Вероятностные модели гидрометеорологических процессов и полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ухинова, Ольга Сергеевна

• Ухинова, Ольга Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ухинова, Ольга Сергеевна

Введение.1

Глава 1. Алгоритмы численного моделирования специальных классов случайных процессов и полей.16

1.1. Алгоритмы моделирования совместных индикаторных рядов и полей на основе специального преобразования гауссовских процессов и полей.16

1.2. Специальные индикаторные совместные временные ряды . . 22

1.3. Численное моделирование специальных негауссовских процессов и полей (на основе индикаторных рядов, на основе метода обратных функций).25

1.4. Моделирование трехмерных гауссовских полей с учетом зависимости горизонтальных корреляций от уровня.27

Глава 2. Вероятностные модели пространственных и пространственно - временных полей сумм осадков.45

2.1. Статистическая структура временных рядов индикаторов осадков по данным наблюдений (входные параметры для моделей, характеристики для верификации моделей).47

2.2. Вероятностные модели временных рядов индикаторов осадков.56

2.3. Численные модели пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков.66

Глава 3. Вероятностные модели временных рядов и полей комплексов гидрометеорологических полей.78

3.1. Численное стохастическое моделирование комплексов гидрометеорологических полей с учетом физических связей.78

3.2. Численная вероятностная модель пространственных полей вектора скорости ветра.97

3.3. Некоторые вопросы точности моделирования и верификации моделей. .109

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вероятностные модели гидрометеорологических процессов и полей»

Одной из важных и актуальных проблем при численном моделировании процессов в атмосфере является проблема, связанная с построением адекватных математических моделей на основе вероятностного подхода с использованием данных многолетних наблюдений. Накапливающийся с каждым годом объем информации об атмосферных процессах требует соответствующей физической и математической ее интерпретации и обобщения в виде математических моделей, учитывающих разнообразные вероятностные свойства и связи. Стохастические модели атмосферных процессов, построенные на основе реальных многолетних наблюдений, позволяют решать широкий класс фундаментальных и прикладных задач гидрометеорологии и климатологии в вероятностной интерпретации.

Под численной стохастической моделью реального временного ряда обычно понимают искусственную случайную последовательность (или псевдослучайную последовательность), которая по некоторому набору входных вероятностных характеристик совпадает, либо близка к наблюдаемой. Обычно в качестве входных характеристик используют одномерные распределения, корреляционные функции или спектральные плотности, для дискретных процессов матрицы переходных вероятностей и т. д. При построении стохастических моделей на основе реальных данных, как правило, приходится иметь дело с выборками ограниченного объема, поэтому соответствующие оценки входных характеристик содержат определенные статистические погрешности, однако соответствующие численные алгоритмы моделирования реализаций модельных последовательностей должны быть построены таким образом, чтобы эти характеристики воспроизводились в модели по возможности точно. Реальные временные ряды, как правило, не стационарны, причем зависимость характеристик ряда от времени, может проявляться в различных временных интервалах по разному, например, в виде суточного хода параметров распределений, наличии глобального тренда и т.д., поэтому необходим учет в моделях и этих особенностей реальных рядов, а для этого требуется либо значительно больший объем информации, либо введения дополнительных гипотез о характере нестационарности.

Аналогичным образом определяется численная стохастическая модель реального многомерного гидрометеорологического процесса, а также поля на регулярной или нерегулярной сетке. В этом случае входными характеристиками для моделей могут служить матричные корреляционные функции, для негауссовских моделей наборы одномерных, а в некоторых случаях двумерных распределений и т.д.

На практике невозможно в полном объёме учесть все особенности реального ряда, поэтому численные стохастические модели строятся в определенной степени приближения. Чаще всего специфика ряда передается через одномерные распределения и корреляционные связи, поскольку для учета совместных распределений второго и более высокого порядка имеющейся информации оказывается недостаточно. Например, при решении задач по исследованию экстремальных погодных явлений, таких как длительное понижение температуры, длительные выпадение осадков и т.д. необходимо, чтобы в модели достаточно точно воспроизводились характеристики, определяемые совместным распределением достаточно большого числа значений ряда. Тем не менее, учет одномерных распределений и корреляций позволяет получать достаточно приемлемые результаты.

Проверка пригодности модели для решения конкретных прикладных задач осуществляется на этапе верификации. На этом этапе по модельным выборкам и по реальному ряду оценивается некоторый набор характеристик, связанных со спецификой решаемой задачи, но не являющихся входными для модели. Степень близости соответствующих характеристик служит критерием качества модели. При этом для проверки качества модели выбирают такие характеристики, которые достаточно надежно оцениваются по имеющимся данным наблюдений. Например, в качестве таких характеристик могут быть использованы вероятности длительных выходов температуры воздуха за сравнительно невысокие уровни. Оценка вероятностей выхода за высокие уровни уже осуществляется по модельным данным.

Исследованию вопросов, связанных со статистической интерпретацией гидрометеорологических данных, а также использованию методов статистического моделирования для решения задач статистической гидрометеорологии и климатологии посвящено большое число работ. Например, в работах [13,2730,33,36-38,43-44,52,54-56,59,87-90] рассматривается широкий круг задач, которые эффективно решаются с использованием численных стохастических моделей реальных атмосферных процессов. В этот круг входят задачи по численному исследованию точности статистических оценок различных характеристик гидрометеорологических процессов [30,56], задачи о статистических закономерностях экстремальных атмосферных явлений [27,29,4344,54,87-90], задачи о воздействии случайных метеорологических факторов на различные динамические системы или объекты [1,12], агрофизические задачи, з частности задачи, связанные с исследованием влияния изменения климата на продуктивность сельскохозяйственных культур [26] и т.д. Численные модели случайных полей широко используются в задачах оптики атмосферы, например в задачах исследования рассеяния солнечного излучения в облачных средах [50].

Методы статистического моделирования случайных процессов и полей широко используются при решении теоретических и прикладных задач статистической океанологии. В работах [6-7,1819,21,65-68] решается широкий круг задач, связанных с исследованием и стохастическим моделированием скалярных и векторных океанологических процессов и полей [6,66] на основе данных океанографических наблюдений. Исследованы вопросы верификации моделей, разработан и исследован широкий класс методов оценивания различных характеристик океанологических и метеорологических процессов [67-68] по данным измерений, исследован класс периодически нестационарных океанологических и метеорологических процессов [21,66], построен ряд соответствующих вероятностных моделей.

Накопленный опыт стохастического моделирования реальных процессов и полей, современные тенденции в развитии статистической метеорологии и климатологии, а также океанологии ставят новые актуальные задачи, связанные с применением методов статистического моделирования. Это в первую очередь экологические задачи, для которых необходима разработка методов комплексного стохастического моделирования атмосферных и океанологических процессов с привлечением большого объема информации [18], а также методов объединения гидротермодинамических и стохастических подходов к описанию реальных процессов [51,55,73,76-77]. Для решения этих задач требуется разработка новых эффективных алгоритмов стохастического моделирования многомерных процессов и полей.

Математическим аппаратом для построения стохастических моделей реальных процессов являются методы численного моделирования случайных процессов и полей. Развитию этих численных методов и разработке соответствующих алгоритмов посвящено достаточно большое число работ [9,17,23-25,34,4547,53,57,58,60-63,66,69,70,72,74,75,78,91-93]. Центральное место среди них занимают методы моделирования гауссовых процессов и полей. В основе соответствующих алгоритмов лежат различного типа линейные преобразования независимых гауссовых величин [9,23,34,41,50,65,72,78] и др. В качестве одного из универсальных алгоритмов моделирования гауссовых векторов с заданной ковариационной матрицей можно привести алгоритм, основанный на методе условных математических ожиданий, который также сводится к линейному преобразованию независимых гауссовских величин, но в случае теплицевой ковариационной матрицы (случай стационарного процесса) соответствующие алгоритмы существенно упрощаются [41,50]. Среди наиболее распространенных моделей гауссовых стационарных процессов дискретного аргумента (или временных рядов) являются модели авторегрессии, а также смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего [2,8,32,66] . Для построения начальных значений для них [39] также используются алгоритмы, основанные на методе условных математических ожиданий. В работе [50] эти методы обобщаются на случай векторных последовательностей и полей дискретного аргумента. В работе [78] приведены алгоритмы моделирования однородных скалярных пространственных полей дискретного аргумента, основанные на модели скользящего среднего, причем соответствующие коэффициенты модели определяются через спектральное преобразование заданной корреляционной функции. В работе [15] рассматриваются класс однородных и изотропных гауссовских полей с корреляционными функциями гауссовского типа, порождаемый решением задачи Коши для уравнения теплопроводности с белым шумом, взятым в качестве начального поля. Приближенное моделирование осуществляется на основе численного решения этой задачи. Рассматривается также класс однородных и изотропных гауссовских полей с корреляционными функциями Макдональда.

Важным классом приближенных численных моделей гауссовских процессов и полей непрерывного аргумента являются методы, основанные на спектральном представлении случайных процессов и полей. Эти методы широко используются при решении прикладных задач, в которых требуется знать значение процесса или поля в произвольной точке области. Например, эти методы используются в задачах, связанных с исследованием рассеяния солнечного излучения на взволнованной поверхности моря или в облачных средах [47,62-63,93].

Рассмотренные гауссовские процессы могут быть использованы в качестве основы для моделирования негауссовских гидрометеорологических процессов и полей. Для этой цели наиболее часто используют хорошо известный метод обратных функций распределения [23,58] в соответствии с которым для получения негауссовой величины rj с функцией распределения F(x) используется преобразование г, = р-\ФШ где Ф(<^) - функция одномерного нормального распределения, ^ -стандартная гауссовская величина. Для построения негауссовского поля в качестве используются скалярные элементы рассмотренных выше гауссовских процессов или полей. Скалярные элементы g корреляционной матрицы гауссовского поля связаны с соответствующими скалярными элементами г корреляционной матрицы R^ негауссовского поля соотношением r = f(g).

Конкретный вид этого соотношения с учетом rj = Е~1(Ф(£У) приведен в [23,58]. При использовании метода обратных функций распределения корреляционная матрица R^ считается заданной.

Обычно ее получают путем соответствующей обработки данных наблюдений. Необходимо решить систему нелинейных алгебраических уравнений вида г = f(g) относительно элементов матрицы G{ny При определенных сочетаниях вида одномерных распределений F{x) и значений корреляций г эти уравнения могут не иметь решения. В работе [64] приведены соответствующие условия совместимости одномерных распределений и корреляций. Если уравнение г — f(g) при заданной функции распределения

F(jc) и заданном г не имеет решения, то ищется приближенное решение, т.е. в качестве г выбирается значение ближайшее к заданному, но такое, чтобы решение уравнения г = f(g) существовало. В силу этого обстоятельства, а также нелинейности уравнений, преобразующих корреляции полученная матрица G(/l) в ряде случаев может оказаться отрицательно определенной, т.е. задача может не иметь решения. В этих условиях приходится искать приближенное решение задачи. Один из эффективных способов нахождения приближенной положительно определенной матрицы А

G(n) в определенном смысле близкой к G(n) основан на соответствующем спектральном разложении этой матрицы [47].

Модификацией метода обратных функций распределения является приближенный метод, основанный на нормализации реального ряда [45,70]. Этот метод широко используется при построении стохастических моделей атмосферных процессов и состоит в следующем.

Представим реальный временной ряд в виде Tjl,rj2,.,T]i

Приближенный алгоритм стохастического моделирования соответствующей этому ряду модельной последовательности Г)х, т]2,. rji,. сводится к следующим преобразованиям: к) Для каждого элемента rji реального ряда оцениваются одномерные распределения F * (х), с последующей аппроксимацией

Vi этих распределений подходящими аналитическими функциями F^ (х). В частности для этой цели может быть использован метод аппроксимации эмпирических распределений кубическими сплайнами [35]. kk) Строится нормализованный ряд

N *N *N

N * элементы rfi которого вычисляются из элементов Tji реального ряда по формуле дг *N *N

По нормализованному ряду 7]x ,T]2 ,.7]i ,. оцениваются первые к элементов ковариационной функции

N *N *N rQ ,r{ rkx,---kkk) Строится гауссовская последовательность

Vi Ml •>---7li с нулевым средним и ковариационной функцией r0 , ,., rk{, Для этой цели используется модель авторегрессии А;-го порядка [50]. Соответствующие начальные к

N N N значении ряда Г)х ,Г]2 ,.Г]к с теплицевои ковариационнои матрицей R^ = (r^), i,j = \,.,k моделируются, например, на основе метода условных математических ожиданий [50]. kkkk) На заключительном этапе строится искомый ряд T}l,T}2,.rji,. с помощью преобразования каждого элемента ряда

Vi i-'-Vi в виде

В результате преобразований (k)-(kkkk) получена последовательность, в которой одномерные распределения элементов ряда 7]t совпадают с заданными, но ковариационная функция r0,r15r2,. отличается от соответствующей ковариационной функции реального ряда * *

Т]х, rj2,., rjt,. Степень различия ковариационных функций исходного и модельного рядов определяется численно. Опыт использования этого метода показывает, что для многих гидрометеорологических приложений точность этого метода оказывается вполне приемлемой.

Наряду с методом обратных функций распределения и методом нормализации для моделирования негауссовских процессов и полей при решении задач статистической метеорологии используются различные модификации алгоритма моделирования негауссовских процессов и полей на точечных потоках [46]. Например, в работах [46,79] предложены и исследованы алгоритмы моделирования однородных и изотропных многомерных полей на точечных потоках Пальма с произвольной корреляционной функцией выпуклого типа, а в работе [31] рассмотрены алгоритмы кусочно-постоянной стохастической интерполяции процессов и полей дискретного аргумента, основанные на использовании регулярных точечных потоков. Используемые преобразования сохраняют основные свойства исходных процессов и полей дискретного аргумента: значения процесса и корреляций в узлах сетки, одномерные распределения в произвольной точке области, для процессов - стационарность, для полей - однородность (либо однородность и изотропность). Алгоритмы предназначены для построения вероятностных моделей временных рядов и полей метеоэлементов с использованием реальных данных на сетках большого размера, а также в тех случаях, когда необходимо моделировать значение поля в произвольной точке рассматриваемой области.

Как отмечалось, при решении прикладных задач статистической метеорологии и океанологии часто приходится иметь дело с различного типа нестационарными процессами. Исследованию и моделированию нестационарных процессов посвящены работы [21,66]. В качестве примера можно привести алгоритм моделирования периодически нестационарного скалярного случайного ряда, средние и корреляции которого имеют период длины р rj( 1),., rj(p\ rj(p +1),., 77(2/0, • ■., rj((K - l)p +1),., Tj(Kp),.

Этот алгоритм сводится к следующим преобразованиям. Данный ряд можно представить в виде стационарной последовательности векторов [68] с матричной ковариационной функцией R0,RX,R2,. и заданными одномерными распределениями компонентов вектора fji. Здесь fjt —{t]{ip + l),.,7](ip + pf, p- число значений ряда внутри периода, / = 1,2,. - порядковый номер вектора в последовательности fj{,fj2,.rj[, Смежные к векторов в этой последовательности образуют случайный вектор с блочно-теплицевой ковариационной матрицей = i,j = I,.,к.

Для моделирования стационарной последовательности векторов fjl^fj2,.fji,. в гауссовском случае может быть использована многомерная модель авторегрессии в сочетании с соответствующими алгоритмами метода условных математических ожиданий.

Диссертационная работа посвящена разработке численных алгоритмов стохастического моделирования скалярных и векторных гидрометеорологических процессов и полей и их комплексов различного временного разрешения с учетом негауссовости, пространственной неоднородности и решения на основе этих алгоритмов задач статистической метеорологии. При построении вероятностных моделей реальных гидрометеорологических процессов и полей возникает необходимость в разработке специальных численных алгоритмов моделирования случайных рядов и полей, соответствующих специфике рассматриваемых процессов.

В первой главе рассматриваются алгоритмы, используемые при построении совместных временных рядов сумм осадков, привязанных к различным пространственным точкам. Эти совместные ряды можно интерпретировать, как пространственно-временное поле на нерегулярной сетке (или сети гидрометеорологических станций). Рассматривается важный класс негауссовских процессов, описывающих чередование сухих и дождливых периодов. В случае, когда дождливому периоду ставится в соответствие 1, сухому - 0 мы получаем числовой индикаторный (или «бинарный») ряд, для которого рассматривается специальный набор алгоритмов, учитывающих специфику реальных индикаторных рядов, связанных с рядами сумм осадков. Рассматриваются алгоритмы, использующие индикаторные ряды для построения численных стохастических моделей сумм осадков. В первой главе рассматриваются также специальные алгоритмы моделирования трехмерных неоднородных гауссовских полей, у которых горизонтальные корреляции зависят от вертикальной координаты. Алгоритмы основаны на линейном преобразовании гауссовских полей со специально подобранной корреляционной структурой такой, чтобы поле, полученное после этого линейного преобразования, обладало требуемыми свойствами. Исследуется область применимости этого метода для точных и приближенных решений.

Для специального класса корреляционных матриц (или корреляционных функций) горизонтальных сечений трехмерного поля, задаваемых выражениями у(р) = (1 — Sp)y + SpyQ) р = 1,. •.,т при фиксированной матрице вертикальных профилей RB, где у и у() - произвольные фиксированные корреляционные матрицы (или функции) получены условия на вещественные параметры s , при которых существует точное решение задачи.

В данном случае практическое использование рассмотренного алгоритма сводится к аппроксимации фактических корреляционных функций на уровнях функциями этого вида.

Вторая глава посвящена разработке вероятностных моделей сумм осадков по данным реальных наблюдений. В качестве реальной информации об осадках используются данные для двух регионов России: равнинная часть Новосибирской области (47 метеорологических станций) и район Среднего Урала (2 метеорологических станции). Приводятся результаты статистической обработки реальных рядов, рассчитаны характеристики рядов, используемые в качестве входных параметров модели и характеристики, используемые для верификации моделей. В качестве последних рассматриваются важные для приложений распределения длительностей «сухих» и «дождливых» периодов. Задача решается в стационарном приближении, поэтому модели строятся на интервалах длиной в календарный месяц (на интервале такой длины рассматриваемые процессы близки к стационарным). Соответствующие стохастические модели строятся на основе алгоритмов, рассмотренных в Главе 1. Для моделирования необходимых для этого гауссовских совместных рядов используются алгоритмы, основанные на методе условных математических ожиданий, с последующими специальными функциональными их преобразованиями для учета негауесовости. Исследуются вопросы точности статистических оценок в зависимости от объема выборки, а также вопросы точности моделирования.

В третьей главе рассматривается вероятностная модель и соответствующие численные алгоритмы моделирования комплекса трехмерных метеорологических полей, включающих поле температуры, поле геопотенциала и поля горизонтальных составляющих векторной скорости ветра, в которой взаимные связи между соответствующими полями определяются уравнением статики и геострофическими соотношениями. Получены соотношения, связывающие корреляционные функции вертикальных профилей поля температуры и поля геопотенциала, а также соотношения для соответствующих взаимных корреляционных функций. Для построения комплекса полей температуры и геопотенциала на основе уравнения статики используется сплайн-интерполяция соответствующих вертикальных профилей. При реализации этого алгоритма производится соответствующее восполнение корреляционной матрицы вертикальных профилей поля геопотенциала. В третьей главе рассматривается также алгоритм моделирования двумерных однородных и изотропных векторных полей горизонтальных составляющих скорости ветра на основе рассмотренного в первой главе метода условных математических ожиданий для моделирования многомерных гауссовских процессов. Проведены исследования точности алгоритма.

В заключение отметим, что в качестве исходных данных для построения моделей использованы многолетние ряды суточных сумм жидких осадков для отдельных станций Уральского региона и Новосибирской области.

С использованием специальных статистических характеристик рассматриваемых рядов, имеющих важное практическое значение для исследования климатических свойств осадков, проведены исследования по верификации построенных моделей.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Семинаре Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН, на конференциях молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (2000-2004 гг.), на четвертом международном семинаре по математическому моделированию в г. Санкт-Петербурге (2001 г.), на международной конференции по вычислительной математике в г. Новосибирске (ICCM-2002) и на Международной Конференции по Математическим Методам в Геофизике в г. Новосибирске (ММГ-2003). Основные результаты опубликованы в 7 работах, список которых помещен в конце диссертации [80-86].

Автор выражает искреннюю благодарность члену-корреспонденту РАН Геннадию Алексеевичу Михайлову, своему научному руководителю Огородникову Василию Александровичу за постоянное внимание и руководство работой, кандидату географических наук Немировской Ларисе Гдальевне за участие в постановке задач, связанных с осадками, а также кандидатам физико-математических наук Ухинову Сергею Анатольевичу и Бурмистрову Александру Васильевичу.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ухинова, Ольга Сергеевна

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Разработан метод моделирования трехмерных гауссовских полей с учетом зависимости горизонтальных корреляций от уровня. Рассматривается область применения этого метода для точных и приближенных решений. Рассматриваются специальные классы корреляционных матриц.

2. Предложено несколько специальных методов для моделирования индикаторных процессов и полей. Изучаются свойства и приложения этих алгоритмов.

3. На временном интервале в один месяц построена численная вероятностная модель поля суточных сумм осадков. При построении используются индикаторные поля.

4. Построена вероятностная модель комплекса метеорологических полей, включающих поле геопотенциала, поле температуры и поле вектора скорости ветра. Для моделирования предложено использовать физические связи в виде уравнения статики и геострофических соотношений. Модель предназначена для использования ее в задачах вариационного согласования вероятностных и динамических моделей атмосферных процессов.

5. Для построения пространственных полей скорости ветра предложен специальный векторный подход, основанный на методе условных математических ожиданий, использующий предположения об однородности и изотропности поля скорости ветра. Специфика соответствующей блочной корреляционной матрицы позволяет уменьшить объем вычислений (приблизительно в два раза) по сравнению со случаем, когда используется неизотропное поле скорости ветра.

6. Осуществлен ряд численных расчетов, подтверждающих теоретические результаты.

Все алгоритмы реализованы на IBM PC на языке FORTRAN в виде комплекса программ.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ухинова, Ольга Сергеевна, 2004 год

1. Анапольская Л.Е. О влиянии климатических факторов на технические изделия // Труды ГГО, 1970, вып. 268, стр. 76-85.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ // М: Гос. Издат. Физико-математической литературы, 1963. 500 с.

3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов // -М. : Мир, 1976,- 757 с.

4. Анисимова А.В. Численное моделирование индикаторных случайных полей осадков // Труды конференции молодых ученых, Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 1997, стр. 3-15.

5. Белов П.Н. Практические методы численного прогноза погоды // Л: Гидрометеоиздат, 1967. 335 с.

6. Белышев А.П., Клеванцов Ю.П., Рожков В.А. Вероятностный анализ морских течений // Л.: Гидрометеоиздат, 1983. - 264 с.

7. Боков В.Н., Лопатухин Л.И., Микулинская С.М., Рожков В.А., Румянцева С.А. О межгодовой изменчивости волнения 7/ Проблемы исследования и математического моделирования ветрового волнения // Санкт-Петербург: Гирометеоиздат, 1995, стр. 446-454.

8. Бокс Дж., Дженкинс Т. Анализ временных рядов (пер. с англ.) // Прогноз и управление. -М: Мир, 1974. -308 с.

9. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике // М.: Сов. радио, 1971.

10. Buell C.E. Variability of wind with distance and time on an isobaric surface//Journ. AppI Meteorolog., 1972, vol. 11, N.8, pp. 1299-1304.

11. П.Воеводин B.B., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления // М: Наука, 1984.-320 с.

12. Гандин J1.C. О влиянии ветра на тепловой режим зданий // Труды ГГО, 1970, вып.268, стр. 3-20.

13. Гандин JI.C., Каган P.J1. Статистические методы интерпретации метеорологических данных // JI: Гидрометеоиздат, 1976. - 259 с.

14. Статистическая структура метеорологических полей // под редакцией Гандина JI.C., Захариева В.И., Целнаи Р. Budapest, 1976. - 364 с.

15. Глуховский А.Б. О статистическом моделировании метеорологических полей // Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1969, т. 5, N 7, стр. 724-729.

16. Gubina N.I., Ogorodnikov V.A. Some problems of the statistical simulation of conditional processes and fields // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, Vol. 13, No. 5, pp. 345-358 (1998).

17. Gringorten I.I. Modelling conditional probability // J. Appl.Meteorol., 1971, v. 10, No. 4, pp. 646-657.

18. Моделирование компонентов экосистемы // под ред. И.Н. Давидана. JI:, вып. 3, Гидрометеоиздат, 1987. - 256 с.

19. Проблемы исследования и математического моделирования ветрового волнения // под ред. И.Н. Давидана. Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1995. - 472 с.

20. Дерин Х.,Келли П. Случайные процессы марковского типа с дискретными аргументами // ТИИЭР, т. 77, No 10, 1989, стр. 4271.

21. Драган Я.П., Рожков В.А., Яворский И.Н. Методы вероятностного анализа ритмики океанологических процессов // -Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 320 с.

22. Дробышев А.Д., Марченко А.С., Огородников В.А., Чижиков В.Д. Статистическая структура временных рядов суточных сумм жидких осадков в равнинной части Новосибирской области // Труды ЗапСибНИИ Госкомгидромета, 1989, вып. 86, стр. 44-74.

23. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование // -М: Наука, Гл. Изд. Физико-математической литературы, 1982. -296 с.

24. Ермаков С.М., Павлов А.И., Сизова А.Ф., Товстик Т.М. Общее описание пакета программ моделирования распределений, случайных процессов и полей // Деп. ВИНИТИ, 1980, per. N 419080.

25. Ермаков С.М., Павлов А.И., Сизова А.Ф., Товстик Т.М. О пакете программ "Моделирование реализаций случайных процессов и полей" // Ж. Теория вероятностей и её применения, 1982, т. XXVI1, вып. 3, стр. 609-610.

26. Жуковский Е.Е., Бельченко Г.Г., Брунова Т.М. Вероятностный анализ влияния изменений климата на потенциал продуктивности агроэкосистем // Ж. Метеорология и гидрология, 1992, No 3, стр. 92-103.

27. Каган P.JI., Сибир Е.Е. Об учете взаимной связи статистических характеристик при расчете числа выбросов временных рядов // Труды ГГО, 1973, вып. 397, стр. 13-20.

28. Каган Р.Л., Федорченко Е.И. К вопросу о статистическом моделировании двумерных метеорологических полей // Труды ГГО. 1973, вып. 308, стр. 20-26.

29. Каган Р.Л., Федорченко Е.И. О применении теории выбросов к исследованию температурных рядов // Труды ГГО, 1970, вып. 267, стр. 86-89.

30. Каган Р.Л., Канашкин В.К., Федорченко Е.И. О расчете характеристик временных рядов методом статистического моделирования // Труды ГГО, 1972, вып. 286, стр. 71-82.

31. Калашникова Н.И., Огородников В.А. Стохастическая интерполяция однородных случайных полей // Методы и алгоритмы статистического моделирования. Новосибирск: Изд. ВЦ СО РАН, 1995, стр. 40-51.

32. Кашьяп Р.Л.,Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным // М.: Наука, 1983.- 384 с.

33. Кобышева Н.В. Косвенные расчеты климатических характеристик//- Л.: Гидрометеоиздат, 1971. -191 с.

34. Марпл С.Л.-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения // М: Мир, 1990. - 584 с.

35. Марченко А.С. Аппроксимация эмпирического распределения вероятностей суточных сумм жидких осадков // Труды ЗапСибНИИ Госкомгидромета, 1989, вып. 86, стр. 66-74.

36. Марченко А.С., Минакова JI.A. Вероятностная модель временных рядов температуры воздуха.// Ж. Метеорология и гидрология, 1982, N 3, стр. 51-56.

37. Марченко А.С., Минакова Л.А., Огородников В.А. Статистическое моделирование редких похолоданий с учетом их длительности // Анализ и прогноз многолетних временных рядов. Новосибирск, СНИИЗ и ХСХ СО ВАСХНИЛ, 1988, стр. 63-71.

38. Марченко А.С., Минакова Л.А., Семочкин А.Г. Восстановление вертикальных профилей температуры и ветра методом статистической эстраполяции // Применение статистических методов в метеорологии. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1971, стр. 82-121.

39. Марченко А.С., Огородников В.А. Авторегрессионные процессы с заданной корреляционной структурой // Известия вузов, Математика, 1985, No. 7, стр. 63-67.

40. Марченко А.С., Огородников В.А. Вероятностные модели последовательности сухих и дождливых суток // Препринт 993 ВЦ СОР АН, Новосибирск, 1991. 22 с.

41. Марченко А.С., Огородников В.А. Моделирование стационарных гауссовских последовательностей большой длины с произвольной корреляционной функцией // Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1984, Т. 24, No. 10, стр. 1514-1519.

42. Марченко А.С., Огородников В.А. О потере информации при разрежении связных выборок // Применение статистических методов в метеорологии,- Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1971, стр. 68-81.

43. Марченко А.С., Романенко Т.П. Моделирование гамма-, последовательностей и их использование для изучения выбросов скорости ветра // Ж. Метеорология и гидрология, 1975, No 7, стр. 54-62.

44. Марченко А.С., Семочкин А.Г. Изучение выбросов относительной влажности воздуха путем статистического моделирования бета-последовательностей // Труды ГГО, 1977, вып. 397, стр. 35-43.

45. Марченко А.С., Сёмочкин А.Г. F<DOF метод моделирования временных рядов по наблюдаемым реализациям // Численные методы статистического моделирования. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1987, стр. 14-22.

46. Михайлов Г.А. Моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма // Докл. АН СССР, 1982, т. 3, N 3, стр. 531-535.

47. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло // -М: Наука, 1986 Engl.trans 1.: Springer-Verlag, 1992.

48. Монин JT.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика, часть 2 // М: Наука, 1967. - 720 с.

49. Обухов A.M. Турбулентность и динамика атмосферы // Л: Гидрометеоиздат, 1988. - 414 с.

50. Ogorodnikov V.A. and Prigarin S.M. Numerical modeling of random processes and fields: algorithms and applications // VSP, Utrecht, The Netherlands, 1996. 240 p.

51. Ogorodnikov V.A. and Protasov A.V. Dynamic probabilistic model of atmospheric processes and variational methods of data assimilation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling (1997), V.12, N.5, pp. 399-480.

52. Огородников В.А. Моделирование трехмерных полей геопотенциала с заданной статистической структурой // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике .- Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1979, стр.73-78.

53. Огородников В.А. Моделирование стационарных векторных рядов с заданной корреляционной структурой // Методы и алгоритмы статистического моделирования. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1983, стр.21-30.

54. Огородников В.А. Некоторые свойства оценок пороговых уровней длительных похолоданий // Методы статистического моделирования. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1986, стр. 25-34.

55. Огородников В.А. О динамико-вероятностном прогнозе // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, т. 11, No. 8, 1975, стр. 851-853.

56. Огородников В.А. О статистической устойчивости базиса из собственных векторов выборочной ковариационной матрицы // Теория и приложения статистического моделирования. -Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1985, стр. 66-76.

57. Огородников В.А. Статистическое моделирование векторных процессов авторегрессии с заданной корреляционной структурой // Теория и приложения статистического моделирования. -Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1989, стр. 54-63.

58. Пиранашвили З.А. Некоторые вопросы статистико-вероятностного моделирования случайных процессов // Вопросы исследования операций.- Тбилиси, 1966, стр. 53-91.

59. Поляк И.И. Методы анализа случайных процессов и полей в климатологии//- Л.: Гидрометеоиздат, 1979.- 255 с.

60. Полляк Ю.Г. Моделирование последовательностей неравноотстоящих по времени выборок из гауссова случайного процесса // Известия АНСССР, Техническая кибернетика, 1969 , N 1, стр. 50-56.

61. Пригарин С.М. Некоторые задачи теории численного моделирования случайных процессов и полей // Новосибирск, 1994.

62. Пригарин С.М. Приближенное моделирование гауссовских полей на основе спектрального представления // Новосибирск, 1989,- 21 е.- (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 876).

63. Пригарин С.М. Спектральные модели векторных однородных полей.// Новосибирск, 1989,- 36 е.- (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 945).

64. Пригарин С.М. Условия совместности маргинальных распределений и корреляций // Численные методыстатиститического моделирования. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1987, стр. 3-5.

65. Рожков В.А. Методы вероятностного анализа океанологических процессов II -11.: Гидрометеоиздат, 1979.- 280 с.

66. Рожков В.А., Трапезников Ю.А. Вероятносные модели океанологических процессов // JL: Гидрометеоиздат, 1990.-272 с.

67. Рожков В.А., Трапезников Ю.А. К вопросу о построении моделей океанологических процессов // Труды ГОИН, 1983, Вып. 169, стр. 46-59.

68. Румянцева С.А. Вероятностное моделирование ветрового волнения как полимодулированного полициклического случайного процесса // Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Санкт-Петербург, 1993.

69. Robinson Т.A. Multichannel time series analysis and digital computer programs //- S.F.: Holden DAY, 1967.

70. Сванидзе Г.Г. Математическое моделирование гидрологических рядов // JL: Гидрометеоиздат, 1977. - 296 с.

71. Смирнов И.В., Болыпев JI.H. Таблицы для вычисления функции двумерного нормального распределения // М: Изд. АН СССР, 1962.-204 с.

72. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло //- М.: Наука, 1973.-311 с.

73. Сонечкин Д.М. Динамико-стохастический подход к проблеме долгосрочного прогноза // Труды ГМЦ СССР, 1982, вып. 243, стр. 3-78.

74. Срагович В.Г. Моделирование некоторых классов случайных процессов // Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1963, Т. 3, No. 3, стр. 586-593.

75. Sheuer Е.М., Stoller D.S. On the generation of normal random vectors//Technometrics, 1962, v. 4, No. 2, pp. 278-281.

76. Татарский В.И. Использование динамических уравнений при вероятностном прогнозе барического поля // Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1969, т. 5, No. 3, стр. 293-297.

77. Тимченко И.Е. Динамико-стохастические модели состояния океана //- Киев.: Наукова Думка, 1981.- 192 с.

78. Товстик Т.М. Моделирование однородного гауссовского поля // Тр X Всесоюз. симпозиума. Секция 4. Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей. Л. 1978, стр. 75-77.

79. Тройников B.C. Численное моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма в задачах переноса излучения в облачной среде // Изв. АН СССР. Сер. ФАО, 1984, Т. 20, No. 4, стр. 274-279.

80. Ukhinova O.S. Stochastic Simulation of a Class of Heterogeneous Gaussian Field // Proceedings of the 4th St.Petersburg Workshop on Simulations. N11 Chemistry St.Petersburg University Publishers, 2001, pp. 486-491.

81. Ukhinova O.S. Numerical simulation of a special class of non-homogeneous Gaussian fields // Bull. NCC. Ser. Num. Anal. 2001. Iss. 10.-pp. 53-60.

82. Ухинова O.C. Стохастическая модель временных рядов сумм осадков // Труды конференции молодых ученых. Новосибирск, 2002, стр. 164-169.

83. O.S. Ukhinova Stochastic model of time series of precipitation sums // Proceedings of the International Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk, 2002, pp. 291-294.

84. Ухинова O.C. Численная вероятностная модель пространственных полей вектора скорости ветра // Труды конференции молодых ученых. Новосибирск, 2003, стр. 118-127.

85. Ukhinova O.S., Ogorodnikov V.A. Stochastic models of meteorological processes // International Conference on Mathematical Methods in Geophysics "MMG-2003", Abstract, ICMMG. -Novosibirsk, 2003.

86. См.: http://www-sbras.ngs.ru/ws/showabstract.dhtml?en+78+5726.

87. Ухинова O.C. Некоторые вопросы численного стохастического моделирования временных рядов индикаторов осадков // Труды конференции молодых ученых. Новосибирск, 2004, стр.211-218.

88. Федорченко Е.И. Об учете отклонений от нормального распределения при расчете вероятности выброса случайной последовательности // Труды ГГО, 1976, вып. 374, стр. 159-167.

89. Федорченко Е.И. О влиянии суточного хода параметров распределения на среднее число выбросов температуры воздуха // Труды ГГО, 1977, вып.397, стр. 21-26.

90. Федорченко Е.И. О среднем числе выбросов средней суточной температуры воздуха на территории СССР // Труды ГГО, 1977, вып. 374, стр. 181-185.

91. Федорченко Е.И. О суточном ходе характеристик выбросов температурных рядов // Труды ГГО, 1977, вып. 397, стр. 27- 34.

92. Franclin J. N. Numerical simulation of stationary and nonstationary Gaussian random processes // "SIAM REV", 1965, 7, No. 1, pp. 68-80.

93. Хеннан Э. Многомерные временные ряды (пер. с англ.) // М.: Мир, 1974. - 576 с.

94. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования // J1.: Машиностроение, 1986. -320 с.