Средние значения тригонометрических сумм в кольце гауссовых чисел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Сорокин, Павел Николаевич

• Сорокин, Павел Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сорокин, Павел Николаевич

Введение.

Глава 1. Теорема о среднем И.М. Виноградова в кольце гауссовых чисел.

§1. Вспомогательные утверждения.

§2. Основное рекуррентное неравенство.

§3. Формулировка и доказательство основной теоремы.

Глава 2. Оценка тригонометрической суммы Г. Вейля по гауссовым числам.

§1. Некоторые свойства суммы Г. Вейля по гауссовым числам.

§2. Лемма о пересечении областей.

§3. Оценка тригонометрической суммы Г. Вейля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Средние значения тригонометрических сумм в кольце гауссовых чисел»

Настоящая диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел. Первым стал рассматривать простейшие тригонометрические суммы Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя "суммы Гаусса":

Гаусс первый показал пользу тригонометрических сумм как средства решения задач теории чисел, в частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.

В дальнейшем тригонометрические суммы, правда гораздо более общего вида, стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, т.е. возможно более точной верхней границы их модуля.

Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной тригонометрической суммы: где <р(х) = апхп + ■ • • + сцх ~ многочлен степени п > 1с условием (ап, .,а1,Р) = 1.

Наилучшую оценку суммы (1) в общем случае дал Хуа JIo-кен. Он установил неравенство

Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка

1) роста правой части с возрастанием Р оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим.

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида

S = S(an,.,a1)= e2nlf{X)i

0<x<P

2) где f(x) = апхп+. .Ч-с^ж, и ап,., а\ — любые вещественные числа. Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2), дал Г. Вейль. Поэтому этим суммам присвоено название: "суммы Г. Вейля".

При оценке сумм Г. Вейля вводится величина J = J(P;n,/г), которая является числом целочисленных решений следующей системы уравнений xi + . + хк = ух + • • - + Ук, xf + . + х2к = у\ + . + yl

3) где 1 < xs < Р, 1 < у8 ^ Р, s = 1,., к. Имеет место равенство л

J = J(P-,n, к) = Г . f1

J о Jo e x=l

27Tif(x)

2 к da\. da n

Задача нахождения возможно более точной оценки сверху для J{P\ п, к) играет важную роль в различных вопросах аналитической теории чисел ([6],[13],[18],[26],[39]).

Разработанный И.М. Виноградовым в тридцатых годах двадцатого века метод оценок тригонометрических сумм Г. Вейля опирался на оценку величин типа |5(an,., cti)\2k ([9],[19]). Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней |5(о;п,., а\)\2к более простой оценкой интеграла

J(P] п, к) = [ . [ |5(an,.,Q;i)|2AdQfi.dan, Jo Jo т.е. оценкой этой суммы "в среднем"по всем ai,., ап, и поэтому теорему об оценке величины J(P; п, /г) носит название теоремы И.М. Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М.Виноградов неоднократно улучшал и уточнял эту теорему ([10]-[12],[14],[15]). Эти результаты позволили И.М. Виноградову добиться существенного продвижения в целом ряде задач аддитивной теории чисел и в теории дзета-функции Римана ([13],[17],[18]).

И.М. Виноградов получил асимптотически точную по Р оценку величины J(P] п, к) вида

ЛР-.п.кХР"-*?1 введенный И.М. Виноградовым знак " <С " означает, что если А(Р) <С В(Р), то |А(Р)[ ^ с\В(Р)\, где с > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от Р).

Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М.Виноградова занимался также Хуа JIo-кен ([38],[39]). В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм.

В 1942 году Ю.В.Липником было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р ([35],[37]). Другое р-а,дическое доказательство, т.е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А. Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода ([20]-[23]). В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теорема о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(P; п, к) при малых значениях к (см. работы А.А. Карацубы ([24],[25],[27]), С.Б. Стечкина [43], Г.И.Архипова [3], Г.И.Архипова и В.Н. Чубарикова [8], Г.И.Архипова и А.А. Карацубы [4], Г.И.Архипова, А.А. Карацубы и В.Н. Чубарикова ([5], [6]), В.З. Соколииского [40], О.В. Тыриной [45]).

Естественным продолжением данных исследований является обобщение этих результатов на комплексной плоскости и в полях алгебраических чисел.

В полях алгебраических чисел метод тригонометрических сумм оказался полезным при выводе асимптотических формул в аддитивных задачах варинговского типа с помощью кругового метода Харди-Литтльвуда-Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М. Виноградова. Первые исследования в этом направлении провел K.JI. Зигель в середине сороковых годов двадцатого столетия ([54],[55]). Эти исследования были продолжены Т. Татудзавой ([56],[57]) и О. Кернером [52]. В этих работах впервые получается теорема о среднем значении для тригонометрических сумм Г. Вейля в полях алгебраических чисел. После появления р-адического метода А.А. Карацубы доказательства теоремы о среднем значении, И. Еда ([50,[51]) получил теорему о среднем с параметрами, отвечающими результату И.М. Виноградова в случае поля рациональных чисел.

Отметим, что дальнейшее развитие метод тригонометрических сумм И.М.Виноградова получил в работах Ю.В.Линника [36], А. А. Карацубы ([23],[25],[26]), Н.М. Коробова ([31],[32]), Г.И. Архипова ([1]-[3]), С.Б. Стечкина [43], В.Н. Чубарикова ([46]-[49]), О.В.Тыриной ([44],[45]), И.М.Козлова ([28]-[30]) и др.

В настоящей диссертации продолжено изучение указанных проблем в кольце гауссовых чисел. В ней получена асимптотическая формула при Р —у оо для аналога интеграла И.М.Виноградова, то есть асимптотическая формула для количества решений следующей системы уравнений f

Ai + . + Хк = + ■ ■ • + fj-k, А? + . + A i = (i21 + . + lil AJ + . + Aг = ^ + + где неизвестные Ai,., A/^i, ., € Z[i], причем NAS = |Asj2 < P, N/is < P, s = 1,., k.

На основе этой асимптотической формулы получена оценка тригонометрической суммы Г. Вейля по гауссовым числам.

Асимптотическая формула является обобщением теоремы о среднем значении И.М.Виноградова и результатов О.В.Тыриной ([44],[45]) в поле рациональных чисел. Полученные результаты представляют собой частный случай двумерной теоремы о среднем значении ([1],[2],[6],[7]). Этот случай имеет дело с многочленами, степень которых по каждой переменной не превосходит п и, следовательно, этот многочлен имеет порядка п2 коэффициентов. Здесь же мы рассматриваем многочлен с комплексными коэффициентами и поэтому имеем 2 п независимых в вещественном смысле коэффициентов. В работе обобщается метод И.М.Виноградова при этих условиях. В случае, когда коэффициенты являются вещественными, полученный 3. результат практически совпадает с известными результатами И.М. Виноградова и О.В. Тыриной ([44],[45]).

Перейдем к подробному изложению результатов диссертации, которая состоит из введения и двух глав.