Стабилизация решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Леонтьев, Алексей Александрович

• Леонтьев, Алексей Александрович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Леонтьев, Алексей Александрович

Оглавление

Введение

I. Допустимая скорость убывания решения

1.1. Теорема существования

1.1.1. Формулировка теоремы существования

1.1.2. Предварительные леммы

1.1.3. Доказательство теоремы существования

1.2. Оценки снизу

1.2.1. Случай к £ (1,2)

1.2.2. Случай к > 2

1.2.3. Неограниченная область

II. Оценки сверху

2.1. Оценки сверху для уравнения второго порядка

2.1.1. Ограниченность решения

2.1.2. Доказательство оценок при х8 —У оо

2.1.3. Доказательство оценки при >оо

2.2. Оценки сверху для уравнения высокого порядка

2.2.1. Вспомогательные неравенства

2.2.2. Доказательство оценки при Ь —у оо

2.3. Оценки сверху для областей вращения

2.3.1. Примеры для уравнения второго порядка

2.3.2. Примеры для уравнения высокого порядка

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизация решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях»

Введение

Данная работа посвящена исследованию скорости убывания решений анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью в неограниченных областях при больших значениях времени. Изучению поведения на бесконечности решений задачи Коши и смешанных задач для эволюционных линейных и нелинейных уравнений (систем) посвящено большое число работ. Эта проблема ввиду многообразия качественных свойств эволюционных систем имеет различные аспекты. В диссертации исследуется стабилизация решений первой смешанной задачи в цилиндрической области £) = {£>0}хГ2в зависимости от параметров нелинейностей анизотропного уравнения и геометрии неограниченной области лежащей в основании цилиндра.

Изучение скорости убывания решений смешанных задач для параболических уравнений при больших значениях времени в случае неограниченных областей, когда начальная функция ограничена в одной из Ьр -норм, было начато А.К. Гущиным. В работах [7], [8] он установил точные оценки решений второй смешанной задачи для линейного уравнения второго порядка

в широком классе неограниченных областей в терминах простой геометрической характеристики v(r) = mes fü(r), fi (г) = {x € Г2 | |x| < r}.

Как показано в работах A.K. Гущина [7], [8], A.B. Лежнева [33], для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи с финитной начальной функцией происходит "равномерное распространение

п

(0.1)

а,/3=1

тепла" по области, состоящей из точек, удаленных от ее носителя на расстояние уД. В работах [53]—[55], [45] рассматривались смешанные задачи для параболического уравнения (0.1) в нецилиндрических областях. А именно, в [55] и [45] для первой смешанной задачи в предположении ограниченности сечений области плоскостями t = const получены оценки скорости стабилизации решения в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях. В работах [53], [54] В.И. Ушаковым в предположении, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость результатов, близких к приведенным выше, для случая третьей смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.

Ф.Х. Мукминовым, J1.M. Кожевниковой в работах [41], [24] в терминах некоторых геометрических характеристик получены точные оценки поведения решения первой смешанной задачи для уравнения (0.1).

Ф.Х. Мукминов, И.М. Биккулов в [4] исследовали стабилизацию решения задачи Риккье для уравнений 4-го и 6-го порядков. Ими получена оценка L2 - нормы решения при i -> оо и установлена ее точность по порядку стремления к нулю.

В.Ф. Гилимшиной, Ф.Х. Мукминовым в [5], [6] для линейного вырождающегося параболического уравнения второго порядка рассматривалась начально-краевая задача с чередующимися граничными условиями первого и третьего типов. Установлены двусторонние оценки скорости убывания решения при t —> 00 в зависимости от коэффициентов уравнения и геометрии неограниченной области.

Далее подробно рассмотрим некоторые результаты для квазилинейных параболических уравнений.

В работе А.Ф. Тедеева [47] была получена оценка сверху Ьг-нормы решения первой смешанной задачи для квазилинейного параболического

уравнения высокого порядка в дивергентной форме

J2 D"aä{t,yL,u,Du,...,Dmu) = 0, т > 1, (£,х) € D, (0.2)

а =m

где а = (ai,..., an), |а| = а\ + ... + ап. Здесь х, £) — каратеодо-риевы функции такие, что справедливы неравенства

£ М*, х, Ol < a J2 l^r1'

а —т

\а\=т

а > 0, р > 2, £ а^, х, ОЙ"' > * Е 3 > О,

|5|=т |а|=т

для любого вектора £ = ... ^ = \а\ = г. Для ре-

шения (ограниченного при р > 2) уравнения (0.2) с граничным условием

(0.3)

и начальным условием с финитной функцией <р(х.)

и(0,х) = р(х), (р(х.)еЬ2{П)

Dau{t, х) =0, S = {t > 0} х öfi, |ä| < т - 1 s

(0.4)

для t > 0 и достаточно больших г установлена оценка

1К*)1к2(ВДг)) < В\ exp -ci

гтр

t

l/(mp-l)

IMU2(«)- (0-5)

На основе неравенства (0.5) для р — 2 при достаточно больших £ получена экспоненциальная оценка

Г |у2т,^-|1/(2го-1П

||«(01и2(п) ^ Бзехр < -са —> 1Мк2(я)-

Здесь и далее — положительные постоянные. Функция г{Ь), £ > 0, определяется из равенства А 2т_1(г)£2 = г2; А (г), г > 0, — первое собственное значение задачи Дирихле для оператора —А в 0,(г). Ранее, аналогичный результат для линейного параболического уравнения высокого порядка был получен Ф.Х. Мукминовым [42]. Введем в рассмотрение область вращения

ВДМ = {х = (х'5,^) е Мп \х, > 0, |х'5| < /(¡г,)} , (0.6)

= ...,х3-1,х8+1, ...хп) с положительной функцией /(х3) < со. От функции / требуется только, чтобы множество 5Г2(/)[з] было областью. В квадратных скобках указывается необязательный параметр, который может опускаться.

В работе [47] показано, что при р > 2 для ограниченного решения задачи (0.2)-(0.4) в области вращения с функцией /(х8) = х", а > О, при достаточно больших Ь имеет место неравенство

1К*)Нып) < въг*.

При этом положительный показатель сз определяется постоянными п, а, т,р (точное значение не приводится).

А.Ф. Тедеевым в статье [50] для решения задачи

щ + (-1)т ^ = 0, т > 1, р > 2, (*, х) € Д (0.7)

\а\—т

(0.3), (0.4) при t > 0 установлены следующие оценки

1М*)Нып) > 1М1ь2(п)(1 + Р> 2;

\\и(тЫП) > Р = 2;

11м(£)1и»(п) ^ ВъГа, п < тр\ а = п{п(р - 2) + 2тр}~1; Н«(01и,(П) < п>тр, д>2.

Заметим, что последняя оценка является тривиальной при д = 2, поэтому, вероятно, что она грубая и при других значениях д.

Л.М. Кожевниковой, Ф.Х. Мукминовым [24], [25] в широком классе областей с некомпактными границами в терминах геометрических характеристик А (г) и и (г), выведена оценка решения первой смешанной задачи для слабо нелинейных систем и доказана ее точность (здесь и (г) - первое собственное значение задачи Дирихле для оператора —А на поверхности 7(г) = {х € | |х| = г}). Приведем результат для полулинейного уравнения частного вида

п

щ = (^М^к-Н^Ч д* > 1, (¿,х) € £>(/) = {Ь> 0}хОД).

а,/3=1

В широком классе областей вращения Q.(f) вида (0.6) для неотрицательного ограниченного решения задачи с неотрицательной ограниченной финитной начальной функцией <р(х) для достаточно больших t справедливы неравенства

/ Pit)

В$ ехр

( Pit) \ dx

\ 1

m

< sup u(t, х) < Bj ехр хе п(/)

-С5

\

/

dx

m I '

Здесь функция р(£), £ > 0, определяется из равенства Л(р)£ = / у и(г) ¿г.

1

В работе Р.Х. Каримова, Л.М. Кожевниковой [15] рассматривалась первая смешанная задача для квазилинейного параболического уравнения второго порядка

Щ = х, Vu))Xa - a(t, х, и), (¿, х) <Е D.

(0-8)

а=1

Здесь функции aa(t,x, £), а = l,n, a(i,x, s) измеримы по (¿,х) G .D и для всех 77 G Mn, s, г £ Ж при п. в. (¿, х) G D подчиняются условиям:

п

(аа(£, х, £) - аа(£, х, 77)) (£а - rja) > ô|£ - тур, р > 2;

а=1

|a(i, х, О - a (t, х, 77) | < - rçKKI + M)P~2, a = (аь ..., ап);

аа(£,х, 0) = 0, а = 1,п, a(i,x, 0) = 0; (a(i, x, s) — a(i, x, r)) (s — r) > 0; |a(i,x, 5) - a(i,x,r)| < a|s - r|(|s| + |r|)9-2, m < g < g*, g*=p +

2p

)

n

с положительными константами а, а, а.

Для решений первой смешанной задачи уравнения (0.8) установлены оценки сверху и снизу при больших значениях времени. В частности, показано, что в случае областей вращения с функцией /, удовлетворяющей условию

iim JL [ dx

r->co lnr J f(x) 1

= OO,

справедливы оценки

1Ж1к2(о)<^9Г1/(р-2)^), *>1, Р> 2;

(IX

где функция д(Ь) растет медленнее любой степенной функции, а г(£) -некоторая монотонно возрастающая функция. Кроме того, для некоторого класса областей вращения доказана точность оценки (0.9).

В работе [51] А.Ф. Тедеевым получены двусторонние оценки в равномерной метрике решения первой смешанной задачи многомерного уравнения пористой среды в областях конкретного вида. В работах [48], [49] для решений второй и третьей смешанных задач квазилинейных параболических уравнений второго порядка приведены точные оценки скорости стабилизации при £ —У оо.

В статье [56] рассматривалось поведение решения задачи Коши для уравнения

а—1

Для таких решений в предположении у? £ ^(М^ПХ^О^п) и <рХа € Ьр(Шп) установлены следующие оценки сверху и снизу. Если р > 2п/{п + 1), то

п

1М*)11ып) ^ 1М1ъ(п)(1 + ВП1У1'\ 7 = (2р(п + 1) - 4п)/щ < ||+ В6 = 7р/(7 + 2);

если р < 2п/(п + 1) и р > тах[1,2п/(п + 2)], то

1К*)1и2(п) < 1^1к(П)(1 - о < г < 1 /в13;

||VW(i)||Lp(o) < ||V^||Lp(n)(l - But)-1/d, 0 < t < 1/Bu;

INOItadU > IMW1 + V > 2;

IK*)IU2(n) > IMlL2(n)e-Cl0i, P = 2;

IMOIkw > IMIWi - V € [1,2), t < 1/Bl6.

В работе [65] при (p £ Lqo(Rn) для этой же задачи получена оценка

МОИмж g=9(J(+gyl2)).

Локальные оценки решения задачи Коши с растущей начальной функцией для параболического вырождающегося уравнения с анизотропным р-лапласианом и двойной нелинейностью установлены С.П. Дегтяревым и А.Ф. Тедеевым в [9].

Здесь приведены лишь характерные результаты о поведении решений квазилинейных уравнений, более подробные сведения можно почерпнуть из монографии [64].

Наиболее близкие к рассматриваемой в диссертации тематике результаты получены Ф.Х. Мукминовым, JI.M. Кожевниковой [27]. Ими исследована скорость стабилизации решения модельного анизотропного уравнения второго порядка без двойной нелинейности. Однако, наличие в уравнении двойной нелинейности приводит к существенным трудностям в обосновании существования и свойств решения рассматриваемых задач.

Таким образом, из приведенного обзора видно, что случай анизотропного уравнения второго порядка остается весьма слабо изученным, а для анизотропного уравнения высокого порядка автору вообще не удалось найти каких-либо значимых результатов. В диссертации для анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью получены оценки скорости стабилизации при больших значениях времени решений первой смешанной задачи с финитной начальной функцией и в определенном смысле установлена точность этих оценок.

Пусть — неограниченная область Мп = {х = (х\,х2, жп)}, п > 2. В цилиндрической области И — {£ > 0} х для анизотропного параболического уравнения высокого порядка рассматривается первая смешанная задача

(\и\к~2и)ь = ¿(-1Г-1^? [аа ((Р£>)2) £>£>] , (0.10)

а=1

(£, х) £ Д к > 1, тпа € М, а = 1,п; ^аи(^х)|5 = 0, = 0,ттга — 1,

а

1,п;

(0.11)

и

(0 ,х) = <р(х), <р(х) € = (0.12)

Предполагается, что неотрицательные функции аа(з), б > 0, а — 1,п, подчиняются условиям: аа(5) 6 С^О, оо),

5в(Ра-2)/2 < аа(5) < 3в(р«-2)/2> (0_13)

6аа(з) < аа(в) + < Ьа^в), (0-14)

с положительными константами а > а, Ь > Ъ. Не ограничивая общности будем считать, что р\ < Р2 < ■ • • < Рп, Ь > р\/2. Уравнение (0.10) рассматриваем для случая р\ > к, поскольку в случае р\ < к решение за конечное время стабилизируется к нулю.

Заметим, что класс функций, удовлетворяющих условиям (0.13), (0.14) довольно широк. В частности, им удовлетворяют все функции вида

где /(я) € Сх(0, оо) - произвольная функция, такая что

а </(*)< а, 0 </'(*)*< а/00,

где а < Ъ-рп/2.

В модельном случае аа(в) = й^«-2)/2, а = 1, п, Ь = рп/2 и уравнение (0.10) принимает вид

п

а=1

В работе установлены результаты для уравнения высокого порядка, которые, в частности, будут верны и для уравнения второго порядка. Однако, для решений уравнения второго порядка удалось установить ограниченность, и это свойство позволило получить альтернативные оценки решений первой смешанной задачи:

п

{\и\к~2и\ = ^(^(О^к, (*, х) € Я; (0.15)

а=1

u(t,x) = 0; (0.16)

S

и{0,х) = <р{х), ^(х) G Lk{n), <рХа(х) <= LPa(tt), а = 1,п. (0.17)

В тексте диссертации будут использоваться следующие обозначения: Dba = (a, b) х Q- цилиндр, значения а = 0 и Ъ — оо могут отсутствовать, || • ||Pig — норма в LP(Q), р > 1, причем значения р — 2, Q — £1 опускаются. Положим in = (тьга2, ...,mn), р = (pi,p2, —,Рп), Ча = тара, а

1, п.

Глава I посвящена установлению максимально возможной скорости убывания решения. Ввиду того, что не удалось найти подходящих результатов других авторов, в §1.1 приходится доказывать существование и свойства обобщенного решения задачи (0.10) — (0.12).

Сам параграф делится на 3 пункта, первый из которых 1.1.1 содержит определения обобщенного решения и основных пространств, используемых в работе. Далее приводятся формулировка теоремы существования и обзор других работ, в которых существование решения устанавливается для близких задач.

В пункте 1.1.2 содержатся вспомогательные леммы, используемые в доказательстве теоремы существования. В пункте 1.1.3 изложено доказательство теоремы существования на основе галеркинских приближений. Следует отметить, что существование решения задачи (0.10) —(0.12) установлено для произвольной неограниченной области П. Случаи к £ (1,2) и к > 2 несколько отличаются друг от друга, поэтому сначала приводится полное доказательство для первого, а затем - элементы доказа-

тельства для второго, отличающиеся от него. Также в ходе доказательства попутно устанавливаются вспомогательные неравенства, которые используются в получении оценок построенного решения.

В работе A. Bamberger [58] установил единственность сильного положительного решения первой смешанной задачи для изотропного уравнения второго порядка с двойной нелинейностью в случае ограниченной области ft. Вопрос единственности решения задачи (0.10) — (0.12) остается открытым, поэтому все оценки получены только для построенного решения.

Далее изложен основной материал, касающийся поведения решения задачи (0.10) — (0.12) при больших значениях времени.

Начиная с §1.2 в работе рассматриваются области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs, где s е 1, п. Предполагается, что область О, лежит в полупространстве JR„[s] = {х € Rn | xs > 0}, сечение 7r[s] = {х G Q | xs = г} не пусто и ограничено при любом г > 0. Обозначим ^a[s] = {х G | а < xs < Ь}, при этом значения а = 0, Ъ — оо опускаются.

Также предполагается, что начальная функция имеет ограниченный носитель так, что

В §1.2 устанавливается допустимая скорость убывания построенного решения при £ —> оо, в нем доказывается следующая теорема:

Теорема 0.1. Пусть область Г2 расположена вдоль оси Ох8, в € 2, п — 1 и выполнено условие (0.18). Тогда существуют положительные числа СР1,Ск(р,к,р1,а,Ь) и решение х) задачи (0.10)—(0.12) такие, что при всех £ > 0 выполнены неравенства

supp (р С zq > 0.

(0.18)

\Ht)\\k > Ml* (CMt + , Pl>k

(0.19л)

IK*) ||к > IMU exP (-ck(<p)t), pi = к.

(0.19*)

Доказательство этой теоремы проводится в два этапа. Сначала устанавливается оценка снизу решения задачи (0.10) — (0.12) в ограниченной области О,. Также как и в теореме существования, доказательства отличаются для к е (1,2) (пункт 1.2.1) и к > 2 (пункт 1.2.2). Затем, полученная оценка распространяется на неограниченную область (пункт 1.2.3). Как сказано выше, допустимая скорость стабилизации решения изотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка при к = 2 изучалась А.Ф. Тедеевым [47] для первой смешанной задачи и N. АНкаков, Я. Ш^ташап [56] для задачи Коши.

Для ограниченного решения задачи (0.15)-(0.17) оценки вида (0.19Р1), (0.19*;) получены для областей, расположенных вдоль оси Ох8 при й € 1 ,п (см. теорему 1.2).

Глава II посвящена получению оценок сверху. В диссертации для этой цели используется метод, предложенный Ф.Х. Мукминовым для решений первой смешанной задачи в случаях линейного параболического уравнения второго [41] и высокого [42] порядков в неограниченной области О. Этот метод состоит в следующем. Сначала, устанавливается оценка убывания решения при удалении пространственного аргумента на бесконечность по области П. Затем, для фиксированного выбирается ограниченная часть области за пределами которой решение пренебрежимо мало, и в этой ограниченной части устанавливается оценка убывания решения по времени.

В §2.1 получены оценки сверху для решения уравнения второго порядка (0.15). Сначала, в пункте 2.1.1 при условии

на коэффициенты нелинейности устанавливается ограниченность решения задачи (0.15)—(0.17). Затем, в пункте 2.1.2 доказываются оценки сверху, характеризующие убывание решения задачи (0.15)-(0.17) при х8 —у оо.

п

(0.20)

Теорема 0.2. Пусть область Г2 расположена вдоль оси 0х8, б £ 1 ,п и выполнены условия (0.18), (0.20). Тогда найдутся положительные числа к,Л4(а,а, <р,р8, к) и ограниченное решение х) задачи (0.15)—(0.17) с ограниченной функцией </?(х) такие, что при всех £ > 0, г > 2^о справедлива оценка

IM*)IU,nP < Mexpl -к

rPs

т

Pi > k. (0.21)

Ещё один вариант оценки сверху для решения задачи (0.15)—(0.17) получается с помощью геометрической характеристики (г), определенной следующим образом:

иг{г) = ы {\\дХ1\\Ри1г | д{х) € \\д\\Ръ,г = 1} , г > 0. (0.22)

Предполагается, что область Г2 удовлетворяет условию

оо

J I%l/Pa(r)dr = оо. (0.23)

Теорема 0.3. Пусть область fi расположена вдоль оси Oxs, s G 2, п и выполнены условия (0.23), (0.18), (0.20). Тогда найдутся положительные числа к\,ЛЛ\(ä,a,ip,ps,k) и ограниченное решение u(t,x) задачи (0.15)-(0.17) с ограниченной функцией <р(х) такие, что при всех t > 0, г > 2zo выполняется неравенство

М*)||кЛ. < Мгехр ^-«х I i?,p-(p)df)j Mb pi > к. (0.24)

Наконец, в пункте 2.1.3 устанавливается оценка скорости стабилизации решения задачи (0.15)—(0.17) при t -У оо.

Определим функцию

^(г) = inf {|Ы|Р1,^ | g(x) G C0°°(Q), \\д\\кЯг = l} , г > 0. (0.25) Будем исследовать убывание в областях, для которых выполнено условие

lim /л(г) = 0. (0.26)

г—>00

Пусть rPl(t),rk(t),t > 0 — произвольные положительные функции, удовлетворяющие, соответственно, неравенствам

1

Существование таких функций обеспечивается условием (0.26). Кроме того, из (0.27Pl), (0.26) следует, что их можно выбрать так, что

lim rpAt) = оо, pi > к.

t-+ 00

Теорема 0.4. Пусть область расположена вдоль оси Oxs, s € 2,го и выполнены условия (0.18), (0.23), (0.20). Тогда найдутся положительные числа Mi)Pl(ä, а, (р, k,ps,pi), ki(ä,a, <p,ps, к) и ограниченное решение u(t, х) задачи (0.15)-(0.17) с ограниченной функцией <р(х) такие, что при всех t > 0 справедливы оценки

rk(t)

pi = k.

IW*)II* < Mi,Pl (ttf(rPl(t))r1/iPl~k), Pi > A;

(0.28p,)

Если выполнены условия:

Mi {r)>Cr~a, r> 1, а, С > 0

(0.29)

г

(0.30)

1

то можно выбрать

rPl{t) = t£/{api\ pi>k, t> 0, ее (0,1), (0.31)

и оценка (0.28Pl) принимает вид

И011*< W~(1~e)/(pi~*\ (0,1), i>0. (0.32)

Выбор функции rPl(t) формулой (0.31) является удовлетворительным, поскольку оценка (0.32) имеет показатель степени близкий к показателю l/(Pi — оценки снизу (0.19Pl).

Далее в §2.2 получены оценки сверху для решения задачи (0.10) — (0.12). Для получения оценок сверху в этом параграфе применяется понятие Л - последовательности, которое было предложено JI.M. Кожевниковой в статье [16] и использовалось в [17]-[19], [26] для получения точных оценок решений краевых задач в случае линейных эллиптических и параболических уравнений. В этих работах показано, что применение Л-последовательности не редко позволяет устанавливать более сильные оценки, чем известные ранее. Заметим также, что прототип такой последовательности был предложен O.A. Олейник и Г.А. Иосифьяном в работе [44] для уравнений теории упругости, но дальнейшего развития этот метод не получил. Р.Х. Каримовым, JI.M. Кожевниковой [15] А-последовательность была использована для получения точных оценок для некоторого класса квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка.

В настоящей работе техника Л-последовательности адаптируется на уравнения вида (0.10).

Определение 0.1. Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел {zj}y=Q будем называть Х[з]-последовательностью

области расположенной вдоль оси Ох3,з = 2,п — 1, если существует число 9 > 0 такое, что выполняются неравенства

1 < 9X(zj, zJ+1)AqJ, Aj = zJ+1 -zj, J = 0, oo, A(n,r2) = min{Af (rbr2), XP2 (n,r2)},

Uri,r2)=M{\\DZ°g\\pa^ |p(x)€CS°(ii)J|M|ftlirt3 = l}i (a34)

а = 1, n.

Сначала в пункте 2.2.1 устанавливаются вспомогательные неравенства, затем в пункте 2.2.2 доказывается теорема об оценке сверху при xs —> оо.

Теорема 0.5. Пусть существует Х-последовательность {zn}n=o и выполнено условие (0.18). Тогда найдутся положительные числа кт,А4m (e,ps,ms,k,â,a) и решение w(i,x) задачи (0.10)—(0.12) такие, что при всех t > 0, N > 0 справедлива оценка

IN*)lkniJV < Mmexp(-KmN) \\ip\\k, Pl > k. (0.35)

На основе неравенства (0.35) выводится оценка скорости убывания при t —> оо решения задачи (0.10) — (0.12).

Для N = 0, оо определим последовательность

1ЛМ = inf {II^^IL^ I G Со00^), hWkfl'N = 1}. (0.36) Будем исследовать убывание в областях, для которых выполнено условие

lim цN = 0. (0.37)

N—>oo

Показано, что если это условие не выполнено, то достигается максимальная скорость убывания решения, т.е. справедливы оценки

\\u(t)\\k < М^Г1/^, t> 0, Pl >k, (0.38p,)

\\u(t)\\k<Mm,kexp(-kmt)Mk, t> 0, Pl = k, (0.38*)

(см. следствие 1.1).

Пусть NPl(t), Nk(t),t > 0 — произвольные положительные функции, удовлетворяющие, соответственно, неравенствам

exp {KmNPl(t)) > (täpi{t)t) , Pi > k. (0.39P1)

Nk(t)<t^k, Pl=k. (0.39*)

Существование таких функций вытекает из (0.37). Кроме того, из (0.39Л), (0.37) следует, что их можно выбрать так, что

lim Np (t) = оо, pi > k.

00

Теорема 0.6. Пусть существует Х-последовательность {£лг}лг=о и вы~ полнены условия (0.18), (0.37). Тогда найдутся положительные числа Мт,Р1(ра,ри7Пд,к,0, о, а, \\<р\\к),кт(рв,та, к, в, а, о) и решение и(Ь,х) задачи (0.10)—(0.12) такие, что при всех1 > 0 выполняются неравенства

-1/(Р1-*0

u(t)\\k < Мт,Р1 {t)t

Pi > к,

1М0Н* ^ Мщ^ехр (~ктМк(г)) \\vWk, Р1 = к. Если выполнено условие (0.37) и

lim = о.

N—№0

N

(0-40 Pl) (0.40*)

(0.41)

то можно выбрать

exp{NPl(t)) = pi > к, t > 0,

(0.42)

и оценка (0.40Р1) принимает вид (0.32).

Наконец, в §2.3 в качестве примеров получены оценки сверху для областей вращения вида (0.6). В пункте 2.3.1 приводятся оценки сверху для ограниченных решений задачи (0.15)—(0.17) в областях вращения

П(/)[в] при 5 Е 2, п. А в пункте 2.3.2 получены оценки сверху в областях вращения для решений задачи (0.10)-(0.12).

Выразим оценки (0.35), (0.40Р1), (0.40/;) через функцию /(х), с этой целью введем понятие П-последовательности. Для неотрицательных р положим

Р

c,d] _

Р < 1,

Pd, Р> 1,

с, d > 0.

Определение 0.2. Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел определим равенствами

= 1, zN = sup < г > zn- 1

inf /fen.9i](a;) > (г _ ZN_[>, (0.43)

[zN-i,r)

где N = 1, оо, и назовем И-последовательностью функции f(x).

Если существует постоянная ш > 1 такая, что для всех х > 1 справедливо неравенство

sup {/(г) \ze[x- /^'^(я), х + /^'^(ж)]} < uf(x), (0.44)

то П-последовательность {zjv}5v=o является Л-последовательностью для области Q(/)[s] (см. предложение 2.1).

Несложным следствием теоремы 0.5 для областей вращения является следующая оценка решения задачи (0.10)—(0.12)

\Ш\\кЛг <М m ехр ^ кт J ^„^¡/^^у IMU> Pi — (0.45)

справедливая для t > 0, г > 1 (см. утверждение 2.2).

Предположим далее, что функция / удовлетворяет условию:

г

lim -i- [ ,r ^ , . = оо. (0.46)

1—>оо In V J /№»9i]/g.(х) 1

Очевидно, что требование

lim f[in,qi}/qs(ryr = о (0.47)

Г-¥ ОО

является достаточным для выполнения (0.46). Для областей вращения, удовлетворяющих условиям (0.44), (0.47), справедливо соотношение (0.41) (см. предложение 2.2).

Таким образом, для областей вращения, удовлетворяющих условиям (0.44), (0.47), выбор функции NPl(t), р\ > к, формулой (0.42) оправдан и справедлива оценка (0.32). Однако, для областей вращения вида (0.6) можно получить более тонкие оценки.

Пусть V(p, z) = {(а;, у) G М2 | -г < х < z + р, 0 < у < рМмМ) -прямоугольник со стороной р и левой нижней вершиной в точке z оси абсцисс. Для положительной функции f{x), х > 0, символ T\(f) будет обозначать криволинейную трапецию

Г [(f) = {{х,у) еЖ2\1<х<г, 0<у< f(x)}.

Через р*{г) обозначим сторону наибольшего прямоугольника Р(р*, г*), содержащегося в

Следствием теоремы 0.6 для областей вращения вида (0.6) при £ > ¿1 являются следующие оценки (см. утверждение 2.3)

ЫЩкМЛ < мт,Р1г1/{р1-к)дЛ*1 VI > к, (0.48*)

К*)1кад < Мт,кехр

/ rm,k{t) \

г [ dx

m / Тмад

\ 1 7

, Р1 = к, (0.48*)

где

G {г) = (mesf2r)(pi~fc)/V*s(0> r > 1;

(0.49)

/¿/о: lni

1

rm,k

/dx t

r<a аЛ/а ( ч = v 1 - Pi = (0.50fc)

î

Причем для областей вращения с функцией / при достаточно больших ж, удовлетворяющих условию

f(x)<Cx\ C,b> 0, (0.51)

функция gm(t) растет медленнее любой степенной функции t1,7 > 0.

В области Çl(fa) с функцией /а(я) = ха, 0 < а < qs/qi, х > 0, для решения задачи (0.10)—(0.12) оценки (0.48Pl), (0.48*) принимают вид (см. пример 2.1)

llwWllfc.nW^^Pi^^Oni)^1"^, t>e, Pl >к,

çi л — 1 1 (0.52Pl)

X = a-- + a—— + -.

pi — к к к

—«—■- f д.ч—Q«7l \

llw(Ollw) < ^C,fcexP , Pl = k. (0.52*)

В области П(/) с функцией f(x) = е, 0 < х < е, /(ж) = (х/ In х] х > е, для решения задачи (0.10)—(0.12) оценки (0.48Р1), (0.48*) принимают вид (см. пример 2.2)

IKt)ll W) < M^rVto-*) exp (£>(lni)1/2) , 53

i > е, Pi > к, д > 0,

1И0Н W) < ехР (-*£ Ь2 t),qa = 2,Pl = k, е> 0. (0.53*)

Результаты диссертации достаточно полно опубликованы. Так содержание главы I изложены в [20]—[22], [34], материалы главы II содержатся в [20], [21], [23], [35]—[37].

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Кожевниковой Ларисе Михайловне за постановку задачи и помощь в написании диссертации, а также внимание, уделенное при подготовке к сдаче экзаменов кандидатского минимума и многочисленным выступлениям.

Глава I.

Допустимая скорость убывания решения

1.1. Теорема существования

1.1.1. Формулировка теоремы существования

о

Банахово пространство Ж*™^) определим как пополнение пространства Со°(Г2) по норме

п

= X) ИМа||Рв + 1М1ь

о=1

__о

где {и}а = В частности, для та = 1, а = 1,п, через У/

будем обозначать пространство с нормой

п

И^кда = X) \\в^и\\Ра + 1Мк

а=1

Банаховы пространства У/ °к™(ВТ), \У определим как попол-

нения пространства Сд0(В^1), соответственно, по нормам

п

= 1М1м>т + ИМаИр^ '

а=1

И^Иж^(Г)Г) = И^И^рт) + Мк*-

В случае когда та = 1, а = 1~п, через У/ °'р(£>Г)> УУ будем

обозначать пространства с нормами

п a=l

WU\\wl'^DT) = IMI W0k'l(DT) + \\ut\\k,DT-Вопросам существования и единственности решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений посвящено большое число работ (см., например, [29]). Однако, наличие в уравнении двойной нелинейности приводит к существенным проблемам в обосновании корректности постановки задач. Глубокая математическая теория подобных задач предложена Ю.А. Дубинским [10], где рассмотрены уравнения высокого порядка 2т (т > 1) по пространственным переменным, но в предположении, что производные порядка т входят линейно в коэффициенты. Начало теории разрешимости уравнений с двойной нелинейностью было положено в работах [38], [63]. Существование сильного решения в случае ограниченной области Г2 для модельного уравнения второго порядка было установлено Р.А. Raviat [63] путем замены эволюционной производной разностным отношением. H.W. Alt, S. Luckhaus [57] существенно расширили класс рассматриваемых уравнений.

Изучение уравнений с двойным вырождением активизировалось после обзорной статьи [14] А.С. Калашникова, в которой освещены разнообразные приложения таких уравнений. F. Bernis [60] доказал существование слабого решения уравнения высокого порядка в неограниченной области предельным переходом от решений, построенных для ограниченных областей О. Grange, F. Mignot [61]. Слабое решение задачи Коши для анизотропного уравнения второго порядка при к = 2 было построено М. Bendahmane, К.Н. Karlsen [59]. A. Bamberger [58] установил единственность сильного положительного решения. В [11] - [13] А.И. Ивановым предложены условия, обеспечивающие существование и единственность регулярного неотрицательного решения. Г.И. Лаптевым доказано существование слабого решения первой начально-краевой задачи

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Леонтьев, Алексей Александрович, 2013 год

Литература

[1] Андриянова Э.Р., Мукминов Ф.Х. Оценка снизу скорости убывания решения параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. - 2011. - Т. 3. - №3. - С. 3-14.

[2] Андриянова Э.Р., Мукминов Ф.Х. Стабилизация решения параболического уравнения с двойной нелинейностью // Матем. сб. - 2013. - Т. 204. - №9. - С. 3-28.

[3] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения - М.: Наука. - 1975. - 480 с.

[4] Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4~го и 6-го порядков в неогранченной области // Матем. сб. - 2004. - Т. 195. - №3. - С. 115-142.

[5] Гилимшина В.Ф. Об убывании решения неравномерно параболического уравнения // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46. - №2. - С. 235-250.

[6] Гилимшина В. Ф., Мукминов Ф. X. Об убывании решения вырождающегося линейного параболического уравнения // Уфимск. матем. журн. - 2011. - Т. 3. - Ш. - С. 43-56.

[7] Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка // Тр. МИАН. - 1973. - Т. 126. - С. 5-45.

[8] Гущин A.K. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. - 1976. - Т. 101(143). - №4(12). - С. 459-499.

[9] Дегтярев С.П., Тедеев А.Ф. Li-L оо оценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Матем. сб. - 2007. - Т. 198. - №5. - С. 45-66.

[10] Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сб. - 1965. - Т. 67. - №4. - С. 609-642.

[11] Иванов A.B., Мкртычан П.З. О существовании непрерывных по Гельдеру обобщенных решений первой краевой задачи для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. научн. сем. ЛОМИ. - 1990. - Т. 183. - С. 5-28.

[12] Иванов A.B. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение // Алгебра и анализ. - 1992. - Т. 4. - №6. -С. 114-129.

[13] Иванов A.B., Мкртычан П.З., Яегер В. Существование и единственность регулярного решения первой начально-краевой задачи для некоторого класса дважды нелинейных параболических уравнений // Зап. научн. сем. ПОМИ. - 1994. - Т. 213. - С. 48-65.

[14] Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // Успехи мат. наук. - 1987. - Т. 42. - №2. - С. 135-176.

[15] Каримов Р.Х., Кожевникова JI.M. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. - 2010. - Т. 201. - №9. - С. 3-26.

[16] Кожевникова JI.M. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения // Матем. сб. - 2005. - Т. 196. - т. - С. 67-100.

[17] Кожевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для квазиэллиптического уравнения // Изв. РАН. Сер. матем. - 2006. - Т. 70. - №6. - С. 93-128.

[18] Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. - 2008. - Т. 199. - №8. - С. 61-94.

[19] Кожевникова Л.М. Стабилизация решений псевдодифференциальных параболических уравнений в неограниченных областях // Изв. РАН. Сер. матем. - 2010. - Т. 74. - №2. - С. 109-130.

[20] Кожевникова Л.М., Леонтьев A.A. Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. - 2011. - Т. 3. - №4. - С. 64-85.

[21] Кожевникова Л.М., Леонтьев A.A. Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн. - 2013. - Т. 5. - №1. -С. 63-82.

[22] Кожевникова Л.М., Леонтьев A.A. Решения анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях II Вестник СамГТУ, Сер. Физ.-мат. науки. - 2013. - №1(30). -С. 82-89.

[23] Кожевникова Л.М., Леонтьев A.A. Оценка скорости убывания решения анизотропного параболического уравнения высокого порядка в неограниченных областях // Вестник Баширского университета. -2013. - Т. 18. - №2. - С. 321-325.

[24] Кожевникова JI.M., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t —» оо решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. -2000. - Т. 191. - №2. - С. 91-131.

[25] Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Об убывании L/2-нормы решения первой смешанной задачи для нелинейной системы параболических уравнений в области с нерегулярной границей // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38. - №8. - С. 1079-1084.

[26] Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Убывание решения первой смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка с младшими членами // Фундамент, и прикл. матем. - 2006. - Т. 12.

- №4. - С. 113-132.

[27] Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений анизотропного квазилинейного параболического уравнения в неограниченных областях // Труды МИАН. - 2012. - Т. 278. - №3. - С. 114-128.

[28] Кружков С.Н. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб. - 1968. - №77. - С. 229-334.

[29] Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа - М.: Наука. - 1967.

- 736 с.

[30] Лаптев Г.И. Разрешимость квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойным вырождением // Сиб. матем. журн.

- 1997. - Т. 38. - №6. - С. 1335-1355.

[31] Лаптев Г.И. Слабые решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностью // Матем. сб. - 1997.

- Т. 188. - №9. - С. 83-111.

[32] Лаптев Г.И. Эволюционные уравнения с монотонным оператором и функциональной нелинейностью при производной по времени // Ма-тем. сб. - 2000. Т. 191. - №9. С. 43-64.

[33] Лежнев A.B. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Математический сборник. - 1986. - Т. 129. - №2. - С. 186-200.

[34] Леонтьев A.A. О первой смешанной задаче для анизотропногоква-зилинейного параболического уравнения // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Уфа: Гилем. - 2011. - С. 65-67.

[35] Леонтьев A.A. Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелиненйностью // Научные труды СГПА им. Зайнаб Биишевой. - 2011. - Т. 1. - №1. - С. 82-89.

[36] Леонтьев A.A. Оценки скорости стабилизации решения анизотропного параболического уравнения высокого порядка в неограниченных областях // Математическое моделирование процессов и систем. -Стерлитамак: СФ БашГУ. - 2012. - С. 80-98.

[37] Леонтьев A.A. Принцип максимума для решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях // Труды международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". -Уфа: РИЦ БашГУ. -2013. - Т. 1. - С. 324-330.

[38] Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М.: Мир. - 1972. - 596 с.

[39] Лу Вень-Туан. К теоремам вложения для пространств функций с частными прозводными, суммируемыми с различными степенями // Вестн. ЛГУ. - 1961. - №7. - С. 23-38.

[40] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных - М.: Наука. - 1983. - 480 с.

[41] Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. - 1980. - Т. 111(153). - №4. - С. 503-521.

[42] Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23. - №10. - С. 1172-1180.

[43] Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для системы уравнений Навье-Стокса - М.: МИРАН. - 1994.

[44] Олейник O.A., Иосифьян Г.А. О единственности решения смешанной задачи для уравнений теории упругости в неограниченной области // УМН. - 1976. - Т. 31. - №5(191). - С. 247-248.

[45] Олейник O.A., Иосифьян Г.А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений // УМН. - 1976. - Т. 31(192). - №6. - С. 142-166.

[46] Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения - М.: ИИЛ. - 1954. - Т. 2. - 414 с.

[47] Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25. - №3. - С. 491-498.

[48] Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при t —> оо решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. - 1991. - Т.27. -№10. - С. 1795-1806.

[49] Тедеев А.Ф. Стабилизация решения третьей смешанной задачи для квазилинейных параболических уравнений второго порядка в нецилиндрической области // Изв. вузов. Математика. - 1991. - Т. 1.

- С. 63-73.

[50] Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат. жури. - 1992.

- Т. 44. - №10. - С. 1441-1450.

[51] Тедеев А.Ф. Оценка скорости стабилизации решения первой начально-краевой задачи для уравнения пористой среды в неограниченной области // Матем. заметки. - 1995. - Т. 57. - №3. - С. 473-476.

[52] Треногин В.А. Функциональный анализ - М.: Наука. - 1980. - 496 с.

[53] Ушаков В.И. О поведении решений третьей смешеанной задачи для параболических уравнений второго порядка при t сю // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15. - №2. - С. 310-320.

[54] Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области // Матем. сб. - 1980. - Т. 111(153). - т. - С. 95-115.

[55] Черемных Ю.Н. О поведении решений краевых задач для пара боли-ческих уравнений второго порядка при неограниченном возрастании t И Матем. сб. - 1968. - Т.75(117). - №2. - С. 241-254.

[56] Alikakos N., Rostamian R. Gradient estimates for degenerate diffusion equation. II // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. - 1981/1982. - V. 91. - №3-4.

- P. 335-346.

[57] Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. - 1983. - V. 183. - P. 311-341.

[58] Bamberger A.Etude d'une equation doublement поп lineaire // J. Funct. Anal. - 1977. - V. 24. - P. 148-155.