Стабилизация решений смешанной задачи для параболических уравнений высокого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Биккулов, Ильгиз Мидехатович

• Биккулов, Ильгиз Мидехатович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Биккулов, Ильгиз Мидехатович

Введение.

§ 1. Некоторые вспомогательные предложения.

§ 2. Существование и единственность решения параболического уравнения высокого порядка.

§ 3. Оценка сверху решения для уравнения 4-го порядка

§ 4. Оценка снизу решения для уравнения 4-го порядка

§ 5. Оценка скорости стабилизации решения уравнения б-го порядка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизация решений смешанной задачи для параболических уравнений высокого порядка»

Диссертация посвящена изучению стабилизации нормы решения смешанной задачи для линейных параболических уравнений четвертого и шестого порядков в цилиндрической области Б = > 0} х П, где П — произвольная неограниченная область пространства Яп, п > 2. Рассматривается зависимость поведения нормы решения этой задачи при больших значениях времени £ от геометрии неограниченной по пространственным переменным области лежащей в основании цилиндра.

Поведение решения задачи Коши для уравнения (0.1) с суммируемой начальной функцией хорошо известно [66]\u(t,x)\ < С\ ¿2|MUi(n) Для всех (t,x) G D,где константа С\ > 0. В дальнейшем, ниже С; — положительные постоянные.

В работах [52 - 54] рассматривались смешанные задачи для параболического уравнения (0.1) в нецилиндрических областях. А именно, в [54] для первой смешанной задачи в предположении ограниченности сечений области плоскостями t = const получены оценки скорости стабилизации решения в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях. В работах [52, 53] В.И.Ушаковым в предположении, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость оценок, близких к приведенным выше для случая второй смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.

Оценка (0.8) совпадает с соответствующей оценкой для решения первой смешанной задачи для линейного параболического уравнения высокого порядка, полученной ранее в работе [37]. Отметим, что в работе [36] на основе принципа максимума при т = 1, то есть для линейного параболического уравнения второго порядка, получена равномерная оценка для ж^ПМ*,®)| < Г2ехр (-72^) 1Мк(П), 1 > Тз,и доказано, что она является точной по порядку стремления к нулю при Ь оо, в частности, для трубчатых областей вида [ж®]. Более подробный обзор работ по стабилизации решений параболических уравнений и систем можно найти в работах [8], [10], [21].

В случае же смешанных задач для параболических уравнений высокого порядка имеются оценки решения сверху, но нам не известны результаты, каким либо образом подтверждающие их точность.

В диссертации изучается поведение решений при t оо параболических уравнений четвертого и шестого порядков.

В работе изучается зависимость поведения при больших значениях времени Ьг(О) — нормы решения u(t,x) задачи (0.10)—(0.12) от геометрии неограниченной области Q. Требование ограниченности носителя начальной функции существенно, так как в противном случае скорость стабилизации решения зависит не только от области но и от начальной функции tp (см. [40]).

Отметим, что из (0.20) и (0.16) следует соотношениеНш тш<->оог=1)1?= оо,(0.23)/то есть экспонента в (0.21) стремится к нулю при Ь —> оо. В частности, для областей вида оценка (0.21) примет види2(^х)(1х < М^ехр , Ь >пгде М{, аналоги констант М\, «1, Т\ теоремы 1.

Оценка снизу установлена для областей с К выходами на бесконечность следующего вида. Если выбрать ось Ох\ направленной вдоль оси симметрии области О,, то каждый рукав имеет вид = г = 1,. Предг гполагается, что функции /,-, г = 1,., д — принадлежат классу С2[0, оо) и имеют ограниченную вторую производную.

Будем говорить, что область Г2[/] удовлетворяет условиям А), В) или С), если, соответственно:А) существуют положительные постоянные ф, Р такие, что для произ-^ вольной точки г = (¿,0) Е Ох\, в > Р, выполнено неравенствоз+р(з)/2Я I Т7ГТ >йгта-р{а)/2где р(в) — радиусы наибольших шаров В(р,г) с центром в лежащих водВ) существует положительная постоянная С такая, что/Г *> йСг Р<}{р) туС) существует положительное число сг такое, что/И > Р,где Рт{У) — радиус наибольшего шара, помещающегося в Г2Г[/].

14Очевидно, что условие С) будет выполнено, если функция /(г) монотонно возрастает.

Отметим, что в отличие от задачи с первым краевым условием (0.5), переход от уравнения (0.10) к уравнению более высокого порядка добавляетновые технические трудности, связанные с построением срезающей функции такой, чтобы пробная функция удовлетворяла необходимым краевым условиям. Мы ограничимся рассмотрением простейшего параболического уравнения шестого порядкащ = А3и (0.25)в цилиндрической области D при следующих краевых условиях:«(<>*) 1*600 = М*.®)1хевп = AMt,x)\xedn = 0 (0.26)и начальном условии (0.12).

Основные результаты диссертации опубликованы в [2 - 7].

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Фариту Хамзаевичу Мукминову за предложенную тематику исследований, полезные замечания, постоянное внимание к работе и поддержку.(0.34)1. Некоторые вспомогательные предложения1.1. Рассмотрим ряд функциональных пространств, необходимых для исследования уравнения 4-го порядка.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Биккулов, Ильгиз Мидехатович, 2004 год

1. Арефьев В.Н., Кондратьев В.А. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи для нелинейных параболических уравнений// Дифференц. уравнения. - 1993. - Т.29. - №12. - С.2104-2116.

2. Биккулов И.М. О стабилизации нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения б-го порядка / Ученые записки физико-математического факультета БГПУ. — Уфа. — 2002. — Выпуск 4. — С.34-48.

3. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения 4-го порядка / Труды междун. науч. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". -СамГАСА- Самара. 2002. - С.23-27.

4. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. — 2004 . — Т.195. — №3. —C.115-142.

5. Богоявленский О.В., Владимиров B.C., Волович И.В., Гущин А.К., Дрожжинов Ю.Н., Жаринов В.В., Михайлов В.П. Краевые задачи математической физики//Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стек-лова. 1986. - Т. 175. - С.63-102.

6. Вишик М.И. О краевых задачах для квазилинейных параболических систем и уравнений и о задачи Коши для гиперболических уравнений //Доклады АН СССР. 1961. - Т.140. - №5. - С.998-1001.

7. Галактионов В.А., Дородницын В.А., Еленин Г.Г., Курдюмов С.П., Самарский A.A.//Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М., 1986. - Т.28. - С.95-205.

8. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка//Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 1973. - Т.126. - С.5-45.

9. Гущин А.К. Некоторые свойства обобщенного решения второй краевой задачи для параболического уравнения//Матем. сб. — 1975. — Т.97(139). С. 242-261.

10. Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка//Матем. сб. — 1976. — Т.101(143). С.459-499.

11. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения//Матем. сб. — 1982. — Т. 119 (161). №4(12). - С.451-508.

12. Гущин А.К., Михайлов В.П., Михайлов Ю.А. О равномерной стабилизации решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка//Матем. сб. — 1985. — Т.128. — С. 147-168.

13. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности//Дифференц. уравнения. — 1988. — Т.24. — С.288-299.

14. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнений//Матем. сб. — 1965. — Т.67(109). — №4. — С.609-642.

15. Дубинский Ю.А.//Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. — М., 197G. Т.9. - С.5-130.

16. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Олейник O.A. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрической области//Матем. сб. — 1998. — Т.189. — №3. — С.45-68.

17. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений// Матем. сб. 1977. - Т.104(146). - С.597-616.

18. Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго поряд-ка//Успехи мат. наук. 1987. - Т.42. — №2. - С. 135-176.

19. Кожевникова JT.M. О классах единственности решения первой смешанной задачи для квазилинейной параболической системы второго порядка в неограниченной области//Известия РАН — 2001.— Т.65.— №3. С.51-67.

20. Кожевникова JI.M., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t оо решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка//Матем. сб. — 2000. Т. 191. - т. - С.91-131.

21. Кожевникова JI.M. Мукминов Ф.Х. Об убывании ^-нормы решения первой смешанной задачи для нелинейной системы параболическихуравнений в области с нерегулярной границей //Дифференц. уравнения 2002. - Т.38. - №8.—С. 1079-1084.

22. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. 408с.

23. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1961. — 217 с.

24. Ладыженская O.A. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения//Матем. сб. — 1950. — Т. 27(69).- С.175-184.

25. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967.- 736 с.

26. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — 576 с.

27. Ландис Е.М. О зависимости классов единственности решения второй начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в неограниченной области от геометрии области//Доклады АН СССР. — 1984.- Т.275. С.790-793.

28. Лаптев Г.Г. Априорные оценки и существование сильных решений полулинейных параболических систем//Дифференц. уравнения. — 1998.- Т.34. т. - С.518-522.

29. Лежнев A.B. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений второй смешанной задачи для параболического уравнения//Матем. сб. 1986. - Т.129. - №2. - С.186-200.

30. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.- М.: Мир, 1972. 575с.

31. Максимова Н.О. О единственности решений задачи Коши и краевых задач в неограниченных областях для некоторых классов квазилинейных вырождающихся параболических уравнений//Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1985. - Вып.11. - С.12-31.

32. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. - 392 с.

33. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка//Матем. сб. — 1980. — Т.111(153). т. - С.503-521.

34. Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка//Дифференц. уравнения. 1987. - Т.23. - №10. - С.1172-1180.

35. Мукминов Ф.Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения//Матем. сб. — 1990.- Т.181. №11. - С.1486—1509.

36. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для системы уравнений Навье-Стокса // Дис. докт. физ.-матем. наук, Москва: Матем. институт РАН, 1994. — 225 с.

37. Мукминов Ф.Х. О стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Дис. канд. физ.-матем. наук, Москва: МГУ, 1980. — 72 с.

38. Олейник О. А., Радкевич Е.В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений//Успехи мат. наук. — 1987. — Т.ЗЗ.- Вып.5. С.7-76.

39. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1964. — 272 с.

40. Порпер Ф.О. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с переменными коэффициентами//Доклады АН СССР. 1963. - Т.153. - С.273-275.

41. Порпер Ф.О., Эйдельман С.Д. Теоремы о близости решений параболических уравнений и стабилизация решений задачи Коши// Доклады АН СССР. 1975. - Т.221. - С.32-35.

42. Репников В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений//Доклады АН СССР. — 1964. — Т.157.- С.532-535.

43. Репников В.Д., Эйдельман С.Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши //Доклады АН СССР. — 1966, — Т. 167, №2, - С.298-301.

44. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — М.: Наука, 1988. — 478с.

45. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка// Дифферент уравения. 1989. - Т.25. - №3. - С.491-498.

46. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при £ —> оо решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка//Дифференц. уравнения. — 1991. — Т.27. — №10.- С.1795-1806.

47. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений//Укр. мат. журн. — 1992. — Т.44. №10. - С.1441-1450.

48. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводно-сти//Матем. сб. 1935. - Т.42(84). - С.199-216.

49. Ушаков В.И. О поведении решений третьей смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка при £ —> оо// Дифференц. уравнения. 1979. - Т.15. - С.310-320.

50. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области//Матем. сб.- 1980. Т.111(153). - С.95-115.

51. Черемных Ю.Н. О поведении решений краевых задач для параболических уравнений второго порядка при неограниченном возрастании ¿//Матем. сб. 1968. - Т.75(117). - С.241-254.

52. Эйдельман С.Д. Оценки решений параболических систем и некоторые их применения//Матем. сб. — 1954. — Т.ЗЗ. — С.57-72.

53. Andreucci D., Tedeev A.F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with noncompact boundary //J.Math.Anal.Appl.— 1999. V.231. - P.543-567.

54. Andreucci D., Tedeev A.F. Optimal bounds and blow-up phenomena for parabolic problems in narrowing domains // Proceeding of the Royal Soc. of Ed. 1998. - V.128. - №6. - P.1163-1180.

55. Galaktionov V.A., Levine H.A. A general approach to critical Fujita exponents and systems // Nonlinear Anal. TMA. — 1998. — V.34. — P.1005-1027.

56. Galaktionov V.A., Varquez J.L. Asymptotic behavior of nonlinear parabolic equations with critical exponents //J. Funct. Anal. — 1991. V.100. - №. P.435-462.

57. Gmira A., Veron L. Large time behaviour of the solutions of a semilinear parabolic equation in RN// J. Diff. Eq. 1984. - V.53. - №. - P.258-276.

58. Deng K., Levine H.A. The role of critical exponents in blow-up theorems. The sequal // J. Math. Anal. Appl. 2000. - V.243. - P.85-126.

59. Kamin S. On stabilisation of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations//Proc. Soc. Edinburgh, Sect. A. 1976. - V. 76. — №1. — P.43-53.

60. Moser J.A. Harnack inequality for parabolic differential equations //Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V.17. - M. - P.101-134.

61. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations //Amer. J. Math. 1958. - V.80. - P.931-953.

62. Tâcklind S. Sur les class quasianalytiques des solutions des equations aux derive és partielles du type parabolique//Nova Acta Reg. Soc. Schi. Uppsaliensis. Ser.4. - 1936. - V.10. - №3. - P.3-55.

63. Toupin R.A. Saint-Venant's principle//Arch. Rat. Mech. Anal. — 1965. — V.18. P.83-96.