Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Едемский, Владимир Анатольевич

• Едемский, Владимир Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Едемский, Владимир Анатольевич

Введение

1. Обзор известных результатов синтеза дискретно — кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов

1.1. Классификация дискретно — кодированных последовательностей

1.2. Характеристики известных дискретно-кодированных последовательностей на основе обобщенного правила кодирования

1.3. Математический аппарат теории спектров разностей классов вычетов

1.4. Выводы и постановка задач диссертационного исследования

2. Методика синтеза дискретно-кодированных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики

2.1. Постановка задач второй главы

2.2. Применение циклотомических чисел для расчета СРКВ

2.3. Методика синтеза дискретно-кодированных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики

2.4. Синтез двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляцией и pf~

2.5. Анализ взаимной корреляции синтезированных двоичных последовательностей

2.6 Выводы по главе

3. Синтез двоичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики

3.1. Постановка задач третьей главы

3.2. Методы синтеза двоичных последовательностей с ограничениями на ПАКФ, пик-фактор, период.

3.3. Методы синтеза двоичных последовательностей с ограничениями на ПВКФ, пик-фактор, период.

3.4. Корреляционный анализ синтезированных двоичных последовательностей

3.5. Выводы по главе

4. Синтез троичных и бинарных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики

4.1. Постановка задач четвертой главы

4.2. Методы и результаты синтеза троичных последовательностей с ' заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики

4.3. Синтез троичных последовательностей с квазиидеальной ПВКФ 121 • 4.4. Метод и результаты синтеза бинарных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики

4.5. Выводы по главе

5. Применение СРКВ для расчета эквивалентной линейной сложности последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов

5.1. Постановка задач пятой главы

5.2. Метод расчета линейной сложности двоичных последовательностей на основе классов степенных вычетов

5.3. Расчет линейной сложности двоичных последовательностей с квазиодноуровневой ПАКФ и одноуровневой ПВКФ

5.4. Метод расчета линейной сложности троичных последовательностей на основе классов степенных вычетов

5.5. Расчет линейной сложности троичных последовательностей с квазиидеальной ПАКФ

5.6. Выводы по главе

6. Синтез дискретно-кодированных последовательностей с составным периодом тр

6.1. Постановка задач шестой главы

6.2. Распространение методики синтеза дискретно-кодированных последовательностей с простым периодом р на последовательности с периодом тр

6.3. Примеры синтеза двоичных и троичных последовательностей на основе первой стратегии модернизированной методики

6.4. Необходимые условия синтеза двоичных и троичных последовательностей с ограничениями на корреляцию. Примеры синтеза последовательностей

6.5. Синтез двоичных последовательностей с составным периодом тр и заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики

6.6. Синтез троичных последовательностей с периодом 2р и заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики

6.6. Выводы по главе •

7. Алгоритмы и комплекс программ синтеза последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики

7.1. Постановка задач седьмой главы

7.2. Комплексная методика и обобщенный алгоритм синтеза последовательностей

7.3. Алгоритмы синтеза дискретно-кодированных последовательностей с простым периодом

7.4. Алгоритм метода расчета линейной сложности дискретно-кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов

7.5. Алгоритмы синтеза дискретно-кодированных последовательностей с периодом тр

7.6. Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики»

Диссертация' посвящена* решению актуальной научной задачи синтеза двоичных и троичных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов- по простому модулю, в том числе и псевдослучайных. Особенность постановки»задачи-синтеза-заключается в.том, что ограничения' задаются на совокупность, свойств или характеристик последовательности. Произвольный набор ограничений может быть выбран из следующего меню: период, вес, пик-фактор, рельефы автокорреляционной и взаимно корреляционной функций, рельеф автокорреляционной функции двоичной последовательности, соответствующей нулевым символам троичной^ последовательности, степень уравновешенности для троичных и бинарных последовательностей, эквивалентная линейная сложность.

Актуальность работы., Двоичные1 и троичные последовательности являются самыми широко- востребованными дискретно-кодированными^ последовательностями, область применения которых с каждым годом; расширяется. В вычислительных системах их используют в качестве-псевдослучайных последовательностей для- имитационного моделирования, обеспечения связи между компьютерами, тестирования, решения задач методом Монте-Карло. В. телемеханических системах на основе двоичных и троичных последовательностей строят самосинхронизирующиеся коды с обнаружением и исправлением ошибок. В системах связи и передачи информации на основе двоичных и троичных последовательностей осуществляют скрытную связь с высокой криптостойкостью. В системах радиолокации, гидролокации, радионавигации их используют в качестве модулирующих последовательностей при формировании сложных шумоподобных сигналов, обеспечивая высокие потенциал и помехоустойчивость при низкой пиковой мощности' передатчиков. Столь широкий спектр применений обуславливает набор требований к таким характеристикам и свойствам последовательностей, как: период, вес, уровень боковых лепестков корреляционных функций, пик-фактор, уравновешенность, эквивалентная линейная сложность и другим. Число требований к набору свойств или характеристик последовательностей год от года увеличивается.

Вопросам анализа и синтеза дискретно-кодированных последовательностей (ДКП) и их применениям посвящены многочисленные научные публикации [1-90]. Прежде всего, отметим работы Свердлика М. Б.[12], Ипатова В.Щ18,19,25,26],-Камалетдинова Б.Ж.[31]; Пелехатого М. И. [21] и других авторов, в том числе [7,13,16,33,48], посвященные синтезу бинарных и троичных последовательностей с идеальной периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ). Фрэнк Р.[1], Габидулин Э. М.[46,47], Леухин А.Н.[57,66], Кренгель Е.И. [53] и другие синтезировали многофазные коды с хорошими корреляционными свойствами. Леухиным А. Н. в [54] было предложено алгебраическое решение задачи? синтеза последовательностей с заданной ПАКФ.

Работы Свердлика М. Б. [12], Холла М. [7], Сторера С. [82] и других авторов, в частности [35], посвящены синтезу последовательностей с одноуровневой ПАКФ и развитию теории разностных множеств, находящихся во взаимно однозначном' соответствии с указанными последовательностями. Почти разностные множества, которым соответствуют бинарные последовательности с оптимальной автокорреляцией, исследованы Дингом К. и иными авторами в [27,36,44,45,63,64].

Существенные результаты о ДКП с квазиодноуровневой (квазиидеальной) ПАКФ были получены Гантмахером В.Е. на основе разработанной им теории спектров разностей классов вычетов по простому модулю [20].

Методы и алгоритмы расчета эквивалентной линейной сложности изложены в [9,70,71], троичных последовательностей в [72,74,75,80], а бинарных последовательностей на основе классов степенных вычетов в [73,7679].

Взаимная корреляция (расчет и оценка) ДКП на основе классов степенных вычетов исследовалась в [20,37,67].

В то же время, несмотря на многочисленные публикации, посвященные синтезу ДКП, отсутствуют регулярные методы синтеза последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений! на их характеристики. В*1 связи с этим задача синтеза последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики является чрезвычайно актуальной.

В.Е. Гантмахером была предпринята попытка решить эту задачу с помощью теории спектров разности классов вычетов (СРКВ), но только для последовательностей, период которых — простое число, а набор характеристик последовательностей ограничен периодом, уровнем боковых лепестков корреляционных функций и пик — фактором [20].' На основе математического^ аппарата теории СРКВ были синтезированы ДКП, сформированные на основе классов степенных вычетов, которые обладают, по сравнению с известными последовательностями, более плотной сеткой периодов и более плотным рядом значений пик - фактора. Сравнение известных способов синтеза ДКП показывает, что синтез ДКП с использованием СРКВ является наиболее универсальным методом синтеза двоичных, троичных и бинарных последовательностей, формируемых на основе классов степенных вычетов. Но и ему, в том виде, в котором он представлен в [20], присущи серьёзные недостатки: * при большом числе классов степенных вычетов затруднён анализ СРКВ, соответствующих ПАКФ и периодической взаимно корреляционной функциям (ПВКФ) дискретно-кодированных последовательностей; в этом методе заложена потенциальная возможность синтеза ДКП с заданной совокупностью свойств, но она не реализована;

- нет метода расчёта эквивалентной линейной сложности ДКП; сформированных по обобщенному правилу кодирования, на основе СРКВ;

- представляет интерес распространение методов синтеза ДКП с периодом р, в основе которых лежат СРКВ, на синтез ДКП с составным периодом тр.

Настоящая диссертационная работа посвящена вопросам синтеза и анализа двоичных и троичных последовательностей, сформированных наг основе классов степенных вычетов по простому модулю р , с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики из. перечисленного выше перечня. Задачи синтеза' и анализа дискретно-кодированных последовательностей решаются на основе единого математического аппарата СРКВ и циклотомических чисел.

Цель диссертации заключается в разработке методики анализа и синтеза-двоичных, троичных последовательностей, в том числе псевдослучайных, с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики, обусловленными их применением. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- усовершенствование методики анализа и синтеза дискретно-кодированных последовательностей на основе СРКВ путём применения циклотомических чисел;

- разработка методов синтеза двоичных и троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики и синтез последовательностей с определённым набором свойств или характеристик;

- расчёт эквивалентной линейной сложности дискретно—кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов;

- распространение методики синтеза ДКП с простым периодом р на последовательности с периодом тр, где т — натуральное число, взаимно простое с р\

- разработка алгоритмов и комплекса' программ, реализующих предложенные методьгсинтезапоследовательностей.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы методы теории конечных полей, теории чисел, алгебры и математического анализа.

Научная новизна. В диссертации разработаны- теоретические основы синтеза двоичных и троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики. В частности, новыми являются следующие теоретические результаты:

• разработана методика синтеза дискретно-кодированных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики на основе комплексного использования теории' спектров разностей классов вычетов и циклотомических чисел;

• определены новые правила кодирования семейств двоичных последовательностей с периодом! р и квазиодноуровневыми периодическими» автокорреляционными или взаимно корреляционными функциями;

• > получены новые семейства троичных и бинарных последовательностей с периодом р и квазиидеальными периодическими автокорреляционной и взаимно корреляционной функциями;

• предложен унифицированный метод расчета эквивалентной линейной сложности ДКП, формируемых на основе классов степенных вычетов по простому модулю;

• расширена область применения теории СРКВ по простому модулю на синтез двоичных и троичных последовательностей с периодом тр\

• разработаны алгоритмы и комплекс программ, реализующих предложенные методы синтеза двоичных и троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты, разработанные методы и комплекс программ могут быть использованы для синтеза* широкого класса^ двоичных и троичных последовательностей, применяемых в математических моделях, в вычислительных системах, в криптографии, в качестве модулирующих последовательностей в системах связи, радиолокации' и других областях. В частности, результаты, диссертационной работы были! использованы в следующих научно-исследовательских работах:

1. Грант РФФИ № 07-01-97615-рофи «Разработка принципов, построения квазиодноуровневых разностных множеств- с заданными, ограничениями на их параметры», руководитель Гантмахер ЕГ. Е.

2. Фундаментальная* НИР "Теория анализа, синтеза и, обработки, шумоподобных сигналов в радиотехнических системах различного назначения", руководитель. Гантмахер В.Е., по заданию Рособразования, гос. per. № 0120.0 503550, 2005-2009 г.

3. Фундаментальная НИР "Исследование методов синтеза сложных сигналов, видов модуляции и способов обработки для перспективных радиолокационных систем", руководитель Гантмахер В.Е., по научно -технической программе Рособразования «развитие научного потенциала высшей школы», гос. per. № 0120.0 603815, 2006-2008 г.

Достоверность теоретических результатов обеспечивается-применением апробированного математического аппарата, корректностью математических выкладок и подтверждается, многочисленными примерами синтеза последовательностей, результатами расчетов их характеристик на вычислительных машинах.

Личный вклад автора. В диссертационной работе обобщены результаты, выполненные лично автором или при его непосредственном участии. Постановка задач принадлежит научному консультанту Гантмахеру В. Е. Исследования по комплексному применению СРКВ и циклотомических чисел для анализа и синтеза последовательностей, а также расчету их эквивалентной линейной сложности выполнены лично автором. Программы для ЭВМ разработаны совместно1 с Вагуниным И.С.

Апробация' работы. Результаты работы обсуждались на всемирном, форуме "Signal Design and Its Applications in Communications, (IWSDA'07)"(Kirraîî, Чанджоу), неоднократно докладывались и обсуждались нае международных научных и научно-технических конференциях:

• "Цифровая, обработка сигналов и её применения" (г. Москва - 2007,

2008);

• «Научные исследования, и их практическое применение. Современное состояние и пути развития» (г. Одесса — 2006-2008);

• "Радиолокация, навигация и связь" (г. Воронеж -2007— 2008);

• "Современные проблемы математики и естествознания" (г. Нижний Новгород - 2006);

• «Математика в вузе» (г. Санкт-Петербург — 2005—2008);

• на симпозиуме по «Прикладной и промышленной математике», осенняя сессия (г. Йошкар-Ола — 06);

• на семинарах «Шумоподобные сигналы и их применение» (НовГУ);

• на семинарах кафедры КПМИ НовГУ.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 35 работ, из них одна монография, 2 статьи - в международных изданиях, 10 — в журналах, входящих в перечень, рекомендованный ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций. Получено два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ. При участии автора подготовлено 5 отчетов по НИР. Перечисленные работы достаточно полно отражают содержание диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 266 страниц. Библиография содержит 125* наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Едемский, Владимир Анатольевич

7.6. Выводы по главе

Таким образом, в седьмой главе разработаны алгоритмы синтеза ДП, ТП и БП с заданной совокупностью свойств или ограничений- на их характеристики, реализующие:

- методы синтеза ДП с простым периодом и ограничениями на период, вес, пик-фактор, рельефы ПАКФ или (и) ПВКФ;

- методы синтеза ТП с простым периодом и ограничениями на период, вес, рельефы ПАКФ или (и) ПВКФ, рельеф ПАКФ двоичной последовательности, соответствующей нулевым символам троичной последовательности, пик-фактор, степень уравновешенности;

- методы синтеза БП с простым периодом и ограничениями на период, рельефы ПАКФ или (и) ПВКФ, степень уравновешенности;

- метод расчета линейной сложности дискретно-кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов; метод синтеза ДП с периодом тр и ограничениями на период, вес, пик-фактор, рельеф ПАКФ; метод синтеза уравновешенных ТП с периодом тр и ограничениями на период, вес, рельеф ПАКФ, пик-фактор.

Комплекс программ, реализующий предложенные алгоритмы, сформирован, апробирован и частично зарегистрирован. В результате его применения получены многочисленные результаты синтеза, представленные в приложении С.

Предложенные в диссертации алгоритмы и программы синтеза ДКП закладывают основы нового научного направления — компьютерного проектирования последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики.

231

Заключение

1. Применение циклотомических чисел позволило: упростить анализ таблиц СРКВ, а также расчет и анализ СРКВ, соответствующих корреляционным функциям ДКП, формируемых на основе нескольких классов степенных вычетов; обобщать полученные частные решения синтеза ДКП в правила кодирования и находить обобщенные формулы для • характеристик синтезированных ДКП.

Все это привело к усовершенствованию методики анализа. и синтеза дискретно-кодированных последовательностей на основе СРКВ, повысило её

•ч результативность. Кроме этого, число задаваемых свойств или ограничений на характеристики последовательностей увеличено с трех до восьми. В настоящий момент, обобщенная методика1 синтеза последовательностей позволяет выбирать свойства или ограничения на их характеристики^ из следующего меню: период, вес, рельефы, автокорреляционной и, взаимно.корреляционной функций, рельеф автокорреляционной функции, двоичной'последовательности, соответствующей нулевым символам троичной последовательности, пик-фактор, степень уравновешенности для троичных и бинарных последовательностей, эквивалентная линейная сложность.

2. На основе комплексной методики СРКВ и циклотомических' чисел разработаны универсальные, обобщенные, продуктивные и» эффективные методы синтеза двоичных, троичных и бинарных последовательностей с простым периодом, в том числе и псевдослучайных: методы синтеза двоичных последовательностей с ограничениями на период, вес, пик-фактор, рельефы ПАКФ или (и) ПВКФ; методы синтеза троичных последовательностей с ограничениями на период, вес, рельефы ПАКФ или (и) ПВКФ, рельеф ПАКФ двоичной последовательности, соответствующей нулевым символам троичной* последовательности, пик-фактор; степень уравновешенности; методы синтеза бинарных последовательностей с ограничениями на период, рельефы ПАКФ или (и) ПВКФ, степень уравновешенности.

Методы проиллюстрированы многочисленными примерами синтеза последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики. Определены новые правила кодирования семейств двоичных последовательностей с периодом р и квазиодноуровневыми периодическими автокорреляционными или взаимно корреляционными функциями и троичных последовательностей с квазиидеальными периодическими автокорреляционными или взаимно корреляционными функциями.

3. Разработав унифицированный метод расчета эквивалентной линейной сложности последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов. Определена линейная сложность двоичных и троичных последовательностей. Показано, что подавляющее число вновь синтезированных последовательностей обладают высокой криптостойкостью. Получены новые правила кодирование семейств ДКП с большой линейной сложностью.

4. Комплексная методика синтеза ДКП с простым периодом р распространена на последовательности с периодом тр, где т — натуральное число, взаимно простое с р, посредством расширения области применения теории СРКВ. Результативность методики подтверждена многочисленными примерами синтеза последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики. Синтезированы семейства двоичных и троичных последовательностей с периодом тр и ограничениями на период, вес, рельеф автокорреляционной функции, пик—фактор, степень уравновешенности.

5. Разработаны алгоритмы и комплекс программ, реализующих предложенные методы синтеза двоичных и троичных последовательностей. Предложенные в диссертации алгоритмы и программы синтеза ДКП закладывают основы нового научного направления — компьютерного проектирования последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики.

Достоверность теоретических результатов подкреплена многочисленными примерами синтеза, обобщённостью синтезированных правил кодирования, которые включают в себя формирование известных последовательностей с подобной совокупностью свойств, и результатами расчетов характеристик синтезированных последовательностей на вычислительных машинах.

234

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Едемский, Владимир Анатольевич, 2009 год

1. Фрэнк, Р. Многофазные коды с хорошими непериодическими корреляционными свойствами / Р. Фрэнк // Зарубежная радиоэлектроника. — 1963.-№ 12.-С. 39-44.

2. Мешковский, К.А. Кодирование в технике связи- / К.А. Мешковский, Н.Е. Кириллов. -М.: Связь, 1966. 324*с.

3. Вакман, Д.Е. Регулярный метод синтеза фазоманипулированных сигналов / Д.Е. Вакман. М.: Сов. радио, 1967. — 96 с.

4. Варакин, Л.Е. Синтез фазоманипулированных сигналов / Л.Е. Варакин // Радиотехника и электроника. — 1969. — Т. 14, № 5. — С. 796 — 806.

5. Алексеев, А.И. Теория и применение псевдослучайных сигналов / А.И. Алексеев, А.Г. Шереметьев, Г.И. Тузов и др. М.: Наука, 1969. — 368 с.

6. Варакин, Л.Е. Теория сложных сигналов / Л.Е. Варакин. — М.: Сов. радио, 1970. — 375 с.

7. Холл, М. Комбинаторика /М. Холл. М.: Мир, 1970. - 423 с.

8. Амиантов, И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи /И. Н. Амиантов.-М.: Сов. радио, 1971. -416 с.

9. Берлекэмп, Э. Алгебраическая теория кодирования / Э. Берлекэмп; Пер. с англ. И.И. Грушко; Под ред. С.Д. Бермана. М.: Мир, 1971. — 479 с.

10. Кук, Ч. Радиолокационные сигналы. Теория и применение / Ч. Кук, М. Бернфельд; Пер. с англ.; Под ред. B.C. Кельзона. М.: Сов. радио, 1971. -568 с.

11. Трахман, A.M. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов / A.M. Трахман. М.: Сов. радио, 1972 351 с.

12. Свердлик, М.Б Оптимальные дискретные сигналы / М.Б. Свердлик. -М.: Сов. радио, 1975.-200 с.

13. Дядюнов, Н.Г. Ортогональные и квазиортогональные сигналы / Н. Г. Дядюнов, А. И. Сенин. М. Связь, 1977 . - 224 с.

14. Варакин, JI.E. Теория систем сигналов / JI.E. Варакин. — М.: Сов. радио, 1978.-304 с.

15. Варакин, JI.E. Системы связи с шумоподобными сигналами / JI.E. Варакин. М.: Радио и связь, 1985. - 384 с.

16. Винокуров, В.И. Дискретно-кодированные последовательности / В.И. Винокуров, В.Е. Гантмахер; Отв. редактор Б.Ф. Кирьянов. — Ростов-на-Дону: Ростовский ун-т, 1990. — 283 с.

17. Окунев, Ю.Б. Цифровая передача информации фазомодулированными сигналами / Ю.Б. Окунев. М.: Радио-и связь, 1991. -296 с.

18. Ипатов, В.П. Периодические дискретные4сигналы с оптимальными корреляционными свойствами / В.П. Ипатов. М.: Радио и связь, 1992. — 152 с.

19. Ipatov, V.P. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications /. V.P. Ipatov. Wiley, 2005. 383 pp.

20. Гантмахер, В.Е. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка / В.Е. Гантмахер, Н.Е. Быстров, Д.В. Чеботарёв. — СПб.:, Наука и техника, 2005.-400 с.

21. Пелехатый, М.И. О последовательностях квадратичных вычетов с наилучшими автокорреляционными свойствами, / М.И. Пелехатый // Радиотехника и электроника. — 1971. Т. 16, № 5. — С. 788 - 796.

22. Lempel, A. A class of balanced binary sequences with optimal autocorrelation properties / A. Lempel, M. L. Cohn, W. L. Eastman // IEEE Trans. Info. Theory. 1977. -V. IT-23. -PP. 38 - 42.

23. Кренгель, Е.И. О числе псевдослучайных последовательностей Гордона, Милза, Велча / Е. И.,Кренгель, К. А. Мешковский // Техника средств связи. Сер. ТРС .-1979. №. 3. - С. 17-30.

24. Кренгель, Е.И. Генератор псевдослучайных последовательностей Гордона, Милза, Велча / Е. И. Кренгель, К. А. Мешковский // Техника средств связи. Сер. ТРС .-1979. №. 3.

25. Ипатов, В.П. Троичные последовательности с идеальными периодическими свойствами / В. П. Ипатов // Радиотехника и электроника. — 1979. -Т. 24. № 10. - С. 2053-2057.

26. Ипатов, В.П. К теории троичных последовательностей с идеальными периодическими свойствами / В. П. Ипатов // Радиотехника и электроника. 1980. -Т. 25. - № 4. - С 723-727.

27. Bernasconi, J. Low autocorrelation binary sequences: statistical5 mechanics and configuration space analysis / J. Bernasconi // J. Physique.— 1987—V. 48 .- PP. 559-567.

28. Гантмахер, B.E. О возможности синтеза троичных псевдослучайных последовательностей / В.Е. Гантмахер // Известия» вузов. Математика. — 1985. — № 7. С. 70 - 74.

29. Гантмахер, В.Е. Алгоритмы синтеза двоичных последовательностей„ со свойством «не более совпадений» / В.Е. Гантмахер // Вестник Новгородского государственного университета. Сер. Естественные науки. — Новгород, 1995. — № 3. С. 74-82.

30. Mertensy, S. Exhaustive search for« low-autocorrelation binary sequences / S. Mertensy // J. Phys. A: Math. Gen., 1996. -V. 29.- PP.473-481.

31. Камалетдинов, Б.Ж. Оптимальные множества бинарных последовательностей / Камалетдинов; Б.Ж. // Проблемы передачи информации, 1996 .- Т. 32. № 2.- С. 39-44.

32. Леухин, А.Н. Метод синтеза сложных сигналов по функции неопределенности / А.Н. Леухин, А.А. Роженцов // Материалы 1-ой Международной конференции и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применение». М., 1998. - Т. 3. - С. 90 - 97.

33. Helleseth, Т. Sequences with low correlation / Т. Helleseth, P. V. Kumar // Handbook of Coding Theory. V. Pless, W. C. Huffman, Eds., Elsevier, Amsterdam, The Netherlands, 1998. - V. II. - PP. 1765 - 1854.

34. Мешковский, К. А. Генерация псевдослучайных последовательностей Гордона, Милза, Велча / К.А. Мешковский, Е.И. Кренгель // Радиотехника. 1998. — № 5.

35. Pott, A. Difference Sets, Sequences and Their Correlation Properties / A. Pott, P. V. Kumar, T. Helleseth, D. Jungnickel. Kluwer , 1999.-542 c.

36. Ding, C. Several Classes of binary sequences with tree-level autocorrelation / C. Ding, T. Helleseth Т., K.Y. Lam // IEEE Trans. Inform; Theory. 1999. - V. 45. - P.2601—2606.

37. Кренгель, Е.И. Взаимная корреляция некоторых классов псевдослучайных последовательностей / Е. И. Кренгель, К. А. Мешковский К.А. //Радиотехника. 2000. - №6. - С. 8-13.

38. Мальцев, С.В. Бинарные последовательности для криптостойких систем связи / С.В. Мальцев, Р.П. Богуш // Известия Белорусской инженерной академии. 2000. - № 1 (9) / 1. - С. Г42 - 143.

39. Green, D.H. Linear complexity of modified, Jacobi sequences / D.H. Green, J. Choi // IEE Proc.: Comput. Digital Tech. 2000: -. V. 149. - №3. - P. 97101.

40. Мальцев, С.В. Формирование нелинейных бинарных последовательностей с расширенным ансамблем / С.В. Мальцев, Р.П. Богуш // Радиотехника.-2001.-№ 11.-С. 52-53.

41. Кренгель, Е.И. Классификация двоичных последовательностей Гордона, Милза, Велча / Е.И. Кренгель, К.А. Мешковский // Радиотехника. — 2001.-№ 12.-С. 13-15.

42. Архипкин, В.Я. Псевдослучайные последовательности для систем связи CDMA / В. Я. Архипкин, Е. И. Кренгель Е.И., А. Г.Соколов // Сборник докладов 7-ой международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация и связь".—Воронеж, 2001— С.

43. Parker, М. G. Even-length binary sequence families with low negaperiodic autocorrelation / M. G. Parker // Lecture Notes In Computer Science;

44. Proc. 14th Int. Symp. Applied Algebra, Algebraic Algorithms, and Error-Correcting Codes (AAECC-14), Melbourne, Australia. 2001. - V. 2227. - PP. 200-209.

45. Arasu, K.T. Almost difference sets and their sequences with optimal autocorrelation / K.T. Arasu; C. Ding, T. Hellesenh, P. V. Kumar, H.M. Martinsen // IEEE transactions on information theory. 2001. - V. 47. - № 7. - P. 2934-2943.

46. Ding, C. New families of binary sequences with optimal three-level autocorrelation / C. Ding, T. Hellesenh, H.M. Martinsen // IEEE Trans. Info. Theory. -2001. V. IT-47. - P. 428 - 433.

47. Габидулин, Э. M: Новые последовательности^ с нулевой автокорреляцией / Э. М. Габидулин, В. В. Шорин / / Проблемы передачиинформации. 2002. - Т.38. -№ 4. -С. 10-23.!

48. Габидулин, Э.М. Последовательности* с нулевой автокорреляцией, определенной на кольце / Э. М. Габидулин, В. В. Шорин // Электронный журнал «Исследовано в России». 2003— Т.167.-С.2011-2041,-http://www.zhurnal.mipt.ru/articles/2003/167.pdf

49. Luke, Н. D. Binary and quadriphase sequences with optimal autocorrelation properties: A survey / H. D. Luke, H. D. Schotten, H. Hadinejad-Mahram // IEEE Trans. Info. Theory. -2003. V. IT-49. - P. 3271 - 3282.

50. Кренгель, Е.И. Ансамбли двоичных последовательностей с малой взаимной корреляцией и большой линейной сложностью / Е.И. Кренгель, К.А. Мешковский // Радиотехника. — 2004. — № 4. — С. 3 — 5.

51. Кренгель, Е.И. Псевдослучайные двоичные последовательности с нулевой зоной автокорреляции и боковыми выбросами ±(р+1) / Е. И. Кренгель // Цифровая обработка сигналов. — 2004 №2. - С.2-6.

52. Леухин, А.Н1 Алгебраическое решение задачи синтеза- кодовых последовательностей / А.Н. Леухин // Квант. Электроника .— 2005.— Т. 35 — №8.- С. 688-692.

53. Leukhin, A.N. Algebraic solution of the synthesis problem for coded sequences / A.N. Leukhin // Quantum Electronics. 2005. - Vol. 35, No 8. - PP. 688 -692.

54. Кренгель, Е. И. Конструирование почти идеальных и нечетно-идеальных троичных последовательностей / Е. И. Кренгель // Радиотехника .— 2006.-№9.-С. 8-12.

55. Кренгель, Е. И; Несогласованные почти-идеальные двоичные последовательности// Сборник докладов 6-й международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применение". М., 2006 — С. 71—74.

56. Кренгель, Е. И. Ортогональные последовательности с низким пик-фактором для MC-CDMA систем// Сборник, докладов 6-й международной конференции "Цифровая обработка сигнал ови= ее применение". М-., 2006 — С. 69-71.

57. Кренгель, Е.И. Несогласованные почти-идеальные двоичные последовательности / Е. И. Кренгель // Цифровая обработка сигналов — 2006 — №4'- С. 44-47.

58. Кренгель, Е. И. Конструирование почти идеальных и* нечетно-идеальных троичных последовательностей* / Е. И. Кренгель // Радиотехника .— 2006 .-№9.- С. 8-12.

59. Zhang; Y. A new family of almost differences sets and some necessary conditions / Y. Zhang, Js. G. Lei J. G., S. P. Zhang // IEEE Trans. Info.* Theory — 2006.- V. 52: -PP: 2052- 2061.

60. Chen, Z. Sequences related1 to-Legendre/Jacobi sequences/ Z. Chen, X. Du, G. Xiao // Information Sciences: an International Journal.- 2007.-V. 177.- Is. 21 .-PP. 4820-4831.

61. Леухин, A.H. Синтез и анализ сложных фазокодированных последовательностей / А.Н. Леухин, А.Ю. Тюкаев, С.А. Бахтин // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007. — № 4. - С. 32 — 37.

62. Леухин, А.Н. Новые фазокодированные последовательности, с хорошими корреляционными характеристиками / А.Н. Леухин, А.Ю. Тюкаев, С.А. Бахтин, Л.Г. Корнилова // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007. - № 6. - С. 51 - 54.

63. Щетинин В .И., 1 фитчина JI.С. Сингулярные ансамбли оптимальных дискретных сигналов; Сб. докл. 10-ой международной конференции "Цифровая обработка сигналов и её применения".— Mi, 2008 — Т. 1-С:22-25.

64. Лидл, Р. Конечные поля / Р. Лидл, Нидеррайтер Г. — М.: Мир, 1988,- 820 с.

65. Cusick, T.W. Stream? Ciphers and Number Theory / Т., W: Cusick, G. . Ding, A. Renvall Amsterdam.: Elsevier, 1998:— 466 c.

66. Ипатов, В. П. Эквивалентная; линейная сложность: троичных последовательностей' с идеальными автокорреляционными свойствами / В; П; Ипатов, Б: Ж. Камалетдинов;// Радиотехника и электроника — 19891—Т. 34. — № 11.-С. 2451-2454. . " /.

67. Ding, С. On the Linear Complexity of Legendre Sequences / C. Ding, T. Helleseth, W. Shan W // IEEE Trans. Info Theory. 1998: - V. 1T-44. -PP. 1276 -1278:

68. Kyureghyan G. M. On the Linear Complexity of the Sidelnikov-Lempel-Cohn-Eastman Sequences / M. G. Kyureghyan, A. Pott // Designs, Codes and Cryptography. 2003. - V. 29. -PP. 149-164.

69. Meidl, W. Some Notes on the Linear Complexity of Sidel'nikov-LempelLCohn-Eastman Sequences / W. Meidl, A. Winterhof // Designs, Codes and Cryptography. 2006.-V. 38.-PP. 159-178.

70. Bai, E. On the linear complexity of generalized cyclotomic sequences of order four over Zpq / E. Bai, X. Fu, G. Xiao // IEICE Trans. Fundamentals of Electron. Commun. Comput. Sci. V. E88-A il. -PP. 392-395.

71. Green, D.H. Linear complexity of modified' Jacobi sequences / D. H. Green, J. Choi // IEE Proc.: Comput. Digital Tech. -2002. -V. 149. Is. 3. PP. 97101.

72. Kim, J.H. On the linear complexity of Hall's sextic residue sequences / J.H. Kim, H.Y. Song // IEEE Trans. Inf. Theory. 2001'. - V. 47. - Is.5. - PP. 20942096.

73. Bai, E. Linear complexity of new generalized cyclotomic sequences of order two of length pq / E. Bai, X. Liu, G. Xiao // IEEE Trans. Info. Theory. -2005. -V. 51.-Is. 5.-PP. 1849-1853.

74. Kim, Y.-S. Chung H. Linear Complexity over Fp of Ternary Sidel'nikov Sequences / Y—S. Kim, J.-S. Chung, J.-S. No // Proceedings of SETA. — China, 2006.-PP. 61-73.

75. Dickson, L.E. Cyclotomy, higher congruenses, and Waring's problems / L.E.Dickson// Amer. J. Math.- 1935.-V. 57.-PP.391^124.

76. Storer, T. Cyclotomy and Difference Set / T. Storer, T. — Chicago.: Marham, 1967,- 134 p.

77. Lehmer, E. On the number of solutions of uk + D = w2 (mod p)/ E. Lehmer // Pacific J. Math.-1955. V.5. - PP.103-118.

78. Whiteman, A.L. The cyclotomic numbers of order twelve / A.L. Whiteman // Acta arithmetica. 1960. - №6. -PP. 53-76.

79. Whiteman, A.L. The cyclotomic numbers of order ten / A.L. Whiteman // Proc. Sympos. Appl. Math. 1960. - V. 10. -PP. 95-111.

80. Ding, C. Autocorrelation Values of Generalized Cyclotomic Sequences of Order Two / C. Ding // IEEE Trans. Info. Theory. -1998. V. IT-44. - PP. 1699 -1702.

81. Ding, C. Cyclotomy and Duadic Codes of Prime Lengths / C. Ding, V. Pless // IEEE Trans. Info. Theory. -1999. V. IT-45. - PP. 453 - 466.

82. Ding, C. New generalized cyclotomy and its applications / C. Ding, T. Heileseth // Finite Fields Their Appl. -1998. V. 4. -PP. 140 - 166.

83. Ding, С. Generalized Cyclotomic Codes of Length piel . ptet / C. Ding, T. Helleseth // ШЕЕ Transactions on Information theory. 1999. - V. 45. -PP. 467 -474.

84. Плёкин, В. Я. Формирование функции неопределенности дискретно-кодированных по частоте сигналов с заданными свойствами / В. Я. Плёкин, Т. X. Нгуен // Известия вузов. Радиоэлектроника. —2004. № 1. - С. 614.

85. Айерлэнд, К. Классическое введение в современную теорию чисел / К. Айерлэнд, М. Роузен М.: Мир, 1987.-416 с.

86. Боревич, З.И. Теория чисел / 3. И. Боревич, И. Р.Шафаревич — М.: Наука, 1972.-496 с.

87. Виноградов, И.М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов. — М.: Гос. изд. техн.-теор. лит, 1965 180 с.

88. Едемский, В.А. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики / В.А. Едемский, В. Е. Гантмахер Великий Новгород.:, НовГУ, 2009.- 189 с.

89. Едемский, В. А. Методика построения разностных множеств, сбалансированных на несколько близких уровней / В. А. Едемский //

90. Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2007. — Т. 14. —Вып. 2. — С. 291-292.

91. Едемский, В.А. Методика анализа и синтеза ДКП, формируемых на основе классов вычетов по модулю р! В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский // В. Новгород, 2005.-49 с. Рус.- Деп. в ВИНИТИ № 1737 В2005 от 26.12.05.

92. Едемский, В.А. Методика синтеза квазиодноуровневых разностных множеств / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский // Материалы.XVI всероссийской научно—технической конференции "Современные проблемы математики и естествознания". Нижний Новгород, 2006. — С. 15.

93. Едемский, В.А. Метод синтеза бинарных последовательностей с составным периодом на основе классов степенных вычетов. / В. А. Едемский, И. С. Вагунин // Вестник НовГУ. Серия «Техн. науки». — 2007. — № 50. — С. 2629.

94. Едемский, В.А. Двоичные последовательности с квазипостоянной автокорреляцией / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский // Труды междунар. Научно-методич. конф. «Математика в вузе». Псков. 2006 г. С. 114-115.

95. Едемский, В.А. Квазиодноуровневые разностные множества / В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". 2007. - №4. - С. 8-19 .

96. Едемский, В. А. О двоичных и троичных последовательностях с квазиодноуровневой! периодической* автокорреляционной: функцией- для: р = 1 mod4 / В. Е. Гантмахер, В:А. Едемский // Вестник НовГУ. Серия «Техн. науки». 2004.- № 28: - С! 73-76^:

97. Едемский, В.А. О ПАКФ и ПВКФ двоичных и троичных последовательностей / В.А Едемский // Труды международной: научно-методической конференции «Математика в вузе».— СПб., 2005. С. 108-109.

98. Едемский, В.А. Результаты синтеза пар двоичных последовательностей . простого периода: с одноуровневой и- двухуровневой взаимной^ корреляцией / В. Е. Гантмахер, В:А. Едемский: // Известия вузов. Радиоэлектроника. 2006. — № 4. — С. 26-33.

99. Едемский, В.А. Взаимная корреляция двоичных последовательностей простого периода/ В. Е. Гантмахер, В.А Едемский //функции троичных

100. Труды международной научно-методической конференции- «Математика« в-вузе». СПб., 2007. - С. 104. ;

101. Едемский, В. А. К вопросу, синтеза троичных квазиортогональных последовательностей с одним нулевым символом на периоде / В. Е. I "ангмахер, А. С. Евдаков, В.А. Едемский // Вестник НовГУ. Серия «Техн. науки». 2004. - №26.-С. 101-103.

102. Едемский, В.А. О бинарных последовательностях простого ¿периода с квазиидеальной автокорреляцией^/ В. Е. Гантмахер, В.А. Едемский // Вестник Саратовского государственного»технического университета. — 2007. — № 1(21): —Вып. 11-С. 7-12.

103. Едемский, В.А. О' линейной сложности троичных, последовательностей на основе классов степенных вычетов /В; А. Едемский // Проблемы передачи информации. — 2008. — Т. 44. Вып.,4. -С. 3-11.

104. Едемский, В.А. О1 синтезе дискретно-кодированных последовательностей периода 2р/ В; Е. Гантмахер; В.А. Едемский, С. М:

105. Платонов // Сборник докладов 10-ой международной конференции-"Цифровая обработка сигналов и её применения". — М'., 2008. — Т. 1. — С.16-19.

106. Едемский, В. А. Метод синтеза* двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляцией и периодом шр / В.А Едемский, Вагунин И: С. // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. 2008. - № 6. -С. 147-150:

107. Едемский, В.А. О программе синтеза двоичных последовательностей с периодом трИ В: А. Едемский, И. С. Вагунин // Труды международной научно-методической, конференции «Математика' в вузе». — СПб, 2008.- С.82-83.

108. Новгородский государственный университет».— № 2008614963; заявл. 28.10.08.; зарег. 11.01.09.I