Статистическая механика системы вихрей в тонких сверхпроводящих пленках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Ирз, Денис Юрьевич

• Ирз, Денис Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ирз, Денис Юрьевич

Оглавление

1. Введение

2. Статистическая механика: представление через континуальный интеграл

1. Статистическая механика кулоновских систем

2. Представление статсуммы при помощи континуального интеграла

3. Диаграммное разложение по степеням активности

4. Разложение ио плотности

3. Вихри в тонкой сверхпроводящей пленке: уравнения Гинзбурга-Ландау

1. Уравнения Гинзбурга-Ландау для пленки конечной толщины

2. Конечность размера кора вихря

4. Вихри в тонкой пленке: модель и статистическое описание

1. Модель системы вихрей в тонкой пленке

2. Вычисление статсуммы системы в пределе бесконечно тонкой пленки

3. Влияние изгиба вихрей

4. Учет конечности размера ядра вихря

5. Обсуждение результатов

1. Пример эксперимента с реальной тонкой сверхпроводящей пленкой

2. Выражение для плотности свободных вихрей

6. Заключение

7. Список основных публикаций по теме диссертации 97 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическая механика системы вихрей в тонких сверхпроводящих пленках»

1. Введение

Хорошо известно, что в фазовой диаграмме сверхпроводников второго рода имеется состояние, называемое смешанным. В этой фазе образец находится в сверхпроводящем состоянии, однако в него может проникать магнитное поле. Возможность такого состояния была впервые предсказана Абрикосовым в 1957 году [1], и в дальнейшем была подтверждена на эксперименте.

Оказалось, что магнитное поле проникает в сверхпроводящий образец в виде вихрей, каждый из которых несет в себе один квант магнитного потока. Обнаруженные вихревые решения уравнений Гизбурга-Ландау для случая массивного сверхпроводника получили название Абри-косовских вихрей. Результат, полученный Абрикосовым привлек внимание по двум причинам: с точки зрения физики конденсированного состояния это было предсказание неизвестного до тех пор состояния вещества. Вместе с тем, полученный результат являлся самоценным и с математической точки зрения: было получено топологически нетривиальное (то есть солитонное) решение системы нелинейных уравнений Гинзбурга-Ландау, широко применяемых в теоретической физике.

Начальной точкой развитой в 1950 году теории Гинзбурга-Ландау (ГЛ) [2] является свободная энергия ГЛ, в которой роль переменного параметра играет волновал функция ф сверхпроводящих электронов. Основная идея теории ГЛ состоит в минимизации свободной энергии относительно волновой функции ф и магнитного поля Н. В отсутствие тока волновая функция является постоянной в пространстве, причем ее абсолютное значение равно нулю для нормальной фазы и отлично от нуля в сверхпроводящей фазе. В свою очередь, как это хорошо известно, магнитное поле Н отлично от нуля лишь в нормальной фазе, в то время как в сверхпроводящей фазе оно отсутствует. Как было показано в первых работах еще Гинзбургом и Ландау, на границе сверхпроводящей и нормальной фаз наблюдается некоторое переходное состояние, в котором волновая функция и магнитное поле изменяются от ненулевого значения до нуля. Характерным масшатабом, на котором измененяется волновая функция является £ - длина когерентности, а характерным масштабом для изменения магнитного поля является Л - глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник. Оба эти парметра являются основными параметрами теории ГЛ. Эти величины можно измерить на эксперименте, а можно получить и из микроскопической теории [3]. В оригинальной работе [2], Гинзбург и Ландау полагали, что А -С благодаря чему они получили положительное значение энергии единицы поверхности границы между сверхпроводящей и нормальной фазами. Это было справедливо для известных тогда сверхпроводников. В работе [1] Абрикосов предположил существование в природе материалов с £ А.

В результате им было получено отрицательное значение для энергии разделения фаз. Кроме того, линеаризовав подходящим образом уравнения. Абрикосов получил решение в виде изолированного вихря. Вихрь представляет собой область пространства, в которой вокруг нормального (не сверхпроводящего) кора размера порядка циркулирует сверхпроводящий ток. Магнитное поле проникает в сверхпроводящую фазу на глубину порядка Л, причем магнитный поток, который переносится одним вихрем, равен одному кванту магнитного потока '~р0 в сверхпроводящей фазе.

Абрикосовские вихри оказались объектом интересным как для теоретиков. так и для экспериментаторов, работающих в области сверхпроводимости. в связи с чем сразу после работы Абрикосова появилось большое количество работ, посвященных исследованию как общих свойств сверхпроводников второго рода, так и отдельно свойств вихрей. Сильный толчок получили исследования свойств вихревых решений уравнений Гинзбурга-Ландау в образцах с различной геометрией [4]. Так например были исследованы свойства вихря, расположенного перпендикулярно границе сверхпроводящей фазы [5], найдено решение для вихря в тонкой (¿(-образной) пленке [6], исследована форма вихря вблизи границы пленки [7]. Чен и Ценг исследовали взаимодействие вихрей с примесями [8], Буздин и Фейнберг решали уравнения для случая вихрей в слоистых структурах [9]. Также опубликовано большое количество работ, посвященных исследованию формы нормального кора вихря путем численного решения нелинейных уравнений (см. например [10]).

Оказалось, что в сверхпроводниках второго рода вихри образуют треугольную двумерную решетку, которая разрушается в магнитном поле, превышающем некоторое критическое значение Яс2. Можно также определить взаимодействие между вихрями, которое оказалось экспоненциально убывающим на больших расстояниях для случая массивных сверхпроводников. Для случая же тонких пленок, подробно исследованного Пирлом и Клемом [6, 11], определяющим масштабом длины оказалась некоторая эффективная двумерная глубина проникновения Л = 2\2 / ¿. Собственная энергия вихря оказалась пропорциональной 1п(Л/£), а взаимодействие между вихрями - логарифмическим на расстояниях меньших Л, и убывающим обратно пропорционально растоянию на масштабе г > Л. К началу 80-х годов Абрикосовкий вихрь практически стал классическим примером солитонного решения уравнений Гинзбурга-Ландау [12].

Очередной всплеск интереса к вихрям в сверхпроводниках второго рода возник с открытием высокотемпературной сверхпроводимости. Оказалось, что сверхпроводимость второго рода является типичным свойством для ВТСП. Вместе с тем выяснилось, что благодаря высокой температуре сверхпроводящего перехода в ВТСП, у сверхпроводников

проявляются новые свойства связаные с Абрикосовской решеткой. Так например оказалось, что решетка вихрей при определенной температуре может начать плавиться, образуя другие - менее упорядоченные фазы. К таким фазам следует прежде всего отнести жидкость вихрей, а также связанные с наличием случайных примесей вихревое стекло (Vortex-glass) [13] и, предсказанные Нельсоном и Винокуром, стекла Бозе (Bose-glass) [14]. Для вихревого стекла основным свойством является фиксирование вихрей отдельными точечными примесями в случайных местах. В стекле Бозе примеси предполагаются цилиндрическими, так что вихри крепятся к центрам пиннинга вдоль участков значительной длины.

Еще одной особенностью многих высокотемпературных сверхпроводников таких как Bi2Sr2CaCu208 или TI2BCL2CаСщОз является их слоистая структура. Благодаря этому свойства вихрей в значительной степени определяются величиной внешнего магнитного поля. Так например в отсутствие магнитного поля и при достаточно высоких температурах [15], температурные флуктуации ослабляют или даже полностью разрушают Джозефсоновское связывание между сверхпроводящими слоями, так что система становится двумерной или квазидвумерной в том смысле, что различные слои можно считать независящими друг от друга двумерными системами. Каждую из таких систем можно рассматривать как сверхпроводящую пленку, содержащую двумерные вихри.

Решение уравнений Гинзбурга-Ландау для тонкой пленки представляет собой достаточно сложную проблему. Сложность задачи связана в значительной степени с нелинейностью уравнений. Прежде всего, следует заметить, что используемые обычно приближения справедливы в области больших (г А) расстояний от центра вихря [11]. При этом кор вихря предполагается бесконечно тонким, что неизбежно приводит к неопределенности собственной энергии вихря и к сингулярности межвихревого взаимодействия на малых расстояниях. На практике для того, чтобы оценить энергию вихря, при вычислении соответствующего выражения прибегают к обрезанию расходимости в центре вихря и добавлению слагаемого, соответствующего энергии конденсации внутри нормального кора. Размер кора предполагается равным по порядку величины длине когерентности £ теории Гинзбурга-Ландау (подробнее об этом см. главу 3 настоящей работы). Тем самым, выражение для собственной энергии вихря оказывается зависящим от некоторого вариационного параметра, характеризующего реальный размер кора. Как показано в главе 5, от этого параметра могут зависеть не только количественные термодинамические характеристики системы в целом, но и качественный вид наблюдаемого в системе фазового перехода.

Потенциал взаимодействия частиц, расходящийся на малых расстояниях, хотя и является типичным свойством для рассматриваемых в

статистической физике систем, в данном случае, очевидно, не является физически вполне корректным. Энергия взаимодействия вихрей при их приближении на малые расстояния определяется не только электромагнитным взаимодействием токов, но и энергией взаимодействия нормальных коров (то есть волновых функций ф{г) на границе нормальной и сверхпроводящей фаз). В самом деле, при взаимном приближении вихрей их, строго говоря, нельзя считать независимыми частицами. Вместо этого необходимо исследовать уравнения Гинзбурга-Ландау для системы в целом, рассматривая пару вихрей как единое решение уравнений. Потенциал взаимодействия вихрей при этом представляет собой энергию пары вихрей как функцию расстояния между их центрами.

В главах 3 и 4 предложено качественное решение этой проблемы основанное на модификации потенциала взаимодействия на малых расстояниях. При этом, в отличие от других работ, использующих аналогичный метод, в данном случае, благодаря предложенному в главе 4 критерию, связывающему энергию взаимодействия и собственную энергию вихря, не возникает дополнительного параметра, определяющего взаимодействие на малых расстояниях.

Другим явлением, которое может оказать влияние на термодинамические свойства системы, является изгиб вихревых нитей. Это явление хорошо изучено в случае массивного образца, где, как отмечено выше, оно порождает новые фазы. Теоретическое рассмотрение "мягких" вихрей основывается на аналогии выражения для свободной энергии вихрей с Фейнмановской формулировкой квантовой механики посредством континуальных интегралов [16]. В случае достаточно тонкой пленки с1 -С А изгиб вихрей даже в нулевом магнитном поле должен быть незначителен. Это открывает возможность для упрощения техники, развитой для случая массивного сверхпроводника. Для этого достаточно применить к свободной энергии аналог квазиклассического приближения. Это сделано в главе 4, где получена поправка к свободной энергии пленки, обусловленая изгибом вихревых нитей. С учетом метода, при помощи которого этот результат получен, эту поправку мы будем называть "квазиклассической". Однако оказалось, что для большинства пленок эта поправка слишком мала и не оказвает существенного влияния на термодинамические свойства реальных пленок. Этот результат является вполне ожидаемым для пленок, толщина которых меньше длины когерентности, так как именно длиной когерентности определяется возможность изгиба вихрей. Вместе с тем, возможно существование достаточно толстых пленок, для которых эта поправка может оказаться существенной.

Тонкие сверхпроводящие пленки интересны не только благодаря слоистой структуре ВТСП, но и благодаря тому, что они представляют собой возможность для теоретического, и, что особенно важно, экспе-

риментального изучения двумерных систем. Для многих пленок интервал температур, в котором они находятся в смешанном (вихревом) состоянии достаточно велик, так как магнитное поле, перпендикулярное поверхности пленки, проникает в нее даже при достаточно низких температурах [17]. Кроме того, интересным свойством пеленок оказался тот факт, что во многих случаях в них даже при отсутствии магнитного поля, возможно зарождение пар вихрь-антивихрь. Такие пары могут зарождаться на правах термодинамических флуктуаций благодаря тому, что при достаточно малом размере пары ее энергия оказывается сравнимой с тепературой в ВТСП. Все это позволяет рассматривать систему вихрей в тонкой сверхпроводящей пленке, как объект для изучения процессов, происходящих в двумерных системах.

Как уже упоминалось выше, в случае тонкой пленки решение уравнений ГЛ дает логарифмическое взаимодействие между вихрями вплоть до достаточно больших расстояний порядка двумерной глубины проникновения А. В связи с этим система двумерных вихрей часто рассматривается как двумерный кулоновский газ, то есть система частиц на плоскости, взаимодействующих по логарифмическму закону. Интерес к физике кулоновского газа в двух измерерниях велик благодаря тому, что именно в этой системе имеет место специфический переход типа металл-изолятор, называемый переходом Березинского-Костерлица-Таулеса, впервые предсказанным в работах [18, 19, 20].

Фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулеса (БКТ) играет важную роль в теории упорядочивания двумерных систем с непрерывной симметрией. Существует большое количество таких систем: пла-нарные магнетики [18], двумерные кристаллы [21], массивы Джозефсо-новских контактов, сверхтекучие и сверхпроводящие пленки, и.т.д. Эти системы при низких температурах образуют упорядоченную (или квази-упорядоченную) фазу, характеризующуюся корреляциями, спадающими на больших расстояниях по степенному закону. Однако, при повышении температуры, (квази-) дальний порядок разрушается из-за диссоциации пар, которая происходит при фазовом переходе БКТ. В интересующем нас случае, вихри, которые при достаточно большой температуре образуют неупорядоченную жидкость, при понижении температуры спариваются и образуют вихревые пары вихрь-антивихрь. Как и всякий фазовый переход, фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулеса может исследоваться различными методами классической статистической физики.

Статистическая механика кулоновских систем в двух и трех измерениях представлет собой важную часть классической статистической физики [22, 23]. Еще в начале века, Дебаем и Хюккелем [24] были получены результаты для свободной энергии равновесной кулоновской плазмы в трех измерениях. Позднее эта теория была модифицирована Бьерру-

мом [25] и применена Фишером [26] для анализа критических свойств кулоновских систем.

С точки зрения статистической физики проблема состоит в том, что кулоновский потенциал в трех измерениях убывает достаточно слабо, так что стандартным образом вычисляемые вириальные коэффициенты оказываются расходящимися. В связи с этим для вычисления свободной энергии используется так называемое кольцевое приближение, при котором для сумирования выбирается определенная последовательность диаграмм. Преимущества и недостатки различных методов вычисления свободной энергии кулоновского газа обсуждаются в главе 2.

Для случая двух измерений проблема оказывается еще более сложной из-за того, что Кулоновский потенциал при d = 2 логарифмически возрастает на бесконечности. Благодаря этому даже интегралы, получающиеся для свободной энергии в кольцевом приближении, расходятся. В связи с этим, для теоретического рассмотрения перехода БКТ в двумерном кулоновском газе, как правило, используется ренормгрупповой подход [27]. Этот метод позволяет предсказать температуру перехода и описать поведение плотности свободных частиц в системе в области высоких температур. В ренормгрупповом подходе существенным образом используется строго логарифмический вид потенциала взаимодествия частиц. Это значит, что его невозможно применить к рассматриваемой в данной работе системе Абрикосовских вихрей в тонкой пленке, так как потенциал их взаимодействия не является в точности логарифмическим.

Вместе с тем, именно тот факт, что потенциал взаимодействия вихрей в тонкой пленке несколько отличается от двумерного кулоновского потенциала как в области больших г , так и на достаточно малых расстояниях между частицами, позволяет получить сходящийся результат для свободной энергии системы в кольцевом приближении. Однако тем самым ставится вопрос о границах применимости ипользуемого приближения. В самом деле, как показано в главе 2, выбор диаграмм для суммирования в кольцевом приближении является во многом произвольным, и не зависит от вида потенциала взаимодействия. В случае кулоновского газа результат идентичный кольцевому приближению можно получить из специфической для кулоновского потенциала теории среднего поля ( см. главу 2). Чтобы убедиться в том, что применение кольцевого приближения является правомерным для вихрей в тонкой пленке, во второй главе настоящей работы развит подход к вычислению свободной энергии системы на основе представления статсуммы через континуальный интеграл. Такое представление было впервые предложено в работе Эд-вардса [28]. Позднее оно использовалось Поляковым [29] и Самуэлем [30] для проведения аналогий между квантовой теорией модели Sin-Gordon и кулоновским газом. Для кулоновского газа это представление использовалось Миннхагеном [27] для получения поправок высших порядков к

ренормгруповым уравнениям Костерлица-Таулеса. Также это представление использовалось некоторыми авторами для описания критических явлений в симметричных растворах [31]. Однако, насколько известно автору, не существует работ, в которых предприниалась бы попытка применить Sin-Gordon аналогию к системам со взаимодействием отличным от кулоновского.

В главе 2 настоящей работы, на основе регулярного разложения статистической суммы получено выражение для свободной энергии, аналогичное кольцевому приближению, которое совпадает с Дебаевским выражением для свободной энергии в случае 3-х мерной кулоновской плазмы. Показана также связь этого результата с кольцевым приближением. Примененное разложение является представляет собой последовательный с математической точки зрения метод. Это позволяет определить условия, которым должен удовлетворять потенциал взаимодействия частиц в системе для того, чтобы полученный результат для свободной энергии был справедлив. Как показано далее, взаимодействие вихрей в тонкой, пленке удовлетворяет этим условиям, так что полученный результат можно применить для вычисления свободной энергии интересующей нас системы.

Выражение для свободной энергии как функции от числа свободных частиц позволяет определить зависимость плотности свободных вихрей от температуры. В отличие от кулоновского газа, в данном случае, благодаря убывающему на бесконечности потенциалу взаимодействия, переход Костерлица-Таулеса в пленках достаточно большого размера заменяется резким, но все же плавным переходом от состояния с высокой плотностью свободных вихрей при высоких температурах, к состоянию, где плотность свободных вихрей невелика, но все же отлична от нуля. Такой кроссовер нельзя назвать фазовым переходом, так как, несмотря на достаточно резкое изменение плотности свободных вихрей, и, соответственно, других макроскопических параметров пленки, термодинамические величины не имеют сингулярности в точке перехода. Эта ситуация в корне отличается от класического представления о переходе БКТ, имеющего место при чисто логарифмическом взаимодействии между частицами. При обычном БКТ переходе, плотность свободных частиц при температуре меньшей температуры перехода Т^т сразу становится нулевой благодаря тому, что все частицы оказываются спаренными.

Диссоциативный переход типа Березинского-Костерлица-Таулеса в системе вихрей в тонкойь пленке можно наблюдать на эксперименте, измеряя ее сопротивление. При прохождении постоянного тока через образец в направлении, перпендикулярном ориентации вихрей, собственные токи вихрей взаимодействуют с внешним током. Это взаимодействие приводит к тому, что вихри начинают двигаться вдоль поверхности

пленки в направлении перпендикулярном направлению внешнего тока. При движении вихрей происходит диссипация энергии, так что полное сопротивление системы оказывается в обшем случае ненулевым. Механизм диссипации может быть различным. Взаимодействие движущихся вихрей с присутствующими в образце примесями может порождать диссипацию энергии. В случае чистого сверхпроводника, диссипация может носить электромагнитный характер: движение связанного с каждым вихрем магнитного потока порождает электрическое поле, которое и препятствует прохождению внешнего тока. Обратим внимание на тот факт, что основная часть образца - все пространство за исключением коров вихрей - с термодинамической точки зрения находится в сверхпроводящем состоянии. То есть волновая функция Гинзбурга-Ландау в образце отлична от нуля. Таким образом мы имеем сверхпроводник с отличным от нуля сопротивлением.

Бардин и Стефен [32] показали, что сопротивление пленки определяется плотностью свободных вихрей и длиной когерентности Гинзбурга-Ландау. Указанная зависимость сопротивлния от плотности свободных частиц используется для связывания результатов теории, дающей плотность вихрей, с экспериментальными данными, оперирующими сопротивлением образца, (см. главу 5).

Интересно также отметить, что присутствующие в системе, согласно общепринятой картине перехода Костерлица-Таулеса, диполи не вносят вклада в обычное линейное сопротивление постоянному току. Это в значительной степени затрудняет понимание поведения системы при диссоциативном переходе (переходе типа Костерлица-Таулеса). Дело в том, что большинство экспериментальных и теоретических работ ориентированы на определение изменяющейся при КТ-переходе плотности свободных вихрей путем измерения линейного сопротивления пленки. При этом остается открытым вопрос о зависимости от температуры плотности диполей в системе. С одной стороны, представляется логичной картина, при которой все исчезающие с понижением температуры при переходе БКТ свободные вихри образуют диполи, так что плотность диполей должна быстро возрастать с понижением температуры. Однако в реальной пленке общее число вихрей не фиксировано, из-за возможной анигиляции и рождения вихревых пар, как термодинамических флуктуаций. Очевидно, что при повышении температуры количество спонтанно появившихся пар вихрей будет увеличиваться. Тем самым в системе имеет место два конкурирующих процесса, один из которых при повышении температуры стремится увеличить плотность диполей, а другой уменьшить ее. В результате зависимость плотности диполей от температуры может, вообще говоря, не иметь особенностей в окрестности температуры Ткт фазового перехода.

В конце главы 2 предложено выражение, которое, является прямым

обобщением хорошо известной теории Дебал-Хюккеля, на случай системы, содержащей диполи. При этом предполагается, что все диполи имеют одинаковый размер. Это выражение является альтернативой теории Фишера [33], созданной для случая кулоновского газа и основанной на модификации уравнения среднего поля Дебая-Хюккеля. Однако, в случае системы вихрей в тонкой сверхпроводящей пленке в отличие от модели двумерного кулоновского газа, потенциал взаимодействия реальных вихрей на малых расстояниях отличается от потенциала твердых сфер. Это означает, что размер диполя (т.е. расстояние между центрами составляющих его вихрей) может быть переменным. Таким образом, для корректного описания физики системы может оказаться недостаточным определить полное число диполей, но потребуется рассмотреть плотность распределения диполей в зависимости от их размера рд(а), подобно тому, как это предложено в работе [34]. В связи с этим, результаты, получаемые при приложении к рассматриваемой системе, развитого в главе 2 подхода могут не вполне адекватно отражать поведение плотности диполей в системе с изменением температуры. Однако, насколько известно автору, не существует микроскопической теории, способной адекватно учесть наличие в кулоновской (или квазикулонов-ской) системе диполей различного размера. Интересно также отметить, что подход, предложенный для учета влияния на систему присутствующих в ней диполей постоянного размера может быть обобщен на случай кластеров более сложной формы [35].

Работа организована следующим образом: прежде всего, в главе 2 описаны различные методы вычисления свободной энергии кулоновской системы в трех измерениях: метод среднего поля (Дебал-Хюккеля), кольцевое приближение. Показаны преимущества и недостатки этих методов. Далее в этой главе развит подход к вычислению свободной энергии, основанный на представлении статистической суммы в виде континуального интеграла. Показаны основные преимущества и недостатки этого метода, указано на критерии, которым должен удовлетворять потенциал межчастичного взаимодействия для того, чтобы полученные результаты для свободной энергии были справедливы. Также для полноты картины в главе 2 проведена аналогия между разложением по теории возмущений свободной энергии системы, представленной через континуальный интеграл и Майеровским разложением по активности [40]. Выкладки и результаты главы 2 справедливы для произвольного числа измерений, что с одной стороны показывает общность описываемого метода, а с другой позволяет сравнить полученные выводы с хорошо изученным случаем кулоновского газа в трех измерениях.

Далее в главе 3 исследуются уравнения Гинзбурга-Ландау для случая тонкой пленки. При этом акцент делается на два аспекта, которые, как отмечено выше, могут иметь существенное значение для макроскопиче-

ских свойств системы. Во-первых, это конечность толщины <1 пленки. Получено выражение для эффективной двумерной глубины проникновения Л, которое отличается от стандартного выражения, выведенного Пирлом в предполжении, что пленка имеет бесконечно малую толщину. Второе предположение, стандартное для вихрей в сверхпроводниках, касается толщины ядра вихря. Обычно размер кора считается бесконечно малым, что в терминах теории Гинзбурга-Ландау соответствует постоянству в пространстве абсолютного значения волновой функции |и>|2. В главе 3 предпринята попытка отказаться от этого предположения. При этом вместо численного решения нелинейных уравнений для волновой функции ф, делается попытка проанализировать вид получающегося потенциала взаимодействия вихрей на малых расстояниях. Показано, что логарифмическая форма потенциала взаимодействия вихрей сохраняется вплоть до масштаба порядка длины когерентности £ Гинзбурга-Ландау.

Глава 4 объединяет результаты, полученные в главах 2 и 3. В этой части работы, применена модель вихрей, основанная на их представлении в виде изгибающихся нитей, проходящих сквозь пленку. Эта модель использовалась ранее Нельсоном для описания различных фаз системы вихрей в массивном сверхпроводнике [16]. Показано, что предложенное Нельсоном выражение для статистической суммы системы можно значительно упростить в случае тонкой пленки. В результате вычислена свободная энергия системы точечных вихрей в тонкой пленке. При этом существенно использованы результаты главы 2, приведенные там в общем виде, а также результаты анализа потенциала межвихревого взаимодействия, проведенного в главе 3. Оказалось, что этот потенциал вполне удовлетворяет критериям применимости приближения среднего поля, на которые указано в главе 2. Кроме того, подсчитан вклад в свободную энергию, возникающий благодаря изгибу вихрей, при прохождении их сквозь образец.

Еще один существенный результат, полученный в главе 4 касается отказа от приближения точечных вихрей. При этом, непосредственно сделано предположение о характере потенциала взаимодействия; вихрей не малых растояниях. Основываясь на этом предположении, получено выражение для свободной энергии системы, учитывающее неточечность вихрей и возможную аннигиляцию дипольных пар.

Используя полученные в главе 4 выражения для свободной энергии системы, как функции плотности свободных вихрей, в главе 5 получены уравнения для плотности свободных вихрей в системе. Эти уравненения приведены как для случая точечных вихрей, которые не изгибаются при прохождении сквозь пленку, так и с учетом возможного изгиба вихрей и конечности размера кора вихря. Это позволяет точнее понять, какое влияние оказывает на поведение системы как целого каждый из пере-

численных эффектов. В результате численного решения этих уравнений, получены кривые зависимости от температуры линейного сопротивления пленки. Показаны различные варианты поведения системы в окрестности температуры предполагаемого фазового перехода БКТ и из зависимость от параметров теории. Для численного решения уравнений были взяты данные из экспериментальной работы Key и Капитульника 1992 года [36]. В этой работе наиболее аккуратным образом приведены значения всех необходимых в теории параметров и их зависимости от температуры.

В заключении (глава 6) перечислены основные результаты настоящей работы.

2. Статистическая механика: представле-

ние через континуальный интеграл 1. Статистическая механика кулоновских систем

В этой части работы мы напомним основные методы вычисления свободной энергии кулоновских систем. Рассмотрим также основные преимущества и недостатки каждого из этих методов.

Для начала кратко рассмотрим стандартную теорию Дебая-Хюккеля в том виде, в каком она чаще всего приводится в учебниках по статистической физике [23, 37, 38]. Предположим, что мы имеем систему, состоящую из N частиц, взаимодействующих по кулоновскому закону, что подразумевает следующее выражение для Фурье-образа потенциала взаимодействия:

%{q) = SiS~, (2.1)

g

где Si = ±1 - заряды частиц, а через fij обозначена площадь единичной сферы в соответствующем пространстве, т.е. 2тт и Атт соответственно для двух и трех измерений.

Это означает, что в 3-х измерениях:

= = ^ <2'2>

а в случае двух измерений:

V(r) ~ 2тг SiSj In-. (2.3) а

Потенциалы (2.2) и (2.3) являются решением уравнения

V2V(r) = -SiSjüiS^r) (2.4)

в трех и двух измерениях соответственно.

Обозначим эффективный потенциал взаимодействия 2-х частиц, находящихся на расстоянии г друг от друга в среде, состоящей из положительных и отрицательных частиц, как V(r). В системе с плотностью частиц р(г) этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:

v2t/(r) = -ndp(r). (2.5)

Вместе с тем, плотность заряда в окрестности точки г в приближении Больцмана определяется полем, создаваемым в этой точке другими зарядами, то есть тем же потенциалом V(r):

p(r) = - p„e+ß^r\ (2.6)

где р+ = N+/V ир. = N-/V- средняя плотность соответственно положительных и отрицательных частиц.

Сопоставляя выражения (2.5) и (2.6), получим нелинейное уравнение:

V2V(r) = - р(2.7)

Если не рассматривать слишком малые расстояния, где потенциал V(r) и, соответственно, V{r) сингулярен, показатель экспоненты в правой части этого уравнения можно считать достаточно малым. Предполагая, что система в целом электрически нейтральна, (р+ = /э_ = р/2) мы можем линеаризовать уравнение (2.7):

V2V(r) = ßPndsiSjV(r) (2.8)

Это уравнение называется уравнением Пуассона-Больцмана. Его решение, убывающее на бесконечности имеет вид (для 3-х измерений)

у = сехР(-кг)

г

где С - некоторая константа, а через к обозначено

к2 = ß{P++ p-)Üds2 (2.9)

Для случая точечных зарядов С выбирается из условия совпадения асимптотик V(r) и V(r) при г —> 0 . Если же частицы рассматривать как заряженные шарики, радиуса го, то константу С надо определять из граничных условий на границе частицы, где, с одной стороны, нормальная составляющая электрического поля (Е = — VV(r)/s) должна быть непрерывной, а с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса должна быть равной s/r

s2 1

-г = Сехр(-кг0)-т(1 + кг0). (2.10)

Следовательно потенциал взаимодействия V(r) в этом случае записывается как:

2 р-к(г-го)

У(г) = ---, (2.11)

v ' 1 + rer0 г v '

Фурье-образ этого потенциала имеет вид:

1

у« ^-

9 q2 + к2

Потенциал V{r) называется экранированным потенциалом Дебая-Хюк-келя. Он представляет собой эффективное взаимодействие между частицами в плазме. Характерной его особенностью является быстрое

убывание на расстояниях, больших г о — 1 /к (это расстояние называется радиусом Дебая-Хюккеля). Особо следует отметить случай "точечных" частиц, когда г0 —> 0. В этом случае V (при В = 3) принимает хорошо известный вид:

V = -е~кг. (2.12)

г

В связи с общей идеологией вышеизложенного подхода можно говорить о том, что У (г) описывает корреляции между частицами в плазме, таким образом, что парная корреляционная функция может быть приближенно записана как:

F±±(r) = р±р±ех?(-(ЗУ(г))ър1(1-13У{г))

Р+-(г) = Р+Р- ехр(+/ЗУ(г)) « /?+р_(1 + ¡ЗУ(г)) (2.13)

Зная парные корреляционные функции системы, нетрудно вычислить внутреннюю энергию, связанную с кулоновским взаимодействием частиц:

/{¿г} £ ^УЫехр(-/3 £ У(^)) и =_^_^__(2 14)

Используя (2.13) и заменяя корреляционные функции их первым приближением, мы стандартным образом можем преобразовать (2.14) к виду:

и Р+Р+

п 2

I У(г)Р++(г)Л- +

-р+р_|у(г)^+_(г)^= (2.15)

1 [ = -~(р+ + Р-)2 у У(Г12)У(Г12)^Г1С/Г2 +

+ ^(р+-р_)2|у(г12)^г1(/г2.

Считая систему в целом нейтральной (р+ — = рр/2), мы находим

для внутренней энергии:

и = ~(52)3/2 (2Л6)

Имея выражение для внутренней энергии системы, мы можем вычислить и поправку к свободной энергии .Р, связанную с неидеальностью системы:

Д Р = / ¿а-иа, (2.17)

и а

где иа получается из и (2.16) заменой в2 —у з2а.

Соединяя все вышеизложенное воедино мы получаем для поправки к свободной энергии:

где П - объем рассматриваемой системы. Следует еще раз повторить, что это выражение получено для случая нейтральной (р+ — р~) кулонов-ской системы, заряды в которой являются точечными, то есть потенциал взаимодействия удовлетворяет уравнению (2.4).

Изложенный выше метод является методом самосогласованного поля (см. соотношения (2.5), (2.6), (2.13)). Именно поэтому из идеи этого метода не следует возможных обобщений и поправок к выражению (2.18) для свободной энергии. Для получения дальнейших поправок к результату (2.18) [26, 39] необходимо вводить дополнительные предположения о потенциале взаимодействия и.т.д., причем вводить эти предположения приходится непосредственно в уравнение (2.7) для эффективного экранирующего потенциала Ук, которое само по себе в некотором смысле является феноменологическим. Кроме того, предположение о специфическом поведении эффективного потенциала взаимодействия частиц должно играть существенную роль именно при малых расстояниях между частицами. Однако в этой области уравнение (2.7), и, тем более, его линеаризованный вариант (2.8) может не вполне адекватно описывать свойства эффективного взаимодействия частиц

Вторым недостатком изложенной выше самосогласованной теории является тот факт, что этот подход изначально не связан с основным для статистической физики понятием статистической суммы:

в связи с чем, не до конца ясна связь эффекта экранирования эффективного потенциала взаимодействия с термодинамикой системы.

Однако, существует способ вывести выражение (2.18) для свободной энергии, основываясь на понятии статистической суммы (2.19). Это метод, основанный на применении Майеровских диаграмм. Кратко опишем этот метод, следуя книгам [22, 40], чтобы понять его преимущества и недостатки.

Рассмотрим так называемую функцию Майера:

С помощью этой функции можно записать подинтегральное выражение

(2.18)

(2.19)

(2.20)

в (2.19) как

N

N

= 1 + Е/о-+ Е /.-,■/« + ■•■■

Каждое из слагаемых в этой сумме удобно изобразить в виде диаграммы, в которой соответствующая координата гг- обозначена вершиной с номером г, а функция Д,- обозначена линией, соединяющей вершины г и Так, например, слагаемому /21/13 соответвствует диаграмма:

а слагаемому /12/23/31/34/56/58 - диаграмма вида:

После интегрирования по всем координатам г; диграммы, отличающиеся только номерами вершин, дадут одинаковый вклад в интеграл (2.19). Более того, интегралы для диаграмм, которые будут изображаться несвязными графами представятся как произведения интегралов, соответствующих связным диаграммам. Таким образом, статистическую сумму (2.19) можно выразить только через интегралы, соответствующие связным диаграммам. Аккуратно подсчитав комбинаторные множители перед каждым из интегралов, соотстветствующим связным диаграммам, можно показать (см. например книгу Майера [40]), что большая статистическая сумма

С = Е^да^Л (2.21)

N=1 1У' может быть записана в виде:

С = ехр(«ЕЬ*гП) • (2"22)

V п>° )

Здесь Ъп - так называемые групповые интегралы, каждый из которых определяется выражением:

где сумма берется по всем произведениям функций Д,-, которые появляются, когда одни и те же п частиц образуют связный граф. Величина Ьп имеет размерность объёма в степени п — 1. В каждый член подинте-грального выражения группового интеграла входит не менее п — 1 и не более п(п — 1)/2 функций /.

Выражение (2.22) называется разложением по активности. Зная его, и предполагая, что ряд сходится, нетрудно из термодинамики выразить плотность частиц через активность:

Р

д\п

Ш1п.

= 2 пЪпгп. (2.24)

Р П>1

Среди связных диаграмм ( то есть тех диаграмм, в которых любые две вершины связаны друг с другом) можно определить еще один класс: сильно связные или неприводимые диаграммы . Это те диаграммы, в которых любая пара вершин связана по крайней мере двумя непересекающимися путями.

Хорошо известен тот факт, что выражение для свободной энергии Гиббса квТ 1пС = —Р^ можно разложить в ряд по плотности частиц, называемый вириальным разложением:

Можно доказать, что в термодинамическом пределе вириальные коэффициенты ¡Зк в разложении (2.25) определяются суммой неприводимых диаграмм с к + 1 вершинами, а именно:

А

02 =

1

03 - ^Зх

+4 х

-НхЙ

Где целочисленные множители перед каждой диаграммой определяются только ее видом и называются комбинаторными факторами.

Из разложения давления (2.25) по степеням плотности, используя термодинамическое соотношение между давлением и "неидеальной" поправкой к свободной энергии АРп (в расчете на одну частицу):

(2.26)

мы можем записать для А Рп:

= - £(2.27)

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Ирз, Денис Юрьевич

Основные выводы настоящего исследования могут быть сформулированы следующим образом:

• В системе вихрей в тонкой сверхпроводящей пленке фазовый переход Костерлица-Таулеса в обычном его понимании отсутствует. Вместо него имеет место либо быстрый но плавный кроссовер между состоянием с высокой плотностью вихрей (при высоких температурах), к состоянию с низкой плотностью вихрей при низких температурах, либо переход первого рода. При переходе первого рода имеет место скачок плотности свободных вихрей, происходящий при температуре 1\ меньшей температуры предполагаемого фазового перехода Костерлица-Таулеса. При этом в области низких температур плотность вихрей (и, соответственно, сопротивление пленки) остается малой, но конечной величиной.

• Вид фазового перехода определяется величиной энергии кора единичного вихря: при низких значениях энергии кора вихря имеет место фазовый переход первого рода. При увеличении собственной энергии вихря он заменяется плавным кроссовером между состояниями. Температура перехода первого рода также уменьшается при уменьшении энергии вихря.

• Существенное значение при описании системы вихрей в тонкой пленке играет конечность размера кора вихря и возможность аннигиляции вихревых пар. С точки зрения статистической механики это эквивалентно предположению о несингулярности взаимодействия вихрей при малых расстояниях между ними.

• Возможное отклонение вихревых нитей при их прохождении сквозь пленку для большинства пленок дает малый вклад в свободную энергию системы и, соответственно, не оказывает существенного влияния на термодинамические свойства системы. Это позволяет говорить о том, что система вихрей в тонкой сверхпроводящей пленке является реально наблюдаемой на эксперименте двумерной квазикулоновской системой.

• Для случая тонких пленок выражение А = 2А2/<1 для двумерной глубины проникновения магнитного поля в пленку, полученное Пирлом в результате решения уравнений Гинзбурга-Ландау для бесконечно тонкой пленки, должно быть заменено выражением А = А сШ((^/2А), которое переходит в классический результат Пирла для достаточно тонких пленок.

В заключении я пользуюсь случаем выразить искреннюю признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, Елене Евгеньевне Тареевой за предоставление интересной темы, а также за внимание и постоянную поддержку в процессе выполнения работы.

Я искренне признателен доктору физико-математических наук, Валентину Николаевичу Рыжову, степень участия которого при выполнении данной работы приближается к научному руководству.

Также мне хотелось бы выразить благодарность преподавателям кафедры квантовой статистики и квантовой теории поля Физического факультета МГУ, в особенности И.А. Квасникова, В.А. Рубакова, Д.В. Ширкова, благодаря которым во многом сформировалось мое представление о современной теоретической физике.

Кроме того, я крайне благодарен сотрудникам отдела физики высоких давлений ИФВД РАН Виноградову Б.В. и Тимофееву Ю.А. за помощь и поддержку в решении организационных вопросов.

Отдельно мне хотелось бы выразить благодарность моим коллегам - всем сотрудникам и аспирантам теоретического отдела ИФВД РАН за создание доброжелательной творческой атмосферы в коллективе и повседневное общение и помощь.

6. Заключение

Таким образом, в данной работе был развит последовательный подход к теоретическому описанию системы вихрей в тонкой сверхпроводящей пленке. При этом, с одной стороны, этот подход основан на общих методах вычисления свободной энергии кулоновских и квазикулоновских систем (см. главу 2), а с другой на уравнениях Гинзбурга-Ландау (см. главу 3). Эти уравнения являются как бы основой для получения микроскопической энергии системы, на базе которой и строится статистическая теория. Построенная теория позволяет получить единое уравнение, описывающее поведение плотности свободных вихрей в системе в интервале температур, включающем в себя как область Т > Ткт• так и область низких температур Т < Т^т, где невозможно применить ренор-мгрупповой подход.

На основе полученных соотношений, с учетом параметров ниобие-вой пленки, реально исследованной на эксперименте, получена кривая зависимости электросопротивления пленки от температуры. Эта кривая воспроизводит основные характеристики диссоциативного перехода типа Костерлица-Таулеса, наблюдаемые на эксперименте. Таким образом совпадение теории с экспериментальными данными можно считать удовлетврительным. Кроме того, исследовано влияние на даваемые теорией результаты конечности толщины пленки и размера кора вихря и указано на возможность обнаружения в рассматриваемой системе фазового перехода первого рода.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ирз, Денис Юрьевич, 1999 год

Литература

Абрикосов A.A. ЖЭТФ 32 1442 (1957) Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. ЖЭТФ 20 1064 (1950)

[3] Абрикосов A.A., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике (М. 1962)

[4] М. Tinkham, Introduction to Superconductivity (McGraw-Hill, New York, 1975). им. перевод: M. Тинкхам Введение в сверхпроводимость

[5] J. Pearl, Journ. of Appl. Phys. 37 4139 (1966)

[6] J. Pearl, in Low Temperature Physics LT91 edited by J. G . Daunt, D. О. Edwards, F. J. Milford, and M. Yagub (Plenum, New York, 1965), p. 566.

Vladimir G. Kogan, Phys. Rev. В 49 15874 (1994)

J.L. Chen and T.Y. Tseng Phys. Rev. В 54 502 (1996)

A. Buzdin, D.Feinberg J. Phys. France 51 1971 (1990)

P. Minnhagen and M. Nylen, Phys. Rev. В 31, 5768 (1985).

J.R.Clem, in Inhomogeneous Superconductors - 1979 ( Berkeley Springs WV), proceedings of the Conference on Inhomogeneous Superconductors, edited by D.U.Gubser, T.L.Francavilla, S.A.Wolf and J.R.Leibowitz (AIP, New York, 1979), p.245 (AIP Conf.Proc. No. 58).

P. Раджараман Солитоны и Инстантоны в квантовой теории поля.

Huse D.A., Fisher D.S. and Fisher M.P.A., Nature 358 553 (1992)

D.R. Nelson and V.M. Vinokur, Phys. Rev. Lett 68 2398 (1992); Phys. Rev. В 48, 13060 (1993)

Hai-hu Wen, P.Ziemann, H.A. Radovan and S.L. Yan, Europhysics Letters 42 (3) p. 319 (1998)

Nelson D.R., Seung H.S. Phys.Rev. B39 No 13 1989 p.9153.

A. L. Fetter and P. C. Hohenberg, in: Superconductivity, edited by R. D. Parks (Marcel Dekker, New York, 1969) vol.2, p. 817.

[18] Березинский В.Л., ЖЭТФ 1970 59 стр. 907.

[19] Kosterlitz J.M.,Thouless D.J. J.Phys. C: Solid state Phys. 1973 6 No 7 p.1181.

[20 [21 [22 [23

Kosterlitz J.M., J.Phys. C: Solid state Phys. 1974 7 No 6 p.1046.

Рыжов B.H., ТМФ 80 107 (1989).

Балеску P. Статистическая механика M. Мир 1978

Квасников И.А. Статистическая физика - равновесная теория. М. Изд. МГУ. 1994

P.W. Debye and Е. ffiikkel, Physik.Z 24 185 (1923)

N. Bjerrum, Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd 7 1 (1926)

Michael E. Fisher. Journal of Statistical Physics Vol 75 p 1. 1994

Minnhagen P., Rev.Mod.Phys. 1987 59 No 4 p. 1001.

Edwards S.F., Phyl. Mag. 4 1171 (1959).

Polyakov A.M., Nucl. Phys. B20, 429 (1977).

Stu Samuel, Phys. Rev. D 18 p 1916 (1978)

Kholodenko A.L. and Beyerlein A.L., Phys. Rev. A 34 3309 (1986);Kholodenko A.L. and Beyerlein A.L., Phys. Lett. A 132 347 (1988).

J.Bardeen, M.J. Stephen Phys. Rev. 1965 140 p. A1197

Michael E. Fisher and Yan Levin, Phys. Rev. Lett. 1993 71, p. 3826

Mark Friesen Phys. Rev. B53 1996 p. R514

Irz D., http://xxx.lanl.gov/cond-mat/9712 (1997)

J.W.P.Hsu A.Kapitulnik Phys.Rev. B45 1992 No9. p.4819.

Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика. М. Наука 1981

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. М. Наука 1995

W. Ebeling and М. Grigo. Annalen der Physik. 7. Folge, 37 p 21 1980

[40] J. E. Mayer and M. Goeppert Mayer, Statistical Mechanics, (Willey , New York, 1976). им. перевод:Дж. Майер, M. Гепперт-Майер, Статистическая механика М. Мир, 1980.

[41] Балеску Р. Статистическая механика заряженных частиц. М. Мир 1967

[42] Е. Haga, Journal of the Physical society of Japan, Vol 8 1953

[43] D. Brydges and P. Federbush, Commun. Math. Phys. 73 197 (1980)

[44] Y. Saito, Prog. Theor. Phys 60 968 (1978)

[45] Фейнман P. Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М. Мир, 1968.

[46] П. Рамон. Теория поля. Современный вводный курс М. Мир 1984

[47] N.V. Brilliantov, http://xxx.lanl.gov/cond-mat/9805358

[48] П.Де Женн Сверхпроводимость металлов и сплавов. М. Мир 1968

[49] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 2. М. Наука 1995

[50] Nelson D.R. Phys.Rev.Lett. 1988 60 Nol9. р.1973.

[51] G. Blatter, et al/ Rev. Mod. Phys. Vol 66 p. 1125 ( 1994)

[52] Фейнман P. Статистическая механика M. Мир 1975.

[53] Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая механика. М. Наука 1971.

[54] М. R. Beasley, J.E. Mooij, and Т. P. Orlando, Phys. Rev. Lett 42, 1165 (1979).

[55] Halperin B.I. Nelson D.R. J.Low Temp.Phys. 1979 36 No 5/6 p.599.

[56] В.Н.Рыжов, Е.Е.Тареева, ТМФ 96, 425-437 (1993).

[57] B.-W. Xu, Yu.-M.Zhang Phys. Rev В 50, 18651.

[58] V. Cataudella, P. Minnhagen, and H. Weber, J. Phys: Condens. Matter 2, 2345 (1990).

[59] V. N. Ryzhov and E. E. Tareyeva, Phys. Rev. В 48, N 17, 12907-12911 (1993).

[60] V.N.Ryzhov and E.E.Tareyeva, Phys. Rev. В 49, N 9, 6162-6173 (1994).

[61] P. Minnhagen and M. Wallin, Phys. Rev. В 40, 5109 (1989).

[62] J.-R. Lee and S. Teitel, Phys. Rev. В 46 3247 (1992); J. Lidmar and M. Wallin, http://xxx.lanl.gov/cond-mat/9607025

[63] Mark Friesen and Paul Muzikar Phys. Rev. В (1998) 57 p.2709.