Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Хисамутдинова, Наиля Аслямовна

• Хисамутдинова, Наиля Аслямовна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хисамутдинова, Наиля Аслямовна

Введение

1. Поведение решения первой смешанной задачи для параболического уравнения в области с несколькими выходами на бесконечность

§11. Постановка задачи. Неравенство Фридрихса.

Формулировка основных результатов.

§ 12. Оценка сверху.

§13. Оценка снизу.

§1.4. Оценки характеристик N(r) up*.

2. Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области с несколькими выходами на бесконечность

§21. Вспомогательные утверждения.

§ 22. Решение уравнения divu = / и его свойства.

§ 23. Существование решения и его свойства.

§ 2.4. Поведение решения на бесконечности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области»

В области D = (0, оо) х Q, где О, - неограниченная область R2, рассматривается следующая задача

Здесь u(t, х) = (щ, и?) и p(t, х) — неизвестные скорости течения жидкости и давление, a tp = (<£>1, ^2) — заданные начальные скорости.

Отметим, что в рассматриваемых нами вопросах допустима замена переменных u = z/v, t = г/г/, р = v2q, приводящая систему (0.1) к аналогичной с v = 1.

В последние два десятилетия появилось много работ, посвященных исследованию поведения при t —> 00 кинетической энергии

Li2 - нормы) течения жидкости в неограниченной области. Качественный ответ о стремлении к нулю кинетической энергии в случае трехмерной задачи Коши был дан в работах Т. Като [1] (для сильного решения) и К. Масуды [2] (для слабого решения). Более того, в работе [1] получена следующая оценка. Если соленоидальный вектор <р принадлежит пересечению Ln(-Rn) П Lr(#n),r G [1, п], и норма ||у?||п достаточно мала, то существует единственное сильное решение задачи Коши (0.1), (0.2), и справедлива ut + (и • V)u = и А и — Vp, divu = 0,

0.1) и |i6an= 0, и |1=0= <-р{х).

0.2) оценка ||u(£)||a = 0(t 7),7 = (n/r — n/a)/2, при a > r,t —ь oo. Здесь и далее причем для а = 2 и Q = О, соответствующие индексы будут опускаться.

Оценка скорости убывания кинетической энергии для слабого решения та-мерной задачи Коши для системы вида (0.1) была дана в [3, п = 3] и уточнена в [4], [5]. Сформулируем результат работы [4]. Если соленоидаль-ный вектор (р принадлежит пересечению L2(Rn) flLr(Rn), n > 2, г G [1, 2), то существует слабое решение задачи Коши (0.1), (0.2), убывающее точно так же, как и в случае уравнения теплопроводности: ||u(£)|| = 0(t~7), 7 = (та/?—п/2)/2. В [5] такая же оценка установлена для произвольного слабого решения, удовлетворяющего энергетическому неравенству u(t)f + 2„j\\Vu(T)fdT<\\u(s)\\\ для s = 0, п.в. s > 0 и всех t > s. В случае задачи во внешности ограниченной области аналогичные результаты получены для г G (1,2) в работах [б, та = 3] и [7, п > 3].

Таким образом, нелинейные слагаемые и давление, участвующие в системе (0.1) не замедляют скорости затухания течения жидкости, обеспечиваемой входящим в систему (0.1) оператором теплопроводности. Конечно, условие прилипания на границе (0.2) вызывает дополнительное замедление течения, однако, судя по приведенным выше результатам, по-видимому, этот эффект не сказывается существенным образом в поведении решения внешней задачи. Хотя нам неизвестно, являются ли упомянутые результаты для внешней задачи точными.

Затухание течения, обусловленное прилипанием жидкости к границе области, заведомо сказывается в случае некомпактной границы. Это подтверждается результатом работы [8]. В частности, для областей вращения вида

Q(f) = {x:x\ + x\< f2{x3), ®3 > 0}, (0.3) определяемых монотонно неубывающей функцией /(г) £ С3(0, оо), такой, что lim f(r)/f(qr) < оо, | Л + IЛ + IЛ < «о, г > 1, г—>00 при некотором q G (0,1), в этой работе установлены следующие оценки. Определим функцию r(t),t > 0, как обратную к монотонно возрастающей функции г/(г), г > 0. Пусть u(t,x) — сильное решение трехмерной задачи (0.1), (0.2) в области D = (0,оо) х ^(/) с соленоидальной начальной о функцией ip GW^^) tp(x) = 0 |ж| > До, (0.4) удовлетворяющей условию малости из работы [20]. Тогда найдутся положительные постоянные к, А\ такие, что при всех х € П(/) и t > 1 справедливы оценки u(f,*)| + ||Vp(t)|| < i4iexp(-«r2(0A)i (0-5)

Постоянная к не зависит от начальной функции <р.

Таким образом, скорость замедления течения жидкости, обусловленная прилипанием ее к границе, существенным образом зависит от геометрии неограниченной области.

Отметим, что в работах посвященных исследованию скорости затухания движения вращающейся жидкости, описываемого линейными [25], [26], [27], [28], [29] и нелинейными [30] уравнениями (задача Коши или первая краевая задача в полупространстве), изучается эффект затухания движения жидкости, вызванный ее вращением, а не условием прилипания на границе, как в нашей работе.

Доказательство оценок (0.5) для решения трехмерной задачи в работе [8] существенно опирается на следующий результат Дж. Хейвуда. В [20] для произвольной области Q, п = 3, с границей равномерно класса С3 доказана оценка sup|u(t,x)| = 0[t~l!2) при £ —> оо. (Термин "граница равномерно класса С3"(см.[20]) означает существование таких положительных чисел d,b, что для произвольной точки £ 6 dQ пересечение дО, П — < d} в местной декартовой системе координат является графиком функции, производные которой до третьего порядка ограничены постоянной b.) В [8] этот результат несколько усилен до следующего

В двумерном же случае получить ограниченность последнего интеграла без дополнительных условий на начальную функцию затруднительно даже для решения уравнения теплопроводности. Это обстоятельство требует иных технических подходов при решении поставленной выше задачи в двумерной ситуации.

Напомним, что существование и единственность решения "в целом "задачи (0.1), (0.2) в классе L4 доказаны в работе О.А.Ладыженской [17]. В совместной работе Лионса и Проди [18] доказывается теорема единственности слабого решения.

В работе Маремонти [19] при соленоидальных начальных скоростях ср G LP(Q) П Z/2(f2), Р £ (1; 2] для решения задачи (0.1), (0.2) в произвольной области £1 С R2 с границей класса С2 установлены следующие соотношения lluWIk +t1/2||Vu(t)||L2 +t\\ut(t)\\L2 = 0(t~a) t 00, a = ! - i

P 2

Ve > 0 sup |u(rz:, t)\ = 0{Г^2~а+£), a = - - i xeft

0.6) z€ft

P 2

В случае соленоидального начального вектора ip G L\(Q) П из последнего соотношения нетрудно получить (0.6).

Целью настоящей работы является получение оценок вида (0.5) в терминах геометрических характеристик неограниченной области Q, имеющей несколько выходов на бесконечность. Частично такая задача решена в работе [22]. В ней для внутренностей парабол fi(a) = {х е R2 : |ar2| < я?, > 1} (0.7) при a € (0,1/2) доказана следующая оценка u(*,z)| < Aiexp(-kt^).

В настоящей работе существенно расширен класс областей, для которых установлена оценка убывания решения (скорости течения жидкости) задачи (0.1), (0.2) при t —> оо. В частности, этот класс содержит все параболы fi(or) с a G (0,1). Доказательство наших результатов отличается от доказательства в трехмерном случае, не опирается на соотношение (0.6) и не использует результатов Маремонти.

Пусть двумерная область Q имеет к выходов на бесконечность, расположенных вдоль лучей S{, то есть имеет вид fi = fiU(U?=1 П),

0 i где fi, г = 1,.,/; — односвязные непересекающиеся неограниченные об-i ласти, a Q — ограниченная область, не обязательно односвязная. Будем о предполагать, что если выбрать ось Ох\ направленной вдоль некоторого луча Sj, то область Q расположится в полуплоскости {^i > 0}, причем обi ласти Q,r = {х G Г2 : х\ < г} будут ограничены и односвязны при г > Р(. i г

Для полной постановки задачи (0.1), (0.2) следует задать потоки через сечения Sf = {х G Q : x\ = г} областей Q. Мы задаем их нулевыми i i ди gdS = 0, г' = 1,2,.,&.

5tr

Обозначим через Аг(г) первое собственное значение оператора — А в области Qr с условием Неймана на части ее границы дО, П Q и условием i i Дирихле на оставшейся части границы

А;(г) = inf{ [ \Vv\2dx\ v е C§°(Qr U Q), [ v2dx = 1}, г > Д.

J пг i 0 Jqr i i

Очевидно, Лг(г),г > Pi, - невозрастающие функции. Выберем нумерацию так, чтобы lim Xdr) = 0, i = l,2,.,s (0.8) и lim Aj(r) >0, г = s + 1,., к. При этом допустимо равенство s = к. Однако s > 1, иначе, как хорошо известно, решение будет убывать быстрее, чем e~£t.

Легко видеть, что для области Q = QU(ufs+10) выполнено неравенство

0 г ц = inf{ [ \Vv\2dx\ V е [ v2dx = 1} > 0. (0.9)

JQ JQ

В работах ([45], [46]) предполагалось также существование таких абсолютно непрерывных монотонно неубывающих положительных функций h(r), г > 0, i = l,.,s, что при г > Pi области и;г-(г) = = г

Q,r+li^\Q,r удовлетворяют следующему условию D. Известно, что для кажг i дой ограниченной области Q с липшицевой границей уравнение (см. [24], а также [23]) divv = g, х в Q, g в L2(Q), / gdx = 0,

JQ о имеет решение v EW^Q)) удовлетворяющее оценке

Vv\\Q < *Ш\9\\а

Условие D заключается в том, что постоянную d\ в этом неравенстве можно выбрать единой для каждой области Ш{(г), г > Р(

II'VvH^) < di||^||Wi(r), г = 1,., s.

0.10)

В параграфе 2.2. приводятся достаточные условия при которых неограниченная область удовлетворяет условию D. Как следует из теоремы этого параграфа , условие D выполнено, в частности, если области г > Р^ равномерно звездны относительно некоторых шаров Д-. Равномерность означает, что отношения diam u^(r)/diam В( ограничены постоянной, не зависящей от i = 1,., s и г > Р{. Если Q(a) — область вида (0.7) с некоторым a € (0,1), то, очевидно, области ш(г), г > Р, равномерно звездны при достаточно большом Р, если выбрать 1(г) = га. Поэтому такая область удовлетворяет нашему условию.

Наложим еще на функции следующие условия регулярности. Существуют числа a, qi 6 (0,1) такие, что

Это условие ограничивает рост функций li(r) сверху.

В качестве модельных областей будем рассматривать трубчатые области

В двумерном случае для них мы будем выбирать функции /г-(г) = /((—1)V), г = 1,2, г>0,и предполагать, что они монотонно возрастают и удовлетворяют условию (0.11).

Определим функции t > P{li(Pi), как обратные к монотонно возрастающим функциям r/j(r), г > Pj . Очевидно, что г;(£) монотонно возрастая стремится к бесконечности и удовлетворяет равенствам

0.11)

1(f) = {х6 К",х = (®1,г')| I х |< f(xi)}.

0.12)

Пусть существует число S G (0,1] такое, что ri-6

Иш-—- = 0. (0.14)

- тах/г(г)

Г-> 00

Это условие означает, что самый "широкий рукав"расширяется быстрее чем г1 5. и

Пусть начальная функция <р из W^(^) является пределом финитных со-леноидальных функций и удовлетворяет условию

М*Ш < е-"*> Р, г = 1,., 5 (0.15) г с некоторыми положительными постоянными си Р, где Qr = Q \ Qr. i i i

Теорема 2.5. Пусть двумерная область Г2 имеет границу равномерно класса С3 и функции U удовлетворяют (0.11), (О.Ц) и условию D, а о соленоидальная начальная функция (р из удовлетворяет условию

0.15). Тогда существуют положительные числа к, Аг, Т такие, что решение задачи (0.1), (0.2) при всех х € Q и t > Т удовлетворяет оценкам u(i,x)| + ||u(*)|| + ||Vu(t)|| + ||£>2u(<)|| + ||Vp(OII < Агexp(—f 1шп[А;(п(<)/к), к\2(п(Щ), (0.16) i где A2 зависит только от (d, b) из определения принадлежности границы равномерно классу С3, Ц^Н, ||Vy?||, а к только от qi и а из неравенства (0.11) и от d\ из неравенства (0.10).

В случае, когда области о>г-(г) равномерно звездны, оценку (0.16) можно привести к виду(см. §2.4.) и(*,ж)| < А2ехр{-Ш min[Zr2(r.(t))]). (0.17) г

Нам не удалось подтвердить точность оценок (0.16) - (0.17). Затруднительно также непосредственное сравнение их с аналогичными оценками для параболического уравнения, поскольку точность последних устанавливалась лишь для областей с одним выходом на бесконечность. Поэтому в главе 1 результаты по параболическому уравнению второго порядка приводятся в форме, удобной для сравнения с нашими результатами для уравнений Навье - Стокса. Кроме этого, наше изложение содержит элементы новизны в том плане, что расширен класс областей, для которых получены точные оценки решения первой смешанной задачи параболического уравнения.

Пусть Q - произвольная неограниченная область пространства Жп,п> 2, х = Х2, .,хп) Е Еп. Рассмотрим в цилиндрической области D — {t > 0} х Q линейное параболическое уравнение второго порядка: п ut = (°-18) i,j=l

Коэффициенты уравнения aij(t,x) - измеримые функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности: существуют положительные постоянные 7, Г такие, что для любого вектора у = (у\,.,уп) 6ln и почти всех (t, х) G D справедливы неравенства п тМ2 < а^ (0Л9) i,j=1

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения (0.18) с начально-краевыми условиями:

U(t,x)\xedSl = 0, (0.20)

7(0,х) = ф), ф) е Ь2(П). (0.21)

Начало исследований зависимости скорости убывания решений смешанных задач для параболического уравнения от геометрических характеристик неограниченной области было положено в работах А.К. Гущина [9]-[12]. В них при определенных условиях изопериметрического характера на область получена точная оценка для решения второй смешанной задачи sup |u(£,х)\ < C\\(p\\Ll{Si)/v(Vi), v(r) = mesnQr. x€fi

Эти исследования были продолжены в работах В.И. Ушакова, А.В. Лежнева, А.Ф.Тедеева [13, 14] для второй смешанной задачи и Ф.Х.Мукминова, JI.M. Кожевниковой [21, 36] для первой смешанной задачи. Известны также результаты для параболических уравнений высокого порядка [15, 16].

Чтобы сопоставить наши результаты для задачи (0.1) - (0.2) с аналогичными для случая параболического уравнения, приведем оценки, полученные для решения первой смешанной задачи в работе [36]. В ней рассматривались трубчатые области вида (0.12), лежащие в полупространстве х\ > 0, удовлетворяющие следующим требованиям: lim /(г) = оо, (0.22) г-+оо lim r/f(r) = оо. (0.23) г—к»

Пусть положительная функция /(г), г > 0, удовлетворяет условиям

1.

1 Г ds lim -— / —т = оо, r->oo In Г Ji f{s)

2. r\z\+p/ 2 J

ЗЛ > 0 : A -jrr^ > 1, Vzi > 1,

J\z\-p/2 JKS) где z = (z\, 0) - центр, p(z) - радиус наибольшего шара B(p, z), лежащего в Q(f).

Пусть существует положительная постоянная Е такая, что при всех г > 1 справедливо неравенство Е f (г) > 1. При этих условиях в работе [36] установлены оценки решения fp{t) \ mi exp ( —K\ / ds/f(s) I < sup |C/(i, я)| < J1 J хбП Mi exp ^-k! j* ] ds/fis^j

0.24) с неотрицательной начальной функцией <£>, имеющей ограниченный носитель. Здесь p(t) определена из равенства Рт{р) fijjtj = Ъ гДе рт(?) - радиус наибольшего шара, помещающегося в fig- Постоянные mi, Mi, К\, к положительны.

В первой главе найдены достаточно простые характеристики неограниченной области Q, определяющие для более широкого класса областей, чем в [36], поведение решения задачи (0.18), (0.20), (0.21) при t —ь оо. Для простоты изложения рассмотрим область Q, только с двумя выходами на бесконечность, расположенными вдоль оси Ох\. Введем следующие обозначения

Qba = {х е О, \а < xi < Ъ}, Sr = {х eQ |a?i = г}, причем параметры а = 0 и Ъ = оо могут быть опущены.

Толщиной d(S, I) множества S С Rn1 вдоль прямой I С Mn1 назовем диаметр ортогональной проекции множества на эту прямую. В частности, d(Rn~\l) = oo.

Абсолютной толщиной множества S назовем величину d{S) = infd(5,0, где нижняя грань берется по всем прямым. Определим функцию h(r) = d(Sr), принимающую значения из интервала (0, оо].

Обозначим через B(p,z) = {х G Mn | \х — z\ < р} - шар радиуса р с центром в точке z€ln.

Шар B(p,z), z €Е ОХ 1, будем называть допустимым, если B(2p,z) С но Ve > 0 B(2p + e,z) <jL

На область мы накладываем лишь одно условие В: существует 9 > 0 такое, что для любого допустимого шара B(p,z), z\ > Ro выполняется следующее неравенство inf h(r) < вр, в > 1. zi-p,zi+p]

Легко видеть, что условие 2 из [36] достаточно для его выполнения.

Назовем правой цепочкой шаров B(pi,zl), i = 1, оо-последователь-ность допустимых касающихся шаров, такую, что l^1! — р\ = Rq, \zl+l\ = \zl\ + Pi + pi+\. Она, очевидно, существует. Пусть уг = |zl+1| — Pi+1 - первые координаты точек касания указанной цепочки шаров.

Аналогичным образом определим левую цепочку шаров 21'), г = 1, оо такую что, = |z*|+pz-+A;+b обозначив первые координаты точек касания этой цепочки через у= —|2*'| + Pi.

Пусть отрицательное и положительное числа r\f т2 по модулю превосходят Rq и 7*1 € (у8+1,у3], 7*2 £ [ymi Ут+1)- В качестве геометрических характеристик неограниченной области Г2, определяющих поведение решения задачи (0.18) - (0.21) при t -ъ оо в цилиндрической области D = {t > 0} х Q, рассмотрим две функции

1. непрерывную кусочно-линейную N(xi), такую что N(yi) = N(yi) = г;

2. Р*(гъг2) =max{p(ri),/o+(r2)}, где р-(г{) = max {у3 - rh \yl - у1'11, г = 1, 2,., 5; }, p+(r2) = max{r2 - ут, yi - у*'1, г = 1,2,., га; }.

Далее ri(t) и г2(£) определим из равенств Ш' N{ri) = Ж' (0'25)

Справедлива следующая

Теорема 1.3. Пусть область удовлетворяет условию В и пусть ° о 1

U(t,x) GW 2 (D) - решение задачи (0.18), (0.20), (0.21) с неотрицательной финитной начальной функцией (р(х) с носителем в fif^- Тогда найдутся положительные числа: к, К, зависящие от 7, Г,в,п, и М\,М, зависящие от 7, Г, 9, n, ср, ^шо при всех t > Т3, х & Q справедливо неравенство

Miexp ("VwUw)) - y(i,x) -Мехр (""йыет») •

0.26)

Положительная постоянная Т3 зависит от п, Ro. % Как уже отмечалось выше, одно лишь условие 2 из [36] гарантирует выполнение нашего условия В. В работе [36] или более ранней [21] на область накладываются дополнительно условия вида (0.22), (0.23) и еще условие типа 1. Поэтому наши оценки точны для существенно более широкого класса областей, чем в упомянутых работах.

В параграфе 1.4. показано, что трубчатые двумерные области вида (0.12) при 1{(г) = /((—l)V),z = 1,2 удовлетворяют условиям теоремы 2.8., если выполнено условие (0.10) и функции /г(г) монотонно возрастают. При этом оценки (0.16) и (0.26) приобретают единообразный вид (0.17), причем как следует из теоремы 1.З., в параболическом случае эта оценка точна. В частности, когда рукава области Г2 имеют вид ^(аг),0 < а\ < a.i < 1, оценка г

0.17) принимает вид и(/,ж)| < А\ ехр(—Н1^).

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю профессору Фариту Хамзаевичу Мукминову за предложенную тематику исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.