Смешивание фермионных полей разной четности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Кобелева, Елена Анатольевна

• Кобелева, Елена Анатольевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кобелева, Елена Анатольевна

Оглавление

Введение

1 Петлевое смешивание в системе фермионов

1.1 Смешивание фермионных полей одинаковой четности

1.2 Смешивание фермионных полей разной четности

1.3 Амплитуда тгЫ рассеяния с учетом смешивания полей 1/2±

1.4 Численные оценки наблюдаемых эффектов

2 Смешивание в системе барионов 3/2±

2.1 Петлевое смешивание для полей спина 3/2 и амплитуды ттЫ рассеяния

2.2 Парциальные волны Р\з пЭ^ и эффекты смешивания

3 Смешивание полей разной четности и А-матричный подход

3.1 Применение /Г-матрицы для описания барионных резонансов

]р = 1/2±

3.2 Совместный анализ парциальных волн 511 и Р11

3.3 Полюсная схема для резонанса и условие симметрии

Заключение

Список иллюстраций

Список таблиц

Литература

А Кинематика ттЫ рассеяния

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Смешивание фермионных полей разной четности»

Введение

В настоящее время эффекты смешивания состояний (или полей) хорошо известны в физике нейтрино [1], кварков [2] и адронов и продолжают являться объектом интенсивных исследований. Это явление, квантомехани-ческое по природе, возникает в том случае, если рождаются и детектируются не состояния с определенной массой, а их суперпозиция. Что касается теоретического описания явлений смешивания, то с течением времени и развитием эксперимента происходит постепенный переход от упрощенного квантовомеханического формализма к методам квантовой теории поля(см., например, обзор [3] и более поздние работы [4-11]). При этом центральными объектами становятся матричные вершина и пропагатор с учетом петлевых поправок.

Смешивание фермионных полей имеет некоторые особенности по сравнению с бозонными. Во-первых, это наличие 7-матричной структуры в про-пагаторе. Во-вторых, фермион и антифермион имеют противоположную Р-четность, поэтому в фермионном пропагаторе содержатся вклады разной четности. Четность фермионного поля - это четность соответствующего решения с положительной энергией. В результате, помимо стандартного смешивания полей с одинаковыми квантовыми числами, для фермионов существует смешивание полей противоположной четности, даже если четность сохраняется в вершине. Поэтому при одевании двух фермионных полей возникает также недиагональный собственно-энергетический вклад, что приводит к матричному пропагатору необычного вида и к модификации ампли-

туд.

Диссертация посвящена изучению нестандартного эффекта петлевого смешивания фермионных полей противоположной четности (OPF-смешивание) в рамках квантовой теории поля и поиску проявлений этого эффекта при рождении барионных резонансов.

Одним из основных источников информации о барионных резонансах является процесс упругого itN рассеяния, где проделан парциальный анализ амплитуд на большом статистическом материале [12-24]. В этом процессе рождаются барионные резонансы различных спинов и четности, поэтому с учетом достигнутой высокой точности парциального анализа это наиболее подходящая область для поиска экспериментального проявления OPF-смешивания.

Оказалось, что учет эффекта OPF-смешивания в амплитудах itN —> itN приводит к хорошо известному соотношению Мак-Дауэлла [25] (см. (3.7)), связывающему две парциальные волны. Тем самым, обсуждаемый эффект дает конкретную реализацию общего свойства симметрии Мак-Дауэлла. Но при анализе данных это свойство обычно не используется. С точки зрения наблюдаемых величин это приводит к тому, что резонанс в одной парциальной волне порождает фон в другой и наоборот.

Наиболее простым физическим примером проявления эффекта смешивания являются парциальные волны Р\ з и D\3, где рождаются барионы Jp = 3/2±. Дело в том, что в этих волнах наблюдается только по одному резонансному состоянию в области энергий ниже 2 ГэВ в отличие от других парциальных волн. Другой физический пример проявления эффекта смешивания полей разной четности связан с волнами 5ц,Яц в ttN рассеянии, где рождаются барионы Jp = 1/2±,¡ = 1/2. Наиболее интересным объектом для рассмотрения здесь является так называемый Роперовский резонанс N(1440), который имеет некоторые необычные свойства и для него до сих пор существуют проблемы с описанием [19,20,26-36].

Целью данной работы является теоретическое изучение смешивания фермионных полей разной четности при сохранении четности в вершине и анализ экспериментальных данных парциального анализа irN рассеяния с учетом этого эффекта.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения.

Во введении отражена актуальность исследуемой темы, сформулированы цели и задачи работы и излагаются основные результаты работы.

В первой главе рассматривается смешивание фермионных полей с точки зрения квантовой теории поля.

В разделе 1.1. рассматривается стандартная картина петлевого смешивания фермионов с одинаковыми квантовыми числами. Для получения одетого фермионного пропагатора необходимо решить уравнение Дайсона-Швингера:

G(p) = G0 + GEG0. (1)

Для решения этого уравнения удобно использовать разложение в базисе проекционных операторов Л±(р) = ± В этом базисе уравнение Дайсона-Швингера сводится к уравнениям на числовые коэффициенты. Коэффициенты в проекционном базисе обладают очевидным свойством:

S 2(W) = Zl(-W). (2)

При наличии недиагональных переходов S/y, связывающих различные фермионные поля уравнение Дайсона-Швингера приобретает матричные индексы. Будем полагать, что фермионные поля Ф,- обладают одинаковыми квантовыми числами и в лагранжиане четность сохраняется. Матричный

одетый пропагатор в базисе Л± выглядит так:

в(р) = А+(51(Ю)"1 +Л-(52(1Г))-1 =

- т2 - Е22

= Л+

'12

\

У1 21

V

А,

-т2-Е222

А1 А1

+

/

(3)

Е?

+ Л"

12

\

V

а2 а2

а2

-1Г-/П1 -Е2п

А2

/

где

А1 = (№-т1-Е\1){№-т2-Е|2) - Е^Е?,,

д2 = ( - ^ - гщ - Е^) ( - Г - т2 - Е^2) - Е?2Е|! = А{

■Г). (4)

Поэтому задача смешивания для фермионов с использованием проекционного базиса А± технически ничем не отличается от смешивания бозонов, кроме очевидной замены 5 — т2 -» — т.

Использование проекционных операторов Л* разделяет вклады полюсов с положительной и отрицательной энергией. Поскольку матричные коэффициенты связаны соотношением ^(ТСП = 1^), то достаточно перенормировать только вклады полюсов с положительной энергией С\{№).

В разделе 1.2 рассмотрено совместное одевание двух фермионных полей разной четности при сохранении четности в вершине. Это приводит к тому, что диагональные петлевые переходы Е// содержат только I и р матрицы, а недиагональные Е12, Е21 обязательно содержат 75. Проекционный базис необходимо дополнить элементами, содержащими 75:

Р1=Л+, Г2 = А~, Р3 = Л+75, Р4 = А~7.

(5)

В этом базисе матрица одетого пропагатора имеет вид:

0 \

а =7^1

\

А1 О

+Т2

\ /

Л2

О

а2

о

+

\

п

/

+

(6)

/

о ^

з А1 х!Г 0

\д2

+ Г4

( У4 \

о ^

4 А2

^21 0

/

Здесь

= -тх-Ъ^^-УУ-т2-Е|2) - Е?2Е|1, Д2= (-\F-mi -т2-Т}22) =

(7)

В матричном пропагаторе появились вклады с 75 матрицей. Однако при вычислении матричных элементов они умножаются на соответствующие вершины и в адронных амплитудах 75 отсутствуют.

В разделе 1.3. рассмотрено влияние эффекта ОРР-смешивания на процессы рождения барионных резонансов спин-четности ]р = 1/2± с изоспи-ном / = 1/2 в 7гЛ/-столкновениях: -кЫ —» ттЫ .

В случае п каналов, амплитуда рассеяния является матрицей размерности п:

Т = й{р2, 52)Ли(р\, 5\), (8)

где й(/?2,52) и и{р\,8\) четырех-компонентные спиноры, соответствующие конечным и начальным состояниям нуклона, а Я — матрица той же размерности п, состоящая из пропагатора й и констант связи.

Рассмотрим два состояния разной четности: Л^(1/2)+ и ^(1/2)" и два

канала (кЫ и 7]Ы). В этом случае матрица Я имеет вид:

Д = - х О х , (9)

Я2.7Г) \ §2,п §2,7] )

и обобщение для случая п каналов и т смешивающихся состояний очевидно.

Используя матричный пропагатор с учетом ОРР-смешивания можно получить двухканальные 5- и р- парциальные волны. Полученные амплитуды удовлетворяют многоканальному условию унитарности. Но некоторые качественные вещи видны из древесных амплитуд, которые выглядят очень просто:

(£1 + тм) г ёх

ПШ -> тгЛП = ^ + тм) Г

т\ — 1712

2 гЛ

(10)

тгЛГ) = {Ех ~ т) [ - ё{<* +

(П)

Здесь № = л/б — полная энергия в системе центра масс, и Е^ -

энергия нуклона в системе центра маса для системы (г/УУ)

~ 2\У ' { }

Можно отметить, что полученные амплитуды (и в частности (10)-(11)) обладают симметрией Мак-Дауэлла, связывающей две парциальные волны

ЫГ) = ЧшА-Ю, (13)

Заметим, что полученные парциальные волны удовлетворяют условию унитарности.

В разделе 1.4. мы используем полученные формулы (1.27), (1.29) для 7гА^ парциальных 5- и р-волн, где могут рождаться барионы ]р = 1/2±. Нас интересуют пока лишь оценки наблюдаемых эффектов, поэтому ограничимся одноканальными формулами, а имеющиеся параметры зафиксируем так, чтобы они грубо соответствовали параметрам резонансов. Такие оценки показывают, что смешивание полей разной четности приводит

к вполне заметным по величине эффектам в 5-волне, тогда как в р-волне влияние гораздо меньше. Такая картина объясняется величинами констант связи в (10)-(11) тг| ^ |§1,7г| и видна на качественном уровне из древесных амплитуд. Поскольку мы проводили нормировку с помощью ширины резонанса, это неравенство между константами связи является следствием неравенства 5- и р-волновых фазовых объемов. В я-волне мы наблюдаем унитаризированную интерференционную картину «резонанс + фон». При этом фон (происходящий от чужого резонанса) дает отрицательный вклад в фазу ¿-волнового рассеяния. В результате ОРР-смешивание приводит к связи двух парциальных волн 7тЫ рассеяния, причем, как будет видно ниже, эта связь в основном односторонняя: она влияет на амплитуду с меньшим орбитальным моментом.

Во второй главе описывается смешивание при рождении барионов 3/2^% а также применение полученных амплитуд для совместного описания парциальных волн Р\з и О\з в тсМ рассеянии. Частицы со спином 3/2 в рамках теории поля обычно описывают векторно-спинорным полем называемым полем Рариты-Швингера [37-42].

Пропагатор поля Рариты-Швингера имеет вид (см. подробности в [4143]):

= - + Т^ • б2т + (8=1/2 вклады), (14)

где элементы базиса

V? = А+Р372, V? = А-Р372. (15)

Оператор Ру2 согласно [44] имеет вид:

рт = ег - <п\ - (16)

где введены единичные вектора, ортогональные между собой

^ = + = ^ (Г1ГП1) = 61}. (17)

10

При наличии нарушения четности или при рассмотрении смешивания полей разной четности базис в секторе s = 3/2 надо пополнить элементами, содержащими т5.

Q?v = V^, Qf = Vf,

(18)

Qf = pfV, Qf = pf75.

При наличии нарушения четности или при рассмотрении смешивания полей разной четности базис в секторе s = 3/2 надо пополнить элементами, содержащими 75.

Пусть мы имеем два поля Ф^ разной четности. При учете унитарного смешивания одетый пропагатор имеет вид

4

G^(P) = Y.Qm- бм(Ю + (s=l/2 вклады), (19)

М=1

где Gm(W) представляют собой матрицы размерности 2 — решения матричного уравнения Дайсона-Швингера.

Далее, действуя по методу, описанному в 1 главе, мы получаем унитарные парциальные амплитуды с учетом смешивания, написанные в двух-канальном приближении: ttN и rjN каналы. При написании амплитуд мы должны учитывать lF-зависимый форм-фактор в вершине (так называемый фактор центробежного барьера): g —>• g • F{W2).

Пробуя описать Р\з, Дз отдельно (в трехканальном приближении: ttN, rjN и crN, где (tN - некоторый «эффективный» канал [19,45,46]), мы установили, что, как и в случае со спином 1/2, эффект OPF-смешивания является более существенным для волн с низшим орбитальным моментом I (волна Р13). Оказывается, что описание Р13 и £>13 по отдельности приводит к достаточно хорошему качеству описания. При этом фоновый вклад в волне Pi3, который четко виден в результатах парциального анализа, по знаку и абсолютной величинеприблизительно воспроизводится эффектом OPF-смешивания. Оба фита хорошо согласуются друг с другом в параметрах ре-зонансов, но расходятся в параметрах форм-фактора. Полученные парамет-

ры не противоречат значениям масс и константам связи для волн Дз(1520), Pi3(1720) в таблицах RPP [47]. Что касается совместного фитирования двух парциальных волн, то оно дает только качественное описание. Для лучшего качества описания нужно более аккуратное описание (7Г7Г)N каналов и учет гладких вкладов в D13.

Таким образом, мы видим, что эффект смешивания полей разной четности приводит к значительным эффектам при рождении барионов и может быть идентифицирован в рождении барионных резонансов 3/2± в ttN рассеянии. А именно: предсказываемая связь между двумя парциальными волнами Лз, Аз вполне соответствует результатам парциального анализа.

В третьей главе рассматривается /i-матричный подход для рассмотрения эффекта OPF-смешивания. При наличии нескольких резонансных состояний и нескольких каналов, описанный в первой главе подход становится слишком громоздким. /С-матричный подход работает для любого количества каналов и состояний, поэтому используем его для совместного описания парциальных волн 5ц и Р\ \ в -kN рассеянии.

В разделе 3.1. показан упрощенный вариант рассмотрения: два резонансных сотояния (1/2+ и 1/2") и два канала (irN и r]N). Используя эффективные лагранжианы, можно рассчитать вклады от состояний N\,N2 в парциальной волне на древесном уровне. Древесные амплитуды были выписаны выше(10)-(11).

Древесные амплитуды содержат как полюса с положительной, так и с отрицательной энергией, которые возникают из пропагаторов полей противоположной четности N\ и N2. Учет петлевых переходов приводит к одеванию состояний, а также к смешиванию этих двух полей.

Обратим внимание, что замена W —> — W дает

E^ + mN->-(E^-mN)t (20)

поэтому древесные амплитуды обладают симметрией Мак-Дауэлла [25]

В /Г-матричном представлении для парциальных амплитуд

[ = К(1-1РК) \

(22)

диагональная матрица ¿Р, построенная из импульсов в системе центра масс, происходит от мнимой части петли. Таким образом, /("-матрица это просто матрица древесных амплитуд, которые следует отождествить с амплитудами

(юкп).

В результате мы приходим к представлению парциальных амплитуд для 5- и р-волн:

ит = - 1Рк,ту\ ьт = кр(ю(1-1РкР(ю) \ (23)

-1

где матрицы К5, Кр (т.е. древесные амплитуды (10)-(11)), могут быть записаны в факторизованной форме:

К* = Кр = —рркррр.

(24)

Здесь р5, рр — диагональные кинематические матрицы, а матрица Р состоит из СЦМ импульсов, как аналитических функций, зависящих от В этом случае «примитивные» /("-матрицы (К$, Кр) содержат полюса как с положи-

тельной так и с отрицательной энергией

( А

К5(Ш) =

7Г , §2,п gl.7rg2.77 ,

№ - пц № + т2' V? - тх V? + т2

gl.7rg2.fy g2.7rg2.f7 _ ,

\W-mi № + т2' № + т2/

( ёЬ

(25)

+

gl,7гg2,7^ g2,7rg2 .т? \

gl.Trg2.77 g2.7rg2.77 gl .77 g2.л^

Напомним, что т\ является массой = 1/2" состояния, а ГП2 массой состояния ]р = 1/2+. Обобщение этой конструкции на случай нескольких каналов и состояний очевидно.

Заметим, что наша /С-матричная амплитуда может быть переписана в другом виде, близком к тому, который используется в [13]

Мы использовали простейшие эффективные лагранжианы (3.1)—(3.2) для получения древесных амплитуд. Но, как известно, спонтанное нарушение киральной симметрии приводит к тому, что пионное поле входит в лагранжиан в виде производной. Включение производной изменяет древесные амплитуды и, следовательно, /Г-матрицу. Это приводит к тому что в «примитивной» А-матрице (25) - (26) происходит модификация полюсных вкладов:

Появившийся фактор (УР — гпм)2 в ¿-волне очень сильно влияет на пороговые свойства.

В разделе 3.2. описанная выше /^-матрица используется для анализа парциальных волн 5ц и Р\\ в ттЫ рассеянии в области энергий 2

ГэВ в трехканальном приближении: тгЫ, г]Ы и аЫ, где последний является «эффективным» каналом, апроксимирующим различные жжЫ состояния. К-матрица содержит несколько состояний 1Р = 1/2+ и Зр = 1/2-. Отметим, что при описании парциальных волн 5ц и Р\ 1 по отдельности р-волна достаточно хорошо описывается нашими формулами при наличии производной в вершине, при этом ¿-волновые состояния в амплитудах отсутствуют. Вариант использования вершин без производных приводит к ухудшению описания, но при этом нужны также два состояния с приблизительно те-

ит = +1р5рр5Ш)/{Щ V

!Р(Ю = ^-РрК [1 - 1ррРРркР№)/(Щ ~ V

(27)

ё2 ¡2^ - ГПм)2, для ¿-волны,

§2 + для рволны.

(28) (29)

ми же массами. Оба варианта дают отрицательный вклад фона в 5] 1 волну, сравнимый по величине с другими вкладами, но вариант без производной в вершине приводит к большому по величине фоновому вкладу, быстро меняющемуся вблизи порогов. Разумеется, надо иметь ввиду, что канал аЫ это некоторый эффективный канал, который может иметь разную природу в этих волнах. Поэтому поведение фонового вклада при низких энергиях (при отсутствии производной в вершине) не слишком жестко фиксировано. Но описание парциальной волны Р\ \ без производной в вершине противоречит данным оЯп. Наличие производной в вершине приводит к подавлению пороговой области из-за появления фактора — тдг)2, но в области резо-нансов это по-прежнему заметный по величине вклад.

Поскольку соотношение Мак-Дауэлла связывает две парциальных волны, совершенно естественно выполнить совместный анализ амплитуд 511 и Рп, когда резонансные состояния в одной волне могут генерировать фон в другой. В этом случае /С-матрица (25) - (26) имеет полюса с положительной и отрицательной энергией: мы используем два полюса в ¿-волне и два в р-волне. Это приводит к заметному улучшению описания, в данном случае Х2/ООР = 850/190.

После проведенного анализа результатов парциального анализа были вычислены положения полюсов в комплексной плоскости энергии, которые даются полученными амплитудами. Вычисленные значения полюсных масс и ширин в целом соответствуют результатам других анализов.

Эффект смешивания фермионных полей противоположной четности может быть реализован в рамках /^-матричного подхода. /С-матричный подход использовался для описания парциальных волн 1 и Р\ \. Сконструированные таким образом волны обладают симметрией Мак-Дауэлла, которая связывает две парциальные волны при замене № —> — №. Это приводит к тому, что резонанс в одной парциальной волне дает фоновый вклад в другой и наоборот. Обнаружено, что эффект петлевого смешивания полей разной

четности виден в результатах PWA, как связь между двумя парциальными волнами 5ц и Рц.

Таким образом, осуществляемый совместный анализ Si 1 и Р\\ парциальных волн показывает, что OPF-смешивание дает весьма заметное влияние на рождение 1 /2± барионов.

В разделе 3.3. обсуждается возможность прямого использования полюсной массы и ширины для описания рождения нестабильной частицы вместо привычных теоретико-полевых параметров. Существуют разные схемы перенормировки резонанса при анализе данных. Наиболее часто употребляется схема вычитания на массовой поверхности и полюсная схема. Обычно резонансная амплитуда записывается в терминах масс и констант связи. Выразить через них положения полюсов в комплексной области энергии в конечном виде не удается, так как возникают трансцендентные уравнения. Однако, как оказалось, в обратную сторону это можно проделать: задав положение полюса в комплексной плоскости можно вычислить теоретико-полевые параметры. В простых случаях это позволяет прямо использовать положения полюсов в качестве параметров при описании экспериментальных данных. Центральную роль при этом играет условие симметрии Шварца G*(s) = G{s*) одетого пропагатора. Такой способ действия можно обобщить на случай совместного одевания двух состояний при наличии смешивания. Наконец, все это легко переносится на случай фермионных состояний, если использовать внемассовые проекционные операторы вместо традиционного гамма-матричного базиса.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Существует нестандартный тип смешивания, когда на петлевом уровне возникают переходы между фермионными полями разной четности при сохранении четности в вершинах. Это приводит к возникновению мат-

ричных перенормированных пропагаторов полей спина 1/2 (или 3/2) и появлению в них вкладов с т5 матрицей.

2. Использование полученных одетых пропагаторов для расчета амплитуд ттЫ —> 7гА^ приводит к известному соотношению Мак-Дауэлла, связывающему между собой две парциальные амплитуды. При этом резонанс в одной волне порождает фон в другой и наоборот. Наиболее сильно эта связь сказывается в волне с меньшим орбитальным моментом.

3. Обсуждаемый эффект смешивания может быть учтен в рамках /С-матричного подхода, для этого достаточно вычислить древесные амплитуды методами эффективной теории поля. Этотакже приводит к возникновению пары парциальных волн, связанных между собой соотношением Мак-Дауэлла.

4. Эффект смешивания полей разной четности обнаруживается в парциальном анализе реакции ттЫ —> кЫ в виде заметной по величине интерференции резонанса с фоном, при этом фон коррелирован со свойствами резонанса в другой волне. Наиболее просто эффект идентифицируется в паре парциальных волн Аз, Аз = 3/2*) и 5ц,Рц (/р = 1/2±).

В работе построен одетый матричный фермионный пропагатор ферми-онных полей спина 1/2 и 3/2 с учетом смешивания полей разной четности, при сохранении четности в вершине. С использованием полученного пропа-гатора были построены парциальные амплитуды для барионов / = 3/2, удовлетворяющие условию унитарности. Построенные амплитуды были применены для совместного анализа экспериментальных данных парциальных волн Р\ з и £>1з в -кЫ рассеянии. Адаптирован /Г-матричный подход, включающий эффект смешивания фермионных полей разной четности, для совместного описания парциальных волн Р\\ и £11 в пЫ рассеянии.

Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных изда-

ниях [48-54], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [49, 52-54], 3 — в материалах конференций [48,50,51].

Работа выполнялась на кафедре теоретической физики физического факультета Иркутского государственного университета.

Глава 1

Петлевое смешивание в системе фермионов

В главе в рамках квантовой теории поля рассматриваются как стандартное смешивание фермионных полей с одинаковыми квантовыми числами, так и смешивание фермионных полей разной четности при сохранении четности в лагранжиане. Подобное смешивание является специфическим для фермионов и не имеет аналогов в бозонном случае. Дело в том, что фермион и антифермион имеют противоположную Р-четность, поэтому в фермион-ном пропагаторе содержатся вклады разной четности.

Возможное применение этого эффекта связано с физикой барионных ре-зонансов, поэтому мы исследуем амплитуды ттЫ рассеяния для рождения барионов = 1/2±, и приводим численные оценки наблюдаемых эффектов. Изложение основано на работах [48,49,51].

1.1 Смешивание фермионных полей одинаковой четности

Рассмотрим стандартную картину петлевого смешивания фермионов с одинаковыми квантовыми числами. Для получения одетого фермионного пропагатора й(р) нужно выполнить дайсоновское суммирование петлевых вставок или (эквивалентно) решить уравнение Дайсона-Швингера [35,55]:

в(р) = во + вЖо, (1.1)

где £?о — затравочный пропагатор, а Е — собственно-энергетический вклад.

Х(р)=А(р2)+рВ(р2). (1.2)

Используем внемассовые проекционные операторы Л*:

где У? = у/р2 энергия в системе центра масс. Проекционные операторы обладают свойствами:

Л±А± = А±, Л±Лт = 0, Л±75 = 75Лт, (1.4)

Л+ + Л" = 1, А+-А- = |;. (1.5)

Перепишем (1.1), разложив все элементы в базисе проекционных операторов:

2

С=^2ГМСМ, (1.6)

м=1

где мы ввели обозначения:

£>1=Л+, Т2 = Л". (1.7)

В этом базисе уравнение Дайсона-Швингера сводится к уравнениям на числовые коэффициенты:

вм = + М= 1,2, (1.8)

20

или

(О"1)"1 = - Ем (1.9)

Решение (1.8) для одетого пропагатора выглядит так:

(V1)1 = (во1)1 - Е1 = Ж - т - А{1У2) - 1РВ{1Р2),

( (1.Ю)

(С"1)2 = ^о"1)2 -Е 2 = - т - А{№2) + У?В(1Р2)

где А, В обычно используемые компоненты собственно-энергетического вклада. Коэффициенты разложения в проекционном базисе обладают очевидным свойством при замене №

Е2(Г) = Е1(-Ю. (1Л1)

Если мы имеем несколько фермионных полей Ф; , то при учете взаимодействия возникает смешивание полей. Тогда уравнение Дайсона-Швингера (1.1) приобретает матричные индексы:

Оц = (Со^ + О/лЕи^о)//, 1,1X1 = 1,2. (1.12)

Тем самым все величины в уравнении (1.1) становятся матрицами. Будем полагать, что фермионные поля Фг- обладают одинаковыми квантовыми числами и в лагранжиане четность сохраняется. В этом случае обратный пропагатор (1.9) имеет вид:

С1 =Г18Х№) + Г282(УУ) =

1 -Е*, Г-/тг2-Е|2у (1.13)

—Е21 -Ш - т2 - Е|2

Матричные коэффициенты по-прежнему обладают свойством симметрии 52(№) = Чтобы получить матричный одетый пропагатор й(р)

21

необходимо обратить матричные коэффициенты в проекционном базисе:

Ор) = Г1(81(]Р))-1 +Р2(52(№))-1 =

/ж -т2-1:

'22

'12

\

А!

у1 21

Д1

У? -тх -Е|,

V

+ г2

Д1

-т2-Т,1

+

22

Е?

12

\

\

А2 Д2

д2 д2

/

где

Д2 = ( _ 1*7 - тх - Е?,) ( - ТГ - т2 - Е*2) - Е?2Е^ =

(1.14)

Д!^-* -ИР).

(1.15)

Мы видим, что задача смешивания для фермионов с использованием проекционного базиса технически ничем не отличается от смешивания бозонов, кроме очевидной замены 5 — т2 W — т.

1.2 Смешивание фермионных полей разной четности

Смешивание фермионных полей имеет некоторые особенности по сравнению с бозонными. Во-первых, в 7-матричной структуре пропагатора. Во-вторых, фермион и антифермион имеюют противоположную Р-четность, поэтому в фермионном пропагаторе содержатся вклады разной четности. В результате, помимо стандартного смешивания полей с одинаковыми квантовыми числами для фермионов существует смешивание полей разной четности (ОРР-смешивание), даже если четность сохраняется в лагранжиане.

Рассмотрим совместное одевание двух фермионных полей разной четности при сохранении четности в вершине. Это приводит к тому, что диагональные петлевые переходы Ец содержат только I и р матрицы, а недиагональные £12, S21 обязательно содержат 75 [56]. Проекционный базис необходимо дополнить элементами, содержащими 75. Удобно его выбрать в виде:

Vi=A+, V2 = A~, Vz = Л+75, V4 = Л~75. (1.16)

В этом случает 7-матричное разложение имеет 4 слагаемых:

4

S = Y,VmSM> О-17)

м=1

где коэффициенты SM являются матрицами и обладают свойствами симметрии:

S2(W) = Sl(~W), S\W) = S3(-W). (1.18)

Разложение обратного пропагатора в этом базисе имеет вид:

'w-mi-Zl О \ S(P) = V 1 1 11 +

О W - 1712- ^22)

-W-mi- Е?, О

+ V2\ 11 + (1-19)

О -W-m2-T,222t

+ 0 0

-S|, О J 0 ,

где индексы i,j = 1,2 у собственно-энергетического вклада Еfj нумеруют одевающиеся фермионные поля, а индексы М = 1,... 4 относятся к 7-матричному разложению (1.17).

Элементы базиса (1.16) обладают простыми мультипликативными свойствами (см. таблицу 1.1) (элемент из столбца умножается слева на элемент из строки), так что обращение (1.19) не вызывает проблем [42,57].

Таблица 1.1: Мультипликативные свойства элементов базиса (1.16).

Тх т2 Тз ТА

Тх Тх 0 Тз 0

т2 0 т2 0 Та

Тз 0 Тз 0 Тх

ТА Та 0 т2 0

Обращение (1.19) дает матрицу одетого пропагатора в виде:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кобелева, Елена Анатольевна, 2013 год

Литература

1. Pontecorvo, B. Mesonium and anti-mesonium / B. Pontecorvo // Sov.Phys.JETP. - 1957. - Vol. 6. - P. 429.

2. Cabibbo, Nicola. Unitary Symmetry and Leptonic Decays / Nicola Cabibbo // Phys.Rev.Lett. - 1963. - Vol. 10. - P. 531-533.

3. Beuthe, Mikael. Oscillations of neutrinos and mesons in quantum field theory / Mikael Beuthe // Phys.Rept. - 2003. - Vol. 375. - P. 105-218. - hep-ph/0109119.

4. Espriu, D. Flavor mixing, gauge invariance and wave function renormaliza-tion / D. Espriu, J. Manzano, P. Talavera // Phys.Rev. — 2002. — Vol. D66. - P. 076002. - hep-ph/0204085.

5. Blasone, Massimo. Mixing and oscillations of neutral particles in quantum field theory / Massimo Blasone, Jonathan Palmer // Phys.Rev. — 2004. — Vol. D69. - P. 057301. - hep-ph/0305257.

6. Machet, B. Binary systems of neutral mesons in quantum field theory / B. Machet, V.A. Novikov, M.I. Vysotsky // Int.J.Mod.Phys. - 2005. - Vol. A20. - P. 5399-5452. - hep-ph/0407268.

7. Kniehl, Bernd A. Simple On-Shell Renormalization Framework for the Cabibbo-Kobayashi-Maskawa Matrix / Bernd A. Kniehl, Alberto Sirlin // Phys.Rev. - 2006. - Vol. D74. - P. 116003. - hep-th/0612033.

8. Duret, Quentin. Mixing angles of quarks and leptons in Quantum Field Theory / Quentin Duret, Bruno Machet, M.I. Vysotsky // Eur.Phys.J. — 2009. - Vol. C61. - P. 247-278. - 0805.4121.

9. Pascalutsa, V. A Relativistic dynamical model for ttN scattering / V. Pas-calutsa, J.A. Tjon // Nucl.Phys. - 1998. - Vol. A631. - P. 534C-547C. - nucl-th/9709017.

10. Kobayashi, Makoto. CP Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction / Makoto Kobayashi, Toshihide Maskawa // Prog.Theor.Phys. — 1973. - Vol. 49. - P. 652-657.

11. Dytman, S.A. Baryon resonance extraction from ttN data using a multichannel unitary model / S.A. Dytman, T.P. Vrana, T.S.H. Lee. — 1997. — P. 286-295. - nucl-th/9702033.

12. Roper, David. PION-NUCLEON PHASE SHIFT ANALYSIS FROM 0-Gev TO 1.5-GeV / David Roper. - 1963.

13. Arndt, Richard A. Pion-Nuclean Partial Wave Analysis to 1100-MeV / Richard A. Arndt, John M. Ford, L. David Roper // Phys.Rev. - 1985. -Vol. D32. - P. 1085.

14. Pion-nucleon partial wave analysis to 2-GeV / Richard A. Arndt, Zhu-jun Li, L. David Roper [et al.] // Phys.Rev. - 1991. - Vol. D43. -P. 2131-2139.

15. Updated analysis of nN elastic scattering data to 2.1-GeV: The Baryon spectrum / Richard A. Arndt, Igor I. Strakovsky, Ron L. Workman, Marcello M. Pavan // Phys.Rev. - 1995. - Vol. C52. - P. 2120-2130. -nucl-th/9505040.

16. Koch, R. Improved irN Partial Waves Consistent With Analyticity and Uni-tarity / R. Koch // Z.Phys. - 1985. - Vol. C29. - P. 597.

17. Krehl, O. The structure of baryon resonances in irN scattering / O. Krehl, J. Speth // Acta Phys.Polon. - 1998. - Vol. B29. - P. 2477-2485.

18. Pion-Nucleon Partial Wave Amplitudes / R.E. Cutkosky, C.P. Forsyth, R.E. Hendrick, R.L. Kelly // Phys.Rev. - 1979. - Vol. D20. - P. 2839.

19. ttN —> tjN and r]N —>• r]N partial wave T matrices in a coupled, three channel model / Mijo Batinic, Ivo Slaus, Alfred Svarc, B.M.K. Nefkens // Phys.Rev. - 1995. - Vol. C51. - P. 2310-2325. - nucl-th/9501011.

20. What is the structure of the Roper resonance? / O. Krehl, C. Hanhart, S. Krewald, J. Speth // Phys.Rev. - 2000. - Vol. C62. - P. 025207. -nucl-th/9911080.

21. Vrana, T.P. Baryon resonance extraction from tcN data using a unitary multichannel model / T.P. Vrana, S.A. Dytman, T.S.H. Lee // Phys.Rept. — 2000. - Vol. 328. - P. 181-236. - nucl-th/9910012.

22. Photoproduction of baryons decaying into Nn and Nt] / A.V. Anisovich, A. Sarantsev, O. Bartholomy [et al.] // Eur.Phys.J. - 2005. - Vol. A25. -P. 427-439. - hep-ex/0506010.

23. Lang, C.B. Scattering in the pion-nucleon negative parity channel in lattice QCD / C.B. Lang, V. Verduci // Phys.Rev. - 2013. - Vol. D87. -P. 054502. - 1212.5055.

24. Extended partial-wave analysis of 7rN scattering data / R.A. Arndt, W.J. Briscoe, I.I. Strakovsky, R.L. Workman // Phys.Rev. - 2006. -Vol. C74. - P. 045205. - nucl-th/0605082.

25. MacDowell, S.W. Form Factors in Rmu3 and Ke-3 Decay / S.W. MacDow-ell // Phys.Rev. - 1959. - Vol. 116. - P. 1047-1049.

26. Glozman, L. Ya. The Spectrum of the nucleons and the strange hyperons and chiral dynamics / L. Ya. Glozman, D.O. Riska // Phys.Rept. — 1996.

- Vol. 268. - P. 263-303. - hep-ph/9505422.

27. Golli, Bojan. Roper resonances in chiral quark models / Bojan Golli, Simon Sirca // Eur.Phys.J. - 2008. - Vol. A38. - P. 271-286. -0708.3759.

28. Capstick, Simon, Quark models of baryon masses and decays / Simon Cap-stick, W. Roberts // Prog.Part.Nucl.Phys. - 2000. - Vol. 45. - P. S241-S331. - nucl-th/0008028.

29. Roper resonance and Si i (1535) from lattice QCD / N. Mathur, Y. Chen, S.J. Dong [et al.] // Phys.Lett. - 2005. - Vol. B605. - P. 137-143. -hep-ph/0306199.

30. Dillig, M. Mesonic content of the nucleon and the Roper resonance / M. Dillig, M. Schott // Phys.Rev. - 2007. - Vol. C75. - P. 067001. -nucl-th/0405063.

31. New results on the Roper resonance and the P\ i partial wave / A.V. Sarant-sev, M. Fuchs, M. Kotulla [et al.] // Phys.Lett. - 2008. - Vol. B659. -P. 94-100. - 0707.3591.

32. Paris, Mark W. Toward a unified description of hadro- and photoproduction: S-wave 7r- and 77-photoproduction amplitudes / Mark W. Paris, Ron L. Workman // Phys.Rev. - 2010. - Vol. C82. - P. 035202.

- 1004.0455.

33. Guadagnoli, D. Extracting excited states from lattice QCD: The Roper resonance / D. Guadagnoli, M. Papinutto, S. Simula // Phys.Lett. — 2004. — Vol. B604. - P. 74-81. - hep-lat/0409011.

34. Julia-Diaz, B. The Role of qqqq anti-q components in the nucleon and the iV(1440) resonance / B. Julia-Diaz, D.O. Riska // Nucl.Phys. - 2006. -Vol. A780. - P. 175-186. - nucl-th/0609064.

35. Roberts, C.D. Hadron Properties and Dyson-Schwinger Equations / C.D. Roberts // Prog.Part.Nucl.Phys. - 2008. - Vol. 61. - P. 50-65. -0712.0633.

36. Roberts, Dale S. Wave Function of the Roper from Lattice QCD / Dale S. Roberts, Waseem Kamleh, Derek B. Leinweber. — 2013. — 1304.0325.

37. Rarita, William. On a theory of particles with half integral spin / William Rarita, Julian Schwinger // Phys.Rev. — 1941. — Vol. 60. — P. 61.

38. Moldauer, P.A. Properties of Half-Integral Spin Dirac-Fierz-Pauli Particles / P.A. Moldauer, K.M. Case // Phys.Rev. - 1956. - Vol. 102. - P. 279-285.

39. Pascalutsa, Vladimir. On the interaction of spin 3/2 particles / Vladimir Pas-calutsa. - 1994. - hep-ph/9412321.

40. 7vN elastic scattering analyses and dispersion relation constraints / Richard A. Arndt, Ron L. Workman, Igor I. Strakovsky, Marcello M. Pavan.

- 1998. - nucl-th/9807087.

41. Kaloshin, A.E. Propagator of the interacting Rarita-Schwinger field / A.E. Kaloshin, V.P. Lomov // Mod.Phys.Lett. - 2004. - Vol. A19.

- P. 135-142. - hep-ph/0307272.

42. Kaloshin, A.E. The Rarita-Schwinger field: Dressing procedure and spin-parity content / A.E. Kaloshin, V.R Lomov // Phys.Atom.Nucl. — 2006. — Vol. 69. - P. 541-551. - hep-ph/0409052.

43. Kaloshin, A.E. The Rarita-Schwinger field: Renormalization and phenomenology / A.E. Kaloshin, V.P. Lomov // Int.J.Mod.Phys. — 2007.

- Vol. A22. - P. 4495-4518. - hep-ph/0702116.

44. Van Nieuwenhuizen, P. Supergravity / P. Van Nieuwenhuizen // Phys.Rept.

- 1981. - Vol. 68. - P. 189-398.

45. Ceci, S. Role of bare propagator poles in phenomenological Dyson-Schwinger type models / S. Ceci, A. Svarc, B. Zauner // Eur.Phys.J. —

2008. - Vol. C58. - P. 47-56.

46. Resolution of the multichannel anomaly in the extraction of S-matrix resonance-pole parameters / Sasa Ceci, Jugoslav Stahov, Alfred Svarc [et al.] // Phys.Rev. - 2008. - Vol. D77. - P. 116007. - hep-ph/0609236.

47. Nakamura, K. Review of particle physics / K. Nakamura [et al.] // J.Phys.

- 2010. - Vol. G37. - P. 075021.

48. A.E. Калошин, E.A. Кобелева. Унитарное смешивание фермионных полей разной четности / Е.А. Кобелева А.Е. Калошин // Труды XI конференции молодых ученых «Гелио- и геофизические исследования». —

2009. - С. 302.

49. Kaloshin, A.E. Mixing of fermion fields of opposite parities and baryon resonances / A.E. Kaloshin, E.A. Kobeleva, V.P. Lomov // Int.J.Mod.Phys.

- 2011. - Vol. A26. - P. 2307-2326. - 1009.2845.

50. A.E. Калошин E.A. Кобелева, В.П. Ломов. Барионные резонансы со спином J = 3/2 и эффекты смешивания / В.П. Ломов А.Е. Калошин,

Е.А. Кобелева // Труды XII конференции молодых ученых «Взаимодействия полей и излучения с веществом». — 2011. — С. 294.

51. А.Е. Kaloshin Е.А. Kobeleva, V.P. Lomov. Mixing of fermion fields of opposite parities and baryon resonances / V.P. Lomov A.E. Kaloshin, E.A. Kobeleva // Proc. of XX Int. Baldin Seminar on High Energy Phys. Problems.

- 2011. - Vol. 1. - P. 183.

52. A.E. Калошин, Е.А. Кобелева. Резонанс в КТП и полюсные параметры / Е.А. Кобелева А.Е. Калошин // Известия вузов. Физика. — 2012. — Т. 5.

- С. 95.

53. Kaloshin, А.Е. Nonstandard mixing in a system of fermions / A.E. Kaloshin, E.A. Kobeleva, V.P. Lomov // Phys.Part.Nucl.Lett. - 2012.

- Vol. 9. - P. 772-775.

54. Kaloshin, A.E. Opposite parity fermion mixing and baryons l/2± / A.E. Kaloshin, E.A. Kobeleva, V.P. Lomov // Mod. Phys. Lett. A. — 2013. - Vol. 28. - P. 1350156. - 1306.6171.

55. Maris, Pieter. Dyson-Schwinger equations: A Tool for hadron physics / Pieter Maris, Craig D. Roberts // Int.J.Mod.Phys. - 2003. - Vol. E12. -P. 297-365. - nucl-th/0301049.

56. Дж.Д. Бьеркен, С.Д. Дрелл. Релятивистская квантовая теория / Дж.Д. Бьеркен, С.Д. Дрелл. — пер. с англ. изд. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — С. 296.

57. Gonchar, М.О. Fermion resonance in quantum field theory / M.O. Gonchar, A.E. Kaloshin, V.P. Lomov // Mod.Phys.Lett. - 2007. - Vol. A22. -P. 2511-2519. - hep-ph/0611314.

58. Hohler, G. Determination of 7гN resonance pole parameters / G. Hohler. — 1994.

59. The Pion-nucleon coupling constant / Richard A. Arndt, Zhu-jun Li, L. David Roper, Ron L. Workman // Phys.Rev. - 1991. - Vol. D44.

- P. 289-290.

60. Газиорович С. Физика элементарных частиц / Газиорович С. — пер. с англ. изд. изд. — М.: Наука, 1969. — С. 742.

61. Дж.Д. Бьеркен, С.Д. Дрелл. Релятивистская квантовая теория / Дж.Д. Бьеркен, С.Д. Дрелл. — пер. с англ. изд. — М.: Наука, 1978. — Т. 2. — С. 407.

62. Р. Иден. Соударения элементарных частиц при высоких энергиях / Р. Иден. — пер. с англ. изд. — М.: Наука, 1970. — С. 391.

63. Yao, W.M. Review of Particle Physics / W.M. Yao [et al.] // J.Phys. -2006. - Vol. G33. - P. 1-1232.

64. Electroweak Theory. Framework of On-Shell Renormalization and Study of Higher Order Effects / K.I. Aoki, Z. Hioki, M. Konuma [et al.] // Prog.Theor.Phys.Suppl. - 1982. - Vol. 73. - P. 1-225.

65. Denner, Ansgar. Techniques for calculation of electroweak radiative corrections at the one loop level and results for W physics at LEP-200 / Ansgar Denner // Fortsch.Phys. - 1993. - Vol. 41. - P. 307-420. -0709.1075.

66. Fierz, M. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field / M. Fierz, W. Pauli // Proc.Roy.Soc.Lond. — 1939.

- Vol. A173. - P. 211-232.

67. Nakamura, S.X. Extraction of P\\ resonance from piN data and its stability / S.X. Nakamura // AIP Conf.Proc. - 2011. - Vol. 1374. - P. 505-508.

- 1010.0223.

68. Nakamura, Satoshi X. P\\ Resonance Extracted from itN Data and Its Stability / Satoshi X. Nakamura // AIP Conf.Proc. - 2012. - Vol. 1432. -P. 301-304. - 1106.3599.

69. Extraction of Pll resonances from irN data / H. Kamano, S.X. Nakamura, T.-S.H. Lee, T. Sato // Phys.Rev. - 2010. - Vol. C81. - P. 065207. -1001.5083.

70. Döring, M. The Phase and pole structure of the Ar*(1535) in irN 7tN and jN —>■ 7rN / M. Döring, К. Nakayama // Eur.Phys.J. - 2010. - Vol. A43.

- P. 83-105. - 0906.2949.

71. Analytic properties of the scattering amplitude and resonances parameters in a meson exchange model / M. Döring, С. Hanhart, F. Huang [et al.] // Nucl.Phys. - 2009. - Vol. A829. - P. 170-209. - 0903.4337.

72. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Теоретическая физика. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — 4-е изд., испр. изд. изд. — М.: наука, 1989. — Т. 3. — С. 765.

73. Breit, G. Capture of Slow Neutrons / G. Breit, E. Wigner // Phys.Rev. — 1936. - Vol. 49. - P. 519-531.

74. Sirlin, A. Theoretical considerations concerning the Zq mass / A. Sirlin I I Phys.Rev.Lett. - 1991. - Vol. 67. - P. 2127-2130.

75. Kniehl, Bernd A. Differences between the pole and on-shell masses and widths of the Higgs boson / Bernd A. Kniehl, Alberto Sirlin // Phys.Rev.Lett. - 1998. - Vol. 81. - P. 1373-1376. - hep-ph/9805390.

76. Kniehl, Bernd A. On the field renormalization constant for unstable particles / Bernd A. Kniehl, Alberto Sirlin // Phys.Lett. - 2002. - Vol. B530. -P. 129-132. - hep-ph/0110296.

77. Nekrasov, M.L. OMS-bar scheme of UV renormalization in the presence of unstable fundamental particles / M.L. Nekrasov // Phys.Lett. — 2002. — Vol. B531. — P. 225-230. - hep-ph/0102283.

78. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей / Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. — 4-е изд., испр. изд. изд. — М.: Наука, 1984. - С. 597.

79. Unitarity and Inelastic Final State Interactions / O. Babelon, J.-L. Basde-vant, D. Caillerie, G. Mennessier//Nucl.Phys. - 1976. - Vol. ВИЗ. -P. 445.

80. Jacob, M. On the general theory of collisions for particles with spin / M. Jacob, G.C. Wick // Annals Phys. - 1959. - Vol. 7. - P. 404-428.

81. Ширков Д.В., Серебряков B.B., Мещеряков B.A. Дисперсионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях / Ширков Д.В., Серебряков В.В., Мещеряков B.A. — М.: Наука, 1967. — С. 324.