Синтез динамических гасителей колебаний на основе линейных матричных неравенств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Федотов, Игорь Анатольевич

• Федотов, Игорь Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федотов, Игорь Анатольевич

Введение

1 Задача динамического гашения колебаний как задача теории управления

1.1 Введение в задачу виброизоляции и динамического гашения колебаний.

1.2 Постановка задачи об активном динамическом гасителе

1.3 Техника линейных матричных неравенств и её связь с теорией управления.

2 Синтез динамического гасителя с использованием линейных матричных неравенств

2.1 Динамический гаситель как регулятор по состоянию.

2.1.1 Гаситель для систем с упруго-вязким инерционным основанием.

2.2 Динамический гаситель как регулятор по выходу.

2.2.1 Гаситель для систем с упруго-вязким инерционным основанием.

2.2.2 Пример построения пассивного динамического гасителя

2.2.3 Пример возможной реализации активного динамического гасителя

3 Программный пакет для синтеза динамических гасителей колебаний

3.1 Реализация пакета.

3.1.1 Класс для работы с матрицами общего вида: Matrix

3.1.2 Класс для работы с разреженными матрицами: SparseAIatrix.

3.1.3 Класс для работы с матричными переменными pi л.м.н-ми.: LMIVar.

3.1.4 Класс для постановки задач теории управления: ControlTask.

3.2 Интерфейс и способы взаимодействия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез динамических гасителей колебаний на основе линейных матричных неравенств»

Актуальность проблемы. Проблема снижения колебаний конструкций и механизмов стоит достаточно давно и все более усложняется при переходе к большим скоростям, частотам и нагрузкам. Предложено значительное число технических решений, направленных на снижение вибраций, тем не менее, задача синтеза систем, обеспечивающих эффективную виброзащиту и обладающих ограниченными габаритами, остается актуальной до сих пор.

Существуют два принципиально различных способа виброзащиты: виброизоляция и динамическое гашение колебаний. В первом случае, защищаемый объект изолируется от виброактивного источника посредством специальных устройств, называемых изоляторами. Во втором случае к виброактивному источнику прикладываются дополнительные силовые воздействия с целью уменьшения амплитуды его колебаний.

Устройства, которые обеспечивают такие дополнительные воздействия, называются динамическими гасителями колебаний. Динамические гасители колебаний обычно подразделяют на активные и пассивные, то есть функционирующие либо за счет дополнительных источников энергии, либо за счет механической энергии самой системы. Пассивные динамические гасители более привлекательны из-за простоты технической реализации и отсутствия дополнительных энергозатрат, однако существенным их недостатком являются ограниченные возможности виброзащиты в широком диапазоне частот. Подробное изложение теории динамических гасителей приведено в монографии Б.Г.Коренева, Л.М.Резникова ("Динамические гасители колебаний", 1988), в которой показано, что пассивные динамические гасители обеспечивают эффективное гашение колебаний объекта в весьма узкой полосе частот. Дополнительные возможности по расширению полосы частот открываются в связи с применением так называемых полуактивных динамических гасителей, в которых предусмотрена возможность автоматической подстройки его параметров. Полуактивные динамические гасители (ПАДГ) в зависимости от способа изменения параметров подразделяются на несколько типов: ПАДГ с изменяемой жесткостью, в которых изменение жесткости реализуется либо посредством специальных механизмов, либо за счет использования новых специальных материалов; ПАДГ с варьируемым демпфированием, основанные на использовании маг-нитореологического или электрореологического эффекта; ПАДГ с изменяемой жесткостью и изменяемым демпфированием, основанные на использовании пьезоэлектрического эффекта.

Существенное повышение эффективности динамических гасителей возможно за счет применения систем управления (активные динамические гасители). Использование дополнительной энергии даёт возможность реализации более сложных законов управления, вследствие чего достигаются лучшие результаты. На первый план здесь выходят задачи синтеза активного динамического гасителя. Традиционно ставилась задача линейно-квадратичного регулятора, которая решается с использованием уравнений Рикатти, но этот подход не даёт решать более широкие задачи в силу присущих ему ограничений на вид функционала и свойств динамической системы. Применение в настоящей работе теории -ffoo-управления и аппарата линейных матричных неравенств позволило поставить и решить более общую задачу, а именно задачу синтеза активного динамического гасителя колебаний, обеспечивающего эффективное гашение в широкой полосе частот. Помимо этого, данный подход позволяет синтезировать как активные, так и пассивные динамические гасители колебаний.

Работа опирается на труды известных авторов в области динамического гашения и гашения колебаний механических систем: Коренева Б.Г., Резникова JI.M., Тимошенко С.П., Коловского М.З., Сипёва A.B., Гордеева Б.А., Ерофеева В.И., Баландина Д.В., Когана М.М., Spencer В.F. и др.

Цель работы. Цель настоящей работы состоит в создании единого методического и программного обеспечения для синтеза пассивных и активных динамических гасителей колебаний, эффективных в широкой полосе частот внешнего возмущения.

Задачи работы. На основе сформулированной выше цели были поставлены следующие задачи:

1. Постановка задачи виброгашения как задачи теории управления.

2. Решение поставленной задачи методами .Н^-управления, для учета широкой области частот внешнего возмущения.

3. Синтез динамических гасителей как регуляторов по состоянию и по измеряемому выходу.

4. Сравнение качества полученных динамических гасителей с известными ранее аналогами.

5. Выработка практических рекомендаций для реализации систем виброгашения.

6. Создание прикладного программного обеспечения для синтеза динамических гасителей колебаний на основе используемого подхода.

Методы исследования. Для теоретического исследования был использован подход Дэо-оптимизации с применением метода функции Ляпунова. Для решения поставленных задач использовались методы полуопределенного программирования, в частности, аппарат линейных матричных неравенств. При моделировании и численном анализе использовалась система Matlab с интерфейсным пакетом YALMIP и решателем SeDuMi. При построении программного обеспечения привлекался компилятор gcc для языков C/C++ и Fortran, а также библиотека линейной алгебры lapack.

Научная новизна. В данной работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:

1. Математическая модель механической системы и постановка задачи синтеза активного динамического регулятора.

2. Метод синтеза динамических гасителей колебаний, как регуляторов пространства состояний с использованием теории ¿/^-управления и аппарата линейных матричных неравенств.

3. Полученные гасители как регуляторы по состоянию и по измеряемому выходу, а также регуляторы пониженного порядка и статический регулятор по выходу.

4. Амплитудно-частотные характеристики для полученных регуляторов и проведенный анализ эффективности гасителей для систем с упруго-вязким инерционным основанием.

5. Созданный программный пакет для синтеза динамических гасителей колебаний.

Достоверность результатов Достоверность результатов, достигнутых в работе, обеспечивается проверкой с помощью средств пакета МаЙаЬ и библиотеки линейной алгебры 1араск. Для проверки полученных регуляторов строятся амплитудно-частотные характеристики замкнутой системы, с последующим анализом эффективности полученных гасителей. Для проверки правильности используемого нами подхода рассмотрен пример с реализацией пассивного динамического гасителя, для которого ранее уже были получены оптимальные настройки. Полученный в этом случае гаситель совпал с классическим аналогом (абсолютная погрешность: 4 • 10""5, относительная погрешность: 1.2 • 10~3).

Точность результатов разработанного программного пакета зависит от точности используемого пакета 1араск и точности решений линейных матричных неравенств, с помощью метода внутренней точки.

Практическая ценность. Практическая ценность работы состоит в описании способа настройки динамических гасителей колебаний, эффективных в широкой полосе частот внешнего возмущения, как Н^ регуляторов. Показан способ повышения эффективности динамических гасителей, синтезированных на основе предложенной модели и основанный на использовании фильтра низких частот. Создано программное обеспечение для синтеза динамических гасителей колебаний, как в виде самостоятельного приложения, так и в форме подключаемого модуля в системе МаШЬ. В рамках создания программы для расчета динамических гасителей колебаний было создано программное обеспечение для операций над линейными матричными неравенствами с возможностью промышленного использования.

Апробация полученных результатов. Основные результаты были представлены па следующих научных мероприятиях:

1. Научная конференция учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, 27-30 ноября 2007 г.

2. VIII Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем», Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, 22-26 сентября 2008 г.

3. Международная конференция «Управление динамическими системами», Институт проблем механики Российской академии наук, Москва, 26-30 января 2009 г.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 3 печатных работы в журналах из перечня ВАК. В совместных работах научному руководителю принадлежит постановка задачи и идея применения дополнительного фильтра для улучшения качества процессов управления. Разработка алгоритмов, программного обеспечения и численное моделирование принадлежит автору.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №07-01-00481), а также программы У.М.Н.И.К.-09(10) на проведение НИОКР по госконтракту №6537р/8815, по теме «Разработка программного обеспечения для синтеза динамических гасителей колебаний».

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Федотов, Игорь Анатольевич

4. Заключение

В данной работе на основе современных достижений теории управления решена задача синтеза активного динамического гасителя колебаний, обеспечивающего эффективную виброзащиту в широкой полосе частот. Это стало возможным благодаря постановке задачи о синтезе динамического гасителя колебаний как задачи теории Яоо-оитимизации и решения её с помощью техники линейных матричных неравенств.

Использование данного подхода позволило получить эффективные динамические гасители колебаний как регуляторы по состоянию и по выходу. Для дальнейшего улучшения характеристик замкнутой системы было предложено применение дополнительного динамического звена в структуре регулятора в виде фильтра низких частот, которое позволяет существенно повысить эффективность виброзащиты в низкочастотной области. Эффективность найденных регуляторов показана на амплитудно-частотных характеристиках системы с активным динамическим гасителем как для управляемого выхода, так и для величины управления. Рассмотрено поведение замкнутой системы (с регуляторами по состоянию и по выходу) в случае упруго-вязкого инерционного основания, где гаситель также оказывается эффективным. Для сравнения с классическими аналогами рассмотрен пример синтеза пассивного динамического гасителя, настройки которого полностью совпали с классическими результатами. Приведен пример синтеза активного динамического гасителя как регулятора по выходу пониженного порядка, с приведением схемы аналогового регулятора.

Разработан программный пакет, предназначенный для синтеза динамических гасителей колебаний на основе линейных матричных неравенств и описана работа с ним как для системы МаШЬ, так и на языках низкого уровня.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №0701-00481). В рамках работы проведен НИОКР по теме "Разработка программного обеспечения для синтеза динамических гасителей колебаний", гос.контракт №6537р/8815.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федотов, Игорь Анатольевич, 2011 год

1. Андреев Ю. H. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976г.

2. Андриевский Б. Р., Фрадков A. JI. Избранные главы теории управления с примерами на языке Matlab. СПб.: Наука, 2000г.

3. Anderson Е., Bai Z. LAPACK Users' Guide (third edition). Электронный ресурс. (http : //www .netlib. org/lapack/lug/).

4. ATLAS Installation Guide. Электронный ресурс. (http://math-atlas. sourcef orge .net/).

5. Баландин Д. В. Предельные возможности управления линейными системами и оценка Н^ -нормы. //Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001, № 6. С.50-56.

6. Баландин Д. В., Коган M. М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Наука, 2007г.

7. Баландин Д. В., Коган M. М. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаимообратных матриц. //Автоматика и телемеханика. 2004г, №

8. Баландин Д. В., КоганМ. М., Федюков А. А. Оценка предельных возможностей гашения колебаний высотных сооружений. //Вестник

9. Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Математическое моделирование и оптимальное управление. 2002г, №1. С. 195201.

10. Баландин Д. В., Федотов И. А. Синтез динамических гасителей колебаний с использованием линейных матричных неравенств. // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009, № 3. С.16-21.

11. Bai Ying. Applications Interface Programming Using Multiple Languages: A Windows® Programmer's Guide. Prentice Hall: 2003.1. Имеется русское издание:

12. Бей И. Взаимодействие разноязыковых программ в Windows. Руководство программиста. Вильяме: 2005 г.

13. Ben-Tal A., Nemirovski A. Lectures on modern convex optimization. Minerva optimization center 2000. SIAM Review 1996.

14. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

15. Boyd S., El Ghaoui L., Method of centers for minimizing generalized eigenvalues. //Linear Algebra and Its Applications. 1993. V. 188. P. 63111.

16. Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. Cambridge university press 2004.

17. Boyd S., Vandenberghe L. Semidefinite programming. SIAM Review 1996.t

18. Вибрации в технике: Справочник в 6 тт. 2-е издание. Том 6. Защита от вибрации и ударов. Машиностроение 1995г.

19. Гордеев Б. А., Ерофеев В. И., Синев А. В., МугинО.О. Системы виброзащиты с использованием инерционности и диссипации реологических сред. М.: Физматлит, 2004г. 176с.

20. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985г.

21. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999г.

22. Гриффите A. GCC. Настольная книга пользователей, программистов и системных администраторов. Киев.:Диасофт, 2004г.

23. Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to H00 control. // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1994. Volume 4. Issue 4. p. 421-448.

24. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001г.

25. Devillard N. С interface to gnuplot. Электронный ресурс. http: //ndevilla.free.fr/gnuplot/gnuploti/index.html (gnuploti reference Manual) 2003.

26. Золотых Н. Ю. Лекции по среде Matlab. Электронный ресурс. (http: //www. uic. nnov. ru/~zny/matlab/).

27. ИкрамовХ.Д. Численное решение матричных уравнений. М.:Наука, 1984г.

28. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971г.

29. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука, 1976г.

30. Коренев Б. Г., Резников JT.M. Динамические гасители колебаний. М: Наука 1988г.

31. Котельников И., Чеботарёв П. ЗТ^Х-2Е по-русски. Новосибирск: Сибирский хронограф 2004г.

32. Львовский С. М. Набор и верстка в системе ИТ^К. МЦНМО: 2003г.

33. LamportL. ЗТ^К. A Document Preparation System, User's Guide. Addison-Wesley: 1994.

34. S. Nagarajaiah, S. Narasimhan. Seismic control of smart base isolated buildings with new semiactive variable damper. //Earthquake engineering and structual dynamics. 2007. №36. p. 729-749.

35. Nesterov Y., Nemirovsky A. Interior Point Polynomial Algorithms m Convex Programming vol. 13 of Studies in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, PA: 1994.

36. Острём К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987г.

37. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Рандомизированный метод решения задач полу определенного программирования. / / Стохастическая оптимизация в информатике. 2006г. Том 2. №1-1. Тема 2. Стр. 38-70.

38. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002г.

39. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Техника D-разбиения при решении линейных матричных неравенств. // Автоматика и телемеханика. 2006. №11. С. 159-174.

40. Clarence W., de Silva Vibration Damping, Control, and Design. CRC Press 2007.

41. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М: Наука 1967г.

42. TantauT. The TikZ and PGF Packages, Manual for Version 2.00. Электронный ресурс. (http://sourceforge.net/projects/pgf) 2008.

43. Timothy A. Davis. Direct methods for sparse linear systems. SIAM 2006.

44. Тительбаум И. M., Шнейдер Ю. Р. Практика аналогового моделирования динамических систем. М.: Энергоатомиздат, 1987г.

45. ЧуриловА. Н., ГессенА. В. Исследование линейных матричных неравенств: путеводитель по программным пакетам. СПб: СПбГУ. 2004г. (Сайт автора: http://www.churilov.nm.ru/lmi.html).

46. Vandenberghe L., Boyd S., and Wu S.-P. Determinant Maximization with Linear Matrix Inequality Constraints. //SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 1998. 19(2). p.499-533.

47. Voss J. Numerical Linear Algebra Packages on Linux. Электронный ресурс. (http://seehuhn.de/pages/linear) 2007.

48. Yang Wang, Jerome P. Lynch and Kincho H. Law. Decentralized H^ controller design for large-scale civil structures. //Earthquake engineering and structual dynamics. 2009. №38. p. 377-401.

49. Williams Т., KelleyC. GNUPLOT, An Iterative Plotting Program. Электронный ресурс. (http://www.gnuplot.info/docs4.0/gnuplot.html) 2007.

50. Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники, 3-е издание в 2-х томах. М.: Мир, 1986г.

51. ХорнР., ДжонсонЧ. Матричный анализ. М.: Мир, 1989г.