, - 464 с.

148. Репин В. Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. - M.: Сов. радио, 1977, -432 с.

149. Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев. Пер. с англ. / Под ред. JI. Н.

Болыпева. - М.: Наука, 1971, - 375 с.

150. Прокофьев В.Н. Инвариантное обнаружение одного из M ортогональных сигналов в белом гауссовом шуме с неизвестной мощностью // Радиотехника. -1977. - Т. 32. - № 7. - С. 22-27.

151. Прокофьев В.Н. Инвариантный алгоритм приема сигналов на фоне белого шума и сосредоточенных помех // Радиотехника. - 1979. - Т. 34. - № 11. - С. 7073.

152. A.c. 1022188 СССР, МКИ G06K 9/46. Устройство для распознавания импульсных случайных сигналов / Б.А. Атаянц, B.C. Паршин; заявл. 23.02.1982; опубл. 07.06.1983. Бюл. №21.

153. Атаянц Б.А., Езерский В.В. Распознавание случайных сигналов, описываемых бета распределением // Радиотехника и электроника. - 1982. - Т.27. - № 11.-С. 2256- 2258.

154. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. Учеб. пособ. для ВУЗов. - М.: Радио и связь, - 1992, - 304 с.

155. Алексеев В.Г., Савицкий Ю.А. Об оценке спектра случайного процесса по его реализации с пропусками // Проблемы передачи информации. - 1973. - Т.9. -№1. - С. 66-72.

156. Конончук JI.П. К вопросу о статистическом спектральном анализе стационар-

ного процесса со случайными пропусками наблюдений // В Межведомственном научн. сб. «Теория вероятностей и математическая статистика». Вып. 2. -Киев, 1970,-С. 121-132.

157. Литтл Р. Дж. А., Рубин Д.Б. Статистический анализ данных с пропусками. -М.: Финансы и статистика, 1991, - 188 с.

158. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов: пер. с англ. -М.: Мир, 1974,-464 с.

159. Егоров A.B. Процедуры обучения алгоритмов распознавания стационарных

случайных сигналов в радиотехнических системах в условиях априорной параметрической неопределенности. Дис. на соискание ученой степени кандидата техн. наук, Рязань, - 2006, - 260 с.

160. Алексеев В. Г. Об оценках некоторых функционалов от спектральной плотности гауссовских случайных процессов // Теория вероятности и её приложения. - 1980, -№. 3.

161. Красненко Н.П., Фёдоров В.А. Оценка спектральных моментов по усечённой реализации // Радиоэлектроника. Изв. высш. учеб. заведений. - 1978. - №7. - С. 30- 34.

162. Красненко Н.П., Федоров В.А. Оценка спектральных моментов стационарного случайного процесса на фоне шума // Радиоэлектроника. Изв. высш. учебн. заведений. - 1980. - №3. - С. 72-76.

163. Хименко В.И. Оценка спектральных моментных функций узкополосного слу-

чайного процесса с использованием предварительного нелинейного преобразования исследуемого процесса // Радиотехника и электроника. - 1976. - Т. 21,-№1.

164. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. - М.:

Сов. Радио, 1971,-326 с.

165. Паршин B.C., Комаров A.A. Распознавание многомерных случайных сигналов в спектральном пространстве // Повышение эффективности средств обработки

информации на базе математического и машинного моделирования: тез. докл. 2 Всесоюзной научн.-техн. конф. - Тамбов: ВВАИУ, 1991. - С. 102-103.

166. Паршин B.C., Комаров A.A. Алгоритмы распознавания многомерных стационарных сигналов в спектральной области // Методы представления и обработка случайных сигналов и полей: тез. докл. 2 всесоюзной научн.-техн. конф. (г. Туапсе). - Харьков: ХИРЭ, 1991. - С. 77 - 78.

167. Паршин B.C., Комаров A.A., Егоров A.B. Алгоритмы распознавания многомерных сигналов // Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей: тез. докл. Украинской школы-семинара. - Черкассы: ЧФКПИ, 1991. - С. 108.

168. Жаднов В.А., Егоров A.B., Паршин B.C. Оценка эффективности распознавания электроэнцефалограмм в спектральной области // Вестник РГРТА. - Вып.2. -Рязань, 1997.-С. 12-15.

169. Паршин B.C. Егоров A.B., Жаднов В.А. Распознавание ЭЭГ в спектральной области // Медицинские технологии на рубеже веков: тез. докл. межд. научн.-техн. конф. - Тула, 1998. - С. 101.

170. Паршин B.C., Егоров A.B. Распознавание векторных случайных процессов в спектральной области // Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации: тез. докл. 2 межд. научн.-техн. конф. - Курск: КГТИ, 1995. - С.58 - 60.

171. Паршин B.C. Распознавание векторных случайных процессов в спектральной области // Вестник РГРТА. - Вып. 12. - Рязань, 2003. - С. 14-16.

172. Goodman N. R. Statistical analysis based on certain multivariate complex Gaussian distribution (an introduction) / Ann. Math. Statiist. - 1963, t.34, - S.152-177.

173. Паршин B.C. Распознавание пространственно-временных сигналов в спектральной области // Современные научно-технические проблемы гражданской авиации: тез. докл. Международной научн.-техн. конф. - М.: МГТУ ГА, 1996. -С. 46.

174. Паршин B.C. Оценка эффективности распознавания пространственно-временных сигналов в спектральной области // Автометрия. - 1997. - № 4. -80-83 с.

175. A.c. № 1488840 СССР, МКИ G06F 15/36. Устройство для распознавания случайных сигналов / B.C. Паршин, C.B. Кривельский; заявл. 30.01.1987; опубл. 23.06.1989. Бюл. № 23.

176. A.c. 1667117 СССР, МКИ G06K 9/00. Устройство для распознавания N-мерных сигналов / B.C. Паршин, М.В. Кулакова; заявл. 10.05.1989; опубл. 30.07.1991. Бюл. №28.

177. Егоров A.B., Лавров A.M., Паршин B.C. Оценка эффективности распознавания векторных случайных процессов при их бинарном квантовании // Вестник РГРТА. - Вып. 5. - Рязань, 1998. - С. 14-16.

178. Егоров A.B., Лавров A.M., Паршин B.C. Распознавание векторных случайных процессов при их бинарном квантовании // Радиоэлектроника. Изв. высш. учебн. заведений. - 2000. - № 10. - С. 49 -54.

179. Егоров A.B., Паршин B.C. Быстрые алгоритмы распознавания стационарных векторных случайных процессов. // Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития: тез. докл. 2 международного радиоэлектронного форума.- Харьков: АНПРЭ.- ХНУРЭ, 2005. - С. 358-361.

180. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Изд. 3-е. М.: Наука, 1964, - 576 с.

181. Кендал М. Дж., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966, - 588 с.

182. Егоров A.B., Журин С.А. Распознавание векторных случайных процессой в условиях ограниченного разрешения цифрового представления // Вестник РГРТА. - Вып 5. -2005. - С 23-27.

183. Патент 2009541 РФ, МКИ G06K 9/00. Многоканальное устройство для распознавания случайных сигналов / B.C. Паршин, М.В. Кулакова; заявл. 10.12.1990; опубл. 15.03.1994. Бюл. № 5.

184. Виницкий A.C. Очерк основ радиолокации при непрерывном излучении радиоволн. - М.: Советское радио, 1961, - 495 с.

185. Богомолов А.Ф. Основы радиолокации. - М.: Советское радио, 1954, - 302 с.

186. Сайбель А.Г. К теории частотных радиовысотомеров. Труды МАИ. - Оборон-гиз, 1957,-384 с.

187. Сколник М. Введение в технику радиолокационных систем. - М.: Мир, 1965, -747 с.

188. Атаянц Б.А., Паршин B.C. Измерение частоты гармонического сигнала, при-

нимаемого на фоне аддитивного белого шума, по его короткой реализации // Измерительная техника. - 2004. - № 6. - 42-46.

189. Паршин B.C. Оценка максимального правдоподобия дальности до отражающей поверхности с помощью радиодальномера с частотно-модулированным сигналом // Цифровая обработка сигналов и ее применение. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова: тез. докл. конф. -М., 2006. - Вып. 8.- Т.2.- С. 53-539.

190. Паршин В. С., Багдагюлян А. А. Использование метода максимального правдоподобия для повышения точности измерения расстояния дальномером с частотной модуляцией зондирующего сигнала. // Измерительная техника. 2006. № 10. С. 22-26.

191. Паршин B.C., Багдагюлян A.A. Измерение расстояния до уровня материала в резервуаре при наличии мешающих отражений, превышающих по интенсивности полезный сигнал // Цифровая обработка сигналов и ее применение. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова: тез. докл. конф. - М., 2006. - Вып. 8. - Т. 1. - С.306 - 308.

192. Паршин B.C. Следящий измеритель частоты сигнала биений радиодальномера с частотной модуляцией излучаемого сигнала // Цифровая обработка сигналов и ее применение. - Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова. - тез. докл. конф. - М., 2008. - Вып. 10. - Т. 1. - С. 395398.

193. Березин JT.B., Вейцель В.А. Теория и проектирование радиосистем. Под ред.

В.Н. Типугина: учеб. пособие. - М.: «Сов. Радио», 1977, - 448с.

194. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, - 1976.

195. Паршин B.C., Багдагюлян A.A. Сравнение эффективности функций различия при оценке несущей частоты радиоимпульса // «ИКИ-2003»: тез. докл. Международной научн.-техн. конф. - Барнаул, 2003. - С. 50-55.

196. Сравнительный анализ помехоустойчивости алгоритмов измерения дальности 4M дальномером в спектральной области / Паршин B.C., Езерский В.В., Баранов И.В. и др. // Вестник РГРТА. - Вып. 14. - Рязань, 2004. - С. 43-48.

197. Паршин B.C., Гусев B.C. Влияние шумовой помехи на точность оценки центральной частоты спектра узкополосного сигнала // Измерительная техника. -2005.-№7. -С. 56-59.

198. Паршин B.C., Езерский В.В. Оценка средней частоты заполнения радиоимпульса, принимаемого на фоне нормального шума // Научный вестник МГТУ ГА. Серия " Радиофизика и радиотехника". - № 87(5). - М.: МГТУ ГА, 2005. - С.61-69.

199. Паршин B.C., Багдагюлян A.A., Гусев B.C. Влияние аддитивного белого шума на точность измерения частоты в спектральной области // Физика и техническое приложение волновых процессов: тез. докл. 3 международной научн.-техн. конф. - Волгоград: НИ ИИД «Авторское перо», 2004. - С. 38-41.

200. Паршин B.C., Гусев B.C. Анализ влияния шумовой помехи на точность оценки центральной частоты спектра узкополосного сигнала // Научная сессия, посвященная Дню радио. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи: тез. докл. конф. -М., 2005. - Вып. 60.-Т.1.-С. 261-265.

201. Паршин B.C., Давыдочкин В.М., Багдагюлян А. А. Уменьшение дискретной ошибки частотно-модулированного дальномера адаптивным диапазоном модуляции // Научная сессия, посвященная Дню радио. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи: тез. докл. конф. - М., 2003. - Вып. 58-Т.1.-С.101-103.

202. Ng S.S. A technique for spectral component location within a FFT resolution cell //

Proc IEEE Int. Conf.Acoust., Speech and Signal Process. San Diiego, California.

19-21 March. New York? 1984. Vol. 3 P.38 8/1 - 38. 8/3.

203. Атаянц Б.А., Езерский В.В., Карпов А.Ф. Распределение нормированной мощности сигнала // Радиотехника и электроника. - 1983. - Т. 28. - №9. - С. 18641868.

204. Атаянц Б.А., Езерский В.В., Смольский С.М. и др. Проблемы шумов и нелинейности модуляционной характеристики в прецезионных промышленных системах ближней частотной радиолокации // Успехи современной радиоэлектроники. - 2008. - № 3. - С. 3-53.

205. Patent 5504490 USA, Int. CI. GO IS 13/08/ Radar method and device for the meas-

urement of distance / J.-C Brendle, P. Cornic, P. Green. № 14594; Filed - Mar.31, Date of patent - Apr.2.1996.

206. Паршин B.C., Бахурин C.A. Измерение частоты заполнения радиоимпульса,

принимаемого на фоне мешающих отражений // Вестник РГРТА. - Вып. 11.-Рязань, 2003.-С. 34-37.

207. Паршин B.C., Багдагюлян A.A. Повышение точностных характеристик 4M дальномера при наличии мешающих отражений с помощью методов параметрического спектрального анализа // Вестник РГРТУ. - Вып. 16. - Рязань, 2006. - С. 46-50.

208. Паршин B.C., Давыдочкин В.М., Гусев B.C. Компенсация влияния мешающих отражений на точность измерения расстояния 4M дальномером // Цифровая обработка сигналов и ее применение. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова: тез. докл. конф. - М., - 2003. - Вып. 5. -Т.1.-С. 261-263.

209. Атаянц Б.А., Паршин B.C., Гусев B.C. Измерение частоты заполнения радиоимпульса, принимаемого совместно с помеховым сигналом, методами распознавания // Научная сессия, посвященная Дню радио. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи: тез. докл. конф. - М., - 2003. - Вып. 58. -Т.1.-С. 234-237.

210. Патент 2244368 РФ, МКИ G01F 23/28, G01S13/08. Способ измерения уровня материала в резервуаре / Б.А. Атаянц, B.C. Паршин, В.В. Езерский; заявл. 04.03.2003; опубл. 10.01.2005. Бюл. № 1.

211. Паршин B.C., Гусев B.C. Измерение частоты радиоимпульса, принимаемого совместно с помеховым сигналом // «ИКИ-2003»: тез. докл. Международной научн.-техн. конф. - Барнаул, 2003. - С.56-60.

212. Паршин B.C., Езерский В.В., Багдагюлян A.A. Улучшение характеристик 4M дальномера при наличии мешающих отражений с помощью параметрического спектрального анализа // Цифровая обработка сигналов и ее применение. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова: тез. докл. конф. - М., 2004. - Вып. 6.- Т.1.- С. 77-80.

213. Паршин B.C., Езерский В.В. Использование алгоритмов параметрического спектрального анализа при измерении дальности с помощью радиолокационных дальномеров с частотно-модулированным сигналом // Цифровая обработка сигналов и ее применение. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова: тез. докл. конф. - М., 2005. - Вып. 7 - Т.1.- С. 234-238.

214. Паршин B.C., Багдагюлян A.A. Оценка влияния паразитной амплитудной и фазовой модуляции на точность измерения частоты при использовании метода наименьших квадратов Прони // Цифровая обработка сигналов и ее применение. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова: тез. докл. конф. -М., 2005. - Вып. 7. -Т.2.-С. 218-222.

215. Паршин B.C., Давыдочкин В.М. Измерение расстояния уровнемером с частотной модуляцией зондирующего сигнала при наличии мешающих отражений малой интенсивности // Цифровая обработка сигналов и ее применение. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова: тез. докл. конф. - М., 2006. - Вып. 8.- Т.2.- С. 530-533.

216. Паршин B.C., Багдагюлян A.A. Измерение расстояния до уровня материала в резервуаре при наличии мешающих отражений, превышающих по интенсивности полезный сигнал // Цифровая обработка сигналов и ее применение. Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова: тез. докл. конф. - М., 2006. - Вып. 8. - Т. 1. - С.306-308.

217. Паршин B.C. Следящий измеритель частоты сигнала биений дальномера с частотной модуляцией зондирующего сигнала // Физика и техническое приложение волновых процессов: тез. докл. 3 международной научн.-техн. конф. - Самара, 2008. - С.44-45.

218. Паршин B.C. Следящий измеритель частоты сигнала биений радиодальномера с частотной модуляцией излучаемого сигнала // Цифровая обработка сигналов и ее применение. - Труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова. - тез. докл. конф. - М., 2008. - Вып. 10. - Т.1. - С. 395398.

219. Патент 2410650 РФ, МКИ G01F 23/284, G01S13/34. Способ измерения уровня материала в резервуаре / Б.А. Атаянц, B.C. Паршин, В.В. Езерский; заявл. 01.11.2008; опубл. 27.01.2011. Бюл. № 3.

220. Патент 2399888 РФ, МКИ G01F 23/284, G01S13/34. Способ измерения уровня материала в резервуаре / Б.А. Атаянц, B.C. Паршин, В.В. Езерский, C.B. Ми-рошин; заявл. 26.01.2009; опубл. 20.09.2010. Бюл. № 26.

221. Паршин B.C. Повышение точности промышленных радиоволновых дальномеров при использовании для оценки частоты биений метода максимального правдоподобия // Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения: тез. докл. Российской конф. с международным участием. - М.: ИПУ РАН, 2012.-С. 204-212.

222. Атаянц Б.А., Паршин B.C., Езерский В.В., Мирошин C.B. Оценка частоты сигнала биений в сложной помеховой ситуации с учетом скорости перемещения содержимого резервуара // Радиолокация, навигация, связь: тез. докл. 18 международной конф.-Воронеж, 2012. - С. 401-407.

223. Атаянц Б.А., Езерский В.В., Паршин B.C. Повышение точности оценки частоты сигнала биений // Цифровая обработка сигналов. - 2012. - № 1.-С. 16-21.

224. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. - М.: Сов. Радио, 1978,-600 с.

225. Бакулев П.А., Степин В.М. Методы и устройства селекции движущихся целей. - М.: Радио и связь, 1986, - 288 с.

226. Kaveh М., Barabell A. J. The Statistical Perfomance of the MUSIC and the Minimum - Norm Algorithmus for Resolving Plane Waves in Noise. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process, vol. ASSP-34, pp. 331 - 341, April 1986.

227. Сертификат RU.E.29.004.A №24455. Установка поверочная УП-01 радиоволновых уровнемеров // ООО Предприятие «Контакт-1». - Рязань , № 32101-06. - 12.07.2006.

228. Патент 2207676 РФ, МКИ Н 01 Q 15/14. Плоский радиолокационный отражатель / В.М. Давыдочкин; Заявл. 24.04.2002; Опубл. 27.06.2003. Бюл. № 18.

229. Багдагюлян А.А. Алгоритмы оценки частоты сигнала биений на основе пара-

метрического спектрального анализа для дальномеров с частотной модуляцией зондирующего сигнала. Дис. на соискание ученой степени кандидата техн. наук. - Рязань, 2007, - 191 с.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

АДНО - алгоритм оценки частоты, основанный на исскуственном

увеличении периода сигнала АСИ - алгоритм оценки частоты, основанный на сплайн - интерполяции АП - алгоритм оценки частоты, основанный на использовании поправок АСП - алгоритм оценки частоты с использованием скользящих полустробов АЦП - аналоге - цифровой преобразователь БПФ - быстрое преобразование Фурье ВСП - векторный случайный процесс ВФ - весовая функция ГТИ - генератор тактовых импульсов ГРП - гармоническое разложение Писаренко ДПФ - дискретное преобразование Фурье ИП - инвариантное преобразование ИСП - импульсный случайный процесс ЛФП - логарифм функции правдоподобия ЛФОП - логарифм функции отношения правдоподобия КФ - ковариационная функция ММП - метод максимального правдоподобия МО - мешающий отражатель

МИ8Ю - алгоритм классификации множественных сигналов ПЗУ - постоянное запоминающее устройство ПАМ - паразитная амплитудная модуляция

РД ЧМ - радиодальномер с частотной модуляцией излучаемого сигнала РТС - радиотехническая система

РНМ - равномерно наиболее мощное правило проверки статистических

гипотез СБ - сигнал биений

СВО - средневзвешенная оценка частоты

СО - спектральное окно

СВЧ - сверхвысокая частота

СКО - среднеквадратическое отклонение

СП — спектральная плотность

СПА - спектральная плотность амплитуды

СФ - сигнальная функция

СПМ - спектральная плотность мощности

СПА - спектральная плотность амплитуды

ССП - стационарный случайный процесс

СС - спектральная составляющая

СХ - статистические характеристики

УП - узкополосная помеха

ХФ - характеристическая функция

ФП - функция правдоподобия

ФЧХ - фазочастотная характеристика