Спектральные свойства сингулярных дифференциальных операторов четвертого порядка в вырожденном случае тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сидельникова, Наталья Анатольевна

• Сидельникова, Наталья Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сидельникова, Наталья Анатольевна

Введение.

Исследование асимптотического поведения

Глава 1 фундаментальной системы решений уравнения 1{у) = Лу при 16 х -> оо. Индексы дефекта оператора L0.

1.1 Введение.

1.2 Преобразование уравнения (1.1).

1.3 Асимптотика решений уравнения (1.1) при х —> оо.

1.4 Исследование индексов дефекта оператора LQ.

1.5 Примеры.

Исследование асимптотического поведения

Глава 2 фундаментальной системы решений уравнения 1у = Лу при

Л е Г, Л —> оо.

2.1. Введение.

2.2. Асимптотика решений уравнений !у = Лу, при ^ ЛеГ,А->ао.

Глава 3 Асимптотика функции Грина.

3.1 Резольвента оператора L0.

3.2 Асимптотические формулы для функций asl (Л) при ^ ЛеГ,Л->оо.

Глава 4 Асимптотическое распределение собственных значений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные свойства сингулярных дифференциальных операторов четвертого порядка в вырожденном случае»

В теории сингулярных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с изучением спектральных свойств оператора в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Под спектральными свойствами понимают качественный и количественный характер спектра, индексы дефекта и спектральные асимптотики оператора.

Первые результаты, связанные с качественным исследованием спектра оператора Штурма-Лиувилля в зависимости от поведения потенциальной функции, были получены еще в начале XX века Г.Вейлем. Дальнейшие исследования в этом направлении были стимулированы развитием квантовой механики. Различные результаты как для оператора Штурма-Лиувилля, так и для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка и операторов в частных производных были получены в работах [1-17, 20-22, 24-26]. Дадим необходимые в дальнейшем определения.

Известно, что (см. [11]) самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами четного порядка имеет следующий вид где pj (jc) ,j = 0,n - вещественные функции.

Квазипроизводные функции у, соответствующие выражению 1у определяются формулами

1)

V["] = D (x\£y. VM-D (x\d у у PoW^y -PkK*)^ ^{y здесь k = \,n.

Из определения квазипроизводных непосредственно следует, что j [2л1

Мы будем считать, что выражение 1у имеет смысл для данной функции у, если все квазипроизводные у до (2я-1) -го порядка включительно существуют и абсолютно непрерывны в каждом конечном подынтервале [«,/?] интервала (а, Щ.

Рассмотрим линейное дифференциальное выражение

Ь=(-1)" у{1"]+EH* [pn-t M/'f (2) к=О V ) где рк{х)к = \,п - дважды непрерывно-дифференцируемые вещественные функции. Введем в рассмотрение пространство Ь2[х0,оо), (х0 >0). Дифференциальное выражение 1у, рассматриваемое на всех допустимых функциях у, определяет в этом пространстве оператор. Рассмотрим сужение этого оператора на множество всех финитных достаточно гладких функций, обращающихся в нуль при x>R,R> 0 (выбор R, вообще говоря, различен для различных у). Обозначим замыкание сужения указанного оператора через L0.

Оператор L0 называется минимальным оператором, порожденным дифференциальным выражением 1у в L2[x0,oo),[x0 >0). Сопоставим уравнению

1у = Лу (3) следующий многочлен по ju к=1

Уравнение

F(x,A,ju) = 0 (4) будем называть характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному выражению 1у. Система дифференциальных уравнений первого порядка

Y' = (Л(х)+М(х)), рассматриваемая на некотором промежутке [х0,оо),(х0 >0) называется L-диагональной, если матрица А является диагональной, причем ее элементы локально суммируемы, разность их действительных частей знакопостоянна, а все элементы матрицы М-суммируемые на [х0,со) функции.

Пусть L-симметрический оператор в гильбертовом пространстве Н, Л-произвольное комплексное число, причем такое что 1т Л Ф 0. Обозначим через Rx и R^ области значений операторов {Ь — Л1) и (Ь—Л1), где I-тождественный оператор. Очевидно, что Rx и подпространства Н, причем необязательно замкнутые.

Ортогональные дополнения NA=H-RA и N^=H—R^ называются дефектными подпространствами оператора L.

Известно, что при любом комплексном Л из верхней полуплоскости dim Na = dim Nt, dim N\ = dim Nt.

Положим т = dim Nf,k = dim Nt. Пара чисел (m,k) называется индексами дефекта симметрического оператора L.

Известно, ([11], стр. 202-203), что индексы дефекта оператора LQ, порожденного самосопряженным дифференциальным выражением с вещественно-значимыми коэффициентами, одинаковы (т,т) и удовлетворяют оценке п<т<2п.

Levinson [8], М.А. Наймарк [11], И.М. Рапопорт [12] и М.В. Федорюк [20] внесли большой вклад в развитие аналитических методов исследования индексов дефекта обыкновенных дифференциальных операторов. Основу этих методов составляет нахождение асимптотических формул при х —>+оо для фундаментальной системы решений уравнения 1у = Яу.

Заметим, что случай суммируемых коэффициентов хорошо изучен, и основную трудность представляет случай растущих коэффициентов дифференциального выражения 1у.

Изучению асимптотического поведения решений уравнений (3) при jc —> оо в случае одинакового роста корней характеристического уравнения (4) посвящен целый ряд работ [10, 11, 16, 20, 21].

Случай, когда корни уравнения (4) ведут себя при х—»оо по-разному: часть растет, часть убывает - называется вырожденным и является наиболее сложным.

В работе [l] рассматривалось дифференциальное выражение четвертого порядка в вырожденном случае l2y = - а (х°у)' + bxa~2y, а>2,аФ0 ,ЬфО - константы.

В статье [б] получены асимптотические формулы при х—>со уравнения 12у = Лу, где 12у = у^ -а{хау'} + Ъхру, при

Далее Э. Т. Титчмарш первым строго обосновал асимптотическую формулу распределения собственных значений полуограниченных операторов Штурма-Лиувилля и Шредингера. После работ Э. Т. Титчмарша, а также исследований Б.М. Левитана, усовершенствовавшего его метод, вопросам распределения собственных значений было посвящено значительное число работ. При этом в них не только совершенствовались методы исследования, но и значительно расширился класс рассматриваемых операторов. Вместе с оператором Штурма-Лиувилля рассматривались обыкновенные дифференциальные операторы произвольного порядка, операторы в частных производных.

В этих работах в качестве вспомогательных получены результаты об асимптотическом поведении решений уравнения (3) при Л-> оо по некоторым лучам или кривым в комплексной плоскости, асимптотике функции Грина оператора L0.

Изучению асимптотического поведения решений (3) при больших значениях параметра в случае одинакового роста корней характеристического уравнения (4) посвящены работы [3, 4, 16, 26].

Исследование вырожденного случая было проведено в статье [24] при условии, что коэффициент при неизвестной функции у в уравнении (3) равен нулю.

В настоящей работе мы рассматриваем минимальный дифференциальный оператор L0, порожденный в 1,оо) дифференциальным выражением четвертого порядка следующего вида ly = у1У -2[р(х)у')' + q(x)y ,\<х< +оо, (5) где p(x),q(x) -вещественные функции, причем р(х) не обращается в нуль для любого хе[1,оо), Я-комплексный параметр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сидельникова, Наталья Анатольевна, 2004 год

1. Аникеева Л.И. Об асимптотическом поведении решений уравненияверситета. Серия математической механики. 1976, №6. с. 44-52. 2. Аткинсон Ф.В. Дискретные и непрерывные граничные задачи.-М.: Мир.

2. Аленицын А.Г. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лицвилля в случае предельного круга.//Дифференциальные уравнения, 1976. т.12. №93. с. 428-437.

3. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве М.: Наука, 1966.

4. Белогрудь В.П., Костюченко А.Г. О плотности спектра оператора Штурма-Лиувилля.//Успехи математических наук.1973. т.28, №2 с. 227

5. Белогрудь В.П. Об одной тауберовой теореме.// Мат. зам. 1974. т. 15. №2. с. 187-190.

6. Белогрудь В.П. Асимптотика собственных значение неполуограничен-ных дифференциальных операторов.// Тр. Моск. энерг. ин-та. 1975. Вып. 260. с. 11-22.

7. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов.-М.: Наука 1963.

8. Devinatz A. The deficiency index of certain fourth-order ordinary self-adjoins differential operators.- Quart. J.Vath., 1972, 23№91, p. 267-286.

9. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений.-М.: Наука, 1979.Вестник Московского уни1968.228.

10. Костюченко А.Г., Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма-Лицвилля.//Функц. анализ и его приложения, 1967, т. 1, №1, с. 86-96.

11. Костюченко А.Г. Распределение собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов.// ДАН СССР. 1966. т. 168. №1-№2. с. 276-279.

12. Костюченко А.Г. Асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженных эллиптических операторов.// В кн. Четвертая матем. школа. Киев. 1968. с. 42-117.

13. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.:ИЛ, 1958.

14. Левитан Б.М. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов.//В.Сб.:Междунар. конгресс математиков в Ницце. 1970. М.: Наука. 1972. с. 145-157.

15. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М.-Л. Гостехиздат. 1950.

16. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию.-М.: Наука. 1970.

17. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.-М.: Наука, 1965.

18. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.-М.: Наука. 1969.

19. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений.// Киев: Из-во АН УССР. 1954.

20. Султанаев Я.Т. Асимптотика спектра сингулярных дифференциальных операторов в неопределенном случае.// Вестник Моск. ун-та. сер. матем., мех. 1975, №3. с. 21-30.

21. Султанаев Я.Т. Асимптотика спектра обыкновенных дифференциальных операторов в вырожденном случае.//Дифф. ур-я. 1992. т.18. №10. с. 1694-1702.

22. Султанаев Я.Т. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнения в вырожденном случае.// Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1988. Вып. 13. с. 36-55.

23. Султанаев Я.Т. Об асимптотике спектра дифференциального оператора в пространстве вект-функций.//Дифференциальные уравнения. 1974. т. 10. №9. с.1673-1683.

24. Султанаев Я.Т. Асимптотика дискретного спектра одномерных дифференциальных операторов.//Дифференциальные уравнения, 1974, т. 10, №11. с.2010-2020.

25. Султанаев Я.Т. Асимптотика дискретного спектра одномерных сингулярных операторов в неопределенном случае.//Изв. АН Каз. ССР, серия физ.-матем., 1975, №3, с. 86-88.

26. Садовничий В.А. Теория операторов.-М.: Высшая школа.1999.

27. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Мир. 1970.

28. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория.-М.: ИЛ. 1962.

29. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: Наука. 1983.

30. Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории одномерных сингулярных дифференциальных операторов.// Труды ММО. т. 15. 1966. с. 296-345.

31. Федорюк М.В. Асимптотика дискретного спектра оператора со"(х)-Я2р(х)со(х) .//Матем. сб., 1965, т. 68, №1, с. 81-110.

32. Eastham M.S.P, Grudniewicz C.G.M. Asymptotic theory and deficiency indices for the higher-order differential equations.//J.London Math. Soc. 1981. 2d ser. vol. 24. part 2. p. 256-271.

33. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений.-М.: Гос-техиздат, 1948.

34. Келдыш М.В. Об одной тауберовой теореме.//Тр. Матеем. ин-та АН СССР, 1951, т. 38, с. 77-86.

35. Жибер Н.А.(Сидельникова) Асимптотическое поведение решений дифференциального уравнения четвертого порядка при х -» +оо .//Тр. Межд. конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы», т. 3, Уфа, 2000, с. 91-95.

36. Жибер Н.А.(Сидельникова) Асимптотика решений обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка при больших значениях параметра.//Вестник БашГУ, Уфа, №1, 2001, с.9-14.

37. Сидельникова Н.А. Об индексах дефекта сингулярного дифференциального оператора, порожденного выражением ylv -2а{хау'^ + Ъх^у//Мат.зам. 2003. т. 73. ;1, с. 148-151.

38. Сидельникова Н.А., Султанаев Я.Т. Об асимптотике спектра дифференциального оператора четвертого порядка в вырожденном случае.//ДАН РАН, 2003, т.393, №2. с. 1-3.