Нелинейные задачи для многосвязных пластин с подкрепленными круговыми отверстиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Косилова, Елена Федоровна

• Косилова, Елена Федоровна
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Косилова, Елена Федоровна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАТИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

1.1. Основные понятия и соотношения, описывающие напряжённо-деформированное состояние сплошной среды

1.2. Закон состояния нелинейно-упругого тела

1.3. Интегрирование разрешающей системы. Теория последовательных приближений

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ТРЁХМЕРНОЙ ТЕОРИИ ДЛЯ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ ПЛАСТИН.

2.1. Постановка задачи. Получение разрешающей системы в комплексных координатах и её решение в первом приближении

2.2. Сведение решения трёхмерной задачи к решению двумерных краевых задач во втором приближении.

2.3. Удовлетворение граничным условиям на плоских гранях пластины во втором приближении

2.4. Вывод граничных условий для решения бигармони-ческого и метагармонических уравнений

2.5. Вывод основных соотношений для тонких пластин. 65 "ЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПЛАСТИНКИ С ДВУМЯ КРУГОВЫМИ УПРУГИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

3.1. Постановка задачи. Представление комплексных потенциалов первых двух приближений

3.2. Сведение решения задачи о напряжённом состоянии пластинки к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений

3.3. Исследование напряжённого состояния пластинки с двумя отверстиями, подкреплёнными упругими кольцами

3.4. Определение напряжённого состояния пластинки с двумя упругими ядрами

ГЛАВА 4. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПЛАСТИНКИ С КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ, ПОДКРЕПЛЁННЫМИ УПРУГИМИ КОЛЬЦАМИ

4.1. Постановка задачи. Общие соотношения для комплексных потенциалов

4.2. Получение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений

4.3. Влияние нелинейных эффектов второго порядка на напряжённое состояние пластинки с упругими кольцами

4.4. Исследование напряжённого состояния пластинки, ослабленной периодической системой отверстий с упругими кольцами

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные задачи для многосвязных пластин с подкрепленными круговыми отверстиями»

В настоящее время возрос интерес учёных как в нашей стране, так и за рубежом к проблемам нелинейной теории упругости. Вызвано это, прежде всего, тем, что в различных отраслях техники, промышленности и строительства получили довольно широкое применение новые синтетические материалы на полимерной основе, имеющие довольно высокие пределы прочности, способные работать в сложных физико-химических условиях и испытывать большие деформации.

Быстро развивающемуся народному хозяйству требуется всё больше материальных ресурсов, и остро встаёт вопрос об экономном и рациональном их использовании. Поэтому важным требованием является оптимальное проектирование конструкций, и, следовательно, практика требует от науки теорий, способных более точно и полно учитывать реальные свойства материалов. Кроме того, само развитие науки всегда шло и идёт по пути обобщения и уточнения существующих теорий, отказа от тех или иных упрощающих предположений.

Линейная теория упругости, описывая поведение механических тел, основывается на следующих основных предположениях:

1) градиенты перемещений считаются настолько малыми, что их произведениями и квадратами можно пренебречь по сравнению с первыми степенями;

2) соотношения между напряжениями и деформациями выбираются линейными.

Многие материалы (цветные металлы, пластмассы, грунты, горше массивы) уже на упругой стадии своей работы не подчиняются закону Гука. Отказавшись от линейности соотношений между напряжениями и деформациями, но оставляя предположение о малости деформаций, приходят к варианту физически нелинейной теории упругости.

При исследовании физически линейных материалов, имеющих высокие прочностные характеристики, значительный интерес представляют задачи о напряжённо-деформированном состоянии с учётом конечных деформаций. В этом случае приходят к геометрически нелинейным задачам.

Третий, более обпдай вариант нелинейной теории упругости рассматривает задачи в общей нелинейной постановке, то есть с учётом физической и геометрической нелинейности одновременно.

Первые исследования в области нелинейной теории упругости появились ещё в ХУШ веке. Это были работы Д.Бернулли и Эйлера [753 . Затем нелинейной теорией деформирования занимались А.Коши, Г.Грин, В.Сен-Венан, Г.Кирхгоф, В.Кельвин, Г.Гельмгольц, Г.Стоке, И.Фингер \>51 . Благодаря их исследованиям были заложены основы нелинейной теории упругости. Но развитие теории упругости в общей нелинейной постановке сдерживалось отсутствием технического приложения и соответствующего математического аппарата.

На качественно новую ступень в своём развитии поднимается нелинейная теория упругости в связи с появлением в 1937 году работы Р.I).Ми.'г.аа^Кхз.^а ВОН, в которой он сформулировал основные соотношения нелинейной теории упругости с помощью тензорного аппарата и общих криволинейных координат. Это привело к обзорным соотношениям теории и компактным формулировкам многих проблем. Им же был построен закон деформирования теории упругости второго порядка .

Большой вклад в развитие основ нелинейной теории упругости внесли также работы итальянских механиков во главе с А.Синьорини. >атьи А^ухо^и-и. [104 ] и Ог. [1081 посвящены качественному исследованию уравнений нелинейной теории и их решений.F.Stope^-[1051 для случая, когда поверхностные и объёмные силы содержат в качестве множителя параметр , доказал теорему существования и единственности решения системы уравнений нелинейной теории упругости и показал, что это решение можно представить в виде абсолютно сходящегося степенного ряда по £ с ненулевым радиусом сходимости .

Первые публикации по нелинейной теории упругости в СССР относятся к тридцатым годам [24,67, 751 . Дальнейшему её развитию в нашей стране способствовало появление публикаций по общим вопросам теории [10,25,^9,50,51,64,65,84, 85] . Эти работы, обсуждающие широкий круг вопросов, определили направление отечественных исследований по нелинейной теории упругости.

Различные аспекты нелинейной теории упругости рассматривались в работах М.А.Бабаева и И.А.Цурпала [61 , И.И.Гольденблата L12.1 , В.Г.Громова и Л.А.Толоконникова [171, А.Н.Гузя и Ю.Н.Не-миша[191 , А.Н.Гузя, Г.Н.Савина и И.А.Цурпала [201 , А.А.Ильюшина 1261. Я.Ф.Каюка[29], А.С.Космодамианского £441 , В.А.Ломакина [55] А.И.Лурье [57] , Б.Е.Победри[681 , Ю.Н.Работнова[72] , Г.Н.Савина [74], Г.С.Тарасьева и Л.А.Толоконникова [82] , Л.П.Хо-эошуна[89], И.А.Цурпала [90] , К.Ф.Черныха £92] , Н.А.Шульги [94,95] 1 других.

Подробные обзоры работ по нелинейной теории упругости содержатся в статьях и монографиях А.А.Амандосова и И.3.Шаги-Султана С.А .Амбарцумяна [3] , К.З.Галимова [11] , А.Грина и Дж. ^дкинса[16], Г.Дойла и Дж.Эриксена [23] , А.А.Ильюшина[26] , '.Каудерера [2.81 , В.В.Новожилова, Л.А.Толоконникова и К.Ф.Черныха :66] , Г.Н.Савина и Ю.И.Койфмана[75] , Л.И.Седова 1791 , И.А.Цур-[ала и Г.Г.Кулиева [91] .

Во многих ответственных элементах конструкций и при строительстве подземных сооружений часто нарушается сплошность среды -наличием пазов, смотровых щелей, тоннелей, отверстий, полостей. Это обусловлено конструктивными, технологическими, экономическими, эстетическими и другими потребностями. В непосредственной близости от различного рода отверстий возникают дополнительные напряжения, которые иногда в несколько раз превышают напряжения в сплошной среде. Поэтому проблема прочности при концентрации напряжений является чрезвычайно важной для решения задач инженерной практики.

При решении большинства задач указанного типа весьма плодотворными оказались методы, основанные на использовании аппарата теории функций комплексного переменного. Методы, разработанные Г.В.Колосовым[37] и Н.И.%схелишвили [581 , дали возможность рассматривать широкие классы задач и способствовали развитию исследований по концентрации напряжений. Обзор работ, относящихся к этому направлению, дан в статьях 61 и монографии 1451 .

Основной целью проектирования конструктивных элементов с отверстиями является устранение концентрации напряжений около отверстий. Снижение концентрации возле отверстий достигается путём подкрепления их упругими элементами, которые, составляя небольшую по весу часть конструкции, существенно влияют на её прочность и жёсткость. В работах И.Г.Арамановича [5] , Д.В.Вайнберга [?] , А.С.Космодамианского [42] , Г.Н.Савина и В.И. Тульчия[7?1 и других в линейной постановке рассматривается класс задач об упругом равновесии таких пластинок.

В рамках варианта нелинейной теории упругости, предложенной А.Грином и Дж.Адкинсом [16] , были решены задачи о концентрации напряжений как возле свободных отверстий [56,47,741 , так и возле подкреплённых абсолютно жёсткими кольцами [473 и тонким;, упругим стержнем [7Л1 .

Следует отметить, что большинство расчётов на прочность многосвязных пластин основывается на введении гипотезы о двумерном напряжённо-деформированном состоянии. Такая постановка приемв лема в тех случаях, когда конструкция изготаливается с соответствующим запасом прочности. Повышение требований к экономичности и надёжности конструкций приводит к необходимости учёта пространственного характера их напряжённо-деформированного состояния. В последнее время появилось большое число работ, авторы которых подходят к решению задач с позиций трёхмерной теории упругости.

Существенным моментом в этих исследованиях явилось построение асимптотических методов [8] , [15] . И.И.Воровичем и его учениками на основании однородных решений А.И.Лурье был предложен вариант асимптотической теории для исследования напряжённо-деформированного состояния пластин средней толщины [1,91 Дальнейшее развитие асимптотический метод И.И.Воровича получил в работах А.С.Космодамианского, В.Н.Ложкина и Ю.В.Мысовского при рассмотрении многосвязных пластин .

Обзор работ по трёхмерным задачам помещён в статьях И.И.Воровича [8] , В.К.Прокопова [?1] , А.С.Космодамианского [43] .

В работах А.С.Космодамианского и М.Д.Гремалюка[46], З.И.Ко-сенко [35] , Ю.Н.Немиша [61] излагаются методы решения пространственных задач теории упругости для пластин, изготовленных из физически нелинейного материала.

Построению теории изгиба пластин с учётом физической и геометрической нелинейности посвящены работы С.М.Клойзнера и А.С.Космодамианского [35] , Л.А.Толоконникова и Н.М.Матченко [88] •

Целью данной диссертационной работы является:

- построение разрешающих уравнений и разработка метода решения трёхмерных задач о напряжённом состоянии многосвязных пластин, загруженных симметрично относительно их срединной плоскости, в общей нелинейной постановке;

- получение основных соотношений общей нелинейной теории упругости для решения двумерных граничных задач;

- исследование влияния нелинейности (физической и геометрической) на распределение напряжений в многосвязных кусочно-однородных пластинках на основе решения ряда конкретных задач.

Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и содержит 112 страниц машинописного текста, 27 рисунков, 18 таблиц и библиографический список, включающий 108 наименований.

В первой главе приведены основные соотношения, характеризующие напряжённо-деформированное состояние сплошной среды, закон состояния нелинейно-упругого тела. За основу принимается вариант общей нелинейной теории упругости, разработанный А.Грином, Дж. Дцкинсом [Í61 . Получена разрешающая система уравнений нелинейной теории упругости в перемещениях - квадратичный аналог уравнений Навье-Ламе. Разрешающая система представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений и интегрируется с помощью метода последовательных приближений. Этот метод позволяет свести решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач, причём первое приближение представляет собой классическую линейную задачу. Во втором приближении решение задачи сводится к интегрированию неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Во второй главе построена общая нелинейная трёхмерная теория для многосвязных пластин, загруженных симметрично относительно срединной плоскости. С помощью метода однородных решений задача приводится к нахождению в каждом приближении бигармонической функции Р и метагармонических функций В^ и , являющихся решением уравнения Гельмгольца. При получении граничных условий для этих функций использована идея метода Бубнова-Галёркина. Здесь осуществлено требование ортогональности невязок, получаемых при подстановке в граничные условия однородных решений, к выбранной базисной системе функций. Это позволило получить граничные условия для определения искомых функций в виде бесконеч- -ной системы функциональных уравнений. Здесь же, исходя из трёхмерной нелинейной теории, в качестве частного случая получены соотношения для плоской задачи. В работах [16,7^1 эти соотношения получены иным путём.

Третья глава посвящена решению нелинейной задачи для пластинки с двумя круговыми упругими кольцами (ядрами). Задача сведена к решению в каждом приближении бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов искомых комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили. Исследовано влияние нелинейных эффектов второго порядка на напряжённое состояние пластинки в зависимости от вида загружения, соотношения жёстко-стей пластинки и включений, расстояний между отверстиями, а также толщины подкрепляющих колец.

В четвёртой главе в общей нелинейной постановке решена задача о напряжённом состоянии пластинки с двоякопериодической системой круговых отверстий, подкреплённых упругими кольцами. Как и в предыдущей главе задачи сводятся к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Проведены численные исследования влияния нелинейности на напряжённое состояние пластины в зависимости от физических и геометрических факторов. В качестве частного случая рассмотрена нелинейная задача для пластинки с периодической системой подкреплённых круговых отверстий.

Для численной реализации алгоритмов задач составлены комплексы программ на языках "АКД-Днепр-21" и "ФОРТРАН". Полученные результаты представлены в виде таблиц и графиков.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

Основное содержание диссертации изложено в работах С31,32, 33,39, 40,411 и апробировано на отчётных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Донецкого государственного университета, г.Донецк, на объединённых семинарах кафедры теории упругости и вычислительной математики, кафедры теоретической и прикладной механики Донецкого государственного университета и отдела математических проблем упругости и пластичности Института прикладной математики и механики АН УССР, г.До-нец#,на Республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений", г.Донецк (1983г.), на семинаре отдела электроупругости Института механики АН УССР, г.Киев (1984г.).

Диссертационная работа была выполнена при постоянном и внимательном отношении к ней моего учителя - А.С.Космодамианского, за что считаю своим приятным долгом выразить ему глубокую благодарность.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Косилова, Елена Федоровна

Основные результаты приведенных в диссертации исследований сводятся к следующему:

1. Построены разрешающие уравнения статической нелинейной теории упругости в трёхмерной постановке в комплексных переменных.

2. Разработан метод решения трёхмерных задач нелинейной теории упругости для многосвязных пластин, загруженных симметрично относительно их срединной плоскости.

3. В виде частного случая трёхмерной задачи получены основные соотношения для решения двумерных граничных задач нелинейной теории упругости.

4. Решены новые задачи о напряжённом состоянии тонких многосвязных пластин с конечным и бесконечным числом круговых отверстий, подкреплённых упругими кольцами (ядрами) в нелинейной постановке .

5.Использованы эффективные методы, позволяющие свести решение плоской нелинейной задачи теории упругости для многосвязных областей к решению бесконечных систем алгебраических уравнений.

6. Для численной реализации задач разработаны алгоритмы и составлены комплексы программ для ЭВМ. Это дало возможность получить результаты с высокой степенью точности и детально исследовать влияние нелинейных эффектов второго порядка на концентрацию напряжений в пластинке с упругими включениями для различных случаев её загружения. При этом варьировалась жёсткость включений, расстояние между ними и ширина колец.

На основании анализа полученных численных результатов можно сделать следующие выводы:

1. При решении задач о напряжённом состоянии пластин с учётом нелинейных эффектов второго порядка концентрация напряжений существенно зависит от упругих свойств материалов и величины внешней нагрузки.

2. В случае всестороннего растяжения пластинки с подкреплёнными отверстиями, когда нелинейные поправки незначительны (3-5%), при инженерных расчётах их можно не учитывать.

3. Усиление неравномерности в распределении напряжений около отверстий приводит к усилению влияния нелинейных эффектов второго порядка на концентрацию напряжений в пластинке; снижая пики напряжений, возникающих вблизи подкреплённых отверстий, на 25-35%, учёт нелинейности может выявить дополнительные резервы прочности конструкций.

4. В случае, когда внутренние контуры колец подвержены действию равномерного нормального давления, учёт нелинейных эффектов второго порядка приводит к снижению концентрации напряжений вблизи включений на 15-25$, если материал пластинки жёстче материала включений. Когда материал подкрепляющих колец жёстче материала пластинки, имеет место примерно такое же повышение концентрации напряжений. Вычисление напряжений в рамках линейной теории содержит существенные погрешности, и, следовательно, расчёт напряжённого состояния пластинки в этом случае необходимо вести по нелинейной теории.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Косилова, Елена Федоровна, 1985 год

1. Аксентян O.K., Ворович И.И. Напряжённое состояние плиты малой толщины. - Прикл.математика и механика, 1963, 27, вып.б, с.1057-1074.

2. Амандосов A.A., Шаги-Султан И.З. Проблемы нелинейной теории упругости. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1972, № 9, с.10-22.

3. Амбарцумян С.А. Исследования в области теории оболочек и пластин, выполненные в Академии наук Армянской ССР в период с 1971 по 1975гг. Изв. АН Арм.ССР. Механика, 1976, 29, № I, с. З-И.

4. Амензаде Ю.А., Бабаев М.А. Равновесие кусочно-однородных физически нелинейных упругих составных тел. Прикл.механика, 1969, 5, вып.9, с.62-68.

5. Араманович И.Г. О распределении напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкреплённым круговым отверстием. -Докл. АН СССР, 1955, 104, № 3, с.37-40.

6. Бабаев М.А., Цурпал И.А. Двухосное однородное напряжённое состояние физически нелинейной пластинки с круговым отверстием. Инженерный журнал, 1965, 5, вып.5, с.876-882.

7. Вайнберг Д.В. Концентрация напряжений в пластинах около отверстий и выкружек: Справочное пособие. Киев: Техника, 1969. - 220с.

8. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентрации напряжений. -Концентрация напряжений, 1968, вып.2, с.45-53.

9. Ворович И.И., Малкина О.С. Асимптотический метод решения задачи теории упругости о толстой плите. В кн.: Тр. 1У Всесоз.конф. по теории оболочек и пластинок (Баку, 1966). М., 1966, с.277-280.

10. Галимов К.З. К общей теории пластин и оболочек при конечных перемещениях и деформациях. Прикл.математика и механика, 1951, 15, вып.6, с.723-742.

11. Галимов К.З. 0 некоторых направлениях развития механики деформированного тела в Казани. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1979, № 14, с.11-82.

12. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. -М.: Наука, 1969. ЗЗбс.

13. Гольденвейзер А.Л. Асимптотическое интегрирование линейных дифференциальных уравнений в частных производных с малой правой частью. Прикл.математика и механика, 1959, 23, вып.1, с.35-37.

14. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. - 556с.

15. Григоренко А.Я. Исследование некоторых нелинейных краевых задач деформирования трёхмерных тел. В кн.: П Укр.респ. конф. молодых учёных по механике. Тез.докл. Киев, 1979, с.56-59.

16. Грин А., Адкинс Дк. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1955. - 455с.

17. Громов В.Г., Толоконников Л.А. К вычислению приближений в задаче о конечных плоских деформациях несжимаемого материала Изв.АН СССР. Механика и машиностроение, 1963, № 2,с.81-87.

18. Гузь А.Н. Об исследованиях по механике деформируемого твёрдого тела в Академии наук УССР. Прикл.механика, 1978, 14, № 9, с.3-14.

19. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. Киев: Вища школа, 1982. - 350с.

20. Гузь А.Н., Савин Г.Н., Цурпал И.А. Концентрация напряжений около криволинейных отверстий в физически нелинейной упругой пластинке. Afcck. Meek, stos . , 1964, 16, № 4,с.1009-1020.

21. Гузь А.Н., Цурпал И.А. 0 решении плоских физических нелинейных задач теории упругости для многосвязных областей. -Прикл.механика, 1968, 4, № II, с.41-49.

22. Доборджгинидзе Л.Г. Плоская нелинейная задача о распределении напряжений возле отверстий. Прикл.механика, 1982, 18, № 9, с.120-122.

23. Дойл Т., Эриксен Дж. Нелинейная теория упругости. В кн.: Проблемы механики. М.: Изд.иностр.лит-ры, 1959. - 312с.

24. Зволинский Н.В., Риз П.М. 0 некоторых задачах нелинейной теории упругости. Прикл.математика и механика, 1939, 2, вып.4, с.7-11.

25. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1946. - 376с.

26. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978. - 237с.

27. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. М.Л.: Изд-во физ.-мат.лит-ры, 1962. - 708с.

28. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд-во иностр. лит—ры, 1961. - 777с.

29. Каюк Я.Ф. О сходимости разложений по параметру в геометрически нелинейных задачах. Прикл.механика, 1973, 9, вып.З, с.83-90.

30. Каюк Я.Ф. 0 сходимости метода последовательных приближений в геометрически нелинейных задачах. При кл. механика, 1973., 9, вып.9, С#104-112.

31. Клойзнер С.М., Косилова Е.Ф. Нелинейная задача для пластинки, ослабленной двоякопериодической системой круговых отверстий, подкреплённых упругими ядрами. Сопротивление материалов и теория сооружений, 1973, вып.21, с.143-150.

32. Клойзнер С.М., Косилова Е.Ф. Нелинейная задача для пластинки, ослабленной двоякопериодической системой круговых отверстий, подкреплённых упругими кольцами. Изв.АН СССР, Механика твёрдого тела, 1974, № 6, с.95-101.

33. Клойзнер С.М., Космодамианский A.C. 0 квазирегулярности бесконечных систем алгебраических уравнений, получающихся при решении двоякопериодических задач нелинейной теории упругости. Матем. физика, 1971, вып.10, с.35-42.

34. Клойзнер С.М., Космодамианский A.C. Задачи изгиба нелинейно-упругих многосвязных плит в трёхмерной постановке. -Докл. АН УССР. Серия А, 1975, № 8, с.707-710.

35. Койфман Ю.И. Плоские нелинейные задачи упругого равновесия многосвязных тел. Прикл.механика, 1970, б, вып.2, С.45-52.

36. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости. М.: 0Н1И, 1935. - 209с.

37. Косенко З.И. Напряжённое состояние физически нелинейной многосвязной пластинки в трёхмерной постановке. Донецк, 1979.- Збс. рукопись представлена Донецким ун-том. Деп. в ВИНИТИ 19 февраля 1979, № 638-79.

38. Косилова Е.Ф. Нелинейная задача для пластинки с конечным числом круговых отверстий, подкреплённых упругими кольцами.- Теорет. и прикл. механика, 1982, выикЕЗ, с.60-65.

39. Косилова Е.Ф. Напряжённое состояние многосвязной нелинейной пластинки с упругими включениями. В кн.: Республиканский симпозиум "Концентрация напряжений". Тезисы докладов, Донецк, 1983, с.56.

40. Косилова Е.Ф. Задача растяжения-сжатия нелинейно-упругой многосвязной пластины в трёхмерной постановке. Донецк, 1984. - 14с. - ^копись представлена Донецким ун-том. Деп. в УкрНИИНТИ 14 мая 1984, № 839-84.

41. Космодамианский A.C. Многосвязные задачи плоской теории упругости (обзор). Прикл.механика, 1967, 3, вып.2, с.1-19.

42. Космодамианский A.C. Некоторые физически нелинейные задачи теории упругости для многосвязных областей. Матем.физика, 1968, вып.5, с.118-126.

43. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. Киев: Вища школа, 1975. - 236с.

44. Космодамианский A.C., Гремалюк М.Д. Напряжённое состояние физически нелинейной плиты. Донецк, 1981. - 28с. - рукопись представлена Донецким ун-том. Деп. в ВИНИТИ 16 февр. 1981, № 716-81.

45. Космодамианский A.C., Клойзнер С.М. Некоторые задачи нелинейной теории упругости. (Учебное пособие). Донецк: Изд-во Донецк, ун-та, 1971. - 215с.

46. Космодамианский A.C., Савин Г.Н., Г>зь А.Н. Физически нелинейные задачи пластин и оболочек. Прикл.механика, 1967, 3, вып.10, с.23-31.

47. Крылов В.В. Плоская задача теории упругости для конечных перемещений. Прикл.математика и механика, 1946, 10, вып. 5-6.

48. Крылов В.В. К применению комплексных переменных в плоской задаче теории упругости для конечных перемещений. Прикл* математика и механика, 1948, 12, вып.1, с.37-45.

49. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М.-Л.: Гостехиз-дат, 1947. - 275с.

50. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736с.

51. Левин В.А., Тарасьев Г.С. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний. Докл. АН СССР, 1980, 251, № I, с.63-66.

52. Линейная теория упругости /А.И.Каландия, А.И.Лурье, Г.Ф.Ман-джавидзе, В.К.Прокопов. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т.З.М., 1972, с.4-70.

53. Ломакин В.А. О теории нелинейной упругости и пластичности анизотропных сред. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1960, № 4, с.87-90.

54. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. - 491с.

55. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.-512с.

56. ЭДусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 708с.

57. Напряжённое состояние пластин с отверстиями в трёхмерной постановке /А.С.Космодамианский, В.Н.Ложкин, Ю.В.Мысовский, В.А.Шалдырван. Донецк: Донецк.ун-т, 1970. - 253с.

58. Наумкин О.В., Смирнов Ю.П., Толоконников Л.А. Возможности построения квадратичной теории упругости. Прикл.механика, 1976, 3, вып.6, с.112-118.

59. Немиш Ю.Н. Приближённое решение некоторых пространственных физически нелинейных задач теории упругости. Прикл.механика, 1970, 6, № 7, с.53-57.

60. Немиш Ю.Н. О напряжённом состоянии нелинейно-упругих тел. -Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела, 1971, № 4, с.81-89.

61. Немиш Ю.Н. К обоснованию метода возмущения в трёхмерных задачах механики деформируемых сред. Прикл.механика, 1977, 13, № 12, с.25-33.

62. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - 211с.

63. Новожилов В.В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной упругой среде. Прикл.математика и механика, 1951, 15, вып.2, с.187-194.

64. Новожилов В.В., Толоконников Л.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. - М., 1972, т.З, с.71-78.

65. Панов Д.Ю. Применение метода акад. Б.Г.Галёркина для решения некоторых нелинейных задач теории упругости. Прикл.математика и механика, 1939, 3, вып.2, с.72-81.

66. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во Московск.ун-та, 1981. 344с.

67. Подильчук Ю.Н. Трёхмерные задачи теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979. - 240с.

68. Прокопов В.К. Применение символического метода к выводу уравнений теории плит. Прикл.математика и механика, 1965, 29, вып.5, с.902-919.

69. Прокопов В.К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложениям. Труды Ленингр.политехи.ин-та, 1967, 279, с.31-46.

70. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1979. - 744с.

71. Риз П.М., Зволинский Н.В. О законе Гука для конечных смещений. Изв. АН СССР. ОТН, 1938, № 8-9, с.172-200.

72. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. -Киев: Наукова думка, 1968. 887с.

73. Савин Г.Н., Койфман Ю.И. Общая нелинейная теория упругости (обзор). Прикл.механика, 1970, 6, № 12, с.3-26.

74. Савин Г.Н., Космодамианский A.C., Гузь А.Н. Концентрация напряжений возле отверстий. Прикл.механика, 1967, 3, вып. 10, с.23-37.

75. Савин Г.Н., Т^льчий В.И. Пластинки, подкреплённые составными кольцами и упругими накладками. Киев; Наук.думка, 1971. - 268с.

76. Савин Г.Н., Хорощун Л.П. Плоская задача физически нелинейных упругих тел. Прикл.механика, 1965, I, вып.4, c.I-II.

77. Седов Л.И. Основы нелинейной механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, i960. - 412с.

78. Тарасьев Г.С. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях. Прикл.механика, 1971, 7, вып.2, с.26-33.

79. Тарасьев Г.С. Об оценке "малого" параметра в одной задаче нелинейной теории упругости. Прикл.механика, 1980, 16, вып.7, с.137-139.

80. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации сжимаемого материала. Прикл.механика, 1966, 2, с.1-13.

81. Тарасьев Г.С., Цурпал И.А. Анализ вариантов квадратичных приближений в нелинейных задачах о концентрации напряжений. Концентрация напряжений, 1968, вып.2, с.167-179.

82. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости. Прикл.механика, 1956, 20, вып.З, с.439-444.

83. Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации несжимаемого материала. Прикл.математика и механика, 1959, 23, вып.1, с.146-158.

84. Толоконников Л.А. Основные соотношения квадратичной теории упругости. Уч.записки Ростовск. гос. ун-та, 1959, 66, вып.7, с.201-214.

85. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твёрдого тела. -М.: Высшая школа, 1979. 318с.

86. Толоконников Л.А., Матченко Н.М. Построение квадратичной теории изгиба пластин. В кн.: Материалы летней школы по проблеме "физически и геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек". Тарту, 1966, с.87-95.

87. Хорощун Л.П. 0 построении уравнений пластин и оболочек при нелинейных поперечных сдвигах. В кн.: Теория и методы расчёта нелинейных пластин и оболочек. Саратов, 1981, с.21-24.

88. Цурпал И.А. Расчёты элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев: Техника, 1976. - 174с.

89. Цурпал И.А., Кулиев Г.Г. Задачи концентрации напряжений с учётом физической нелинейности материала (обзор). Прикл. механика, 1974, 10, вып.7, с.3-22.

90. Черных К.Ф. Основные соотношения нелинейной механики твёрдого деформируемого тела. В кн.: Механика деформируемых сред. Куйбышев, 1976, с.9-72.

91. Шерман Д.И. О напряжениях в плоской весомой среде с двумя одинаковыми симметрично расположенными круговыми отверстиями. Прикл.математика и механика, 1951, 15, вып.6, с.751-761.

92. Шульга H.A. Изгиб тонкой пластинки, ослабленной круговым отверстием, при нелинейном законе упругости. Прикл.механика, 1965, I, вып.II, с.39-44.

93. Шульга H.A. Изгиб тонких физически нелинейных плит. Прикл. механика, 1966, 2, вып.12, с.18-26.

94. AdkLnb к.Ъ. Paarte p&oUem^ t-n. ^econ.dL-сякЛе^ TKeo^ . P^oc. of -th.e Rov^, Soa.^

95. X, 1957, V 259, ^ 1219 , p. 25? "275.

96. AdLki-П-Ъ 16. (j^een. k.ib., HtcKo^-Q-^ G-.&.

97. Twо cLLm.en-bLo rtat TKeo^ oi ££a.-btLcLti^ f Labte.

98. Deio^rrux-bi-on.^. PhiJL Таап.ъ oi th.e Soe., -ье.^. к,

99. AdLki-rvbl^., G-^eea. R.T . Fi.nL-te f)(La-te ^t^aJua.-PKbL Т^сшиь о £ -ЬКе Rov. Sjoc., -ъе^.К, 1Q53, V.246, M 910, p. 181 "213.

100. Do^Ee T.C., ёл.'шк^е.п, 3.L., Non.-ü.n.ecua eP-avtLcLt^. . -AcJlv. Kppt. MecVu., 1956, V. Ц , p. 541-569.

101. G-^een- A.&., Ze^na W. Theo^etLc-aX -Oocio^, Un.Lv. Р^е-ъъ., i<354. 415p.

102. MuL^ruaj^h-cUT. F.D. F-LrùAe defo^nxadbLori. oí сиг e^attic. *oludL-iWe*. 3. Ma£W., 1937 , И 59,p.3?-5^.

103. Ri-vE-ln. R.^. Som.e topLe^ Lrv fi.rúA.e eloL-btUiLt^ , ъЪгис.Ъх'г.а.С- nxecKcLi-ÙJCAi. P^oc. o f tb.e Fi/zi^t Stymp. о п. Na. val -bt^uLcit. Mech.,N.y.,

104. P е'г^а.пп.оги , I960, p 172 - 199.

105. Riví-Ln. R.S., Fu.rLdLcLm.e.n.tCL?.of non-Lt-пдал corL.tLrLu.u.m. rnec.Vu3nJvcjb. ~ Tkeo^ii of pe.a.-te'i a.nd. ,B^CLt'ub^ava,1966,p.?0-¿2.

106. ЮЦ. Sü^RotaLL А. (XuebtLorù- cLï. Non.llReoL^e-^^ata . ~~ Roma, i9e>o *<76p.

107. Stopeté- F. Un. •ЬКео'г.еггих dL e.i>U>-te.^cL éd.

108. UrLLCLtcx J^ficutLvo alto. e^rux^Lonl dsilteta.-bto-bta±Lca. Lt>o"te.MrrLCL. pe.^. cLefo^rnxxiLoru.fLrùjte. — Rûce't.c.b.e пха±епг.а.1цса., 195A , 3 , , p. 23-30.

109. TVue-bdef-?. C. S'loc. features on. n^odL&^n. na.~tu^o-t pkii.o*>opVu¿. N.4., Sp'g.Ln.cje.* Ve^cuc^, 1966 34lp.

110. ЗЧи.е-ьсЫ1 C.,Nott W. Th.e rLon.-eLn.ea.>?. fLetd theo^Le.*» of mec-h.cLnLaъ. HonxdL^u.c.K. d&^L Phi^Lk, Bd. m/3, He^LL-b^. von. *>. FtL'LC^e.,1965.

111. Gr^lotLG-., Ma.tb.em.at'Lea^ of elastLc. e^uAli.&^.LULrrv. (^eceat ^esuXts}. ~ B&fctLrx. , Spfcuruje* ITe^cu^ ,1962 .-352 p.