Убывание на бесконечности решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Каримов, Руслан Халикович

• Каримов, Руслан Халикович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каримов, Руслан Халикович

Введение

1. Л - последовательности и их свойства

1.1. Неравенства.

1.2. Л - последовательности.

1.3. П - последовательности.

2. Задача Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений

2.1. Корректность постановки задачи Дирихле.

2.1.1. Существование решения.

2.1.2. Единственность и непрерывная зависимость решения от правой части уравнения.

2.2. Поведение решения на бесконечности.

2.2.1. Оценки сверху

2.2.2. Точность оценок.

3. Первая смешанная задача для квазилинейных параболических уравнений

3.1. Корректность постановки первой смешанной задачи

3.1.1. Единственность решения

3.1.2. Существование решения.

3.2. Убывание решения при t —> оо.

3.2.1. Допустимая скорость убывания решения

3.2.2. Оценки сверху.

3.2.3. Точность оценок Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Убывание на бесконечности решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях»

Работа посвящена фундаментальной проблеме изучения качественных свойств решений краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка в неограниченных областях. В частности, в диссертации исследуется поведение на бесконечности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в неограниченных областях Q С = {х = (жъ Х2, ■ • ■, жп)}, п > 2, и первой смешанной задачи для параболических уравнений в цилиндрических по временной координате областях D = {t > 0} х Данное направление весьма обширно и включает в себя целый класс задач. В настоящей работе для квазилинейных эллиптических уравнений при |х| —> оо и для квазилинейных параболических уравнений при t —» сю исследована скорость убывания решений рассматриваемых задач в зависимости от геометрии неограниченной области Q.

Обзор результатов по названным направлениям исследований будет проводиться в той последовательности, как они приведены выше. При этом работы других авторов не будут подробно цитироваться, поскольку это привело бы к неоправданному увеличению объема введения. Исключение могут составить лишь результаты, наиболее близкие к полученным в диссертации, когда необходимо привести их сравнение.

Изучением поведения на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений занимались O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян [49], Е.М. Ландис, Г.П. Панасенко [42], В.А. Кондратьев, И. Копачек, Д.М. Лекве-ишвили, O.A. Олейник [37], Л.М. Кожевникова [33], В.Ф. Гилимшина, Ф.Х. Мукминов [6] и другие.

В работе O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна [49] изучался вопрос о поведении на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих на той части границы области, которая принадлежит некоторой окрестности бесконечности, однородным условиям Дирихле, либо условиям Неймана, либо условиям периодичности. Получены априорные оценки, характеризующие поведение таких решений в областях с некомпактной границей при |х[ —» оо в зависимости от геометрических свойств области и поведения функции, стоящей в правой части уравнения, при |х| —оо. В частности, в работе [49] для области О С лежащей в полупространстве х\ > 0 с непустыми ограниченными при любом г > 0 сечениями 7Г = {х = (я^х') 6 ( х\ = г} установлено, что решение задачи Дирихле для уравнения п

Y^ (<м(х) иХр)Ха = Ф(х) (0.1) а,/3=1 с финитной функцией Ф(х) при любом г > Tq и е 6 (0,1) удовлетворяет оценке

J A(xi)u2dx. < J A{u)dx < Cexp i -(1 - г) J A 1^{x1)dx1 I , С > 0. ílrr+1 [ r/2 J n

Здесь A(g) = E o-ap{p^9xa9x0, = (x = ОъхО £ & I r < xi < a,/3=1

00 r + 1}, A(r) — измеримая на (0, oo) функция такая, что f A 1//2(r)dr = оо 1 и

О < А (г) < vA(r) = inf \J A(g)dx.' g(x) e J g2dx' = 1 I , r > 0.

V7r 7r )

JI.M. Кожевникова [33] получила оценки решений задачи Дирихле для уравнений высокого порядка в более широком классе областей с некомпактными границами и доказала их точность для областей вращения в случае уравнений второго порядка.

Имеется ряд работ (см., например, работы Е.М. Ландиса [41], Ю.В. Егорова, В.А. Кондратьева, O.A. Олейник [17], A.B. Иванова [20], A.A. Конькова [38]), в которых исследуется поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений и неравенств в неограниченных областях в зависимости от вида нелинейных функций, входящих в оператор.

Для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка

-1)1а| £>"а«(х, и, Du,., Dpu) = ^ р > 1,

Щ<р |а| <р а где Иа = -а = ., а-п), \а\ = +. + ап, в неограниченных областях с некомпактными границами А.Е. Шишковым, А.Ф. Тедеевым в работах [58], [62] установлены энергетические априорные оценки решений задачи Дирихле. На их основе доказываются альтернативные теоремы типа Фрагмена - Линделефа о поведении решений на бесконечности.

Каратеодориевы функции в*(х, £),<£ = (£(0), ., <£(г'} = (Ф), |а:| = г, удовлетворяют неравенствам

Мх.Й^а^^П а>0, ш> 0, а|<р |3|<р а\ =р \Щ=Р

В качестве геометрической характеристики неограниченной области С используется функция нелинейной частоты сечений ит{г): ит(г) = ц* | I IУ70|т+1Ж» Р(х) е I \д\т+Чз I , г > 0, гС'") J где — проекция \7д на плоскость, касательную к 7(г) (например, 7(г) = {х 6 | |х| = г».

Отметим, что автору настоящей работы не известны результаты для квазилинейных эллиптических уравнений, в которых исследуется зависимость поведения решений на бесконечности от геометрии неограниченной области.

В диссертации для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка получены оценки, характеризующие скорость убывания на бесконечности решения задачи Дирихле с финитными данными и установлена точность этих оценок в широком классе областей вращения.

А.К. Гущин положил начало изучению скорости убывания при больших значениях времени решений смешанных задач с начальной функцией, ограниченной в одной из Ьр - норм, для параболических уравнений в неограниченных областях. Для линейного параболического уравнения второго порядка в широком классе неограниченных областей в терминах простой геометрической характеристики v{r) = mes f2(r), Щг) = {х G ii | |x| < r} в работах [10], [12] A.K. Гущиным установлены точные оценки решений второй смешанной задачи.

Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t —> оо посвящены работы A.B. Лежнева [45], В.И. Ушакова [60], [61], Ф.Х. Мук-минова [47], [48], Л.М. Кожевниковой, Ф.Х. Мукминова [30], [32], И.М. Биккулова, Ф.Х. Мукминова [1], В.Ф. Гилимшиной [5] и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [29], [30]. Здесь остановимся лишь на некоторых результатах для квазилинейных параболических уравнений.

А.Ф. Тедеев [53] получил оценку сверху ¿2-нормы решения первой смешанной задачи для параболического квазилинейного уравнения вып

0.2) a,ß=l сокого порядка в дивергентной форме щ + (~1)р х, и, Du,., Dpu) = 0, р > 1, (t,x) G D.

Ц=р

0.3)

Здесь <%(£, х, £) — каратеодориевы функции, удовлетворяющие условиям 0, т>1, р |а|=р

Y, <%(«. х, t)&> > s £ iç^r1, s> о, щ=р n=p

И=Р для любого вектора £ - (£(°), £(*),., £&>)), = (¿*}), \а\ = г. Для решения (ограниченного при т > 1) уравнения (0.3) с граничным условием

Dau(t,x) 0, |а?| <р— 1; и начальным условием с финитной функцией </?(х) м(0,х) = </?(х), <р(х) Е £г(&) для I > 0 при г > Го установлена оценка г Го)р(Ш+1)1 1/(Р(™+1)-1)'

0.4)

0.5)

К^И^ВДг)) < Ciexp < -6i

0.6)

На основе неравенства (0.6) для т = 1 при достаточно больших t получена оценка

K£)IU2(ÎÎ) < Сгехр } -Ьг r2?(ty 1/(2р-1Г V, t

Здесь и ниже все константы (С*, Ьг и др.) положительны. Функция г(£), t > 0, определяется из равенства А2р-1(г)£2 = г2; А(г), г > 0, — первое собственное значение задачи Дирихле для оператора — А в О(г). Ранее, аналогичный результат для линейного параболического уравнения высокого порядка был получен Ф.Х. Мукминовым [48].

При т > 1 в работе [53] показано, что для ограниченного решения задачи (0.3), (0.4), (0.5) в области вращения

ОД = {(si,:>0 eRJai >0, М </(*!)} (0.7) с функцией f(xi) = xf, а > 0, при достаточно больших t имеет место неравенство

При этом положительный показатель а определяется постоянными n, а, т, р (точное значение не приводится).

А.Ф. Тедеевым в работе [56] для решения задачи ut + (-1)" Y1 Dpu\m-lD«u) = 0, р > 1, т > 1, (t, х) 6 .D, =р

0-8)

0.4), (0.5) при t > 0 установлены оценки сверху ыт^п) < СаГ13, п < р(т + 1); (3 = п{п(т - 1) + 2(m + ОД"1;

IKOIIm«) < «-(r"2)/3/r, n > p(m + 1), r > 2.

Следует отметить, что последняя оценка является тривиальной при г = 2. Поэтому можно ожидать, что она не является точной и при других значениях г.

J1.M. Кожевниковой, Ф.Х. Мукминовым [29] в широком классе областей с некомпактными границами в терминах двух геометрических характеристик Л (г), V\ (г) получена оценка решения первой смешанной задачи для слабо нелинейных систем и доказана ее точность. Сформулируем результат для полулинейного уравнения частного вида п ut=Y< Mt^)uXp)Xa-\u\(^u, q* > 1, (i,x) G D{f) = {t > 0 }xQ(/). a,/3=1

В широком классе областей вращения вида (0.7) для неотрицательного ограниченного решения задачи с неотрицательной ограниченной начальной функцией (х) для достаточно больших t справедливы неравенства

4х

С6 ехр I -Ь3 [ I < вир иН, х) < С? ехр -Ь4 [

I У /(ж) ) хещл •/

V 1 /

Здесь функция £ > 0. определяется из равенства Л(/?)£ = ] у/щ (г) йг. 1

В работе [57] для областей конкретного вида А.Ф. Тедеевым получены двусторонние оценки в равномерной метрике решения первой смешанной задачи многомерного уравнения пористой среды. В работах [54], [55] рассматривались вторая и третья смешанные задачи для квазилинейных параболических уравнений второго порядка и получены точные оценки скорости стабилизации решений при £ —> со. Отметим еще, что большое число работ посвящено исследованию скорости убывания решения задачи Коши для нелинейных параболических уравнений (см., например, [13] и имеющиеся там ссылки).

Основная идея из работы Ф.Х. Мукминова [47] получения оценки сверху решения первой смешанной задачи для линейного параболического уравнения в неограниченной области заключается в следующем. Сначала устанавливается оценка убывания решения по мере удаления на бесконечность области О. Затем, для фиксированного значения t, выбирается ограниченная часть области Г2 за пределами которой решение "пренебрежимо мало и в этой ограниченной части устанавливается оценка убывания решения по времени. В настоящей работе такой же метод применяется для квазилинейного уравнения.

В диссертации для квазилинейных параболических уравнений второго порядка получены оценки скорости стабилизации при больших значениях времени решения первой смешанной задачи с финитной начальной функцией и установлена точность этих оценок в широком классе областей вращения.

Прежде чем перейти к формулировке результатов диссертации введем некоторые обозначения. Через Г2 будем обозначать область пространства

Mn, n > 2. Положим: || • \\p}q — норма в пространстве LP{Q), причем значения р = 2, Q = Cl опускаются; MJ = {х Е Mn | х\ > 0}; S = {t > О}х0Г2; = {х е Шп | п < Ж! < r2}, = {х € q | п < хг < г2}, при этом значения ri = 0, Г2 = оо опускаются; = (ti, ¿2) х значения ¿1 = 0, ¿2 = оо могут быть опущены; 7r = {х £ | .-ci = г}; B(r,z) — шар радиуса г с центром в точке z, значение z = 0 опускается.

Для краткости изложения могут использоваться обозначения: (s,r) = f srdx, (£, 77) = f £ ■ rjdx, для функций s, г, rj со значениями в R, Rn, о о соответственно.

J1.M. Кожевниковой [34] для областей с некомпактными границами предложено понятие, называемое А-разбиением, которое позволяет получать точные оценки решений краевых задач для линейных эллиптических и параболических уравнений. Л-разбиение является обобщением понятия Л - последовательности, введенного ранее в работах [30] - [33], [35] для областей, расположенных вдоль выделенной оси Охi, где показано, что использование этой геометрической характеристики позволяет в ряде случаев устанавливать более сильные результаты, чем ранее известные. Следует отметить, что в работе [50] O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна авторы, по существу, использовали прототип такой последовательности для системы уравнений теории упругости. Однако, дальнейшего развития этот подход не получил. В настоящей работе техника А-разбиений адаптирована на некоторый класс квазилинейных операторов.

Предполагается, что неограниченная область Q С Шп представлена в оо виде объединения Q = \J последовательности вложенных Q,^ С n=0 ограниченных областей, удовлетворяющих следующим требованиям. Дополнения ^[^-Li) — распадаются наконечное число р(ло связных компонент i = l,p(W : i^jy-^ = [J u)jN\ N — l,oo. Пег=1 ресечения

N = 0,00, представляют собой конечное число липшицевых гиперповерхностей S^ = Q S^ (S^ ф 0 могут быть несвязными), г = 1 N = 1, 00.

Для множества С введем обозначение = т£ <

Определим векторы № = и А<"> = (А^\) формулами = ^где З}^ = ди™ П ^ 0, г = N = 1,оо. Будем предполагать, что существует число 9 > 0 такое, что выполняются неравенства

1 < >Г+\ г = 1^0, N = 17Б5. (0.10) оо

Описанное выше представление О. = У при выполнении нералг=0 венств (0.10) будем называть А-разбиением области О.

Для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси Ох\ (сечение 7Г не пусто и ограничено при любом г > 0), множества — можно определить с помощью неограниченной возрастающей последовательности положительных чисел {¿м}^-о- При этом последовательность называется А - последовательностью, а услооо вие (0.10) для разбиения О, — У О,** принимает вид

N=0

1 < 6>А(^-ъ AN = zN~ гя-и N = 17^, (0.11) где А(гьг2) = п < г2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каримов, Руслан Халикович, 2010 год

1. Виккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. - 2004. - Т. 195. -№3. - С. 115-142.

2. Вишик М.И. Краевые задачи для квазилинейных сильно эллиптических систем уравнений, имеющих дивергентную форму // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 138. - №3. - С. 518-521.

3. Вишик М.И. О краевых задачах для квазилинейных параболических систем и уравнений и о задачи Коши для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 140. - №5. - С. 998-1001.

4. Вишик М.И. Квазилинейные эллиптические системы уравнений, содержащие подчиненные члены // Докл. АН СССР. — 1962. Т. 144. -№1. - С. 13-16.

5. Гилимшина В. Ф. Об убывании решения неравномерно параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2010. - Т. 46 - №2. -С. 235-250.

6. Гилимгиина В.Ф., Мукминов Ф.Х. Об убывании решения неравномерно эллиптического уравнения // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. - Т. 74. - №6. - С.

7. Гладков А.Л. Задача Дирихле для некоторых вырожденных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Дифференц. уравн. 1993. - Т. 29. - С. 267-273.

8. Гущин А.К., Михайлов В. Л. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1971. - Т. 7. - №2. - С. 297-311.

9. Гущин А.К., Михайлов В. П. О стабилизации задачи Коши для параболического уравнения с одной пространственной переменной // Тр. МИАН. 1971. - Т. 112. - С. 181-202.

10. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка // Тр. МИАН. 1973. - Т. 126. - С. 5-45.

11. Гущин А.К. Некоторые свойства обобщенного решения второй краевой задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1975. -Т. 97(139). - №2(6). - С. 242-261.

12. Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1976. - Т. 101(143). - №4(12). - С. 459-499.

13. Дегтярев С.П., А.Ф. Тедеев А.Ф. Ь^ оценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Матем. сб. - 2007. - Т. 198. - №5. - С. 45-66.

14. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сб. 1965. - Т. 67(109). -№4. - С. 609-642.

15. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. 1976. - Т. 9. - С. 5-130.

16. Дубинский Ю.А. Нелинейные параболические уравнения высокого порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. 1990. - Т. 37. - С. 89-166.

17. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Олейник O.A. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Матем. сб. 1998. - Т. 189. — т. - С. 45-68

18. Иванов A.B. Неравенство Харнака для обобщенных решений квазилинейных параболических уравнения второго порядка //Тр. МИ АН СССР. 1967. - Т. 102. - С. 51-84.

19. Иванов В.А. Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и параболические уравнения второго порядка // Тр. МИАН СССР. 1982. - Т. 160. - С. 3-285.

20. Иванов A.B. Поведение ограниченных решений квазилинейных эллиптических уравнений // УМН. 2006. - Т. 61(372). - №6. - С. 7-8.

21. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз. — 1959. - 684 с.

22. Каримов Р.Х. Поведение при больших значениях времени первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Труды воронежской зимней математической школы С.Г Крейна 2008. - Воронеж: ВорГу. - 2008. - С. 143-152.

23. Каримов Р.Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений в областях с некомпактной границей // Труды международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Уфа: Гилем. - 2008. - С. 116-120.

24. Каримов Р.Х., Кожевникова JI.M. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем. жури. — 2010. — Т. 2. — №2. 53-66.

25. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. 2010. - Т. 201. - №9. - С. 3-26.

26. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях // Труды Седьмой Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара: СамГТУ. - 2010. - С. 140-143.

27. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Точные оценки решений квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченной области // Труды международной молодежной научной конференции "Лобачевские чтения 2010". - Казань: КФУ. - 2010. - С. 160-164.

28. Качуровекий Р. И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // УМН. 1968. - Т. 23. - №2. - С. 121-168.

29. Кооюевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при £ —* оо решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. 2000. - Т. 191. - №2. - С. 91-131.

30. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения // Матем. сб. 2005. - Т. 196. - №7. - С. 67-100.

31. Кожевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для квазиэллиптических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. - Т. 70. - №6. - С. 93-128.

32. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Убывание решения первой смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка смладшими членами // Фундамент, и прикл. матем. 2006. - Т. 12. - №4. - С. 113-132.

33. Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. 2008. - Т. 199. - №8. - С. 61-94.

34. Кожевникова Л.М. О существовании и единственности решений задачи Дирихле для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами // Уфимский матем. журн. 2009. - Т. 1. - Ш. - С. 38-68.

35. Кооюевникова Л.М. Стабилизация решений псевдодифференциальных параболических уравнений в неограниченных областях // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. - Т. 74. - №2. - С. 109-130.

36. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука. - 1989. - 623 с.

37. Кондратьев В.А., Копачек И., Ленвеншвим Д.М., Олейник O.A. Неулучшаемые оценки в пространствах Гельдера и точный принцип Сен-Венана для решения бигармонического уравнения // Тр. МИ-АН. 1984. - Т. 166. - С. 91-106.

38. Коньков A.A. Поведение решений эллиптических неравенств, нелинейных относительно старших производных // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. - Т. 71. - т. - С. 17-54.

39. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. — 1967. - 736 с.

40. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического тина. М.: Наука. - 1973. - 576 с.

41. Ланд ас Е.М. Оценка решения квазилинейного эллиптического уравнения в неограниченной области // Труды семинара имени И.Г. Петровского. 1983. - т. - С. 45-62.

42. Ландис Е.М., Паиасснко Г.П. Об одном варианте теоремы Фрагмена-Линделефа для эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1979. - №5. - С. 105-136.

43. Лаптев Г. Г. Априорные оценки и существование сильных решений полулинейных параболических систем // Дифференц. уравнения. — 1998. Т.34. - №4. - С. 518-522.

44. Лаптев Г. Г. Существование решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений в R2y без условий на бесконечности // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. - Т. 12. - №4. - С. 133-147.

45. Лежнев A.B. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1986. - Т. 129(171). - №2. - С. 186-200.

46. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. - 1972. - 596 с.

47. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. -1980. Т. 111(153). - Ш. -г С. 503-521.

48. Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - №10. - С. 1172-1180.

49. Олейник O.A. Иосифьян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптического уравнения второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб. 1980. - Т. 112(154). - №4(8). - С. 588-610.

50. Олейник O.A., Иосифъян Г.А. О единственности решения смешанной задачи для уравнений теории упругости в неограниченной области // УМН. 1976. - Т. 31. - №5(191). - С. 247-248.

51. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука. - 1990. - 448 с.

52. Солотьиков В.А. О дифференциальных свойствах слабых решений квазилинейных эллиптических уравнений // Записки научн. семинаров ЛОМИ. 1974. - Т. 39. - С. 110-119.

53. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравения. 1989. - Т. 25. - №3. - С. 491-498.

54. Тедеев А. Ф. Оценки скорости стабилизации при t —» оо решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27. -№10. - С. 1795-1806.

55. Тедеев А.Ф. Стабилизация решения третьей смешанной задачи для квазилинейных параболических уравнений второго порядка в нецилиндрической области // Изв. вузов. Математика. 1991. - №1. - С. 63-73.

56. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат. журн. -1992. Т. 44. - №10. - С. 1441-1450.

57. Тедеев А.Ф. Оценка скорости стабилизации решения первой начально-краевой задачи для уравнения пористой среды в неограниченной области // Матем. заметки. 1995. - Т. 57. - №3. - С. 473-476.

58. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. О качественных свойствах решений и субрешений квазилинейных эллиптических уравнений // Изв. вузов. Матем. 1984. - №1. - С. 62-68.

59. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. - 1980. - 496 с.

60. Ушаков В. И. О поведении решений третьей смешеанной задачи для параболических уравнений второго порядка при t —> оо // Дифферент уравнения. 1979. - Т. 15. - №2. - С. 310-320.

61. Ушаков В. И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области // Матем. сб. 1980. - Т. 111(153). - №1. - С. 95-115.

62. Шишков А.Е. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Сиб. матем. жури. 1987. - Т. 28. -№6. - С. 134-146.

63. Adams R.A. Sobolev space. New York: Academic Press. - 1975.

64. Alikakos N., Ro&tamian R. Gradient estimates for degenerate diffusion equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. -1981. V. 91. - №3. - P. 335346.

65. Aronson D. G. and Serrin J. Local behaviour of solutions of quasilmear parabolic equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1967. - V. 25. - P. 81-123.

66. Bernis F. Existence Results for Doubly Nonlinear Higher Order Parabolic Equations on Unbounded Domains // Math. Ann. 1988.- V. 279. P. 373-394.

67. Brezis H. Semilinear equation in RN without condition at infinity // Appl. Math. Optim. 1984. - V. 12. - P. 271-282.

68. Chiarenza F. M. and Serapioni R. P. Harnack inequality for degenerate parabolic equations / / Communications in Partial Differential Equations. 1984. - V. 9. - №. 8. - P. 719-749.

69. DiBenedetto E. Intrinsic Harnack type inequalities for solutions of certain degenerate parabolic equations // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1988. - V. 100. - №2. - P. 129-147.

70. DiBenedetto E. Degenerate Parabolic Equations. New York: Springer Verlag. - 1993.

71. DiBejiedetto E., Urbano J.M., and Vespri V Current issues on singular and degenerate evolution equations // Handb. Differ. Equ. 2004. - V. 1. - P. 169-286.

72. DiBenedetto E., Gianazza U., and Vespri V. Intrinsic Harnack estimates for nonnegative local solutions of degenerate parabolic equatoins // Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society. 2006. - V. 12. - P. 95-99.

73. Dun ford N., Schwartz J. Linear operators. Part I: General Theory. -New York: Interscience Publishers. 1958. - 858 p.

74. Gianazza U. and Vespri V. A Harnack inequality for a degenerate parabolic equation // Journal of Evolution Equations. 2006. V. 6.- №. P. 247-267.

75. Gianozza U. and Vespri V. Parabolic De Giorgi classes of order p and the Harnack inequality // Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2006. - V. 26. - №3. - P. 379-399.

76. Leray JLions J.L. Quelques résultats de Visik sur les problèmes elliptiques non lineaires par les methodes de Minty-Browder // Bull. Soc. Math. France. 1965. - V. 93. - P. 97-107.

77. Minty G. Monotone nonlinear operators is Hilbert space // Duke Math. 1962. -V. 29.'- P. 341-346.

78. Moser J.A. Harnack inequality for parabolic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V. 17. - №1. - P. 101-134.

79. Moser J.A. On Harnack's theorem for elliptic differential equations // Comm. Pure and Appl. Matt- 1961. - V. 14. - P. 577-591.

80. Oleinik O. Some Asymptotic Problems in the Theory of Partial Differential Equations //Cambridge Univ. Press. 1996. - 213 p.

81. Serrin J. Local behaviour of solutions of quasilinear elleptic equations 11 Acta Math. 1964. - V. 111. - P. 101-134.

82. Trudinger N.S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic partial differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1967. - V. 20. - P. 721-747.

83. Trudinger N.S. Pointwise estimates and quasilinear parabolic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1968. - V. 21. - P. 205-226.