Развитие методов выявления негауссовости 1/F шума для исследования его природы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Макаров, Сергей Владимирович

• Макаров, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макаров, Сергей Владимирович

Введение.

1. Экспериментальная установка и источники шумов.

1.1. Система цифровой обработки шумов.

1.2. Численные модели случайных процессов.

1.3. Физические источники НЧ шума.

1.4. Выводы к главе 1.

2. Метод анализа погрешности измерения интенсивности фильтрованного шума.

2.1. Статистические свойства оценки интенсивности.

2.2. Доверительный интервал для оценки погрешности.

2.3. Выбор полосового фильтра для измерений.

2.4. Экспериментальные результаты.

2.5. Влияние негауссовости шума на погрешность измерения интенсивности.

2.6. Выводы к главе 2.

3. Исследование корреляции между интенсивностями шума на выходах полосовых фильтров.

3.1. Статистические свойства оценки корреляции.

3.2. Доверительный интервал для оценки коэффициента корреляции.

3.3. Выбор полосовых фильтров для измерений.

3.4. Экспериментальные результаты.

3.5. Ненулевая корреляция как проявление негауссовости шума.

3.6. Выводы к главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие методов выявления негауссовости 1/F шума для исследования его природы»

Одним из направлений исследований в современной радиофизике является изучение статистических характеристик шумов с целью получения информации об их источнике. Такие исследования могут быть полезными для изучения различных процессов в веществе. Однако они стали возможными недавно, благодаря появлению мощных вычислительных систем, позволяющих анализировать необходимые статистические характеристики.

В настоящей работе осуществляется поиск методов, позволяющих выявлять статистические свойства шумов и проверять различные гипотезы происхождения флуктуаций.

В качестве объекта исследования выбран фликкерный шум, поскольку исследование природы такого шума является одной из важных проблем радиофизики. Главная особенность фликкерного шума состоит в том, что его спектральная плотность мощности монотонно растет с понижением частоты / Его характерной чертой является своеобразная форма спектра, в результате чего существует другое название фликкерного шума: Ш шум. Указанные названия применяют и к шумам со спектром где показатель формы спектра у близок к единице. Наиболее часто встречаются значения 0,8<у<1,2 [1-3].

Фликкерный шум был обнаружен более семидесяти лет назад при исследовании дробовых шумов электронных ламп. Первые работы по изучению фликкер-шума были выполнены в 1926 году Джонсоном и Шоттки [4,5]. С тех пор исследованием фликкерных флуктуаций в твердых телах занимались многие теоретики и экспериментаторы. Фликкерные флуктуации были обнаружены также во многих других элементах радиоэлектроники: в гранулированных резисторах, в газоразрядных лампах, в полупроводниковых приборах, в МОП-структурах. Ш шум наблюдается на контактах между полупроводниками различных типов, на границах металл-полупроводник, в тонких металлических пленках и даже в биофизических системах.

Во фликкерных флуктуациях, по-видимому, находят свое отражение электронные и атомные процессы в веществе, проявляются особенности микроструктуры твердых тел, что означает возможность использования 1Я" шума как информативного параметра качества материалов и надежности полупроводниковых приборов [7-9].

С другой стороны, этот шум ограничивает чувствительность и стабильность многих электронных устройств, требования к которым постоянно повышаются. Это приводит к необходимости создания низкошумящих полупроводниковых приборов. Например, в настоящее время проводятся работы по созданию диода с барьером Шоттки, обладающего низким уровнем Ш шума, поскольку для работы смесителей на низких частотах необходимы низкошумящие диоды (см. например [10,11]).

К сегодняшнему дню накоплен значительный теоретический и экспериментальный материал по Ш шуму в проводящих материалах (см. обзоры [2,3,12-16]).

Однако природа фликкерного шума остается пока неясной. Универсальная теория фликкерных флуктуаций еще не создана, поскольку такие флуктуации имеют ряд особенностей. В частности, ничего точно не известно о стационарности Ш шума, тогда как этот вопрос имеет принципиальное значение для понимания его природы. Основная трудность в объяснении \И шума связана с его генерацией на низких частотах, для чего требуется найти физические механизмы возникновения такого шума, обладающие большими временами корреляции. Вопрос о механизме возникновения 1/Т шума остается открытым. Неясно также, чем он обусловлен в проводящих материалах: флуктуациями числа носителей заряда или флуктуациями их подвижности.

В настоящее время не существует удовлетворительного инструмента для исследования природы вышеуказанного шума. Поэтому целью проводимой работы является поиск инструмента для выяснения природы Ш шума в проводящих материалах, с помощью которого можно проверять различные гипотезы происхождения фликкерных флуктуаций.

Многие из экспериментальных данных по фликкерному шуму основаны на обработке результатов измерений параметров спектра Ш шума, которые являются технически сложными, поскольку такой шум наблюдается на очень низких часто

1-1 тах (до 10" Гц и ниже) [16,17].

Фундаментальная трудность в получении достоверной спектральной плотности на низких частотах состоит в том, что требуются весьма длительные периоды сбора данных, тогда как экспериментальное оборудование должно быть высокостабильным и нечувствительным к изменениям окружающей среды, таким как флуктуации температуры, флуктуации напряжения в сети и т.д.

Измерения спектра проводились многократно и к сегодняшнему дню, по-видимому, не могут дать новую информацию о природе фликкерных флуктуаций. Поэтому возникает необходимость в создании новых методов исследования природы Ш шума. Здесь рассматриваются статистические методы проверки гауссовости и стационарности шумов (нулевой гипотезы).

В настоящее время имеется значительный экспериментальный материал по физическим и статистическим свойствам фликкерного шума, обнаруженным при исследовании низкочастотных шумов в различных объектах. Результаты исследования фликкерного шума показывают разнообразие его проявления. Даже приборы, изготовленные в идентичных технологических режимах, имеют 1Я" шумы обладающие совершенно разными свойствами. Например, в работе [18] показывается, что пленки из одного и того же металла, изготовленные по одной технологии и имеющие одинаковое удельное сопротивление, как правило, сильно различаются по величине Ш шума (порой в десятки раз).

Основные вопросы, ответы на которые старались получить исследователи -это стационарность Ш шума; зависимость шума от среднего тока или напряжения; зависимость фликкерного шума от числа свободных носителей тока в проводнике; зависимость уровня 1/Т шума от размеров проводника; температурная зависимость; изменение шума при отжиге и старении образца; анизотропия и пространственная корреляция флуктуаций проводимости; влияние структурных факторов на уровень шума; влияние жестких излучений; влияние внутренних макронапряжений и механических деформаций.

Для объяснения возникновения Ш шума на сегодняшний день существуют четыре основные гипотезы происхождения: гипотезы неравновесной и равновесной природы Ш шума; гипотеза, связывающая появление фликкерных флуктуаций с наличием в твердом теле дефектов; а также квантовая гипотеза, в которой причиной возникновения \И шума является интерференция волновых функций, описывающих процесс рассеяния электронов.

Вездесущность 1/Т шума приводит к предположению о том, что это явление является фундаментальным и неизбежной чертой переноса заряда. Эта идея была математически сформулирована Ханделем [19], разработавшим квантовую теорию шума, в которой носители заряда взаимодействуют с квантованным электрическим полем. На основе квантовой гипотезы существует квантовомеханическая теория 1/Т шума Ханделя [19-21]. Волновые функции, описывающие процесс рассеяния электронов, отличаются по частоте относительно друг друга за счет тормозного излучения электронов, вследствие чего интерференция волновых функций является причиной возникновения 1/Т шума, который формулируется с многочастичной точки зрения.

При прохождении через элемент цепи носители испытывают рассеяние на некоторых потенциальных барьерах и в результате этого могут испускать низкочастотные фононы. Несмотря на то, что энергия фонона мала, ее, по Ханделю, достаточно для модуляции тока, протекающего через элемент, то есть для возникновения Ш пгума. Этот подход представляет собой квантовую версию более ранней теории турбулентности носителей тока в металлах и полупроводниках.

Однако такая теория не может объяснить возникновение фликкерного шума в металлах [22,23]. Разнообразие свойств фликкерного шума, которое наблюдается как в различных системах, так и в идентичных образцах, не согласуется с положением о фундаментальности явления 1/Т шума. Если это явление было бы фундаментальным, тогда 1/Т шум во всех исследуемых объектах имел одинаковый механизм возникновения и обладал одинаковыми свойствами. В этом случае формула Хоухе [24,25] была бы всегда справедливой и можно было предположить, что 1/Т шум имеет единственный объемный механизм возникновения. Однако такое предположение противоречит эффектам сильного изменения шума при изменении условий на поверхности образца (см., например, обзор [3]).

Возникновение фликкерного шума может объясняться флуктуациями рассеяния свободных носителей заряда на акустических колебаниях решетки (фоно-нах) [25,26]. Однако на сегодняшний день, по-видимому, нет экспериментальных результатов, прямо подтверждающих возникновение \И шума из-за решеточного рассеяния [27].

Большинство известных физических моделей, объясняющих возникновение Ш шума в проводящих материалах, основаны на двух подходах. В первом подходе предполагается, что фликкерный шум имеет равновесную природу и, тем самым, является стационарным случайным процессом. Модели, основанные на таком подходе, формируют фликкерный спектр 1/Г в ограниченном диапазоне частот от У/ до /и, поскольку термодинамические ограничения не допускают существования шума с Ш спектром в неограниченном диапазоне частот. В задачу теории входит объяснение границ частотного диапазона и температурной зависимости Ш шума.

На основе этого подхода Ван дер Зил предложил модель экспоненциально широкого распределения времени релаксации, в которой Ш шум трактуется как суперпозиция релаксационных случайных процессов, характеризующихся распределением времени релаксации г, которое является непрерывным в некотором интервале от ц до ть и описывается функцией распределения g(т) [28].

В случае, когда кинетика флуктуаций случайной величины т]{() характеризуется одним временем релаксации т, спектральная плотность флуктуаций имеет вид лоренцевской функции [28]:

В.1)

Если флуктуации величины £(/) описываются набором времен релаксации т с непрерывной функцией распределения g(т), то спектральная плотность флуктуаций К/) определяется путем интегрирования спектра по всему набору времен релаксации:

00

В.2) о

В частности, если распределение весовой функции подчиняется закону: g(т)~ 1/т, т,<т<ть, (В.З) тогда из (В.2) следует, что Б^) имеет \Испектр в диапазоне/{«/«/и, где

Ь,ъ=№пты. (В.4)

В [29] получено, что распределение (В.З) получается в случае, когда процессы, ответственные за 1/Т шум, активационные, то есть т=Г(уехр(Еа/кТ), где Еа- энергия активации, г1 - частота попыток преодолеть активационный барьер, к - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура. Если распределение энергии активации Еа равномерно в достаточно широком интервале: /''(Л^согЫ (Е\<Еа<Е2), то границы Ш спектра определяются следующим образом:

ЛА=/оехр(-Я,,2/ кТ). (В.5)

Здесь /о - средняя частота попыток преодолеть активационный барьер. В частности, если атом находится в потенциальной яме, то /о - это средняя частота тепловых колебаний атома.

Модель экспоненциально широкого распределения энергий активации была предложена Дю Пре [29] для объяснения Ш шума в полупроводниках случайным набором энергий ионизации атомов.

В случае, когда функция распределения времен релаксации подчиняется закону спектр Б^О имеет вид 1// [30].

Для строгого выполнения закона функция распределения энергии активации должна быть непрерывной. Однако, с удовлетворительной точностью спектр вида Ш может получаться и при дискретном наборе релаксационных процессов, например, если на одну декаду частот приходится одна характерная частота релаксационного процесса [31,32], которая, в свою очередь, определяется временем релаксации т.

К группе моделей экспоненциально широкого распределения относится модель Мак-Уортера [33]. Предполагается, что флуктуации числа носителей тока в приповерхностном слое полупроводника возникают из-за обмена электронами между приповерхностным слоем и ловушками, находящимися в слое окисла, покрывающего поверхность. Переход электрона в ловушку или из ловушки происходит путем его туннелирования. Характерное обратное время релаксации такого процесса падает экспоненциально с увеличением расстояния от поверхности полупроводника до ловушки. Поскольку расстояния до разных ловушек разные, то возникает широкое распределение времен релаксации числа носителей тока в полупроводнике. Такая модель используется для объяснения 1/Т шума в полевых транзисторах.

В настоящее время наиболее универсальной моделью для объяснения \И шума считается модель двухуровневых систем (ДУС), в которой высоты локальных энергетических барьеров - случайные величины [34]. Здесь спектр процесса имеет вид 1/^ если высоты локальных барьеров АЕ распределены равномерно в диапазоне от АЕ\ до А/^ [34]. Нижняя и верхняя частоты спектра определяются соотношением:

-ДЕ Л

2 1 /о ехр ' . (В.6) кТ )

Таким образом, предполагается, что фликкерный шум создается ансамблем двухуровневых систем, имеющих широкое распределение средних времен пребывания в своих состояниях [35]. Разновидностями такой модели являются модель Когана и Нагаева для случая туннельного перехода частиц [3], модель Датта и Хорна [16] для случая активационного перехода частиц, а также модель, связывающая возникновение фликкерного шума с наличием дефектов в твердом теле [36-39].

Дефекты представляют собой некоторые образования в кристаллической решетке образца, природа которых окончательно не выявлена. Они могут формироваться атомами примеси [40]. Каждый дефект может локализоваться около какой-либо точки образца, совершая диффузионные скачки в ее окрестности. В простейшем случае дефект имеет два метастабильных состояния, разделенных относительно низким потенциальным барьером, и создает тем самым двухуровневую систему (ДУС) [36-38]. Дефект случайным образом переключается из одного состояния в другое и обратно, в результате чего меняются его электрофизические параметры. Локализованные дефекты могут перемещаться вдоль образца, что обусловлено диффузионными процессами. С течением времени дефект может покинуть свое место и, диффундируя через образец, обосноваться в другой точке образца и сформировать новую двухуровневую систему. Если параметры двухуровневой системы изменяются после перемещения дефекта, то возникаемый токовый шум будет нестационарным [38,39].

Если модель ДУС, обусловленных наличием дефектов в твердом теле, справедлива, то методом спектроскопии низкочастотных электрических шумов можно выявлять дефекты в полупроводниках [41].

В рамках этой модели хорошо объясняется эволюция спектра при изменении температуры образца [32].

Здесь рассматривают два механизма, обеспечивающих \И спектр: изменение эффективного числа атомов примесей внутри образца благодаря случайным процессам прихода (от поверхности или контактов), ухода или взаимного перемещения дефектов; а также изменение электрофизических параметров дефектов благодаря некоторым видам перемещения без изменения их числа. Например, изменение зарядового состояния флуктуирующего атома может приводить к флуктуациям концентрации свободных носителей заряда; изменение эффективного сечения рассеяния приводит к флуктуациям подвижности свободных носителей заряда.

В работе [42] показано, что для объяснения существующих данных в рамках модели флуктуаций сечения рассеяния подвижных дефектов необходимо существование следующего эффекта: увеличение степени легирования при изготовлении полупроводника должно приводить к пропорциональному уменьшению концентрации подвижных дефектов, ответственных за возникновение 1/Т шума. Однако этот эффект не исследовался.

В пользу такого подхода, связывающего возникновение фликкерного шума с наличием дефектов, которые представляют собой некоторые образования кристаллической решетки образца, свидетельствуют многие экспериментальные данные (см., например, [32,37]).

В работе [43] было обнаружено, что уровень фликкерных флуктуаций растет с увеличением числа дефектов в образце.

Наблюдаемое в экспериментах изменение уровня Ш шума после влияния жестких излучений; при отжиге и старении образца; а также влияние структурных факторов на уровень \И шума могут быть объяснены изменением числа дефектов в образце, формирующих \И шум.

После облучения образца наблюдается повышение уровня 1/Т шума, что может быть обусловлено появлением дополнительных дефектов в кристаллической решетке. Например, в работах [44,45] пленки А1 подвергались облучению электронами с энергией 1 МэВ, а пленки М) у-излучению. В первом случае уровень шума увеличился в 6 раз, но после отжига восстановился.

Влияние отжига на 1/Т шум было исследовано на металлических пленках, полученных термическим испарением в вакууме [27]. Для предотвращения окисления отжиг образцов проводился в вакуумной камере. Скорость охлаждения выбиралась малой, чтобы предотвратить закалку микродефектов образца. Было обнаружено, что отжиг приводит к уменьшению уровня фликкерного шума, что может объясняться уменьшением концентрации дефектов кристаллической решетки при отжиге. В работах [45,46] исследовалось изменение уровня Ш шума в пленках А1 при термоциклировании, то есть термоцикл (нагрев, отжиг и охлаждение образца) проводился несколько раз. При нагреве уровень шума возрастал, тогда как при достижении температуры отжига Т=400-410 К резко убывал. При дальнейшем повышении температуры наблюдалось необратимое уменьшение уровня фликкерного шума, причем в каждом последующем цикле уменьшения уровня Ш шума были гораздо меньше, чем в предыдущем. Аналогичный результат получен при исследовании влияния температуры отжига на уровень 1/Т шума в пленках Сг [47]. Это может объясняться тем, что дефекты в пленках имеют различные энергии отжига, дефекты с меньшей энергией активации устраняются при более низкой температуре.

Аналогичные изменения уровня Ш шума были обнаружены при естественном старении пленок. Например, в работе [45] исследованы пленки А1, осажденные при температуре конденсации 300 К. Такие образцы имели неравновесную структуру с высоким содержанием микродефектов. С течением времени наблюдалось уменьшение уровня фликкерного шума по экспоненциальному закону, характерному для отжига точечных микродефектов, что объясняется естественным отжигом пленок при комнатной температуре. Подвижные дефекты, обладающие малыми энергиями активации, отжигаются за короткое время и при сравнительно низких температурах.

Исследование влияния микроструктурных факторов на уровень Ш шума проводилось на пленочных образцах, а также на металлах. Было обнаружено, что уровень шума повышается с уменьшением среднего размера зерен. Установлено, что уровень фликкерного шума зависит от числа дефектных ячеек по отношению к общему числу элементарных ячеек в кристалле [48]. Неоднородности кристаллической решетки также приводят к повышенному уровню 1/Т шума [48,49].

Пленочные образцы, изготовленные в одинаковых технологических режимах, могут иметь разный уровень 1/Т шума. Микроструктурные исследования показывают, что такое различие объясняется наличием дефектов или примесных частиц на поверхности пленки, которые привносятся подложкой [27]. Указанные типы дефектов увеличивают уровень 1/Т шума в 5-10 раз [48]. С другой стороны, обработка поверхности полупроводника (травление) приводит к снижению уровня фликкерного шума. В обзорной работе [3] представлены результаты измерения спектральной плотности мощности 1/Т шума образца п-1п8Ь, которые показывают, что после травления СПМ шума снизилась в 10-100 раз.

Высокотемпературный отжиг, а также старение образца приводят к повышению структурной однородности кристаллической решетки и тем самым к снижению уровня Ш шума [27]. Например, в работе [50] высокотемпературный отжиг в пленках А§ приводил к увеличению среднего размера зерен в 4 раза и к снижению уровня Ш шума в 2-6 раз.

Применительно к металлическим пленкам широкую известность приобрела гипотеза Восса и Кларка о связи Ш шума с равновесными температурными флук-туациями [51-53] (термодиффузионная теория 1/Т шума). Температура любого тела, находящегося в тепловом равновесии с окружающей средой, играющей роль термостата, испытывает флуктуации, обусловленные теплообменом тела со средой. Флуктуации температуры приводят к флуктуациям сопротивления образца. Спектральная плотность флуктуаций температуры £У{/) вычисляется путем решения уравнения теплопроводности для флуктуаций температуры. Однако для объяснения 1/Т шума предполагается, что спектр температуры имеет область, где присутствует зависимость вида 1/Т в диапазоне частот от [\ до /2, которые определяются коэффициентом температуропроводности металла. По существу, \И спектр постулируется. Но в качестве механизма, приводящего к модуляции электрического сопротивления образца, которое в свою очередь приводит к возникновению 1/Т шума в определенном диапазоне частот, была предложена термодиффузия [51]. Такой механизм можно интерпретировать как процесс случайного цуга импульсов, то есть здесь фликкерный шум представляет собой сумму большого числа единичных процессов или пуассоновскую последовательность. Привлекательность такой теории заключается в том, равновесный обмен тепловой энергией между телом и окружающей средой есть явление универсальное и тем самым схожее с фликкерным шумом. Однако гипотеза о связи \И шума с равновесными температурными флук-туациями не согласуется со многими экспериментальными данными [3,27]. В частности, термодиффузионная теория не может объяснить термоактивационную зависимость Ш шума [46,50]. Кроме того, предсказываемый спектр вида Ш имеет место в сравнительно узком диапазоне частот (около 4 декад для пленочных образцов типичных размеров), что не согласуется с экспериментальными данными [51].

Второй подход, используемый для объяснения возникновения \И шума в проводящих материалах основан на следующем предположении: фликкерный шум имеет неравновесную природу и сопровождает нестационарные деградационные процессы, представляющие собой процессы установления термодинамического равновесия, то есть процессы старения. Здесь предполагается, что источники фликкерных флуктуаций локализованы только в термодинамически неравновесных, подверженных старению областях [54] (например, в областях резких потенциальных барьеров). Многие экспериментальные данные показывают, что фликкерный шум наблюдается в областях резких потенциальных барьеров [1,55,56], обусловленных наличием резкого градиента концентрации атомов какого-то одного или нескольких видов. С течением времени атомы в таких системах диффундируют в сторону минимума своей концентрации. Связь скорости старения элемента с величиной его фликкерных флуктуаций подтверждалась экспериментально [6].

В частности, в области резкого р-п-перехода с большим градиентом концентрации легирующих примесей вместе с термодинамическим старением перехода (диффузия акцепторных атомов в п-область и донорных в р-область) могут возникать фликкерные флуктуации числа носителей тока [57]. Повышение степени легирования эмиттера в транзисторах приводит к росту их фликкерных шумов [55]. Фликкерные флуктуации параметров являются естественными для неравновесных систем, тогда как тепловые и дробовые шумы являются естественными для равновесных систем.

Здесь может быть допустимым предположение о существовании шума с Ш спектром в неограниченном диапазоне частот. В этом случае будет иметь место расходимость полной мощности фликкерного шума. В свою очередь это означает, что статистический момент второго порядка либо не существует, либо зависит от времени, то есть шум нестационарен.

Впервые идея о нестационарности 1/Т шума была высказана Малаховым [1]. Эта идея развивается в работах [54,57]. На сегодняшний день стационарность фликкерного шума является гипотезой, поэтому вопрос о расходимости мощности Ш шума остается открытым. Тем не менее, существует математический аппарат спектрально-корреляционного анализа подобных процессов [2].

Таким образом, вопрос о стационарности флуктуации имеет большое значение для понимания его природы. Строгое понятие стационарности флуктуационно-го процесса возможно только с указанием времен релаксации процесса и его наблюдения. Реальные физические объекты сохраняют неизменными свои параметры в течение некоторого конечного интервала времени, их флуктуационные характеристики могут меняться со временем. Флуктуационный процесс можно рассматривать как квазистационарный, если время наблюдения много меньше времени релаксации процесса [58,59]. Поскольку реальные физические системы не являются идеально термодинамически равновесными, то такие системы либо стремятся к термодинамическому равновесию (стареют), либо искусственно поддерживаются в квазиравновесном состоянии. Процесс старения является нестационарным и может приводить к возникновению Ш шума.

Предпринимались попытки исследовать стационарность \И шума на основе анализа его стандартных статистических характеристик. Если шум стационарный, то его функция распределения не зависит от времени, а его корреляционная функция зависит только от разности времен. В работах [60-64] на основе анализа статистических характеристик Ш шума делается вывод о его нестационарности, однако в работах [65,66] показано, что такой вывод обусловлен неправильной трактовкой результатов.

Стационарность фликкерного шума непосредственно проверялась Тандоном и Билгером [67]. В пределах погрешности измерений интенсивность шума оставалась неизменной в течение 2,5 лет для резистора и 4,5 лет для стабилитрона. В этой же работе описывается эксперимент, в котором наблюдалось нестационарное поведение макропараметра: в висмутовых пленках толщиной 150 нм наблюдался дрейф сопротивления со скоростью 0,001% в час. В этих пленках наблюдался 1/f шум, возникновение которого авторы связывали с нестационарностью процесса дрейфа сопротивления. Однако в работе [34] исследовались две группы аналогичных висмутовых пленок: с дрейфом сопротивления и с отсутствием дрейфа. Оказалось, что пленки обоих групп имеют одинаковый уровень 1/f шума.

Общий вывод, сделанный в обзорах [3,16], заключается в том, что во многих экспериментальных работах никаких проявлений существенной нестационарности замечено не было.

Для выяснения природы 1/f шума важно знать является ли такой шум гауссовым, поскольку гауссов характер шума может указывать на то, что такой шум складывается из большого числа случайных процессов. Однако реальную проверку гауссовости можно провести только на первых нескольких статистических моментах.

Многие модели 1/f шума представляют фликкерный шум как суперпозицию большого числа процессов, генерируемых независимыми источниками. В соответствии с центральной предельной теоремой такие модели предсказывают, что 1/f шум гауссов. Однако, если допустить, что справедлива модель, связывающая фликкерный шум с точечными дефектами в образце, тогда при небольшом количестве дефектов такой шум вполне может быть негауссов.

Некоторые теории объясняют возникновение 1/f шума как результат протекания масштабно инвариантных процессов - нелинейных явлений, таких как турбулентность. Такие теории предсказывают негауссов фликкерный шум [68].

В работе [69] теоретически исследовались статистические характеристики 1/f шума, обусловленного флуктуациями подвижности носителей заряда. Показано, что вероятностное распределение Ш шума может качественно отличаться от гауссова: чем выше уровень шума, тем ближе распределение 1 И шума к распределению Коши.

Таким образом, изучение статистических свойств фликкерного шума может позволить выявить его негауссовость, тогда как исследование свойств негауссово-сти может прояснить механизм возникновения 1 /Т шума.

Измерения одномоментной функции распределения флуктуаций с целью определить имеет ли она гауссов вид проводились многократно.

Обычно в тех случаях, когда наблюдается фликкерный шум в "чистом" виде [60,65,70,71] в приборах, не имеющих малые размеры, функция распределения гауссова. В работах [68,72] указывалось на небольшое отклонение от нормального распределения. Однако причиной этого мог быть взрывной шум.

Сильная негауссовость может проявляться в образцах предельно малого объема.

В работе [65] исследуется статистическое поведение оценки амплитудной плотности вероятности для Ш шума углеродных резисторов как теоретически, так и экспериментально с использованием измерителя амплитуды импульса. Результаты оценки амплитудной плотности вероятности записывались на магнитную ленту для дальнейшей обработки на компьютере. Оценивались среднее, дисперсия, третий и четвертый центральные моменты: = -2>,// , =■-^¿(я/-Х)ги , (В.7) и ~ п-1 ,

7=1 ;=1 = - > М< = - ■ (В.8)

Здесь Х{ - наблюдаемая амплитуда (/=1 - частота появления амплитуды х„ Xоценка среднего, 5й - оценка дисперсии, //3 4 - оценки третьего и четвертого центральных моментов. Нормированные оценки третьего и четвертого центрального момента представляют собой оценки коэффициента асимметрии (уа=М з /53) и коэффициента эксцесса (/е=^4/З4), соответственно.

Если исследуемый шум гауссов стационарный, то оценки (В.7) и (В.8) однозначно определяются статистическим средним и дисперсией исследуемого шума, а также числом п некоррелируемых отсчетов х,. Однако поведение вышеуказанных оценок не всегда было таким, как ожидается для гауссова стационарного шума. Некоторые углеродные резисторы имели гауссов стационарный шум, тогда как другие имели дополнительный "импульсный" шум [65], при котором флуктуирующие параметры могут изменяться скачками, вследствие чего такие резисторы не имели гауссов стационарный шум.

Аналогичная работа опубликована в [60], где рассматриваются оценки амплитудной плотности вероятности теплового и фликкерного шума углеродного резистора сопротивлением 50 кОм. Оба шума имеют гауссово распределение. В случае 1Я" шума наблюдались флуктуации дисперсии оценки амплитудной плотности вероятности. Поэтому был сделан вывод, что различие теплового и фликкерного шума состоит в том, что фликкерный шум имеет слабую нестационарность.

Новым подходом к изучению низкочастотных шумов может быть методика, используемая Вейссманом, Рестле и другими авторами [73,74]. Здесь предлагается рассматривать мощность шума как параметр, позволяющий получить информацию о статистике Ш шума. На основе такого подхода предложены два статистических теста по выявлению негауссовости фликкерного шума: анализ гистограммы и ковариационной матрицы мощности шума в различных частотных полосах, занимающих одну октаву.

Статистические тесты низкочастотных шумов в [75] выполняются с использованием цифрового спектроанализатора РАЯ 4520, подключенного к компьютеру. Длительность быстрого преобразования Фурье (БПФ) составляла 1024 точек. В компьютере осуществлялось суммирование спектрограмм по октавам и накопление гистограмм мощности шума на октаву. Ковариационная матрица вычислялась путем суммирования спектрограмм. За один цикл измерений выполнялось 1000 БПФ.

Принцип использования гистограмм мощности шума на октаву основан на том, что форма гистограммы будет различной для гауссова и негауссова шума.

Если исследуемый шум гауссов, то как реальная так и мнимая часть коэффициента дискретного преобразования Фурье ап (Яе а„ и 1т а„), имеет гауссово распределение со средним значением, равным нулю [73]. В этом случае коэффициент в спектре мощности Рп, представляющий собой сумму квадратов реальной и мнимой части коэффициента ап, имеет плотность вероятности вида %2 с двумя степенями свободы: р{Р>-^-^{-Рп'<Рп>)- (В.9) рп>

Здесь <Р„> - среднее значение коэффициента Рп. Число слагаемых (9 в сумме независимых переменных Яе ап и 1ш ап, которых всего М имеет следующее вероятностное распределение:

Р(в) = \1 г ДГ Л ехр(-СШ < О >)

0>) (N-1)!

О , (В. Ю) где <()> - среднее значение (7. Распределение для мощности Ш шума в октавах было вычислено с использованием методики Монте-Карло [73]. Полученное распределение было несущественно отличным от (В. 10).

Использование ковариационной матрицы может позволить выявить негаус-совость шума, поскольку для гауссова шума недиагональные элементы ковариационной матрицы, представляющие собой коэффициенты корреляции между мощностями исследуемого шума в различных октавах, равны нулю, если пренебречь эффектами дискретизации при цифровой обработке реализаций шума. Экспериментальные оценки недиагональных элементов ковариационной матрицы рассеяны в окрестности нуля. Поскольку экспериментальная оценка коэффициента корреляции является случайной величиной, то в работе [73] эмпирическим путем определяется доверительный интервал для указанной оценки с уровнем значимости 66%. Полуширина такого доверительного интервала примерно равна среднеквадратичному отклонению оценки коэффициента корреляции, которое вычисляется с использованием полученных экспериментальных данных оценок коэффициента корреляции. Недиагональные элементы ковариационной матрицы нормируются на величину среднеквадратического отклонения оценки коэффициента корреляции и в дальнейшем величины модулей этих элементов сравниваются с единицей [73]. Если большая часть данных нормированных недиагональных элементов ковариационной матрицы больше единицы, то шум негауссов.

В работе [73] приводятся результаты анализа гистограмм мощности шумов резисторов, а также результаты измерений коэффициентов корреляции между мощностями шумов в различных частотных полосах, занимающих одну октаву. Использовались следующие источники низкочастотного шума: кремниевый резистор с подложкой из сапфира (SOS), висмутовый и ниобиевый резисторы, а также два углеродных резистора с сопротивлением 47 кОм и 100 кОм.

Результаты анализа гистограммы мощности шума для теплового шума резистора, а также для 1/f шума некоторого типичного SOS-образца, показывают хорошее согласие полученных распределений с ожидаемыми (В.9) и (В. 10).

Результаты измерений коэффициентов корреляции представлены в виде нормированных ковариационных матриц. Для вычисления отдельного элемента ковариационной матрицы выполнялось 100 преобразований для углеродного резистора с сопротивлением 100 кОм и 1000 преобразований для остальных объектов. Частотные диапазоны, в которых проводился анализ, охватывали как области теплового шума, так и области, в которых доминирует 1/f шум [73]. Анализируя представленные ковариационные матрицы, можно показать, что для углеродного резистора с сопротивлением 100 кОм все данные находятся вне области, ограниченной доверительным интервалом. Для остальных источников низкочастотного шума большая часть данных находится внутри этой области. В работе [73] указывается, что углеродный резистор с сопротивлением 100 кОм имеет явно негауссов шум, тогда как шумы остальных источников имеют гауссову статистику. Однако шум углеродного резистора с сопротивлением 100 кОм мог быть нестационарным. Таким образом, для углеродного резистора с сопротивлением 100 кОм нулевая гипотеза не выполняется, тогда как для остальных источников низкочастотного шума, рассмотренных в [73], нулевая гипотеза выполняется.

Поскольку результаты анализа гистограммы мощности шума не показывают расхождений с ожидаемыми распределениями, то метод анализа гистограммы мощности шума, по-видимому, обладает менее высокой чувствительностью, чем метод анализа корреляции между мощностями шума в различных октавах.

В работе [74] рассматривается коэффициент корреляции между мощностями шума в различных октавах для ваАя пленок, изготовленных методами молекулярной эпитаксии, а также вычисляется указанный коэффициент для \И шума, спектр которого представляет собой суперпозицию лоренцевских спектров, имеющих случайные характерные частоты, распределенные по закону 1/£ Представлены результаты вычисления зависимости коэффициента корреляции для 1/Т шума, спектр которого представляет собой суперпозицию лоренцевских спектров, от величины частотной расстройки второй полосы частот относительно первой. Частотная расстройка менялась от 0 до 6 (в количестве октав). Соответственно, коэффициент корреляции, принимая положительные значения, монотонно убывал от 1 до примерно 0,15. Такая зависимость была получена как для суперпозиции лоренцевских спектров, так и для низкочастотного шума в ОаАэ пленках.

Следует отметить, что в [73,74] используются оценки доверительного интервала для оценки коэффициента корреляции, найденные на основе полученных экспериментальных данных, тогда как данные об истиной величине доверительного интервала отсутствуют. Это обстоятельство не позволяет однозначно интерпретировать полученные результаты.

Позже в работах [75-77] были измерены вероятностные характеристики текущей мощности \И шума в тонкопленочных графитовых и хромовых микрорезисторах. Оценка плотности вероятности сравнивалась с /^-распределением мощности, ожидаемой для гауссова шума. Обнаружена существенная асимметрия гистограмм. С увеличением объема образца степень негауссовости Ш шума уменьшается. Однако в работах [75-77] доверительный интервал для оценки текущей мощности не вычислялся.

Сделаем резюме к литературному обзору.

В настоящее время имеется значительный теоретический и экспериментальный материал по Ш шуму в проводящих материалах. Во многих моделях фликкер-ных флуктуаций шум трактуется либо как суперпозиция релаксационных случайных процессов, имеющих лоренцев спектр, либо как случайный цуг импульсов, то есть сумма большого числа единичных процессов. В первом случае Ш шум представляет собой суперпозицию телеграфных случайных процессов. Во втором случае шум представляет собой пуассоновский случайный процесс.

Наиболее универсальной моделью для объяснения Ш шума, по-видимому, является модель двухуровневых систем (ДУС), формируемых дефектами, которые представляют собой некоторые образования кристаллической решетки образца. В пользу такого подхода свидетельствуют многие экспериментальные данные. Если допустить, что эта модель справедлива, то при небольшом количестве дефектов \И шум вполне может быть негауссов. Таким образом, изучение статистических свойств фликкерного шума может позволить выявить его негауссовость, тогда как исследование свойств негауссовости может прояснить механизм возникновения такого шума.

Многие из известных экспериментальных данных по фликкерному шуму основаны на обработке результатов измерений параметров спектра шума. Новым подходом к изучению низкочастотных шумов может быть методика, используемая Вейссманом и другими авторами [73,74]. Здесь предлагается рассматривать мощность (интенсивность) шума в различных частотных полосах как параметр, позволяющий получить информацию о негауссовой статистике 1/Т шума. Однако в этих работах отсутствуют сведения о величине доверительного интервала. Это обстоятельство делает невозможным однозначную трактовку полученных результатов.

В настоящей работе подход, предложенный Вейссманом и другими авторами, развивается. Здесь рассматриваются методы контроля гауссовости и стационарности Ш шума (нулевой гипотезы), основанные на исследовании интенсивности шума в различных частотных полосах. Основной вопрос, возникающий при измерении интенсивности, - это точность используемой оценки. В настоящей работе анализируется погрешность измерения интенсивности фильтрованного шума и ее оценка.

Следующий параметр, рассматриваемый в настоящей работе - это коэффициент корреляции между интенсивностями шума в различных частотных полосах. Контроль корреляции между интенсивностями шума в различных частотных полосах используется для проверки нулевой гипотезы.

Поскольку вышеуказанные оценки являются случайными величинами, то для однозначной интерпретации экспериментальных данных необходимо провести вычисление доверительных интервалов для рассматриваемых оценок при условии выполнения нулевой гипотезы исследуемого процесса. Эта задача решается в настоящей работе. Авторами других работ подобный детальный статистический анализ, по-видимому, не выполнялся.

Статистические методы исследования гауссовости и стационарности 1/Т шума, в которых вычисляются доверительные интервалы для экспериментальных оценок, были реализованы в настоящем исследовании с помощью специальной системы цифровой обработки сигналов [78,79].

В качестве объектов исследования выбраны низкочастотные шумы в эпитак-сиальных ваАв пленках, изготовленных в Эйндховенском технологическом университете (Нидерланды), и в промышленном биполярном транзисторе МП37. Низкочастотные шумы этих объектов здесь исследуются с использованием методов анализа оценок погрешности измерения интенсивности фильтрованного шума и корреляции между интенсивностями шума на выходах фильтров.

В теории 1/Т шума допустимо предположение о том, что такой шум не является гауссовым. Негауссовы свойства шума определяются его природой. Поэтому необходимо проанализировать влияние негауссовости на оценки, используемые при исследовании низкочастотных шумов. Это также осуществляется в настоящей работе.

Таким образом, исследование статистических характеристик оценок погрешности измерения интенсивности фильтрованного шума и корреляции между интен-сивностями шума на выходах фильтров может дать значительно больше информации о физических механизмах возникновения 1/Т шума, чем простое подтверждение или опровержение нулевой гипотезы. Если параметры фильтров, используемые в описываемых методах проверки нулевой гипотезы, меняются, то статистические характеристики экспериментальных оценок также будут меняться, причем поведение анализируемых оценок определяется природой исследуемого шума.

Однако задача предсказания поведения статистических характеристик анализируемых оценок на основе гипотез происхождения фликкерных флуктуаций, то есть задача установления взаимосвязи между статистическими характеристиками анализируемых оценок и параметрами проводящего образца, генерирующего \И шум, является весьма сложной. Поэтому здесь используются математические модели 1/Т шума, на основе которых осуществляется численное моделирование этого шума. Для проверки гипотез происхождения фликкерного шума экспериментальные результаты сопоставляются с результатами численного моделирования. Если имеет место совпадение экспериментальных результатов исследования с результатами численного моделирования, тогда можно утверждать справедливость гипотезы, на которой была основана используемая математическая модель.

Для проверки гипотез происхождения 1/Т шума осуществляется численное моделирование стационарного \И шума, который представляет собой пуассонов-скую последовательность импульсов или суперпозицию телеграфных случайных процессов. Эти численные модели, а также модель белого шума, используются для тестирования статистических методов.

Решение вышеперечисленных задач является целью настоящей работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макаров, Сергей Владимирович, 2001 год

1. Приведено описание экспериментальной установки, используемой в настоящей работе для исследования низкочастотных шумов статистическими методами.

2. МЕТОД АНАЛИЗА ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ФИЛЬТРОВАННОГО ШУМА