Спектрально-аналитические методы обработки данных и распознавания образов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Куликова, Людмила Ивановна

• Куликова, Людмила Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куликова, Людмила Ивановна

ВВЕДЕНИЕ.

I. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЧИСЛЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ

1.1. Обзор методов.

1.2. Классы задач.

1.3. Погрешность приближения.

И. ОБОБЩЕННЫЙ СПЕКТРАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД. КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ

2.1. Общие свойства.

2.2. Разложение информационной последовательности по системе ортогональных полиномов.

2.3. Модифицированные классические ортогональные базисы непрерывного аргумента.

III. Результаты и обсуждение

ОБРАБОТКА ДАННЫХ НАУЧНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ОБОБЩЕННЫМ СПЕКТРАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИМ

МЕТОДОМ.

3.1. Вывод и исследование аналитических соотношений в пространстве коэффициентов разложения, реализующих операции математического анализа над сигналами.

3.1.1. Аналитические зависимости для функциональных базисов одной переменной.

3.1.2. Вычисление производных сигналов в условиях высокочастотного шума.

3.1.3. Исследование меры обусловленности оператора дифференцирования для семейств ортогональных полиномов

3.1.4. Аналитические соотношения для функционального базиса сферических функций двух переменных. Аналитическое описание функций двух переменных по сферическим гармоникам.

3.2. Обработка данных магнитной энцефалографии

3.3. Использование обобщенного спектрально-аналитического метода в задачах анализа изображений и распознавания образов: выбор оптимальных условий аналитического описания контурных объектов.

3.4. Обработка микробиологического эксперимента

3.5. Применение предложенных алгоритмов в решении других прикладных задач.

IV. ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектрально-аналитические методы обработки данных и распознавания образов»

В настоящее время сформировалась устойчивая тенденция к увеличению размерности получаемых информационных массивов, росту структурной сложности регистрируемых сигналов и, наконец, неуклонно растет объем получаемых в ходе эксперимента данных. Встает остро вопрос быстрой и качественной обработки полученных массивов информации. В зависимости от задачи, проводится требуемая на данный момент обработка: математическая, статистическая, логическая и др., ведется анализ данных. Это ведет к постоянному поиску наиболее эффективных методов обработки полученных информационных последовательностей, усложнению имеющихся алгоритмов. Стремление преодолеть возникающие при этом трудности заставляет искать новые пути решения проблем обработки информации. Чаще всего подобная задача решается за счет качественного улучшения используемых технических средств: увеличения быстродействия и объема памяти вычислительных устройств. Это один из путей прогресса в этой области. Но существует другой путь, который не заменяет первый, но, используя одновременно оба подхода, можно достичь результатов более значимых. И этот путь - создание новых информационно-вычислительных технологий к решению фундаментальных и прикладных задач. Практика показывает, что комбинирование аналитических приемов и цифровых расчетов позволяет существенно повысить оперативность и достоверность обработки информационных массивов, а в целом, эффективность решения ряда задач [1-6]. Это достигается благодаря возможности использования преимуществ, как числовых расчетов, так и аналитических преобразований и выводов. Привлечение аппарата классических ортогональных базисов [1, 7-9] к решению задач аналитического описания информационных массивов обусловлено их замечательными аппроксимативными возможностями, которые позволяют по-новому организовать процесс обработки данных.

Используемый в данной работе обобщенный спектрально-аналитический метод (ОСАМ) [1] базируется на аппарате модифицированных классических ортогональных базисов. Он основан на переходе от исходного массива данных f(t) к новому (спектральному) представлению

0 = Z4ft(0, (1) 1 при этом базис q>i(t) адаптируется к сигналу, чтобы получить минимальную длину ряда N. Коэффициенты разложения, которые рассматриваются как спектральные признаки сигнала, рассчитываются по общей формуле ь

А = \ЯШ0р( t)dt (2) а с заданным весом pit).

Разложение информационной последовательности по системе ортогональных полиномов имеет четкое математическое обоснование, положения теории аппроксимации в гильбертовом функциональном пространстве полностью применимы к исследуемым сигналам.

Информационные массивы, получаемые от различных измерительных устройств: электрических, оптических, электронных датчиков и других регистрирующих систем будут воспроизводиться с ошибками и наложенными помехами различного происхождения. Поэтому процедура аналитического описания сигналов должна обладать высокой помехозащищенностью для снижения или исключения влияния помех на результаты аппроксимации. Аналитическая аппроксимация информационных массивов в виде отрезков ортогонального ряда с использованием классических ортогональных базисов достаточно естественна, так как при этом происходит приближение по методу наименьших квадратов, а повышение точности аппроксимации может достигаться как подбором наиболее подходящего ортогонального базиса из числа классических, так и вычислением новых членов разложения более высокого порядка. При этом наличие операции, интегрирования при вычислении коэффициентов разложения будет существенно снижать влияние помех.

Круг задач, где успешно применим ОСАМ, довольно широк, биомедицинские, микробиологические задачи, системы управления, навигации и распознавания образов, и другие теоретические и прикладные задачи, но он может существенно расшириться при более глубоком изучении свойств, возможностей обобщенного спектрально-аналитического метода. Цель работы

Целью данной работы является создание алгоритмов обработки информационных массивов путем адаптивного аналитического описания данных и исследование спектральных подходов с применением ортонормированных систем функций для решения задач обработки экспериментальных данных и распознавания образов. Основные задачи:

• Вывод и исследование аналитических преобразований в пространстве коэффициентов разложения, реализующих операции математического анализа над информационными массивами, с использованием ортонормированных базисов одной и двух переменных

• Реализация метода в решении прикладных задач:

- анализ и классификация данных магнитной энцефалографии;

- разработка алгоритма выбора оптимальных условий описания контурных объектов;

- обработка микробиологического эксперимента.

Научная новизна

• ОСАМ позволяет проводить полную обработку экспериментальных данных в пространстве коэффициентов Фурье. Определение точных аналитических соотношений между исходными коэффициентами разложения и коэффициентами, по которым определяются искомые параметры и характеристики, позволяет избежать многократных преобразований информации и воспроизведения данных в исходном виде. В данной работе пополнена математическая библиотека зависимостей для ряда распространенных действий (операции математического анализа) над сигналами для полиномов Лежандра и проведено исследование полученных аналитических соотношений. Проведены исследования по возможности и эффективности выполнения аналитического дифференцирования в условиях, когда на сигнал наложен шум. Показана устойчивость операции дифференцирования в рамках обобщенного спектрально-аналитического метода. Выведены аналитические соотношения в пространстве коэффициентов разложения сигналов, зависящих от двух переменных, для реализации некоторых математических операций над массивами данных. Реализован алгоритм описания данных магнитной энцефалографии с помощью функционального базиса сферических гармоник.

• Разработан алгоритм выбора оптимальных условий аналитического описания контурных объектов, выбора оптимальной системы координат при параметрическом описании контурных изображений, при решении задач анализа изображений и распознавания образов.

• Реализован алгоритм нахождения параметров системы, описывающей рост биомассы и потребление глюкозы в биологическом эксперименте.

Все основные результаты работы являются приоритетными. Практическая и теоретическая ценность

Результаты проведенных исследований могут быть использованы при решении задач обработки экспериментальных данных, полученных в ходе научных исследований в различных областях науки, распознавания образов и анализа изображений.

Разработанные подходы для обработки двумерных функций могут быть реализованы в задачах спектральной диагностики и классификации биомедицинских систем.

Разработан и внедрен в ИБФМ РАН диалоговый пакет программ сжатия и сглаживания данных микробиологических экспериментов и параметрической идентификации модели, описывающей рост биомассы и потребления субстрата.

Комплексы программ «Спектральный анализ, классификация и диагностика цифровых массивов» и «Спектральный анализ данных, поиск неточных периодов в системах "SpectralRevisor"» имеют свидетельства об официальной регистрации программы в Российском агентстве по патентам: №2004610405 от 10.02.04 и №2007611639 от 19.04.07.

По учебному пособию «Классические ортогональные базисы в задачах аналитического описания и обработки информационных сигналов», куда вошли результаты исследований, идет обучение студентов на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова и магистрантов ПущГУ. Пособие также представляет интерес для аспирантов, научных сотрудников и инженеров.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 34 научные работы [10-43], в том числе 1 учебное пособие, 2 свидетельства РОСПАТЕНТ об официальной регистрации программ, 10 статей в рецензируемых журналах, книгах и трудах конференций, тезисов докладов - 21. Апробация

Результаты исследований были доложены на межлабораторном семинаре Института математических проблем биологии РАН, а также представлены на следующих научных конференциях, симпозиумах, школах:

Международном коллоквиуме «Новые информационные технологии» (Москва, 1991); VIII, IX, XI, XII Всероссийских конференциях "Математические методы распознавания образов" (Москва, 1997, 1999, 2003, 2005); I Всероссийской конференции «Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях» («Спектр-2000») (Пущино, 2000); I Национальной конференции «Информационно-вычислительные технологии в решении фундаментальных научных проблем и прикладных задач химии, биологии, фармацевтики, медицины» (Москва, 2002); V International congress on mathematical modeling (Dubna, 2002); конференциях «Информационно-вычислительные технологии в фундаментальных и прикладных физико-математических исследованиях» (Москва, 2005, 2006); 1st International Conference on Mathematical Biology and Bioinformatics (Pushchino, 2006); XXV Межрегиональной научно-технической конференции «Проблемы эффективности и безопасности функционирования сложных технических и информационных систем» (Серпухов, 2006).

Структура и содержание работы

Диссертация изложена на 112 страницах машинописного текста и состоит из введения, 3 разделов, выводов и списка литературы. Список литературы состоит из 148 наименований. Работа содержит 3 таблицы, 28 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Куликова, Людмила Ивановна

выводы

1. Получены аналитические соотношения, реализующие алгебраические операции в пространстве коэффициентов разложения по ортонормированному базису Лежандра. Показана эффективность использования банка аналитических преобразований. Показана возможность аналитического дифференцирования сигналов в условиях высокочастотного шума.

2. Реализован алгоритм описания данных магнитной энцефалографии с помощью базиса сферических гармоник. Получены аналитические преобразования в пространстве коэффициентов разложения сигналов, зависящих от двух переменных, для реализации некоторых математических операций над массивами данных.

3. Реализован обобщенный спектральный подход в системе распознавания текста. Предложен алгоритм выбора оптимальной системы координат при параметрическом описании контурных изображений в задачах анализа изображений и распознавания образов.

4. Реализован алгоритм оптимального сжатия данных микробиологического эксперимента в рамках обобщенного спектрально-аналитического метода. Проведена параметрическая идентификация математической модели, описывающей рост биомассы и потребление глюкозы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куликова, Людмила Ивановна, 2007 год

1. Дедус Ф.Ф., Махортых С.А., Дедус А.Ф. Обобщенный спектрально - аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов. // М.: «Машиностроение», 1999, 357 с.

2. Kostarev S.A., Makhortykh S.A., Rybak S.A. Prediction and measurements of ground vibrations generated from tunnels built in water-saturated soil. In: Noise and vibration from high-speed trains, London, Thomas Telford, P. 397-422.

3. Махортых С.А., Панкратов А.Н. О спектральном разложении нерегулярных кривых. В кн. Доклады I Всероссийской конференции «Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях» («Спектр - 2000»), М.: Алеф, 2000, С.44-46.

4. Дедус Ф.Ф. Аналитическое представление экспериментальных данных и их обработка. Кибернетика и вычислительная техника. Вып.74, «Наукова думка», Киев, 1987.

5. Дедус Ф.Ф. Комбинированные цифро-аналитические методы обработки данных экспериментов. Материалы III международной школы по автоматизации научных исследований. Пущино, 1990, С.52-77.

6. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978, 276 с.

7. Бейтмен Г., Эрдейи Э. Высшие трансцендентные функции. Том 2. -М: Наука, 1966, 324 с.

8. Специальные функции // Под ред. Абрамовича и Стиган. М.: Мир, 1982, 245 с.

9. Дедус Ф.Ф., Куликова Л.И., Панкратов А.Н., Тетуев Р.К. Классические ортогональные базисы в задачах аналитического описания и обработки информационных сигналов. // Учебное пособие, Издательский отдел ВМиК МГУ, М., 2004,147с.

10. Махортых С.А., Дергузов А.В., Куликова Л.И., Панкратов А.Н. Спектральный анализ, классификация и диагностика цифровых массивов SpectMate. Свидетельство РОСПАТЕНТ об официальной регистрации программы №2004610405 от 10.02.04.

11. Махортых С.А., Куликова Л.И. Обобщенный спектральный подход в системах распознавания текстов (OCR). // Вестник компьютерных и информационных технологий. М., № 12, 2005, с.5-9.

12. Куликова Л.И., Дедус Ф.Ф., Махортых С.А. Обобщенный спектрально-аналитический метод в задачах обработки экспериментальных данных. // В кн. «Горизонты биофизики. От теории к практике (Научные исследования в наукоградах

13. Московской области)». Ответственный редактор чл.-корр. РАН Г.Р.Иваницкий. Пущино, 2003, С.56-62.

14. ДедусФ.Ф., Куликова Л.И., Махортых С.А., Назипова Н.Н., Панкратов А.Н, ТетуевР.К. Аналитические методы распознавания повторяющихся структур в геномах. // Доклады Академии наук, 2006, том 411, №5, С. 599-602.

15. Dedus F. F., Kulikova L. I., Makhortykh S. A., Nazipova N. N., Pankratov A. N., a Tetuev R. K. Analytical Recognition Methods for Repeated Structures in Genomes// Doklady Mathematics, Vol. 74, № 3, 2006, P. 926-929.

16. Куликова Л.И., Махортых С.А. Выбор оптимальных условий аналитического описания контурных объектов. // Электронный журнал "Исследовано в России", 2005, 144, С. 1501-1511,http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/144.pdf.

17. Куликова Л.И., Махортых С.А. Математические операции над двумерными сигналами в базисах сферических гармоник. // Электронный журнал "Исследовано в России", 2006, 60, С.598-608.http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/060.pdf.

18. Дедус Ф.Ф., Куликова Л.И., Махортых С.А., Назипова Н.Н., Панкратов А.Н, Тетуев Р.К. Обработка геномныхпоследовательностей в рамках ОСАМ // Вестник МГУ, 2007, №2, С. 12-16.

19. Dedus F.F., Kulikova L.I., Makhortykh S.A., Pankratov A.N. Adjustable spectral approaches for biological systems analysis. // V International congress on mathematical modeling, Dubna, September 30-0ctober 6, 2002, P. 193.

20. Biology and high Performance Computing Bioinformatics", Novosibirsk, Russia, July 12-15, 2006, P.55-57.

21. Kulikova L.I., Dedus F.F., Pankratov A.N., Tetuev R.K. Generalized spectral-analytical method in the problems of dynamic sistem investigation. // 1st International Conference on Mathematical Biology and Bioinformatics, M., 2006, P.216-217.

22. Дедус Ф.Ф., Куликова Л.И., Сулейменова Б.О. Вычисление производных высокого порядка зашумленных сигналов. // Доклады 1 Международной конференции «Математическая биология и биоинформатика», М.:МАКС Пресс, 2006, С. 206.

23. Дедус Ф.Ф., Куликова Л.И., Махортых С.А., Панкратов А.Н, Тетуев Р.К. Спектрально-аналитический метод в задачах математической биологии. // Доклады 1 Международной конференции «Математическая биология и биоинформатика», М.: МАКС Пресс, 2006, С. 175-176.

24. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функций. Полн. Собр. Соч. Т. 2-М.-Л., 1947, С. 151-235.

25. Чебышев П.Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов. 1853.

26. Бернштейн С.Н. Собр. Соч. T.l. -М., 1952, С. 105. Т.2. -М., 1954, С. 310.

27. Гончаров В.JI. Теория интерполирования и приближения функций. -М., 1954, 231 с.

28. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987, 253 с.

29. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972 198 с.

30. Бердышев В.И., Субботин Ю.Н. Численные методы приближения функций. Свердловск: Ср.-Урал. кн. изд-во, 1979, 215 с.

31. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985, 114 с.

32. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1975, 187 с.

33. Бердышев В.И., Петрак Л.В. Аппроксимация функций. Сжатие численной информации. Приложения. Екатеринбург, 1999,295 с

34. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980,194 с.

35. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976,211 с.

36. Рубинштейн Г.Ш. О равномерном приближении непрерывной функции с помощью рациональных дробей. // Успехи мат наук, 1960, т. 14, вып. 3, С. 232-234.

37. Петрак Л.В. Среднеквадратичное приближение функции многих переменных обобщенными рациональными дробями. // Алгоритмы приближения функций: Материалы по мат. Обеспечению ЭВМ. 1987, С. 89-106.

38. Галлагер Р. Теория информации и надежность связи. М., 1974, 231с.

39. Губер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. М.: ГИФМЛ, 1962, 201 с.

40. Худсон. Статистика для физиков. М.: Мир, 1970, 243 с.

41. Merriman М., Transactions of the Connecticute Academy of Arts and Science, 4, 1877.

42. Паплаускас А.Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега. -М., 1966, 264 с.63. .Daubechies I. Ten lectures on wavelets. Philadelphia: SIAM, 1992. (CBMS-NSF Region. Conf/ Ser. Appl. Math.).

43. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthogonal bases of L\R) //Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V.315. P.69-87.

44. Meyer Y. Wavelets and operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

45. Stromborg J.O. Modified Franklin system and higher order spline systems on R" as unconditional bases for Hardy spases // Conf. on harmonic analysis in honor of A. Zygmund, (Chicago, 1981). Wadsworth ets: 1983. V. 1, 2. P.475-494. (Wadsworth Math. Ser).

46. Daubechies I. Orthogonal bases of complectly supported wavelets // Commun. Pure. Appl. Math. 1998. V.46. P. 909-996.

47. Massopust P.R. Fractal Function, Fractal Surfaces and Wavelets. New York ets.: Acad. Press, 1994, 174 p.

48. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундамент, и прклад. математика. 1997. Т.З, № 4, С. 999-1028.

49. ДреминИ.М., Иванов О.В., Нечитайло А.В. Вейвлеты и их использование. // Успехи физических наук, Т. 171, №5, 2001, С. 465501.

50. Olshevetz М. М., Ustinin М. N., Nikonov I. A. Software for Digital Filmless Roentgenography. // Pattern Recognition and Image Analysis, 2006, Vol. 16, P. 23-25.

51. Derguzov A.V. and Makhortykh S.A. Spectral Analysis and Data Classification in Magnetoencephalography. // Pattern Recognition and Image Analysis, 2006, Vol. 16, No. 3, P. 497-505.

52. Гребенюк Д.Г. Полиномы наилучшего приближения, изд. Акад. наук УССР: Ташкент, 1960, 237 с.

53. Бабенко К.И. Основы численного анализа, М.: Наука, гл. ред. Физ.-мат. лит-ры, 1986, 744 с.

54. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций, изд. Акад. Наук, С.Петербург, серия 6, т.VII, 1859, С. 199-291.

55. Weierstrass К., Uber die analitische Darstellbarkeit sogenannter willktirlicher Funktionen reeler Argumente, Sitzungsber. Akad., Berlin, 1885, P.633-639.

56. Дедус Ф.Ф. Автоматизация аналитического представления и обработки результатов экспериментальных исследований. //Материалы I Международной школы по автоматизации научных исследований. Пущино, 1985, С.96-112.

57. Дедус Ф.Ф., Бикташев В.Н. Адаптивные численно-аналитические методы обработки данных биологического эксперимента, основанные на ортогональных разложениях. Отчет НИВЦ АН СССР. Per. номер 0187.0.066.494, 1991.

58. Никифоров А.Ф., Суслов С.К., Уваров В.Б. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. М.: Наука, 1985, 231 с.

59. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1968 278 с.

60. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.2. М.: Наука, 1975,259 с.

61. Гончаров В.Jl. Теория интерполирования и приближения функций. -М., 1954, 294 с.

62. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: 1960,197 с.

63. Ахиезер Н.И, Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М: Наука, 1965, 266 с.

64. Дедус Ф.Ф, Гальченко А.А, Малахов В.Н. и др. Разработка методов и аппаратуры помехоустойчивого преобразования информации. Отчет по НИР. Номер гос. регистрации 76047147. Пущино: НИВЦ АН СССР, 1982.

65. Дедус Ф.Ф. Аналитическое представление экспериментальных данных и их обработка. Кибернетика и вычислительная техника. Вып. 74. Киев: Наукова думка, 1987, С. 207-217.

66. Ф.Ф.Дедус, С.А.Махортых, М.Н.Устинин, А.Ф.Дедус Обобщенный спектрально аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов. // М.: «Машиностроение», 1999,357с.

67. Панкратов А.Н. Алгоритмические операции над ортогональными рядами в задачах обработки данных: Дис.канд. ф.-м. наук.- М.: 2004.

68. Тетуев Р.К, Дедус Ф.Ф. Классические ортогональные полиномы. Применение в задачах обработки данных. Препринт, Пущино, 2007, 60 с.

69. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.1. М.: Наука, 1986,123 с.

70. Васин В.В. Об устойчивом вычислении производной, ЖВМ и МФ, 1973, Т. 13, № 6, С. 74-79.

71. Демидович В.Б. Восстановление функции и ее производных по экспериментальной информации, Сб. «Вычислительная математика и программирование», VIII, М., изд. МГУ, 1967 197 с.

72. Долгополова Т.Ф. Конечномерная регуляризация при численном дифференцировании периодических функций, Мат. Зап. УРГУ, 1970,Т. 7, №4, С. 56-59.

73. Долгополова Т.Ф., Иванов В.К. О численном дифференцировании, ЖВМ и МФ, 1966, Т.6, №3, С. 37-49.

74. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. // М.: Наука, 1990, 272 с.

75. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т.1, M.-JI., Гостехиздат, 1951,476 с.

76. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 2001; 575 с.

77. Форсайт Дж, Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. -М.: Мир, 1980; 280 с.

78. ДжеффрисГ., СвирлсБ. Методы математической физики. М.: Мир, вып. 3, т. 3,345 с.

79. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на Евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974, 336 с.

80. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1991, 576 с.

81. Magnus W., Oberhettinger F. Formulas and Theorems of Mathematical Physics, 1949, P.54.

82. Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions,

83. Applied Mathematics Series, V. 55, Chapter 8.

84. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992,267 p.

85. Dedus F.F., Makhortykh S.A., Ustinin M.N. Application of the Generalized Spectral-Analytic Method in Information Problems // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 12, No. 4, 2002, P. 429-437.

86. Sarvas J. Basic mathematic and electromagnetic concepts of the biomagnetic inverse problem. // Phys. Biol., Vol. 32, N 1,1987, P. 11-22

87. Ю8.Устинин M.H., Махортых С.А., Молчанов A.M. и др. Задачи анализа данных магнитной энцефалографии. // В кн. Компьютеры и суперкомпьютеры в биологии. М.: Институт компьютерных технологий, 2002, С. 327-349.

88. Сычев В.В., Сухарев В.И., Устинин М.Н. Программное обеспечение для анализа данных магнитной энцефалографии. Тезисы, 5-я Пущинская конференция молодых ученых, 2001, С. 339.

89. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1969,480с.

90. Горелик A.JL, Скрипкин В.А. Методы распознавания. М.: Высш. шк., 1977 С. 204 с.

91. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976, 256 с.

92. Загоруйко Н.Г. Методы распознавания и их применение. М.: Сов. радио, 1972,167 с.

93. Патрик Э. Основы теории распознавания образов. М.: Сов. радио, 1980, 107 с.

94. Фу К.С. Последовательные методы в распознавании образов и обучении машин-М.: Наука, 1977. 178 с.

95. Фу К.С. Структурные методы в распознавании образов. М.: Мир, 1977, 204 с.

96. Kotel'nikov I.V. Algorithmic Models for Solving Pattern Recognition Problems // Pattern Recognition and Image Analysis, 1999. V. 9. № 1. P. 67-74.

97. Sergunin S.Yu., Kvashnin K.M., and M.I. Kumskov M.I. Image Representation in the Recognition Problem on the Basis of Symbol Marking of Its Singular Points // Pattern Recognition and Image Analysis, 2003. V. 13. № 1. p. 170-177.

98. Djukova E.V., Inyakin A.S., and Peskov N.V. Methods of Combinatorial Analysis in Synthesis of Efficient Recognition Algorithms // Pattern Recognition and Image Analysis, 2003. V. 13. № 2. P. 426.

99. Kober V.I., M. G. Mozerov, J. Alvarez-Borrego and I. A. Ovseyevich. Nonlinear Image Processing with an Adaptive Structural Element // Pattern Recognition and Image Analysis, 2003. V. 13. No. 3. P. 476.

100. Dedus F. F., Dedus A. F., Makhortykh S. A., Ustinin M. N. Generalized Spectral-Analytic Method and Algebraic Algorithms for Pattern

101. Recognition //Pattern Recognition and Image Analysis, 1999. V. 9. No. 4. P. 578-584.

102. Дедус Ф.Ф., Махортых C.A., Устинин M.H., Дедус А.Ф. Обобщенный спектрально аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов. // М.: «Машиностроение», 1999, 357с.

103. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций.- М.: Наука, 1985, 182 с.

104. Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Ванякин Е.А. Математическое моделирование процессов непрерывного культивирования с учетом гетерогенности микробных популяций,- Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1984,21с.

105. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.- М.: Наука, 1976, 286 с.

106. Печуркин Н.С., Терсков И.А. Автоселекционные процессы в непрерывной культуре микроорганизмов.- Новосибирск: Наука, 1975, 64 с.

107. Ш.Головлев E.JI. Биология сапрофитных бактерий: Дис. д-ра биол. наук.- Пущино, 1983, 385 с.

108. Перт С.Дж. Основы культивирования микроорганизмов и клеток. -М.: Мир, 1978, 232 с.

109. Monod J. Rhe Growth of Bacterial Cultures.- In Annual Review of Microbiology, 1949, V. 111, P.371-378.

110. Novick A., Szilard L. Txperiments with the Chemostat on Spontaneus Mutations of Bacteria. "Proceedings Nath. Acad. Sci. USA", 1950, V.36, P.78-81.

111. Гительзон И.И., Ковров Б.Г., Терсков И.А. О математическом описании процесса непрерывного культивирования микроводорослей.- Доклады АН СССР, 1965, №3, С. 692-695.

112. Иерусалимский Н.Д. Принципы регулирования скорости роста микроорганизмов.-В кн.: Управляемый биосинтез. М., 1966, с. 5-8.

113. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1982,207 с.

114. Айзерман М.А. Лекции по теории автоматического регулирования. М.: Издательство физ.-мат. литературы, 1958, 520 с.

115. Попов Е.П. Автоматическое регулирование. М.: Государст. издательство технико-теоретической литературы, 1956,296 с.

116. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975, 232 с.

117. Розенвассер Е.Н., Юсупов P.M. Чувствительность систем автоматического управления. М.: Энергия, 1969,256 с.

118. Кузьмин И.В. Оценка эффективности автоматических систем контроля и управления. Харьков: ХВКИУ, 1964, 197 с.

119. Sharma D., Issac В., Radghava G.P.S., Ramaswamy R. // Bioinformatics, 2004, V. 20, P. 1405-1412.

120. Korotkov E.V., Korotkova M.A., Kudryashov N.A. // Phys. Lett, 2003, №312, P. 198-210.

121. Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987,213 с.

122. Shannon С.Е. A Mathimatical Theory of Communication. // Bell Syst. Techn. J, 1948, V. 27, № 3, P. 379-423.

123. Lempel A., Ziv J. On the complexity of finite sequences. // IEEE Trans. Inform. Theory, 1976, V. 24, № 5, P.530-536.

124. Gusfield D. Algorithms on String, Trees, and Sequences. N.Y.: Cambridge Univ. Press, 1997, P.255-257.