Статистические свойства шума 1/f тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Степанов, Александр Викторович

• Степанов, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Степанов, Александр Викторович

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ШУМ ^

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ). ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

§1. Основные экспериментальные результаты.

§2. Модельные представления.

§3. Постановка задачи. •

Глава II. X АР АКТЕР ИС ТИКИ ОЦЕНОК СРЕДНЕГО И

ДИСПЕРСИИ ПРОЦЕССОВ ТИПА Цх

§1. Предварительные замечания и определения.

§2. Оценивание среднего и стационарности среднего.

Оценки среднего (38). Оценивание нестационарности среднего (44)»

§3. Оценивание дисперсии и стационарности дисперсии.

Оценки дисперсии (55). Обнаружение низкочастотной границы (63). Оценивание нестационарности дисперсии (бб). Выводы по II главе.

Глава III. ИССЛЕДОВАНИЕ ШУМ ДИПЕРСИИ И

СТАТИСТИКИ ВЫБРОСОВ ШУМ Ц

§1. Исследование шума дисперсии.

Теоретический анализ шума дисперсии (72). Экспериментальная часть (81).

§2. Характеристики выбросов шума ^р • . 90 Средняя частота и средняя длительность выбросов (92). Экспериментальная часть (96). Дис

Персия частоты выбросов (104).

Выводы по III главе,

Глава 1У. РАВНОВЕСИЕ ФЛУКТУАЦИИ В СИСТЕМАХ С

ФЛУКТУИРУЮЩИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ.

§1. Квазистатическое приближение.

Спектр флуктуаций мощности теплового шума (118). Оптимальные условия измерения равновесных флуктуаций сопротивления (122). Предельная чувствительность измерения равновесных флуктуаций сопротивления (125).

§2. Модифицированное уравнение Ланжевена. . . . 129 Случайная э.д флуктуирующегопротивления (129). Энергетичиеотношения (131).

§3. Спектры флуктуаций равновесного напряжения и мощности напряжения.

Решение уравнения .Ланжевена (137). Спектр равновесного напряжения (140). Спектр мощности равновесного напряжения (146).

Выводы по 1У главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистические свойства шума 1/f»

В настоящее время проблема шума ^ является одним из центральных вопросов физики флуктуационных явлений. Об этом, в частности, свидетельствуют многочисленные публикации, посвященные шуму ^ , в отечественной и зарубежной литературе (см., например, обзоры [1-5]). Отличительной особенностью шума ^ , также называемого избыточным или фликкерным шумом, является непрерывное возрастание спектральной плотности флуктуации с понижением частоты наблюдения: где показатель спектра ^ обычно слабо зависит от частоты и близок к единице. Причем такая степенная зависимость прослеживается до частот, ограниченных лишь техническими возможностями измерения спектра в инфранизкочастотном диапазоне, например, в электрических системах шум /£> наблюдается вплоть до частот порядка 10 Гц. Это означает, что процессы, ответственные за фликкерный шум, либо не имеют никакого характерного масштаба времени, либо имеют, но такой масштаб необычайно велик. Физические механизмы, обуславливающие столь длительную "память" в системах конечных размеров, окончательно не выяснены.

Другая особенность шума заключается в том, что указанная степенная зависимость спектра носит универсальный характер. Фликкерный шум наблюдаетвя в системах самой разнообразной природы: электрических, магнитных, астрофизических, экономических и др. системах (много "экзотических" примеров шума ^ приводится в работах [о-в/). Однако до сих пор не ясно, почему столь различные процессы приводят к одному и тому же спектру флуктуаций. Более того, даже в частном случае электрических систем, где шум исследован наиболее подробно, нет единой точки зрения на природу этого явления.

Между тем , вопрос о фликкерных флуктуациях имеет важное прикладное значение. Шум ограничивает чувствительность приборов на низких частотах и во многом определяет временную стабильность различных устройств, например, стандартов частоты /э/. Кроме того, вследствие различного рода модуляционных процессов происходит перенос низкочастотного шума на более высокие частоты. Попадая вместе с полезным сигналом в каналы регистрации, эта шумовая компонента определяет пороговые характеристики также и высокочастотных цриборов. Поэтому снижение уровня шума является актуальной задачей, решение которой возможно лишь на основе четких физических представлений о природе этого явления.

Следующий прикладной аспект проблемы заключается в том, что по измерению шума ^ можно судить о чрезвычайно медленных процессах, протекающих в исследуемой системе, и тем самым в определенной степени прогнозировать ее будущее поведение. В частности, есть теоретические и экспериментальные основания полагать, что по уровню низкочастотного шума можно судить о надежности полупроводниковых приборов /бОт61у.

В последнее время на решение проблемы шума ^ были направлены значительные усилия, благодаря которым удалось существенно продвинуться вперед на пути понимания этого явления. Были установлены важные эмпирические закономерности и выдвинут ряд новых теорий фликкерного шума. Тем не менее, целый ряд основных вопросов механизма шумообразования со спектром ^ остается невыясненным. В том числе принципиальный вопрос о термодинамической равновесности шума и связанный с ним вопрос о стационарности шума. Если фликкерный шум - свойство термодинамически равновесной ограниченной системы, то флуктуации должны иметь конечную дисперсию, и, следовательно, спектральная плотность шума должна быть интегрщ)уема в нуле частоты. Процесс будет стационарным. Если шум - неравновесный и связан с движением системы к полному термодинамическому равновесию, флуктуационный процесс будет нестационарным, и требование интегрируемости спектра отпадает. Отсутствие низкочастотной границы фликкерного шу-мав проведенных до сих пор экспериментах, а также противоречивые данные по так называемому эффекту "шума дисперсии" не позволяют однозначно решить этот вопрос.

Первая задача настоящей работы состоит в теоретическом исследовании оценок статистических характеристик фликкерного шума для определения предельных возможностей обнаружения нестационарных эффектов и в проведении экспериментального исследования стационарности шума ^ .

Другой аспект проблемы равновесности шума заключается в следующем: вызваны ли флуктуации параметров, с которыми связывают ^ шум в настоящее время, внешним воздействием на систему, или же они существуют в состоянии частичного равновесия, когда внешнего воздействия нет. Для электрических флуктуаций вопрос формулируется так: существуют ли равновесные флуктуации сопротивления в отсутствие внешнего тока, и если да, то к каким обнаружимым эффектам они приводят. . В настоящее время флуктуации сопротивления прослежены в спектре мощности равновесного напряжения, где они приводят к появлению низкочастотной ^ - компоненты [10,11/. Однако простой и наглядный способ анализа равновесных флуктуаций сопротивления, предложенный в этих работах, не является вполне убедительным и в принципе не позволяет рассмотреть ряд эффектов, в частности, влияние флуктуаций сопротивления на спектр самого равновесного напряжения.

Второй задачей диссертационной работы является проведение строгого анализа равновесных флуктуаций сопротивления на основе уравнения Ланжевена, модифицированного с учетом этих флуктуаций.

Диссертация состоит из настоящего Введения, четырех глав, Заключения и списка цитированной литературы.

В первой главе приводится краткий обзор современного состояния проблемы шума в электрических системах, акцентированный на вопросе о равновесности фликкерных флуктуаций. На основе проведенного обзора детализируются задачи данной работы.

Во второй главе на основе представления о шуме как о нормальном процессе со стационарными приращениями рассматриваются статистические характеристики оценок среднего и дисперсии фликкерного шума, выясняется корректная постановка вопроса о стационарности и определяются оптимальные условия обнаружения медленных нестационарных изменений среднего и дисперсии, а также низкочастотной границы спектра .

В третьей главе проводится теоретический анализ эффекта "шума дисперсии" в предположении нормальности и стационарности шума , и результаты сопоставляются с проведенным экспериментальным исследованием флуктуации оценок дисперсии* Проводится исследование статистических характеристик выбросов шума ¿¿р , направленное на выяснение вопроса о стационарности шума.

В четвертой главе рассматриваются равновесные флуктуации напряжения в системах с флуктуирующим сопротивлением. Сравниваются результаты анализа на основе двух подходов: в квазистатическом приближении и с использованием модифицированного уравнения Ланжевена, учитывающего флуктуации сопротивления. Вычисляются эффекты, обусловленные флуктуациями сопротивления, по которым эти флуктуации могут измеряться в состоянии теплового равновесия системы. Определяется предельная чувствительность измерения флуктуаций сопротивления по низкочастотным флуктуа-циям мощности равновесного напряжения.

В Заключении сформулированы основные выводы по работе, которые выносятся на защиту.

Результаты диссертации докладывались на 11-й и Ш-й Всесоюзных конференциях "Флуктуационные явления в физических системах" ( Вильнюс, 1979г. и Вильнюс, 1982г.), II Всесоюзном научно-техническом семинаре "Электрофлуктуационная диагностика материалов и изделий микроэлектроники" ( Казань, 1981г.), семинарах кафедры физики колебаний физического факультета МГУ и опубликованы в пяти печатных работах /12-16^.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Степанов, Александр Викторович

Выводы по 1У главе.

Результаты проведенного исследования равновесных флуктуаций в системах с флуктуирующим сопротивлением можно сформулировать следующим образом.

1. Тепловой шум системы, содержащей флуктуирующее сопротивление, феноменологически описывается уравнением Ланжевена с флуктуирующим параметром. При этом случайная э.д.с. флуктуирующего сопротивления представляется негауссовым й -коррелированным во времени источником с амплитудой, модулированной флуктуациями сопротивления. Негауссовость источника приводит к негауссовости равновесных напряжений и токов в системе.

2. Флуктуации сопротивления не нарушают тепловое равновесие системы и не влияют на величину ее средней энергии.

3. Флуктуации сопротивления изменяют спектры флуктуаций равновесного напряжения и мощности напряжения: спектры деформируются по отношению к спектрам системы с постоянными параметрами, и в спектре мощности появляется низкочастотная компонента, соответствующая спектру флуктуаций сопротивления. По измерению этих характеристик флуктуации сопротивления могут регистрироваться в равновесных условиях.

4. При анализе спектра флуктуаций мощности равновесного шума для случая фликкерных флуктуаций сопротивления с большой степенью точности допустимо квазистатическое приближение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты работы, которые выносятся на защиту.

1. На основе исследования оценок среднего и дисперсии флик-керного шума определена предельная обнаружимая при данной длительности реализации шума величина нестационарных изменений среднего и дисперсии.

2. Определены оптимальные условия обнаружения линейных во времени нестационарных изменений среднего и дисперсии фликкерного шума, а также низкочастотной границы спектра ^ . Для показателя спектра у = 4. эти условия следующие: измерение нестационарности среднего - ("£s)opt~ ^ ' ' измерение нестационарности дисперсии - t - ^» ^ » *e>P-t~ ^ i обнаружение низкочастотной границы - (т/-т- ) . — 3 ;

4 »О opt Т - время усреднения, S - временная задержка, для которой определяется разность оценок среднего или дисперсии, X - относительная ширина спектра шума, Т0 - временной интервал, для которого определяется дисперсия шума ^ ).

3. Проведено сопоставление теоретических и экспериментальных результатов исследования флуктуаций оценок дисперсии и статистических характеристик выбросов шума ^ и белого шума и показано, что повышенный уровень флуктуаций оценок для шума по сравнению с белым объясняется в предположении нормальности и стационарности фликкерного шума.

4. Для описания равновесных флуктуаций напряжения и тока в системах с флуктуирующим сопротивлением предложено и обосновано модифицированное уравнение Ланжевена, в которое введены дополнительные случайные источники, характеризующие флуктуации сопротивления. Прямым следствием флуктуаций сопротивления является нега-уссовость равновесного напряжения и тока.

5. На основе решения модифицированного уравнения Ланжевена показано, что флуктуации сопротивления изменяют спектры равновесного напряжения и мощности напряжения. Определена величина этих изменений, по которым флуктуации сопротивления могут измеряться в состоянии теплового равновесия системы.

Выражаю глубочайшую признательность своему научному руководителю профессору В.В.Потемкину за чуткое и внимательное руководство и всестороннюю помощь при выполнении работы.

Я также благодарен его сотрудникам и ученикам Юносову E.H., Бакши И«С., Чикину Д.Г., Кароблеву О.И. за постоянную поддержку и обсуждение результатов работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Степанов, Александр Викторович, 1984 год

1. Van der Ziel A. Flicker noise in electronic devices» Adv. Electr. Electron Phys.,1979, v.49, 225 - 297»

2. Dutta P., Horn P.M. Low-frequency fluctuations in solids: 1/f noise. Rev. Mod. Phys., 1981 ,v.53, No.3,497 - 516.3« Hooge F.N., Kleinpenning T.G.M., Vandamme L.K.J. Experimental studies on 1/f noise.- Rep.Progr.Phys. ,1981 ,v.44, N0.5, 479552.

3. Bell D.A. A survey of 1/f noise in electrical conductors. -J.Phys.C., 1980, V.13C, No.24, 4425 4437»5« Бочков Г.Н., Кузовлев Ю.Е. Новое в исследованиях 1/f шума.-УФН, 1983,т.141, вып.1, . 151 176.

4. Press W.H. Flicker noise in astronomy and elsewhere. Comm. Astrophys., 1978, v.7, No.4, ЮЗ - 119.

5. Keshner M.S. 1/f noise. Proc. IEEE,1982, v.70, No. 3» 212 -218.

6. Voss R.F., Clarke J. 1/f noise from systems in thermal equilibrium. Phys. Rev. Lett., 197&, v.36, No.31» 42 - 45.

7. Beck H.G.E., Spruit w.P. 1/f noise in the variance of Johnson noise. J.Appl.Phys.,1978, v.49, N0.6, 3384 - 3388.

8. Потемкин В.В., Степанов A.B. О стационарном характере шума 1/f в низкочастотном диапазоне. Радиотехн. электрон.,1980, т.25, № 6, 1269 1275.

9. Потемкин В.В., Степанов A.B. Исследование статистических свойств шума 1/f . Флуктуационные явления в физических системах. II конференция. Тезисы докладов.Вильнюс, 1979, 66 - 67.

10. Потемкин В.В., Степанов A.B. Стационарность низкочастотного шума и надежность приборов. Электрофлуктуационная диагностика материалов и изделий микроэлектроники. Материала II Всесоюзного научно-технического семинара. М.,1981, 60 - 61.

11. Потемкин В.В., Степанов A.B. К вопросу о равновесных флукту-ациях сопротивления. Флуктуационные явления в физических системах. Материалы III Всесоюзной конференции. Вильнюс, 1983, 118 - 120.

12. Потемкин В.В., Степанов A.B. Равновесное шумовое напряжение и флуктуации сопротивления. Радиотехн. электрон.,1984,т.29, № I, 101 105.

13. Handel Р.Н. Quantum theory of 1/f noise. Phys.Lett. A., 1975, V.53A, No.6, 438 - 440.

14. Handel P.H. Quantum approach to 1/f noise. Phys. Rev. A, 1980, v.22A, ИЪ.2, 747 - 757.

15. Бонч-Бруевич В.Л. К теории генерационно-рекомбинационного шума в полупроводниках. ФТТ, 1965, т.7, Л 7, 2147 - 2155.

16. Потемкин В.В., Розентур К.И., Спектр флуктуаций в многодолинных полупроводниках. ФТТ, 1971, т.13, Ш 4, 989 - 996.

17. Шульман А.Я. К воцросу о природе шума 1/f .- КЭТФ, 1981, т.81, вып. 2(8), 784 797.

18. Jones B.K., Francis J.D. Harmonic generation in 1/f noise.-J.Phys.D, 1975» v.8D, Ho.16, 1937 1940.

19. Абрамов А.С.Потемкин В.В. О природе фликкерного магнитного шума. Физика магнитных пленок. 71 Всесоюзная школа-семинар. Саранск, 1979, 100.

20. Jones B.K. 1/f and lAf noise produced by a radio-frequency current in a carbon resistor. Electron.Lett.,1976, v.12, lib.4, 110 - 111.

21. Hooge F.N. 1/f noise is no surface effect. Phys.Lett.A, 1969, V.29A, N0.3, 139 - 140.

22. Hooge F.N. 1/f noise. Physica B, 1976, V.83B, No.1, 14-23»

23. Voss R.F., Clarke J. Flicker (1/f) noise: equilibrium temperature and resistance fluctuations. Phys. Rev. B, 1976, v,13B, По.2, 556 - 573.

24. Андрушко А.Ф., Бакши И.С., Жигальский Г.П. Влияние структурных факторов Hai /f шум тонких алюминиевых пленок.-Изв.вузов, Радиофизика, 1981, т.24,М, 498 502.

25. Потемкин В.В., Бакши И.О., Жигальский Г.П. Шум вида1 /f в поликристаллических пленках алюминия. Радиотехн. и электрон., 1983, т.28, № II, 2211 - 2216.

26. Fleetwood D.M., Giordano IT. Resistivity dependence of 1/f noise in metal films. Phys. Rev.B, 1983» V.27B, No.2,667 671.

27. Kleinpenning T.G.M. 1/f noise in thermo e. m. f. of intrinsic ahd extrinsic semiconductors. Physica, 1974» v.77, No.1, 78 - 98.

28. Kleinpenning T.G.M., Bell D.A. Hall effect noises fluctuations in number or mobility? Physica B, 1976, V.81B, jOl - 304.

29. Kleinpenning T.G.M. 1/f noise of hot carriers in n-type silicon. Physica В + С, 1981, v.ЮЗ, Nos. 2-3» 340-344. Hooge F.N., Vandamme L.K.J. Lattice scattering causes1/f noise. Phys. Lett. A, 1978, v. 66 A, No. 4, 315 - 316.

30. Паленскис В., Шаблицкас 3., Лауцюс А., Миколайтис Г. Тепловые флуктуации энергии решетки и1 / шум. Материалы III Всесоюзной конференции "Флуктуационные явления в физических системах'.' Вильнюс, 1983, 131 - 134.

31. Hooge F.N., Hoppenbrowers A.M.H. Contact noise. Phys. Lett. A., 1969, v.29 A, Fo.11, 642 - 643.43* Kleinpenning T.G.M. Low-frequency noise in Schottky barrier diodes. Solid St. Electron., 1979, v. 22, No. 2, 121 - 128.

32. Vandamme L.K.J. Model for 1/f noise in MOS transistors biased in the linear region. Solid St. Electron., 1980, v.23, No.4, 317 - 323»

33. Потемкин B.B., Бакши И.О., Захарова M.B. 1 /£ шум в медных проволоках. Препринт физич. факульт. МГУ, $ 15/1983, 1983, 5 с.

34. Voss R.F. Lineary of 1/f noise mechanisms. 5-th Inter. Conf. on Noise in Physical Systems, 1978, Bad Nauheim, Germany, 131 - 136.

35. Nelkin M., Tremblay A.M.S. Deviation of 1/f voltage fluctuations from scale-similar Gaussian behavior. J.Stat. Phys., 1981, v.25,No.2, 253 - 268.

36. Moore W.J. Statistical studies of 1/f noise from carbon resistors. J.Appl. Phys., 1974, v.45, No.4, 1896 - 1901.49« Caloyannides M.A. Microcycle spectral estimates of 1/fnoise in semiconductors. J.Appl. Phys., 1974, v.45, No.1, 307 - 316.

37. Brophy J.J. Statistics of 1/f noise. Phys. Rev., 1968, v.166, N0.3, 827 - 831.51» Greenstein J.J., Brophy J.J. Influence of Lower cutoff frequency on the measured variance of 1/f noise. J.Appl. Phys., 1969, v.40, No.2, 682 - 685.

38. Brophy J.J. Variance fluctuations in flicker noise and current noise. J.Appl. Phys., 1969, v.40, N0.9, 3551 - 3553»53* Brophy J. J.Low-frequency variance noise. J.Appl. Pliys., 1970, v.41, No.7, 2913 - 2916.

39. Purcell W.E. Variance noise spectra of 1/f noise. J.Appl. Phys., 1972, v.43,No.6, 2890 - 2895«

40. Dell R.A., Epstein M., Karmewurt O.R. Experimental study of 1/f noise stationarity by digital techniques. J.Appl. Phys., 1973» v.44, No.1, 472 -476.

41. Stoisiek M., Wolf D. Recent investigations on the stationarity of 1/f noise. J.Appl.Phys.,1976, v.47, No.1, 362 -364.57* Strasilla U.J., Strutt M.J.O. Narrowband variance noise.

42. Пряников B.C. Прогнозирование отказов полупроводниковых приборов. М.: Энергия, 1978, с.112.

43. Ван дер Зил А. Прогнозирование момента отказа по низкочастотному шуму транзистора. Электроника, 1966, $ 24,38-41.

44. Ван дер Зил А. Шум. Источники, описание, измерение. М: Советское радио, 1973, с.226.

45. Van der Ziel A. On the noise spectra of semiconductor noise and of flicker effect. Physica, 1950, v.16, No.4, 359 - 372.

46. Mo Whorter A.L. 1/f noise and germanium surface properties. Semiconductor surface physics, ed. by R.H.Kingstone. Univ. of Pencilvania Press, 1957» 207 228.

47. Maes H.E., Usman S.H. 1/f noise in thin oxide p-channel metal-nitride-oxide-silicon transistors. J.Appl.Phys., 1983, v.54,ITo.4, 1937 - 1949.

48. Zheng K., Duh K.-H., Van der Ziel A. Eliminating low-frequency 1/f noise in HgCdTe by sputtering. Physica B, 1983» v.119B,249 - 251.

49. Dutta P., Dimon P., Horn P.M. Energy scales for noise processes in metals. Phys. Rev. Lett., 1979» v. 43, N0.9, 646 - 649.

50. Коган Ш.М., Нагаев К.Э. Низкочастотный токовый шум в твердых телах и внутреннее трение. ФТТ, 1982, т.24, J£ II, 3381 - 3388.

51. Ngai K.L. Unified theory of 1/f noise and dielectric res-ponce in condensed matter. Phys.Rev.B,l980, v.22, No.4,2066 2077.

52. Scofield J.H., Darling D.H., Webb W.W. Exclusion of temperature fluctuations as the source of 1/f noise in metal films. Phys.Rev.B, 1981, V.24B, No.12, 7450 - 7453.

53. Black R.D., Weissman M.B., Fliegel P.M. 1/f noise in metal films lacks spatial correlation. Phys.Rev.B,1981, V.24B, No.12, 7454 - 7456.

54. Вайнштейн Л.А. К теории фликкерного шума. ЖЭТФ, 1982, т.83, вып.5 (II), 1841 - 1850.

55. Жигальский Г.П., Карев А.В. Пространственная корреляция шума вида i/f в пленках хрома. Радиотвхн. и электрон., 1977, т.22, В 12, 2610 - 2616.

56. Ketchen M.В., Clarke J. Temperature fluctuations in feely suspended tin films at superconducting transition. Phys. Rev.B, 1978, V.17B, No.1, 114 - 121.

57. Климонтович Ю.Л. Остаточные временные корреляции и спектр 1/f при броуновском движении. ЖЭТФ, 1981, т.80, №6, 2243 - 2249.

58. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982, с.608.

59. Климонтович Ю.Л. Естественный фликкер-шум. Письма в ЖТФ, 1983, т.9, № 7, 406 - 410.

60. Бочков Ю.Е., Кузовлев Г.Н. 0 происхождении и статистических параметрах равновесного шума. Письма в ЖТФ, 1982, т.8,20, 1260 1263.

61. Бочков Ю.Е., Кузовлев Г.Н. К вопросу о происхождении и статистических характеристиках 1/f шума. Изв. вузов, Радиофизика, 1983, т.26, № 3, 310 - 317.

62. Palenskis V., Shoblitskas Z. Origin of 1/f noise. Solid State Commun., 1982, v.43, No.10, 761 - 763.

63. Врачев A.C. О термодинамическом подходе к проблеме низкочастотного шума.1,11. Изв. вузов, Радиофизика, 1980,т.23, № 12, 1464 1472.

64. Малахов А.Н., Якимов A.B. К вопросе о природе фликкерных флуктуаций. Радиотехн. и электрон., 1974, т.19, II, 24 - 36.

65. Малахов А.Н., Якимов A.B. Древский М.А. Связь фликкерных флуктуаций с деградацией систем. Материалы III Всесоюзн. конф. Флуктуационные явления в физических системах. Вильнюс, 1983, 35 - 37.

66. Якимов A.B. Фликкерные флуктуации и деградационное изменение сопротивления точечных контактов. Изв. вузов, Радиоэлектроника, 1983, т. 26, 16 II, 68 - 69.

67. Кревский М.А., Якимов A.B. Флуктуации типа 1/f и дегра-дационное изменение частоты автогенераторов с резонаторами поверхностных акустических волн. Изв.вузов, Радиофизика, 1983, т.26, В 12, 1552 - 1556.

68. Рытов G.M. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966, с.404.

69. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. -М.: Наука, 1968, с.660.

70. Mikulinsky M.A. »Ehe relationshipbetween 1/f and lAf noises. Phys. Lett. A, 1979» v.71 A, 473»

71. Мирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. М.-Л.: Энергия, 1967, с. 432.

72. Тихонов В.И. Статистическая радиотехнива. М.: Сов. радио, 1966, с. 678.

73. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чщркин A.C. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981, с. 640.

74. Хьюлсман 1.П. Активные фильтры. М.: Мир, 1972, с. 516.

75. Севин Л.Де. Полевые транзисторы. М.: Сов. радио, 1968, с. 181.

76. Тихонов В.И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970, с. 392.

77. Грэм Дне., Тоби Да., Хыолсман Л. Проектирование и применение операционных усилителей. М.: Мир, 1974, с. 630.

78. Шило В.Л. Линейные интегральные схемы в радиоэлектронной аппаратуре. М.: Сов. радио, 1979, с. 268.

79. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976, с. 576.

80. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1978, с. 228.