Синхронизация систем с фазовой мультистабильностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Коблянский, Сергей Андреевич

• Коблянский, Сергей Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коблянский, Сергей Андреевич

Введение

1 Особенности переходов к режимам взаимной синхронизации в системах с "амплитудной смертью"

1.1 Бифуркационный анализ системы двух резистивно связанных генераторов Ван дер Поля.

1.1.1 Синхронизация и гашение автоколебаний в идентичных диссипативио связанных генераторах

1.1.2 Влияние расстройки по параметру возбуждения генераторов на бифуркационный механизм синхронизации и подавления колебаний.

1.2 Синхронизация и гашение колебаний в генераторах с инерционной нелинейностью

1.2.1 Бифуркационный анализ колебательных режимов в окрестности основной области синхронизации.

1.2.2 Бифуркационный анализ колебательных режимов в окрестности областей синхронизации п : т.

1.2.3 Характеристики колебательных режимов в области "широкополосной синхронизации".

1.3 Выводы по главе 1.

2 Поведение взаимодействующих генераторов с фазовой мультистабильностью при регулярном и шумовом воздействии

2.1 Синхронизация многомерной системы с предельным циклом внешним периодическим сигналом.

2.2 Вынужденная синхронизация периодических колебаний в системе с фазовой мультистабильностью.

2.2.1 Синхронизация колебаний при фазовой мультистабиль-ности.

2.2.2 Особенности бифуркационного механизма выхода из областей синхронизации в случае мультистабильности

2.3 Синхронизация пространственно периодических режимов цепочки генераторов с фазовой мультистабильностью.

2.3.1 Исследуемая система и ее поведение в автономном режиме

2.3.2 Вынужденная синхронизация цепочки локальным гармоническим воздействием.

2.4 Индуцированная шумом перемежающаяся синхронизация в системе связанных автогенераторов.

2.5 Выводы по главе 2.

3 Полная синхронизация хаоса и формирование фазовой мультистабильности в связанных осцилляторах Дуффинга при синфазном и противофазном гармоническом воздействии

3.1 Бифуркационные механизмы формирования мультистабильности и перехода с режимам синхронизации хаоса.

3.1.1 Парциальный осциллятор Дуффинга при внешнем гармоническом воздействии.

3.1.2 Бистабильность парциального осциллятора и фазовая мультистабильность в связанных осцилляторах Дуффинга

3.2 Синхронизация хаоса в диссипативно связанных неавтономных осцилляторах Дуффинга

3.2.1 Полная синфазная синхронизация хаоса в связанных осцилляторах Дуффинга.

3.2.2 Мультистабильность в связанных осцилляторах Дуффинга при противофазном воздействии.

3.3 Выводы по главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синхронизация систем с фазовой мультистабильностью»

Исследование явления внешней и взаимной синхронизации в ансамблях взаимодействующих систем с различными типами и различной топологией связи на протяжении многих десятилетий остается актуальной задачей радиофизики [1-107]. Изучение условий появления режимов синхронизации, связанных с бифуркационными механизмами формирования синхронных аттракторов и выявлением типичных бифуркационных структур в пространстве параметров рассматриваемых взаимодействующих систем имеет большое фундаментальное и прикладное значение не только для современной радиофизики, но и для многих других областей науки (см., например, [108— 114]). Было показано, что эффект синхронизации проявляется в поведении взаимодействующих клеток ткани [110], ансамблей нейронов [111,112], биологических популяций [113]. Явление мультистабильпости лежит в основе механизмов хранения информации (памяти) и распознавания образов в сложных нейронных системах [114]. Методы анализа динамических систем, разработанные в рамках радиофизики и нелинейной динамики, успешно используются учеными, работающими в различных областях физики, химии, биологии, экономики. В радиофизике работы по синхронизации начинаются с первой половины 20-го века, когда было обнаружено свойство захвата частоты колебаний триодного генератора периодическим сигналом [3,4].

Эффекты синхронизации применительно к колебательным системам разного вида и различной природы были исследованы и описаны в большом количестве научных статей и монографий, к примеру [1-65]. В последние десятилетия наибольшее внимание исследователей привлекали эффекты синхронизации хаотических движений [50-65]. Различают полную синхронизацию хаоса [50], обобщенную [56-58], частотную или фазовую [59-63].

В теории синхронизации к числу актуальных задач относится синхронизация в ансамблях автогенераторов с различными типами связи - как в глобально связанных системах, так и в цепочках и решетках, с однородной или неоднородной связью, (см., например, [64,65,84]). Случаю частичной синхронизации соответствует существование в системе кластеров, в которых колебания парциальных элементов синхронны. При глобальной синхронизации засинхронизованы все автогенераторы.

В настоящее время, несмотря на длительную историю, продолжает привлекать внимание одна из простейших задач теории синхронизации - задача о динамике двух взаимодействующих систем с предельными циклами. Этой задаче, начиная с работ X. Гюйгенса, опубликованных в 17-м веке [1,2], и до последнего времени, посвящено огромное количество важных, интересных, фундаментальных и практически значимых научных статей, обзоров и монографий [6, 7, 9-11,14,17-22, 26, 27, 30-49, 67, 68, 72-75, 87, 97,104]. Однако, в достаточно простой системе двух связанных генераторов с предельными циклами продолжают обнаруживать новые эффекты и режимы (например, [44,49,72,73]). На основе этой базовой модели формулируют новые принципиальные вопросы, исследование которых имеет большое фундаментальное значение как для теории синхронизации, так и для нелинейной динамики в целом, к примеру, [74,75].

Явление синхронизации обладает универсальностью как с точки зрения природы исследуемых систем, так и с точки зрения наблюдаемых бифуркаций. Бифуркационная структура на плоскости параметров остается универсальной в окрестности линии рождения тора. Она повторяется и в случае взаимной синхронизации слабо связанных автоколебательных систем с различными типами взаимодействия, и при внешней синхронизации автоколебательной системы слабым гармоническим воздействием, и в случае "единых" (несоставных) автономных систем с размерностью фазового пространства 3 и более, которые уже нельзя разделить на отдельные автоколебательные подсистемы со своими собственными частотами. Уход от универсальности наблюдается по мере удаления от линии бифуркации рождения тора и сопровождается усложнением картины переходов в пространстве параметров между квазипериодическими и периодическими колебаниями, в том числе с большим разнообразием бифуркаций устойчивых, седловых и полностью неустойчивых предельных циклов. Исследованию глобальной структуры языков синхронизации (резонансных языков, языков Арнольда) в автономных и неавтономных системах посвящено достаточно большое количество современных работ (см., например, [66-69] и библиографию к данным работам). Особенности поведения взаимодействующих систем проявляются как в зависимости от силы связи, так и от ее характера.

При консервативной связи двух автоколебательных систем с предельными циклами, при одних и тех же значениях параметров могут сосуществовать синфазный и противофазный режимы синхронизации [44], что ведет к определенным особенностям в бифуркационных механизмах потери синхронизации [86].

В двух диссипативно связанных генераторах могут наблюдаться не только режимы взаимной синхронизации, но и режим подавления автоколебаний или так называемой "амплитудной смерти" [26,33]. Это явление впервые было отмечено в 19-м веке лордом Рэлеем, наблюдавшим резонансы в органных трубах. Увеличение связи и расстройки по собственным частотам приводит к затуханию колебаний в обоих генераторах, и неподвижная точка в начале координат становится устойчивой. В этом случае переход от состояния равновесия к квазипериодическим и синхронным колебаниям наблюдается как при слабой, так и при сильной связи. При этом соответствующие бифуркационные структуры в пространстве управляющих параметров могут значительным образом различаться для случаев слабой и сильной связи. В системах с "амплитудной смертью" возникают существенные особенности переходов к режиму синхронизации, например, эффект так называемой "широкополосной синхронизации" [48]. На сегодняшний день эта задача, с точки зрения бифуркационного анализа устойчивых и седловых предельных циклов и со-стойний равновесия, не является полностью завершенной и рассматривается в настоящей работе.

Особый интерес в последние годы привлекает также исследование синхронизации в мультистабильных системах. Мультстабильность может приводить к определенным особенностям в проявлении эффекта синхронизации. Некоторые аспекты этой задачи применительно к хаотической синхронизации рассматривались в работе [70]. При синхронизации периодических колебаний в ансамблях связанных генераторов может существовать несколько значений стационарных разностей фаз, соответствующих разным устойчивым синхронным состояниям. Выбор между сосуществующими синхронными состояниями будет определяться начальными условиями. Данный вид мультистабильно-сти обычно называют фазовой. Фазовая мультистабилыюсть наблюдается, как правило, в ансамблях слабосвязанных автогенераторов. Закономерности развития фазовой мультистабильности в двух связанных фейгенбаумовских системах изучены достаточно подробно [76-79]. Было показано, что в формировании мультистабильности определяющую роль играют бифуркации сед-ловых периодических орбит [79], то есть неустойчивых предельных множеств, соответствующих ненаблюдаемым в эксперименте колебаниям. Одни из этих орбит при изменении параметров приобретают устойчивость, другие определяют границы между бассейнами притяжения сосуществующих аттракторов. Таким образом, фазовое пространство в системах с фазовой мультистабильностью оказывается устроенным существенно сложнее, чем в обычных автоколебательных системах с единственным устойчивым предельным циклом.

Нетривиальную задачу представляет собой вынужденная синхронизация автоколебательных систем, имеющих более высокую размерность и более сложное устройство фазового пространства в сравнении с одиночным генератором Ван дер Поля. Фазовое пространство такой системы может содержать помимо устойчивого предельного цикла и неустойчивой неподвижной точки еще целый ряд устойчивых, седловых и неустойчивых предельных множеств.

К таким системам можно отнести, например, ансамбли связанных автогенераторов. Даже при минимальном количестве элементов ансамбля - случай пары связанных подсистем - задача о внешней синхронизации может быть нетривиальной. В качестве примера можно привести внешнюю синхронизацию диссипативно связанных автогенераторов с одинаковой собственной частотой. Несмотря на эту идентичность, в зависимости от величины связи взаимная синхронизация подсистем может происходить через захват и подавление. При сильной связи, когда реализуется сценарий синхронизации через подавление, фазовое пространство автопомпой системы представлено устойчивым предельным циклом и неустойчивой точкой, что соответствует случаю одиночного автогенератора. Слабосвязанные генераторы в отсутствие внешнего сигнала демонстрируют взаимную синхронизацию через захват. В фазовом пространстве такой системы помимо устойчивого предельного цикла существует ряд седловых циклов [44,97,99], не наблюдаемых в численном или радиофизическом эксперименте. Справедливо предположить, что эти циклы способны существенно повлиять на общую картину синхронизации. В задаче о синхронизации двух связанных автогенераторов следует отметить работы под руководством B.C. Анищенко [74,75]. Авторы исследуют особенности вынужденной синхронизации системы консервативно связанных генераторов Ван дер Поля в режимах различных частотных соотношений между подсистемами. Исследования проводились в области захвата частоты. Представляющая собой более простой вариант, задача о внешней синхронизации идентичных по собственным частотам генераторов остается нерешенной. Вопросы о том, как будет изменяться картина внешней синхронизации диссипативно связанных систем при переходе из области захвата в область подавления, и каковы бифуркационные структуры резонансов для этих случаев, остаются открытыми и требует тщательного анализа.

При увеличении количества взаимодействующих подсистем можно наблюдать другой типичный пример фазовой мультистабильности - сосуществование пространственно периодических колебательных режимов в цепочках идентичных локально связанных автогенераторов - автоволн, бегущих вдоль ансамбля с постоянной фазовой скоростью [80-83]. При этом колебания в соседних генераторах имеют равную амплитуду и отличающиеся на постоянное значение фазы колебаний. В работе [84] было проведено детальное исследование таких мультистабильных состояний, выявлена характерная структура пространства параметров для цепочки автогенераторов с диссипативиой связью, продемонстрирована возможность переключений между различными режимами под действием шума. Однако не было достаточно изучено влияние регулярных сигналов на сосуществующие моды в распределенных системах с периодическими элементами.

Для ансамбля генераторов одной из особенностей пространственно периодических режимов является зависимость характеристик периодических колебаний (амплитуда и частота) от пространственного периода. Она приводит к тому, что если подать на цепочку генераторов внешнее периодическое воздействие, области синхронизации для разных автоволновых режимов окажутся разнесены в пространстве параметров "частота - амплитуда воздействия". Это дает возможность управлять переключениями между пространственно периодическими режимами, синхронизуя цепочку внешним сигналом.

За последние десятилетия при исследовании эффектов синхронизации периодических и хаотических колебаний получено много важных и интересных результатов. Однако в теории синхронизации систем с развитой мультиста-бильностыо ряд вопросов все еще остается открытым. Например, как влияет мультистабильность на бифуркационные механизмы синхронизации и возможно ли управление мультистабильными состояниями через внешнюю синхронизацию системы. Данная работа направлена на исследование указанных вопросов.

Целью диссертационной работы является изучение особенностей взаимной и вынужденной синхронизации периодических и хаотических автоколебаний в системах с фазовой мультистабильиостыо в виде взаимодействующих осцилляторов с удвоением периода и замкнутых в кольцо цепочек генераторов с предельными циклами, выявление особенностей переходов к режимам синхронизации в системах с "амплитудной смертью".

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Провести двупараметрческий бифуркационный анализ динамики системы двух диссипативно связанных генераторов с "амплитудной смертью" в широкой области значений управляющих параметров, направленный на выявление типичных бифуркационных структур.

2. Исследовать особенности бифуркационных переходов при вынужденной синхронизации системы, в фазовом пространстве которой помимо устойчивого предельного цикла и неустойчивого состояния равновесия присутствуют также седловые и неустойчивые предельные циклы.

- 133. Выявить особенности вынужденной синхронизации в системе диссипа-тивно связанных генераторов с удвоениями периода.

4. Исследовать возможность управления переключениями между мульти-стабильными состояниями с различным пространственным периодом в цепочке автогенераторов посредством изменения частоты внешнего гармонического сигнала.

5. Исследовать типичные режимы и бифуркационные переходы в диссипа-тивно связанных бистабильных осцилляторах при синфазном и противофазном гармоническом воздействии.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Коблянский, Сергей Андреевич

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Представлены результаты бифуркационного анализа динамики систем с амплитудной смертью на примере диссипативно связанных генераторов Ван дер Поля и генераторов с инерционной нелинейностью. Показано, что в окрестности основного резонанса с числом вращения 1 : 1 бифуркационные механизмы переходов к режимам синхронизации и гашения автоколебаний в этих двух системах качественно полностью совпадают как для случая идентичных подсистем, так и при слабой неидентичности по параметру возбуждения [97,99].

2. Показано, что в системе диссипативно связанных генераторов с инерционной нелинейностью языки синхронизации могут быть двух типов: в одних имеется и область захвата, и область подавления, а в других - только область захвата. При слабой неидентичности по параметру возбуждения возможны эволюционные переходы между областями синхронизации, содержащими область подавления. При таких переходах устойчивый предельный цикл, отвечающий режиму синхронизации, не претерпевает бифуркаций [99,107].

3. Выявлено, что при вынужденной синхронизации диссипативно связанных автогенераторов в случае сильной связи бифуркационная структура основного резонанса полностью повторяет известную структуру языка синхронизации неавтономного генератора Ван дер Поля. В случае слабой связи, когда генераторы синхронизуются между собой посредством захвата частоты, в фазовом пространстве системы присутствуют седловые торы, на поверхности которых образуются резонансные седловые циклы. Эти циклы участвуют в бифуркациях, определяющих границы и структуру основной области синхронизации системы.

4. Рассмотрена синхронизация двух сосуществующих двух-оборотных периодических колебаний в бистабильной системе под действием внешней периодической силы. При малой амплитуде воздействия синхронизация на базе обоих предельных циклов происходит идентичным образом: в результате седло-узловой бифуркации на торе. При больших амплитудах воздействия эта симметрия нарушается: в то время как выход из области синхронизации для синфазных колебаний происходит идентично случаю малых амплитуд воздействия, для несинфазных колебаний выход из области синхронизации происходит через кризис. Исследование устройства фазового пространства показало, что изменения в поведении бистабильной системы происходят вследствие влияния внешнего воздействия на неустойчивые предельные множества, многообразия которых разграничивают бассейны притяжения сосуществующих режимов [100,103,105].

5. Исследовано поведение неавтономной цепочки диссипативно связанных автогенераторов. Показано, что в отсутствие внешнего воздействия каждому из сосуществующих пространственно-периодических режимов соответствует своя частота автоколебаний элементов цепочки. Внешнее воздействие на ансамбль генераторов с частотой, близкой к собственной частоте одного из мультистабильных колебательных режимов, может переводить систему в этот пространственно-периодический режим [98,106].

6. Проанализировано влияние шума на синхронизацию системы с сосуществующими аттракторами. Изучается индуцированный шумом режим перемежающейся синхронизации. Выявлены закономерности переходов под действием шума между синфазным и противофазным режимами в зависимости от интенсивности шумового воздействия и при различных значениях управляющих параметров как в области захвата, так и в области подавления [104].

Т. Исследованы типичные режимы и бифуркационные переходы в системе диссипативно связанных осцилляторов Дуффинга при синфазном и противофазном внешнем воздействии. На плоскости управляющих параметров построены области характерных режимов и линии бифуркаций. Исследованы процессы, сопровождающие потерю полной синфазной синхронизации. В результате бифуркационного анализа выявлено, что при противофазном воздействии на осцилляторы в противофазном подпространстве притягивающее хаотическое множество не формируется [101,102].

В целом, запланированные задачи по диссертационной работе выполнены и основные вопросы изучены. Естественно, исследования, провденные при выполнении данной диссертационной работы нельзя считать исчерпывающими. За рамками рассмотрения остались многие эффекты, связанные с синхронизацией и разрушением квазипериодических колебаний, которые нуждаются в более детальном анализе, что не представляется возможным в рамках одной диссертационной работы. С этой точки зрения представленная диссертационная работа может служить основой для будущих исследований в области нелинейной динамики.

Заключение

Согласно поставленным во введении задачам, исследования в рамках диссертационной работы включали:

• Бифуркационный анализ динамики системы из двух связанных генераторов виде полных обыкновенных дифференциальных уравнений в режимах захвата, подавления и гашения автоколебаний как для случая идентичных подсистем, так и с небольшой расстройкой по параметру возбуждения автоколебаний.

• Исследование особенностей синхронизации многомерной системы внешним сигналом. Установить, как изменяется картина внешней синхронизации из-за наличия в фазовом пространстве автономной системы сложной структуры седловых предельных циклов.

• Изучение закономерностей синхронизации и выхода из синхронных режимов в связанных генераторах с фазовой мультистабильностью.

• Исследование возможности управления переключением между режимами с различным пространственным периодом в цепочке автогенераторов посредством изменения частоты внешнего гармонического сигнала.

• Выяснение закономерностей индуцированных шумом переходов между парой устойчивых состояний в бистабильной системе.

• Исследование собенностей перехода к синхронным хаотическим режимам и механизмов их разрушения в связанных неавтономных осцилляторах Дуффинга.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коблянский, Сергей Андреевич, 2010 год

1. С. Huygens. Letter to de Sluse. Letter No. 1333 of Feb.24, 1665 // Oeuvres Complete de Christiaan Huygens. Correspondence, vol. 5, Societe hollandaise des sciences, La Haye, 1893.

2. C. Huygens, Horologium oscillatorium (Paris, 1673). English translation by Richard J. Blackwell, Christiaan Huygens' The Pendulum Clock, or, Geometrical Demonstrations Concerning the Motion of Pendula as Applied to Clocks // Iowa State U.P., 1986.

3. Appleton E.V. The automatic synchronization of triode oscillator // Proc. Cambridge Phil. Soc., 1922, v. 21, pp. 231-248.

4. Van-der-Pol B. Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance // Phil. Mag., 1927, v. 3, pp. 64-80.

5. Андронов A.A., Витт A.A. К математической теории захватывания // Журнал прикладной физики, 1930, т. 7, стр. 3.

6. А.Г. Майер. К теории связанных колебаний двух самовозбужденных генераторов // Ученые записки Горьковского государственного университета. 2 (1935) 3.

7. В.И. Гапонов. Два связанных генератора с мягким самовозбуждением // ЖТФ, 6 (1936) 5.

8. Теодорчик К.Ф. К теории синхрнизации релаксационных автоколебаний // ДАН СССР, 1943, т. 40, №2, с. 63.

9. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.

10. Андронов А.А. Собрание трудов. // Изд-во АН СССР, Москва, 1956.

11. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. М.: Гостехиздат, 1952.

12. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.

13. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделироване в биофизике. М.:, Наука, 1975.

14. Демьяпченко А.Г. Синхронизация генераторов гармонических колебаний. М.: Энергия, 1976.

15. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

16. П.С. Ланда. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1971.

17. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981.

18. М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

19. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

20. M. Poliashenko, S.R. McKay, C.W. Smith, Chaos and nonisochronism in weakly coupled nonlinear oscillators // Physical Review A 44 (6) (1991) 3452.

21. M. Poliashenko, S.R. McKay, C.W. Smith. Hysteresis of synchronous-asynchronous regimes in a system of two coupled oscillators // Physical Review A 43 (10) (1991) p.5638-5641. .

22. M. Poliashenko, S.R. McKay. Chaos due to homoclinic and heteroclinic orbits in two coupled oscillators with nonisochronism // Physical Review A, v.46, N8, 1992, p.5271-5274.

23. Blekhman I.I., Landa P.S., Rosenblum M.G. Synchronization and chaotization in interacting dynamical systems // Applied Mechanics Review, 1995, v. 11, part 1, pp. 733-752.

24. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных шумом. // Радиотехника и электроника, 2002, т. 47, стр. 133-165.

25. С.П. Кузнецов. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001.

26. А. Пиковский, М. Розенблюм, Ю. Курте. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003.

27. B.C. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова, А.Б. Нейман, Г.И. Стрелкова, JL Шиманский-Гайер. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Под редакцией B.C. Анищенко. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

28. A. Balanov, N. Janson, D. Postnov, O. Sosnovtseva. Synchronization. Prom Simple to Complex. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.

29. B.C. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова. Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций, Учебник-монография. М.: Интеллект, 2009.

30. A.S. Bremsen, I.S. Feinberg, Analysis of functioning of two coupled relaxation generators // Journal of Technical Physics, 11 (1941) 959 (in Russian).

31. R.H. Rand, P.J. Holmes, Bifurcation of periodic motions in two weakly coupled van der Pol oscillators // International Journal of Non-Linear Mechanics, 15 (1980) 387.

32. D.W. Storti, R.H. Rand, Dynamics of two strongly coupled van der Pol oscillators // International Journal of Non-Linear Mechanics, 17 (3) (1982) 143.

33. K. Bar-Eli. On the stability of coupled chemical oscillators // Physica 14D (1985) 242-252.

34. T. Chacraborty, R.H. Rand, The transition from phase locking to drift in a system of two weakly coupled van der Pol oscillators, Int. J. Non-Linear Mech. 23 (1988) 369.

35. D.G. Aronson, G.B. Ermentrout, N. Kopell, Amplitude response of coupled oscillators // Physica D 41 (1990) 403.

36. M.A. Taylor, I.G. Kevrekidis. Some common dynamic features of coupled reacting systems // Physica D 51 (1991) 274-292.

37. I. Pastor, V.M. Perez-Garsia, F. Encinas-Sanz, J.M. Guerra. Ordered and chaotic behavior of two coupled van der Pol oscillators // Physical Review E, v.48, N1, 1993, p. 171-182.

38. I. Pastor-Diaz, A. Lopez-Fraguas. Dynamics of two coupled van der Pol oscillators // Physical Review E, v.52, N2, 1995, p. 1480-1489.

39. D.V. Ramana Reddy, A. Sen, G.L. Johnston. Time delay effects on coupled limit cycle oscillators at Hopf bifurcation // Physica D 129 (1999) 15-34.

40. D.V. Ramana Reddy, A. Sen, G.L. Johnston. Dynamics of a limit cycle oscillator under time delayed linear and nonlinear feedbacks // Physica D 144 (2000) 335-357.

41. S.Wirkus, R. Rand. The Dynamics of Two Coupled van der Pol Oscillators with Delay Coupling // Nonlinear Dynamics, 30, 2002, 205-221.

42. Fatihcan M. Atay. Distributed Delays Facilitate Amplitude Death of Coupled Oscillators // Physical Review Letters, v/91, N9, 2003, 094101.

43. E. Camacho, R. Rand, H. Howland. Dynamics of two van der Pol oscillators coupled via a bath // International Journal of Solids and Structures, 41 (2004) 2133-2143.

44. M.V. Ivanchenko, G.V. Osipov, V.D. Shalfeev, J. Kurths. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillators // Physica D 189 (2004) 8-30.

45. А.П. Кузнецов, В.И. Паксютов. О динамике двух осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга с диссипативной связью // Известия ВУЗов "ПНД", т. 11, N6, 2003, с.48-64.

46. А.П. Кузнецов, В.И. Паксютов. Особенности устройства пространства параметров двух связанных осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга // Известия ВУЗов "ПНД", т.13, N4, 2005, с.3-19.

47. А.П. Кузнецов, В.И. Паксютов, Ю.П. Роман. Особенности синхронизации в системе связанных осцилляторов Ван дер Поля, неидентичных по управляющему параметру // Письма в ЖТФ, т.ЗЗ, вып.15, 2007, с.15-21.

48. А.П. Кузнецов, В.И. Паксютов, Ю.П. Роман. Особенности синхронизации в системе неидентичных связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля Дуффинга. Широкополосная синхронизация // Известия ВУЗов "ПНД", N4, 2007, с.3-15.

49. А.P. Kuznetsov, Ju. P. Roman. Properties of synchronization in the systems of non-identical coupled van der Pol and van der Pol-Duffing oscillators. Broadband synchronization // Physica D238, 2009, No 16, 1499-1506.

50. Fujisaka, H. and Yamada, T. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator system // Progress of Theoretical Physics, 1983, v. 69, p. 32-47.

51. Кузнецов С.П. О модельном описании цепочки связанных динамических систем вблизи точки перехода порядок-беспорядок // Известия вузов -Физика, 27, 1984, №6, с.87-96.

52. Pikovsky A.S. On the Interaction of Strange Attractors // Z. Phys. B, 1984, v. 55, p. 149-154.

53. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Известия ВУЗов. Серия Радиофизика, 1986, т. 29, №9, 1050.

54. Pecora L., Carroll Т. Synchronization of chaotic systems // Physical Review Letters, 1990, v. 64, p. 821-823.

55. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators // Physical Review Letters, 1997, v. 78, p. 41934196.

56. Rulkov, N.F., Sushchik, M.M., Tsimring, L.S. and Abrabanel, H.D.I. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems // Physical Review E, 1995, v. 51, p. 980-995.

57. Короновский A.A., Москаленко О.И., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Обобщенная синхронизация и синхронизация, индуцированная шумом, единый тип поведения связанных хаотических систем // ДАН. 2006., т. 407, №6, с. 761-765.

58. Hramov А.Е., Koronovskii A.A., Moskalenko O.I. Are generalized synchronization and noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of chaotic oscillators // Physical Review A. 2006., v. 354, 5-6, p. 423-427.

59. Анищенко B.C., Постнов Д.Э. Эффект захвата базовой частоты хаотических автоколебаний. Синхронизация странных аттракторов // Письма в ЖТФ, 1988, т. 14, №, с. 569-573.

60. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова М.А. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса // Радиотехника и электроника,1991, т. 36, №2, с. 338-351.

61. Anischenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E. and Safonova М.А. Synchronization of chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos,1992, v. 2, p. 633-644.

62. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E. Synchronization of Chaos // Processes of the 1-st International Conference on Applied Synergetics and Synergetic Engineering, 1994, p. 200-206.

63. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. and Kurths J. Phase synchronisation of chaotic oscillators // Physical Review Letters, 1996, v. 76, p. 1804-1807.

64. Hasler M., Maistrenko Yu. and Popovich O. Simple example of partial synchronization of chaotic systems // Physical Review E, 1998, v. 58, p. 6843-6846.

65. V. Kirk, Merging of resonance tongues // Physica D, 66, 1993, p. 267-281.

66. R. Mettin, U. Parlitz and W. Lauterborn, Bifurcation structure of the driven van der Pol oscillator // International Journal of Bifurcation and Chaos, 36,1993, p. 1529-1555.

67. M.A. Taylor and I.G. Kevrikidis. Some common features of coupled oscillatory reacting systems // Physica D, 51, 1991, p. 274-292.

68. A. Algaba, M. Merino and A.J. Rodriguez-Luis, Takens-Bogdanov bifurcations of periodic orbits and Arnold's tongues in a three-dimensional electronic model. International Journal of Bifurcation and Chaos, v.11, №2, 2001, p. 513-531.

69. Pisarchik A.N., Jaimes-Reategui R., Villalobos-Salazar J.R., Garcia-Lopez J.H., Boccaletti S. Synchronization of chaotic systems with coexisting attractors // Physical Review Letters, 2006, v. 96, 244102.

70. Афраймович B.C. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987, с. 189213.

71. Kozlov А. К., Sushchik М. М., Molkov Ya. I., Kuznetsov A. S. Bistable phase and chaos in a system of coupled van der Pol Duffing oscillators // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1999, vol. 12, pp. 2271-2277.

72. P.E. Кондратов, А.Д. Морозов. К исследованию резонансов в системе двух уравнений Дюффинга-Ван дер Поля // Нелинейная динамика, 2010, т.6, №2, с. 241-254

73. V. Anishchenko, S. Nikolaev and J. Kurths, Peculiarities of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Physical Review E, 76, 046216, 2007.

74. Анищенко B.C., Николаев С.М., Kurths J., Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе // Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №1, с. 39-55.

75. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума // Известия вузов. Серия Радиофизика, 1985, т. 28, №8, с. 991-1007.

76. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.П., Селезнев Е.П. Мультиста-бильные состояния в диссипативно связанных Фейгенбаумовских системах // Письма в ЖТФ, 1989, т. 15, N 3, с. 60-65.

77. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П. Формы колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах // Журнал Технической Физики, 1990, т. 60, N 10, с. 19-26.

78. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование муль-тисиабильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах. // Известия ВУЗов: Радиофизика, 1991, т. 34, N 1, с. 35-38.

79. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. -М.: Мир, 1983.

80. Васильев В.А., Романовский Ю.М. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987.

81. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику (от маятника до турбулентности и хаоса). М.: Гл. ред. ФМЛ.,1988.

82. Cross M.G., Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Review of Modern Physics, 1993, v.65. N 3. pp.851-1112.

83. Шабунии A.B., Акопов А.А., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Бегущие волны в дискретной ангармонической автоколебательной среде // Известия ВУЗов: "ПНД", 2005, т. 13, N 4, с. 37-54.

84. Анищенко B.C., Астахов В.В. Экспериментальное исследование механизма и структуры странного аттрактора в генераторе с инерционной нелинейностью // Радиотехника и электроника, 1983, т.28, N6, стр. 1109-1115.

85. A.G. Balanov, N.B. Janson, V.V. Astakhov, P.V.E. McClintock. Role of saddle tori in the mutual synchronization of periodic oscillations // Physical Review E 72, 026214 (2005).

86. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Издательство Саратовского Университета, 1999.

87. В.В. Астахов, А.В. Шабунин, B.C. Анищенко. Спектральные закономерности при формировании мультистабильности в связанных генераторах с удвоением периода // Радиотехника и электроника, 1997, том 42, N8, с. 974-981.

88. V. Astakhov, A. Shabunin and V. Anischenko. Antiphase Synchronization in Symmetrically Coupled Self-Oscillators // International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 10, N4 (2000) 849-857.

89. Vladimir Astakhov, Alexey Shabunin, Alexander Klimshin and Vadim Anischenko. In-Phase and Antiphase Complete Chaotic Synchronization in Symmetrically Coupled Discrete Maps // Discrete Dynamics in Nature and Society, Vol. 7, pp. 215-229.

90. Seunghwan Kim, Seon Нее Park, and C. S. Ryu. Multistability in Coupled Oscillator Systems with Time Delay // Physical Review Letters, Vol. 79, N15, pp. 2911-2914.

91. Seunghwan Kim, Seon Нее Park, and Chang Su Ryu. Noise-Enhanced Multistability in Coupled Oscillator Systems // Physical Review Letters, Vol. 78, N9, pp. 1616-1619.

92. Astakhov V., Shabunin A., Uhm W., Kim S., Multistability formation and synchronization loss in coupled Hennon maps: Two sides of the single bifurcational mechanism. // Physical Review E, 2001, v. 63, 056212.

93. Suso Kraut and Ulrike Feudel. Multistability, noise, and attractor hopping: The crucial role of chaotic saddles // Physical Review E (2002), v. 66, 015207(R)

94. B.B. Астахов, А.В. Шабунин, П.А. Стальмахов А.В. Климшин. Управляемая противофазная синхронизация хаоса в связанных кубических отображениях // Известия ВУЗов "ПНД", Т. 8, №4, 2000.

95. V. Astakhov, A. Shabunin, P. Stalmakhov. Multistability, In-phase and Antiphase Chaos Synchronization in period-doubling systems // Известия ВУЗов "ПНД", T.10, №, 2002.

96. Астахов В.В., Коблянский С.А., Вадивасова Т.Е., Анищенко B.C. Бифуркационный анализ динамики диссипативно связанных генераторов Ван дер Поля // Успехи современной радиоэлектроники, №9, 2008. С.61-68.

97. Астахов В.В., Щербаков М.Г., Коблянский С.А., Шабунин А.В. Синхронизация пространственно периодических режимов цепочки генераторов с фазовой мультистабильностью // Известия ВУЗов - "ПНД", Т.16, №4, 2008. С.65-72.

98. Астахов В.В., Коблянский С.А., Шабунин А.В. Бифуркационный анализ режимов синхронизации и гашения колебаний в связанных генераторах с инерционной нелинейностью // Известия ВУЗов, "ПНД", Т.18, №2, 2010. С.79-96.

99. С.А. Коблянский, А.В. Шабунин, В.В. Астахов. Вынужденная синхронизация периодических колебаний в системе с фазовой мультистабильностью // Нелинейная динамика, Т.6, №2, 2010. С. 1-13

100. Коблянский С.А. Полная синфазная синхронизация хаоса во взаимодействующих осцилляторах Дуффинга. Нелинейные дни в Саратове для молодых 2005: Сборник материалов научной школы-конференции // Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2005. С.158-161.

101. Коблянский С.А. Управление мультистабильными состояниями с помощью синхронизации. Нелинейные дни в Саратове для молодых 2007: Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов, 16-20 октября 2007 // Саратов: ООО ИЦ "Наука", 2008. С.128-131.

102. Синхронизация и гибель колебаний в резистивно связанных генераторах с инерционной нелинейностью. Коблянский С.А., Астахов В.В. //

103. XIV Международная зимняя школа-семинар по электронике сверхвысоких частот и радиофизике. Саратов: Издательский центр "РАТА", 2009. С.53.

104. Barnett W.A. and Dalkir М. Gains from Synchronization // EconWPA, 2005, 0504004.

105. Mosekilde E., Maistrenko Yu., Postnov D. Chaotic Synchronization. Applications to Livinig Systems // World Scientific, Singapore, 2002.

106. Soen Y., Cohen N., Lipson D., Braun E. Emergence of Spontaneous Rhythm Disorders in Self-Assembled Networks of Heart Cells // Physical Review Letters, 1999, v. 82, p. 3556.

107. Neiman A., Pei X., Russell D., Wojtenek W., Wilkens L., Moss F., Braun H., Huber M., Voigt K. Synchronization of the Noisy Electrosensitive Cells in the Paddlefish // Physical Review Letters, 1999, v. 82, p. 660.

108. Abarbanel H.D.I., Rabinovich M.I., Selverston A., Bazhenov M.V., Huerta R., Sushchik M.M., Rubchinskii L.L. Synchronization in neural networks // Phys.-Uspekhi, 1996, v. 39, p. 337-362.

109. Winfree A.T. The Geometry of Biological Time. // New York:Springer, 1980.

110. J. Foss, A. Longtin, B. Mensour, and J. Milton. Multistability and Delayed Recurrent Loops // Physical Review Letters 76, 1996, pp. 708-711.

111. AUTO: Software for continuation and bifurcation problems in ordinary differential equations, http://cmvl.cs.concordia.ca/auto/