Построение моделей корреляционно-спектральных характеристик методом аналитических разложений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Куликовских, Илона Марковна

• Куликовских, Илона Марковна
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Куликовских, Илона Марковна

Введение

1 Обзор существующих методов и средств построения моделей корреляционно - спектральных характеристик с помощью ортогональных разложений

1.1 Анализ существующих методов построения моделей корреляционно - спектральных характеристик с помощью ортогональных разложений.

1.1.1 Процедура построения ортогональных моделей с аппроксимативным подходом.

1.1.2 Процедура построения моделей обобщенным спектрально - аналитическим методом

1.2 Обзор существующих определений и приложений ортогональных многочленов и функций.

1.2.1 Определение и свойства ортогональных многочленов и функций.

1.2.2 Обзор существующих направлений развития и приложений теории ортогональных многочленов.

1.3 Обзор существующих математических систем анализа данных

1.3.1 Математические системы общего назначения.

1.3.2 Специализированные системы аппроксимативного анализа

Выводы и результаты

2 Описание ортогональных функций во временной и частотной областях 26 2.1 Описание ортогональных функций во временной области

2.1.1 Основные и дополнительные свойства ортогональных функ

2.1.2 Формы представления ортогональных функций и связанных с ними характеристик.

2.1.3 Фазовое представление ортогональных функций.

2.2 Описание ортогональных функций в частотной области.

2.2.1 Основные и дополнительные свойства преобразований Фурье ортогональных функций.

2.2.2 Формы представления преобразований Фурье ортогональных функций.

2.2.3 Фазовое представление преобразований Фурье ортогональных функций

2.3 Метод аналитических разложений.

2.3.1 Описание метода аналитических разложений.

2.3.2 Реализация метода аналитических разложений во временной области.

2.3.3 Реализация метода аналитических разложений в частотной области.

Выводы и результаты

3 Построение моделей корреляционно - спектральных характеристик с аналитическим подходом

3.1 Численно - аналитический алгоритм оценки коэффициентов разложения ортогонального ряда.

3.1.1 Описание численно - аналитического алгоритма.

3.1.2 Применение метода аналитических разложений при оценке коэффициентов разложения.

3.2 Аналитический подход к построению моделей

3.2.1 Описание аналитического подхода.

3.2.2 Применение метода аналитических разложений при вычислении коэффициентов разложения в рамках аналитического подхода.

3.3 Построение моделей корреляционных характеристик

3.3.1 Оценка КФ и производной КФ по параметрам модели

КФ и производной КФ.

3.3.2 Фазовое представление КФ.

3.4 Построение моделей спектральных характеристик.

3.4.1 Оценка спектра КФ и спектра производной КФ по параметрам модели КФ и производной КФ.

3.4.2 Фазовое представление спектра КФ.

Выводы и результаты

4 Анализ методических погрешностей построения моделей с аналитическим подходом

4.1 Погрешности оценки параметров модели

4.1.1 Обобщение алгоритма оценки параметра масштаба, гарантирующего минимум - миниморум погрешности приближения с помощью метода аналитических разложений

4.1.2 Погрешность оценки коэффициентов разложения при численно - аналитическом алгоритме

4.2 Погрешности оценки корреляционно - спектральных характеристик

4.2.1 Погрешность оценки спектра по параметрам модели КФ

4.2.2 Фазовые погрешности оценки корреляционных и спектральных характеристик

Выводы и результаты

5 Комплекс программ для анализа данных по корреляционно - спектральным характеристикам в рамках «Data Mining» 73 5.1 Описание комплекса программ.

5.1.1 Основные характеристики комплекса программ в рамках «Data Mining».

5.1.2 Структурная схема комплекса программ и ступенчатая платформа анализа данных.

5.1.3 Технология аналитической обработки и механизмы поиска скрытых закономерностей.

5.2 Описание основных программ.

5.2.1 Программа построения простейших ортогональных функций

5.2.2 Программы построения моделей КФ и спектра в простейших базисах.

5.2.3 Программа имитационного моделирования.

Выводы и результаты

6 Проведение исследований и решение прикладных задач с помощью разработанного комплекса программ

6.1 Обработка музыкальных сигналов.

6.2 Обработка фотоплетизмографических сигналов

Выводы и результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение моделей корреляционно-спектральных характеристик методом аналитических разложений»

В результате анализа различных технических объектов получают большой объем разнородных данных, требующих обработки для дальнейшего принятия решения. Часто поставленной задачей является проведение корреляционно - спектрального анализа данных, позволяющего исследовать поведение объекта во временной и частотной областях. Для этого необходимо представить анализируемые корреляционные и спектральные оценки как функционально-преобразованные исходные данные, а затем провести Pix всестороннее исследование через построение математической модели в виде параметрической модели. Необходимым требованием к построению такой модели является соблюдение основных свойств (условий нормировки) анализируемой характеристики - корреляционной функции (КФ) или спектра. Учитывая разнообразие объектов и порождаемых данных, целесообразнее строить их модель методом ортогональных разложений, инвариантным к виду анализируемой характеристики.

Применение метода ортогональных разложений в различных приложениях распространено достаточно широко, а процедура построения модели понятна и прозрачна. С ростом технического прогресса и развитием научных теорий возрастают и требования к получению конечного результата, а, следовательно, и этот метод нуждается в значительном усовершенствовании и доработке.

В данной работе рассмотрено одно из возможных развитий метода ортогональных разложений - метод аналитических разложений. Суть метода заключается в том, что все соотношения, связанные с ортогональными функциями - интегралы, производные, другие ортогональные функции, а также коэффициенты разложения ряда Фурье - выражаются через аналитические выражения, напрямую связанные с самими функциями. Такой метод дает возможность:

• работать в пространстве простейшей базисной системы функций, выражая «соседние»базисные системы через простейшую, и поставить вопрос о целесообразности применения множества базисных систем и выбора наилучшей системы;

• повысить точность и снизить временные и ресурсные затраты на построение моделей корреляционно - спектральных характеристик;

• оперировать пространством детерминированных функций (простейшей системой функций), анализируя при этом случайные функции (оценки корреляционно - спектральных характеристик).

С этой позиции наибольший интерес представляют классические ортогональные многочлены с варьируемыми параметрами ортогонального базиса, такие как многочлены Якоби и обобщенные многочлены Лагерра. В отличие от эмпирических ортогональных функций, широко развивающихся в последнее время, классические многочлены хорошо изучены и имеют явное аналитическое представление.

Получением и изучением классических ортогональных систем многочленов занимались такие ученые, как К.Г.Я. Якоби, A.M. Лежандр, Э.Н. Лагерр, П.Л. Чебышев, исследованию их свойств и развитию теории ортогональных многочленов посвящены работы A.A. Маркова, Р. Аски, Г. Сеге, Т. Чихара, В. Коэпфа, Ф. Марселиана, вопросы построения моделей на основе базисных систем функций рассматривались А.Ф. Романенко и Г.А. Сергеевым, Ф.Ф. Дедусом, И.И. Волковым, С.А. Прохоровым, В.И. Батищевым и другими учеными.

Применение метода аналитических разложений делает возможным создание комплекса программ в рамках методологии «Data Mining», используя аналитические модели для выявления скрытых закономерностей между различными наборами данных.

Работа выполнялась при финансовой поддержке гранта по программе «У.М.Н.И.К.» (Участник молодежного научно - инновационного конкурса) в 2010-2011 годах и позволила стать автору работы победителем областного конкурса «Молодой ученый»в номинации «Аспирант» в 2009 году.

Объектом исследования в диссертационной работе являются модели корреляционно - спектральных характеристик стационарных случайных процессов, построенные методом ортогональных разложений.

Предметом исследования в диссертационной работе является метод ортогональных разложений.

Целью диссертационной работы является повышение точности и снижение временных затрат при оценке корреляционно - спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

Методы, используемые в диссертации, основаны на положениях теории ортогональных многочленов, теории случайных процессов, теории аппроксимации, теории операционного исчисления, теории функций комплексной переменной, численных методах, методах интегрального представления и вычисления комбинаторных сумм.

Задачи диссертационной работы:

1. Анализ существующих подходов к оценке корреляционно-спектральных характеристик методом ортогональных разложений, направлений развития и приложений теории ортогональных многочленов, а также инструментальных средств для анализа данных.

2. Повышение точности оценки корреляционно-спектральных характеристик ортогональных рядов с помощью свойств и характеристик ортогональных функций.

3. Разработка подхода к построению ортогональных рядов для снижения временных и ресурсных затрат на оценку корреляционных и спектральных характеристик.

4. Разработка комплекса программ для оценки корреляционно - спектральных характеристик методом ортогональных разложений в рамках методологии систем «Data Mining».

5. Проведение имитационного моделирования для метрологического анализа разработанных методов и подходов и апробация комплекса при обработке реальных сигналов.

Научная новизна работы:

1. Разработан метод аналитических разложений для представления функциональных характеристик ортогональных функций, таких как производные и неопределенные интегралы, в виде конечного ряда через ортогональные функции.

2. Предложен численно-аналитический алгоритм к оценке коэффициентов ортогональной модели.

3. Приведено обобщение алгоритма оценки параметра масштаба на функции Сонина-Лагерра, гарантирующего минимум-миниморум погрешности приближения с помощью метода аналитических разложений.

4. Предложен аналитический подход к построению ортогональных рядов, основанный на методе аналитических разложений.

5. Получено фазовое представление корреляционно-спектральных характеристик в рамках аналитического подхода.

Практическая значимость работы:

1. Алгоритмы оценки параметров моделей корреляционно-спектральных характеристик, построенных методом аналитических разложений.

2. Технология аналитической обработки данных, основанная на методе ортогональных разложений.

3. Пространственная схема взаимодействия объектов.

4. Комплекс программ для построения моделей корреляционно - спектральных характеристик методом аналитических разложений в рамках методологии «Data Mining».

На защиту выносятся:

1. Метод аналитических разложений, позволяющий:

• представить функциональные характеристики ортогональных функций, такие как производные и неопределенные интегралы, в виде конечного ряда через ортогональные функции;

• получить аналитические модели корреляционно - спектральных характеристик, используя простейшие ортогональные базисы;

• снизить временные и ресурсные затраты при оценке коэффициентов разложения и фазового представления корреляционно - спектральных характеристик;

• получить обобщение алгоритма оценки параметра масштаба на функции Сонина-Лагерра, гарантирующего минимум-миниморум погрешности приближения.

2. Численно-аналитический алгоритм оценки коэффициентов разложения ортогональных моделей, позволяющий повысить ее точность.

3. Комплекс программ для оценки корреляционно - спектральных характеристик методом аналитических разложений в рамках методологии систем «Data Mining».

4. Результаты исследований разработанных методов и алгоритмов с помощью комплекса программ методом имитационного моделирования.

Результаты, полученные в диссертации, представлялись на Всероссийской межвузовской научно - практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании», Самара (2005, 2006, 2007, 2008, 2009); научно - технической конференции с международным участием «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении (ПИТ - 2006)», Самара (2006); Всероссийской научной конференции «Инновационные технологии в управлении, образовании, промышленности (АСТИНТЕХ - 2007)», Астрахань (2007); Международной научно - технической конференции «Проблемы автоматизации и управления в технических системах», Пенза (2007, 2008, 2011); Международном конгрессе студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспектива - 2007», Нальчик (2007); Межрегиональной научно - технической конференции «Информационные технологии в высшем профессиональном образовании», Тольятти (2007); Международной научно - технической конференции «Радиотехника и связь», Саратов (2007, 2009); Международной открытой конференции «Современные проблемы информатизации в анализе и синтезе технологических и программно - телекоммуникационных систем (СПИ - 2008)», Воронеж (2008); Международной молодежной научной конференции «XXXIV

Гагаринские чтения», Москва (2008); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара (2008); Международной научно - технической конференции «Методы, средства и технологии получения и обработки измерительной информации (ИЗМЕРЕНИЯ - 2008)», Пенза (2008); Международной научно -технической конференции «Проблемы и перспективы развития двигателе-строения», Самара (2009); Российской школы - семинара аспирантов, студентов и молодых ученых «Информатика, моделирование, автоматизация проектирования (ИМАП - 2009)», Ульяновск (2009); Международной конференции «Interactive Systems and Technologies: The Problems of Human-Computer Interaction», Ульяновск (2007); Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «X Королевские чтения», Самара (2009); Международной научно - практической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза (2009); Международной конференции «Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов (ИИИ - 2009)», Новосибирск (2009); Международной научно - практической конференции «Образование -инвестиции в успех», А л маты, Казахстан (2009); Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ - 2010)», Самара (2010).

Результаты диссертации опубликованы в 57 работах, из них: 2 монографии (в соавторстве), 3 публикации в журналах, рекомендованных ВАК, 32 работы в материалах и трудах Международных и Всероссийских конференций, 4 тезиса доклада, 3 свидетельства о регистрации программ, 6 отчетов о НИР, 7 электронных публикаций.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и трех приложений. Общий объем диссертации 132 страницы. Диссертация содержит 37 таблиц, 49 рисунков и список литературы из 167 названий.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Куликовских, Илона Марковна

Выводы и результаты

С помощью разработанного комплекса программ были решены задачи, связанные с обработкой музыкальных и медицинских сигналов:

1. Проведен частотный анализ работы синтезированных камертонов с прямоугольным, пилообразным и синусоидальным сигналами.

2. Оценена погрешность распознавания частот нот и их обертонов на диапазоне от суб-контр-октавы до третьей октавы включительно.

3. Произведена проверка работоспособности предлагаемых методов и а и лгоритмов в распознавании нотного состава отрывка музыкального произведения.

4. Проведен спектральный анализ фотоплетизмографических сигналов с целью диагностики состояния обследуемого.

Заключение

В результате выполнения диссертационной работы были решены поставленные задачи, и получены следующие результаты:

1. Проведен сравнительный анализ методов и программных комплексов ортогональных представлений корреляционно-спектральных характеристик. Показано, что дальнейшее улучшение качества ортогональных моделей связано с применением новых свойств ортогональных функций.

2. Разработаны алгоритмы, основанные па методе аналитических разложений, позволяющие:

• представить функциональные характеристики ортогональных функций, такие как производные и неопределенные интегралы, в виде конечного ряда через ортогональные функции;

• получить аналитические модели корреляционно - спектральных характеристик, используя простейшие ортогональные базисы;

• снизить временные и ресурсные затраты при оценке коэффициентов разложения и фазового представления корреляционно - спектральных характеристик;

• получить обобщение алгоритма оценки параметра масштаба, гарантирующего минимум-миниморум погрешности приближения, на базисные функции Сонина-Лагерра.

3. Предложен численно-аналитический алгоритм оценки коэффициентов разложения ортогональных моделей, позволяющий повысить ее точность.

4. Разработан комплекс программ для оценки корреляционно - спектральных характеристик методом ортогональных разложений в рамках методологии систем «Data Mining».

5. С помощью программного комплекса методом имитационного моделирования проведен метрологический анализ разработанных алгоритмов оценки корреляционно-спектральных характеристик.

6. Результаты исследований использовались при выполнении гранта по программе «У.М.Н.И.К.», а также внедрены в учебный процесс при подготовке специалистов по специальности 230102 - «Автоматизированные системы обработки информации и управления»в Самарском государственном аэрокосмическом университете, Саратовском государственном техническом университете, Пензенском государственном университете.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Куликовских, Илона Марковна, 2011 год

1. Автоматизированные системы аппроксимативного анализа случайных процессов/Под ред. С.А. Прохорова.— Самара: СГАУ, 2010.—26 с. http: / / www. ssau. ru/files/resources / sotrudniki / prohorov / prohorovautosystems.pdf

2. Батищев, В.И. Аппроксимационные методы и системы промышленных измерений, контроля, испытаний, диагностики/В.И. Батищев, B.C. Мелентьев,— М.: Машиностроение 1, 2007.—393 с.

3. Беидат, Дж. Основы теории случайных шумов: нер. с англ./Под ред. B.C. Пугачева/Дж. Беидат.—М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1965.—464 с.

4. Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных: пер. с англ./Дж. Беидат, А. Пирсол.— М.: Мир, 1989.—540 с.

5. Бендат, Дж. Измерение и анализ случайных процессов: пер. с ан-гл./Дж. Бендат, А. Пирсол—М.: Мир, 1974—463 с.

6. Бутвина, A.B. Выбор начальной точки процесса векторизации контурных изображений в задачах распознавания /A.B. Бутви-на//Математические методы распознавания образов (ММРО-11): доклады 11-й Всероссийской конференции.— М.: ВЦ РАН, 2003.—С. 260.

7. Ван дер Поль, Б. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа: пер. с англ./Б. Ван дер Поль, X. Бреммер.— М.: издательство иностранной литературы, 1952.—506 с.

8. Волков, И.И. Способ повышения точности аппроксимации корреляционных функций ортогональными функциями Jlareppa/И.И. Волков, С.А. Прохоров//ИВУЗов СССР «Приборостроение». 1974. -№7(XVII). - С. 66-72.

9. Геронимус, Я.Л. Теория ортогональных многочленов. Обзор достижений отечественной математики/Я.Л. Геронимус.— М.,Л.: Государственной издательство технико теоретической литературы, 1950.—164 с.

10. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведе-ний/И.С. Градштейн, И.М. Рыжик.-М.: ФИЗМАЛИТ, 1963.-1100 с.

11. Грибанов, Ю.И. Спектральный анализ случайных процессов/Ю.И. Грибанов, B.J1. Мальков.—М.: Энергия, 1974.—240 с.

12. Гульден, Я. Перечислительная комбинаторика: пер. с англ./Под ред. В.Е. Тараканова/Я. Гульден, Д. Джексон.— М.: Наука, 1990.—504 с.

13. Дедус, Ф.Ф. Классические ортогональные базисы в задачах аналитического описания и обработки информационных массивов/Ф.Ф. Дедус, Л.И. Куликова, А.Н. Понкратов, Р.К. Тетуев,- М.: МГУ, 2004.-141 с.

14. Дергузов, A.B. Анализ и идентификация функций, заданных на сфере /A.B. Дергузов, С.А. Махортых//Математические методы распознавания образов (ММРО-11): доклады 11-й Всероссийской конференции.-М.: ВЦ РАН, 2003.—С. 65-68.

15. Джексон, Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы: пер. с англ./Д. Джексон,— М.,Л.: Главное издательство иностранной литературы, 1948.—260 с.

16. Дженкинс, Г. Спектральный анализ и его приложения: пер. с. англ./Г. Дженкинс, Д. Ваттс.-Т.1-М.: Мир, 1971.-317 с.

17. Дженкинс, Г. Спектральный анализ и его приложения: пер. с. ан-гл./Г. Дженкинс, Д. Ватте-Т.2-М.: Мир, 1972,—288 с.

18. Дюк, В. Data Mining интеллектуальный анализ данных/В. Дюк/Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН.http://www.inftech.webservis.ru/it/database/datamining/ar2.html

19. Егорычев, Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм/Г.П. Егорычев.— Новосибирск: Издательство "Наука" Сибирское отделение, 1977.—287 с.

20. Калакутский, Л.И. Аппаратура и методы клинического мониторинга: учеб. пособие/Л.И. Калакутский, Э.С. Манелис.-М: Высш.шк., 2004.— 156 с.

21. Крянев, A.B. Математические методы обработки неопределенных данных /A.B. Крянев, Г.В. Лукин.-2-e изд., испр М.: ФИЗМАЛИТ, 2006 — 216 с.

22. Куликовских, И.М. Автоматизированная информационная система исследования обобщенных ортогональных многочленов Якоби/И.М. Куликовских, С.А. Прохоров/Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ от 14.08.09 г. Рег.№ 2009614285.

23. Куликовских, И.М. Автоматизированная система спектрально-корреляционного анализа методом ортогональных разложений «СКАН»/И.М. Куликовских, С.А. Прохоров/Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ от 24.07.09 г. Рег.№ 2009613943.

24. Лебедев, П.А. Диагностика функции сосудистого эндотелия у больных с сердечно-сосудистыми заболеваниями: методические указания/П.А. Лебедев, Л.И. Калакутский, С.П. Власова, А.П. Горлов.—Самара: СГАУ, 2004.-18 с.

25. Махортых, С.А. Компьютерные методы виброакустического прогноза/С. А. Махортых, А.Р. Гатина, С. А. Костарев, С. А. Ры-бак//Математические методы распознавания образов (ММРО-11): доклады 11-й Всероссийской конференции.- М.: ВЦ РАН, 2003.—С. 361364.

26. Махортых, С.А. Классификация биомагнитных данных и диагностика патологий /С.А. Махортых, P.A. Семечкин//Математические методы распознавания образов (ММРО-13): доклады 13-й Всероссийской конференции,- М.: ВЦ РАН, 2007.-С. 491-493.

27. Менде, У. Обобщение теоремы Винера-Хинчина/У. Менде, B.C. Гут-ников//Цифровая информационно-измерительная техника: межвуз. сб. науч. тр.-Вып. 12.-1982 -С. 3-7.

28. Прикладной анализ случайных процессов/Под ред. С.А. Прохорова. — Самара: СНЦ РАН, 2007.-582 с.

29. Прохоров, С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов/С.А. Прохоров-2-е изд., перераб. и доп.- Самара: СНЦ РАН, 2001.-380 с.

30. Прохоров, С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов/С.А. Прохоров — Самара: СНЦ РАН, 2001 —329 с.

31. Прохоров, С.А. Программный комплекс корреляционно спектрального анализа в ортогональных базисах/С.А. Прохоров, A.B. Графкин,— Самара: СНЦ РАН, 2005.-241 с.

32. Прохоров, С.А. Структурно спектральный анализ случайных процес-сов/С.А. Прохоров, В.В. Графкин - Самара: СНЦ РАН, 2010.-148 с.

33. Прохоров, С.А. Ортогональные модели корреляционно спектральных характеристик случайных процессов. Лабораторный практи-кум/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских.— Самара: СНЦ РАН, 2008.— 301 с.

34. Прохоров, С.А. Частотные характеристики ортогональных функций Сонина-Лагерра/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских//Вестник Самарского государственного технического университета. Физико-математические науки. 2007. - №2(15). - С. 123-127.

35. Прудников, А.П. Интегралы и ряды: в 3-х томах/А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Марычев.-T.l. Элементарные функции.-М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1981.—800 с.

36. Прудников, А.П. Интегралы и ряды: в 3-х томах/А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Марычев.-Т.2. Специальные функции.-М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1983.—752 с.

37. Прудников, А.П. Интегралы и ряды: в 3-х томах/А.-П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Марычев.-Т.З. Специальные функции. Дополнительные главы.-М.: ФИЗМАЛИТ, 2003.-688 с.

38. Пугачев, B.C. Введение в теорию вероятностей/В.С. Пугачев.— М.: Наука, 1968.-368 с.

39. Риордан, Дж. Комбинаторные тождества/Дж. Риордан.— М.: Физма-лит, 1982.-256 с.

40. Романенко, А.Ф. Аппроксимативный анализ случайных процессов/А.Ф. Романенко, Г.А. Сергеев.—М.: Энергия, 1974,—176 с.

41. Сато, Ю. Без паники! Цифровая обработка сигналов: пер. с яп. Селиной Т.Г./Ю. Сато.- М.: Додэка-ХХ1, 2010.-176 с.

42. Суэтин, П.К. Классические ортогональные многочлены: в 2-х то-мах/П.К. Суэтин.- М.: Наука, 1976.-Т. 1. -328 с.

43. Тихонов, A.A. Интегральные оценки исправности сложных систем по их обобщённым характеристикам/А.А. Тихонов//Математические методы распознавания образов (ММРО-11): доклады 11-й Всероссийской конференции.- М.: ВЦ РАН, 2003.-С. 451-453.

44. Тихонов, В.И. Выбросы траекторий случайных процессов/В.И. Тихонов, В. И. Хименко — М.: Наука, 1987—304 с.

45. Хемминг, Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров: пер. с англ./Р.В. Хемминг.— М.: Наука, 1972.—400 с.

46. Цветков, Э.И. Методические погрешности статистических измере-ний/Э.И. Цветков.— JI.: Энергоатомиздат, 1984.—144 с.

47. Цветков, Э.И. Основы теории статистических измере-ний/Э.И. Цветков.-2-е изд., перераб. и доп.- JL: Энергоатомиздат, 1982.-256 с.

48. Adzic, N. Jacobi polynomials in spectral approximation for shock layer problems/N. Adzic//Mat. Fak. Ser. Mat.-№ 25 (l)-Yugoslavia: Univ. u Novom Sadu Zb. Rad. Prirod, 1995.—pp. 53-65.

49. Aghigh, K. A survey on third and fourth kind of Chebishev polynomials and their applications/K. Aghigh, M. Masjed-Jamei//Appl. Math, and Comput.-2008.-jY2 1 (199).-pp. 655-662.

50. Akasaka, T. Noise estimation based on series expansion of orthogonal functions/T. Akasaka, T. Shimamura/Signal Processing (ICSP), 2010 IEEE 10th International Conference.-2010.—pp. 115-118.

51. Aim, Jeremy F. Time-Frequency analysis of musical instruments/Jeremy F. Aim, James S. Walker//SIAM Review. 2002.-№ 3 (44)-pp. 457-476.

52. Alhaidari, A.D. Evaluation of integrals involving orthogonal polynomials: Laguerre polynomial and Bessel function example/A.D. Alhaidari/Applied Mathematics Letters.-2007.—(20).—pp. 38-42.

53. Alvarez de Morales, Maria. A matrix Rodrigues formula for classical orthogonal polynomials in two variables/Maria Alvarez de Morales, L. Fernandez, Teresa E. Perez, Miguel A. Pinar//J. Approx. Theory-2009.-(157)-pp. 32-52.

54. Alvarez de Morales, Maria. On differential properties for multivariate orthogonal polynomials/Maria Alvarez de Morales, L. Fernandez, Teresa E. Perez, Miguel A. Pinar//Numeric Algorithms-2007.-(45)-pp. 153-166.

55. Alvarez de Morales, Maria. A semiclassical perspective on multivariate orthogonal polynomials/Maria Alvarez de Morales, L. Fernandez, Teresa E. Perez, Miguel A. Pinar//J. Comput. Appl. Math.-2008.-(214)-pp. 447456.

56. Anum Nuhu, Marnah. Spectral methods: orthogonal polynomials/Marnah Anum Nuhu.-CASA Seminar, 2007—54 pp

57. Assche, W. Some classical multiple orthogonal polynomials/W. Van Assche, E. Coussementr.—Department of Mathematics, Katholieke Universiteit Leuven.—32 pp.

58. Becker, Peter A. Spectral formation in X-ray pulsars and associated identities involving the Laguerre polynomials/Peter A. Becker/Journal of Mathematical Physics.-2007.—11 pp.

59. Birkhoff, George D. A theorem on series of orthogonal functions with an application to Sturm-Liouville series/George D. Birkhoff//Department of Mathematics, Harvard University.-1917.—pp. 656-659.

60. Bloom, T. New perspectives in univariate and multivariate orthogonal polynomials/T. Bloom, J. Geronimo, P. Iliev, D. Lubinsky, E. Saff-2010.-10 pp.

61. Buffat, M. An efficient spectral method based on an orthogonal decomposition of the velocity for transition analysis in wall bounded flow/M. Buffat, L. Le Penven, A. Cadiou-2008—26 pp.

62. Bultheel, A. Orthogonal rational functions and continued fractions/A. Bultheel, P. Gonzalez Vera, E. Hendriksen, O. Njastad.—13 p.

63. Chaggara, H. On linearization coefficients of Jacobi polynomials/H. Chaggara, W. Koeph//Applied Mathematics Letters.-2010.-(23).—pp. 609-614.

64. Chen, Y. A general algorithm for biorthogonal functions and performance analysis of biorthogonal scramble modulation system/Y. Chen, Zh. Tan/Wireless Sensor Network.-2010—(2).—pp. 199-205.

65. Coussement, J. Differential equations for multiple orthogonal polynomials with respect to classical weights: raising and lowering operators/J. Coussement, W. Van Assche.-9 pp.

66. Dattoli, G. Associated Laguerre polynomials: monomiality and biorthogonal functions/G. Dattoli, M. Migliorati/International Mathematical Forum.-2008.-J№ 19 (3).-pp. 901-909.

67. Deb, A. A new set of orthogonal functions and its application to the analysis of dynamic systems/A. Deb, A. Dasgupta, G. Sarkar//Journal of the Franklin Institute-2006 —(343).—pp. 1-26.

68. Deb, A. Triangular orthogonal functions for the analysis of continuous time systems/A. Deb, G. Sarkar, A. Senguptag.—Anthem Press, 2010.—200 pp.

69. Ditkowski, A. Computing derivatives of noisy signals using orthogonal functions expansions/A. Ditkowski, A. Bhandari, Brian W. Sheldon//Journal of scientific computing.-2008.-№ 3 (36).-pp. 333349.

70. Douak, Khalfa. On 2-orthogonal polynomials of Laguerre type/K. Douak/Internat. J. Math and Math. Sci.-1999.-№ 1 (22).-pp. 29-48.

71. Dunkl, Charles F. Some orthogonal polynomials in four variables/Charles F. Dunkl//Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA).-2008.—(4).—9 pp.

72. Ellis, D. Cross-correlation of beat-synchronous representations for music similarity/D. Ellis, C. Cotton, M. Mandel/Laboratory for Recognition and Organization of Speech and Audio, Dept. Electrical Eng., Columbia Univ. USA, NY, 2008.-15 pp.

73. Fan, H.-Y. Application of eigenkets of bosonic creation operator in deriving some new formulas of associated Laguerre polynomials/H.-Y. Fan, T.-T. Wang//Commun. Theor. Phys.-Chinese Physical Society, 2008 -№ 2 (50).—pp. 315-320.

74. Farooq, U. Smooth orthogonal decomposition for modal analysis of randomly excited systems/U. Farooq, B.F. Feeny//Journal of sound and vibration-2008.—(316).—pp. 137-146.

75. Fernandez, Lidia. Orthogonal polynomials in two variables as solutions of higher order partial differential equations/L. Fernandez, Teresa E. Perez, Miguel A. Pinar//J. Approx. Theory.-2011.-(163).-pp. 84-97.

76. Guo, Ben-Yu. Numerical integration based on Laguerre-Gauss interpolation/Ben-Yu Guo , Zhong-Qing Wang//Comput. Methods Appl. Engrg-2007.—(196).—pp. 3726-3741.

77. Guo, Ben-Yu. Composite generalized Laguerre-Legendre spectral method with domain decomposition and its application to Fokker-Planck equation in an infinite channel/Ben-Yu Guo, Tian-Jun Wang//Mathematics of computation.-2009.-№ 265 (78)—pp. 129-151.

78. Hill, J.B. Strong orthogonal decompositions and non-linear impulse response functions for infinite variance processes/J.B. Hill.-Dept. of Economics, Florida International University, 2010.—37 pp.

79. Ismail, Mourad E.H. Structure relations for orthogonal polynomials/Mourad E.H. Ismail//Pacific journal of mathematics-2009- № 2 (240).—pp. 309319.

80. Heath, W.P. Orthogonal function for cross-directional control of web forming processes/W.P. Heath//Automatica.-1996.-№ 2 (32).—pp. 183-198.

81. Hirashima, M. A new non-orthogonal decomposition method to determine effective torques for three-dimensional joint rotation/M. Hirashima, K. Kudo, T. Ohtsuki//Journal of Biomechanics.-2010.-(40).—pp. 871-882.

82. Ibrahim, F. Estimation of heart rate variability from peripheral pulse wave using PPG sensor/F. Ibrahim, N.A. Abu Osman, J. Usman, N.A. Kadri (Eds.)/Biomed06, IFMBE Proceedings . 2007.-(15).—pp. 325-328.

83. Jacobi, C.G.J. Gesammelte werke (6 band)/Herausgegeben von K. Weierstrass/ C.G.J. Jacobi.— Berlin: Verlag von G. Reimer, 1881-1891.

84. Koeph, W. Computer algebra algorithms for orthogonal polynomials and special functions/W. Koeph.-Department of Mathematics, University of Kassel, Kassel, Germany.—19 pp.

85. Knowledge discovery through Data Mining: what is knowledge discovery? -Tandem Computers Inc., 1996.

86. Koeph, W. A genetic formula for the values at the boundary points of monicclassical orthogonal polynomials/W. Koeph, M. Masjed-Jamei//Journal of

87. Computational and Applied Mathematics-2006- № 1 (191).—pp. 98-105.t /

88. Koeph, W. A generalization of Student's t-distribution from the viewpointspecial functions/W. Koeph, M. Masjed-Jamei//J Integral transforms and Special Functions-2006.- № 12 (17).-pp. 863-875.

89. Koeph, W. Two classes of special functions using Fourier transforms of some finite classes of classical orthogonal polynomials/W. Koeph, M. Masjed-Jamei//Proceedings of the American Mathematical Society.-2007.- №11 (135).-pp. 3599-3606.

90. Lampard, D.G. Generalization of the Winer-Khintchine-Theorem to nonstationary processes/D.G. Lampard//Journal of applied physics-1954.-№ 6 (25).-pp. 802.

91. Legendre, A.M. Traite des fonctions elliptiques te des intégrales euleriennes (3 tome)/A.M. Legendre.— Paris: Imprimerie de Huzard-Courcier, rue du jardinet, № 12, 1825-1828.

92. Maleknejad, K. Triangular functions (TF) method for the solution of nonlinear Volterra-Fredholm integral equations/K. Maleknejad, H. Almasieh, M. Roodaki//Commun Nonlinear Sci Numer Simulât 2010.-(15).—pp. 3293-3298.

93. Marcellan, F. Non standard orthogonal polynomials. Applications in numerical analysis and approximation theory/F. Marcellan//Rcvista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales.-2009.~ m 29 (117).-pp. 1-17.

94. Marcellan, F. When do linear combinations of orthogonal polynomials yield new sequences of orthogonal polynomials?/F. Marcellan, M. Alfaro, A. Pena, M.L. Rezola//Journal of Computational and Applied Mathematics.-2010.-(233).—pp. 1446-1452.

95. Marcellan, F. Generating new classes of orthogonal polynomials/F. Marcellan, A. Branquinho//International Journal on Mathematics and Mathematical Sceinces.-1996.-N5 19 (4).—pp. 643-656.

96. Marcellan, F. An electrostatic interpretation of zeros of Hermite-type orthogonal polynomials/F. Marcellan, A. Carrido//Communications in the Analytical Theory of Continued Fractions-2003 (11).—pp. 50-63.

97. Marcellan, F. On orthogonal polynomials with perturbed recurrence relations/F. Marcellan, J.S. Dehesa, A. Ronveaux//Journal of Computational and Applied Mathematics-1990 (30).—pp. 203-212.

98. Marcellan, F. Laguerre-type orthogonal polynomials: electrostatic interpretation/F. Marcellan, H. Duenas//International Journal of Pure and Applied Mathematics-2007.- (38).-pp. 345-358.

99. Marcellan, F. Electrostatic models for zeros of polynomials: old, new, and some open problems/F. Marcellan, A. Martinez Finkelshtein, P. Martinez//Journal of Computational and Applied Mathematics.-2007-(207).-pp. 258-272.

100. Marcellan, F. Orthogonality properties of linear combinations of orthogonal polynomials II/F. Marcellan, F. Peherstorfer, R. Steinbauer//Advances in Computational Mathematics-1997- (7).—pp. 401-428.

101. Masjed-Jamei, Mohammad. A basic class of symmetric orthogonal functions with six free parameters/M. Masjed-Jamei/J. Comput. Appl. Math.-2010.-~ № 1 (234).—pp. 283-296.

102. Masjed-Jamei, Mohammad. On rational classical orthogonal polynomials and their application for explicit computation of inverse Laplace transforms/M. Masjed-Jamei, M. Dehghan//Mathematical Problems in Engeneering.-2005.-jT2 2 (2005).-pp. 215-230.

103. Masjed-Jamei, Mohammad. On incomplete symmetric orthogonal polynomials of Jacobi type/M. Masjed-Jamei, W. Koeph//Integral transforms and Special Functions.-2010.-(21).-pp. 655-662.

104. Mathar, Richard J. Orthogonal basis functions over the binocular pupil/Richard J. Mathar//Baltic Astronomy.-2010.-(19).—21 pp.

105. Meigas, Kalju. Continuous blood pressure monitoring using pulse wave delay/Kalju Meigas, Rain Kattai and Jaanus Lass.-4 pp.

106. Minnan, Xu. Local measurement of the pulse wave velocity using Doppler ultrasound/Xu Minnan/Massachusetts institute of technilogy, Department of electrical engineering and computer science, 2002.-79 pp.

107. Mendes, R.S. Universal patterns in sound amplitudes of songs and music ganres/R.S. Mendes, H.V. Ribeiro, F.C.M. Freire, A.A. Tateishi, E.K. Lenzi/ arXiv:1012.0142vl physics.data-an], 2010.-4 pp.

108. Mirevski, S.P. On some fractional generalizations of the Laguerre polynomials and the Kummer function/S.P. Mirevski, L. Boyadjiev//Computers and Mathematics with Applications.-2010.-(59)-pp. 1271-1277.

109. Muller, M. Advanced. course computer science «Music processing»/M. Muller/Saarland University. Summer Term, 2010.11 pp.

110. Munoz, B. Design-based empirical orthogonal function model for environmental monitoring data analysis/B. Munoz, V.M. Lesser, F. Ramsey//Environmetrics.-2008.-(19).—pp. 805-817.

111. Narayan, Akil C. A Generalization of the Wiener rational basis functions on infinite intervals. Part I derivation and properties/Akil C. Narayan, Jan S. Hesthaven.—American Mathematical Society, 2009.-39 p.

112. Nenova, Bistra. An automated algorithm for fast pulse wave detection/Bistra Nenova, Ivo Iliev//INT. J. BIOAUTOMATION. -2010.-14(3).—pp. 203-216.

113. Normand, J.-M. Block orthogonal polynomials: II. Hermite and Laguerre standard block orthogonal polynomials/J.-M. Normand//J. Phys. A: Math. Theor.-2007.-(40).—pp. 2371-2405.

114. Odake, S. Another set of infinitely many exceptional (X/) Laguerre polynomials/S. Odake, R. Sasaki.-2009.—4 pp.

115. Olver, Frank W.J. NIST Handbook of Mathematical functions/Frank W.J. Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark-Cambridge University Press, National Institute of Standards and Technology, 2010.-967 p.

116. Petkovsek, Marko. Л = B/M. Petkovsek.-1997.-208 pp.

117. Polynomes Orthogonaux et Applications: lecture notes in mathematics: proceedings of the Laguerre Symposium held at Bar-le-Duc (édité par C. Brezinski, A. Draux, A.P. Magnus, P. Maroni et A. Ronveaux)/edited by A. Dold and B. Eckmann 1984. —584 p.

118. Quadrelli, R. On sampling errors in empirical orthogonal functions/R. Quadrelli, C.S. Bretherton, J.M. Wallace//Journal of climate.-2005.-(18).—pp. 3704-3710.

119. Razzaghi, Mohsen. On the applications of orthogonal functions in the mathematical modeling of biological processes/Mohsen Razzaghi//AIP Conf. Proc-2008.—(971).—pp. 285-293.

120. Randall, David A. Empirical orthogonal functions/David A. Randall-2000.—pp. 65-68.

121. Rose, F. The correlation between time and timbre/F. Rose, J. Kapuscinski/CIM09. 2009 - pp. 148-149.

122. Sasaki, R. Exceptional Laguerre and Jacobi polynomials and the corresponding potentials through Darboux-Crum transformations/R. Sasaki, S. Tsujimoto, A. Zhedanov//J. of Physics A: Mathematical and Theoretical-2010.—(43).—20 pp.

123. Shen, J. Some recent advances on spectral methods for unbounded domains/J. Shen, Li-Lian Wang//Communications in computational physics.-2009.2-4 (5).-pp. 195-241.

124. Simon, B. Fine structure of the zeros of orthogonal polynomials: a progress report/B. Simon//Contemporary mathematics.-2010.- (507).—pp. 2412542.

125. Sorjamaa, Antti. Time series prediction as a problem of missing values: application to ESTSP2007 and NN3 competition benchmarks/A. Sorjamaa, A. Lendasse.—Helsinki University of Technology, Finland, 2007.—6 pp.

126. Spicer, Paul E. Semi-classical Laguerre polynomials and a third order discrete integrable equation/Paul E. Spicer, Frank W. Nijhoff//J. Phys. A: Math. Theor.-2009.-№ 42 (454019).-9 p.

127. Steinhaus, S. Comparison of mathematical programs for data analysis (Edition 4.42)/S. Steinhaus.-Germany, Miinchen, 2004.—67 p.

128. Steinhaus, S. Comparison of mathematical programs for data analysis (Edition 5.04)/S. Steinhaus.-Germany, Miinchen, 2008.—64 p.

129. Szego, G. Orthogonal polynomials/ G. Szego.—Rhode Island: American Mathematical Society Providcnce, 1939.—431 p.

130. Totik, V. Orthogonal polynomials/V. Totik//Surveys in Approximation Theory.-2005.-N-' 1 (2005).-pp. 70-125.

131. Vinet, L. A «missing» family of classical orthogonal polynomials//J. of Physics A: Mathematical and Theoretical-2011.—(44).—16 pp.

132. Wang, Tian-Jun. Composite Laguerre-Legendre Pseudospectral Method for Exterior Problems/Tian-Jun Wang, Ben-Yu Guo//Commun. Comput. Phys.-2009.-№ 2-4 (5).-pp. 350-375.

133. Zhang, Man-Lian. Evaluation of global modeling of M(3000)F2 and hmF2 based on alternative empirical orthogonal function expansions/Man-Lian Zhang, Chunxu Liu, Weixing Wan, Libo Liu, Baiqi Ning//Advances in Space Research.-2010.-(46).—pp. 1024-1031.

134. Zhang-Meng, Liu. Generalized wideband cyclic MUSIC/Zhang-Meng Liu, Zhi-Tao Huang, Yi-Yu Zhou/Article ID 539727, doi: 10.1155/2009/539727//EURASIP Journal on Advances in Signal Processing. 2009.-(2009).—8 pp.