Синхронизация и сложная динамика связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Емельянова, Юлия Павловна

• Емельянова, Юлия Павловна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Емельянова, Юлия Павловна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СВЯЗАННЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ ВАН ДЕР ПОЛЯ

С НЕИДЕНТИЧНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1Л. Исследование динамики связанных осцилляторов ван дер Поля в случае неидентичности по управляющим параметрам. Возможность широкополосной синхронизации

1.2. Исследование влияния неидентичности по параметру нелинейной диссипации на синхронизацию связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными управляющими параметрами

1.2.1. Анализ укороченных уравнений

1.2.2. Карты динамических режимов

1.2.3. Бифуркационный анализ

1.3. Экспериментальное исследование диссипативно связанных радиофизических автогенераторов ван дер Поля

1.3.1. Одинаковый уровень нелинейной диссипации

1.3.2. Разный уровень нелинейной диссипации

1.4. Широкополосная синхронизация в системе связанных осцилляторов с неквадратичным потенциалом

Выводы

ЕЛАВА 2. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ В СИСТЕМЕ

РАЗНОТИПНЫХ СВЯЗАННЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

2.1. О введении связи между разнотипными осцилляторами

2.2. Колебательные режимы связанных осциллятора ван дер Поля и брюсселятора

2.3. Связанные автоколебательные осцилляторы с разными временными масштабами

2.4. Динамика связанных осциллятора ван дер Поля и

генератора Кислова—Дмитриева

Выводы

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА СВЯЗАННЫХ НЕФРОНОВ. РЕЖИМ

ШИРОКОПОЛОСНОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ

3.1. Модель индивидуального нефрона. Основные уравнения

3.2. Результаты численного исследования синхронизации

в модели отдельного нефрона

3.3. Модель парных нефронов

Выводы

ГЛАВА 4. СИНХРОНИЗАЦИЯ В ЦЕПОЧКЕ ТРЕХ НЕИДЕНТИЧНЫХ ПО УПРАВЛЯЮЩИМ ПАРАМЕТРАМ

АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

4.1. Особенности системы трех связанных неидентичных автоколебательных осцилляторов

4.2. Компьютерное моделирование. Случай малых управляющих параметров

4.2.1. Режимы с наиболее продемпфированным центральным осциллятором. Случай близких

частот первого и третьего осцилляторов

4.2.2. Режимы с наиболее продемпфированным центральным осциллятором. Случай большой частотной расстойки первого и третьего осцилляторов

4.2.3. Режимы с наиболее продемпфированным

крайним осциллятором

4.2.4. Режимы с сильно возбужденными крайними осцилляторами

4.3. Укороченные уравнения в системе трех неидентичных связанных осцилляторов

4.4. Режим полной широкополосной синхронизации трех

осцилляторов в рамках укороченных уравнений

4.5. Фазовые уравнения для неидентичных осцилляторов

4.5.1. Область полной синхронизации и бифуркации состояний равновесия в фазовых уравнениях

4.5.2. Карты ляпуновских показателей и фазовые

портреты в фазовом приближении

4.6. Случай идентичных осцилляторов

4.7. Случай больших значений управляющих параметров

4.8. Цепочка связанных осцилляторов ван дер Поля-Дуффинга

Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синхронизация и сложная динамика связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными параметрами»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации. Задача о динамике связанных автоколебательных осцилляторов (автогенераторов) является фундаментальной в теории колебаний и нелинейной динамике [1-14]. Описание различных систем в терминах взаимодействующих осцилляторов используется в радиофизике [12-15], микроволновой электронике [16,17], биофизике [5,9-11,17-21], химии [8,22-24]. Простейшей такой системой, имеющей универсальный для теории колебаний характер, являются связанные осцилляторы ван дер Поля [1-5]. Популярны также модели типа классического брюсселятора [23-25], разнообразных радиофизических генераторов: Анищенко-Астахова [12-14,26] и его модификаций [27,28], Кислова-Дмитриева [15], других оригинальных конструкций генераторов [28] и т.д. Особый интерес проявляется к исследованию различных биофизических систем: нефронов [18-20,29-31], нейронов [32-34] и т.д.

Оказывается, что даже два связанных автоколебательных элемента демонстрируют весьма разнообразную картину возможных эффектов, которая продолжает выясняться и дополняться. Прежде всего, это такие классические эффекты, как биения (квазипериодические колебания) и взаимный захват осцилляторов с различным соотношением частот. В случае диссипативной связи также возможен эффект гашения («гибели») колебаний, который состоит в том, что диссипативная связь подавляет автоколебания осцилляторов так, что состояние равновесия в начале координат из неустойчивого становится устойчивым. При этом осцилляторы должны быть достаточно отстроены друг от друга по частоте, так как в противном случае диссипация не может скомпенсировать воздействие одного осциллятора на другой, и возникает режим синхронизации [1,35]. Эффект гибели колебаний обнаружен экспериментально в системах связанных осцилляторов разной природы: электронных [36], термо-оптических [37], химических [38,39], электробиологических [40]. С другой стороны, в случае реактивной связи

этот эффект невозможен, однако, для этого типа связи уже в фазовом приближении наблюдается бистабильность (синфазная и противофазная синхронизация) [5,41,42]. Комбинированное действие нескольких факторов, а именно, диссипативной и реактивной связи в фазовом и квазигармоническом приближениях рассматривалось в [43], с учетом небольшой неидентичности по управляющим параметрам - в [44], а с учетом неизохронности малых колебаний - в [41,42]. Некоторые аспекты картины, такие как мультистабильность, возможность хаоса и роль неизохронности в терминах исходной системы обсуждались в [45-51]. В ряде работ установлено влияние различных факторов на характер динамики, таких как нелинейный тип связи [52,53], действие «запаздывающей» связи [54,55], связь через дополнительную третью переменную («via a bath») [56] и т.д. В частности, показано, что эффект гибели колебаний возможен и в идентичных по частотам осцилляторах за счет запаздывающей связи [57] или за счет ее нелинейности [58]. Бифуркационные механизмы различных режимов связанных осцилляторов исследованы достаточно подробно в [5,59].

Недавно были обнаружены новые интересные эффекты для задач о синхронизации двух осцилляторов внешней силой, а также для задач о трех связанных осцилляторах [14, 60-67]. Так в [60] в фазовом приближении исследована задача о возбуждении двух диссипативно связанных осцилляторов, в [61] представлен соответствующий эксперимент, а в [62] для анализа пространства параметров использован метод ляпуновских карт, выявляющий области двух- и трехчастотной квазипериодичности. В [63,64] в терминах исходных уравнений исследуется случай реактивной связи, а в [65] - параметрического возбуждения осцилляторов. Три реактивно связанных осциллятора ван дер Поля в контексте приложения к анализу биологических циркадных (суточных) ритмов исследуются в [66]. В [16] три связанных осциллятора ван дер Поля исследуются в контексте задачи микроволновой электроники о синхронной генерации трех связанных виркаторов - генераторов СВЧ излучения. В [67] для анализа трех и четырех

диссипативно связанных в цепочку фазовых осцилляторов применяется метод ляпуновских карт. Следует отметить также, что для задач о динамике связанных автоколебательных осцилляторов в рамках фазового приближения возникают определенные аналогии с системами фазовой автоподстройки, см. [68] и цитированную там литературу.

Столь широкое поле для исследований обусловлено как многообразием физических эффектов и механизмов, так и тем, что динамика системы связанных осцилляторов может обсуждаться на разных уровнях: в терминах исходной системы, в рамках квазигармонического приближения для медленных комплексных амплитуд и в рамках фазового приближения. В то же время в подавляющем большинстве работ исследуются случаи идентичных взаимодействующих подсистем, которые отличаются лишь значением собственных частот осцилляторов1. Однако осцилляторы могут отличаться и по параметрам, отвечающим за степень возбуждения (отрицательное трение), а также по параметрам, ответственным за нелинейное насыщение автоколебаний. Важность такого случая обусловлена рядом причин. Во-первых, в реальных условиях создать две идентичные копии системы практически невозможно. Это особенно заметно при экспериментальной схемной радиофизической реализации связанных автогенераторов. Во-вторых, введение неидентичности указанных типов приводит к появлению новых эффектов, таких как доминирование того или иного осциллятора, что существенно сказывается на устройстве пространства параметров. Еще более многоплановой становится задача в случае трех (и более) осцилляторов. Действительно, увеличение диссипативной связи в этом случае будет последовательно выводить из автоколебательного режима разные осцилляторы, которые, к тому же, могут занимать различное положение в цепочке, что, как мы увидим, является существенным.

' Как мы отмечали, определенное исключение составляет фундаментальная работа [44], однако, рассмотрение ограничено случаем малой неидентичности по параметру отрицательного трения в рамках квазигармонического приближения, а параметры нелинейной диссипации считаются одинаковыми.

В то же время возможен случай связи разнотипных автоколебательных систем. Такие системы могут быть сконструированы искусственно, например, когда связываются два разнотипных автогенератора. С другой стороны, если говорить о синхронизации в природе, например, в биофизических процессах, важность случая взаимодействия разнотипных систем вполне понятна. Пусть две такие системы слабо возбуждены, так что порог бифуркации Андронова-Хопфа превышен незначительно. В этом случае поведение систем будет описываться универсальными для такой бифуркации моделями, однако параметры таких автоколебаний будут, скорее всего, различными в силу разного типа подсистем. Поэтому в случае связи разнотипных систем можно ожидать проявление эффектов и особенностей устройства пространства параметров, характерных для неидентичных подсистем. Таким образом, исследование связанных неидентичных и разнотипных автоколебательных осцилляторов является важной задачей радиофизики.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании особенностей колебаний связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными управляющими параметрами и параметрами нелинейной диссипации, а также связанных однотипных и разнотипных автоколебательных систем. Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие основные задачи:

1. Теоретическое и экспериментальное исследование двух связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными управляющими параметрами и параметрами нелинейной диссипации, выявление особенностей устройства пространства параметров таких систем и их физическое объяснение.

2. Выявление аналогичных особенностей для связанных разнотипных автоколебательных систем на примере связанных с осциллятором ван дер Поля брюсселятора и генератора Кислова-Дмитриева.

3. Выявление особенностей устройства пространства параметров для связанных однотипных автоколебательных осцилляторов на примере модели парных нефронов.

4. Исследование условий доминирования различных осцилляторов и особенностей устройства пространства параметров трех связанных в цепочку неидентичных по параметрам возбуждения осцилляторов ван дер Поля.

Методы исследования. В ходе выполнения диссертационной работы был использован спектр различных аналитических и численных методов. Так, при теоретическом исследовании систем связанных осцилляторов, а также при построении модели трех фазовых осцилляторов применялось аналитическое решение дифференциальных уравнений в квазигармоническом приближении методом медленно меняющихся амплитуд [1-5, 69]. При численном исследовании для получения информации об устройстве пространства параметров использовался метод построения карт динамических режимов и карт ляпуновских показателей [70]. Для анализа динамики систем связанных осцилляторов в фазовом пространстве использовался метод построения фазовых портретов и сечений Пуанкаре [7072]. Для идентификации областей хаотической динамики среди наблюдаемых областей непериодических режимов использовался метод вычисления старшего ляпуновского показателя [70, 72]. Для демонстрации сценария перехода к хаосу при изменении одного из управляющих параметров использовался метод построения бифуркационных деревьев [70-73]. При проведении численного анализа бифуркаций в исследуемых системах использовалась программа Matcont. Решение нелинейных дифференциальных уравнений проводилось с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка и метода Рунге-Кутта 4 порядка с переменным шагом [74-76]. Программирование осуществлялось на языках Delphi и С#.

Аргументированность, обоснованность и достоверность результатов диссертации. Достоверность полученных результатов численного исследования обеспечивается использованием при расчетах

апробированных и широко используемых численных методов, а также соответствием результатов, полученных различными методами (карты динамических режимов, карты ляпуновских показателей, фазовые портреты и др.). Результаты теоретического анализа полностью согласуются с численными экспериментами. Численные результаты находятся в хорошем качественном соответствии с экспериментальными. Кроме того, результаты исследования совпадают с известными для предельных случаев.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены новые результаты, в частности, впервые:

1. Установлено, что для двух диссипативно связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными параметрами нелинейной диссипации и отрицательного трения возможны ситуации доминирования как одного, так и второго осцилляторов, а также смена доминирующего осциллятора. Это приводит к определенным качественным перестройкам плоскости параметров «частотная расстройка - величина связи». В частности, возможна синхронизация в сколь угодно большом интервале частот - широкополосная синхронизация - и возникновение дополнительной полосы области основной синхронизации, образующей 8-образный «выступ» в сторону больших частотных расстроек.

2. На основе фазового приближения и представления о доминировании того или иного осциллятора получены теоретические оценки для границ областей основной и широкополосной синхронизации в случае неидентичных управляющих параметров и разного уровня нелинейной диссипации, согласующиеся с результатами численного моделирования.

3. Проведено экспериментальное исследование особенностей синхронизации в системе связанных радиофизических автогенераторов с неидентичными управляющими параметрами и параметрами нелинейной диссипации, обнаружено качественное соответствие результатов эксперимента результатам численного моделирования, теоретического исследования и бифуркационного анализа.

4. Выявлена возможность широкополосной синхронизации для диссипативно связанных осцилляторов с неквадратичным потенциалом даже в случае идентичных управляющих параметров.

5. Для связанных осциллятора ван дер Поля и брюсселятора подробно изучена картина колебательных режимов в зависимости от соотношения управляющих параметров взаимодействующих подсистем. Обнаружены режимы широкополосной синхронизации, «пульсирующей генерации» и «слабого хаоса».

6. Проведено исследование трансформации картины колебательных режимов для системы связанных осциллятора ван дер Поля и генератора Кислова-Дмитриева при вариации управляющих параметров, отвечающих за режим колебаний в автономных подсистемах. На примере такой системы показано, что взаимодействие разнотипных осцилляторов может не только стабилизировать хаос, но и наоборот, инициировать его за счет возникновения сложной динамики в ведомом осцилляторе.

7. На картах динамических режимов, построенных для модели парных нефронов на плоскости параметров «общее время задержки реакции во втором нефроне — параметр васкулярной связи», выявлена область широкополосной синхронизации. Установлен механизм возникновения широкополосной синхронизации в такой системе, даны соответствующие иллюстрации.

8. Для системы трех диссипативно связанных в цепочку неидентичных осцилляторов ван дер Поля изучена зависимость картины режимов от положения осцилляторов с большим (меньшим) управляющим параметром в цепочке. Обнаружено, что режимы широкополосной синхронизации могут отвечать как полной синхронизации осцилляторов, так и двухчастотным колебаниям, связанным с подавлением связью одного осциллятора.

9. Проведены аналитические оценки радиусов орбит осцилляторов внутри области полной широкополосной синхронизации, которые хорошо согласуются с численным исследованием.

10. Получены фазовые уравнения для системы трех осцилляторов с неидентичными управляющим параметрами. В рамках фазового приближения установлены границы области полной синхронизации в зависимости от положения наиболее подавленного связью осциллятора, в частности, выявлена возможность ее исчезновения.

11. Исследовано устройство плоскости параметров «частотная расстройка - величина связи» в цепочке трех неидентичных по управляющим параметрам диссипативно связанных осцилляторов ван дер Поля-Дуффинга, выявлены области полной и двухчастотной широкополосной синхронизации, а также режимы, отвечающие резонансам высоких порядков.

Научно-практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы для широкого круга задач радиофизики, биофизики, нейродинамики и т.д. Научно-практическая значимость результатов первой главы состоит в установлении принципиальной роли даже малой неидентичности по управляющим параметрам в устройстве плоскости параметров «частотная расстройка - величина связи» взаимодействующих подсистем. С другой стороны, варьируя управляющие параметры подсистем и параметры нелинейной диссипации, можно в определенной мере изменять характеристики синхронных режимов взаимодействующих автогенераторов. Ансамбли связанных генераторов находят широкое практическое применение в радиофизике и электронике, например, в случае, когда нужно обеспечить сложение мощностей нескольких генераторов, работающих на общую нагрузку (в системах радиолокации). В этом случае важно обеспечить синхронную работу этих генераторов, для чего может быть полезен обнаруженный эффект широкополосной синхронизации. Возможность биофизических приложений обусловлена широким распространением ситуаций синхронизации разнотипных подсистем (включая классические известные примеры). Для изучения динамики нефронов важным является выяснение ситуаций, когда возможна, а когда невозможна широкополосная синхронизация. Результаты четвертой главы выявляют широкий спектр

возможных колебательных режимов трех взаимодействующих автоколебательных осцилляторов, которые могут управляться за счет, например, выбора позиции наиболее (наименее) продемпфированного связью осциллятора в цепочке. Развитая в этой главе методология анализа и подходы могут быть распространены на ансамбли с большим числом неидентичных элементов, включая цепочки, кольца и сети.

Результаты, полученные в работе, использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов СГУ в рамках курса «Теория синхронизации» и в учебном пособии [109]. Результаты могут быть также использованы в учебном процессе в рамках курсов по радиофизике и теории колебаний в других вузах.

Личный вклад. Все основные результаты, представленные в диссертации и вошедшие в работы [100-127], получены лично автором. Автором разработаны математические модели и выполнены все численные эксперименты с помощью им же разработанного комплекса программ. Постановка задач, обсуждение и интерпретация результатов проводились совместно с научным руководителем и соавторами совместных работ. Радиофизический эксперимент (п. 1.3) был выполнен совместно с Е.П. Селезневым [105,117].

Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на следующих школах, семинарах и конференциях:

• школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2005 - 2008, 2010, 2011 гг.);

• I - VI конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006 - 2011 гг.);

• конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках XIV всероссийской школы «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2008 г.);

• VIII и IX международные школы «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2007, 2010 гг.);

• XIV международная школа-конференция «Foundations and advances in nonlinear science» (Беларусь, Минск, 2008 г.);

• XIV зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2009 г.);

• международная школа-семинар «Статистическая физика и информационные технологии (StatInfo-2009)» (Саратов, 2009 г.);

• международная конференция «Exploring Complex Dynamics in High-Dimensional Chaotic Systems: From Weather Forecasting to Oceanic Flows» (Германия, Дрезден, 2010 г.);

• международная 36-я конференция центрально-европейского сотрудничества в области статистической физики «MECO 36» (Украина, Львов, 2011 г.);

• XXXI международная конференция «Dynamics Days Europe 2011» (Германия, Ольденбург, 2011 г.);

а также на семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ и лаборатории теоретической нелинейной динамики Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН и на семинаре группы биологических систем и теории сложных систем физического факультета Датского технического университета (Дания, Лингби).

Результаты диссертации были использованы при выполнении НИР, поддержанных аналитической ведомственной целевой программой Министерства образования и науки Российской Федерации «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/1738), проектами РФФИ (гранты №№ 06-02-16773-а, 09-02-00707-а, 11-02-91334-ННИО_а), стипендиальной программой Фонда некоммерческих программ «Династия» (2008 - 2009 гг.), программой «Лучшие аспиранты РАН» Фонда содействия отечественной науке за 2010 г. по направлению «Инженерные и технические

науки». Результаты диссертации, представленные в третьей главе, получены в ходе визита автора в группу профессора Э. Мозекилде в Датском техническом университете.

По результатам диссертации опубликовано 28 работ, из них 1 учебное пособие [109], 8 статей в российских и международных журналах, входящих в список журналов, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских и докторских диссертаций [100-102,104-108], а также 1 статья в рецензируемом журнале [103] и 18 публикаций в тезисах докладов и материалах конференций [110-127] (из них 2 в электронном виде [114,123]).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы, включающего 127 наименований, изложена на 200 страницах, содержит 70 рисунков и 1 таблицу.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Для двух диссипативно связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными параметрами нелинейной диссипации и отрицательного трения возможны ситуации доминирования как одного, так и второго осцилляторов, а также смена доминирующего осциллятора. Это приводит, во-первых, к возникновению на плоскости параметров «частотная расстройка - величина связи» характерной области широкополосной синхронизации и, во-вторых, дополнительной полосы области основной синхронизации, образующей 8-образный «выступ» в сторону больших частотных расстроек. Указанные эффекты обнаружены в рамках аналитического рассмотрения, численного моделирования и радиофизического эксперимента.

2. Эффекты, связанные с широкополосной синхронизацией, доминированием одного осциллятора над другим и сменой доминирующего осциллятора, являются типичными для разнотипных автоколебательных систем, например, для связанных осцилляторов ван дер Поля - брюсселятора и осциллятора ван дер Поля - генератора Кислова-Дмитриева..

3. Широкополосная синхронизация наблюдается в модели парных нефронов (структурные элементы почки), что связано с неидентичностью размахов колебаний нормированных радиусов артериол взаимодействующих нефронов, а также с затухающим характером зависимости размаха колебаний отдельного нефрона от общего времени задержки реакции.

4. Для системы трех диссипативно связанных в цепочку неидентичных осцилляторов ван дер Поля картина синхронизации зависит от соотношения управляющих параметров, а также от того, на краю или в центре цепочки оказывается наиболее продемпфированный связью осциллятор. В такой системе возможен режим полной широкополосной синхронизации, когда захват всех трех осцилляторов наблюдается в сколь угодно широком диапазоне частотных расстроек первого и второго осцилляторов. При этом режим полной широкополосной синхронизации возникает в ситуации, когда за счет диссипативной связи оказываются продемпфированными два осциллятора. Кроме того, возможен режим широкополосной двухчастотной синхронизации, при котором сильно продемпфированным связью оказывается только один осциллятор.

Краткое содержание работы. Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели и задачи, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые на защиту.

В Главе 1 рассмотрена динамика системы двух связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными параметрами. В п. 1.1 проведено численное исследование динамики в случае неидентичных параметров, отвечающих за бифуркацию Андронова-Хопфа в каждом осцилляторе. Показано, что этот вид неидентичности приводит к возникновению режима «широкополосной синхронизации».

В п. 1.2 рассмотрен случай неидентичности по параметрам нелинейной диссипации, отвечающим за ограничение неустойчивости в системе. Показано, что данный вид неидентичности приводит к существенному изменению формы и структуры системы языков синхронизации. Физические

механизмы влияния неидентичности параметров на картину синхронизации состоят в доминировании того или иного осциллятора, а также в возможности смены доминирующего осциллятора. Соответствующие особенности поведения связанных осцилляторов проиллюстрированы в рамках теоретической модели при анализе укороченных уравнений исследуемой системы связанных осцилляторов ван дер Поля (п. 1.2.1), в ходе численного исследования путем построения карт динамических режимов (п. 1.2.2), а также при проведении бифуркационного анализа (п. 1.2.3).

В п. 1.3 представлены результаты экспериментального исследования особенностей синхронизации двух резистивно связанных генераторов ван дер Поля с неидентичными управляющими параметрами в случае одинакового (п. 1.3.1) и разного (п. 1.3.2) уровня нелинейной диссипации.

В п. 1.4 рассмотрен эффект широкополосной синхронизации в системе связанных осцилляторов, характеризующихся неквадратичным потенциалом.

В Главе 2 рассмотрена задача о взаимодействии автоколебательных элементов разной природы на примере связанных осциллятора ван дер Поля и брюсселятора, а также связанных осциллятора ван дер Поля и генератора Кислова-Дмитриева. П. 2.1 посвящен обсуждению вопроса о введении связи в системе связанных разнотипных автоколебательных осцилляторов, в частности, о наличии диссипативной компоненты.

В п. 2.2 проведено численное исследование системы связанных осциллятора ван дер Поля и брюсселятора в случае, когда их собственные частоты отличаются не очень сильно. Выявлена картина смены доминирующего осциллятора при увеличении параметра связи. Указаны области различных типов динамики в пространстве параметров, включая область гибели колебаний и возможность широкополосной синхронизации систем.

П. 2.3 посвящен рассмотрению случая существенно разных собственных частот осциллятора ван дер Поля и брюсселятора. Обнаружено, что области гибели колебаний и синхронных режимов периода один

разделены областью долгопериодических и хаотических режимов. Выявлен режим «пульсирующей генерации».

В п. 2.4 представлены результаты численного исследования связанных осциллятора ван дер Поля и генератора Кислова-Дмитриева. Выявлены режимы широкополосной синхронизации и гибели колебаний. Обнаружены эффект стабилизации хаоса и противоположный эффект - инициированного хаоса.

С целью обнаружения эффектов широкополосной синхронизации в системе однотипных автоколебательных осцилляторов более сложной по сравнению с осциллятором ван дер Поля природы, в Главе 3 рассмотрена динамика нефронов.

Вывод основных уравнений традиционной модели индивидуального нефрона представлен в п. 3.1.

П. 3.2 посвящен численному исследованию режимов колебаний отдельного нефрона. На картах динамических режимов обнаружены парные структуры типа «crossroad area», выявлен затухающий характер зависимости размаха колебаний нормированного радиуса артериолы от общего времени задержки реакции в канальцево-клубочковой обратной связи.

Динамика парных нефронов исследована в п. 3.3. На картах динамических режимов обнаружены области гибели колебаний и широкополосной синхронизации. Наличие режима широкополосной синхронизации оказывается обусловлено неидентичностью размахов колебаний нормированных радиусов артериол связанных нефронов, а также их затуханием в индивидуальном нефроне. Наличие широкополосной синхронизации выявлено также при проведении бифуркационного анализа.

В Главе 4 проведено исследование синхронизации в цепочке грех неидентичных связанных осцилляторов ван дер Поля. Обсуждение различных ситуаций доминирования того или иного осциллятора проведено в п. 4.1. В п. 4.2 представлены результаты компьютерного моделирования в случае малых значений управляющих параметров осцилляторов.

Продемонстрировано существенное влияние на картину синхронизации положения в цепочке наиболее продемпфированного осциллятора (в центре или на краю цепочки). Обнаружены две разновидности режима широкополосной синхронизации: полная широкополосная синхронизация и двухчастотная широкополосная синхронизация.

В п. 4.3 проведено аналитическое исследование в рамках квазигармонического приближения. В п. 4.4 найдено приближенное аналитическое решение для режима полной широкополосной синхронизации. В рамках фазовых уравнений в п. 4.5 установлен вид области полной синхронизации в ситуации, когда наиболее продемпфированный осциллятор находится с краю цепочки. Обосновано исчезновение этой области в ситуации, когда такой осциллятор находится в центре цепочки. Проведено обсуждение основных бифуркаций. Выявлены режимы частичного захвата центрального осциллятора с одним из крайних.

В п. 4.6 рассмотрен случай трех идентичных связанных в цепочку осцилляторов. Продемонстрировано отсутствие режима полной широкополосной синхронизации и наличие режима двухчастотной широкополосной синхронизации.

В п. 4.7 представлены результаты численного исследования синхронизации в цепочке трех неидентичных осцилляторов с большими значениями управляющих параметров, когда квазигармоническое приближение уже несправедливо. Выявлено возникновение языков двухчастотных торов внутри областей трехчастотной квазипериодичности на плоскости параметров.

В п. 4.8 проведено численное исследование влияния дополнительной нелинейности по типу осциллятора Дуффинга на наблюдаемую картину синхронизации в цепочке трех осцилляторов. Обнаружено возникновение структур crossroad area и областей хаоса.

В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Емельянова, Юлия Павловна

Выводы

1. Для системы трех диссипативно связанных в цепочку неидентичных осцилляторов ван дер Поля картина синхронизации зависит от соотношения управляющих параметров. Это обусловлено присутствием диссипативной связи, которая может подавлять колебания любого из трех осцилляторов. При этом в силу геометрии цепочки, осциллятор, находящийся в ее центре, испытывает большее диссипативное воздействие.

Поэтому для крайних осцилляторов условие подавления собственных автоколебаний имеет вид ц<11Д3, а для центрального - ц < Л,2 / 2. Кроме того, картина синхронизации может зависеть от того, на краю или в центре цепочки оказывается наиболее продемпфированный связью осциллятор. Эти особенности проявляются в устройстве плоскости параметров «частотная расстройка первого и второго осцилляторов - величина связи» системы.

2. В случае близких частот крайних осцилляторов, при подключении в центр цепочки наименее «активного» осциллятора (к2 /2 < ¡Ц, А,3) в области небольших частотных расстроек, когда частоты всех трех осцилляторов близки, имеется область полной синхронизации в форме языка. При этом полная синхронизация возможна и при |кА.2/2, однако она имеет нижний порог по величине связи.

3. В системе возможен режим полной широкополосной синхронизации, когда захват всех трех осцилляторов наблюдается в сколь угодно широком диапазоне частотных расстроек первого и второго осцилляторов. Такой режим возникает в ситуации, когда за счет диссипативной связи оказываются продемпфированными два осциллятора. Сверху он ограничен областью гибели колебаний, граница которой задается условием на величину связи ц = шах(Я.ь Я,2/2,13).

4. В системе возможен режим, который можно назвать широкополосной двухчастотной синхронизацией. Он располагается в области значений управляющих параметров, когда сильно продемпфированным является один из осцилляторов. Ниже этой области располагаются режимы трехчастотных квазипериодических колебаний. В этой области ни один осциллятор не продемпфирован, и соотношение размеров их предельных циклов определяется соотношением управляющих параметров осцилляторов.

5. При увеличении частотной расстройки крайних осцилляторов область полной синхронизации исчезает в области по параметру связи ц < min(A.i, А2/2, т.е. там, где все три осциллятора активны. Таким образом, различие частот затрудняет полную синхронизацию осцилляторов. Кроме того, происходит уменьшение размеров областей гибели колебаний за счет изменения их частотных границ. Причина состоит в том, что для реализации эффекта гибели колебаний нужно не только условие большой связи, но и условие достаточно большой частотной расстройки осцилляторов. Еще одна особенность состоит в возникновении дополнительной области гибели колебаний, что связано с «парным» характером взаимодействия осцилляторов и с выполнением резонансных частотных условий. Соответствующие резонансы хорошо выявляются на карте ляпуновских показателей и имеют вид двух выраженных языков двухчастотных торов в области трехчастотной квазипериодичности.

6. В случае, когда наиболее продемпфированным оказывается крайний осциллятор, в области ц< min(Ai, А2/2, А3), где активны все три осциллятора, имеется значительный по своему размеру язык режима полной синхронизации. Таким образом, полная синхронизация возникает предпочтительно в ситуации, когда наиболее продемпфирован крайний осциллятор.

7. Полная широкополосная синхронизация исчезает в случае, когда два крайних осциллятора сильно возбуждены, причем их управляющие параметры не сильно различаются. В этом случае имеет место только обширная область двухчастотной широкополосной синхронизации, для которой характерно подавление центрального осциллятора.

8. В рамках квазигармонического приближения удается найти приближенное аналитическое решение для режима полной широкополосной синхронизации и получить выражения для радиусов орбит осцилляторов, а также значения сдвигов фаз между осцилляторами. При этом результаты численного и аналитического исследования находятся в хорошем соответствии друг с другом.

9. В рамках фазовых уравнений удается установить вид области полной синхронизации в ситуации, когда наиболее продемпфированный осциллятор находится с краю цепочки, а также удается обосновать исчезновение этой области в ситуации, когда такой осциллятор находится в центре. В случае, когда наиболее про демпфированным является крайний осциллятор, переход из режима взаимного частичного захвата первого и второго осцилляторов в режим взаимного частичного захвата второго и третьего происходит через режим полного захвата и двух бифуркаций состояний равновесия. С ростом связи, однако, снова возникает захват первого и второго осцилляторов, что объясняется подавлением первого осциллятора, который легко захватывается вторым. В случае, когда наиболее продемпфированным является центральный осциллятор, смена режимов взаимного захвата осцилляторов происходит в результате единственной нелокальной бифуркации, которой отвечает перестройка потока траекторий на фазовой плоскости относительных фаз осцилляторов в результате касания и «перезамыкания» устойчивой и неустойчивой инвариантных кривых.

10. В случае, когда управляющие параметры осцилляторов сопоставимы с единицей, возникают высшие резонансы, отвечающие захватам пар первый-второй или второй-третий осцилляторы с соотношением частот 1:3, 1:5 и т.д. Им отвечают соответствующие языки двухчастотных торов, погруженные в область трехчастотной квазипериодичности.

11. Для идентичных осцилляторов (Л.г = Х2 = Х3 = X) в области значений связи Х/2<\х

12. В системе трех диссипативно связанных в цепочку осцилляторов ван дер Поля-Дуффинга возникают области полной синхронизации, отвечающие резонансам более высокого порядка, а также области хаоса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе последовательно и с единых позиций изучены особенности синхронизации связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными управляющими параметрами и параметрами нелинейной диссипации, а также связанных разнотипных автоколебательных систем. Можно выделить следующие основные результаты:

1. Для двух диссипативно связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными параметрами, управляющими бифуркацией Андронова-Хопфа и величиной нелинейной диссипации, возможны ситуации доминирования как одного, так и второго осцилляторов, а также смена доминирующего осциллятора с ростом параметра диссипативной связи. Это существенным образом проявляется в устройстве плоскости параметров «частотная расстройка - величина связи». Неидентичность по управляющим параметрам приводит к возникновению широкополосной синхронизации, которой отвечает возникновение полосы конечной ширины по параметру связи в сколь угодно большом интервале частотных расстроек, разделяющей область гибели колебаний и квазипериодических режимов. Внутри этой области наименее продемпфированный связью осциллятор доминирует над вторым. Неидентичность по параметрам нелинейной диссипации приводит к возникновению дополнительной полосы области основной синхронизации, образующей 8-образный «выступ» в сторону больших частотных расстроек. Внутри этого выступа доминирует осциллятор с наименьшим управляющим параметром и уровнем нелинейной диссипации.

2. На основе фазового приближения и представления о доминировании того или иного осциллятора получены аналитические оценки для границ областей основной и широкополосной синхронизации в случае неидентичных управляющих параметров и разного уровня нелинейной диссипации, согласующиеся с результатами численного моделирования.

3. Особенности картины синхронизации, выявленные в рамках теоретической модели, в ходе численного и бифуркационного анализа, хорошо согласуются с результатами экспериментального исследования особенностей синхронизации в системе связанных радиофизических автогенераторов с неидентичными управляющими параметрами и параметрами нелинейной диссипации.

4. Выявлена возможность широкополосной синхронизации для диссипативно связанных осцилляторов с неквадратичным потенциалом даже в случае идентичных управляющих параметров. При этом наблюдается система языков синхронизации на плоскости «параметр, управляющий относительной крутизной потенциальных ям осцилляторов, - параметр связи», а также происходит исчезновение эффекта гибели колебаний.

5. Продемонстрирована типичность эффектов, связанных с доминированием одного осциллятора над другим и сменой доминирующего осциллятора, при взаимодействии разнотипных автоколебательных систем на примере связанных осциллятора ван дер Поля и брюсселятора, связанных осциллятора ван дер Поля и генератора Кислова-Дмитриева.

6. Для связанных осциллятора ван дер Поля и брюсселятора в случае, когда их собственные частоты существенно различаются, область гибели колебаний оказывается отделена от области широкополосной синхронизации дополнительной полосой долгопериодических и хаотических режимов. Для последних характерны стадии медленной и быстрой эволюции. При этом возникает характерный режим «пульсирующей генерации», а вид аттрактора ван дер Поля качественно отвечает ситуации разрушения гомоклинической петли. С ростом уровня связи наблюдаются режимы «слабого хаоса» с малыми значениями ляпуновского показателя.

7. На примере связанных осциллятора ван дер Поля и генератора Кислова-Дмитриева показано, что взаимодействие разнотипных осцилляторов может не только стабилизировать хаос, но и наоборот, инициировать его за счет возникновения сложной динамики в ведомом осцилляторе, если управляющие параметры систем существенно отличаются. При этом вид хаотического аттрактора отличается от автономного, что связано с неизохронностью и релаксационным характером колебаний осциллятора ван дер Поля в области больших значений управляющего параметра. Порог возникновения такого хаоса по коэффициенту усиления заметно меньше, чем порог хаоса в автономном генераторе Кислова-Дмитриева.

8. На картах динамических режимов, построенных для модели парных нефронов на плоскости параметров «общее время задержки реакции во втором нефроне - параметр васкулярной связи», выявлена область широкополосной синхронизации. Результаты, полученные в ходе численного исследования методом карт динамических режимов, хорошо согласуются с результатами бифуркационного анализа. Возникновение области широкополосной синхронизации в модели парных нефронов связано с неидентичностью размахов колебаний нормированных радиусов артериол взаимодействующих нефронов, а также с затухающим характером зависимости размаха колебаний нормированного радиуса артериолы отдельного нефрона от общего времени задержки реакции. Такой характер зависимости приводит к установлению постоянной разницы размеров предельных циклов связанных нефронов в широком диапазоне значений по параметру, отвечающему за общее время задержки реакции в одном из нефронов. Если размах колебаний нормированного радиуса артериолы одного из нефронов при выбранном наборе параметров сравним с установившимся размахом колебаний нормированного радиуса артериолы второго нефрона, область широкополосной синхронизации отсутствует.

9. Для системы трех диссипативно связанных в цепочку неидентичных осцилляторов ван дер Поля картина синхронизации зависит от соотношения управляющих параметров осцилляторов, находящихся по краям и в центре цепочки. В такой системе возможен режим полной широкополосной синхронизации, когда за счет диссипативной связи оказываются продемпфированными два осциллятора. Кроме того, возможен режим, который можно назвать широкополосной двухчастотной синхронизацией и который отвечает ситуации, когда сильно продемпфированным является только один из осцилляторов. Ниже (по величине параметра связи) этой области располагаются режимы трехчастотных квазипериодических колебаний. В этой области ни один осциллятор не продемпфирован, и соотношение размеров их предельных циклов определяется соотношением управляющих параметров осцилляторов.

10. В случае большой частотной расстройки крайних осцилляторов происходит возникновение дополнительной области гибели колебаний, что связано с «парным» характером взаимодействия осцилляторов и с выполнением резонансных частотных условий.

11. В рамках квазигармонического приближения получены оценки для радиусов орбит осцилляторов, а также значения сдвигов фаз между осцилляторами. При этом результаты численного и аналитического исследования находятся в хорошем соответствии.

12. В рамках фазовых уравнений установлены границы области полной синхронизации в зависимости от положения наиболее подавленного связью осциллятора, также обосновано исчезновение этой области в ситуации, когда такой осциллятор находится в центре цепочки. Выявлены режимы частичного захвата различных пар осцилляторов.

13. Для трех идентичных связанных в цепочку осцилляторов ван дер Поля режим полной широкополосной синхронизации отсутствует, но при этом возникает режим двухчастотной широкополосной синхронизации, что обусловлено выделенной ролью центрального осциллятора, который даже в случае равенства управляющих параметров оказывается более продемпфированным за счет связи.

14. В системе трех диссипативно связанных в цепочку неидентичных осцилляторов ван дер Поля-Дуффинга на плоскости параметров «частотная расстройка пары осцилляторов - величина связи» помимо областей полной и двухчастотной широкополосной синхронизации возникают режимы, отвечающие резонансам более высокого порядка, а также области хаоса.

В заключение хочу выразить искреннюю глубокую благодарность и признательность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору А.П. Кузнецову за многолетнее научное руководство, всестороннюю поддержку и внимание. Особую благодарность хочу выразить моим соавторам, результаты совместных исследований с которыми вошли в настоящую диссертацию: кандидатам физико-математических наук J1.B. Тюрюкиной, И.Р. Сатаеву, В.И. Паксютову и Н.В. Станкевич. Я благодарю доктора физико-математических наук Е.П. Селезнева за помощь в реализации экспериментов, а также доктора физико-математических наук, профессора С.П. Кузнецова за возможность обсулсдения результатов, получаемых в ходе работы над диссертацией, и за полезные советы. Хочу выразить благодарность профессору Эрику Мозекилде за предоставленную возможность прохождения стажировки в его научной группе в Датском техническом университете (Дания, Лингби) и за продуктивное обсуждение научных результатов. Отдельную благодарность хочу выразить доктору физико-математических наук Н.М. Рыскину, доценту А.Г. Рожневу, кандидатам физико-математических наук A.B. Савину, Д.В. Савину, О.Б. Исаевой и Ю.В. Седовой за оказанные внимание и помощь. Не могу не выразить благодарность моему мужу и родителям за неизменную поддержку и понимание.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Емельянова, Юлия Павловна, 2012 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация: фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 508 с.

2. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. 495 с.

3. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Либроком, 2010. 360 с.

4. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981. 351 с.

5. Balanov A.G., JansonN.B., PostnovD.E., Sosnovtseva О. Synchronization: from simple to complex. Berlin: Springer-Verlag, 2009. 426 p.

6. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Ижевск: РХД, 2002. 560 с.

7. Encyclopedia of dynamical systems [Электронный ресурс]: рецензируемая энциклопедия открытого доступа, созданная учеными со всего мира / Гл. ред. Е.М. Izhikevich. Электронные данные. Режим доступа: http://www.scholarpedia.org/article/Encyclopedia_of_dynamical_systems, свободный. Яз. англ. (дата обращения: 20.05.2011).

8. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves, and turbulence. New York: Springer-Verlag, 2003. 148 p.

9. Glass L., MacKey M.C. From clocks to chaos. The rhythms of life. Princeton University Press, 1988. 248 p.

10. Winfree A. The geometry of biological time. New York: Springer-Verlag, 2001. 781 p.

11. Mosekilde E., Maistrenko Y., Postnov D. Chaotic synchronization. Applications to living systems. World scientific series on nonlinear science, Series A, 2002. 440 p.

12. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Изд. группа URSS, 2009. 320 с.

13. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е, Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманскнй-Гайер JI. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. / Под ред. Анищенко B.C. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 544 с.

14. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е, Стрелкова Г.И. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008. 144 с.

15. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. 280 с.

16. Репин Б.Г., Дубинов А.Е. Исследование режимов фазировки трех виркаторов в рамках модели связанных осцилляторов Ван-дер-Поля // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 4. С. 99-104.

17. МагдаИ.И, Пащенко А.В., Романов С.С. К теории пучковых обратных связей в генераторах с виртуальным катодом // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Плазменная электроника и новые методы ускорения (3). 2003. №4. С. 167-170.

18. Mosekilde Е. Topics in nonlinear dynamics: applications to physics, biology and economic systems. World Scientific, Singapore, 2003. 380 p.

19. Taugesen J.L., Mosekilde E., and Holstein-Rathlou N.-H. Synchronization of period-doubling oscillations in vascular coupled nephrons // Chaos. 2011. Vol. 21, No. 3. P. 033128-033139.

20. Holstein-Rathlou N.-H., Yip K.-P., Sosnovtseva O.V., Mosekilde E. Synchonization phenomena in nephron-nephron interaction // Chaos. 2001. Vol. 11, No. 2. P. 417-426.

21. Marsh D.J., Sosnovtseva O.V., Mosekilde E., Holstein-Rathlou N.-H. Vascular coupling induces synchronization, quasiperiodicity and chaos in a nephron tree//Chaos. 2007. Vol. 17, No. l.P. 15114(10).

22. Kawahara T. Coupled Van der Pol oscillators - a model of excitatory and inhibitory neural interactions // Biological Cybernetics. 1980. Vol. 39, No. 1. P. 37-43.

23. Crowley M.F, Epstein I.R. Experimental and theoretical studies of a coupled chemical oscillator: phase death, multistability and in-phase and out-of-phase entrainment // J. Phys. Chem. 1989. Vol. 93, No. 6. P. 2496-2502.

24. Yu P., Gumel A.B. Bifurcation and stability analyses for a coupled Brusselator model // Journal of Sound and Vibration. 2001. Vol. 244, No. 5. P.795-820.

25. Volkov E.I., Romanov V.A. Bifurcations in the system of two identical diffusively coupled Brusselators // Physica Scripta. 1995. Vol. 51, No. 1. P. 19-28.

26. Астахов B.B., Коблянский C.A., Шабунин A.B. Бифуркационный анализ режимов синхронизации и гашения колебаний в связанных генераторах с инерционной нелинейностью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, № 2. С. 79-96.

27. Анищенко B.C., Николаев С.М. Устойчивость, синхронизация и разрушение квазипериодических колебаний // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2, №3. С. 267-278.

28. Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. Winding number locking on a two-dimensional torus: Synchronization of quasiperiodic motions // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. P. 056202(8).

29. Pavlov A.N., Sosnovtseva O.V., Pavlova O.N., Mosekilde E., Holstein-RathlouN.-H. Rhythmic components in renal autoregulation: nonlinear modulation phenomena// Chaos, Solitons and Fractals. 2009. Vol. 41. P. 930938.

30. Pavlov A.N., Pavlova O.N., Mosekilde E., Sosnovtseva O.V. A study of renal blood flow regulation using the discrete wavelet transform // Complex dynamics and fluctuations in biomedical photonics VII, Proc. of SPIE. Ed. by V.V. Tuchin, D.D. Duncan, K.V. Larin. 2010. Vol. 7563. P. 75630S(5).

31. Laugesen J.L., Mosekilde E., and Holstein-Rathlou N.-H. C-type period-doubling transition in nephron autoregulation // Interface Focus. 2011. Vol. 1. P. 132-142.

32. PostnovD.E., Ryazanova L.S., Mosekilde E., Sosnovtseva O.V. Synchronization via potassium signaling // Int. J. of Neural Systems. 2006. Vol. 16, No. 2. P. 99-109.

33. PostnovD.E., Ryazanova L.S., Zhirin R.A., Mosekilde E., Sosnovtseva O.V. Noise controlled synchronization in potassium coupled neural models // Int. J. of Neural Systems. 2007. Vol. 17, No. 2. P. 105-113.

34. Postnov D.E., Koreshkov R.N., Brazhe N.A., Brazhe A.R., Sosnovtseva O.V. Dynamical patterns of calcium signaling in a functional model of neuron -astrocyte networks // J. Biol. Phys. 2009. Vol. 35. P. 425-445.

35. Aronson D.G., Ermentrout G.B., KopellN. Amplitude response of coupled oscillators // Physica D. 1990. Vol. 41. P. 403-449.

36. Reddy R.D.V., Sen A., Johnston G.L. Experimental evidence of time-delay-induced death in coupled limit-cycle oscillators // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 3381-3384.

37. Herrero M., Figueras M., Rius J., Pi F., Orriols G. Experimental observation of the amplitude death effect in two coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 5312-5315.

38. Bar-Eli K. On the stability of coupled chemical oscillators // Physica D. 1985. Vol. 14. P. 242-252.

39. Zhai Y., Kiss I.Z., Hudson J.L. Amplitude death through a Hopf bifurcation in coupled electrochemical oscillators: experiments and simulations // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 69. P. 026208(7).

40. Ozden I., Venkataramani S., LongM.A., Connors B.W., Nurmikko A.V. Strong coupling of nonlinear electronic and biological oscillators: reaching the "amplitude death" regime // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. P. 158102(4).

41. Кузнецов А.П., Станкевич H.B., Тюрюкина JI.В. Связанные осцилляторы ван дер Поля и ван дер Поля-Дуффинга: Фазовая динамика и компьютерное моделирование // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, № 4. С. 101-136.

42. Kuznetsov А.Р., StankevichN.V., Turukina L.V. Coupled van der Pol-

Duffing oscillators: phase dynamics and structure of synchronization tongues // Physica D. 2009. Vol. 238, № 14. P. 1203-1215.

43. Rand R., Holmes P.J. Bifurcation of periodic motions in two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1980. Vol. 15. P. 387399.

44. Ivanchenko M.V., Osipov G.V., Shalfeev V.D., Kurths J. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillators // Physica D. 2004. Vol. 189, No 1-2. P. 8-30.

45. Storti D.W., Rand R.H. Dynamics of two strongly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1982. Vol. 17, No. 3. P. 143-152.

46. Chakraborty Т., Rand R.H. The transition from phase locking to drift in a system of two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1988. Vol. 23, No 5/6. P. 369-376.

47. Pastor I., Perez-Garcia V.M., Encinas-Sanz F., Guerra J.M. Ordered and chaotic behavior of two coupled van der Pol oscillators // Phys. Rev. E. 1993. Vol. 48. P. 171-182.

48. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Hysteresis of synchronous -asynchronous regimes in a system of two coupled oscillators // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 43. P. 5638-5641.

49. Pastor-Diaz I., Lopez-Fraguas A. Dynamics of two coupled van der Pol oscillators // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52, No. 2. P. 1480-1489.

50. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Chaos and nonisochronism in weakly coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 44. P. 34523456.

51. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. О динамике двух связанных осцилляторов ван дер Поля-Дуффинга с диссипативной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т. 11, № 6. С. 48-64.

52. Rajasekar S., Murali К. Resonance behavior and jump phenomenon in a two coupled Duffing-van der Pol oscillators // Chaos, Solitons & Fractals. 2004. Vol. 19, No. 4. P. 925-934.

53. Pikovsky A., RosenblumM. Self-organized partially synchronous dynamics in populations of nonlinearly coupled oscillators // Physica D. 2009. Vol. 238, No. 1. P. 27-37.

54. Reddy D.V.R., Sen A., Johnston G.L. Time delay effects on coupled limit cycle oscillators at Hopf bifurcation // Physica D. 1999. Vol. 129, No. 1-2. P. 15-34.

55. Wirkus S. The dynamics of two coupled van der Pol oscillators with delay coupling //Nonlinear Dynamics. 2002. Vol. 3, No. 3. P. 205-221.

56. Camacho E., Rand R., HowlandH. Dynamics of two van der Pol oscillators coupled via a bath // International Journal of Solids and Structures. 2004. Vol. 41, No. 8. P. 2133-2143.

57. Prasad A., Dhamala M., Adhikari B.M., Ramaswamy R. Amplitude death in nonlinear oscillators with nonlinear coupling // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. P. 027201(4).

58. Reddy R.D.V., Sen A., Johnston G.L. Time delay induced death in coupled limit cycle oscillators // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 80. P. 5109-5112.

59. Астахов В.В., Коблянский С.А., Вадивасова Т.Е., Анищенко B.C. Бифуркационный анализ динамики диссипативно связанных генераторов Ван дер Поля // Успехи современной радиоэлектроники. 2008. Вып. 9. С. 61-68.

60. Anishchenko V, Astakhov S., Vadivasova Т. Phase dynamics of two coupled oscillators under external periodic force // Europhysics Letters. 2009. Vol. 86. P. 30003(5).

61. Анищенко B.C., Астахов С.В, Вадивасова Т.E, Феоктистов А.В. Численное и экспериментальное исследование внешней синхронизации двухчастотных колебаний Н Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 2. С. 237-252.

62. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина Л.В. Фазовая динамика возбуждаемых квазипериодических автоколебательных осцилляторов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, № 4. С. 17-32.

63. Анищенко B.C., Николаев С.М. Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4, № 1. с. 39-55.

64. Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. Bifurcational mechanisms of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Chaos. 2008. Vol. 18. P. 037123(7).

65. Bi Q. Dynamical analysis of two coupled parametrically excited van der Pol oscillators // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2004. Vol. 39, No. 1. P. 33-54.

66. RompalaK., Rand R., Howland H. Dynamics of three coupled van der Pol oscillators with application to circadian rhythms // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2007. Vol. 12, No. 5. P. 794803.

67. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина JI.B. Синхронизация и многочастотные колебания в цепочке фазовых осцилляторов // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, № 4. С. 693-717.

68. Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Динамический хаос в фазовых системах. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. 258 с.

69. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. 2-е изд. М.: Физматлит, 2005. 292 с.

70. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Физматлит, 2006. 356 с.

71. Берже П., ПомоИ., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 368 с.

72. Parker T.S. and Chua L.O. Practical numerical algorithms for chaotic systems. Berlin: Springer-Verlag, 1989. 348 p.

73. Шустер Г. Детерминированный хаос. М: Мир, 1990. 240 с.

74. Hoffman J.D. Numerical methods for engineers and scientists. Second edition. New York, 2001. 823 p.

75. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. 269 с.

76. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

77. Kuznetsov А.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. A variety of period-doubling universality classes in multi-parameter analysis of transition to chaos // PhysicaD. 1997. Vol. 109. P. 91-112.

78. Kuznetsov A.P., Mosekilde E., Turukina L.V. Synchronization in systems with bimodal dynamics // Physica A. 2006. Vol. 121, No. 2. P. 280-292.

79. Postnov D.E., Shishkin A.V., Sosnovtseva O.V., Mosekilde E. Two-mode chaos and its synchronization properties // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 056208(5).

80. Kuznetsov Yu.A. Elements of applied bifurcation theory. New York: Springer, 1998. 593 p.

81. Достал И. Операционные усилители. Пер. с англ. М.: Мир, 1982. 512 с.

82. Еородецкий А.Ф., Кравченко А.Ф. Полупроводниковые приборы. М.: Высшая школа, 1967. 348 с.

83. Иванченко М.В. Еенерация и синхронизация колебаний в системах с «многомасштабным» хаосом. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. 138 с.

84. Leyssac P.P. and Baumbach L. An oscillating intratubular pressure response to alterations in Henle loop flow in the rat kidney // Acta Physiol. Scand. 1983. Vol. 117. P. 415-419.

85. Holstein-RathlouN.-H. and Lyessac P.P. TGF-mediated oscillations in the proximal intratubular pressure: difference between spontaneous hypertensive rats and Wistar-Kyoto rats // Acta Physiol. Scand. 1986. Vol. 126. P. 333-339.

86. Lyessac P.P. and Holstein-Rathlou N.-H. Effects of various transport inhibitors on oscillating TGF pressure responses in the rat // Pfluegers Archiv. 1986. Vol. 407. P. 285-291.

87. Jensen K.S., Holstein-Rathlou N.-H., Leyssac P.P., Mosekilde E., and Rasmussen D.R. Chaos in a system of interacting nephrons // Chaos in Biological Systems. Ed. by H. Degn, A.V. Holden, and L.F. Olsen. New York: Plenum Publishing Corporation, 1987. P. 23-32.

88. Barfred M., Mosekilde E., and Holstein-Rathlou N.-H. Bifurcation analysis of nephron pressure and flow regulation // Chaos. 1996. Vol. 6, No. 3. P. 280287.

89. Holstein-Rathlou N.-H. and Lyessac P.P. Oscillations in the proximal intratubular pressure: a mathematical model // Am. J. Physiol. - Renal Physiol. 1987. Vol. 252, No. 3. P. F560-F572.

90. Deen W.M., Robertson C.R., and Brenner B.M. A model of glomerular ultrafiltration in the rat // Am. J. Physiol. 1972. Vol. 223, No. 5. P. 11781183.

91. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1981. 704 с.

92. Lyessac P.P. and Holstein-Rathlou N.-H. Tubulo-glomerular feedback response: enhancement in adult spontaneously hypertensive rats and effects of anaesthetics // Pfluegers Archiv. 1989. Vol. 413. P. 267-272.

93. FeldbergR., Colding-Jorgensen M., and Holstein-Rathlou N.-H. Analysis of interaction between TGF and the myogenic response in renal blood flow autoregulation // Am. J. Physiol. - Renal Physiol. 1995. Vol.269, No. 4. P. F581-F593.

94. Rosenbaum M. and Race D. Frequency-response characteristics of vascular resistance vessels //Am. J. Physiol. 1968. Vol. 215, No. 6. P. 1397-1402.

95. Holstein-Rathlou N.-H. and Marsh D.J. A dynamic model of the tubuloglomerular feedback mechanism // Am. J. Physiol. - Renal Physiol. 1990. Vol. 258, No. 5. P. F1448-F1459.

96. FeldbergR., Colding-Jorgensen M., and Holstein-Rathlou N.-H. A model of the myogenic response in small arteries and arterioles // Proc. 1st Copenhagen Symp. on Computer Simulation in Biology, Economy and Medicine. Ed. by E. Mosekilde. San Diego: The Society for Computer Simulation, 1993. P. 110-114.

97. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. Т. 44, № 8. С. 339-342.

98. HopfE. A mathematical example displaying the features of turbulence 11 Communications on Pure and Applied Mathematics. 1948. Vol. 1. P. 303322.

99. Baesens C, Guckenheimer J., Kim S., MacKay R.S. Three coupled oscillators: mode locking, global bifurcations and toroidal chaos // Physica D. 1991. Vol. 49. P. 387-475.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

100. Кузнецов А.П., Паксютов В.И., Роман Ю.П.14 Особенности синхронизации в системе связанных осцилляторов Ван-дер-Поля, неидентичных по управляющему параметру // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33, вып. 15. С. 15-21.

101. Кузнецов А.П., Паксютов В.П., Роман Ю.П. Особенности синхронизации в системе неидентичных связанных осцилляторов ван дер Поля и ван дер Поля-Дуффинга. Широкополосная синхронизация // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15, № 4. С. 3-15.

102. Кузнецов А.П., Роман Ю.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина JI.B. Синхронизация импульсами и синхронизация в связанных системах: новые аспекты классической задачи // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, № 3. С. 88-111.

103. Kuznetsov А.Р., Roman Ju.P. Synchronization of coupled anizochronous auto-oscillating systems // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2009. Vol. 12, No. l.P. 54-60.

104. Kuznetsov A.P., Roman Ju.P. Properties of synchronization in the systems of non-identical coupled van der Pol and van der Pol-Duffing oscillators. Broadband synchronization // Physica D. 2009. Vol. 238, No 16. P. 14991506.

14 До 2009 года включительно автор диссертационной работы носила фамилию Роман.

105. Кузнецов А.П., Емельянова Ю.П., Селезнев Е.П. Синхронизация связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными параметрами // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, №2. С. 62-78.

106. Емельянова Ю.П., Кузнецов А.П. Связанные автоколебательные осцилляторы разной природы на примере системы ван дер Поля и брюсселятора // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, №5. С. 55-67.

107. Емельянова Ю.П., Кузнецов А.П. Синхронизация связанных автогенераторов Ван-дер-Поля и Кислова-Дмитриева // ЖТФ. 2011. Т. 81, вып. 4. С. 7-14.

108. Емельянова Ю.П., Кузнецов А.П., Тюрюкина JT.B. Динамика трех неидентичных по управляющим параметрам связанных осцилляторов ван дер Поля // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19, №5. С. 76-90.

109. Кузнецов А.П., Емельянова Ю.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина JI.B. Синхронизация в задачах. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2010. 256 с.

110. Кузнецов А.П., Паксютов В.И., Роман Ю.П. Синхронизация в связанных осцилляторах Ван-дер-Поля с несимметричным возбуждением // Материалы I Конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 28-30 сентября 2006 г. Саратов: Саратовский филиал ИРЭ РАН, 2006. С. 56-57.

111. Роман Ю.П. Синхронизация в связанных осцилляторах Ван дер Поля с несимметричным возбуждением и неидентичными параметрами // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2006». Саратов, 25-28 октября, 1-2 ноября 2006 г. Саратов: РИО журнала «Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика», 2007. С. 166-169.

112. Роман Ю.П. Численное исследование уравнения Ван дер Поля-Дуффинга и системы из двух связанных осцилляторов Ван дер Поля под

внешним гармоническим воздействием // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2006». Саратов, 25-28 октября, 1-2 ноября 2006 г. Саратов: РИО журнала «Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика», 2007. С. 170-173.

113. Кузнецов А.П., Паксютов В.И., Роман Ю.П. Широкополосная синхронизация в неидентичных по управляющему параметру диссипативно связанных осцилляторах Ван дер Поля // Материалы II Конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 14-17 мая 2007 г. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2007. С. 90-91.

114. Кузнецов А.П., Паксютов В.И., Роман Ю.П. Широкополосная синхронизация в неидентичных по управляющему параметру системах связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля-Дуффинга // Материалы VIII Международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур». Саратов, 9-14 октября 2007 г. Саратов, 2007. С. 99-100.

115. Кузнецов А.П., Паксютов В.П., Роман Ю.П. Синхронизация в системе неидентичных автоколебательных систем с «лидирующим» осциллятором // Материалы XIV научной школы «Нелинейные волны -2008» «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики». Н. Новгород, 1-7 марта 2008 г. Н. Новгород: типография Института прикладной физики РАН, 2008. С. 134-135.

116. Кузнецов А.П., Роман Ю.П. Синхронизация в системе неидентичных автоколебательных систем с «лидирующим» осциллятором // Тезисы докладов III конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 25-27 июня 2008 г. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2008. С. 62-64.

117. Кузнецов А.П., Роман Ю.П., Селезнев Е.П. Экспериментальное исследование особенностей синхронизации неидентичных по управляющему параметру радиофизических осцилляторов ван дер

Поля // Тезисы докладов III конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 2527 июня 2008 г. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2008. С. 65-67.

118. Роман Ю.П. Особенности синхронизации в неидентичных по управляющему параметру системах связанных осцилляторов ван дер Поля и ван дер Поля-Дуффинга // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2007». Саратов, 16-20 октября 2007 г. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2008. С. 119122.

119. Кузнецов А.П., Роман Ю.П. Влияние нелинейной диссипации на синхронизацию в системе связанных осцилляторов Ван-дер-Поля // Тезисы докладов IV конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 7-9 сентября 2009 г. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2009. С. 86-88.

120. Роман Ю.П. Синхронизация связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными параметрами // Статистическая физика и информационные технологии: Материалы Международной школы-семинара «StatInfo-2009». Саратов, Россия, 2-5 июня 2009 г. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2009. С. 54-57.

121. Роман Ю.П. Синхронизация неизохронных связанных осцилляторов// Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2008». Саратов, 29-31 октября 2008 г. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2009. С. 111-114.

122. Емельянова Ю.П., Кузнецов А.П. Синхронизация связанных автоколебательных осцилляторов разной природы на примере связанных осциллятора Ван-дер-Поля и генератора Кислова-Дмитриева // Тезисы докладов V Всероссийской конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 6199

8 сентября 2010 г. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2010. С. 17-18.

123. Емельянова Ю.П., Кузнецов А.П. Связанные автоколебательные осцилляторы разной природы на примере системы осциллятора Ван-дер-Поля и брюсселятора // Материалы IX Международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур». Саратов, 49 октября 2010 г. Саратов, 2010. С. 114-115.

124. Emelianova Yu.P. Non-identity in system of coupled elements // Programme and abstracts of the 36-th Conference of the Middle European Cooperation in Statistical Physics «МЕСО 36». Lviv, Ukraine, April 5-7, 2011. Львов: Институт физики конденсированных систем HAH Украины, 2011. Р. 82.

125. Emelianova Yu.P., Kuznetsov А.Р. Oscillations and synchronization in the chain of three coupled self-oscillating oscillators with non-identical control parameters // Dynamics Days Europe 2011. Abstracts and Participants. Oldenburg, Germany, September 12-16, 2011. P. 135-136.

126. Емельянова Ю.П., Кузнецов А.П. Синхронизация в цепочке трех неидентичных по управляющим параметрам связанных осцилляторов ван дер Поля // Тезисы докладов VI всероссийской конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 13-15 сентября 2011 г. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2011. С. 112-113.

127. Емельянова Ю.П. Особенности синхронизации в системе связанных осциллятора ван дер Поля и генератора Кислова-Дмитриева // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2010». Саратов, 6 октября, 24, 26 ноября 2010 г. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2011. С. 104-107.