Спектральные свойства неполуограниченного сингулярного дифференциального оператора четвертого порядка в пространстве вектор-функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Мякинова, Ольга Владимировна

• Мякинова, Ольга Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мякинова, Ольга Владимировна

Введение

1 Асимптотическое поведение фундаментальной системы решений уравнения 1у — Ху при х —> оо

1.1 Асимптотическое поведение фундаментальной системы решений уравнения 1у = Ху при х —> оо. Случаи „умеренного" вращения собственных векторов потенциальной матрицы

1.2 Асимптотическое поведение фундаментальной системы решений уравнения 1у = Ху при х —оо. Случай "быстрого" вращения собственных векторов потенциальной матрицы.

1.3 Индексы дефекта минимального дифференциального оператора Ьо

1.4 Теоремы о спектре самосопряженного вещественного расширения оператора

2 Асимптотическое поведение фундаментальной системы решений уравнения 1у = Ху при Л —> оо равномерно по х ТО

2.1 Асимптотическое поведение фундаментальной системы решений уравнения 1у = Ху при Л —» оо. Случай ,.быстрого вращения" собственных векторов потенциальной матрицы.

2.2 Об асимптотике спектра пеполуограничепного сингулярного дифференциального оператора четвертого порядка в пространстве вектор-функций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные свойства неполуограниченного сингулярного дифференциального оператора четвертого порядка в пространстве вектор-функций»

Одной из основных задач в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов является задача исследования их спектральных свойств: качественного и количественного характера спектра, индексов дефекта и спектральных асимптотик оператора в зависимости от поведения их коэффициентов. Систематическое исследование этих задач началось в начале XX века в работах [3]-[17], [24]—[31], [38]— [41]. Существенный вклад в развитие спектральной теории дифференциальных операторов внесли советские математики ([3]-[6], [9]-[15], [17]-[19], [24]—[35], [38]. [39|). Заметим, что в основном в этих работах исследовались скалярные дифференциальные операторы. Мы в нашей работе исследуем дифференциальные операторы в пространстве вектор-функций.

Дадим необходимые в дальнейшем определения.

Как известно, самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами четного порядка необходимо имеет вид: п

Ьу = ЕС-^Ср»-^)»'4)*4. к=О где р3(х), ] — 0,?г— вещественные функции.

Определение. Выражение рассматриваемое на конечном интервале (а, Ь) при условии, что коэффициенты ^^у, Р\{х), Р2(х),., рп(х) суммируемы во всем (а. Ь), называется самосопряженным регулярным дифференциальным выражением. В противном случае выражение 1\у называется сингулярным самосопряженным дифференциальным выражением.

Рассмотрим линейное дифференциальное выражение п

1У = (-1 )пУ{2п) + О < .т < оо,

А'=0 где Рк{х), к = 1,п - дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Дифференциальное выражение 1у, рассматриваемое на всех допустимых функциях у из пространства 1/2[0, оо). определяет в этом пространстве оператор Ь. Рассмотрим сужение этого оператора на множество всех финитных достаточно гладких функции, обращающихся в пуль при х > Я > 0 (выбор Я.

Введение 5 вообще говоря, различен для различных у). Обозначим замыкание сужения указанного оператора через Lq.

Определение. Оператор Lq называется минимальным дифференциальным оператором, порожденным дифференциальным выражением 1у в ^[0, оо).

Определение. Система уравнений

У = (Л(х) + М(х)) У, рассматриваемая на некотором промежутке [жо, оо), ^о > 0, называется L - диагональной, если матрица Л является диагональной, причем ее элементы локально суммируемы, разность их действительных частей знакопостоянна, а все элементы матрицы М - суммируемые па [xq, со) функции.

Пусть L - симметрический оператор в гильбертовом пространстве if, Л - произвольное комплексное число, такое что Irri(A) ф 0. Обозначим через R,\ и Rj области значений операторов L — XI и L — А/, где I - тождественный оператор. Очевидно, что R\ и Rj - подпространства в 77, не обязательно замкнутые. Ортогональные дополнения Аг\ = II — R\ и Nj = Н — Rj называются дефектными подпространствами оператора L.

Известно, что при любом комплексном Л из верхней полуплоскости dim N\ = dim 7VZ, dim Nj = dim N-t.

Положим m = dimTVj, I = dimiV7.

Пара чисел (га, Z) называется индексами дефекта симметрического оператора L. Известно ([24], с.202-203), что индексы дефекта оператора Lg, порожденного самосопряженным дифференциальным выражением с вещественнозначными коэффициентами, одинаковы (771. т) и удовлетворяют оценке: п ^ 777 ^ 2п.

Одним из методов, используемых для нахождения индексов дефекта оператора Lq, является метод исследования асимптотического поведения при х —» оо фундаментальной системы решений уравнения 1у — Ху. Этот метод берет свое начало в работах N.Levinson. Затем указанный метод был существенно усовершенствован в работах М.А. Наймарка [24], И.М. Рапопорта [25] и М.В. Федорюка [39].

В недавних работах P.C. Исмагилова и А.Г. Костюченко ([10], [11]), посвященных исследованию спектральных свойств пепонеограниченных дифференциальных операторов в пространстве вектор-функции, отмечено практическое отсутствие результатов об индексах дефекта таких операторов.

Формула асимптотического распределения собственных значений полуограппченных операторов Штурма-Лпувилля и Шредпнгера впервые была установлена Э.Т. Титчмаршем. После работ Э.Т. Титчмарша и Б.М. Левитана [17]-[18], усовершенствовавшего его метод, вопросам распределения собственных значений было посвящено значительное количество работ. При этом не только усовершенствовались методы исследования, но и расширился класс рассматриваемых операторов. Вместе с оператором Штурма-Лиувилля рассматривались обыкновенные дифференциальные операторы произвольного порядка. операторы в частных производных.

В настоящей работе мы рассматриваем минимальный дифференциальный оператор 1/о, порожденный в 1/2[0, оо) дифференциальным выражением следующего вида: у = уЦ) + (¡(х)у, 0^х< оо, у = (г/Д.т), у2(х)),

Цх) - вещественнозначная симметрическая матрица, собственные значения которой |/х,| —> со. при х —> оо.

Краткое содержание диссертации

Работа состоит из двух частей, связанных между собой исследованием спектральных характеристик дифференциального оператора.

Содероюание главы 1.

Введем следующие обозначения: / Ч 1 , <722 — $11 ф(х) = - агс!^ —-.

Назовем функцию ф'(х) скоростью вращения собственных векторов матрицы (¿(х).

Параграф 1 главы 1 настоящей диссертации посвящен исследованию асимптотического поведения при х —> оо фундаментальной системы решений уравнения

1у = Ху, 1тХ^0 (1.1.1) в случае, когда скорость вращения собственных векторов матрицы С}(х) ограничена.

Введем в рассмотрение всктор-столбец г = (у, у', у"у'") - Тогда уравнение 1у = А у можно записать в виде системы 1-го порядка г' = А{х, Х)г, где

А =

0 I 0 0

0 0 I 0

0 0 0 I

Я{х) + XI 0 0 0

Приводя к диагональному виду заменой = сИай" {СД, С/1, и{\ ио — Иги, получим систему

V)' = {и-1 Аи)ь) - и~] и'и), где и-1 ли = V

0 I 0 0

0 0 I 0

0 0 0 I

Л + Л/ 0 0 0 и 1и' = diag {р, р. р, р} , р = ф'

Поскольку в данном случае скорость вращения ограничена: < с, то "главными" будут элементы матрицы С/-1/1С/.

Введение

Известно [24], что матрица с элементами /

С:

Ш(х)-3/2 -ЫхГ3/2 -'W3/2 г]м(х)-3/2

Щ(Х)-1/2 (^))-1/2 ii-itoWyW-iilTHix))-1'2 -T2{x))l/2 -i(-Mx))1'2 ~(ЧМШ'2

Л^/2 ( приводит U~~lAU к диагональному виду:

C-lU~lAUC = Л = diag{/^}f=1 •

Справедлива следующая теорема:

Теорема 1.1.1. Пусть для достаточно больших х$ и при х > Xq выполнены условия: 1) < const, г, ^ = 1,2, с/.г* < оо. Г J а

A^t(g)

•сю

•O

-1/4

•оо 'Ж0

9/4, \ 5/4/ .

V () /V (з-О dx < ОО.

2) 0 3) Г f°° -Ш- dz< оо, / = 1,2. С |дф)Г . С = i = 1, 2, 0 < а < 5/4.

Тогда, система (1.1.1) имеет восемь линейно независимых решений ///(:/;, А), таких, что при х оо

2/i = Ws, AW {/(А - (í))1/4^! (1 + о(1)).

Введение 11 у2 = i>i{x, Х)ехр /(А - a¿i(í))1/4cí¿| (1 + о(1)), Уз = гМгг, Х)ехр |i /(Л - ^(t))1/4dt^ (1 + о(1)), 2/4 = Ф1{х, Х)ехр {-г /(Л - /^(t))1/^ j (i + 0(i)), У5 = Л)ехр |]\Х - /z2(í))1/4dí| (1 + о(1)), <ф2(х, Х)ехр f(X - /i2(0)1/4^] (1 + у7 = ф2(х, Х)ехр |г /(А - fi2{t))1/4dt j (1 + о(1)),

2/8 = ф2(х, А)ежр {-г/(Л - A/2(í))1/4d/| (1 + о(1)), где х / cos </>(:£ ) у^мя ^ sill ф(х sin

Случай, когда ф'(х) является быстрорастущей, т.е. рассматривается в теореме 1.2.1 главы 1.

Ф'{х) с,

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия: функции Цг(х) — —оо при х +оо, и существует хц, такое что для всех х >

Х0

1) \ц'г{;х)\ ^ Сг \/ц(х)\а, Сг = гопз/, г = 1,2. О < си < 5/4. г,.7 = 1,2. ОС, Г ^

1,х < оо, г = 1, 2. с1х < ОО, Г оо хо

V (ж)

1х < оо. Г оо ф"

Jx0 3/2, ч Нч (х)

4) ф'(х) /Л £

Тогда система 1(у) = Ат/ имеет восемь линейно независимых решений у](х. Л), таких, что при х оо х т}!4(И у1 = ф1{х,Х)ео (1 + о(1)),

2/2 = (ж, А)е° г/ т1/4^

Уз = Ф1{х1Х)ео (1 + 0(1)), У4 = ф2(х,Х)е о (1 + о(1)),

-/ /721/4Л

2/5 = Л)Г о (1 + 0(1)),

-/пМш

Ув = ф2(х,Х)е о (1 + о(1)),

-¡[т1/4М у7 = ф1{х.Х)е ь (1 + 0(1)).

-¡[ш1/4^ у8=ф2(х,Х)е Ь (1 + о(1)), 2

Поясним смысл условий теоремы. Условия 1), 3) означают, что функции Ц{(х) удовлетворяют условию регулярности роста Титчмарша-Левитана, функции \ц1{х)\ имеют определенный рост на бесконечности. Условие 2) означает, что собственные значения матрицы Я(х) растут "в одну силу". Четвертое условие означает, что рассматривается случай "быстрого вращения'' собственных векторов матрицы (¡(х).

Заметим, что в случае степенного роста функций « ха при х —► оо и степенного роста функции ф(х) ~ при х —> оо все эти условия выполняются, если а > 2, а < [3 < 1 + 5а/4.

Асимптотические формулы теорем 1.1.1 и 1.2.1 позволяют находить индексы дефекта минимального дифференциального оператора Ьц, порожденного дифференциальным выражением (1.1.1) в ряде частных случаев. Их исследованию посвящен параграф 3 главы 1.

Справедливы теоремы:

Теорема 1.3.1. Пусть выполнены все у словил теоремы 1.1.1.

Тогда

1)Если ^(х) —► +оо, г = 1,2, то индексы, дефекта оператора Ьо равны (4,4).

2)Если щ{х) —> —оо, г = 1,2, то индексы дефекта оператора Ьо равны (6,6).

3)Если цъ(х) +оо, —> —оо, — 1, 2, г ф j, то индексы дефекта оператора Ьо равны (5,5).

Теорема 1.3.2. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2.1. Тогда индексы дефекта оператора Ьо равны (4,4).

В четвертом параграфе даны приложения результатов §§1 — 3 к исследованию спектра самосопряженных расширений минимального дифференциального оператора и доказан ряд теорем:

Теорема 1.4.1. Пусть выполнены все условия теоремы 1.1.1. Тогда если щ —+оо, ¿ = 1,2 при х —» +оо, то спектр всякого самосопряэюенного расширения Ьа оператора Ьо дискретен.

Теорема 1.4.2. Пусть выполнены все условия теоремы, 1.1.1. Тогда если /1/ —► —оо, г — 1, 2 при х —+оо. то спектр всякого самосопряэюенного расширения Ьу оператора Ьо дискретен.

Теорема 1.4.3. Пусть выполнены все условия теоремы 1.1.2. Тогда если щ —■> — оо, г — 1, 2 при, х —> +оо. то спектр всякого самосопряженного расширения Lu оператора Lq дискретен. Содержание главы 2.

В §1 исследовано асимптотическое поведение фундаментальной системы решений уравнения 1у = Л у равномерно по х —> оо при Л —» сю по кривой Г. где в случае "быстрого" вращения. Доказана

Теорема 2.1.1. Пусть при, достаточно больших Xq и при х > .то выполнены условия:

1) \1л'г{х)\ ^ с\[1г{х)\а , с = const, г = ГД 0 < а < 5/4.

Тогда система 1(у) = А у имеет восемь линейно независимых решений у:/(т. А). для которых при Л £ Г, Л —сю имеют место асимптотические формулы, равномерные по х. О х < ос

Г = {Л = (т + ?'т, г = сг7, 0 < 7 < 1}

2) !™Ых)\~ф(1х<оо, J йтт Ci = const, г = 1,2.

2/1 = А)ео ги1/1^

1 + о(1)) с j т1/

2/2 = ^2(ж,Л)ео (l+o(l)), i]m{!4dt

Уъ = фх(х,\)ео (l + o(l)), fm1/4clt у4=ф2(х, X)e° (l + o(l)),

-fm^dt у5^ф1(х,Х)е о (l + o(l)),

-fm:/4dt у6 = ф2(х:\)е о (l + o(l)), X

-ij ml/4dt у1 = Ф1{х1Х)е о (l+o(l)), ж J1 Ul ' (it у8 = <ф2(х,Х)е о (l + o(l)), de Ф1 = sAn , = f 1 V г

I i / ' Vm (ж) m(s) - /il(r)+/;2(x"b2A.

В §2 построена функция Грина вещественного самосопряженного расширения оператора Ьи. Далее выводится асимптотическая формула для N(Lt Л) с помощью известной формулы Т. Карлемана для следа резольвенты. Здесь использована широко известная теория "R-функции" и тауберовых теорем. В результате установлена следующая

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены все условия теоремы 2.1.1, а также условия

Введение 1i

1) tn(x) ^ —c|a:|4/3+e, б > 0, с > 0, A2i aS(t) < tS(t)' < ßö(t), 0 < a < ß < 1, при больших |i|.

Тогда для функции N(X) - числа собственных знамений оператора Lq, не превосходящих X, имеют место асимптотические формулы N(t) ~ S(t).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20]. [22]. [23],[32]—[34] примыкающие к теме диссертации результаты — в [21]. Работы [32]—[34] выполнены совместно с Я.Т. Султапаевым. Из результатов этих работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично. Нумерация утверждений и формул в диссертации сплошная, трехиндексная. Например, теорема 1.2.3 означает, что эта теорема 1 из 2-го параграфа главы 1.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Я.Т.Султапаеву за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в работе.

2) Ах ^

S(-t) т

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мякинова, Ольга Владимировна, 2010 год

1. Аткинсои Ф.К. Дискретные и непрерывные граничные задачи. - М.: Мир, 1968. - 749 с.

2. Ахиезер Н.И . Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

3. Белогрудь В.П. Костюченко А.Г. О плотности спектра оператора Штурма-Лиувилля // Успехи матем. паук. 1973. -т. 28. - № 2. - С. 227-228.

4. Белогрудь В.П. Об одной тауберовой теореме // Матем. заметки. 1974. - т. 15. - № 2. - С. 187-190.

5. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений // Итоги пауки и техники, Серия "Мат. анализ." М.: 1977. - т 14. - С. 5-58.

6. Бонматов К.Х. Костюченко А.Г. Распределение собственных значении эллиптических операторов во всем прострапсгве // Тр. сем. им. И.Г.Петровского. М.:МГУ. 1976,- вып. 2. - С. 113-143.

7. Валеев Н.Ф. Спектральные свойства сингулярного дифференциального оператора Штурма-Лиувилля: Дне. канд. физ-мат. наук: 01.01.02/ БашГУ. 1996. 90 с.

8. Данфорд И., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. - 896 с.

9. Исмагилов P.C. Об асимптотике спектра дифференциального оператора в пространстве вектор-функций // Мат. заметки. 1971. - т. 9. - № 6. - С. 667-675.

10. Исмагилов P.C., Костюченко А.Г. Об асимптотике спектра неполуограничснного векторного оператора Штурма-Лиувилля // Функц. анализ и его прил. 2008. - т. 42. - № 2. - С. 11-22.

11. Исмагилов P.C., Костюченко А.Г. О спектре векторного оператора Шрёдингера // Функц. анализ и его прил 2007. - т. 41. - № 1. - С. 39-51.

12. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов. Дне. докт. физ-мат. паук: 01.01.02 / МГУ. М., 1966.

13. Костюченко А.Г. Асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженных эллиптических операторов //В кн.: Четвертая летняя математическая школа. Киев, 1968. С. 42-117.

14. Костюченко А.Г. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма-Лиувилля // Функц. анализ и его приложения. 1967. - т. 1. С.86-96.

15. Костюченко А.Г., Саргсян И.О. Распределение собственных значений (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы). М.: Наука, 1979. - 400 с.

16. Коддингтоп Э.А. Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:ИЛ, 1958. - 474 с.

17. Левитан Б.М. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов // Междупар. конгресс математики в в Ницце: Сб. научных статей / Наука. М, 1970.- С. 145-157.

18. Левитан Б.A4., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы). М.:Наука, 1970. - 671 с.

19. Любишкин В.А. Вычисление регуляризованного следа оператора Штурма-Лиувилля в случае предельного круга Вей-ля // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1981 - вып. 6.- С. 167-194.

20. Мякинова О.В. Об асимптотике спектра векторного сингулярного дифференциального оператора четвертого порядка // Вестник Башкирского университета. 2009. - Т. 14. -№ 4. - С. 1307-1309.

21. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. -М.: Наука, 1969. 526 с.

22. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнении. Киев.: Изд-во АН УССР, 1954. 287 с.26| Субханкулов М.А. Тауберовы теоремы с остатком. М.: Наука, 1976. - 399 с.

23. Султаиаев Я.Т. Двусторонняя тауберова теорема для отношений // Известия вузов. Математика. 1974. - № 1. - С.103.112.

24. Султанаев Я.Т. Об асимптотике спектра дифференциального оператора в пространстве вектор-функций // Диф. уравнения. 1974. - т. 10. - № 9. - С. 1673-1683.

25. Султанаев Я.Т. Об индексах дефекта и спектре неполуогра-ничснного оператора Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. -1984. т. 276. - № 5. - С. 1072-1074.

26. Султанаев Я.Т. Асимптотика дискретного спектра одномерных сингулярных операторов в неопределенном случае /7 Изв. АН Каз. ССР, Сер. физ=матем. 1975. - № 3. - С. 86-88.

27. Султанаев Я.Т. Асимптотика спектра сингулярных дифференциальных операторов в неопределенном случае // Вестник МГУ. Серия I. Математика. Механика 1975. - № 3. -С. 21-30.

28. Султанасв Я.Т., Мякииова О.В. Об индексах дефекта сингулярного дифференциального оператора четвертого порядка в пространстве вектор-функций // Матем. заметки. 2009 - т. 86. - № 6. - С. 950-953.

29. Султанаев Я.Т., Мякинова О.В. Об асимптотике спектра пеполуограничепного сингулярного дифференциального оператора четвертого порядка в пространстве вектор-функций // Доклады АН. 2010 - т. 432. - № 1. - С. 18-21.

30. Султанаев Я.Т. Спектральные свойства неполуограничен-пых обыкновенных дифференциальных операторов. Дис. докт. физ-мат. наук: 01.01.02 / Уфа., 1989. 220 с.

31. Тптчмарпт Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными зфавнепиями второго порядка. М.: Ин. лит. ч. 1, 1960. - 278 с. ч. 2. 1961. - 555 с.

32. Уиттекер Э.Т. Ватсои Дж. Н. Курс современного анализа. М.: ФМ. ч.2. 1963. - 516 с.

33. Федоркж М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1983. - 352 с.

34. Федорюк М.В. Асимптотаческие методы в теории одномерных сингулярных дифференциальных операторов // Труды ММО. 1966. - т. 15. - С. 296-345.

35. Eastham M.S.P., Grudniewicz C.G.M. Asymptotic theory and deficiency indices for the higher-order differential equations. -J.London Math. Soc. 1981. - 2-d ser. - vol.24, part 2. - pp. 256-271.

36. Heywood P. On the asymptotic distribution of eigenvalues // Proc. London К lath. Soc. 1954. - 4. - № 16. - pp. 456-470.