Численное моделирование и исследование нестационарных случайных процессов с периодическими характеристиками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Каргаполова, Нина Александровна

• Каргаполова, Нина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каргаполова, Нина Александровна

Оглавление

Введение 4 Глава 1. Неоднородные марковские последовательности с матрицей

переходных вероятностей, периодически зависящей от времени

1.1. Определения и обозначения

1.2. Основные свойства процесса

1.2.1. Распределение процесса

1.2.2. Предельное распределение процесса

1.2.3. Корреляционная функция

1.3. Свойства серий постоянных значений

1.3.1. Распределение длительности 1-серий

1.3.2. Средняя длительность и дисперсия 1-серий

1.4. Накрывающие серии

1.4.1. Определения и обозначения

1.4.2. Распределение концевых 1-серий

1.4.3. Средняя длительность концевых 1 -серий

1.4.4. Дисперсия концевых 1-серий

1.4.5. Особенности распределений концевых 1-серий

1.4.6. Свойства начальных и накрывающих 1-серий

1.5. Обобщение на случай марковских цепей с числом состояний, большим 2

Глава 2. Моделирование некоторых классов случайных процессов с

периодическими свойствами 43 2.1. Моделирование кусочно-постоянных негауссовских рядов

с колеблющейся корреляционной функцией

2.1.1. Моделирование рядов с функцией распределения,

не зависящей от времени

2.1.2. Моделирование процесса с меняющейся во времени плотностью распределения

2.2. Моделирование случайных рядов с периодической

функцией распределения на основе векторных марковских цепей

2.3. О свойствах корреляционной матрицы периодически коррелированного процесса

Глава 3. Численные модели метеорологических процессов и оценки их свойств

3.1. Оценки характеристик метеорологических процессов на основе неоднородных марковских цепей специального вида

3.2. Оценки характеристик комплексов метеорологических процессов на основе неоднородных марковских цепей специального вида

3.3. Об использовании векторных цепей Маркова при моделировании метеорологических процессов

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование и исследование нестационарных случайных процессов с периодическими характеристиками»

Введение

При решении различных прикладных задач в климатологии и метеорологии [2, 6, 7, 13, 23, 25, 27, 43, 57-59, 66], океанологии [3, 8, 45^47], гидрологии [54], агрометеорологии [11], популяционной биологии [63-65, 77], радиофизике [50], при исследовании телекоммуникационных и компьютерных сетей различного назначения [40], при изучении влияния ветровых и температурных характеристик на строительные конструкции [5], а так же в других областях науки с использованием методов статистического моделирования требуются реалистичные модели реальных процессов. Используемые модели должны адекватно описывать характерные особенности рассматриваемых процессов и должны быть согласованы с данными реальных наблюдений. Во многих задачах одной из наиболее существенных особенностей исследуемых реальных процессов является наличие у них суточного и годового хода. Таким образом, для их моделирования должны быть использованы те модели, которые позволяют строить реализации процесса, обладающие аналогичными осциллирующими свойствами. Существующие на данный момент модели негауссовских случайных процессов с осциллирующими характеристиками в большинстве случаев не позволяют проводить теоретическое исследование свойств различных характеристик моделируемого процесса. В связи с этим, разработка теоретических вероятностных моделей, а также эффективных алгоритмов моделирования негауссовских процессов с осциллирующими свойствами является актуальной научной задачей.

Цель исследования. Основными целями диссертационной работы являются разработка алгоритмов моделирования нестационарных негауссовских рядов с периодическими характеристиками, исследование их свойств, а также построение численных моделей нестационарных метеорологических процессов с учётом их суточного хода.

Задачи исследования:

1. Теоретическое исследование свойств некоторых классов нестационарных случайных процессов, построенных на основе неоднородных марковских цепей.

2. Разработка алгоритмов численного моделирования случайных процессов дискретного аргумента с конечным числом состояний, обладающих периодическими по времени свойствами.

3. Построение численных стохастических моделей метеорологических процессов и исследование их статистических характеристик.

Научная новизна. В диссертации впервые теоретически изучены свойства двоичных неоднородных марковских цепей с матрицей переходных вероятностей, являющейся периодической функцией времени.

Проведено обобщение алгоритма моделирования случайных скалярных последовательностей с периодическими по времени многомерными распределениями на основе векторных марковских цепей на случай процессов с произвольным конечным числом состояний.

Предложены новые алгоритмы моделирования кусочно-постоянных процессов дискретного аргумента с осциллирующими по времени коэффициентами корреляции.

Построены модели индикаторных рядов, характеризующих выход значения метеорологического процесса за заданный уровень, учитывающие суточный ход реальных процессов.

Научная и практическая значимость.

Аппарат численного стохастического моделирования различных классов случайных процессов к настоящему времени достаточно хорошо развит [1, 10, 12, 22, 26, 28-34, 42, 44, 55, 82, 87]. В зависимости от решаемой задачи и существующих требований на точность и время счёта выбираются те или иные

методы моделирования. Но, несмотря на обилие существующих методов и алгоритмов, при решении некоторых конкретных задач существующие методы не всегда дают приемлемые (по тем или иным критериям) результаты. Поэтому разработка гибких и легко адаптируемых под различные требования алгоритмов моделирования случайных процессов имеет очевидную научную и практическую ценность.

В работах [8, 45-47], связанных с изучение свойств ритмики океанологических процессов, были использованы процессы, относящиеся к классу периодически коррелированных. В этих работах была изучена спектральная структура таких процессов. Как оказалось, нестационарные случайные процессы с таким же свойством корреляционной функции могут быть использованы для описания не только процессов волнения океанической поверхности, но и для описания, например, метеорологических процессов, когда необходимо учитывать их суточный и годовой ход. Задача моделирования периодически коррелированных процессов решается различными способами. Разработаны, например, алгоритмы моделирования с использованием векторных процессов авторегрессии [7, 46, 49, 66, 82], модели с использованием некоторых типов точечных потоков [83]. Эти методы позволяют моделировать случайные процессы с заданной корреляционной структурой. Однако при решении конкретных задач возникают некоторые трудности, связанные с выбором матричных коэффициентов, гарантирующих стационарность процесса авторегрессии. А модели на точечных потоках позволяют моделировать только некоторый класс периодически коррелированных процессов. Кроме того, для указанных методов нет аналитического описания свойств распределений значений процесса и серий в нём. В связи с этим, в диссертационной работе предлагаются методы приближённого моделирования периодически коррелированных случайных рядов с конечным числом состояний, и для этих методов проведены аналитические исследования.

Ещё одним классом случайных процессов, которые активно изучаются и часто используются при решении прикладных задач, являются марковские процессы [4, 17, 48, 51-53, 56, 60, 61, 86]. Основное внимание в литературе уделяется изучению однородных скалярных марковских процессов. Что касается векторных марковских цепей, то их теория развита не столь широко [20]. Однако, использование однородных векторных цепей Маркова позволяет численно моделировать скалярные последовательности, многомерное распределение которых является периодическим по времени. Доказательство этого факта в частном случае, когда элементы вектора принимают значения из множества {0,1}, приведено в [35, 78]. В данной диссертации будет проведено

доказательство этого утверждения для случая произвольного числа состояний компонент векторов. Схема доказательства приведена в [15].

Особую роль при решении прикладных задач играют двоичные марковские последовательности. Так, например, они используются для моделирования индикаторных последовательностей, характеризующих наличие и отсутствие осадков [27, 75, 85]. Для случая однородных двоичных цепей подробное исследование их свойств и свойств серий постоянных значений проведено в работах [52, 53].

Задача исследования свойств неоднородных марковских цепей является ещё более сложной, в силу того, что неоднородность может иметь разный характер. Глава 1 данной диссертации посвящена исследованию свойств некоторого класса неоднородных марковских цепей и серий постоянных значений в них.

Что касается применения аппарата случайных процессов, то в качестве примеров прикладных областей, где он широко применяется, выше были приведены метеорология, гидрология и агрометеорология. Для решения многих задач в этих областях требуется знание статистических свойств различных метеорологических процессов и полей. Необходимо оценивать вероятности возникновения неблагоприятных сочетаний метеоэлементов, вероятности появления заморозков в весенне-летний период, среднее число засушливых

дней и др. Поскольку по реальным данным исследование таких явлений является затруднительным, в силу статистической ненадёжности оценок по малым выборкам, приходится использовать различные стохастические модели.

В связи с этим, в последние десятилетия бурное развитие переживает прикладная область математики, связанная с разработкой так называемых «генераторов погоды». По своей сути, генераторы являются пакетами программ, позволяющими численно моделировать длинные ряды случайных чисел, обладающих статистическими свойствами, повторяющими основные свойства реальных метеорологических рядов (например, одномерное распределение и корреляционную функцию). Чаще всего моделируются ряды приземной температуры воздуха, суточного минимума и максимума температуры, количества осадков и количество солнечной радиации. Наибольшее распространение получили WGEN и LARS-WG генераторы, разработанные Richardson и Wright (1984) на основе генератора построенного Richardson (1981), и Racsko (1991) соответственно. В работе [84] дано сравнение основных характеристик моделей, заложенных в WGEN и LARS-WG генераторы.

В генераторах типа WGEN в основе построения рядов осадков лежат однородные марковские индикаторные последовательности, характеризующие наличие или отсутствие осадков в заданный момент времени. В тех случаях, когда осадки имеются, их количество определяется как случайная величина с гамма-распределением. Значения максимальной и минимальной температуры в заданные сутки, а также количество солнечной радиации разыгрываются как величины с нормальным распределением.

Основным отличием LARS-генераторов от генераторов типа WGEN является то, что на первом шаге вместо индикаторной марковской цепи строится последовательность длин периодов с осадками и без них с распределением, оцененным по реальным данным. Кроме того, количество солнечной радиации обладает в этих моделях не нормальным распределением,

а тем эмпирическим распределением, которое получается оценкой по реальным данным в каждой точке, где эти данные собраны.

Существуют различные модификации этих генераторов. Основные изменения заключаются в смене плотностей распределения, аппроксимирующих гистограммы плотностей, построенные по реальным данным, изменении порядка марковской цепи (для генераторов типа WGEN), длине моделируемых с одними и теми же параметрами рядов. Информация о таких модификациях и некоторых других генераторах содержится, например, в [69, 70, 75, 85].

С помощью генераторов погоды моделируют не только одномерные случайные ряды, но случайные поля, с опорными точками, соответствующими местоположениям метеостанций. Описание алгоритмов построения таких полей, а также методы интерполяции в точки между станциями приведены, например, в [62, 74, 76].

Стоит отметить, что с помощью различных генераторов моделируют значения метеорологических процессов с шагом в одни сутки. Алгоритмы моделирования, предложенные в данной диссертации, дают возможность моделировать ряды с меньшим шагом, учитывая суточный ход реальных процессов. Поэтому они могут служить основой для построения нового класса генераторов, позволяющих работать с меньшим временным масштабом.

Таким образом, задачи, рассматриваемые в этой диссертационной работе, являются актуальными и имеют научную и практическую значимость.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы моделирования нестационарных процессов дискретного аргумента с осциллирующими характеристиками.

2. Результаты исследования свойств марковских цепей с матрицей переходных вероятностей, являющейся периодической функцией времени.

3. Результаты численного моделирования индикаторных рядов метеорологических процессов и исследования вероятностных свойств рассматриваемых процессов.

Личный вклад. Автор диссертации принимала активное участие в подготовке всех совместных публикаций, в особенности на стадиях теоретического исследования рассматриваемых процессов, разработки алгоритмов моделирования и комплекса вычислительных программ, а также при проведении численных экспериментов и анализе результатов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Объем диссертационной работы - 95 страниц, в том числе 24 рисунка, 15 таблиц. В списке литературы содержится 87 наименований на русском и английском языках.

В первой главе диссертации приведены результаты исследований свойств неоднородных двоичных марковских процессов дискретного аргумента с матрицей переходных вероятностей, являющейся периодической функцией времени. Рассмотрены вопросы, касающиеся распределений таких марковских цепей и их асимптотического поведения. Показано, что функция распределения цепи рассматриваемого вида, как функция времени, является осциллирующей, а асимптотически - периодической. Приведены аналитические выражения, описывающие корреляционную структуру цепи. Исследованы свойства распределений серий постоянных значений цепи и их моменты. Для серий, принимающих заданное значение в фиксированный момент времени (накрывающих серий), дано описание распределений их длин и исследованы особенности этих распределений. Доказано, что при выполнении специальных условий на элементы матрицы переходных вероятностей, вероятность возникновения более длинной серии постоянных значений с фиксированной начальной или конечной точкой может быть больше, чем вероятность

появления более короткой серии. Цепи рассматриваемого типа могут лежать в основе моделирования индикаторных последовательностей, характеризующих выход значений некоторого метеоэлемента (например, приземной температуры воздуха или модуля скорости ветра) за заданный уровень с учётом суточного хода реального процесса. Результаты численных экспериментов, связанных с применением таких цепей для решения задач статистической метеорологии, приведены в третьей главе диссертации.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с моделированием некоторых классов негауссовских случайных процессов дискретного аргумента с осциллирующей (или периодической) по времени корреляционной функцией.

В первом параграфе Главы 2 предлагаются алгоритмы построения кусочно-постоянных негауссовских рядов на основе точечных потоков, порожденных сериями постоянных значений в марковских цепях с периодической по времени матрицей переходных вероятностей (свойства таких марковских цепей подробно рассмотрены в Главе 1). Плотность распределения таких кусочно-постоянных процессов может быть постоянной, а может изменяться во времени и представлять собой смесь заданных плотностей с весами, определяемыми параметрами марковской цепи.

Следующий параграф второй главы посвящён методу численного моделирования скалярных негауссовских процессов дискретного аргумента с функцией распределения, периодически зависящей от времени, основанному на специальном преобразовании однородных векторных марковских цепей. Полученные скалярные процессы не являются марковскими, однако значение скалярного процесса в каждый момент времени определяется его значениями не более чем на 2т -1 предыдущих шагах, где т -размерность вектора в исходном процессе.

В параграфе 2.3 приведены результаты исследования свойств корреляционной матрицы периодически коррелированного процесса. Для блочно тёплицевых матриц, удовлетворяющих специальному требованию,

показано, что функция, полученная осреднением диагональных элементов матрицы, обладает кусочно-линейной мажорантой, значение которой совпадают со значениями самой функции только в точках, удалённых друг от друга на расстояние, равное размерности блока матрицы.

Третья глава диссертации содержит результаты численных экспериментов по моделированию метеорологических процессов, обладающих суточным ходом. С использованием алгоритмов моделирования, описанных в Главах 1,2, построены численные модели индикаторных рядов, описывающих выход значения метеорологического процесса за заданный уровень. По смоделированным ансамблям проведены оценки вероятностей возникновения длительных периодов времени, когда значение процесса превышает заданный уровень, оценки распределения длительностей таких периодов. Для моделей, основанных на марковских цепях описанных в Главе 1 и параграфе 2 Главы 2, численно исследовано влияние порядка марковской цепи на точность воспроизведения моделью реальных данных. Также в Главе 3 приведены результаты оценки вероятности возникновения сочетаний нескольких метеоэлементов. Отметим, что для оценки входных параметров всех моделей были использованы многолетние ряды наблюдений на различных метеостанциях России.

Заключение содержит перечень основных результатов диссертационной работы.

В приложении приведены результаты численного исследования того, как ошибка оценки входных параметров марковской цепи, описанной в Главе 1, по малой выборке реальных данных влияет на распределение цепи. Исследования проведены в условиях задачи, рассматриваемой в параграфе 3.1. Показано, что изменения начального распределения цепи и матрицы переходных вероятностей, не превышающие значения соответствующих среднеквадратичных отклонений при оценке по малой выборке, дают малые изменения в распределении цепи, т.е. рассматриваемая марковская модель является устойчивой по отношению к малым изменениям входных параметров.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на семинаре «Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике» ИВМиМГ СО РАН, на 3-х конференциях молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (г. Новосибирск, 20112013 гг.), на Seventh International Workshop on Simulation (Италия, г. Римини, 21-24 мая 2013 г.), XVIII и XIX Рабочей группе «Аэрозоли Сибири» (г. Томск, 29 ноября - 2 декабря 2011 г., 27-30 ноября 2012 г.), XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Новосибирск, 15-17 октября 2012 г.), Всероссийской конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» (г. Новосибирск, 12-15 июня 2012 г.), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы стохастической гидрологии и регулирования стока» (г. Москва, 10-12 апреля 2012 г.), International Workshop «Applied Methods of Statistical Analysis. Simulations and Statistical Inference» (г. Новосибирск, 20-22 сентября 2011 г.), Международной конференции «Кубатурные формулы, методы Монте-Карло и их приложения» (г. Красноярск, 4-8 июля 2011 г.), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011 (г. Новосибирск, 29 июня - 1 июля 2011 г.), International German Summer School on Hydrology (Германия, г. Бохум, 28 августа - 11 сентября 2010 г.).

По теме диссертации опубликовано 10 работ [14-16, 37-39, 41, 71, 72, 79].

Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 11-01-00641-а.

Автор выражает искреннюю признательность и благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. В.А. Огородникову за постоянное внимание к работе и ценные советы, члену-корреспонденту РАН Г.А. Михайлову за поддержку, профессору Л.Я. Савельеву и д.ф.-м.н. С.М. Пригарину за сотрудничество и полезные обсуждения.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Каргаполова, Нина Александровна

Основные результаты, представленные в работе:

1. Получены аналитические формулы, описывающие распределение, корреляционную функцию, распределение длительности серий постоянных значений и его первые моменты, распределения накрывающих серий и их особенности для бинарных неоднородных марковских процессов с дискретным временем, матрицы переходных вероятностей которых являются периодическими функциями времени. Показано, что многие статистические характеристики таких процессов представляют собой осциллирующие, а асимптотически - периодические по времени функции.

2. Предложены алгоритмы для численного моделирования кусочно-постоянных случайных последовательностей, асимптотически являющихся периодически коррелированными. Плотность распределения таких последовательностей может быть как произвольно заданной и независящей от времени, так и представляющей собой смесь заданных плотностей с весами, зависящими от времени.

3. Показано, что на основе векторных однородных марковских цепей с произвольным числом состояний можно строить скалярные последовательности, многомерные распределения которых являются периодическими по времени.

4. На основе предложенных алгоритмов реализован комплекс вычислительных программ для численного моделирования индикаторных рядов метеорологических процессов. Показано, что рассмотренные модели могут использоваться для исследования статистических характеристик индикаторных последовательностей метеоэлементов и их комплексов.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каргаполова, Нина Александровна, 2013 год

Список литературы

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.:Мир, 1976. -755 с.

2. Анисимова A.B. Численное моделирование индикаторных случайных полей осадков // Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 1997. С. 3 - 15.

3. Боков В.Н., Лопатухин Л.И., Микулинская С.М., Рожков В.А., Румянцева С.А. О межгодовой изменчивости волнения // В кн. Проблемы исследования и математического моделирования ветрового волнения. -СПб: Гирометеоиздат, 1995. С. 446 - 454.

4. Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. - М.:ФМЛ, 2005.-408 с.

5. Гандин Л.С. О влиянии ветра на тепловой режим зданий // Труды ГГО, 1970, No 268. С. 3-20.

6. Гандин Л.С., Каган Р.Л. Статистические методы интерпретации метеорологических данных. - Л: Гидрометеоиздат, 1976. - 259 с.

7. Деренок К.В. Численное моделирование сильных и длительных понижений температуры // Вычислительные технологии, 2008, Т. 13, Спец. выпуск 4. С. 27 - 34.

8. Драган Я.П., Рожков В.А., Яворский И.Н. Методы вероятностного анализа ритмики океанологических процессов. — Л.: Гидрометеоиздат, 1987.-320 с.

9. Евстафьева А.И. Моделирование совместных рядов метеоэлементов на годовом интервале // Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004. С. 46-53.

10. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. - М.: Наука, 1982.-286 с.

11. Жуковский Е.Е., Бельченко Г.Г., Брунова Т.М. Вероятностный анализ влияния изменений климата на потенциал продуктивности агроэкосистем // Метеорология и гидрология, 1992, No 3. С. 92 - 103.

12. Каган P.JL, Федорченко Е.И. К вопросу о статистическом моделировании двумерных метеорологических полей // Труды ГГО. 1973, No 308. С. 20-26.

13. Казакевич Д.И. Основы теории случайных процессов в задачах гидрометеорологии. - JL: Гидрометеоиздат, 1989. - 230 с.

14. Каргаполова H.A. Марковские модели индикаторных рядов метеорологических процессов // Доклады XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 2012 [Электронный ресурс].

http://conf.nsc.ru/files/conferences/vm2012/fulltext/137683/139424/Kargapolo va.pdf

15. Каргаполова H.A. Марковские модели нестационарных временных рядов с периодическими свойствами // Труды конференции молодых учёных ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2011. С. 21 - 31.

16. Каргаполова H.A. Накрывающие серии и условные распределения марковских цепей с периодическими свойствами // Труды конференции молодых учёных ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск, 2012 [Электронный ресурс], http://parbz.sscc.ru/fcp/kmu2012/kargapolova.pdf

17. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. - М.: Наука, 1970. - 272 с.

18. Кобышева Н.В. Косвенные расчёты климатических характеристик. - Д.: Гидрометеоиздат, 1971.- 191 с.

19. Кобышева Н.В., Кухтина Л.П., Чмутова З.Е. О методах расчёта непрерывной продолжительности экстремальных температур воздуха // Труды ГГО, 1976, No 349. С. 50 - 56.

20. Корчиц К.С., Муха B.C. Векторные односвязные цепи Маркова // Доклады Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники, 2003, Т. 1, No 3. С. 102 - 105.

21. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. - 648 с.

22. Марпл-мл. C.J1. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1990. - 584 с.

23. Марченко A.C., Минакова Л.А. Вероятностная модель временных рядов температуры воздуха // Метеорология и гидрология, 1982, No 3. С. 51-56.

24. Марченко A.C., Минакова Л.А. К вопросу о марковском характере чередования похолоданий и потеплений // Труды ЗапСибНИГМИ, 1989, No 86. С. 80-84.

25. Марченко A.C., Минакова Л.А., Огородников В.А. Статистическое моделирование редких похолоданий с учетом их длительности / В сб. Анализ и прогноз многолетних временных рядов. - Новосибирск: СНИИЗ и ХСХ СО ВАСХНИЛ, 1988. С. 63 - 71.

26. Марченко A.C., Огородников В.А. Авторегрессионные процессы с заданной корреляционной структурой // Известия вузов: Математика, 1985, No 7. С. 63 -67.

27. Марченко A.C., Огородников В.А. Вероятностные модели последовательности сухих и дождливых суток. - Новосибирск, 1991.-22 с. - (Препринт / ВЦ СО АН СССР; No 933)

28. Марченко A.C., Огородников В.А. Моделирование стационарных гауссовских последовательностей большой длины с произвольной корреляционной функцией // Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1984, Т. 24, No 10. С. 1514 - 1519.

29. Марченко A.C., Романенко Т.П. Моделирование гамма-последовательностей и их использование для изучения выбросов скорости ветра // Метеорология и гидрология, 1975, No 7. С. 54 - 62.

30. Марченко A.C., Семочкин А.Г. Изучение выбросов относительной влажности воздуха путем статистического моделирования бета-последовательностей // Труды ГГО, 1977, No 397. С. 35 - 43.

31. Михайлов Г.А. Моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма // Докл. АН СССР, 1982, Т. 3, No 3. С. 531-535.

32. Михайлов Г.А. О методе «повторений» для моделирования случайных векторов и процессов (рандомизация корреляционных матриц) // Теория вероятностей и её применения, 1974, Т. 19, No 4. С. 873 - 878.

33. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. - М: Наука, 1987.-238 с.

34. Михайлов Г.А., Войтишек A.B. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. - М.: Изд. центр «Академия», 2006.-368 с.

35. Огородников В.А., Деренок К.В., Толстых У.И. Специальные численные модели дискретных случайных рядов. - Новосибирск, 2009. - 30 с. -(Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. ИВМиМГ; 1166)

36. Огородников В.А., Ильина A.A. Численное стохастическое моделирование нестационарных метеорологических временных рядов // Сборник материалов VII Международного научного конгресса «ГеоСибирь», Новосибирск, 2011. С. 134 - 138.

37. Огородников В.А., Каргаполова H.A., Басова К.В., Ильина A.A., Сересева О.В. Численные стохастические модели метеорологических процессов и полей // Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы стохастической гидрологии и регулирования стока», Москва, 2012. С.469 - 478.

38. Огородников В.А., Каргаполова H.A., Басова К.В., Ильина A.A., Сересева О.В. Численные стохастические модели метеорологических процессов и полей и некоторые их приложения // Водное хозяйство России, 2012, No 4. С. 33-42.

39. Огородников В.А., Каргаполова H.A. Сересева О.В. Специальные численные алгоритмы стохастического моделирования гидрометеорологических процессов и полей // Труды всероссийской конференции «Актуальные проблемы вычислительной математикит и математического моделирования», Новосибирск, 2012 [Электронный ресурс], http://parbz.sscc.ru/fcp/apm2012/pdi70gorodnikov.pdf

40. Огородников В.А., Пригарин С.М., Родионов A.C. Квазигауссовская модель сетевого трафика // Автомат, и телемех., 2010, No 3. С. 117 - 130.

41. Огородников В.А., Савельев Л.Я., Каргаполова H.A. Некоторые свойства неоднородных марковских последовательностей с периодическими матрицами переходных вероятностей // Труды международной конференции «Кубатурные формулы, методы Монте-Карло и их приложения», Красноярск, 2011. С. 86 - 90.

42. Пиранашвили З.А. Некоторые вопросы статистико-вероятностного моделирования случайных процессов / В кн. Вопросы исследования операций. - Тбилиси, 1966. С. 53-91.

43. Поляк И.И. Методы анализа случайных процессов и полей в климатологии. - JL: Гидрометеоиздат, 1979. - 255 с.

44. Пригарин С.М. Методы численного моделирования случайных процессов и полей. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2005. - 259с.

45. Рожков В.А. Методы вероятностного анализа океанологических процессов. - Л.: Гидрометеоиздат, 1979. - 280 с.

46. Рожков В.А., Трапезников Ю.А. Вероятностные модели океанологических процессов. - Л.: Гидрометеоиздат, 1990. - 272 с.

47. Рожков В.А., Трапезников Ю.А. К вопросу о построении моделей океанологических процессов // Труды ГОИН, 1983, No 169. С. 46 - 59.

48. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. - Л.: Гостехиздат, 1949. -436 с.

/

49. Румянцева С.А. Вероятностное моделирование ветрового волнения как полимодулированного полициклического случайного процесса: автореф. дис. ...канд. физ.-мат. наук: 11.00.08. - СПб., 1993. - 24 с.

50. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. - М.: Наука, 1976. - 494 с.

51. Савельев Л.Я., Балакин C.B. Комбинаторное вычисление моментов характеристик серий в троичных марковских последовательностях // Дискрет, матем., 2011, Т. 23, No 2. С. 76 - 92.

52. Савельев Л.Я., Балакин C.B. Совместное распределение числа единиц и числа 1-серий в двоичных марковских последовательностях // Дискрет, матем, 2004, Т. 16, No 3. С. 43 - 62.

53. Савельев Л.Я, Балакин С.В, Хромов Б.В. Накрывающие серии в двоичных марковских последовательностях // Дискрет, матем, 2003, Т. 15, No 1. С. 50-76.

54. Сванидзе Г.Г. Математическое моделирование гидрологических рядов. -Л.: Гидрометеоиздат, 1977. - 296 с.

55. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. - М.: Наука, 1973. - 311 с.

56. Тихонов В.И, Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: «Сов. радио», 1977.-488 с.

57. Федорченко Е.И. О влиянии суточного хода параметров распределения на среднее число выбросов температуры воздуха // Труды ГГО, 1977, No 397. С. 21-26.

58. Федорченко Е.И. О среднем числе выбросов средней суточной температуры воздуха на территории СССР // Труды ГГО, 1977, No 374. С. 181 - 185.

59. Федорченко Е.И. О суточном ходе характеристик выбросов температурных рядов // Труды ГГО, 1977, No 397. С. 27 - 34.

60. Харин Ю.С, Петлицкий А. И. Цепь Маркова 5-го порядка с г частичными связями и статистические выводы о ее параметрах // Дискрет, матем, 2007, Т. 19, No 2. С. 109 - 130.

61. Ширяев А.Н. Вероятность. - М.: Наука, 1980. - 575 с.

62. Brissette F.P., Khalili М., Leconte R. Efficient stochastic generation of multisite synthetic precipitation data // J. of Hydrology, 2007, Vol. 345, No 3-4. P. 121 - 133.

63. Caswell H., Shyu E. Sensitivity analysis of periodic matrix population models // Theoretical Population Biology, 2012, Vol. 82, No 4. P. 329 - 339.

64. Caswell H., Trevisan M. C. The sensitivity analysis of periodic matrix models // Ecology, 1994, Vol. 75, No 5. P. 1299 - 1303.

65. Charles S., Billoir E., Lopes C., Chaumot A. Matrix population models as relevant modeling tools in Ecotoxicology // Ecotoxicology Modeling. Emerging Topics in Ecotoxicology, 2009, Vol. 2. P. 261 - 298.

66. Derenok K.V., Ogorodnikov V.A. Numerical simulation of significant long-term decreases in air temperature // Russ. J. Num. Anal. Math. Modelling, 2008, Vol. 23, No 3. P. 223 - 277.

67. Evstafieva A.I., Khlebnikova E.I., Ogorodnikov V.A. Numerical stochastic models for complexes of time series of weather elements // Russ. J. Num. Anal.Math. Modelling, 2005, Vol. 20, No 6. P. 535 - 548.

68. Evstafieva A.I., Khlebnikova E.I., Ogorodnikov V.A Numerical stochastic models of multidimensional non-stationary time series of weather elements // Proceedings of the Fifth Workshop on Simulations, St. Petersburg, 2005. P. 251 -256.

69. Furrer E.M., Katz R.W. Improving the simulation of extreme precipitation events by stochastic weather generators // Water Resour. Res., 2008, Vol. 44, No 12. W12439, doi: 10.1029/2008WR007316.

70. Hayhoe H.N. Improvements of stochastic weather data generators for diverse climates // Climate Research, 2000, Vol. 14. P. 75 - 87.

71. Kargapolova N.A., Ogorodnikov V.A. Inhomogeneous Markov chains with periodic matrices of transition probabilities and their application to simulation of meteorological processes // Russ. J. Num. Anal. Math. Modelling, 2012, Vol. 27, No 3. P. 213-228.

72. Kargapolova N.A., Saveliev L.Ya., Ogorodnikov V.A. Modeling of nonstationary processes with periodic properties on basis of Markov chains // Proceedings of International Workshop «Applied Methods of Statistical Analysis. Simulations and Statistical Inference», Novosibirsk, 2011. P. 323-330.

73. Katz R.W., Parlange M.B. Overdispersion Phenomenon in Stochastic Modeling of Precipitation // J. of Climate, 1998, Vol. 11, No 4. P. 591 - 601.

74. Kleiber W., Katz R.W., Rajagopalan B. Daily spatiotemporal precipitation simulation using latent and transformed Gaussian processes // Water Resour. Res, 2012, Vol. 48, No 1. W01523, doi: 10.1029/2011WR011105.

75. Lia O Y, Zhang Q, Chen D. Stochastic modeling of daily precipitation in China // J. of Geographical Sciences, 2004, Vol. 14, No 4. P. 417-426.

76. Mellor D, Sheffield J, O'Connell P.E, Metcalfe A.V. A stochastic space-time rainfall forecasting system for real time flow forecasting I: Development of MTB conditional rainfall scenario generator // Hydrology and Earth System Sciences, 2000, Vol. 4, No 4. P. 603 - 615.

77. Mertens S.K, Yearsley J.M, van den Bosch F, Gilligan C.A. Transient population dynamics in periodic matrix models: methodology and effects of cyclic permutations // Ecology, 2006, Vol. 87, No 9, P. 2338 - 2348.

78. Ogorodnikov V.A, Derenok K.V, Tolstykh U.I. Special numerical models of discrete random series // Russ. J. Num. Anal. Math. Modelling, 2010, Vol. 25, No 4. P. 359-373.

79. Ogorodnikov V.A, Kargopolova N.A, Seresseva O.V. Numerical stochastic model of spatial fields of daily sums of liquid precipitation // Russ. J. Num. Anal. Math. Modelling, 2013, Vol. 28, No 2. P. 187 - 200.

80. Ogorodnikov V.A, Khlebnikova E.I, Kosyak S.S. Numerical stochastic simulation of joint non-Gaussian meteorological series // Russ. J. Num. Anal. Math. Modelling, 2009, Vol. 24, No 5. P. 467 - 480.

81. Ogorodnikov V.A., Khlebnikova E.I., Kosyak S.S. Special stochastic models of joint meteorological time series // Proceedings of the 6th Workshop on simulation, St. Petersburg, 2009. P. 187 - 192.

82. Ogorodnikov V.A., Prigarin S.M. Numerical Modelling of Random Processes and Fields: Algorithms and Applications. - the Netherlands, Utrecht: VSP, 1996.-240 p.

83. Ogorodnikov V.A., Prigarin S.M. On stochastic interpolation of discrete random processes and fields // Russ. J. Num. Anal. Math. Modelling, 1996, Vol. 11, No l.P. 49-69.

84. Semenov M.A., Brooks R.J., Barrow E.M., Richardson C.W. Comparison of the WGEN and LARS-WG stochastic weather generators for diverse climates // Climate Research, 1998, Vol. 10. P. 95 - 107.

85. Srikanthan R., McMahon TA. Stochastic generation of annual, monthly and daily climate data: A review // Hydrology and Earth System Sciences, 2001, Vol. 5, No 4. P. 653 - 670.

86. Taylor H.M., Karlin S. An Introduction to Stochastic Modeling. - USA: Academic Press, 1998. - 631 p.

87. Ukhinova O.S. Numerical simulation of a special class of non-homogeneous Gaussian fields // Bull. NCC. Ser. Num. Anal., 2001, No 10. P. 53 - 60.