Свойства и фазовые переходы мезоскопических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Белоусов, Антон Игоревич

• Белоусов, Антон Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белоусов, Антон Игоревич

Содержание

1 Квантовые флуктуации фазы в массиве джозефсоыовских контак-

тов

1.1 Квантовый метод Монте Карло интегрирования по траекториям

1.2 Организация расчетов. Измеряемые величины

1.2.1 Вихревая структура распределения фаз

1.3 Фазовая диаграмма джозефсоновского массива

2 Квантовые флуктуации параметра порядка в массиве мезоскопиче-ских объектов

2.1 Квантовые расчеты Монте Карло

2.2 Измеряемые величины

2.3 Случай целочисленного заполнения

2.4 Модуляция фазовой диаграммы химическим потенциалом

2.5 Фазовая диаграмма модели "квантовых косинусов"

3 Фазовая диаграмма мезоскопических кластеров

3.1 Мезоскопические дипольные кластеры

3.1.1 Конфигурации глобальных минимумов

3.1.2 Фазовые переходы

3.2 Двумерные мезоскопические кластеры пылевой плазмы

3.2.1 Конфигурации глобальных минимумов

3.2.2 Фазовые переходы

3.3 Квантовое плавление мезоскопических кластеров

3.3.1 Фазовая диаграмма

4 Заключение

5 Благодарности

6 Литература

7 Приложение А. Эффективность траекторных алгоритмов Монте-Карло

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства и фазовые переходы мезоскопических систем»

Введение

Развитие методов микролитографии и полупроводниковой технологии позволяет в настоящее время проводить эксперименты с чрезвычайно малыми структурами, содержащими всего несколько электронов или экситонов, создавать регулярные массивы мельчайших металлических гранул, джозефсоновских контактов и.т.п. Изучение свойств таких объектов интересно не только с фундаментальной точки зрения, но также з связи с постоянным уменьшением характерных размеров электронных приборов. Исследованию моделей, отражающих основные свойства мезоскопических объектов и джозефсоновских массивов мезоскопических объектов, уделяется в настоящее время большое внимание, что привело к развитию одноэлектроники [1, 2, 3, 4] и обеспечило значительные успехи в изучении и конструировании различного рода мезоскопических объектов [4, 5], рассматриваемых как элементная база электронно - вычислительных и измерительных систем будущего.

К системам регулярных массивов мезоскопических джозефсоновских объектов, активно исследующимся экспериментально и теоретически, можно отнести, например, сверхтекучий гелий в пористой среде1 [7], решетки мезоскопических джозефсоновских контактов [8] - [14] или ультрамалых сверхпроводящих гранул [15] - [19]. Интересной физической реализацией джозефсоновского массива являются джозеф-соновские переходы в создаваемых с помощью литографии структурах со сверхтекучим 3Не [20]. Значительные успехи в экспериментах с бозе - конденсатом атомов, охлажденных лазерным излучением и последующим испарением [21]-[23], позволяют надеяться и на осуществление джозефсоновского массива из близких магнитооптических ловушек с бозе - конденсированными атомами2, либо кластерами бозе -конденсированных атомов, охлажденных и локализованных, в узлах системы стоячих электромагнитных волн. Наконец, другой замечательной реализацией джозефсоновского массива могла бы быть система джозефсоновски связанных "озер" из бозе - конденсированных экситонов в одиночных либо двойных квантовых ямах и расположенных в минимумах случайного поля (обусловленного шероховатостью поверхностей ям, т.е. в "естественных" квантовых точках [25] - [27]), либо в массиве искуственных квантовых точек.

В настоящее время для описания свойств джозефсоновских массивов используются две модели: квантовая ХУ модель и бозонная модель Хаббарда, причем первая может быть получена из второй пренебрежением относительными флуктуациями модуля сверхпроводящего (сверхтекучего) параметра порядка каждой гранулы (по-

1 Двумерные джозефсонсвские массивы (с мезоскопическими элементами) со сверхтекучим гелием можно, в принципе, осуществлять, создавая на подложке соответствующий "рисунок" из цезия (так как цезий не смачивается гелием [6]).

2 Интерференция двух бозе - конденсатов недавно исследовалась в работе [24].

ры) массива. Таким образом, решеточная бозонная модель Хаббарда может рассматриваться как более общая при изучении эффектов упорядочения в системе гранулированных сверхпроводников, тонких пленках и.т.п. В этой связи представляет интерес последовательное исследование влияния квантовых флуктуаций параметра порядка на установление глобального сверхпроводящего состояния и, в частности, сравнение фазовых диаграмм этих двух модельных систем.

Интересно рассмотреть также систему, в которой флуктуации локальной сверхтекучей плотности на гранулах малы даже в мезоскопической области, а основная роль в разрушении глобального сверхпроводящего (сверхтекучего) состояния массива принадлежит квантовым флуктуациям фаз параметра порядка. При этом необходимо отметить, что применение обычно использующихся при описании подобных систем (в рамках квантовой XY модели) операторов фазы и числа частиц как сопряженных переменных [28] ограничено случаем системы макроскопических гранул, тогда как при малом среднем количестве частиц на гранулу необходимы другие модели, не использующие некорректного "оператора фазы" [29, 30].

При описании единичных мезоскопических систем - электронов в полупроводниковой квантовой точке [2, 31] и системы непрямых экситонов в вертикально связанных квантовых точках [4, 25, 26, 27] может применяться модель кластера в удерживающем потенциале. Существующая техника эксперимента позволяет контролировать число частиц N в такой "искуственной молекуле" и приготовлять как классические кластеры заданного JV, так и системы, определяющую роль в поведении которых играют квантовые эффекты. Это дает возможность исследования ряда интересных задач физики мезоскопических систем.

Настоящая диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена исследованию эффектов макроскопического упорядочения в системе джозефсоновских контактов. С помощью квантового моделирования Монте - Карло (с использованием интегралов по путям) мы детально исследуем фазовую диаграмму системы в плоскости температура - безразмерный квантовый параметр де Бура. Особое внимание будет уделено поиску величин, наиболее полно отражающих характер топологического фазового перехода в рассматриваемой квантовой системе. Мы покажем, что одной из таких величин является модуль завихренности (vorticity modulus, который использовался ранее при анализе фазовых переходов в гейзенберговском антиферромагнетике [32]), для расчета которого будет предложено два метода: а) модификация вариационного принципа Гиббса - Боголюбова расчета изменения свободной энергии при изменении типа граничных условий; б) вычисление отклика на введение бесконечно малого магнитного потока в некоторой точке системы. Мы проследим за изменением картины вихревых нитей 2 + 1 классической системы при изменении управляющих параметров и покажем, что возбуждения типа "разомкнутая вихре-

вая нить" определяют характер изменения корреляционной функции фаз и являются ответственными за фазовый переход в квантовой системе и, следовательно, граница упорядоченного состояния массива есть линия топологических переходов Костерлица - Таулесса. Будет рассмотрена также возможность существования т.н. "возвратного плавления" и фазовых переходов не Костерлиц -- Таулессовского типа в области низких температур и сильных квантовых флуктуаций фаз.

Во второй главе проводится исследование роли квантовых флуктуаций фаз и локальной плотности сверхтекучей компоненты в установлении глобального сверхпроводящего состояния системы мезоскопических джозефсоновских контактов или гранул. Учет квантовых флуктуаций модуля и фазы сверхпроводящего параметра порядка проводится в рамках бозонной решеточной модели Хаббарда. Мы покажем, что модуляция среднего числа заполнения п0 узлов системы ("числа куперовских пар" на гранулу, атомов в ловушке и.т.п.) приводит к изменению состояния массива, причем характер этих изменений существенно зависит от рассматриваемой области фазовой диаграммы. Рассматривая характер предельного перехода бозонная модель Хаббарда —> квантовая ХУ модель, мы определим область мезоскопичности объектов, составляющих регулярный массив, а именно: при слабом взаимодействии бозонов (малых квантовых флуктуациях фазы) относительные флуктуаций модуля параметра порядка бозонной модели Хаббарда существенны при п0 < 10, а в области существенных квантовых флуктуаций фазы - при п0 < 8. Также будет рассмотрен альтернативный подход к описанию массивов мезоскопических объектов, в котором предполагается, что флуктуации локальной сверхтекучей плотности (модуля сверхпроводящего параметра порядка на каждой грануле) несущественны даже в мезоскопической области и характер разупорядочения массива определяется квантовыми флуктуациями фаз параметра порядка. Для корректного описания таких флуктуаций рассматривается модель "квантовых косинусов", являющейся обобщением квантовой ХУ модели.

Третья глава настоящей диссертации посвящена исследованию свойств классических и квантовых мезоскопических кластеров - систем электронов в полупроводниковых точках, непрямых магнитоэкситонов в двойных квантовых точках, частиц "пыли" в плазме. Рассматривая свойства таких систем различного числа частиц, будет показано, что наиболее стабильными кластерами (имеющими как максимальные частоты нижайшего возбуждения, так и максимальные температуры разупорядочения) являются кластеры с заполненными кристаллическими оболочками гексагональной симметрии. Таким образом, изменение числа частиц в кластере может привести к значительным изменениям состояния системы. Мы покажем, что изменением характерного радиуса взаимодействия частиц "пыли" в плазме также можно модулировать термодинамические свойства, переводя кластер (контролируемым

образом) в полностью упорядоченное, ориентационно разупорядоченное или полностью разупорядоченное состояние. Будет рассмотрен характер перестроек структуры основного состояния системы при изменении дебаевской длины экранирования заряда частиц в плазме. Рассмотрение свойств квантовых мезоскопических кластеров на плоскости температура - квантовый параметр де Бура мы проведем при помощи "ab initio" Монте - Карло интегрирования по траекториям. Будет показано, что при нулевой (достаточно низкой) температуре, по мере увеличения силы квантовых флуктуации частиц, имеют место два типа квантовых явлений разу-порядочения с ростом квантового параметра де Бура: сначала система переходит в радиально упорядоченное, но ориентационно разупорядоченное состояние, когда различные оболочки кластера проворачиваются друг относительно друга. При гораздо больших амплитудах квантовых флуктуации частиц имеет место переход в разупорядоченное (сверхтекучее в случае системы бозонов) состояние.

В Заключении представлены основные результаты настоящей диссертации.

1 Квантовые флуктуации фазы в массиве джо-зефсоновских контактов.

Массивы джозефооновских контактов до настоящего времени продолжают быть предметом значительного интереса и исследованию свойств этих объектов было посвящено большое число как экспериментальных [8]-[15], [17] - [18] так и теоретических [19], [33]-[44] работ.

В дальнейшем для конкретности мы будем иметь в виду следующую модель: Рассматривается система N х N гранул размером <1 и характерным расстоянием между гранулами Ь (см. Рис. 1). Подобный вид имеет (см. [17]) в частности система алюминиевых гранул в матрице из оксида. Для гранулированных сверхпроводников типа А1 — А120з, т.е. гранул А1 в диэлектрической матрице А1203 типичны следующие значения параметров (1 и Ь: й ~ 30..200л, Ь ~ 500..3000А Заметим, что подобные системы, как правило, однослойны [17], что делает возможным рассматривать систему как двумерную (2Б).

Свойства гранулированных металлов и джозефсоновских массивов, как известно, сильно отличаются от свойств сплошных сред. В частности, в гранулированных системах существуют два явления упорядочения с понижением температуры Т. Первое имеет место при температуре Тс? перехода гранулы (проводящего островка) в сверхпроводящее состояние и соответствует установлению сверхпроводящей щели Л у электронных состояний каждой гранулы. Эта температура примерно равна температуре перехода сплошного материала в сверхпроводящее состояние (Т® ~ 2К для А1). Исследуемую систему гранул мы теперь можем описывать при помощи единой волновой функции системы - комплексного параметра порядка ■ф(т) = Л (г) ехр (_7</?(г)), г б [0, Ы) х [0, Ы), причем каждая гранула характеризуется своим модулем А и фазой (р параметра порядка. При дальнейшем понижении температуры становятся незначительными флуктуации щели А (г) и при Т < Т° — 8Т поведение системы может быть описано при помощи фаз комплексного параметра порядка, заданных для каждой гранулы (для алюминиевых гранул размера й ~ 80А имеем 5Т ~ 0.1 К).

Заметим, что в непосредственной близости к Т° система в целом не является сверхпроводящей. Отличное от нуля сопротивление образца есть следствие разупо-рядоченности фаз <р{г) гранул. Джозефсоновское взаимодействие между гранулами с характерной энергией 7 вызывает упорядочение фаз параметра порядка при некоторой температуре Тс < Тс°. Величину джозефсоновской энергии связи 3 можно оценить следующим образом [18, 37]:

2е

модели.

где jmax ~ Ю-4 А - величина максимального Джозефсоновского тока между двумя соседними гранулами. Для джозефсоновского контакта между двумя идентичными сверхпроводниками эта величина есть

7Г Д , / Д \ 3™* = 2eRtanh{^)

где Д « 3 • 10_4Эв - величина сверхпроводящей щели, R « 4..12Ш - сопротивление контакта в нормальном (при Т Гс°) состоянии.

Вышеприведенное качественное описание явлений, имеющих место в гранулированных системах при понижении температуры, обычно проводится для трехмерных систем. Тогда элементарная оценка температуры перехода может быть сделана при помощи теории среднего поля, в результате чего имеем: Тс ~ zJ, где 2 - число ближайших соседей гранулы. К чему может привести отмеченная выше двумерность системы?

Как известно, дальний порядок отсутствует в двумерных системах с непрерывной симметрией [45], однако при достаточно низких температурах Т <ТС существует глобальное сверхпроводящее состояние, разрушающееся при некотором Т ~ТС по сценарию Костерлица - Таулесса [46] с диссоциацией топологических возбуждений -вихревых пар. Корреляционная функция системы д(т) = (^(¡0|), г/)(|г|)} в этой точке меняет свое поведение со степенного g(r)\T<Tc ~ 1/га^ ("квазидальний" порядок) на экспоненциальный g(r)\T>Tc ~ ехр (—г/£(Т)), когда фазы параметра порядка не-скоррелированны и глобальная сверхпроводимость отсутствует. Таким образом, в отличие от фазового перехода второго рода в трехмерной гранулированной системе, двумерная система гранул испытывает в точке Тс « J фазовый переход бесконечного рода (переход Костерлица - Таулесса).

В системах без диссипации имеется два основных вклада в энергию массива:

джозефсоновская связь между сверхпроводящими гранулами (с энергией Ej ~ J) вследствии туннелирования куперовских пар и электростатическая энергия, возникающая вследствии локальных отклонений от нейтральности гранул (собственная энергия гранулы Ес0 ~ & jd и взаимная кулоновская энергия Ес„ ~ e/L, см. Рис. 1). В случае, когда гранулы достаточно велики (d ~ 104А [13, 18]), так что вклад кулоновской энергии заряда гранул был пренебрежимо малым, J {Eq0, ECij}-, J ~ О.ЗЭв, Ec0,Eci:j ~ 0.04Эв. Такие системы удовлетворительно описываются в терминах классической XY модели 3:

H = J~Z (1 - cos (<pi - ifj)) (2)

<М>

где сумма соответствует джозефсоновской энергии связи пар соседних гранул < i,j >. Фазы параметра порядка <pi G [0, 2тг).

Для мезоскопических гранул наряду с джозефсоновской энергией туннелирования Ej становится необходимым рассматривать также и кулоновскую энергию Ее ~ 2е2/Со заряда гранул собственной емкости Со 4. Температура установления глобального сверхпроводящего состояния является теперь функцией размера (собственной емкости) гранул [19, 42]. Более того, в случае чрезвычайно малых гранул сверхпроводящее состояние системы в целом может отсутствовать даже при нулевой температуре. Это явление аналогично, например, квантовому плавлению гелия при низких температурах (в качестве обзора явлений см. [47] - [48] и ссылки в них).

Учет как эффекта джозефсоновского туннелирования так и кулоновской энергии заряда гранул приводит к тому, что состояние рассматриваемой системы определяют два управляющих параметра: безразмерная температура 9 и квантовый параметр де Бура g, определяющий характерную величину нулевых флуктуаций фазы

к

параметра порядка:

e = kbT/J-, q = 2е/\J~JCq — \JsEcJEj

Линия q — 0 фазовой плоскости {q-, ©} соответствует классической системе (описываемой в терминах XY модели (2)) с известной [46, 51] температурой фазового перехода 9(q = 0) « 0.98.

Зпри помощи такой модели обычно описываются эффекты упорядочения в а — Ъ плоскостях купратных высокотемпературных сверхпроводников

4 малость размеров гранул по сравнению с расстоянием между ними d, <с L позволяет пренебречь взаимной емкостью гранул С^- Со

ЭВ недавних экспериментальных работах в Делфте и Гарварде (см. [50]) размеры гранул удерживались постоянными и варьировалось нормальное сопротивление между гранулами R, т.е. константа джозефсоновской связи J = J(R) (1). Такой подход позволил исследовать образцы, для которых Ec/Ej € [0.1, 33.0], т.е. q G [0.9,16].

В дальнейшем будем считать, что температура системы меньше температуры перехода гранулы в сверхпроводящее состояние и флуктуациями модуля параметра порядка можно пренебречь (см. выше). Тогда гамильтониан двумерной системы гранул может быть записан в виде [19, 42]:

Н = ~ - По)2 + 3 £ (1 - С08 (ф, - £,.)) (3)

°° г <г,3>

Первый член в гамильтониане соответствует кулоновской энергии заряда гранул, щ — щ - отклонение текущего "числа куперовских пар" щ на г-й грануле от его равновесного значения п0 (когда туннелирование между гранулами отсутствует). Вторая сумма в (3) соответствует джозефсоновской энергии связи пар соседних гранул < >. Фазы параметра порядка € [0, 2ж).

Предположим, что ?з0 > 1 и что относительные флуктуации числа куперовских пар на гранулах малы: < щ — щ > /по <С 1. Тогда можно считать спектр оператора щ — п0 неограниченным и принять щ — п0 — —уд/дф^ в результате чего (3) принимает вид:

# = Е + ' Е (1 - «»(<* - Ъ)) (4)

Модель (4) называют квантовой ХУ моделью. В значительной степени интерес к опытам с гранулированными материалами и джозефсоновскими массивами вызван тесной связью этих систем с двумерной (2Б) квантовой ХУ моделью (4) -одной из наиболее общих и часто используемых в физике конденсированных сред теоретических моделей, для которой массив джозефсоновских контактов является конкретной экспериментальной реализацией. В рамках квантовой 2Б ХУ модели могут быть успешно описаны система джозефсоновских контактов, легкоплоскостные антиферромагнетики, ряд свойств жидкого гелия в пористых средах, гранулированные сверхпроводники и множество других систем. Как можно показать с помощью ренорм - группового подхода, переходы массивных систем в упорядоченное состояние с параметром порядка, имеющим непрерывную симметрию, например сверхтекучих жидкостей, также описываются в терминах этой модели [52].

Влияние нулевых флуктуаций фаз параметра порядка на фазовую диаграмму модели (4) рассматривалось ранее при помощи ряда теоретических подходов. Наибольшее распространение до сих пор имеют подходы, основанные на том или ином самосогласованном приближении теории среднего поля. В простейшем варианте теории среднего поля [34, 35, 36] джозефсоновская энергия связи со всеми соседними гранулами учитывается посредством введения "эффективного поля" (параметра порядка, одинакового для всех гранул массива), которое является решением само-мосогласованного уравнения. Обращение величины этого параметра порядка в ноль

принимается за свидетельство разупорядоченности массива. Такой подход, хотя и не дает возможности исследовать род фазового перехода, позволяет достаточно быстро провести оценку границы упорядоченного состояния массива.

Более надежным вариантом подхода, основанного на приближении среднего поля, является метод, изложенный в работах [53, 123]. В рамках этого метода ищется наилучшее (в вариационном смысле) отображение исходной квантовой 2Б ХУ модели на классическую ХУ модель (2) с перенормированной квантовыми флук-туациями константой связи </(д,9). В случае существования такого отображения можно утверждать, что исходная квантовая модель испытывает фазовый переход Костерлица - Таулессав точке ©), определяемой из решения неявного уравнения 0.98/(д,©)/7= 9.

Третьим подходом к оценке фазовой диаграммы массива является самосогласованное гармоническое приближение [38, 39, 40], [37, 43, 55]. Этот подход использует неравенство Гиббса - Боголюбова [56] для того, чтобы свести исследуемую систему к массиву связанных гармонических осцилляторов.

Одним из наиболее интригующих результатов расчетов по теории среднего поля явилось предсказание существования гранулированных двумерных массивах явления возврантной сверхпроводимости, когда глобальное сверхпроводящее состояние отстутствует не только при высоких, но и (при достаточной силе квантовых флук-туаций) при низких температурах. Таким образом предсказывалось, что с уменьшением температуры массива может иметь место два фазовых перехода проводящее / сверхпроводящее состояние. Усилия, затрачиваемые на поиск возвратной сверхпроводимости в значительной степени поддерживаются сообщениями о низкотемпературной нестабильности, обнаруженной экспериментально в массивах джо-зефсоновских контактов [8], сверхтонких аморфных пленках и гранулированных металлах [17].

В рамках приближения среднего поля показано [41], что возвратные явления могут иметь место лишь в массивах, размеры гранул в которых сравнимы с характерным расстоянием между ними <1. Такой случай не описывается моделью (4), поскольку требует учета также и недиагональных элементов С^, г ^ ; матрицы взаимных емкостей гранул. Возможность существования возвратных эффектов связывалась также с областью определения фаз параметра порядка [35] и эффектами утечки [41, 43]. Обзор результатов вариационных подходов к проблеме возвратной сверхпроводимости сделан в работе [44]. Отметим также, что проводимые ранее расчеты Монте Карло свойств системы (4) не дали ясного ответа на вопрос о существовании возвратных явлений в системе мезоскопических контактов [48, 49, 50, 57].

В настоящей главе мы проводим исследование свойств системы джозеф ооновских

контактов из первых принципов, не предполагал различных приближений, точность которых заранее неизвестна. Следует отметить, что моделирование квантовых систем ab initio, претендующее на их точное количественное описание, требует больших временных затрат, что делает необходимым уделить особое внимание оптимальному алгоритму расчетов и анализу ошибок (см. Раздел 1.1.1), связанных с данным алгоритмом. Поэтому был проведен предварительный анализ эффективности ряда алгоритмов Монте - Карло (Раздел 1.2, Приложение А), причем для различных расчетных величин и точек фазовой диаграммы различные алгоритмы оказались наиболее эффективными. Из результатов этих расчетов мы найдем линию фазового перехода ©с = Qc(g), т.е. определим фазовую диаграмму системы, и исследуем характер фазовых переходов (Раздел 1.3).

1.1 Квантовый метод Монте Карло интегрирования по траекториям.

Статистическая сумма и среднее любой наблюдаемой величины для квантовой системы могут быть вычислены через функциональные интегралы (см., например, [56, 58, 59, 60, 61])

' ' /3 h

Z = tr(e-^) = ... е-So bM&DMT)}

После проведения процедуры дискретизации [56], [59]-[61] неиспользования так называемой примитивной оценки матричных элементов температурной матрицы плот-

ности, свойства исходной <1 — мерной квантовой системы N х N фаз г € 1, ЛГ2

могут быть (приближенно) найдены по фиктивной <1 + 1 — мерной классической, образованной Р - кратным размножением исходной: {</?£}, г 6 1, ЛГ2, р € 0, Р — 1: Эта классическая система описывается больцмановской функцией распределения из с эффективным потенциалом К//:

<ppN21\P) = exp(-0Veff),

р=о

£ - tf - 2-Kuf)

2

Е—-Ъ--- + ZT5 £ (1 - - tf))

Д2 вР

г=1 <г,Э>

гГ - Л (5)

где целое число п* доставляет минимум выражению — — 2ттп*\ при заданных и и соответствует простейшему учету цикличности фаз [62]. Здесь и далее

используются обозначения для безразмерной константы связи Г = .7/3 и величины

__ 2П2Р = 2д2 СР вР'

Из (5) видно, что параметр Д определяет характерную "толщину" пучка траекторий в мнимом времени -> —>• —»■ г = 1, Ы2, дающих основной вклад в статистическую сумму фиктивной классической системы

Л'2Р

/ 1 \ Т~ Г2™ г2ж

I •••/о

Согласно (5), среднее любой наблюдаемой А оценивается как:

(А\ = ~

\ / ьг(е~0й)

1 г2тг /-2-1Г

{А)р=ТРк •••/о (6)

В пределе Р —> оо имеем: 2р —(А)р —^А^. При достаточно большом числе разбиений Р оценки (6) будут хорошим приближением к истиным средним (см. ниже).

Многомерные (Л^Р-мерные) интегралы типа (6) вычислялись при помощи метода Метрополиса [63, 64], в котором усреднение искомых величин осуществлется вдоль реализаций специальным образом сконструированной эргодической цепи Маркова, представляющей стохастический аналог динамических траекторий системы в конфигурационном пространстве.

1.1.1 Типы ошибок, возникающие при квантовых расчетах по траекториям.

Оценки величин (Ау, проведенные вышеописанным образом, содержат ошибки, каждая из которых характеризуется своим безразмерным параметром, по малости которого можно судить о точности проведенных вычислений. Укажем ошибки, вносящие основной вклад в результаты вычислений, соответствующие им параметры и численные оценки.

1) "Ошибки дискретизации".

Они равны нулю при «7 = 0, т.е. в случае, когда исследуемая система состоит из Ы2 невзаимодействующих гранул {</?,}. От величины данной ошибки зависит справедливость оценки (6). В общем случае элементарную оценку для величины ошибки рассматриваемого типа можно получить следующим образом:

Н\, Н21 ~ е-рй'е-рй2 (1 - п)

где тх ~ -С- \НЪН2 . Очевидно, что в рассматриваемом нами случае, когда Й

р2

1

2е2/Со и Я2 ~ 7 получаем следующую оценку[62, 65, 66]:

= V Т1 @2р2

Необходимость удовлетворения равенства тх <С 1 накладывает условия на выбор числа слоев Р при данных д и О. В проведенных рассчетах параметр гх изменялся в пределах 0.001 < тг < 0.07. Увеличивая число разбиений Р в (6) при заданных q, в и анализируя при прочих равных условиях зависимость найденного среднего (А) р = (А) р (Р), было найдено, что при вышеуказанных значениях тх ошибки данного типа не превышают 8% в области д > 1.5 и 1% в области д < 1.0 от предельного для Ар значения.

2) Ошибки, связанные с неполным учетом цикличности фаз.

Нетрудно показать (см. [62]), что пренебрежение цикличностью характеризуется параметром

т2 = 2 £ е-^2сЦ2£ьещ)

п> О

где введены обозначения гь — ^ , с/ = <р'-г'-2жгг ; а п* соответствует выбору у' как ближайшего соседа к <//'. При характерных величинах параметра г2 ~ 0.05 ошибка в определении среднего не превышает 2% (заметим, что условие г2 С 1 дает еще одно ограничение на количество разбиений Р).

3) Статистические ошибки.

В результате реализации метода МК вычисления интеграла (6), среднее {-А)Р оценивается как

I м

Ш 771=1

и представляет собой оценку Е{А} математического ожидания Е{А} стационарного случайного процесса А(ш, тп) с дискретным временем (временного ряда), проведенную по М вообще говоря зависимым значениям Ат одной из его реализаций {А™}. Пусть автокорреляционная функция процесса А(ш, т) есть

Са(т) = Е{(Аг - Е{А})(Ао - Е{А})} ; а2 = С'(0).

оценкой которой может служить величина

1 М—т 1 М

Ол(т) = £ {Аг - Ё{А})(А0 - Ё{А}); а2 « —- £(А - Ё{А})2. (9)

М-т^1 1 М-1,=1

т-

огда дисперсия несмещенной оценки математического ожидания

Г 1 м ) _2

к 171=1 )

определяет ошибку дАр, с которой вычислено искомое среднее. Нетрудно показать (см. например [67]), что

г, м-1

= + ¿ Е (М - т)Ол(т) «

т=1

где

оо

w = 14-2^Сл(Г)/(72 (10)

т=1

есть интегрированное время корреляции случайного процесса А(ш,тп). Соответстве-но, ошибка в определении среднего (8) может быть оценена в виде

ад

где Тсагг есть оценка интегрированного корреляционного времени, получающаяся в результате подстановки оценки (9) в формулу (10).

В зависимости от измеряемой величины, статистические ошибки в проведенных расчетах изменялись от ~ 0.1% (в упорядоченой фазе) до ~ 10% (вблизи фазового перехода) от найденного среднего.

1.2 Организация расчетов. Измеряемые величины.

При выборе конкретного алгоритма построения цепи Маркова для расчета многомерных интегралов (6) проводился предварительный анализ их "производительности". Сравнением эффективностей (см. Приложение А) различных методов организации движений системы по конфигурационному пространству (при различных значениях управляющих параметров q и 9) были выбраны наиболее оптимальные (как обладающие наибольшей эффективностью при измерении требуемой величины) . Детальное описание исследуемых алгоритмов построения цепи Маркова и процедуры сравнения их производительности дано в Приложении А.

В результате такого предварительного анализа было отобрано две multigrid -модификации [68] алгоритма Метрополиса (обозначения даны в Приложении А): При q < 0.8 для расчетов всех интересующих величин использовался алгоритм Wiо, при q > 0.8 - алгоритм У10.

Всего в исследуемой области 0.1 < q < 2.6, 0.02 < © < 1.4 поведение системы исследовалось примерно в 150 точках, лежащих вдоль линий двух типов:

1)© = const, gG [0.1, 2.6]

2) q = canst, 0 G [0.02,1.4]

Некоторые точки (q, 0) были просчитаны два раза (при движении вдоль разных линий), что дало возможность проверить надежность результатов.

Начальная конфигурация системы формировалась Р—кратным размножением конфигурации двумерной классической XY модели, равновесной при данной температуре, либо полагалось — 0, г 6 1, N2, р £ 0,Р — 1. Оба метода приводили к одинаковым результатам в пределах вычислительных ошибок. Отметим, что отогрев системы с произвольной Р раз размноженной начальной конфигурации фаз требует гораздо большего времени по сравнению с вышеизложенными двумя методами. Особенно большие времена отогрева требуются вблизи границы фазового перехода, что предполагает движение по плоскости управляющих параметров из области существования "твердой фазы" в "жидкость". Данное наблюдение было сделано так же в работе [69] при расчете свойств вигнеровского кристалла.

После прогрева системы в течении 106... 108 движений на частицу в пересчете на локальный метод Метрополиса проводилось статистическое тестирование для некоторых величин (модуля спиральности, энергии взаимодействия в пересчете на одну гранулу). При этом контролировалась стационарность процесса, и оценивался период корреляции тсогг. Усреднение проводилось по М = 104 ... 105 конфигурациям, отстоящим друг от друга на ~ 2000 W или V циклов. Изменением q (или ©) система переводилась в следующую исследуемую точку (д; ©), причем конфигурации, равновесные для предыдущей точки брались в качестве начальных для данной. Для большинства линий © = const или q = const оценивалось максимальное Р (Р = 2fcmoa:), при котором т\ < 0.05 и измерения вдоль линии проводились при этом Р. В случае, когда Р изменялось с движением расчетной точки, тиражировался предпоследний Р — 1 слой системы, либо принималось (¿>f = 0, г е 1, iV2, р € 0, Р — 1.

Во всех исследуемых точках плоскости {q; ©} находились значения следующих величин:

Относительное среднеквадратичное смещение фаз Эта величина есть аналог (абсолютного) среднеквадратичного смещения частиц, известного по критерию Линдемана, в котором полагается, что плавление системы происходит, если среднеквадратичное смещение частицы превосходит некоторую долю среднего расстояния между частицами (ее обычно полагают равной 0.15). Однако, как было показано Ландау и Пайерлсом (см. например, [45]), для двумерной системы эта величина расходится логарифмически с размерами системы и, поэтому, не может служить критерием фазового перехода.

Вместо параметра Линдемана для двумерных систем можно пользоваться относительным среднеквадратичным смещением частиц (фаз в нашем случае - ср.

[70, 71]):

Si

1 £ l<Pi-<Pj fl-

it

2N2 ^ ,

[—Л\7г)

(12)

Сумма в (12) берется по всем неповторяющимся парам узлов < г,^ > таких, что вектор, соединяющий гранулы г и ] равен (0,/) или (1,0). С учетом периодических граничных условий число таких пар есть 2Ы2. Расматривались случаи I = 1,3. Здесь и далее [/][0ь) означает приведение величины / к интервалу [а, Ь).

Нетрудно показать (доказательство для двумерного кристалла см. в работе [71]), что соответствующее термодинамическое среднее существует.

Модуль спиральности ("helicity modulus") Величина, являющаяся мерой "жесткости" системы при воздействии возмущения 5ф(тп,п) = kr(гп,п) = кхтп+куп фазы гранулы с координатами (тп, п). Модуль спиральности [52],[72, 73] можно определить как

1 d2F{ к)

lab =

fc-> о

./Л"2 дкадкь

где -Р(к) — —<дlnZ(к) — свободная энергия возмущенной системы. Тогда имеем [50]:

lab = 1$аЬ,

1

N

7 = cos (v>°(m + 1'П) ~ '/(т'П))

1

P-l N

J2 Ys sin(^(m + l,n) - i^(m,n))

p=0 m,n=l

юрщ

Заметим, что в предположении равенства фаз на всех временных слоях р

(13)

0... Р — 1 фиктивной трехмерной системы (13) переходит в известное выражение для модуля спиральности класической ХУ модели [74]:

Icls

£ cos (<^°(m + 1,п) ~ tp°(rn, —

ДГ2©

N

£ sm(ip°(m+1,п) — <р°(тп,п))

m.n—1

(14)

Рис. 2: Определение топологического заряда, а) задано скалярное поле фаз <р(г) £ (—оо, оо) б) фазы € [0, 27г) определены на решетке.

1.2.1 Вихревая структура распределения фаз.

Для анализа вихревой структуры (см. [75, 76] и ссылки в них) разобьем фиктивную классическую систему [О, Щ х [О, Щ х [О, Р] на ]У2Р кубиков плоскостями

| г = р, р = 0\Р, < х = ш, т — О, Д^, I г/ = та, гг = О, /V.

В центрах каждой грани / = 176 кубика {т,гг,р} определим вектор 5/ по правилу:

Зх = еуЗг, Эз = еу3з] §2 = вдй'г; 84 = ех8±\

Зб = е-55; Бе = ег5б; (15)

где {е^} - тройка базисных векторов, 5/ — топологический (вихревой) заряд грани /. В общем случае топологический заряд 5 части системы, ограниченной контуром д, определяется (при расширении области определения <р на [—со, оо)) как

Рассмотрим квадратный контур натянутый на четыре соседние гранулы классической системы (занумерованные в соответствии с некотрым правилом обхода, см. Рис. 2), центр которого определяется вектором тд. Будем говорить, что в точке гг находится вихрь заряда

если ¿'(гр) ф 0.

Направление обхода при подсчете 5/ грани / кубика {т, п, р} задаем соответствующим базисным вектором, так что для грани / = 5, например, имеем (см.

Аналогичным образом проводятся вычисления величин 5/, / = 1,6. Соединим теперь центры граней, соответствующие векторам направленным внутрь кубика, с центрами граней, в которых вектора направлены из кубика.

Если провести вышеописанную процедуру для всех кубиков системы, то можно наблюдать (при соответствующих д и ©) достаточно сложную картину "вихревых нитей" (см. Рисунки 5-7). Все множество нитей, построенное таким образом состоит из изолированных нитей, при выделении которых необходимо учитывать периодичность системы N х N х Р в трех направлениях.

Полная картина вихревых нитей, как было указано выше, разбивается на изолированные непересекающиеся нити. Выделенные из зачастую весьма запутанного "супа" отдельные нити, очевидно, могут быть либо замкнутыми (и, с учетом периодичности системы в трех направлениях, выглядеть как кольца или пересекающиеся кольца), либо "открытыми", прошивающими систему (см. Рис. 4).

Плотность открытых вихревых нитей. Определим среднюю плотность открытых вихревых нитей как {п^п - количество открытых нитей в системе N х

= — ([.<£>1 - Ы [-^тг) + Ьй2 - ¥>3.1 [-*,*) + Ьз - ¥>4_|[-тг,х) + [щ - <£>1.1 [-*,*))

Рис. 3):

¿>5 = |_¥>1 ~ Р?! [-7Г,7Г) + \}Р2 - <£>3_|[-РГ,Тг) + - </Ч][-7Г,7Г) + \}Р± - </>1_|[-7Г,7г)-

N X Р):

{m, n,p}

f=5

f=2

f=l -

"f-3

f = 4

f=6

Рис. 3: Пример построения вихревой нити. Цетры граней Д, соответствующие векторам Sfl, направленным внутрь кубика, с центрами граней /2, в которых вектора S/2 направлены из кубика.

Модуль завихренности ("vorticity modulus") Как известно, возбуждениями, ответственными за фазовый переход в системе гранул без учета емкостей (в соответствующей "классической" системе) являются топологические возбуждения -вихри [46]. При температурах 9 ~ 0.8 в системе появляется большое количество вихрей различного топологического заряда объединенных в пары конечного размера. Распаривание вихрей (образование свободного вихря) становится выгодным в точке вс « 0.89 фазового перехода классической системы - перехода Костелица - Таулеса. Способность системы образовать свободный вихрь отражает модуль завихренности ("vorticity modulus").

Определение модуля завихренности через изменение типа граничных условий В этом подходе модуль мскомая величина может быть определена как

Рис. 4: Различные типы вихревых нитей, а) закрытые нити, б) открытые нити.

Рис. 5: Картина вихревых нитей в точке (§,9) = (2.1.0.5) (до фазового перехода). Замкнутые нити ("вихревые кольца") деформированы. Видны стопки колец.

Рис. 6: Несколько вихревых нитей, выделенных из вихревого "супа" в точке (<?, в) = (2.3,0.5).

Рис. 7: Две из более чем 200 запутанных вихревых нитей при (д, в) = (2.5,0.5) (после фазового перехода).

Рбар ~ Рр

v =

1п]У

(17)

Здесь Ролр - свободная энергия системы с диагонально - антипериодическими (БАР) граничными условиями (см. ниже), вводящими дополнительный вихрь в систему, Рр - свободная энергия системы с периодическими (Р) граничными условиями, когда общий топологический заряд системы равен нулю и вихревые возбуждения могут рождаться только парами, обьединяющими вихри разного заряда. Очевидно, что определение (17) можно распространить и на квантовые системы

(роль свободного вихря в точке г^ тогда будет играть незамкнутая вихревая нить о ,1 . р-1 о )

1 во ^ 1 51 ^ • • • 1 вР-1 ^ 1 90 > ■

Для изменения свободной энергии квантовой системы при изменении граничных условий находились верхняя и нижняя вариационные оценки. В общем случае, для систем А и В с гамильтонианами ЙА и Нв соответственно, справедливо неравенство (см. например [56]):

- (ЙА - Нв)в <РВ- РА < (Йв - Йа)а (18)

Нв - НА)а = ¿г (е-^(Нв - НА)) , {НА - Нв)в = 1г {е~^в(НА - Нв)) ,

где ГА, (Рв) - свободная энергия системы А(В). Применительно к задаче нахождения модуля завихренности, квантовые системы N х N гранул отличаются только типом граничных условий, а именно: Система А подчиняется периодическим граничным условиям:

<р(т, 0) = <р(т, АГ), <р(т, N + 1) = у>(т, 1);

,п) = <р(Ы,п), 1р{Ы + 1,п) = ф,п), тогда как система В - диагонально - антипериодическим граничным условиям:

0) = |_7Г + <р{Ы - т + 1, Л^)] [0)2?г), <р(т, N + 1) = [тг + -т + 1,1)] [0 27г) ,

^(0, п) = [тг + N -п + 1)\ [0 27т) , <р{Ы + 1, тг) = [ж + <р(1, М-п + 1)] [0 27г).

Заметим, что вычисления непосредственно по формуле (18) дадут лишь грубую оценку искомого изменения свободной энергии, так как системы А и В сильно отличаются друг от друга. Более точную оценку можно получить, проведя постепенное изменение гамильтониана системы ЙА -» Йв и измерив работу этого поцесса, проведенную над системой, Рис. 8 (см. также [78]). Для нахождения верхней оценки, например, значения констант связи на границе Л, £ = 0 ■ • • 2М (а, следовательно,

л

Периодические Диагонально -

граничные условия антипериодические

Свободные граничные условия

граничные условия

Рис. 8: Постепенное изменение констант связи на границе системы ^ и изменение типа граничных условий (при позволило оценить разность свободных энергий систем с минимальной ошибкой.

и гамильтониан) менялись медленно от исходного значения = 3 до нуля, система при этом находилась при периодических граничных условиях, см. Рис. 8. При £ = М, когда = 0, система находилась при свободных граничных условиях.

Дальнейшее постепенное увеличение константы связи на границе до ее прежнего значения = .7 происходило при диагонально - антипериодических граничных условиях и приводило систему к конечному состоянию I = 2М, характеризующуюся наличием по крайней мере одной свободной вихревой нити.

В каждый момент времени t производился отогрев системы за некоторое количество шагов МК (~ 200 • • • 400 корреляционных времен тсогг, измеренных ранее для модуля спиральности, и ~ 1000 - • • 1500 корреляционных времен той же величины для термализации перед началом счета). Измерение работы 8Аи требуемой на из-

менение константы связи с ./(¿)ь на + 1)ь требовало еще ~ 100т^т • • • 200тсогг шагов. Вклад в работу вносит лишь изменение энергии как следствие изменения константы связи 3 на границе системы.

6Аг = (Я(^+1) - Н{$)) = 2(1 -сов(^ - ъ)) - ^£(1 - -

1 \ Ь Ь / /ь

Искомая верхняя оценка изменения свободной энергии (17) определяется тогда как полная работа, требуемая на изменение типа граничных условий:

2 м

Fdap-Fp<J:5A^dap

г=о

Вычисление нижней оценки требует аналогичной трансформации граничных условий от диагонально - антипериодических к периодическим:

2 м

4=0

Мы нашли, что хорошим выбором закона изменения константы связи на границе является следующая функция:

, 2

Jht= J ( cos (тг*/2М))'

Конкретные величины времен прогрева, измерений и полного цикла 2M (2M ~ 4000 • • • 6000) подбирались опытным путем так, чтобы обеспечить требуемую точность оценки (17), которая может быть определена как разность между полученными верхней и нижней границами для модуля завихренности.

Определение модуля завихренности через отклик системы на <5 - образный источник магнитного поля Модуль завихренности можно также определить несколько иначе. Предположим, что система находится в поле с векторным потенциалом А:

t А А л \ ФоЗ / л, 27vch

Напряженность магнитного поля H при этом есть

(я„я„я,) = £Mî!±l!> (o,o,i)

7Г

Выберем начало системы координат в центре массива гранул и рассмотрим свободную энергию системы как функцию величины поля. Тогда, предполагая поле малым (s С 1), имеем 6:

F(s) = F( 0) + Çs2 + 0(,3)

"Нетрудно видеть, что в силу симметрии гамильтониана имеет место дР(з)/дз|а=0 = О

Для отклика системы V = d2F(s)/ds2|s=0 на бесконечно малое магнитное поле отсюда легко получается выражение:

/ N

{Л2х{т,п) cos {<p0(m + l,n)-ip0(m,n)) +

\m,n=l

Ау(т,п) cos (ip°(m,n + 1) - ip°(m,n))}) —

1 Г

TP2

P-1 N

E E {Ax(m,n)sm(<^p(m + 1,гг) - ^(т,п))+

p—0 m,n=l

Лу(т,гг)эт(^(т,гг + 1) - и))}]2) , (19)

Ах(т, п) = агйап (хт,п/ут,п) - агс!ап (хт+1 }П/Ут,п), Ау(т,п) = ах^ап(ут1„+1/:гт1Т1) - аг^ап (ут,п/хт,п),

где ) определяет положение гранулы (т, п) в выбранной системе коорди-

нат.

Аналогичное выражение использовалось в работе [32] применительно к классическому гейзенберговскому антиферромагнетику на треугольной решетке. Хак указывалось авторами, отклик (19) содержит как вклад, связанный с энергией кора вихря Ес, так и вклад, пропорциональный

У{М) = Ес/.1 + ун\о%М

Тогда, проведя расчет для систем различного размера N1 можно выделить модуль завихрености как [32]

„ то - ут ,9П.

^ = 1п(ЛГ2/ЛГ1) (20)

пространственная корреляционная функция. Выберем некоторую гранулу срс на решетке N х N. Обозначим число гранул, отстоящих от данной на расстоянии

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Белоусов, Антон Игоревич

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [62], [65], [66], [90], [91], [92], [93], [94], [121], [122], [123], [134], [135].

5 Благодарности.

В заключение выражаю благодарность моему научному руководителю Ю.Е.,Лозо-вику за неоценимую поддержку на всех этапах работы а также всем сотрудникам лаборатории нанофизики Института спетроскопии РАН за полезные обсуждения результатов на семинарах сектора. Автор благодарит С.А. Верзакова за ценные обсуждения.

Особую благодарность выражаю моим родителям И.Е. Белоусову и Л.Н. Бе-лоусовой, поддержка которых во многом способствовала успешному завершению работы.

4 Заключение

В настоящей диссертации получены следующие результаты:

1. Эффекты макроскопического упорядочения в системе мезоскопических джо-зефсоновских контактов исследуются с помощью квантового моделирования Монте

- Карло (с использованием интегралов по путям). Детально исследована фазовая диаграмма джозефсоновского массива макроскопических сверхпроводящих гранул на плоскости температура - квантовый параметр де Бура. Анализ поведения ряда величин показывает необходимость использования модуля завихренности (vorticity modulus) как наиболее полно отражающего характер топологического фазового перехода в рассматриваемой квантовой системе.

2. Для расчета модуля завихренности разработан метод, являющийся модификацией вариационного принципа Гиббса - Боголюбова расчета изменения свободной энергии при изменении типа граничных условий. Показано, что применение этого метода позволяет провести достаточно надежные оценки топологичеких характеристик массивов при умеренных временных затратах.

3. Исследование картины топологических возбуждений 2 + 1 - мерной системы

- вихревых нитей - позволило произвести отображение исходной квантовой системы на двумерный классический массив джозеф ооновских контактов с перенормированной квантовыми флуктуациями константой связи. Установлено, что топологическими возбуждениями, ответственными за фазовый переход в соответствующей двумерной классической системе будут вихри, положения которых определяются положениями открытых вихревых нитей в исходной 2 +1 - мерной квантовой системе. В результате определена джозефсоновская константа связи классической системы (и, следовательно, температура фазового перехода исходной) как функция управляющих параметров.

5. Исследовано влияние роли квантовых флуктуаций фаз и локальной плотности сверхтекучей компоненты (модуля сверхпроводящего параметра порядка) в установлении глобального сверхпроводящего состояния системы мезоскопических джо-зефсоновских контактов или гранул. В рамках бозонной модели Хаббарда и при различных средних числах заполнения узлов щ (числа "куперовских пар" на гранулу, количества "сверхтекучих атомов гелия" в поре) квантовым методом Монте -Карло произведен расчет плотности сверхтекучей компоненты, флуктуаций числа частиц на узлах двумерной решетки и других величин. Для системы сильно взаимодействующих бозонов граница упорядоченного сверхпроводящего состояния лежит выше соответствующей границы ее квазиклассического предела - квантовой XY модели - и приближается к ней с ростом п0. Обнаружено, что при слабом взаимодействии бозонов (малых квантовых флуктуациях фазы) относительные флз'ктуаций модуля параметра порядка бозонной модели Хаббарда существенны при п0 < 10, а в области существенных квантовых флуктуаций фазы - при п0 < 8, что определяет область мезоскопичности системы.

6. Разработан метод измерения температурной производной сверхтекучей плотности в схеме "квантования потока", когда через центр тора, на поверхности которого лежит система, пропускается определенный поток магнитного поля, приводя к появлению у куперовских пар (сверхтекучих частиц на гранулах массива) калибровочной фазы. Показано, что такой подход позволяет проводить качественное масштабирование (scaling) начиная с систем N х N столь малого размера как N ~ 6.8.

7. В рамках бозонной решеточной модели Хаббарда показано, что модуляция среднего числа заполнения п0 элементов массива химическим потенциалом (потенциалом подложки в случае рассмотрения массива сверхпроводящих гранул) приводит к изменению состояния массива, причем характер этих изменений существенно зависит от рассматриваемой области фазовой диаграммы. В области значительных квантовых флуктуаций фаз сверхпроводящего параметра порядка изменение химического потенциала приводит к осцилляциям с чередованием сверхпроводящего (сверхтекучего) и нормального состояний массива. Напротив, в области слабого взаимодействия бозонов, которая является "классической" для квантовой XY модели и областью сильных флуктуаций модуля параметра порядка для модели Хаббарда, свойства системы монотонным образом зависят от п0. Понижение температуры и увеличение силы взаимодействия частиц приводит к уменьшению ширины области изменения по, в которой свойства системы слабо зависят от среднего числа заполнения.

8. Показано отсутствие явлений возвратного плавления и каких - либо фазовых переходов не Костерлиц - Таулессовского типа в области сильных квантовых флуктуаций фаз джозефсоновских массивов как макроскопических (в рамках кзантовой XY), так и мезоскопических (в рамках бозонной модели Хаббарда и модели "квантовых косинусов", предполагающей малость флуктуаций локальной сверхтекучей плотности) объектов.

9. Детально исследовано разупорядочение ("плавление") классических диполь-ных кластеров N < 80 частиц, образованных электронами в полупроводниковой точке (вблизи металлического электрода) или экситонами в системе двойных квантовых точек. В малых кластерах (iV < 37) имеется иерархия переходов, соответствующих сначала потере взаимного ориентационного упорядочения всех пар оболочек, а затем разрушения оболочечной структуры. В "макроскопических" кластерах (N > 37) ориентационное плавление возможно лишь для внешней оболочки кластера. Показано, что наиболее стабильными кластерами (имеющими как максимальные частоты нижайшего возбуждения, так и максимальные температуры разупорядочения) являются кластеры с заполненными кристаллическими оболочками гексагональной симметрии. Предложена новая классификация двумерных кластеров, особенно удобная при сравнительном анализе свойств неограниченных систем и систем малого числа частиц.

10. Рассмотрен двумерный мезоскопический кластер частиц "пылевой плазмы", реализацией которого может являться система микрочастиц в высокочастотном газовом разряде. Показано, что изменение дебаевской длины экранирования заряда частиц в плазме До может приводить к перестройкам структуры основного состояния системы, что проявляется в виде фазовых переходов первого или второго рода по параметру До. Методы Монте - Карло и молекулярной динамики использованы для детального исследования разупорядочения ("плавления") кластеров. Показано, что изменением характерного радиуса взаимодействия частиц в кластере (изменением температуры или плотности плазмы) можно модулировать его термодинамические свойства, переводя систему контролируемым образом в полностью упорядоченное, ориентационно разупорядоченное или полностью разупорядоченное состояние.

11. Исследована фазовая диаграмма двумерной мезоскопической системы зарядов или диполей, реализациями которой могут являться электроны в полупроводниковой квантовой точке или непрямые экситоны в системе двух вертикально связанных квантовых точек. Квантовые расчеты "ab initio" Монте - Карло интегрирования по траекториям применялись для определения свойств таких объектов на плоскости температура - квантовый параметр де Бура. Обнаружено, что при нулевой (достаточно низкой) температуре, по мере увеличения силы квантовых флуктуации частиц, имеют место два типа квантовых явлений разупорядочения с ростом квантового параметра де Бура q: сначала, при q ~ Ю-5, система переходит в ра-диально упорядоченное, но ориентационно разупорядоченное состояние, когда различные оболочки "атома" проворачиваются друг относительно друга. При гораздо больших q ~ 0.1 имеет место переход в разупорядоченное (сверхтекучее в случае системы бозонов) состояние.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белоусов, Антон Игоревич, 1999 год

Список литературы

fl] B.L. Altshuler and A.G. Aronov, in "Modern problems in condensed matter sciences", ed. by V.M. Agranovich and A.A. Maradudin, Voi. 10, North-Holland (1985).

[2] R.C. Ashoori, Electrons in artificial atoms. Nature 379, No. 6564, pp.413-420 (1996).

[3] R.C. Ashoori, H.L. Stormer, J.C. Weiner et. al., N - electron ground state energies of a quantum dot in magnetic field. Physical Review Letters 71, No. 4, pp. 613-616 (1993).

[4] Материалы конференции "Мезоскопические и сильнокоррелированные электронные системы 'Черноголовка - 97"'. УФН 168, No. 1, стр. 2, 1998.

[5] А.Ф. х^ндреев, Сверхтекучесть, сверхпроводимость и магнетизм в мезоскопи-ке. УФН 168, No. 6, стр. 655-663 (1998).

[6] F. J. Nacker, J. Dupont-Roc, Experimental evidence for nonwetting with superfluid helium. Physical Review Letters 67, No. 21, pp. 2966-2969 (1991).

[7] M.H.W. Chan, K.I. Blum, J.D. Reppy et. al., Disorder and the superfluid transition in liquid 4 He. Physical Review Lettters 61, No. 17, pp. 1950-1953 (1988).

[8] J.E. Mooij, B.J. van Wees, L.J. Geerligs, M. Peters, R. Fazio and G. Shon, Unbinding of charge - anticharge pairs in 2D arrays of small tunnel junctions. Physical Review Letters 65, No. 5, pp.645-648 (1990).

[9] D.B. Haviland, Y. Liu and A.M. Goldman, Onset of superconductivity in the two - dimensional limit. Physical Review Letters 62, No. 18, pp. 2180-2183 (1989).

[10] H.S.J, van der Zant, L.J. Geerligs and J.E. Mooij, Superconductor - to - insulator transitions in non - and fully frustrated Josephson - junction arrays. Europhysics Letters 19, No. 6, pp. 541-546 (1992).

[11] T.S. Tighe, M.T. Tuominen, J.M. Hergenrother and M. Tinkham, Measurements of charge soliton motion in two - dimensional arrays of ultrasmall Josephson junctions. Physical Review В 47, No. 2, pp.1145-1148 (1993).

[12] P. Delsing, C.D. Chen, D.B. Haviland, Y. Harada and T. Claeson, Charge solitons and quantum fluctuations in two - dimensional arrays of small Josephson junctions. Physical Review В 50, No. 6, pp.3959-3971 (1994).

[13] S.T Herbert, Y. Jun, R.S. Newrock et.al., Effect of finite size on the Kosterlitz -Thouless transition in two - dimensional arrays of proximity - coupled junctions. Physical Review В 57, No. 2, pp.1154-1163 (1998).

[14] В.Ф. Гантмахер, В.M. Теплинский, В.H. Зверев, Максимум у температурной зависимости критического тока в случайных джозефооновских сетях. Письма в ЖЭТФ 62, No. 11, стр. 873-878 (1995).

[15] A.F. Hebard and M.A. Paalanen, Magnetic - field - tuned superconducting transitions in 2D films. Physical Review Letters 65, No. 7, pp. 927-930 (1990).

[16] A.L. Dobryakov, Yu.E. Lozovik, A.A. Puretzky and V.S. Letokhov, Comments on small superconducting clusters. Applied Physics A 54, pp. 100-102 (1992).

[17] Т.Н. Lin, X.Y. Shao, M.K. Wu et. al., Observation of a reentrant superconducting resistive transition in granular BaP0.75BiQ.25O3 superconductor. Physical Review В 29, No. 3, pp. 1493-1496 (1984).

[18] Y. Imry, M. Strongin, Destruction of superconductivity in granular and highly disordered metals. Physical Review В 24, No. 11, pp. 6353-6360 (1985).

[19] K.B. Ефетов, Фазовый переход в гранулированных сверхпроводниках. ЖЭТФ 78, No. 5, стр. 2017-2032 (1979).

[20] S.V. Pereversev, A. Loshak, S. Backhaus et al., Quantum oscillations between two weakly coupled reservoirs of superfluid 3Яе. Nature 388, pp. 449-451 (1997).

[21] M.N. Anderson, J.R. Ensher, M.R. Mathews et al., Observation of Bose - Einstein condensation in a dilute atomic vapour. Science 269, pp. 198-201 (1995).

[22] C.C. Bradley, C.A. Sackoff, J.J. Tollett et al. Evidence of Bose - Einstein condensation in an atomic gas with attractive interactions. Physical Review Letters 75, No. 9, pp. 1687-1690 (1995).

[23] K.B. Davis, M.-O. Mewes, M.R. Andrew et al., Bose - Einstein condensate in a gas of sodium atoms. Physical Review Letters 75, No. 22, pp. 3969-3973 (1995).

[24] M.R. Andrews, C.G. Towsend, H.-J. Miesner et al., Observation of interferience between two Bose condensates. Science 275, pp. 637-641 (1997).

[25] A. Zrenner L.V. Butov, M. Hagn, Quantum dots formed by interface fluctuations in AlAs/GaAs coupled quantum well structures. Physical Review Letters 72, No. 21, pp. 3383-3385 (1994).

[26] Н.Е.Капуткина, Ю.Е.Лозовик, Энергетические спектры и квантовая кристаллизация двухэлектронных квантовых точек в магнитном поле. Физика Твердого Тела 40, No. 9, стр. 1753-1759 (1998).

[27] Ю.Е. Лозовик, О.Л. Берман, В.Г. Цветус, Сверхпроводимость непрямых маг-нитоэкситонов в двойных квантовых ямах. Письма в ЖЭТФ 66, No. 5, стр. 332-337 (1997).

[28] P.W. Anderson, in "Lectures in The Many Body Problem" ed. by E.R.Caianiello, Academic, 1964.

[29] P. Carruthers, M.M. Nieto, Phase and angle variables in quantum mechanics. Reviews of Modern Physics 40, No. 2, pp. 411-440 (1968).

[30] R. Lynch, The quantum phase problem: a critical rewiew. Physics Reports 256, No. 6, pp. 367-437 (1995).

[31] A.A. Koulakov and B.I. Shklovskii, Charging spectrum and configurations of a Wigner crystal island. Physical Review В 57, No. 4, pp. 2352-2367 (1998).

[32] B.W. Southern, H-J. Xu, Monte Carlo study of the Heisenberg antiferromagnet on the triangular lattice. Physical Review В 52, No. 6, pp. R3836-R3839 (1995).

[33] S. Doniach, Quantum fluctuations in two-dimensional superconductors. Physical Review В 24, No. 9, pp. 5063-5070 (1981).

[34] E. Simanek, Reentrant phase transition of granular superconductors. Physical Review В 23, No. 11, pp. 5762-5768 (1981).

[35] E. Simanek, Reentrant phase diagram for granular superconductors. Physical Review В 32, No. 1, pp. 500-502 (1985).

[36] P. Fazekas, Reentrant phase transition in granular superconductors. Zeitschrift für Physik В 45, pp. 215-221 (1982).

[37] D. Wood and D. Stroud, Charging effects and the phase - ordering transition in granular superconductors. Physical Review В 25, No. 3, pp. 1600-1608 (1982).

[38] С.Г. Акопов, Ю.Е. Лозовик, Фазовый переход в сверхпроводящее состояние в гранулированных пленках. Квантовые флуктуации и топологический переход. ДАН СССР 257, No. 6, стр. 1351-1353 (1980).

[39] Yu.E. Lozovik, S.G. Akopov, On phase diagram of granular superconductor. Journal of Physics С 14, pp. L31-L33 (1981).

[40] S.G. Akopov, Yu.E. Lozovik, Quantum fluctuations in two - dimensional systems. Journal of Physics С 15, pp. 4403-4414 (1982).

[41] R.S. Fishman and D. Stroud, Effect of long - range Coulomb interactions on the superconducting transition of Josephson junctions arrays. Physical Review В 37, No. 4, pp. 1499-1509 (1988).

[42] G. Schon, A.D. Zaikin, Quantum coherent effects, phase transitions and the dissipative dynamics of ultra small tunnel junctions. Physics Reports 198, No. 5,6, pp. 237-412 (1990).

[43] B.J. Kim, M.Y. Choi, Quantum fluctuations in superconducting arrays with a general capacitance matrix. Physical Review В 52, No. 5, pp. 3624-3631 (1995).

[44] B.J. Kim, J. Kim, S.Y. Park, M.Y. Choi, Quantum phase transitions in superconducting array with general capacitance matrices. Physical Review В 56, No. 1, pp. 395-409 (1997).

[45] Дж. Займан, Модели беспорядка. "Мир", Москва, 1982.

[46] J.M. Kosterlitz, D.J. Thouless, Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems. Journal of Physics С 6, pp. 1181-1203 (1973).

[47] D .M. Ceperley, Path intrgral in the theory of condensed helium. Reviews of Modern Physics 67, No. 2, pp. 279-357 (1995).

[48] L. Jacobs, J.V. Jose and M.A. Novotny, First - order reentrant transition in granular superconducting films. Physical Review Letters 26, No. 22, pp. 21772180 (1984).

[49] L. Jacobs, J.V. Jose, M.A. Novotny and A.M. Goldman, New coherent state in periodic arrays of ultrasmall Josephson junctions. Physical Review В 38, No. 7, pp. 4562-4579 (1988).

[50] C. Rojas, J.V. Jose, Critical properties of two-dimensional Josephson junction arrays with zero-point quantum fluctuations. Physical Review В 54, No. 17, pp. 12361-12385 (1996).

[51] P. Olsson, Monte Carlo analysis of the two-dimensional XY model. Physical Review В 52, No. 6, pp. 4511-4535 (1995).

[52] P. Minnhagen, The two-dimensional Coulomb gas, vortex unbinding, and superfluid - superconducting films. Reviews of Modern Physics 59, No. 4, pp. 10011067 (1987).

[53] J.J. Alvarez, С.A. Balseiro, Phase fluctuations of the superconducting order parameter in high - Tc systems, Solid State Communications 98, No. 4 pp. 313-316 (1996).

[54] А.И. Белоусов, С.А. Верзаков, Ю.Е. Лозовик, Джозефсоновский масив мезо-скопических объектов. Модуляция свойств системы химическим потенциалом. ЖЭТФ 114, No. 2, стр. 591-604, (1998).

[55] С.А. Верзаков, Ю.Е. Лозовик, Модуль спиральности, квантовые флуктуации и переход в сверхпроводящее состояние массива джозефооновских контактов. Физика Твердого Тела 35, No. 5, стр. 818-822, (1997).

[56] Р. Фейнман, Статистическая механика. "Мир", Москва, 1978.

[57] Yu.E. Lozovik, L.M. Pomirchy, Quantum charge fluctuations and global superconductivity of Josephson media: path - integral Monte - Carlo simulations. Physics Letters A 197, No. 4 pp. 345-349 (1995).

[58] B.M. Замалин, Г.Э. Норман, B.C. Филинов, Методы Монте - Карло в статистической термодинамике. "Наука", Москва, 1977.

[59] D. Chandler and P. Wolynes, Exploiting the isomorphism between quantum theory and classical statistics of polyatomic fluids. Journal of Chemical Physics 74, No. 7, pp. 4078-4095 (1981).

[60] K.S. Schweizer, R.M. Straff, D. Chandler and P. Wolynes, Convenient and accurate discretized path integral methods for equilibrium quantum mechanical calculations. Journal of Chemical Physics 75, No. 3, pp. 1347-1364 (1981).

[61] R.M. Fue, New results on Trotter - like approximations. Physical Review В 33, No. 9, pp. 6271-6280 (1986).

[62] А.И. Белоусов, Ю.Е. Лозовик, Моделирование квантовым методом Монте -Карло фазового перехода в двумерной джозеф ооновской системе. Математическое моделирование, 9, No. 4, стр. 39-52 (1997).

[63] G. Bhanot, The Metropolis algorithm. Reports of Progress in Physics 51, pp. 429457 (1988).

[64] Методы Монте - Карло в статистической физике (ред. К. Биндер). "Мир", Москва, 1982.

[65] A.I. Belousov and Yu.E. Lozovik, Topological phase transition in 2D quantum Josephson array. Solid State Communications 100, No. 6, pp. 421-426, (1996).

[66] А.И. Белоусов, Ю.Е. Лозовик, Квантовые флуктуации фазы в массиве мезо-скопических джозефсоновских контактов. Физика Твердого Тела 39, No. 9, стр. 1513-1520 (1997).

[67] С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов, Курс статистического моделирования. "Наука", Москва, 1976.

[68] W. Janke, Т. Sauer, Path integral Monte Carlo using multigrid teckniques. Chemical Physics Letters, 201, No. 5, pp. 499-505 (1993).

[69] R.H. Morf, Temperature dependence of the shear modulus and melting of the two -dimensional electron solid. Physical Review Letters 43, No. 13, pp. 931-935 (1979).

[70] B.M. Беданов, Г.В. Гадияк, Ю.Е. Лозовик, Плавление двумерных кристаллов. ЖЭТФ 88, No. 5, стр. 1622-1633 (1985).

[71] Yu.E. Lozovik and V.M. Farztdinov, Oscillation spectra and phase diagram of two - dimensional electron crystal: "new" 3 + 4 self - consistent approximation. Solid State Communications 54, No. 8, pp. 725-728 (1985).

[72] M.E. Fisher, M.N. Barber and D. Jasnow, Helicity modulus, superfluididty and scaling in isotropic systems. Physical Review A 8, No. 2, pp. 1111-1124 (1973).

[73] T. Ohta, D. Jasnow, XY model and the superfluid density in two dimensions. Physical Review В 20, No. 1, pp. 139-146 (1979).

[74] S. Teitel, C. Jayaprakash, Phase transitions in frustrated two-dimensional XY model. Physical Review В 27, No. 1, pp. 598-601 (1983).

[75] S.R. Shenoy, Vortex-loop scaling in the three-dimensional XY ferrornagnet. Physical Review В 40, No. 7, pp. 5056-5068 (1989).

[76] G.A. Williams, Vortex-ring model of the superconductor A transition. Physical Review Letters 59, No. 17, pp. 1926-1929 (1987).

[77] H Kawamura, M. Kikuchi, Free vortex formation and topological phase transitions of two-dimensional spin system. Physical Review В 47, No. 2, pp. 1134-1137 (1993).

[78] G.J. Hogerson and W.P. Reinhardt, Variational upper and lower bounds on quantum free energy and energy differences via path integral Monte Carlo. Journal of Chemical Physics 102, No. 10, pp. 4151-4159 (1995).

[79] C. Bruder, R. Fazio, A.P. Kampf et al., Quantum phase transitions and commensurability in frustrated Josephson junction arrays. Physica Scripta T42, pp. 159-170 (1992).

[80] G.T. Zimanyi, P.A. Crowell, R.T. Scalettar et al., Bose - Hubbard model and superfluid staircases in 4Яе films. Physical Review В 50, No. 9, pp. 6515-6518 (1994).

[81] M.P.A. Fisher, G. Grinstein, Quantum critical phenomena in charged superconductors. Physical Review Letters 60, No. 3, pp. 208-211 (1988).

[82] M.P.A. Fisher, P.B. Weichman, G. Grinstein and D.S. Fisher, Boson localization and the superfluid - insulator transition. Physical Review В 40, No. 1, pp. 546-570 (1989).

[83] M.C. Cha, M.P.A. Fisher, S.M. Girvin et al., Universal conductivity of two -dimensional films at the superconductor - insulator transition. Physical Review В 44, No. 13, pp. 6883-6902 (1991).

[84] W. Krauth, N. Trivedi and D. Ceperley, Superfluid - insulator transition in disordered boson systems. Physical Review Letters 67, No. 17, pp. 2307-2310 (1991).

[85] W. Krauth, N. Trivedi, Mott and superfluid transitions in a strongly interacting lattice boson system. Europhysics Letters 14, No. 7, pp. 627-632 (1991).

[86] G.G. Batrouni, B. Larson, R.T. Scalettar, J. Tobochnik, J. Wang, Universal conductivity in the two - dimensional boson Hubbard model. Physical Review В 48, No. 13, pp. 9628-9635 (1993).

[87] A.V. Otterlo and K.H. Wagenblast, Coexistence of diagonal and off - diagonal long - range - order: Monte Carlo study. Physical Review Letters 72, No. 22, pp. 35983601 (1994).

[88] B.A. Кашурников, A.B. Красавин, B.B. Свистунов, Переход моттовский изолятор - сверхтекучесть в одномерной бозонной модели Хаббарда: квантовый метод Монте - Карло. Письма в ЖЭТФ 64, No. 2, стр. 92-96 (1996).

[89] Н.В. Прокофьев, Б.В. Свистунов, И.С. Тупицын, Точный процесс квантового Монте Карло для статистики дискретных систем. Письма в ЖЭТФ 64, No. 12, стр. 853-858 (1996).

[90] А.И. Белоусов, С.А. Верзаков, Ю.Е. Лозовик, Квантовые флуктуации параметра порядка в двумерной системе мезоскопических джозефсоновских контактов. ЖЭТФ 113, No. 1, стр. 261-277 (1998).

[91] A.I. Belousov, Yu.E. Lozovik, Phase diagram of 2D fructrated array of mesoscopic objects. Conference on Computational Physics "CCP-1998", Granada (1998); Computer Physics Communications 122, in print (1999).

[92] А.И. Белоусов, Ю.Е. Лозовик, Квантовые флуктуации в двумерном массиве мезоскопических объектов. XLI научная конференция МФТИ, МФТИ, (1998).

[93] А.И. Белоусов, Ю.Е. Лозовик, Новая модель систем мезоскопических джозеф-соновских контактов. Письма в ЖЭТФ 66, No. 10, стр. 649-654, (1998).

[94] A.I. Belousov, S.A. Verzakov and Yu.E. Lozovik, The phase diagram of a two -dimensional array of mesoscopic granules. Journal of Physics.: Condensed Matter 10, pp. 1079-1089, (1998).

[95] B.H. Попов, Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. Атомиздат, Москва, 1976.

[96] A. Blaer and J. Han, Monte Carlo simulation of lattice bosons in three dimensions. Physical Review A 46, No. 6, pp. 3225-3233 (1992).

[97] D.M. Ceperley, E.L. Pollock, Path - integral simulations of the superfluid transition in two - dimensional 4#e. Physical Review В 39, No. 4, pp. 2084-2093 (1989).

[98] F.F. Assaad, W. Hanke and D.J. Scalapino, Temperature derivative of the superfluid density and flux quantization as criterioa for superconductivity in two - dimensional Hubbard models. Physical Review В 50, No. 17, pp. 12835-12850 (1994).

[99] S.L. Sondhi, S.M. Girvin et al., Continuous quantum phase transitions. Rewiews of Modern Physics 69, No. 1, pp. 315-333 (1997).

[100] D. Marx, P. Nielaba, Quantum "melting" of orientationally ordered physisorbates. Journal of Chemical Physics 102, No. 11, pp. 4538-4547 (1995).

[101] C.H. Chiang and L. I, Cooperative particle motions and dynamical behaviours of free dislocations in strongly coupled quasi-2D dusty plasmas. Physical Review Letters 77, No. 4, pp. 647-650 (1996).

[102] W.-T. Juan, Z.-H. Huang, J.-W. Hsu, et.al., Observation of dust Coulomb clusters in a plasma trap. Physical Review E 58, No. 6, pp. R6947-R6950 (1998).

[103] A.P. Nefedov, O.F. Petrov, V.E. Fortov, Кристаллические структуры в плазме с сильным взаимодействием макрочастиц. УФН 167, No. 11, стр. 1215-1226 (1997).

[104] В.Е. Фортов, А.П. Нефедов, О.С. Ваулина и др., Пылевая плазма, индуцированная солнечным излучением, в условиях микрогравитации: эксперимент на борту орбитальной станции "МИР". ЖЭТФ 114, No. 6, стр. 2004-2021 (1998).

[105] Y.K. Khodataev, S.A. Krapak, А.P. Nefedov, O.F. Petrov, Dynamics of the ordered structure formation in a thermal dusty plasma. Physical Review E 57, No. 6, pp. 7086-7092 (1998).

[106] P. Pieranski, Two - dimensional interfacial colloidal crystals. Physical Review Letters 45, No. 7, pp. 569-572 (1980).

[107] . JI.A. Болылов, А.П. Напартович, А.Г. Наумовец и А.Г. Федорюк, Субмо-нослойные пленки на поверхности металлов. УФН, 122, No. 1, стр. 125-158 (1977).

[108] I.V. Lerner, Yu.E. Lozovik, Electron - hole liquid near semiconductor - metal interface. Physics Letters A 64, No. 5, pp. 483-484 (1978).

[109] A.T. Skjeltorp, One - and two - dimensional crystallization of magnetic holes. Physical Review Letters 51, No. 25, pp. 2306-2309 (1983).

[110] V.M. Bedanov, G.V. Gadiyak and Yu.E. Lozovik, Melting in a two - dimensional system with dipole interaction. Physics Letteers A 92, No. 8, pp. 400-402 (1982).

[111] H.J. Hinde, R.S. Berry and D.W Wales, Chaos in small clusters of inert gas atoms. Journal of Chemical Physics 96, No. 2, pp. 1376-1390 (1992).

[112] C. Chakravarty, Quantum derealization and cluster melting. Journal of Chemical Physics 103, No. 24, pp. 10663-10668 (1995).

[113] В.Е. Фортов, А.П. Нефедов, О.Ф. Петров, А.А. Самарян, А.В. Чернышев, Сильнонеидеальная классическая термическая плазма: экспериментальное изучение упорядоченных структур макрочастиц. ЖЭТФ 111, No. 2, стр. 467477 (1997).

[114] Yu.E. Lozovik, V.A. Mandelstam, Coulomb clusters in a trap. Physics Letters A 145, No. 5, pp. 269-271 (1990); Classical and quantum melting of a Coulomb cluster in a trap. Physics Letters A 165, No. 8, pp. 469-472 (1992).

[115] V.M. Bedanov and F.M. Peeters, Ordering and phase transitions of charged particles in a classical finite two-dimensional system. Physical Review В 49, No. 4, pp. 2662-2676 (1994).

[116] V. Schweigert and F.M. Peeters, Spectral properties of classical two-dimensional clusters. Physical Review В 51, No. 12, pp. 7700-7713 (1995).

[117] I.V. Shweigert, V.A. Shweigert and F.M. Peeters, Properties of two-dimensional Coulomb clusters confined in a ring. Physical Review В 54, No. 15, pp. 1082710834 (1996).

[118] Y. Xiang, D.Y. Sun, W. Fan and X.G. Gong, Generalized simulated imnealing algorithm and its application to the Thompson model. Physics Letters A 233, pp. 216-220 (1997).

[119] H.H. Калиткин, Численные методы. Наука, Москва, 1978.

[120] А.А. Валуев, Г.Э. Норман, В.Ю. Подлипчук, в сборнике "Математическое моделирование", стр. 5-40, Наука, Москва, 1989.

[121] A.I. Belousov, Yu.E. Lozovik, Mesoscopic and macroscopic dipole clusters. Conference on Computational Physics "CCP-1998", Granada (1998).

[122] Г.Е. Астрахарчик, А.И. Белоусов, Ю.Е. Лозовик, Структура и фазовые переходы двумерного кластера "пыльной плазмы". XLI научная конференция МФТИ, МФТИ, (1998).

[123] G.E. Astrakharchik, A.I. Belousov and Yu.E. Lozovik, Two dimensional dusty plasma clusters: structure and phase transitions. Physics Letters A 254, (in print) (1999).

[124] J. Goodman, A.D. Sokal, Multigrid Monte Carlo methods. Conceptual foundations. Physical Review D 40, No. 6, pp. 2035-2071 (1989).

[125] R. Calinon, Ph. Choquard et al., in Ordering in Two Dimensions, ed. S.K. Sinha, Elsevier, New York, 1980.

[126] G.E. Volovik and U. Parts, Clusters with magic numbers of vortices in rotating superfluids. JETP Letters 58, No. 10, pp. 826-830 (1993).

[127] Yu.E. Lozovik and E.A. Rakoch, Energy barriers, structure and two stage melting of microclusters of vortices. Physical Review В 57, No. 2, pp. 1214-1225 (1998).

[128] Yu.E. Lozovik, E.A. Rakoch, Structure and melting of dipole clusters. Physics Letters A 235, No. 235, pp. 55-64 (1997).

[129] W. Quapp, A gradient - only algorithm for tracing a reaction path uphill to the saddle of a potential energy surface. Chemical Physics Letters 253, pp. 286-292 (1996).

[130] A. Melzer, V.A. Schveigert, I.V. Schweigert, A. Homann, S. Peters, and A. Piel, Structure and stability of the plasma crystal. Physical Review E 54, No. 1, pp. R46-R49 (1996).

[131] M. Drewsen, C. Brodensen, L. Hornekar and J.S. Hangst, Large ion crystals in a linear Paul trap. Physical Review Letters 81, No. 14, pp. 2878-2881 (1998).

[132] L. Cardido, J.P. Rino, N. Studart, F.M. Peeters, Structure and spectrum of anisotropically confined two - dimensional Yukawa system. Journal of Physics: Condensed matter 10, No. , pp. 11627-11632 (1998).

[133] B. Partoens, V.A. Shweigert and F.M. Peeters, Classical double-layer atoms: artificial molecules. Physical Review Letters 79, No. 11, pp. 3990-3994 (1997).

[134] А.И. Белоусов, Ю.Е. Лозовик, Квантовое ориентационное плавление и фазовая диаграмма мезоскопической системы. Письма в ЖЭТФ 68, No. 11, стр. 817821, (1998).

[135] А.И. Белоусов, Ю.Е. Лозовик, Квантовое плавление мезоскопических кластеров. Физика Твердого Тела 41, в печати (1999).

[136] С.М. Ермаков, Метод Монте - Карло и смежные вопросы. "Наука", Москва, 1971.