Вариационно-асимптотические методы построения неклассических моделей расчета однослойных и многослойных стержней и пластин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Бутенко, Юрий Иванович

• Бутенко, Юрий Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бутенко, Юрий Иванович

Введение

Глава 1. Плоская задача теории упругости для прямоугольной области из ортотропного материала

§1. Вариационная постановка задачи плоской теории упругости.

§2. Определение основного напряженного состояния (внутренняя задача).

§3. Решение задачи погранслоя для полосы.

§4. Условия существования затухающих решений.

§5. Использование условий существования затухающих решений для получения краевых условий внутренней задачи.

§6. Вариационный подход к разделению краевых условий.

§7. Упрощенный вариант получения краевых условий внутренней задачи.

Глава 2. Трехмерная задача теории упругости ортотропного тела

§ 1. Вариационная постановка трехмерной задачи теории упругости.

§2. Определение основного напряженного состояния пластины (внутренняя задача).

§3. Решение задач погранслоев для симметричной задачи пластины.

§4. Решение задач погранслоев для задачи изгиба пластины

§5. Статические краевые условия.

§6.Краевое условие шарнирного опирания (заданы рх, ру ,wz).

§7.Краевое условие шарнирного закрепления (заданы рх, ,vi

§8. Краевое условие свободного защемления (заданы uIt py,wx).

§9. Краевое условие жесткого защемления (заданы u£> v^w^).

§10. Построение теории расчета пластин с точностью 8.

§11. Анализ уравнений изгиба пластин по модели Тимошенко-Рейсснера и уточнение краевых условий классической теории изгиба пластин

Глава 3. Плоская задача теории упругости для многослойных ортотропных сред.

§1. Краткий обзор литературы по использованию аналитических методов исследования многослойных сред

§2. Вариационная постановка плоской задачи теории упругости для многослойных сред.

§3. Основное напряженное состояние плоской задачи для многослойных

§4. Плоский погранслой и принцип Сен-Венана.

§5. Краевые условия внутренней задачи расчета многослойных сред.

§6. Определение основного напряженного состояния трехслойной плоской задачи с "мягким" средним слоем.

§7. Решение задачи погранслоя для многослойной пластины.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационно-асимптотические методы построения неклассических моделей расчета однослойных и многослойных стержней и пластин»

В современной технике составными элементами большинства конструкций являются однослойные и многослойные стержни, пластины и оболочки. Усложнение условий их работы, применение материалов со сложными физико-механическими свойствами привело к необходимости изучения возможности использования старых моделей расчета в новых условиях, уточнения их погрешности и обоснования построения новых неклассических моделей расчета, которые позволяют проводить расчеты с необходимой точностью.

Геометрия стержней, пластин и оболочек характеризуется тем, что в них одно из измерений резко отличается от двух других. Так, для стержней (балок) один из размеров (длина) значительно больше двух других, относящихся к поперечному сечению, а для пластин и оболочек один размер (толщина) на много меньше двух других. Это обстоятельство накладывает свой отпечаток на методы их расчета. Решение задачи трехмерной теории упругости при расчете стержней и пластин должно строиться в узкой области по поперечной координате и в протяженной области по остальным координатам. Поскольку нахождение точного аналитического решения соответствующей трехмерной задачи сопряжено с почти непреодолимыми трудностями, были предложены различные прикладные методы сведения трехмерной задачи теории упругости к двумерным уравнениям теории пластин и оболочек, которые, следуя обзорам С.А. Амбарцумяна [10] и A.JI. Гольденвейзера[74], можно подразделить на:

1. метод гипотез,

2. точные методы решения (метод разложений по толщине),

3. асимптотические методы.

Конечно, это деление можно считать условным, так как асимптотические методы исследования можно применять и к первым двум группам методов.

По И.И.Воровичу [59] все методы приведения делятся на две группы. К первой группе относятся исследования, в которых дается регулярный процесс замены решения трехмерной задачи теории упругости рядом двумерных, которые позволяют решить задачу с любой необходимой точностью. Ко второй группе относятся исследования, которые позволяют сразу заменить исходную задачу двумерной (метод гипотез). Первый и второй методы исследования начали развиваться с самого начала становления теории пластин и оболочек, а асимптотические методы интенсивно развиваются с шестидесятых годов прошлого столетия.

Первые последовательные исследования в теории пластин с помощью разложения перемещений в степенной ряд по поперечной координате были выполнены Коши и Пуассоном. Однако основные результаты в развитии теории пластин и оболочек были связаны с методом гипотез Бернулли-Эйлера-Кирхгофа-Лява. Вопросу построения теории расчета однослойных и многослойных пластин и оболочек из изотропного и анизотропного материалов и решению многих весьма важных прикладных задач посвящено большое число монографий и отдельных статей [1,9,10,13,19,39,45,49,60,73,80,85, 109,114,118,131,135-138] и другие. Вплоть до сороковых годов прошлого века доминирующую роль сыграли исследования на основе гипотез Кирхгофа-Лява. Начиная с этих годов наметился интерес ко всем трем способам приведения, связанный с тем, что гипотеза Кирхгофа-Лява не всегда обеспечивает необходимую точность результатов. Это относится к анизотропным пластинам и оболочкам, слоистым пластинкам и оболочкам, динамическим задачам, задачам о концентрации напряжений, сосредоточенным воздействиям и т.д. За короткий срок появились основанные на смягченных допущениях модели Тимошенко-Рейсснера [189,190], С.А.Амбарцумяна [9,10] и многих других. Еще больше подходов предложены для расчета слоистых пластинок и оболочек, что отмечается в третьей главе. Принятие какой-либо гипотезы в конечном итоге приводит к тому, что задается определенный закон изменения искомых величин по поперечной координате (толщине). Тем самым фактически принимается некая асимптотика для напряжений и перемещений. Таким образом, с одной стороны, имеются прикладные, в большинстве случаев хорошо зарекомендовавшие себя теории балок, пластин и оболочек, рамки применимости которых всегда нуждаются в уточнении, с другой стороны, корректно сформулированная трехмерная задача, которую следует решить. Самыми распространенными теориями расчета балок, пластин и оболочек являются классическая теория, базирующаяся на гипотезах Бернулли-Кирхгофа-Лява, и простейшая уточненная теория Тимошенко-Рейсснера, учитывающая влияние поперечного сдвига. Классические теории изгиба и растяжения-сжатия стержней, пластин и оболочек являются самыми простыми и хорошо изученными задачами математической физики, однако основным недостатком этой теории является невозможность удовлетворения трем естественным краевым условиям и, следовательно, невозможность правильно описать напряженно-деформированное состояние у края конструкции. Уточненная теория Тимошенко-Рейсснера для изгиба пластины позволяет удовлетворить трем естественным краевым условиям задачи, но при этом задача осложняется в математическом плане, так как из одной системы дифференциальных уравнений приходится определять два совершенно разных решения: одно решение, которое имеет проникающий характер на всю область, и второе решение, имеющее быстрозатухающий от края характер (решение типа пограничного слоя). Решения типа погранслоя и уточнения проникающего решения связаны с появлением в дифференциальных уравнениях, описывающих, например, изгиб пластины по модели Тимошенко-Рейсснера, малого параметра e=h/a.

В декартовой системе координат относительно компонент перемещений u,v,w система дифференциальных уравнений для пластины из изотропного материала по модели Тимошенко-Рейсснера имеет вид д2 д2 о и д и — о у + Ух —— + v2 дх' ду< дхду (dw -3 + u 0, v2 д2и дхду д2у дх2 ду'

-Зк dw где V]

1-у у2 дх . 1 + v dw

• + и D = ду

2 Ehdw ¥ + v £ ду

2 q V 0,

3 vxD у ,

0, q- изгибная нагрузка.

2 3(1-И)

Эта система уравнений содержит основное напряженное состояние, которое в первом приближении определяется классической теорией изгиба пластин, и решение типа погранслоя. Однако использование системы уравнений в численных расчетах связано с определенными математическими трудностями, которые являются следствием вырождения системы уравнений при е=0, поэтому в литературе она отождествляется с системой уравнений, в которой заменой переменных разделяются оба решения

DAAw = q -e2Aq, s2A<p-<p = 0, где принято dw д(р dw д(р д2(.) д2(.) u =--+—, v =----- , Д(.) = —-rJ- + —~ дх ду ду дх дх ду

Во второй системе уравнений трудности разделения проникающего решения и решения типа погранслоя остались в краевых условиях, которые к тому же осложнились.

Естественное появление малого параметра в системе дифференциальных уравнений требует применения асимптотических методов исследования, так как вектор перемещений является функцией не только координат х,у, но и параметра е: и = и(х,у,е). Как ни странно, до недавнего времени асимптотические методы не применялись. Видимо это объясняется тем, что возмущение малым параметром является сингулярным, а математическая теория таких уравнений, по существу, начала интенсивно развиваться лишь с конца сороковых годов, хотя такие уравнения встречались и раньше в некоторых задачах механики. Первоначально такие задачи решались интуитивно, и только непротиворечивость полученных результатов физическим представлениям являлось единственным критерием правильности решения.

В случае регулярного возмущения решение задачи является непрерывной функцией малого параметра, и оператор задачи расщепляется один раз. Решение краевой задачи для регулярно возмущенного оператора можно определить, разыскивая его в виде ряда по степеням малого — 00 — j параметра u(x,y,s) = ^£su (х,у). При соблюдении определенных условий

5 = 0 известно, что решение при малом е близко к решению при е=0, т.е. к решению вырожденного или, как его еще называют, невозмущенного или укороченного уравнения. Задача в дальнейшем заключается в улучшении этого результата с помощью более высоких приближений. Для этого в уравнения и краевые условия подставляются представления искомых величин в виде степенного ряда по малому параметру и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра. Для каждого уравнения соблюдается полное соответствие между порядком уравнений и числом поставленных условий.

Сингулярность возмущения вносит коренную специфику в свойство решения как функции от малого параметра, так как в этом случае решение разрывно по отношению к малому параметру. Так задача изгиба по модели Тимошенко-Рейсснера, которая описывается системой дифференциальных уравнений шестого порядка, требует на границе три естественных краевых условия. Однако при е=0 система этих уравнений сводится к соотношениям гипотезы Кирхгофа и + — = О, v + — = 0 (абсолютной жесткости в дх ду трансверсальном направлении) и классическому дифференциальному уравнению изгиба пластины четвертого порядка q, которое требует всего два краевых условия. Таким образом, при указанном переходе проявляется сингулярность системы уравнений изгиба пластины по модели Тимошенко-Рейсснера, которая приводит к уменьшению порядка уравнений и исчезновению быстроубывающего от края решения. Это связано с тем, что малый параметр разделяет старшие производные системы дифференциальных уравнений и при е=0 часть оператора вырождается. Таким образом, в случае сингулярного возмущения необходимо использовать несколько расщеплений. Последним соответствуют гладкие и разрывные (типа пограничного слоя) решения. Поскольку решения сингулярно возмущенной краевой задачи складывается из регулярной составляющей и составляющей типа пограничного слоя, то его определение включает следующие этапы: 1) построение решений невозмущенного или укороченного уравнения и уравнений для последующих приближений, соответствующих первому приближению; в теории балок, пластин и оболочек соответствующее решение называют внутренним решением или основным решением; 2) определение погранслоев при помощи второго расщепления исходного возмущенного оператора; 3) сопряжение сращивание) найденных, качественно различных, решений при помощи краевых условий.

В настоящее время в математической литературе достаточно полно изучены те сингулярные возмущения, которые вызваны малым параметром при старшем операторе, что соответствует неклассическим теориям балок. Возмущения, соответствующие пластинам, таковы, что малый параметр является коэффициентом не всего старшего оператора, а только его части, и эти задачи изучены значительно слабее.

Математическая теория сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений развивалась благодаря работам А.Н.Тихонова, М.И.Вишика и Л,А.Люстерника [46,47], К.О.Фридрихса [193,194], А.Л.Гольденвейзера [6873], Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского [18], А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова [44], В.М.Бабича и В.С.Булдырева [15], А.Х.Найфэ [128] и других [38,122].

Согласно А.Х.Найфэ [128] методы возмущений (методы малого параметра) представляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной механики. В соответствии с методами возмущений решение задачи представляется несколькими (обычно двумя) первыми членами возмущенного разложения. Для качественного и количественного представления решения возмущенные разложения, даже если они расходятся, могут оказаться более полезными, чем равномерно и абсолютно сходящиеся разложения. Поэтому вопросы сходимости асимптотических рядов в диссертации не рассматриваются.

Данная работа является развитием одного из точных аналитических методов решения задачи теории упругости для полосы и пластины. Поэтому рассмотрим краткий обзор литературы по использованию асимптотических и точных методов при интегрировании уравнений теории упругости для однослойных конструкций. Вопросы использования этих подходов для многослойных стержней и пластин будут обсуждаться в третьей главе.

На современном уровне метод представления искомых функций в виде степенных рядов по поперечной координате к оболочкам применен Н.А.Кильчевским [108,109], который одновременно внес большой вклад в разработку способа формулировки непротиворечивых краевых условий. Подробное изложение этого метода содержится в обзорной статье [108] и монографии [109].

Другой вариант метода степенных рядов был разработан в работах Х.М.Муштари и И.Г.Терегулова [125,127,167,168], первая из которых опубликована в 1959 году. В этих работах использовалось представление перемещений в виде бесконечного степенного ряда по поперечной координате с последующим использованием вариационных методов для получения соответствующих уравнений. Использование того или иного вариационного метода зависит от выбранных искомых функций. Как отмечалось выше, эти методы приводят к системам уравнений, решение которых приводит к большим математическим трудностям.

К методу разложения по толщине можно отнести также метод представления искомых величин в виде ряда по некоторым специальным функциям от поперечной координаты, в частности, по полиномам Лежандра. Этот метод использовался В.В.Понятовским [142], И.Ю.Хома [172], И.Н.Векуа [45]. Некоторые обобщения этих подходов предложены Ш.К.Галимовым [62].

Выводу уравнений стержней, пластин и оболочек вариационным методом посвящены работы В.Л.Бердичевского [17].

Еще один способ приведения трехмерной краевой задачи к двумерной основан на символическом методе интегрирования А.И.Лурье [123,124], который позволяет получить широкий класс частных решений, удовлетворяющих неоднородным и однородным граничным условиям на лицевых поверхностях. Комбинируя эти решения, удается с той или иной точностью удовлетворить условиям на боковой поверхности пластины. Символический метод А.И.Лурье использовали в своих работах С.Г.Лехницкий [120], У.К.Нигул [133], В.К.Прокопов [145-148] и другие. Этот метод получил дальнейшее развитие в работах И.И. Воровича и его учеников.

Для приведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной задаче пластин и оболочек был использован В.В.Власовым [49] метод начальных функций, сущность которого состоит в представлении искомых напряжений и перемещений через напряжения и перемещения начальной поверхности. Затем задача сводится к нахождению шести двумерных функций. Развитие этого направления представлены в работах В.В.Власова [48], А.Н.Волкова [50].

В последнее время исследованием степенных рядов по поперечной координате при получении моделей расчета пологих оболочек занимались В.В.Васильев и А.И.Лурье [42,43].

Из многочисленной литературы по использованию метода гипотез при построении моделей расчета пластин и оболочек отметим основные [9,10,6264,84,135,138], а наиболее распространенная модель Тимошенко-Рейсснера обсуждается в работах [40,41,61,137,189,190]. Многие важные результаты, полученные за последнее время в теории пластин и оболочек, связаны с применением асимптотического метода.

Известно, что в гидромеханике асимптотические методы нашли широкое применение. Однако до недавнего времени в механике деформируемого твердого тела большинство результатов было получено иными методами: методом теории функции комплексного переменного, интегралов Фурье, интегральных преобразований, интегральных уравнений и другими. Видимо это объясняется с одной стороны рассмотрением задач для более массивных тел, где использование вышеуказанных методов оправдано, а с другой стороны, применением в задачах для тонких тел, в большинстве случаев, прикладных теорий. Между тем, как справедливо отмечают А.Л.Гольденвейзер [72,73] и И.И.Ворович [57], по самой своей сути теория пластинок и оболочек является наукой асимптотической.

Асимптотические методы в теории пластин и оболочек в нашей стране развивались в двух направлениях. Первое направление - использования асимптотических методов при интегрировании уравнений теории упругости для пластин в России началось в 1962 году с основополагающей работы А.Л.Гольденвейзера [69]. Основные результаты были получены в дальнейшем им и его учениками: М.И. Гусейн-Заде, А.В.Колос, Ю.Д.Каплуновым, Е.В.Нольде, Г.Н.Чернышовым, Н.Н.Рогачевой [70-80,95100,106-107,110-111, 152,153,174,175]. В этих работах использовалось непосредственное асимптотическое интегрирование уравнений теории упругости для изотропного тела. Получены основной и два вспомогательных итерационных процесса, изучено поведение погранслоев, получены условия существования затухающих решений. На базе этих исследований уточнены краевые условия классической теории расчета пластин, исследованы состредоточенные силовые, температурные и контактные воздействия на оболочки.

Эти работы продолжены в Ереване Л.А.Агаловяном и его учениками (Ш.М.Хачатрян, С.Х.Адамян, Р.С.Геворкян, М.Л.Агаловян и др.) [1-6,65-67] . Методы асимптотического интегрирования уравнений теории упругости были применены ими для расчета стержней, пластин и оболочек из анизотропного материала, распространены на задачи определения напряженно- деформированного состояния в случаях, когда на лицевых поверхностях заданы значения перемещений или условия смешанного типа.

Большое внимание в этих работах уделялось исследованию поведения погранслоев и разделению краевых условий для внутренней задачи и решению задач типа погранслоев.

Многие результаты школы А.Л.Агаловяна прекрасно изложены в

• монографии [1], наличие последней позволяет автору не останавливаться на широком обзоре литературы по данному вопросу и на анализе других используемых методов.

Целый цикл работ А.Л.Гольденвейзера, В.Б.Лидского, П.Е.Товстика, Л.А.Агаловяна, Ю.Д.Каплунова, Л.Ю.Коссовича, Л.Б.Именитова [78,79,80,103,104,114,115,183,184] посвящены использованию асимптотических методов исследования в задачах динамики пластин и оболочек. П.Е.Товстик использовал асимптотические методы в задачах устойчивости оболочек [170].

Второе направление связано с работами И.И.Воровича и его учеников (О.К.Аксентян, Ю.А.Устинова, В.И.Юдовича, М.А.Шленева, Н.А.Базаренко, Т.В.Виленской, И.Г.Кадомцева, В.В.Копасенко, О.С.Малкиной и др.) [6,53-60,105,154,171,197-201]. Этот метод основан на предварительном использовании некоторых общих представлений решений уравнений теории упругости через функции, удовлетворяющим более простым уравнениям, и на последующем асимптотическом анализе этих более простых уравнений. Построение каждого типа асимптотики сводится к решению традиционных

• - бигармонических задач и некоторой бесконечной системы алгебраических уравнений, матрица которой не зависит ни от плана пластины или оболочки, ни от внешней нагрузки. Этим методом решены вопросы приведения в однородных изотропных пластинах (И.И. Ворович, Ю.А. Устинов, О.К.Аксетян, О.С. Малкина), в изотропных цилиндрических и сферических оболочках (И.И.Ворович, Ю.А. Устинов, Н.А.Базаренко, Т.В.Виленская).

С.А.Амбарцумян, Г.Е.Багдасарян, М.В.Белубекян [12] использовали асимптотический метод для обоснования гипотез магнитоупругости тонких тел, а А.С.Космодамианский и В.Н.Ложкин [113] исследовали электроупругое состояние пьезоэлектрического слоя. В.В.Понятовский [143] исследовал внутреннее напряженно-деформированное состояние тонкого бруса произвольно нагруженного по боковой поверхности. Использованию асимптотических методов исследования задач несимметричной (моментной) теории упругости занимался С.О.Саркисян [161-166].

Развитие асимптотических методов в теории балок, пластин и оболочек связано с работами К.О.Фридрихса [193,194], А.Грина [181,182], Е.Рейсса [188] и других. Применение этих методов позволяет обосновать существующие прикладные теории, наметить пути уточнения результатов по этим теориям, решать новые классы задач.

Во всех асимптотических методах исследования прослеживается появление во всех искомых функциях степенного ряда по поперечной координате. Эффективность асимптотического метода в теории пластин и оболочек во многом определяется тем, что он не отвергает решения, основанные на теории Кирхгофа-Лява и использует их в качестве составной части. О широком распространении асимптотических методов исследования в плоской и в пространственной задачах теории упругости, в механике стержней, пластин и оболочек, в которых, в основном, рассматривается регулярное возмущение, свидетельствуют монографии И.Ф.Образцова, Б.В.Нерубайло, И.В.Андрианова [136], А.Н.Гузя, Ю.Н.Немиша [87], В.А.Ломакина [121] и др.

В диссертационной работе излагается вариационно-асимптотический метод построения неклассических моделей расчета однослойных и многослойных балок и пластин из ортотропного материала, но не в том смысле, который заложил в это название В.Л.Бердичевский [17].

Используется разложение перемещений в бесконечный степенной ряд по поперечной координате с использованием вариационных методов получения соответствующих систем уравнений, предложенное в работах Х.М.Муштари и И.Г.Терегулова [127,167,168]. Для анализа бесконечной системы дифференциальных уравнений используются асимптотические методы исследования (метод возмущения по малому параметру). Формулируются точные аналитические решения задач теории упругости для однослойных и многослойных сред, но основное внимание уделяется построению теорий расчета с точностью е2. Строится многочленная асимптотическая последовательность решения. Выясняется связь асимптотического подхода с некоторыми прикладными теориями (Тимошенко-Рейсснера) и принципом Сен-Венана. Подвергнут подробному анализу предельный переход от трехмерной задачи теории упругости к двумерным уравнениям для пластинок при основных краевых условиях пространственной задачи. Исследуются краевые напряженные состояния, скорости их затухания, взаимодействие с внутренним напряженно-деформируемым состоянием. Предлагаются варианты уточненных прикладных теорий для многослойных анизотропных стержней, которые позволили упростить модель расчета, предложенную в работах В.В.Болотина и Ю.Н. Новичкова и изложенную в их монографии [19]. Это позволяет решать больший класс новых задач, имеющих важное практическое значение.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе формулируется вариационная постановка плоской задачи теории упругости для прямоугольной области, когда на продольных лицевых плоскостях заданы значения напряжений, а на торцах возможные статические, геометрические и смешанные условия. Решения этих задач представляют самостоятельный интерес и используются в других частях работы.

Решение каждой из вышеуказанных задач складывается из проникающего решения и решения типа погранслоя. Проникающее решение определяется из построенного итерационного процесса для внутренней задачи. Решение задачи типа погранслоя ищется в виде однородного щ решения, которое сводится к обобщенной алгебраической собственной проблеме для бесконечной матрицы. Разработана программа, позволяющая решать эту проблему для различных моделей расчета. Показана процедура построения точного решения с выполнением всех уравнений теории упругости, но в работе особое внимание уделяется построению моделей расчета с точностью е2.

Получены условия существования затухающих решений при всех краевых условиях, в том числе кинематических, которые не имеют простого вида. В случае статических краевых условий показано, что на проникающее • напряженное состояние не влияет самоуравновешенная часть краевой нагрузки. Решение же задачи погранслоя полностью обусловлено самоуравновешенной частью торцевой нагрузки. Показано, что принцип Сен-Венана есть следствие из свойства решения, полученного при асимптотическом анализе полученных уравнений.

Показано, что получение исходного решения внутренней задачи вариационно-асимптотическим методом идентично прикладной теории балок, основанной на гипотезе плоских сечений Бернулли-Кулона-Эйлера. т Более того, при асимптотическом анализе любое приближение является более информативным, так как позволяет определить и соответствующие напряжения тху и оу. Следовательно, принимая гипотезу плоских сечений, пренебрегаем высшими приближениями внутренней задачи, а также решениями типа погранслоев. Учет высших приближений для ортотропных балок вносит поправку во внутреннее напряженное состояние, которая зависит от отношений Е|/Е2 и Ei/Gi2, и если, например, E1/G|2~0(e"2), то гипотеза плоских сечений перестает оставаться справедливой.

Из вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно получены статические и кинематические краевые условия, асимптотический анализ которых позволяет разделить общие краевые условия на условия внутренней задачи и решения типа погранслоев. Показано, что учет высших приближений внутренней задачи, их статических и смешанных краевых условий для изотропных балок вносит поправку во внутреннее напряженно-деформированное состояние порядка 0(б ), а при кинематических краевых условиях - порядка О(б). Следовательно, для уточнения основного напряженного состояния балок при кинематических краевых условиях необходимо использовать модель расчета более мягкую, чем модель Тимошенко.

Во второй главе в декартовой системе координат излагается вариационно— асимптотический метод определения внутреннего и типа погранслоя напряженно-деформированных состояний ортотропных пластинок. Главные направления анизотропии совпадают с направлениями координатных линий.

Задача нахождения напряженно-деформированного состояния ортотропной пластинки при статических краевых условиях на лицевых поверхностях распадается на симметричную (растяжение-сжатие) и кососимметричную (изгиб) задачи. Определение основного напряженного состояния этих задач сведено к решению двумерных систем уравнений двух типов. Первая система уравнений, написанная для исходного приближения в перемещениях, совпадает с уравнениями плоского обобщенно-напряженного состояния, вторая- с уравнениями классической теории изгиба ортотропных пластинок. Таким образом, исходное приближение вариационно-асимптотического итерационного процесса для внутренней задачи адекватно классической теории изгиба и растяжения-сжатия пластинок. Эти уравнения являются основными в главном итерационном процессе и следствием уравнений при вариациях 5u0, 5v0 для симметричной задачи и 8ub 5vb8w0 -задачи изгиба. Остальные уравнения служат для определения оставшихся компонентов основного напряженно-деформированного состояния. Для последующих приближений претерпевают изменения лишь правые части указанных уравнений.

Далее построены решения типа пограничного слоя для ортотропных пластинок. Показывается, что могут существовать два типа погранслоя-антиплоский (краевое кручение) и плоский. Они затухают по экспоненциальному закону, но со существенно различными скоростями затухания. Получены корни соответствующих собственных проблем, первый корень с ReA>0 которых определяет скорость затухания погранслоя. Показано, что в зависимости от анизотропных свойств материала антиплоский погранслой может оказаться проникающим - явление не имеющее место для изотропных пластинок. Приведена окончательная структура решения как погранслоя, так и общей трехмерной задачи.

В этой же главе рассматриваются вопросы сращивания внутреннего и типа погранслоя решений в орторопных пластинках при пяти, часто встречающихся на практике, вариантах граничных условий пространственной задачи. Показывается, что классическая теория симметричной задачи. и задачи изгиба соответствует исходному приближению вариационно-асимптотического подхода не только в смысле уравнений, но и граничных условий. Разработаны методы разделения краевых условий, полученных при вариационной постановке задачи.

При статических краевых условиях на проникающее решение задачи изгиба сильное влияние оказывает антиплоский погранслой, который показывает, что преобразование Кельвина-Тэта, позволяющее три силовых краевых условия свести к двум, является следствием условия затухания антиплоского погранслоя. Влияние антиплоского погранслоя приводит к тому, что уточнение основного напряженно-деформированного состояния начинается с s=l, а не с s=2, что наблюдалось для балок. Выведены уточняющие классические граничные условия приведенной задачи до s-2 включительно. В этих условиях ярко выражены упругие свойства материала в перпендикулярных срединной плоскости поперечных сечениях. В новых граничных условиях появляются коэффициенты, которые зависят только от характеристики анизотропных материалов. Поэтому уточнение для ортотропных пластинок может быть значительным и зависит от степени анизотропности материала.

В задачах изгиба показано, что одним и тем же краевым условиям классической теории могут соответствовать различные граничные условия пространственной задачи (например, случаи шарнирного опирания и жесткой заделки). Различие ощущается лишь при более точном определении основного напряженно-деформированного состояния, тогда приведенные условия становятся отличными, и тем самым подчеркиваются различные пространственные состояния пластинки.

Показывается, что в случае смешанных граничных условий, кинематические условия классической теории обеспечивают большую точность определения основного напряженно-деформированного состояния, чем статические и, следовательно, в вопросах приведения в первую очередь подлежат уточнению статические условия.

Предлагаются два способа уточнения классической теории изгиба и растяжения-сжатия пластинок: проникающего решения вдали от края пластины и с учетом погранслоев у края пластины.

Третья глава посвящена плоской задаче теории упругости для многослойных балок из ортотропного материала с целью получения прикладных моделей расчета. Выбор прикладной модели зависит от многих факторов. Во-первых, это зависит от того, какое решение больше интересует расчетчика: основное напряженное или погранслои. Второй фактор -степень неоднородности материала по поперечной координате. Третий фактор связан с возможностью адекватного описания краевого условия.

Рассматривается вариационная постановка плоской задачи теории упругости многослойных сред, при которой нумерация ведется от нижнего слоя. Для нечетных слоев перемещения выбираются в виде степенного ряда по поперечной координате, а для четных слоев - с учетом непрерывности перемещения при переходе от k-ого слоя к слоям (к-1) и (к+1).

На примере трехслойной полосы показывается, что при любом приближении, задача сводится к системе дифференциальных уравнений двенадцатого порядка относительно u(0k)s, нечетных слоев (к=1,3). Свойства четных слоев учитываются в этих уравнениях дополнительными слагаемыми, учитывающими модули е\2\ • Построен простейший вариант краевых условий, связанный с выражениями при вариациях

6и\к), <5v<*\ При s=0 они полностью совпадают с классическими краевыми условиями для слоя.

Далее рассмотрена плоская задача теории упругости для трехслойной пластины с мягким средним слоем, которая в исходном приближении (s=0) имеет точность е°. Аналогичная модель балки по модели В.В.Болотина-Ю.Н.Новичкова содержит слагаемые точности е° и е1. Это позволило разработать итерационную процедуру решения уравнений по модели В.В.Болотина-Ю.Н.Новичкова. Численно показана быстрая сходимость процесса.

В заключении рассматривается точное решение задачи погранслоя для многослойной пластины.Задача решается в перемещениях. Показано, что и для многослойной пластины имеют место два погранслоя: плоский и антиплоский, для каждого из которых показана возможность интегрирования по. поперечной и продольным координатам основной и вспомогательных соответствующих систем уравнений методом Фурье. Задача сводится к собственной проблеме для определителя матрицы, членами которых являются показательные, тригонометрические и алгебраические функции. Решение такой собственной проблемы большого порядка зависит от возможностей ПЭВМ и обслуживающих ее программ. Для антиплоского погранслоя двух и трехслойных пластин получены соответствующие трансцендентные уравнения. Сформулированы условия существования затухающих решений для многослойных пластин.

Автором защищаются следующие основные научные положения: Построена вариационно-асимптотическая теория решения задач расчета однослойных и многослойных стержней, пластин и оболочек: развита вариационная постановка задач теории упругости для однослойных и многослойных стержней и пластин из ортотропного материала с предварительным представлением перемещений в виде бесконечного степенного ряда по поперечной координате,

- развиты асимптотические методы исследования бесконечной системы дифференциальных уравнений с целью выделения основного напряженного состояния (внутренней задачи) плоской и пространственных задач теории упругости для однослойных и многослойных конструкций, проведен асимптотический анализ бесконечной системы дифференциальных уравнений у края полосы и пластины с целью получения задач типа погранслоев. У края пластины получены два погранслоя: краевые плоская и антиплоская деформации f

- создан вычислительный комплекс по определению собственных чисел и векторов задач погранслоев^ получены условия существования затухающих решений для однослойных и многослойных стержней и пластин, в том числе для кинематических краевых условий,

- показано, что для антиплоского погранслоя при s=0,l имеет место является обоснованием сведения трех статических краевых условий к двум^

- получено точное решение задачи погранслоев для многослойной пластины, разработан метод разделения краевых условий, полученных вариационным путем, для решения задач по определению основного напряженного состояния и погранслоев^

- показано, что модель Тимошенко-Рейсснера для пластины учитывает только один погранслой-антиплоскую деформацию и не учитывает второй погранслой-плоскую деформацию,

- показано, что учет погранслоя для балки при кинематических краевых условиях приводит к уточнению напряженно-деформированного состояния при s=l, а не s=2, что имеет место при остальных краевых условиях^

- получены краевые условия для классического уравнения изгиба пластин с целью построения модели расчета однослойных пластин с точностью 8 как для определения основного напряженного состояния вдали от края, так и для решения у края пластины,

- асимптотическим методом исследования получены все виды краевых условий пластины до s=2 включительно,

- предложены варианты двумерных прикладных теорий анизотропных пластин, имеющие равные возможности определения напряженно-деформированного состояния как вблизи краев, так и вдали от них> условие существования затухающего решения

- установлена асимптотика и выведены рекуррентные уравнения для вычисления вектора перемещений и компонентов тензора напряжений для слоистых полос,

- предложены рекуррентные уравнения определения основного напряженного состояния трехслойного стержня с мягким средним слоем, несколько отличные от уравнений модели В.В.Болотина Ю.Н.Новичкова.

В работе формулы нумеруются цифрами. Первая из них означает параграф данной главы, вторая - номер формулы. Если делается ссылка на формулу из другой главы, то применяется нумерация из трех цифр, первая из которых означает номер главы. Нумерация таблиц и рисунков сквозная.

На протяжении всей работы над проблематикой автор чувствовал творческую поддержку своего учителя - академика АН РТ, заслуженного деятеля науки РФ и РТ, д.ф.-м.н., профессора И.Г.Терегулова, постоянное внимание к работе д.ф.-м.н., профессора Р.А.Каюмова, а также доброжелательность всего коллектива кафедры сопротивления материалов и основ теории упругости и пластичности Казанской государственной строительно-архитектурной академии, которым автор выражает искреннюю признательность и благодарность.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Бутенко, Юрий Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Построена вариационно-асимптотическая теория расчета однослойных и многослойных балок и пластин, которая заключается в вариационной постановке плоской и пространственной задач теории упругости (по Х.М.Муштари, И.Г.Терегулову) и асимптотическом анализе полученных систем уравнений. Такой подход практически объединяет все три направления по построению теорий расчета балок, пластин и оболочек, так как он основан на точном аналитическом методе решения задачи теории упругости и их асимптотическом анализе. Выбор необходимой точности расчета приводит к соответствующей модели и соотносится с выбором расчетной гипотезы. Данный подход обладает простотой метода гипотез и прозрачностью асимптотических методов исследования. По сравнению с классической теорией существенно расширена возможность более точного определения основного напряженного состояния и краевых напряженных состояний. Найдена связь вариационно-асимптотического подхода с некоторыми прикладными теориями и с принципом Сен-Венана. Изучена картина распределения напряженно-деформированного состояния в зависимости от фактора многослойности. В диссертационной работе, в частности:

1. Показана согласованность принципа Сен-Венана со свойствами затухающего решения, для однослойных и многослойных конструкций.

2. Оценены пределы применимости гипотезы плоских сечений для ортотропных балок.

3. Показано, что для балок учет высших приближений (s=l) вносит поправку во внутреннее напряженное состояние, статические и смешанные краевые условия порядка 0(е ), а в геометрические краевые условия — 0(е1).

4. Подвергнут подробному анализу предельный переход от трехмерной краевой задачи теории упругости в вариационной постановке к двумерной задаче ортотропных пластинок. Выведены более общие, чем классические, краевые условия для приведенной двумерной задачи. Они характерны тем, что в них учтены упругие свойства в перпендикулярном срединной поверхности направлении.

5. Установлено вариационно-асимптотическим методом, что в задаче изгиба пластинок различным трехмерным граничным условиям могут соответствовать одни и те же краевые условия классической теории.

6. Показано, что при смешанных краевых условиях пространственной задачи теории упругости, кинематические условия классической теории пластин обеспечивают большую точность определения основного напряженно-деформированного состояния, чем статические и геометрические.

7. Построены пограничные слои для ортотропной пластины, показана форма зависимости скоростей затухания краевых эффектов от значения упругих констант. Получены условия существования затухающих решений, в том числе для кинематических краевых условий .

8. Показано, что модель Тимошенко-Рейсснера для пластины содержит только один погранслой - антиплоская деформация, который позволяет удовлетворить трем краевым условиям.

9. Доказано, что для пластины, преобразование Томпсона-Тэта по сведению трех краевых условий к двум, есть следствие условия существования затухающего решения антиплоского погранслоя.

10. Получены соотношения, по которым могут быть вычислены краевые напряженные состояния балок и пластин.

11. Сформулирована вариационно - асимптотическая постановка плоской задачи теории упругости для многослойных ортотропных сред с целью адекватного описания краевых условий.

12. Разработана процедура получения основного напряженного состояния плоской задачи тории упругости многослойных сред.

13. Построена исходная модель расчета внутренней задачи трехслойной балки с мягким средним слоем точности е°.

14. Разработана итерационная процедура интегрирования уравнений изгиба многослойной пластины по модели В.В.Болотина-Ю .Н.Новичкова.

15. Построена модель точного определения погранслоев для многослойной пластины. Получены условия существования затухающих решений.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бутенко, Юрий Иванович, 2003 год

1. Агаловян JLA. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. -М.: Наука, 1997.-414 с.

2. Агаловян JI.A., Геворкян Р.С. Об асимптотическом решении смешанных трехмерных задач для двухслойных анизотропных пластинок // ПММ-1986.-Т.50.- Вып.2.— С.271-278.

3. Агаловян JI.A., Геворкян Р.С. О неклассических краевых задачах трехслойных термоупругих пластин и некоторых приложениях // В кн.: Тр. XIV Всесоюзной конф. по теории пластин и оболочек. —Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та.—1987.-Т. 1. -С.28-34.

4. Агаловян JI.A., Геворкян Р.С. Об асимптотическом решении неклассических краевых задач для двухслойных анизотропных термоупругих оболочек // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1989.-Т.42, №3.-С.28-36.

5. Агаловян JI.A., Геворкян Р.С. Асимптотическое решение смешанных краевых задач двухслойной полосы, состоящей из упругого и реологических слоев // Изв.РАН МТТ.-1992,№5.-С.120-128.

6. Аксентян O.K., Воровнч И.И. Напряженное состояние плиты малой толщины // ПММ.-1963. -Т.27.- Вып.6.- С .1057-1074.

7. Александров А.Я., Куршин JI.M. Многослойные пластинки и оболочки // Тр.VI 1Всесюзной конференции по теории оболочек и пластин. -М.: Наука, 1970.-С.714-721.

8. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками.-М.:Наука, 1983.-488с.

9. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. -М.: Физматгиз. -1968.-266 с.

10. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.:Наука, 1974.- 448с.

11. Амбарцумян С.А. Некоторые вопросы развития теории анизотропных слоистых оболочек // Изв. АН Арм. ССР. Серия физ.-мат. наук. 1964. -Т. 17,№3. - С.29-53.

12. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубенян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. -М.: Наука, 1977. с.

13. З.Андреев А.В., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины (изгиб, устойчивость, колебания).-Новосибирск: Наука, 2001.-288 с.

14. Н.Артюхин Ю.П. Напряжения в клеевых соединениях // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань: ЮГУ, 1973. -С.3-27.

15. Артюхин Ю.П. Механика пластин и оболочек при контактных взаимодействиях: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1980 - 24с.

16. Бабич В.М., .Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. -M.-JL: Наука, 1972. 456с.

17. Бердичевский В Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-446 с.

18. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1974. 503с.

19. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.Машиностроение, 1990. -375с.

20. Брюккер Л.Э. Некоторые варианты упрощения уравнений изгиба трехслойных пластин // В кн. Расчеты элементов авиационных конструкций. Трехслойные панели и оболочки. Вып.З. -М.: Машиностроение, 1965.

21. Бутенко Ю.И. Вариационно-асимптотический метод построения теории стержней // Казань: КазИСИ,1986. 36с. Деп.в ВИНИТИ 6.05.86.№3227-В86.

22. Бутенко Ю.И. К определению погранслоев в плоской задаче теории упругости// Казань: КазИСИ, 1989. 34с.Деп.в ВИНИТИ 27.02.89. №1525-В89.

23. Бутенко Ю.И. Определение погранслоев в плоской задаче теории упругости // Сб. Проблемы механики оболочек. Калинин, 1988. -С. 19-32.

24. Бутенко Ю.И. К условиям существования затухающих решений плоской задачи теории упругости // Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань, 1989.-Вып.21.-С. 15-25.

25. Бутенко Ю.И. Асимптотическое решение плоской задачи теории упругости в вариационной постановке // Актуальные проблемы механики оболочек. -Казань: Унипресс,1998. С.24-29.

26. Бутенко Ю.И. Модифицированный метод асимптотического интегрирования при построении теории стержней из ортотропного материала ч.1 // Изв РАН МТТ. -2001. -№4. -С.91- 105.

27. Бутенко Ю.И. Модифицированный метод асимптотического интегрирования при построении теории стержней из ортотропного материала ч.Н // Изв РАН МТТ. -2002. -№1. -С. 177-188.

28. Бутенко Ю.И. Модифицированный метод асимптотического интегрирования при построении теории стержней из ортотропного материала ч.Ш // Изв РАН МТТ. 2002. - №2. -С. 163-177.

29. Бутенко Ю.И. Модифицированный метод асимптотического интегрирования при построении теории стержней из ортотропного материала 4.IV // Изв РАН МТТ. -2003. -№3. С.192-207.

30. Бутенко Ю.И. Вариационно асимптотические методы построения неклассических методов расчета стержней и пластин. -Казань: Новое Знание, 2001.-320с.

31. Бутенко Ю.И. Построение внутренней теории расчета пластин с точностью £ // Актуальные проблемы механики оболочек. Труды Междунар. Конференции. -Казань: Новое знание, 2000. -С.116-121.

32. Бутенко Ю.И. Вариационно- асимптотический метод построения неклассических моделей расчета стержней и пластин из ортотропного материала // Аннот. Докл. Восьмого Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. -Пермь, 2001. С. 31.

33. Бутенко Ю.И. Метод возмущений при интегрировании уравнений изгиба многослойных конструкций // Изв. вузов "Авиационная техника". -2002. -№2. С. 3-6.

34. Бутенко Ю.И. Метод интегрирования уравнений изгиба многослойной конструкции // Изв. вузов " Математика". 2003. - № 10. -С.9~{2.

35. Бутенко Ю.И. Построение асимптотически "точной" модели расчета многослойной конструкции // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. Вып.64 - Н.Новгород. - 2002,- С.50-55.

36. Бутенко Ю.И.Построение асимптотически "точной" теории расчета многослойной конструкции // Механика композиционных материалов и конструкций,- 2003.- т.9- №2.- С.205-230.

37. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1968. -464 с.

38. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. — М.: Машиностроение, 1988. -269с.

39. Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. РАН. МТТ. -1992. -№3. -С. 26-47.

40. Васильев В.В. К дискуссии по классической теории пластин // Изв. РАН. МТТ. -1995. —№4. -С. 140-150.

41. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассических теорий пластин // Изв. АН СССР. МТТ. -1990. -№2. -С. 158-167.

42. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме уточнения теории пологих оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. -1990. -№6. -С. 139-146.

43. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. -М.: Наука, 1973. 272с.

44. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. -М.: Наука, 1982.-285 с.

45. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. -1957. -Т.12, №5. С. 3-122.

46. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. -1960. -Т. 15, №3. -С.3-80.

47. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. ~М.: Стройиздат,1975. 224 с.

48. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. - 491 с.

49. Волков А.Н. Статика толстых оболочек. М.,1974. -144с.

50. Волков А.Н. Построение теории многослойных толстых оболочек // Труды ун-та дружбы народов им. Патриса Лумумбы. -1977. -Т.83, №10. -С. 17-28

51. Ворович И.И., Кадомцев И.Г., Устинов Ю.А. К теории неоднородных по толщине плит // Изв.АН СССР, МТТ. -1975. -№3. -С.870-876.

52. Ворович И.И., Малкина О.С. Асимптотический метод решения задачи теории упругости о толстой плите // Тр. YI Всесоюзн. конфер. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966. - С. 251-254.

53. Ворович И.И., Копасенко В.В. Некоторые задачи теории упругости для полуполосы // ПММ. -1966. -Т. 30. Вып. 1.-С 109-115.

54. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории теории пластин и оболочек // Тр. II Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике. Вып.З. -М.: Наука, 1966. -С. 116-136.

55. Ворович И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек // Тр. YI Всесоюзн. конфер. по теории оболочек и пластин. -М.: Наука, 1966. С. 896903.

56. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек // В сб. : Материалы I Всесоюзн. школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Изд-во Тбилисского ун-та, 1975. -С. 51-149.

57. Ворович И.И. , Шленев М.А. Пластины и оболочки // Механика -1963. Итоги науки. -М.: ВИНИТИ, 1965. -С.91-177.

58. Галимов К.З. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. -№4. -С. 155-166.

59. Галимов Ш.К. Уточненные теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во ун-та, 1990. - 136 с.

60. Галиныы А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек.-Казань, 1967. —Вып.5. -С. 6692.

61. Галиныы А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек.-Казань, 1970. -Вып. 6-7. -С. 23-64.

62. Геворкян Р.С. О двух смешанных краевых задачах для двухслойных анизотропных пластин // Межвузовский сборник. Механика. -Ереван: Изд-во ЕГУ, 1986. Вып.4. -С. 189-196.

63. Геворкян Р.С. О действии дискретной нагрузки на трехслойную полосу с вязкоупругим средним слоем // Изв.РАН МТТ. -1996. -№3. -С.

64. Геворкян Р.С. Асимптотика пограничного слоя для одного класса краевых задач анизотропных пластин // Изв.АН Арм.ССР. Механика. -1984. -Т.37,№6. -С.3-15.

65. Гольденвейзер АЛ. Асимптотическое интегрирование линейных дифференциальных уравнений в частных производных с малой главной частью // ПММ. 1959. -Т. 23. Вып. 1. -С. 35-57.

66. Гольденвейзер АЛ. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ. 1962. - Т. 26. Вып. 4. - С. 668-686.

67. Гольденвейзер АЛ. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ. -1963. Т. 27. Вып. 4. - С. 593-608.

68. Гольденвейзер A.JI. Погранслой и его взаимодействие с внутренним напряженным состоянием упругой тонкой оболочки // ПММ. -1969. -Т. 33. Вып. 6.-С. 996-1028.

69. Гольденвейзер A.JI. Методы обоснования и уточнения теории оболочек // ПММ. -1968. -Т.32.Вып.4. -С.684-695.

70. Гольденвейзер АЛ. Теория тонких упругих оболочек. — М.: Наука, -1976.-510 с.

71. Гольденвейзер АЛ. Методы обоснования и уточнения теории оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. -№6. - С.124-138.

72. Гольденвейзер АЛ. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана // ПММ. -1994. -Т. 58. Вып.б.-С. 96-108.

73. Гольденвейзер А.Л. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек и пластин // Изв. РАН МТТ. -1997. -№3. С. 134-149.

74. Гольденвейзер А.Л., Колос А.В. К построению двумерных уравнений теории упругих тонких пластинок // ПММ. 1965. - Т. 29. Вып. 1. — С. 141155.

75. Гольденвейзер АЛ., Каплунов Ю.Д. Динамический погранслой в задачах колебаний тонких оболочек // Изв.АН СССР, МТТ. -1988. №4. -С. 152-162.

76. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко -Рейсснера // Изв. АН СССР. МТТ. -1990. -№ 6. С. 124-138.

77. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстнк П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. -М.: Наука, 1979. -384 с.

78. Гондлях А.В. Итерационно- аналитическая теория деформирования многослойных оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. -Киев : Бущвельник, 1988. -№53. С.39-57.

79. Григолюк Э.И., Корнев В.Н. Анализ уравнений трехслойных оболочек несимметричной структуры с жестким заполнителем // Прикл. механика. -1968. -Т.4, №3. -С.136-144.

80. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Развитие общего направления в теории многослойных оболочек // Механика композит, материалов. -1988. -№2. -С. 287-298.

81. Григолюк Э.И., Селезнев И.Т. Неклассические теории колебания стержней, пластин и оболочек. Итоги науки. Механика твердых деформ. тел. Т.5. -М.: ВИНИТИ, 1973.

82. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. -М. Машиностроение, 1973. -170 с.

83. Григолюк Э.И., Чулков П.П. К расчету трехслойных пластин с жестким заполнителем // Изв.АН СССР. Мех. и машиностр. 1961. -№1. -С.

84. Гузь А.Н., Нем и in Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. Киев: Вища шк., 1982. - 350 с.

85. Гулгазарян Л.Г. О характере собственных колебаний двухслойной ортотропной полосы при неполном контакте между слоями // В сб.:Материалы республиканской конференции молодых ученых. -Ереван, 1999. -С.39-44.

86. Гулгазарян Л.Г. О пограничном слое в задаче о собственных колебаниях двухслойной ортотропной полосы при неполном контакте между слоями // В сб. научн.тр.: Математический анализ и его приложения. -Ереван: Манкаварж, 2000. -Вып. 1. -С 110-117.

87. Гулгазарян Л.Г. О высших приближениях асимптотического представления и решении пограничного слоя в задаче о собственных колебаниях двухслойной полосы //Изв.НАН Армении.Механика. -2000. -Т.53,№2. С.30-38.

88. Гулгазарян Г.Р., Гулгазарян Л.Г. Волны типа Рэлея в полубесконечной гофрированной цилиндрической оболочке //Изв. РАН МТТ. -2001. -Вып.З. -С.151-158.

89. Гурьянов Н.Г. Исследование напряженного состояния слоистых пластин и оболочек при уточненных соотношениях для прослойки: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. -Казань, 1994. 320 с.

90. Гурьянов Н.Г. Изгиб слоистых пластин и пологих оболочек // Тр. XV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Казань, 1990. -С.631-636.

91. Гурьянов Н.Г., Гурьянова О.Н. Исследование краевого эффекта в прослойке трехслойной пологой оболочки и пластины //Tp.XVII международной конференции по теории пластин и оболочек. Казань, 1996. -С.44-49.

92. Гусейн-Заде М.И. О необходимых и достаточных условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы // ПММ. -1965. -Т. 29. Вып. 4. С. 752-759.

93. Гусейн-Заде М.И. Асимптотический анализ граничных и начальных условий в динамике тонких пластинок // ПММ. -1978. Т. 42. Вып. 5. -С.899-907.

94. Гусейн-Заде М.И. Построение теории изгиба слоистых пластинок //Тр. YI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. -М.:Наука, 1966. -С.333-343.

95. Гусейн-Заде М.И. О некоторых свойствах напряженного состояния тонкого упругого слоя //ПММ. -1967. -Т.31 .Вып.6. -С.

96. Гусейн-Заде М.И. К построению теории изгиба слоистых пластинок // ПММ. 1968. -Т. 32. Вып.2. - С. 332-343.

97. Гусейн-Заде М.И. Напряженное состояние погранслоя для слоистых пластинок //Tp.Vll Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. -М.:Наука,1970. -С.638-643.

98. Дудченко А.А., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1983. -Т. 15. -С.3-68.

99. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем.-М.: Мир, 1983. -198 с.

100. Именитов Л.Б. К вопросу о собственных колебаниях прямоугольных пластинок // Тр. YII Всесоюзн. конференции по теории оболочек и пластин. -М.: Наука, 1970. -С. 251-255.

101. Именитов Л.Б. Исследование собственных поперечных колебаний пластин произвольной формы без использования гипотезы Кирхгоффа-Лява // Тр. YIII Всесоюзн. конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. -С.479-482.

102. Кадомцев И.Г. Краевой эффект в трехслойной плите // Изв. СКНЦВШ. 1973. -№4. -С. 35-37.

103. Каплунов Ю.Д. Распространение нестационарных упругих волн в оболочке общего вида// Изв.РАН. МТТ. -1992. -№6. -С. 156-167.

104. Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Квазифронт в задаче о действии мгновенного сосредоточенного импульса на край конической оболочки // ПММ. -1995. -Т.59,№5. -С. 803-811.

105. Кильчевский Н.А. Анализ различных методов приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным и исследование постановки краевых задач теории оболочек // Тр. II Всесоюзн, конференции по теории оболочек и пластин. -Киев. 1962. С. 58-69.

106. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. -Киев: Изд-во АН УССР, 1963. 3 54 с.

107. Колос А.В. Методы уточнения классической теории изгиба и растяжения пластинок // ПММ. -1965. -Т. 29. Вып. 4. С. 771-781.

108. Колос А.В. Об области применения приближенных теорий изгиба пластин типа теории Рейсснера // Тр. YI Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок. -М.: Наука, 1966. С. 497-501.

109. Корнев В.Н. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки, нагруженной внешним поперечным давлением с учетом краевого эффекта // Изв. АН СССР МТТ. -1967. №3. -С.

110. Космодамианский А.С., Ложкин В.Н. Асимптотический анализ электроупругого состояния тонкого пьезоэлектрического слоя // Прикл. механика. -1978. -Т. 14,№5. -С

111. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1986. - 176 с.

112. Коссович Л.Ю., Парфенова Я.А. Асимптотический метод исследования нестационарных волн в составных оболочках// VIII Всеросс. съезд по теорет. и прикл. Мех-ке. Аннотация докладов. -Пермь,2001. С.359.

113. Куршин Л.М. Уравнения трехслойных непологих и пологих оболочек // В кн. Расчеты элементов авиационных конструкции. Вып.З. —М.: Машиностроение, 1965.

114. Куршин Л.М. Уравнения трехслойных цилиндрических оболочек // Изв.АН СССР ОТН. 1958. - №3. - С.

115. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки М.: Гостехиздат, 1957. -463с.

116. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела-М.: Наука, 1977.-416 с.

117. Лехницкий С.Г. Упругое равновесие трансвертального изотропного слоя и толстой плиты // ПММ. -1962. -Т.26. Вып. 4. С. 687-696.

118. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Из-во Московского ун-та, 1976. — 368 с.

119. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981.-398 с.

120. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955.-491 с.

121. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

122. Муштари Х.М. Теория изгиба плит средней толщины // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и маш. 1959. -№2. - С. 107-113.

123. Муштари Х.М. К общей теории пологих оболочек с заполнителем // Изв. АН СССР ОТН. -1961. -№2. -С.

124. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. К теории оболочек средней толщины // ДАН СССР. -1959. -Т.28, №6. -С. 1144-1147.

125. Найфе А.Х. Методы возмущений. —М.: Мир, 1976. 455 с.

126. Немировский Ю.В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров. 1972. -№5. -С. 861-873.

127. Немировский Ю.В. Устойчивость и выпучивание конструктивно анизотропных и неоднородных оболочек и пластин // Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ, 1976. -Т.9. - С. 5-154.

128. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1986.- 165 с.

129. Немиш Ю.Н., Хома И.Ю. Напряженно—деформированное состояние нетонких оболочек и пластин. Обобщенная теория (обзор) // Прикл. механика. 1993. - Т.29, №11. - С. 3-33.

130. Нигул У.К. О применении символического метода А.И.Лурье к анализу напряженных состояний и двумерных теорий упругих плит // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 583-588.

131. Никольская Н.А., Проскура А.В. Асимптотический вывод нелинейных уравнений изгиба тонких многослойных ортотропных пластин // Вестн. ЛГУ .Математика. Механика. Астрономия. -Л., 1987. Деп. В ВИНИТИ 10.03.87, № 1714-В 87.

132. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский В.И. Линейная теория тонких оболочек. -Л. .'Политехника, 1991. -656с.

133. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. -М.: Машиностроение, 1991. 416 с.

134. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -Киев: Наук. Думка, 1973. -248 с.

135. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций. М.: Наука, 1985.- 192 с.

136. Плеханов А.В. О построении теории изгиба многослойных пластин средней толщины // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1977.-№31.-С. 67-72.

137. Плеханов А.В. Развитие неклассической теории пологих слоистых оболочек несимметричной структуры // Днепропетр. инж. строит, ин-т. -Днепропетровск, 1987. - 13с. - Деп в Укр. НИИНТИ 06. 01. 87, № 235 Ук-87.

138. Плеханов А.В. Уточненный вариант прикладной теории пологих слоистых оболочек // Изв. вузов. Стр-во и архитектура.- 1991.- № 1. — С. 2225.

139. Понятовский В.В. К теории изгиба анизотропных пластинок // ПММ. -1964. -Т.28. Вып. 6. С. 1033-1039.

140. Понятовский В.В. Применение асимптотического метода интегрирования в задаче равновесия тонкого бруса, произвольно нагруженного по боковой поверхности // Изв. АН СССР ММТ. -1968. —№5. -С.139-143.

141. Попов AJL, Чернышев Г.Н. Механика звукоизлучения пластин и оболочек. -М.: Физматлит ВО Наука, 1994. 208с.

142. Прокопов В.К. Применение символического метода к выводу уравнений теории плит // ПММ. -1965. Т. 29 . Вып. 5. - С. 902-919.

143. Прокопов В.К., Груздев Ю.А. Полимоментная теория равновесия толстых плит // ПММ-1968.- Т. 32. Вып.2. С. 344-352.

144. Прокопов В.К. Однородные решения теории упругости и их приложение к теории тонких пластинок // Тр. II Всесоюзного съезда по теоретич и прикл. механике. Вып.З.- М.: Наука, 1966-С. 253-259.

145. Прокопов В.К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости //Тр. Ленинградского политехи, ин-та, 1967. Т.279.

146. Прусаков А.П. Основные уравнения изгиба и устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем // ПММ. 1951. -Т. 15. Вып. 1. -С.27-36.

147. Рабинович АЛ. Устойчивость обшивки с заполнителем при сжатии // Тр.-ЦАГИ, 1946. №595. - С.

148. Рабинович А.Л., Макаркина Р.Н. Поперечный изгиб пластин с заполнителем // Тр.ЦАГИ, 1948. -№661. С.

149. Рогачева Н.Н. О соотношениях упругости Рейсснера Нахди // ПММ. - 1974. -Т.38. Вып. 6. - С. 1063-1071.

150. Рогачева Н.Н. Уточненная теория термоупругих оболочек // Тр. X Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Т.1. -Тбилиси: Изд-во Мецниереба, 1975. С. 251-259.

151. Роменская Г.И., Шленев М.А. Асимптотический метод решения трехмерной задачи о трансверсально изотропной плите // Тр. IX Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин -М.: Наука, 1973.

152. Рябенков Н.Г. Аналитическое решение задачи теории упругости для клеевого слоя под жестким штампом // Казан.гос.технол.ун-т. Казань, 1996.16с. Деп.ВИНИТИ. 19.12.96. №3714 В96.

153. Рябенков Н.Г. К дискуссии о гипотезе Кирхгофа //Актуальные проблемы механики оболочек. КазаныУНИПРЕСС, 1998.-С.182-185.

154. Саркисян B.C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Изд-во Ереванского ун-та, 1976. - 534 с.

155. Саркисян B.C. Оптимальное проектирование анизотропных неоднородных слоистых цилиндрических оболочек// Труды Всес. конф. теории оболочек и пластин. Изд-во Казанского ун-та, 1990. -Т.1. -С.625-630.

156. Саркисян B.C. Еще раз о ММП в задачах неоднородных анизотропных оболочек// Актуальные проблемы механики оболочек. -Казань: УНИПРЕСС, 1998. -СД93-198.

157. Саркисян B.C., Гегамян Б.П., Джулакян Г.М. Применение ММП в задачах оптимизации анизотропных неоднородных конструкций // "Механика" Межв. Сборник. Ереван, 1991. -Вып.8.

158. Саркисян С.О. Общая двумерная теория магнитоупругости тонких оболочек. -Ереван: АН Армении, 1992.-235 с.

159. Саркисян С.О. Асимптотическая теория тонких пластин по несимметричной упругости // Соврем, пробл. концентрации напряжений. Тр. международной науч. конф. -Донецк, 1998.-С.219-223.

160. Саркисян С.О. Асимптотическая теория тонких пластин по несимметричной теории упругости // Актуальные проблемы механики оболочек. -Казань: УНИПРЕСС,1998. С.198-203.

161. Саркисян С.О. Асимптотическая теория и вариационное уравнение плоской задачи упругой тонкой пластинки по моментной теории упругости // Доклады НАН Армении. 1999. - Т.99,№2. - С. 115-124.

162. Саркисян С.О. Асимптотическая теория и вариационное уравнение задачи изгиба упругой тонкой пластинки по моментной теории упругости // Доклады НАН Армении. 1999. - Т.99,№3- С.312-320.

163. Саркисян С.О. Асимптотическая теория тонких оболочекн по несимметричной теории упругости //Актуальные проблемы механики оболочек. -Казань: Новое Знание, 2000. С.356-361.

164. Терегулов И.Г. К построению уточненных теорий пластин и оболочек // ПММ. -1962. -Т.26. Вып. 2. С. 346-350.

165. Терегулов И.Г. К теории пластин средней толщины // В сб. трудов конференции по теории оболочек. Казань, 1960.-С. 367-375.

166. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.-576 с.

167. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. -М.: Наука, 1995. -320 с.

168. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полуполосе // ПММ. -1973. -Т.37, №4.-С.706-714.

169. Устинов Ю.А. Некоторые свойства однородных решений неоднородных плит. // ДАН СССР. -1974. -Т. 216, №4. С.755-758.

170. Устинов Ю.А. О структуре погранслоя в слоистых плитах // ДАН СССР. -1976. -Т. 229, №2. С.325-328.

171. Хома И.Ю. Некоторые вопросы теории анизотропных оболочек и пластин // В сб.: Материалы I Всесоюзной школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Изд-во Тбилисского ун-та, 1975. -С. 409-420.

172. Чепига В.Е. Об асимптотической погрешности некоторых гипотез в теории слоистых оболочек // Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций.-М. .'Машиностроение, 1986. -С. 118-125.

173. Чернышев Г.Н. Асимптотический метод в теории оболочек (сосредоточенные нагрузки) // Тр. YT Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок. -М.: Наука, 1966. С.799-810.

174. Чернышев Г.Н. Характер решений уравнений оболочек нулевой кривизны при состредоточенных воздействиях // Тр. YII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок.-М.:Наука,1970.- С.597-600.

175. Camby D., Chung-Nam B.N. Generalized Kirchoff- Love assumptions for thick sheels: application of thermal stresses in rectlinear tubes // Acta Mech. -1988.-V. 74. No. 1-4.-P.95-106.

176. Bauers S.M., Filippov S.B., Smirnov A.L., Tovstik P.E. Asimptotic methods in mechanics with applications to thin shell and plates// Asymptotic Methods in Mechanics. GRM Proc. & Lecture Notes -1993. V.3. -P.3-143.

177. Gadomsky P.P., Kossovich L.Yu., Parfenova Ya.A. Transverse approksimation for transient waves in cylindrial Shells // Proceed, of 6-th Conf. Shell structures, Theory and Application.Gdanst-Yurat. -1998. -P. 121-123.

178. Green A.E. Boundary Layer Equations in the linear theory of thin elastik sheels // Proc. Roy. Soc., Ser.A. -1962. -Vol. 269. -No. 1339.

179. Green A.E. On the linear theory of thin elastic shells // Proc.Roy.Soc. A, -1962. -Vol. 226, №1325. P.143-160. // Русский перевод. Механика. -1963. -№2.-С. 115-135.

180. Kaplunov Yu.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies.-N.Y.: Acad.Press., 1998. -226 p.

181. Kossovich L.Yu., Parfenova Ya.A. Flexural transient waves in shells of revolution: An asimptotic approach.// ZAMP. -№4. -P.51. -2000. -P.611-628.

182. Lo K.H., Christensen R.M., Wu E. M. A highorder theory of plate deformation // Trans. ASME. Ser. E.J. Appl. Mech. -1977.- V.44. No .4. P. 663676.

183. Nemirovsky Yu.V. On bending and vibration of reinforced and bireinforced elastic and viscoelastic shells // Z. Angew. Math, and Mech. 1972. -Vol.52, № 10.-P. 327-331.

184. Plantema F.J., Alphen W.J . Compressive Buckling of Sandwich Plates Having Varios Edge Conditions. Anniv. Vol. Appl. Mech.Dedicated to C.B.Bieseno. Haarlem. Antwerpen.1953.

185. Reiss E.L. On the theory of cylindrical shells // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1962. - Vol: 15, №3. -P. 325-338.

186. Reissner E. On the theory of bending of Elastic plates // J. Math, and Phys. -1944. -Vol.23 .No.4. -P. 184-191.

187. Reissner E. The effects of transverse shear deformation on the bending of Elastic plates // J. of Appl. Mech. -V. 12. No.2. Trans. ASME. 1945. - V.67. -P. 69-77.

188. Reissner E. Finite deflections of Sandwich plates. JAS. -1948. -V.15.№7.

189. Sarkisyan V., Geghamyan B.,Gyubadyan E. New Approach to the Optimization of Anisotropik Plates and Shell// II World Congress of Struktural and Multididsciplinary optimisazion.Warsaw.Poland. 1997, pp. 865-870.

190. Friedrichs К. O. Kirchhoff 's Boundari conditions and the Edge Effect for Elastik Plates // Proc. Symp., Appl. Math.3. Amer.Math. Sos., N.Y. 1950.

191. Friedrichs К. O. Asymptotic Phenomena in Matematical Physiks // Bull. Amer. Math. Sos., 1955.-Vol. 61.-P. 485.

192. Присяжнюк В.К.,Зайвелев И.Б. К решению плоской задачи теории упругости для многослойного ортотропного композита //Механика композитных материалов. -1991. №З.С. 206-214.

193. Бутенко Ю.И. Построение неклассической модели расчета многослойной конструкции заданной точности. // Сб. материалов XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции. Ч. 1 -Казань. -2003.С.326-327.

194. Устинов Ю.А. Переход от трехмерной задачи теории упругости к двумерной для замкнутой сферической оболочки при негладкой внешней нагрузке // Тр.VI Всесоюзн. конфер. по теории оболочек и пластин. -М.: Наука. 1966. -С.762-765.

195. Поляков Н.А., Устинов Ю.А. Исследование асимптотического поведения решения задачи теории упругости вблизи сосредоточенной силы для замкнутой оболочки // Тр.VII Всесоюзн. конфер. по теории оболочек и пластин. -М.: Наука. 1970. -С.493-497.

196. Мехтиев М.Ф., Устинов Ю.А. Асимптотическое поведение решения осесимметричной задачи теории упругости для полого конуса // Tp.VII Всесоюзн. конфер. по теории оболочек и пластин. -М.: Наука. 1970. -С.425-427.

197. Аксентян Н.К., Поляков Н.А., Устинов Ю.А. Трехмерное напряженное состояние плиты в окрестности нагрузки локального типа

198. Тр.VIII Всесоюзн. конфер. по теории оболочек и пластин. -М.: Наука. 1973.-С.13-16.

199. Мехтиев М.Ф., Устинов Ю.А. Асимптотическое поведение решения задачи теории упругости для плиты переменной толщины // Тр.VIII Всесоюзн. конфер. по теории оболочек и пластин. -М.: Наука. 1973. -С.58-60.