Мультистабильность, синхронизация и управление хаосом в связанных системах с бифуркациями удвоения периода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Астахов, Владимир Владимирович

• Астахов, Владимир Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Астахов, Владимир Владимирович

Содержание

Введение

1. Синхронизация хаоса и мультистабильность в связанных системах с бифуркациями удвоения периода

1.1. Два связанных логистических отображения

1.2. Связанные отображения Хенона

1.3. Экспериментальные исследования динамики двух резистивно связанных ЛЬ-диод цепей

1.4. Классификация и схема эволюции мультистабильных состояний

1.5. Динамика двух ЫЬ-диод цепей, связанных через емкость

1.6. Два резистивно связанных генератора Чуа

1.6.1. Исследуемая система

1.6.2. Виды колебаний и мультистабильность

в связанных генераторах

1.6.3. Исследование синхронизации хаоса

1.7. Динамика двух связанных через емкость

генераторов Чуа

1.7.1. Численные исследования динамики

связанных генераторов

1.7.2. Экспериментальные исследования колебательных режимов

1.8. Спектральные закономерности при формировании мультистабильности в связанных системах с удвоением периода

1.9. Выводы

2. Бифуркационный сценарий потери синхронизации хаоса

и формирования мультистабильности

2.1. Потеря синхронизации хаоса в связанных логистических отображениях

2.2. Влияние неидентичности на механизм потери синхронизации хаоса

2.2.1. Динамика системы в окрестности области синхронизации

2.2.2. Поведение неустойчивых периодических

орбит при потери синхронизации хаоса

2.2.3. Сравнение с симметричным случаем

2.3. Двупараметрический бифуркационный анализ.

Сценарий формирования мультистабильности

2.4. Эволюция структуры бассейнов притяжения

при формировании мультистабильности

2.5. Потеря синхронизации хаоса в связанных отображениях Хенона

2.6. Потеря синхронизации хаоса в связанных

системах Ресслера

2.7. Выводы

3. Управление хаосом и управляемая синхронизация

3.1. Управление и синхронизация хаоса в системе

взаимно связанных осцилляторов

3.1.1. Условия стабилизации симметричных режимов

3.1.2. Численные исследования управляемых переходов

3.1.3. Исследования управляемых переходов

в натурном эксперименте

3.2. Управляемая синхронизация хаоса методом периодической модуляции параметра связи

3.2.1. Стабилизация синфазных движений в двух связанных неавтономных осцилляторах

3.2.2. Стабилизация синфазных колебаний в

связанных через емкость генераторах Чуа

3.3. Выводы

4. Управление пространственно - временным хаосом

4.1. Управление хаосом в решетках связанных отображений

4.1.1. Управление пространственно - временным хаосом

в цепочках связанных логистических отображений

4.1.2. Управление пространственно - временным хаосом

в двумерной решетке отображений

4.2. Стабилизация пространственно-однородных режимов в цепочке осцилляторов методом

параметрического воздействия

4.3. Выводы 313 Заключение 315 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мультистабильность, синхронизация и управление хаосом в связанных системах с бифуркациями удвоения периода»

В ведение

В настоящее время многие традиционные задачи классической ра-дифизики и нелинейной теории колебаний такие, например, как о синхронизации колебаний [1]-[12], о поведении управляемых систем [13]-[15], о влиянии шума на динамическую систему [16]-[23], вновь оказались в центре внимания. Их постановка применительно к системам с

» ,

хаотическим поведением привела к формированию и развитию новых направлений в теории динамического хаоса таких, как синхронизация хаоса, управление хаосом, стохастический резонанс и синхронизация стохастических систем [26].

Явление синхронизации периодических колебаний известно со времен Гюйгенса [1]. Оно хорошо изучено [2] - [4], [7] и имеет много разнообразных приложений [8]. Фундаментальное свойство взаимодействующих систем подстраиваться к общему ритму движений свойственно для объектов не только с регулярной, но и с более сложной, с хаотической собственной динамикой. Различные виды взаимного согласования движений в связанных хаотических системах определяют как явление синхронизации хаоса. В неидентичных системах согласование хаотических движений может проявляться различным образом. Наиболее близким к классическому представлению о синхронизации является эффект захвата базовых частот в спектрах мощности хаотических колебаний подсистем, который впервые был описан в работах B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасовой, Д.Э. Постнова, М.А. Сафоновой [79], [25]. В работах М. Розенблюма, А. Пиковского, Ю. Куртса [80], [81] был показан эффект фазовой синхронизации, когда между фазами связанных подсистем возникает определенное соотношение, в то время как амплитуды могут оставаться хаотическими и некоррелированными. Начиная с не-

которой величины связи могут стать одинаковыми топология проекций хаотических аттракторов на фазовые подпространства парциальных систем, что впервые было продемонстрировано в работах B.C. Афрай-мовича, H.H. Веричева, М.И. Рабиновича [104], [143]. Взаимное согласование движений может также проявляться в изменении размерности аттрактора системы, о чем свидетельствуют работы П.С. Ланда и М. Розенблюма [82]. В ряде работ различных авторов [83], [84], [85] анализируются более общие случаи существования функциональной связи между временными реализациями подсистем (обобщенная синхронизация хаоса).

Наиболее простой случай представляет собой так называемая полная синхронизация хаоса. Взаимодействующие идентичные системы могут демонстрировать совершенно одинаковые хаотические движения: в любой момент времени состояния подсистем полностью совпадают [89], [91], [93], [104], [105]. Такой режим кооперативного поведения определяют как один из видов синхронизации хаоса. Подобное поведение является довольно типичным и встречается в системах самой различной природы, причем не только в ансамблях с небольшим числом взаимодействующих элементов, но и в пространственно распределенных системах. Например, пространственно однородные хаотические колебания наблюдались в реакции Белоусова - Жаботинского [86]-[88].

Первыми работами, в которых была поставлена задача о взаимодействии хаотических аттракторов и проводились исследования режима полной синхронизации хаоса, являются статьи Ямада и Фуджисака [89], A.C. Пиковского [90],[91] и С.П. Кузнецова [92],[93]. Авторами установлено, что однородные хаотические колебания наблюдаются при

диффузионном (или диссипативном в классификации С.П.Кузнецова [92]) типе связи. Определен критерий устойчивости синхронного режима через ляпуновскую характеристическую экспоненту хаотических движений индивидуальной системы и коэффициент связи. Данный критерии часто называют трансверсальнои ляпуновскои экспонентои. Выяснено, что полная синхронизация хаоса возникает только при сильной связи, выше некоторого порогового значения. Граница области синхронизации на плоскости управляющих параметров имеет очень сложный характер. В ее окрестности наблюдается процесс перемежаемости Ямада - Фуджисака: близкие к однородным хаотические колебания чередуются с несинфазными хаотическими. движениями. При дальнейшем изменении параметра связи происходит переход к несинфазным колебаниям.

Представленная картина в основном базировалась на результатах исследования простейшей модели взаимодействующих хаотических аттракторов - двух связанных логистических отображений. В дальнейшем основные результаты были подтверждены на более сложных хаотических системах.

Начиная с 1990 года к задачам, связанным с явлением полной синхронизации хаоса, появился повышенный интерес, который был вызван работой Л. Пекора и Т. Керролла [105]. В статье была высказана идея о возможности использования явления полной синхронизации хаоса для создания систем скрытой передачи информации. В настоящее время данное прикладное направление теории динамического хаоса активно развивается многими научными коллективами [94] - [162], среди которых следует особо выделить группы, возглавляемые А.С.Дмитриевым (ИРЭ РАН, Москва), В.Д.Шалфеевым (Нижегородский госуниверси-

тет), М.Хаслером (университет Лозанны, Швейцария), Л.Кокаревым (Македония), У.Парлитцем (Германия).

Изучение различных проявлений синхронизации хаоса способствует продвижению в понимании механизмов образования структур в ансамблях взаимодействующих осцилляторов и средах. Знание основных закономерностей явлений самоорганизации позволяет перейти к созданию распределенных динамических систем, которые формируют те или иные пространственные структуры. Одним из основных приложений при этом являются задачи аналоговой обработки информации. Данные вопросы подробно обсуждаются в монографии [101].

Задачи синхронизации хаоса имеют не только прикладное, но и большое фундаментальное значение. Этот эффект встречается в системах самой различной природы. Сегодня имеется большое количество экспериментальных и теоретических результатов, которые свидетельствуют о том, что явление синхронизации играет ключевую роль в деятельности нейронных ансамблей. Построение динамической теории нервных систем является одной из важнейших и актуальнейших проблем современной науки [102].

Определение условий возникновения синхронизации хаоса во взаимодействующих системах различной природы, глубокое понимание бифуркационных механизмов, приводящих к ее потери, являются основными в теории синхронизации. В большей степени эти вопросы проработаны применительно к явлению полной синхронизации хаоса.

Режим полной синхронизации соответствует хаотическому аттрактору, расположенному в симметричном подпространстве Хх = х2 полного фазового пространства связанных систем. Когда при изменении связи система выходит из области синхронизации, хаотический ат-

трактор теряет свою устойчивость в нормальном к симметричному подпространству направлении. В качестве практического критерия транс версальной устойчивости синхронных хаотических движений обычно используются трансверсальные ляпуновские экспоненты [89], [105]. Данные характеристики вычисляются вдоль достаточно длинных типичных хаотических траекторий на симметричном хаотическом множе-

♦

стве. Режим синхронизации устойчив, если трансверсальные ляпуновские экспоненты отрицательны, и неустойчив, если положительны. Однако недавно было установлено [106], [107], [108], [109], [110], [111], что на практике отрицательность численно оцененных ляпуновских экспонент не всегда гарантирует наличие устойчивого и грубого режима синхронизации хаоса. В этих работах было показано, что даже в том случае, когда все трансверсальные ляпуновские экспоненты отрицательны, могут существовать нетипичные фазовые траектории в малой окрестности синхронного хаотического аттрактора, которые уходят от симметричного подпространства. Это ведет к трансверсальной неустойчивости синхронных движений. Синхронные хаотические движения становятся неустойчивыми в том смысле, что добавление слабого шумового воздействия на систему или введение малой расстройки между параметрами подсистем приводит к потери синхронизации. Режим хаотической синхронизации становится негрубым. Как правило, подобные эффекты возникают при движении по параметру связи к границе области синхронизации. Процесс потери синхронизации хаоса протекает довольно сложным образом и по определенным сценариям [107], [112]. В качестве промежуточных этапов потери синхронизации могут наблюдаться так называемые "пузырящий" [107] и "изрешечивающий" [106], [113], [108] переходы.

Рассмотрим возможные ситуации, которые могут возникнуть в процессе потери синхронизации хаоса, более детально [107], [112]. Для параметра связи е взаимодействующих идентичных систем существуют критические значения

е8 < ес < €ь,

такие что „

1. При б > еь существует хаотический аттрактор А, лежащий в симметричном подпространстве. Фазовые траектории, стартующие из окрестности симметричного подпространства близкой к А, остаются вблизи А и притягиваются к А.

2. При ес < е < еь большинство фазовых траекторий с начальными условиями близкими к А остаются вблизи А и притягиваются к нему. Однако также имеются траектории, которые уходят от симметричного подпространства. Если глобальная динамика системы такова, что отталкивающиеся от А фазовые траектории притягиваются к какому -либо аттрактору расположенному вне симметричного подпространства, то бассейн притяжения хаотического множества А будет изрешеченным. В бассейне притяжения, включая малую окрестность аттрактора, появляется множество 'дырок", которые принадлежат бассейну притяжения другого аттрактора, расположенного вне симметричного подпространства. Такой переход при е — ль называют изрешечивающим переходом. Если глобальная динамика системы ограничена и не существует другого аттрактора кроме А, то орбита отталкивающаяся от А в конце концов вернется в окрестность симметричного подпространства и притянется к синхронному аттрактору. В переходном процессе может наблюдаться несколько выбросов фазовой траектории от симметричного подпространства, но в итоге траектории остаются

на аттракторе. В этой ситуации переход при е = еь называют пузырящимся переходом. Низкий уровень шума или малая растройка между параметрами подсистем приводит к пузырению аттрактора. Пузырящееся поведение представляет собой перемежающийся процесс, в котором эволюция изображающей точки в окрестности симметричного подпространства (ламинарная фаза) прерывается случайными турбу-летными всплесками, что соответствует уходу фазовой траектории от хаотического множества А.

3. При es < е < ес почти при любых начальных условиях близких к симметричному подпространству фазовые траектории отталкиваются от А. Однако в А существует множество, которое является локально притягивающим в трансверсальном направлении. Если глобальная динамика системы такова, что движение фазовых траекторий ограничено и существует только один аттрактор А, то вблизи точки ес система будет демонстрировать режим перемежающейся синхронизации. Если А при е > ес имел изрешеченный бассейн, то практически все траектории притянутся к аттрактору, расположенному вне симметричного подпространства. Переход при е — ес называется бифуркацией 'прорыва" [108].

4. При б < es каждая точка в А является локально отталкивающей в трансверсальном направлении. Множество А становится хаотическим седлом. Оно является притягивающим в симметричном подпространстве и отталкивающим в трансверсальном направлении. Этот этап завершает процесс потери синхронизации хаоса.

В большинстве работ по данной тематике поведение системы рассматривается в небольшой окрестности границы области синхронизации, причем как правило ограничиваются однопараметрическим би-

фуркационным анализом. Переход к режиму полной синхронизации происходит при достаточно сильной связи, выше некоторого порогового значения. Здесь возникает ряд довольно важных вопросов. Как при уменьшении уровня диссипативной связи происходит переход от режима полной синхронизации хаоса к режиму независимых колебаний

осцилляторов? Происходит ли это сразу после потери полной синхрони-

* «

зации или это осуществляется через последовательность каких-то промежуточных этапов? Имеют ли колебательные режимы на этих этапах какие - либо свойства частичной синхронизации хаоса? Какие виды колебательных режимов могут наблюдаться в области слабой связи? Имеются какие - либо закономерности в переходах между ними, или это полностью неупорядоченный процесс? Появляются ли при слабом взаимодействии новые нелинейные эффекты, которые отсутствуют в парциальных подсистемах? Существуют ли общие характерные черты в поведении различных взаимодействующих систем, принадлежащих одному классу (например, классу систем с переходом к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода)?

Вернемся к обсуждению механизма разрушения режима синхронизации. Потеря синхронизации хаоса непосредственно связана с бифуркациями седловых циклов встроенных в хаотический аттрактор [106], [114], [115], [116]. Например, в работе [116] было продемонстрировано, что потеря фазовой синхронизации начинается с седло - узловой бифур-

V о Т»

кации неустойчивого цикла, встроенного в хаотическии аттрактор. В результате возникает специфический режим перемежаемости. В работе [114] было обнаружено, что субкритическая бифуркация "вил" седло-вой точки встроенной в симметричный хаотический аттрактор индуцирует изрешечивающий переход. Авторам удалось отыскать те сед-

ловые циклы, с бифуркаций которых начинается процесс потери синхронизации. Однако хорошо известно, что в хаотический аттрактор встроено счетное множество седловых орбит с различными периодами. В связи с этим возникает естественный вопрос, какие из них являются оптимальными с точки зрения потери синхронизации? Какие периодические траектории имеют большую вероятность потерять трансвер-

*

сальную устойчивость первыми при изменении управляющего параметра? Впервые этот вопрос был поставлен и исследовался в работе [121]. Рассматривая большое число примеров с учетом большого числа периодических орбит, авторы обнаружили, что потеря трансверсальной устойчивости начинается, как правило, с бифуркаций седловых циклов небольшого периода. Здесь представляется важным проанализировать вопрос о том, можно ли выделить для определенных типов хаотических аттракторов основные семейства седловых циклов, которые являются определяющими в процессе потери синхронизации хаоса? Какие бифуркационные сценарии наблюдаются при этом?

В рассматриваемых задачах принципиальное значение имеет вопрос о влиянии неидентичности. При изучении явления полной синхронизации хаоса в качестве математических моделей привлекают, как правило, полностью идентичные взаимодействующие динамические системы. Полученные в рамках такой идеализации результаты исследований затем используют для объяснения поведения экспериментальных систем. В случае, если в математической модели режим синхронизации является устойчивым и грубым, то он является наблюдаемым в эксперименте. Интервалы синхронизации по параметру связи в идентичных и в возмущенных системах примерно совпадают. В этом смысле поведение идентичных и возмущенных систем очень хорошо соответствуют

друг другу. Однако при исследовании более тонких эффектов, таких

как механизм потери синхронизации хаоса с точки зрения бифуркаций

седловых периодических орбит, встроенных в синхронный хаотический

аттрактор, в определенных случаях могут быть обнаружены различия

в сценариях для идентичных и слабо неидентичных связанных систем.

Это может произойти в тех случаях, когда в процессе потери синхрони-

* .

зации принимают участие бифуркации периодических орбит, обусловленные симметрией системы: например, бифуркация вил. Из теории бифуркаций, теории катастроф хорошо известно (см., например, [117] -

[119]), что точка указанной бифуркации является катастрофой сборки. При малом шевелении системы (при введении неидентичности между взаимодействующими системами) эта бифуркация распадается вполне опреденными способами. Неидентичность способна качественно изменить поведение неподвижных точек и орбит в зависимости от параметра системы.

В связи со сказанным выше, нам представляется очень важным исследовать влияние неидентичности связанных систем на бифуркационный сценарий потери синхронизации хаоса. Некоторые аспекты связанные с влиянием асимметрии систем обсуждались в работах [114], [?],

[120]. Однако, на наш взгляд данный вопрос требует более глубокой проработки.

Хорошо известно, что устойчивые и грубые режимы полной синхронизации хаоса могут быть реализованы только при определенных типах связи выше некоторого порогового значения. Однако, при многих видах взаимодействия, независимо от величины коэффициента связи в системе существуют синхронные хаотические движения, но они являются неустойчивыми к несимметричным возмущениям. В подобных

случаях в системе можно осуществить переход из режима несинхронных хаотических колебаний к режиму синхронизации, используя методы управления хаосом. С их помощью различные непритягивающие предельные множества можно превратить в устойчивые по определенным собственным направлениям. Управление хаосом - это одно из новых, интенсивно развивающихся направлений нелинейной динамики.

* <

До недавнего времени хаос ассоциировался с непредсказуемыми, неуправляемыми процессами, и сочетание слов "управление хаосом" казалось парадоксальным. Однако, за последнее десятилетие такое представление изменилось коренным образом. Именно хаотические системы являются более восприимчивыми к управляющим воздействиям и представляют более широкий спектр возможностей по сравнению с системами, динамика которых ограничена только регулярными движениями. Для существенного изменения поведения нехаотической системы, как правило, необходимы значительные изменения условий ее функционирования. В системе с хаотическим аттрактором это может быть обеспечено малыми, определенным образом заданными управляющими воздействиями. Кроме того, в ней сосуществует счетное множество неустойчивых регулярных состояний, что в принципе неограниченно расширяет выбор возможных режимов работы системы. Малыми воздействиями можно управлять не только переходами между этими состояниями, но и временем переходных процессов. Указанные преимущества обусловлены в первую очередь структурой и свойствами хаотических аттракторов. Поскольку хаотические колебания встречаются довольно часто и могут возникать в системах самой различной природы, проблема управления хаосом приобретает важное, актуальное значение и открывает более широкие возможности в области управления динами-

ческими системами.

Под управлением хаосом обычно понимают преобразование хаотического поведения в регулярное или хаотическое, но с другими свойствами с помощью малых целенаправленных воздействий на систему.

' Первыми работами, в которых была поставлена задача об управлении хаосом, являются статьи Хюблера и Лючера (1989) [28], Джексона

* „

(1990) [29], [30] и наиболее известная, ставшая классической, работа Отто, Гребожи, Иорка (1990) [34]. В обзоре [35] можно найти ссылки на более ранние источники, которые в той или иной степени имеют отношение к центральной идее. Предложенный Отто, Гребожи, Иорке достаточно эффективный способ управления хаосом привлек к себе активное внимание многих исследователей. На основе их метода (так называемый, метод OGY) было построено множество алгоритмов управления в различных системах [36] - [51]. Задачи об управлении хаосом рассматривались в гидродинамике [38], механике [48],[50], химии [43], биологии и медицине [42],[45].

Идея метода OGY базируется на определенных свойствах типичных хаотических аттракторов. Хорошо известно, что в хаотический аттрактор динамической системы встроено счетное множество седловых циклов различных периодов, и что при эволюции на нем изображающая точка время от времени попадает в малую окрестность каждого из них. Если в этот момент с помощью управляющего воздействия стабилизировать седловой цикл, то траектория останется в его окрестности, и система начнет совершать периодические движения. Таким образом, задача об управлении хаосом сводится к задаче о стабилизации седловых периодических орбит, встроенных в хаотический аттрактор.

. К настоящему времени предложено довольно большое количество

способов управления хаосом. Во многих из них непосредственно используется подход Отта, Гребоджи, Иорка. Поскольку для управления хаосом подобными способами в системах с непрерывным временем, заданных обыкновенными дифференциальными уравнениями, переходят к дискретным отображениям и воздействуют на систему в дискретные моменты времени, то обычно их называют методами дискретного управления хаосом. В работах [126] - [130]. можно познакомиться с различными способами дискретного управления.

Дискретный характер процедуры управления хаосом приводит к определенным ограничениям. Так, например, мы не сможем стабилизировать седловой цикл, встроенный в хаотический аттрактор, если за время между двумя последовательными управляющими воздействиями фазовая траектория успеет удалиться от него на большое расстояние. То есть, если максимальная ляпуновская экспонента седлового цикла будет большой по сравнению с обратной величиной временного интервала между двумя последовательными изменениями параметра. В подобных случаях более эффективными являются методы так называемого 'непрерывного управления хаосом' [131] - [156]. Простейшим способом является использование линейного контроллера. Управляемая система имеет следующий вид:

х = !(х) + [К](х-х),

где [К] - матрица коэффициентов обратной связи, х - стабилизируемая траектория. Для генерации опорного сигнала х{1) может быть использована такая же система, но при значениях параметров, соответствующих устойчивым предельным циклам. В работах [131], [132] показана возможность стабилизации седловых циклов различных периодов, встроенных в хаотический аттрактор, с помощью обратной связи

с задержкой.

Во всех перечисленных методах управляющее воздействие зависит от текущего состояния динамической системы. Когда фазовая траектория выходит на стабилизируемый предельный цикл, величина управляющего воздействия стремится к нулю.

Управление хаосом может осуществляться с помощью внешнего воздействия без учета информации о текущем состоянии динамической системы. Такие способы часто называют управлением без обратной связи ('поп - feedback control') [29], [30], [31] - [33].

Подавление хаоса (перевод системы из хаотического режима в регулярный) можно обеспечить с помощью периодической модуляции одного из параметров системы, о чем свидетельствуют результаты аналитических, численных и экспериментальных исследований, представленные в работах [74], [76], [73]. Эффект подавления хаоса возможен в том случае, когда частота модуляции кратна обратной величине периода основного цикла системы, то есть данное явление имеет резонансный характер. Переход к регулярному режиму можно обеспечить также с помощью высокочастотной модуляции параметра системы, когда частота параметрической накачки много больше собственной частоты осциллятора. В работе [77] было показано, что движение системы с высокочастотным воздействием может быть представлено как сумма 'медленного' движения с характерным временным масштабом системы без модуляции и 'быстрого' движения с характерной частотой параметрического воздействия. Уравнения полной системы разделяются на уравнения для 'быстрых' и для 'медленных' переменных, причем коэффициенты уравнения для 'быстрых' переменных оказываются зависящими от амплитуды и частоты параметрического воздей-

ствия. Таким образом, можно говорить о том, что высокочастотная накачка может менять средние значения параметров системы и индуцировать переход к другим колебательным режимам. Обзор различных методов управления хаосом дан в работах [135] - [137].

Вопросы управления хаосом во взаимодействующих системах непосредственно связаны с задачами управляемой синхронизаций. С помо-

* «

щью целенаправленных воздействий определенные хаотические подмножества, соответствующие синхронным движениям идентичных осцилляторов, можно превратить в устойчивые по одним собственным направлениям, оставляя неустойчивыми по другим. В результате будет осуществлен управляемый переход от несинхронных хаотических колебаний к режиму полной синхронизации хаоса [52] - [59].

В большинстве работ, посвященных проблеме управляемой синхронизации хаоса, рассматриваются системы с однонаправленной связью и ограничиваются простейшим случаем стабилизации синфазных хаотических колебаний. Представляется важным и полезным исследовать возможность стабилизации синфазных и противофазных режимов синхронизации хаоса в системах с взаимной связью. Следует отметить, что эффект противофазной синхронизации хаоса имеет большое прикладное значение: появляются новые возможности при разработке методов скрытой передачи информации, что подробно обсуждается в работе [142].

Для управляемой синхронизации хаотических систем обычно вводятся дополнительные цепи обратной связи. Возможна ли стабилизация синхронных хаотических движений с помощью периодической модуляции параметра связи? Идея использования параметрического воздействия для синхронизации хаотических систем связана с хорошо из-

вестной классической задачей о маятнике с вибрирующей точкой подвеса [67]. В такой системе, начиная с некоторых пороговых значений амплитуды и частоты, вибрации точки подвеса превращают неустойчивое состояние равновесия в устойчивое.

• На сегодняшний день также имеются определенные успехи при решении задач синхронизации хаоса в распределенных системах и упра-

* ♦

вления пространственно - временным хаосом [60] - [65]. При моделировании сложной пространственно - временной динамики распределенных систем различной природы обычно используются дифференциальные уравнения в частных производных, ансамбли взаимодействующих осцилляторов, каждый из которых задан обыкновенными дифференциальными уравнениями, решетки связанных отображений. Наиболее простой и часто используемой из перечисленных моделей является решетка связанных отображений. Эта система способна демонстрировать многие типичные пространственно - временные явления, наблюдаемые в разнообразных распределенных системах. Задачи управления пространственно - временным хаосом в основном рассматриваются применительно к цепочкам связанных отображений. Даже для простейших моделей сложность задачи обусловлена тем, что в ансамбле взаи-

о и ^

модеиствующих осцилляторов управляющие воздействия должны обеспечивать не только стабилизацию определенных периодических движений в каждом осцилляторе, но и синхронизацию движений в определенных фазах среди осцилляторов по всему ансамблю.

Разработка алгоритмов управления пространственно - временным хаосом, исследования возможности стабилизации неустойчивых пространственно - временных структур с помощью управляющих воздействий являются важными и актуальными вопросами современной не-

линейной динамики.

Сформулированные выше вопросы и проблемы определили цель диссертационной работы, которая заключается

1) в исследовании и формулировке бифуркационных закономерностей

процессов разрушения полной синхронизации хаоса и формирования

• » ,

мультистабильности во взаимодействующих системах с бифуркациями удвоения периода,

2) в разработке методов управления синхронизацией хаоса и управления пространственно - временным хаосом в решеточных системах, направленных на развитие и обобщение теории синхронизации и управления хаосом.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые

- показано, что для взаимодействующих систем с бифуркациями удвоения периода в виде дискретных отображении, неавтономных нелинейных осцилляторов, автономных автоколебательных систем с различными видами связи характерно явление фазовой мультистабильности;

- построена схема эволюции регулярных и хаотических видов колебаний;

- выявлены спектральные закономерности в эволюции несинфазных видов колебаний;

- представлена классификация возможных мультистабильных состояний;

- для взаимодействующих систем с удвоениями периода вскрыт и исследован механизм потери полной синхронизации хаоса с точки зрения бифуркаций встроенных в аттрактор седловых циклов;

- показано, что слабая неидентичность парциальных систем может качественно изменить бифуркационный сценарий потери синхронизации хаоса;

- выявлен бифуркационный сценарий процесса формирования фазовой мультистабильности;

- установлено, что потеря синхронизации хаоса и формирование фазовой мультистабильности происходит в результате последовательности одинаковых бифуркаций на базе одного и того же семейства седловых циклов, расположенных в симметричном подпространстве полного фазового пространства связанных систем;

- показано, что в двух взаимно связанных автоколебательных системах с помощью малых управляющих воздействий на один из генераторов хаотическую фазовую траекторию можно стабилизировать в различных симметричных подпространствах Полного фазового пространства;

- продемонстрирована возможность использования методов стабилизации движений в определенных подпространствах полного фазового пространства системы для бифуркационного анализа определенного класса седловых движений, что существенно может расширить возможности натурного эксперимента;

- в двух взаимно связанных автоколебательных системах экспериментально осуществлены управляемые переходы из режима развитого Хаоса к режимам периодических колебаний и к режимам синфазной и противофазной синхронизации хаоса;

- обнаружен эффект стабилизации синфазных хаотических колебаний при параметрическом периодическом воздействии на элемент связи;

- показана возможность стабилизации пространственно однородных хаотических движений в цепочках нелинейных осцилляторов с помо-

щью высокочастотной периодической модуляции параметра связи;

- предложен способ управления пространственно - временным хаосом в решетках связанных отображений с помощью локальных возмущений элементов решетки;

- в одномерных и двумерных решетках осуществлены управляемые переходы из режима пространственно - временного хаоса к различным,

*

предварительно заданным регулярным пространственно однородным режимам и пространственно - временным структурам.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Потеря полной синхронизации хаоса в связанных системах с удвоениями периода происходит в результате последовательности мягких бифуркаций седловых циклов основного семейства, на базе которых сформирован хаотический аттрактор, соответствующий режиму синхронизации. Бифуркация основного седлового цикла, встроенного в хаотический аттрактор, приводит к потери грубости и возникновению пузырящегося поведения. Явление изрешечивания бассейна притяжения хаотического аттрактора происходит после бифуркации седлового цикла расположенного вне симметричного подпространства.

2. На всех этапах потери синхронизации хаоса слабая неидентичность парциальных систем качественно не меняет структуру фазового пространства, однако сценарий ее формирования становится иным, если при полной идентичности имели место бифуркации, обусловленные симметрией системы. Переход к пузырящемуся поведению определяется не бифуркацией седлового цикла, встроенного в хаотический аттрактор, а бифуркацией рождения новых неустойчивых циклов в окрестности хаотического множества. Завершение процесса потери синхронизации

хаоса также может быть обусловлено бифуркацией рождения нового устойчивого цикла.

3. Во взаимодействующих системах с удвоениями периода в основе процесса потери полной синхронизации хаоса и формирования фазовой

мультистабильности лежит один и тот же бифуркационный сценарий, который развивается на4базе одного и того же семейства седловых симметричных циклов.

4/ Синхронизация хаотических систем может быть обеспечена с помощью параметрического периодического воздействия на элементы связи. Параметрическая накачка также обеспечивает стабилизацию пространственно однородных хаотических движений, но в цепочках конечной длины.

5. Управление пространственно - временным хаосом в решетках связанных отображений можно осуществлять через поэтапную стабилизацию движений по элементам решетки. Определенные виды малых управляющих воздействий обеспечивают переходы из режима пространственно - временного хаоса к различным, предварительно заданным пространственно - временным структурам.

Научно-практическая значимость результатов

В работе выполнено исследование, относящееся к фундаментальным проблемам теории динамического хаоса. Научно-практическая значимость результатов состоит в том, что

- получены подробные карты динамических режимов различных взаимодействующих систем с различными видами связи, представляющие интерес в радиофизике и электронике;

- предложены методы стабилизации движений в различных подпространствах полного фазового пространства системы, которые дают возможность проводить бифуркационный анализ некоторых видов сед-ловых движений, что существенно расширяет возможности натурного эксперимента;

- полученные алгоритмы управления синхронизацией хаотических ос-

* ,

цилляторов могут быть применены в реальных системах различной природы;

- полученные алгоритмы стабилизации пространственно - временных режимов могут быть применены в решеточных системах для генерации различных видов пространственно - временных структур, что является важным в задачах аналоговой обработки информации и распознавания образов.

Результаты работы используются в учебном процессе в Саратовском государственном университете при чтении общих курсов ('Теория нелинейных колебаний" и 'Статистическая радиофизика"), а также спецкурсов по специальности 'радиофизика".

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержит 339 страниц, 126 иллюстраций. Библиография содержит 248 ссылок на литературные источники.

Аппробация работы и публикации

Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1. Всесоюзная конференция "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" (1985, Саратов);

2. Упорядоченные структуры в математике и турбулентность (1985, Кацивели, Украина);

3. 7-я Всесоюзная школа - семинар, по электронике СВЧ и радиофизике (1986, Саратов);

»

4. Нелинейные колебания механических систем (1987, Горький);

5. VIII Всесоюзная школа по нелинейным волнам (1987, Горький);

6. 2-я Всесоюзная конференция "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" (1988, Саратов);

7. Всесоюзная конференция "Нелинейные явления" (1989, Москва);

8. IV International Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics (1989, Kiev, USSR);

9. 2-я Всесоюзная конференция "Нелинейные колебания механических систем" (1990, Горький);

10. 3-я Всесоюзная конференция "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" (1991, Саратов);

11. Международный семинар "Нелинейные цепи и системы" (1992, Москва, Россия);

12. Международная научная школа - семинар "Динамика и стохастические волновые явления" (1994, Нижний Новгород, Россия);

13. School-Conference "Differential Equations: Bifurcations and Chaos" (1994, Katsiveli, Crimea, Ukraine);

14. Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (1994, Krakow Poland) ;

15. Международная школа - семинар по хаотическим колебаниям в радиофизике и электронике "ХАОС - 94" (1994, Саратов, Россия);

16. The 3rd technical conference on nonlinear dynamics (chaos) and full spectrum processing (1995, Mystic, USA);

17. 10-я Всесоюзная школа - семинар по электронике СВЧ и радиофизике (1996, Саратов, Россия);

18. International Conference "Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine" (1996, Saratov, Russia);

19. International Conference "Applied Chaotic Systems" (1996, Inowl-odz - Lodz, Poland);

20. 5-th International Specialist Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (1997, Moscow, Russia);

21. 1st International Conference "Control of Oscillations and Chaos" (1997, St.Peterburg, Russia).

22. 5th International School "CHAOS 98" (1998, Saratov, Russia).

Результаты работы неоднократно обсуждались на научных семинарах:

- лаборатории нелинейной динамики Саратовского госуниверситета (под руководством проф. В.С.Анищенко);

- кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского госуниверситета;

- Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН;

- кафедры нелинейной динамики университета г.Лодзь (Польша) (под руководством проф. Т.Капитаника);

- кафедры нелинейных систем политехнического института г.Лозанны (Швейцария) (под руководством проф. М.Хаслера).

По материалам диссертации опубликовано 41 работа: 32 статьи и 9 тезисов докладов. Результаты работы использованы при выполнении

госбюджетной НИР "Автоколебания".

Работа выполнена в докторантуре на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского госуниверситета (научный консультант заслуженный деятель науки РФ, член-корр. РАЕН, профессор В.С.Анищенко), поддерживалась грантами Госкомитета Российской Федерации по высшему образованию, (93 - 8.2 -10 и 95 -0 - 8.3 -66), Международного Научного Фонда (RNO ООО, RNO 300), DFG и РФФИ (436 RUS 113/334), Российского Фонда Фундаментальных Исследований (98 -02 -16531).

Краткое содержание работы

В первой главе рассматривается динамика взаимодействующих систем с бифуркациями удвоения периода в виде логистических отображений, отображений Хенона, нелинейных колебательных контуров при внешнем гармоническом воздействии, генераторов Чуа с различными видами связи. Для них построены детальные карты динамических режимов. Проводится сравнительный анализ поведения. Результаты компьютерного моделирования и натурного эксперимента показывают, что для связанных систем с удвоениями периода характерно явление фазовой мультистабильности. Независимо от конкретного вида парциальных систем (одномерные необратимые и двумерные обратимы отображения, неавтономные осцилляторы или генераторы) на плоскости управляющих параметров существуют области значений, при которых в фазовом пространстве одновременно сосуществуют различные виды регулярных и хаотических аттракторов. Сосуществующие режимы с одинаковыми периодами (или числом лент хаотических аттракторов) различаются временными сдвигами между колебаниями

подсистем. Дана классификация возможных мультистабильных состояний, исследована их эволюция и спектральные закономерности при вариации параметров системы. Проведены детальные исследования переходов от режимов синфазной синхронизации хаоса к режимам несинфазных колебаний и далее к полностью независимым движениям парциальных систем.

* ,

Во второй главе исследуется бифуркационный сценарий потери синхронизации хаоса и формирования мультистабильности на примерах связанных логистических отображений, связанных отображений Хенона и связанных систем Ресслера. Рассматривается влияние неидентичности парциальных систем на механизм потери синхронизации хаоса. Изучается эволюция структуры бассейнов притяжения при формировании мультистабильности. Результаты проведенных исследований показывают, что во взаимодействующих системах с удвоениями периода в основе процесса потери полной синхронизации хаоса и формирования фазовой мультистабильности лежит один и тот же бифуркационный сценарий, который развивается на базе одного и того же семейства седловых симметричных циклов. Потеря полной синхронизации хаоса происходит в результате последовательности мягких бифуркаций седловых циклов основного семейства, на базе которых сформирован хаотический аттрактор, соответствующий режиму синхронизации. Бифуркация основного седлового цикла, встроенного в хаотический аттрактор, приводит к потери грубости и возникновению пузырящегося поведения. Явление изрешечивания бассейна притяжения хаотического аттрактора происходит после бифуркации седлового цикла расположенного вне симметричного подпространства. На всех этапах потери синхронизации хаоса слабая неидентичность парциальных си-

стем качественно не меняет структуру фазового пространства, однако сценарий ее формирования становится иным, если при полной идентичности имели место бифуркации, обусловленные симметрией системы. Переход к пузырящемуся поведению определяется не бифуркацией сед-лового цикла, встроенного в хаотический аттрактор, а его плавным сдвигом и седло - узловой бифуркацией рождения новых неустойчивых циклов в окрестности хаотического множества. Завершение процесса потери синхронизации хаоса также может быть обусловлено седло -узловой бифуркацией рождения нового устойчивого цикла. В данной главе детально описаны каскады бифуркаций на базе седловых симе-тричных циклов, которые определяют разбиение фазового пространства системы на бассейны притяжения сосуществующих аттракторов.

Третья глава посвящена проблеме управления синхронизацией хаоса. Для двух симметрично связанных автоколебательных систем показано, что с помощью малых управляющих воздействий на один из генераторов хаотическую фазовую траекторию можно стабилизировать в различных симметричных подпространствах полного фазового пространства взаимодействующих систем, осуществляя тем самым: 1) управляемые переходы из режима развитого хаоса к режимам периодических колебаний и 2) режим синхронизации хаоса как в виде синфазных, так и противофазных хаотических колебаний генераторов. Теоретически получены условия стабилизации требуемых движений, проведены детальные численные исследования процессов управления, основные результаты подтверждены экспериментально. Продемонстрирована возможность использования методов стабилизации движений в определенных подпространствах полного фазового пространства системы для бифуркационного анализа седловых движений. В

данной главе представлены результаты, которые свидетельствуют о том, что синхронизация хаотических систем может быть обеспечена с помощью параметрического периодического воздействия на элементы связи. Определены условия стабилизации синхронных хаотических движений в зависимости от амплитуды и частоты параметрической накачки, проведены численные эксперименты, иллюстрирующие работоспособность данного метода управления синхронизацией хаоса.

Четвертая глава посвящена задачам управления пространственно - временным хаосом. Рассмотрена возможность синхронизации цепочки хаотических осцилляторов с помощью высокочастотной периодической модуляции параметров связи. Установлено, что при определенных значениях амплитуды и частоты параметрическое воздействие может стабилизировать пространственно однородные хаотические колебания, однако только в цепочках конечной длины. Максимальное число элементов цепочки зависит от частоты параметрического воздействия. Если при фиксированной частоте длина цепочки больше некоторой допустимой величины, то параметрическая накачка оказывает только частичное стабилизирующее воздействие. Пространственно однородное состояние приобретает устойчивость по отношению только к некоторой части спектра трансверсальных возмущений. В данной главе предложен способ управления пространственно - временным хаосом в решетках связанных отображений. Для одномерных и двумерных решеток логистических отображений с различными типами связи определен вид пространственно - временных возмущений параметров системы, стабилизирующих заданные неустойчивые пространственно - временные состояния. Продемонстрированы управляемые переходы из режима пространственно - временного хаоса к различным регулярным простран-

ственно - временным структурам. Проведены исследования поведения управляемых систем.

*

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Астахов, Владимир Владимирович

Заключение

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. Для взаимодействующих систем с переходом к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в виде необратимых и обратимых дискретных отображений, неавтономных нелинейных осцилляторов, автономных автоколебательных систем характерно явление фазовой муль-тистабильности. На плоскости управляющих параметров имеются области значений, при которых в фазовом пространстве одновременно сосуществуют различные виды регулярных и хаотических аттракторов. Сосуществующие режимы с одинаковыми периодами (или числом лент хаотических аттракторов) различаются временными сдвигами между колебаниями подсистем.

2. Проведена классификация и построена схема эволюции регулярных и хаотических мультистабильных состояний. В основе увеличения числа возможных видов колебаний при изменении управляющего параметра лежит каскад бифуркаций удвоения периода, в котором каждый из циклов претерпевает бифуркацию удвоения дважды: вначале с потерей устойчивости, а затем уже будучи седловым. В результате при однонаправленном движении по параметру происходит постепенное увеличение числа циклов: два цикла периода два, четыре периода четыре, восемь периода восемь и т.д. Построенная схема эволюции видов колебаний связывает их воедино.

3. Рассмотрены спектральные закономерности в эволюции мультистабильных состояний. Проведенные исследования распределения сдвигов фаз между гармониками спектров парциальных генераторов показали, что фазовые соотношения между гармониками сохраняются при

мягких бифуркациях периодических режимов. В закритической области фазовые сдвиги для пиков в спектрах многоленточных аттракторов равны фазовым сдвигам для гармоник в спектрах периодических колебаний, на базе которых эти аттракторы образованы.

4. В связанных автоколебательных системах различные мультиста-бильные состояния соответствуют режимам синхронизации регулярных и частичной синхронизации хаотических колебаний с различными временными сдвигами между реализациями подсистем.

5. Потеря полной синхронизации хаоса в связанных логистических отображениях, отображениях Хенона и системах Ресслера происходит в результате последовательности бифуркаций седловых циклов основного семейства, на базе которых сформирован хаотический аттрактор, соответствующий режиму синхронизации, Бифуркация основного сед-лового цикла, встроенного в хаотический аттрактор, приводит к потери грубости и возникновению пузырящегося поведения. Явление изрешечивания бассейна притяжения хаотического аттрактора происходит после бифуркации седлового цикла расположенного вне симметричного подпространства.

6. На всех этапах потери синхронизации хаоса слабая неидентичность парциальных систем качественно не меняет структуру фазового пространства, однако сценарий ее формирования становится иным, если при полной идентичности имели место бифуркации, обусловленные симметрией системы. Переход к пузырящемуся поведению определяется не бифуркацией седлового цикла, встроенного в хаотический аттрактор, а его плавным сдвигом и седло - узловой бифуркацией рождения новых неустойчивых циклов в окрестности хаотического множества. Завершение процесса потери синхронизации хаоса также может быть обу-

словлено седло - узловой бифуркацией рождения нового устойчивого цикла.

7. Результаты двупараметрического бифуркационного анализа связанных систем с удвоением периода показывают, что в основе процессов потери полной синхронизации хаоса и формирования мультиста-бильности лежит один и тот же бифуркационный сценарий, который развивается на базе определенного семейства седловых циклов, расположенных в симметричном подпространстве системы.

8. В пространстве параметров рассмотренных систем существуют направления, при движении по которым последовательности бифуркаций достаточно хорошо различимы. В тоже время имеются направления, при движении по которым циклы различных периодов и различных семейств претерпевают бифуркации практически одновременно. В таких сечениях пространства параметров выделить оптимальные седловые периодические орбиты с точки зрения потери синхронизации хаоса не представляется возможным.

9. В системе взаимодействующих генераторов, имеющих несколько видов симметрии, с помощью малых управляющих воздействий хаотическую фазовую траекторию можно стабилизировать в различных симметричных подпространствах полного фазового пространства, осуществляя тем самым управляемые переходы из режима несинхронных хаотических колебаний к режимам периодических колебаний и режимам синфазной и противофазной синхронизации хаоса.

10. Показана возможность использования методов стабилизации движений в симметричных подпространствах полного фазового пространства системы для бифуркационного анализа соответствующих седловых движений. Такой подход может существенно расширить возмож-

ности натурного эксперимента.

11. Режим полной синхронизации хаотических систем может быть обеспечен с помощью параметрического периодического воздействия на элемент связи.

12. Установлено, что при определенных значениях амплитуды и частоты параметрическое воздействие может стабилизировать пространственно однородные хаотические колебания, однако только в цепочках конечной длины. Максимальное число элементов цепочки зависит от частоты параметрического воздействия. Если при фиксированной частоте длина цепочки больше некоторой допустимой величины, то параметрическая накачка оказывает только частичное стабилизирующее воздействие. Пространственно однородное состояние приобретает устойчивость по отношению только к некоторой части спектра транс-версальных возмущений.

13. Предложен способ управления пространственно - временным хаосом в решетках связанных отображений через поэтапную стабилизацию движений по элементам решетки. Для цепочек и двумерных решеток логистических отображений с различными типами связи определен вид пространственно - временных возмущений параметров системы, стабилизирующих заданные неустойчивые пространственно -временные состояния. Продемонстрированы управляемые переходы из режима пространственно - временного хаоса к различным регулярным пространственно - временным структурам.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Астахов, Владимир Владимирович, 1998 год

Литература

1. Гюйгенс X. Три мемуара по механике (Под ред. К.К.Баумгарта) М.: Изд-во АН СССР, 1951.

2. Андронов A.A., Витт A.A. К математической теории захватывания.// Журнал прикладной физики, 1930, т.7, вып.4.

3. Андронов A.A., Витт A.A. К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы.// Журнал технической физики, 1934, т.4, вып.1.

4. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.:Физматгиз, 1959.

5. Ван - дер - Поль. Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Связьиздат, 1935.

6. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

7. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем, М: Наука, 1971.

8. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике, М: Наука, 1981.

9. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1978.

10. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький, ИПФ РАН, 1989.

11. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

12. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980.

13. Гноенский JI.C., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. М.: Наука, 1969.

14. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

15. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О., Некоторые вопросы математической теории процессов управления, ИЛ, 1962.

16. Рытов С.М., Введение в статистическую радиофизику, ч.1, М.: Наука, 1976.

17. Рытов С.М., Введение в статистическую радиофизику, ч.Н, М.: Наука, 1978.

18. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С., Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981.

19. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982.

20. Стратонович P.JI. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.

21. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.

22. Голубенцев А.Ф., Денисов Ю.И., Мникин Л.М. Введение в статистическую электронику. Саратов: Изд. СГУ, 1990.

23. Анищенко B.C. Введение в статистическую радиофизику. 4.I-II, Саратов: СГУ, 1979.

24. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990.

25. Anishchenko V.S. Dynamical chaos - Models and experiments. World Scientific, 1995.

26. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский - Гайер JI. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка.// УФН, 1999, N 1 (в печати).

27. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967, 639с.

28. Hubler A.W., Luscher Е. Resonant stimulation and control of nonlinear oscillations.// Naturwissenschaft, 1989, V.76, P.67.

29. Jackson E.A. On the control of complex dynamic systems.// Physica, 1991, V.50D, P.341-366.

30. Jackson E.A. The entrainment and migration controls of multiple-attractor systems.// Physics Letters, 1990, V.151A, P.478-484.

31. Jackson E.A. On the control of complex dynamic systems. // Physica, 1991, V.50D, P. 341-366.

32. Jackson E.A., Kodogeorgiou A. Entrainment and migration controls of two-dimensionoe[Doe[Doe[soe[Coe[Coe[Cal maps. // Physica, 1992, V.54D, P. 253-265.

33. Рождественский B.B. Синхронизация гладких периодических отображений внешним периодическим сигналом. // Радиотехника и электроника, 1997, Т.42, N 3, С. 307-312.

34. Ott Е., Grebogi С., Yorke J.A. Controlling Chaos.// Phys. Rev. Lett., 1990, V.64, P.1196-1199.

35. Shinbrot T.,. Grebogi C., Ott E., and Yorke A. Using small perturbations to control chaos.// Nature, 1993, V.363, P. 411-417.

36. Ditto W.L., Rauseo S.N., Spano M.L. Experimental control of chaos.// Phys. Rev. Lett., 1990, V.65, P.3211-3214.

37. Shinbrot Т., Ott E., Grebogi С., Yorke J.A. Using chaos to directs trajectories to targets.// Phys. Rev. Lett., 1990, V.65, P.3215-3218.

38. Singer J., Wang Y., Bau H. Controlling chaotic systems.// Phys. Rev. Lett., 1991, V.66, P.1123.

39. Romeiras F.J., Grebogi C., Ott E., Dayawasn W.P. Controlling chaotic dynamical systems.// Physica, 1992, V.58D, P.165-192.

40. Shinbrot Т., Ditto W., Grebogi C., Ott E., Spano M., Yorke J.A. Using the sensitive dependence of chaos (the 'butterfly effect") to direct trajectories in experimental chaotic system.// Phys. Rev. Lett., 1992, V.68, P.2863-2866.

. 41. Shinbrot Т.; Ott E., Grebogi С., Yorke J.A. Using chaos to direct orbits to targets in systems describable by a one-dimensional map.// Physical Review A, 1992, V.45, P.4165 -4168.

42. Garfinkel A., Spano M., Ditto W., Weiss J. Controlling cardiac chaos.// Science, 1992, V.257, P.1230.

43. Petrov V., Gaspar V., Masere J., Showalter K. Controlling chaos in the Belousov-Zhabotinsky reaction.// Nature, 1993, V.361, P.240.

44. Lay Y.C., Grebogi C. Converting transient chaos into sustained chaos by feedback control.// Physical Review E, 1994, V.49, N2, R1094-1098.

45. Schiff S.J., Jerger K., Duong D.H., Chang Т., Spano M.L., Ditto W.L. Controlling chaos in the brain.// Nature, 1994, V.370, P.615-620.

46. Hayes S., Grebogi C., Ott E., Mark A. Experimental control of chaos for communication.// Phys. Rev. Lett., 1994, V.73, N13, P.1781-1784.

47. Ott E., Spano M. Controlling chaos.// Physics Today, May 1995, P.34-40.

48. In V., Ditto W.L. Adaptive control and tracking of chaos in a magne-toelastic ribbon.// Physical Review E, 1995, V.51, N4, P.2689-2692.

49. Ott E., Spano M. Controlling chaos.// In: Chaotic, fractal and nonlinear signal processing. Mystic, CT July 10-14, (Ed. by R.A.Katz), 1995, P.92-103.

50. Baretto E., Grebogi C. Multiparameter control of chaos.// Physical Review E, 1995, V.52, N4, P.3553-3557.

51. Poon L., Grebogi C. Controlling complexity.// Phys. Rev. Lett., 1995, V.75, N22, P.4023-4026.

52. Lay Y., Grebogi C. Synchronization of chaotic trajectories using control.// Physical Review E, 1993, V.47, N4, P.2357-2360.

53. Newell T.C., Aising P.M., Gavrielides A., Kovanis V. Synchronization of chaos using proportional feedback.// Physical Review E, 1994, V.49, N1, P.313-319.

54. Bernardo M. An adaptive approach to the control and synchronization of continuous-time chaotic systems. Int. J. of Bif. and Chaos, 1995, V.6, N3, P.557-568.

55. Suykens J.A.K., Curran P.F., Chua L.O. Master-slave synchronization using dynamic output feedback.// Int. J. of Bif. and Chaos, 1996, V.7, N3, P.671-679.

56. Peng J.H., Ding E.J., Ding M., Yang W. Synchronization hyperchaos with a scalar transmitted signal.// Phys. Rev. Let., 1996, V.76, N6, P.904-907.

57. Malescio G. Synchronization of chaotic systems by continuous control.// Physical Review E, 1996, V.53, N3, P.2949-2952.

58. Duan C.K., Yang S.S. Synchronization hyperchaos with a scalar signal by parameter controlling.// Physics Letters, 1997, V.229A, P.151-155.

59. Yang J., Hu G., Xiao J. Chaos synchronization in coupled oscillators with multiple positive Lyapunov exponents.// Phys. Rev. Let., 1998, V.80, N3, P.496-499.

60. Gang H., Zhilin Q. Controlling spatiotemporal chaos in coupled map lattice systems.// Phys. Rev. Lett., 1994, V.72, N1, P.68-71.

61. Auerbach D. Controlling extended systems of chaotic elements. Phys. Rev. Let., 1994, V.72, N8, P.1184-1187.

62. Sole R.V., Prida L.M. Controlling chaos in discrete neural networks.// Physical Letters, 1995, V.199A, P.65-69.

63. Grigoriev R.O., Cross M.C., Shuster H.G. Pinning control of spatiotemporal chaos.// Phys. Rev. Let., 1997, V.79, N15, P.2795-2798.

64. Ali M.K., Fang J. Synchronization of spatiotemporal chaos using nonlinear feedback functions.// Discrete Dynamics in Nature and Society, 1997, V.l, P.179-184.

65. Parmananda P., Jiang Yu. Controlling localized spatiotemporal chaos in a one-dimensional coupled map lattice.// Physics Letters, 1997, V.231A, P.159-163.

66. Капица П.JI. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса.// ЖЭТФ, 1951. Т.21. С.588.

67. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом.// УФН. 1951. Т.44. С.7.

68. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979.

69. Waller I., Kapral R. Spatial and temporal structure in systems of coupled nonlinear oscillators.// Phys. Rev., 1984, V.30A, P. 2047 -2055.

70. Kaneko K. Pattern dynamics in spatiotemporal chaos. Pattern selection, diffusion defects and pattern competition intermittency.// Phys-ica, 1989, V.34D, P. 1- 41.

71. Crutchfield J.P., Kaneko K. Phenomenology of Spatio - temporal Chaos.// In book: Directions in Chaos, ed. by Hao Bai-lin, World Scientific Publ. - Co. Singapure, 1987, P.272.

72. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений у порога хаоса.// Изв. вузов - Радиофизика, 1991, Т.34, N10-12, С.1079-1115.

73. Lima R., Pettini М. Suppression of chaos by resonant parametric perturbations.// Phys. Rev., 1990, V.41A, P.726.

74. Cicogna G.,. Fronzoni L. Effects of parametric perturbations on the onset of chaos in the Josephson - junction model: Theory and analog experiments.// Phys. Rev. 1990, V.42A, P.1901.

75. Fronzoni L., Cigonna M., Pettini M. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric perturbations. Phys. Rev. 1991, V.43A, P.6483.

76. Chason R. Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations.// Phys. Rev. E, 1995, V.51, P.761.

77. Kivshar Y.S., Rodelsberger E., Benner H. Suppression of chaos by nonresonant parametric perturbations.// Phys. Review E, 1994, V.49, N 1, P.319 - 324.

78. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова M.A. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса. // Радиотехника и электроника, 1991, Т. 36, N 2, С. 338-351.

79. Anishchenko V., Vadivasova Т., Postnov D., Safonova M. Synchronization of chaos.// Int. J. Bif. and Chaos, 1992, V.2, No.3, P.633-644.

80. Rosenblum M., Pikovsky A.,Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators.// Phys. Rev. Lett. 1996, V.76, P.1804.

81. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Osipov G.V., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving.// Physica, 1997, V.104D, P.219-238.

82. Landa P.S., Rosenblum M.G. Synchronization and chaotization of oscillations in coupled self - oscillating systems.// Appl. Mech. Rev., 1993, V.46, P.414 - 426.

83. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I.. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems. // Physical Review E, 1995, V.51, P. 980-995.

84. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M.. Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach. // Physical Review E, 1996, V.53, P.4528-4535.

85. Nijmeijer H., Blekhman 1.1., Fradkov A.L., Pogromsky A.Y.. Self-synchronization and controlled synchronization. // In: Proceedings of the 1st International Conference on Control of Oscillations and Chaos, August 27-29, 1997, V. 1, P. 36-41.

86. Hudson T.L., Hart M., Marinko D., An experimental study of multiple peak periodic and nonperiodic oscillations in the Belousov - Zhabotin-sky reaction.// J.Chem. Phys., 1979, V.71, No.4, P.1601.

87. Turnen J.S., Raux J.-C., McCormick W.D., Swinney H.L., Alternating periodic and chaotic regimes in a chemical reaction - experiment an theory.// Phys. Lett. A, 1981, V.85, No.l, P.9.

88. Simoyi R.H., Wolf A., Swinney H.L. One - dimensional dynamics in a multicomponent chemical reaction.// Phys. Rev. Lett., 1982, V.49, No.4, P.245.

89. Fujisaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems.// Prog. Theor. Phys., 1983, V.69, P:32.

90. Пиковский А.С., О взаимодействии странных аттракторов. Препринт N 79, ИПФ АН СССР, Горький, 1983.

91. Pikovsky A.S. On the interaction of strange attractors.// Z. Phys., 1984, V. 55 B, P. 149 - 154.

92. Кузнецов С.П., О критическом поведении одномерных цепочек.// Письма в ЖТФ, 1983, Т.9, N 2, С.94-98.

93. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума.// Изв. вузов - Радиофизика, 1985, Т.28, N 8, С.991.

94. Kocarev L., Halle K.S., Eckert К., Chua L., Parlitz U. Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1992, V. 2, N 3, P.709-713.

95. Parlitz U., Chua L., Kocarev L., Halle K., Shang A.. Transmission of digital signals by chaotic synchronization. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1992, V. 2, N 4, P. 973-977.

96. Вельский Ю.Л., Дмитриев А.С.. Передача информации с использованием детерминированного хаоса. // Радиотехника и Электроника, 1993, Т. 38, N 7, С. 1310-1315.

97. Козлов А.К., Шалфеев В.Д.. Избирательное подавление детерминированных хаотических сигналов. // Письма в ЖТФ, 1993, Т. 19, N 23, С. 83-87.

98. Волковский А.Р., Рульков Н.Ф.. Синхронный хаотический отклик нелинейной колебательной системы как принцип детектирования информационной компоненты хаоса. // Письма в ЖТФ, 1993, Т. 19, N 3, С. 72-77.

99. Алексеев А.А., Козлов А.К., Шалфеев В.Д.. Хаотический режим и синхронный отклик в генераторе, управляемом по частоте. // Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, 1994, Т. 2, N 1, С. 71-77.

100. Козлов А.К., Шалфеев В.Д.. Управление хаотическими колебаниями в генераторе с запаздывающей петлей фазовой автоподстройки. // Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, 1994, Т. 2, N 2, С. 36-48.

101. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990, 272с.

102. Абарбанель Г.Д.И., Рабинович М.И., Селверстон А., Баженов М.В., Хуэрта Р., Сущик М.М., Рубчинский Л.Л. Синхронизация в

• нейронных ансамблях.// УФН, 1996, Т.166, N 4, С.363-390.

103. Прохоров М.Д. Виды колебаний диссипативно связанных систем с удвоением периода при сильной связи// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т.4. N4-5. С.99-107.

104. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах.// Изв. вузов - Радиофизика, 1986, Т.29, С.1050.

105. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems.// Phys. Rev. Lett., 1990, V.64, P.821-824.

106. Pikovsky A.S., Grassberger P. Symmetry breaking bifurcations for coupled chaotic attractors.// J. Phys. A: Math. Gen., 1991, V.24, P.4587-4597.

107. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. Bubbling of attractors and synchronization of chaotic oscillators.// Phys. Lett., 1994, V.A193, P.126-139.

108. Ott E., Sommerer J.C. Blowout bifurcations: The occurrence of riddled basins and on-off intermittency.// Phys. Lett., 1994, V.A188, P.39-47.

109. Brown R., Rulkov N. F., Tufillaro N.B. Synchronization of chaotic systems: The effects of additive noise and drift in the dynamics of the driving.// Phys. Rev., 1994, V.E50, N6, P.4488-4508.

110. Heagy J., Carroll T.L., Pecora L.M. Desynchronization by periodic orbits.// Phys. Rev., 1995, V. E52, P. R1253-R1256.

111. Gauthier D., Bienfang J. Intermittent loss of synchronization in coupled chaotic oscillators: Towards a new critérium for hight-quality synchronization.// Phys. Rev. Lett., 1996, V.77, P.1751-1754.

112. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. From attractor to chaotic saddle: a tale of transverse instability.// Nonlinearity, 1996, V.9, P.703. p.1346.

113. Alexander J.C., Kan I., Yorke J.A., You Z. Riddled basins.// Int. J. Bifurc. Chaos, 1992, V.2, P.795-813.

114. Lai Y.-C., Grebogi C., Yorke J.A., Venkataramani S.C. Riddling bifurcation in chaotic dynamical systems.// Phys. Rev. Lett., 1996, V.77, P.55.

115. Rulkov N.F., Suschik M.M.. Experimental observation of synchronized chaos with frequency ratio 1:2.// Phys. Lett., 1996, V.214A, P. 145.

116. Pikovsky A., Osipov G., Rosenblum M., Zaks M., Kurths J. Attractor - repeller collision and eyelet intermittency at the transition to phase synchronization.// Phys. Rev. Lett., 1997, V.79, N1, P.47-50.

117. Арнольд В .И. Теория катастроф.// M.: Изд-во МГУ, 1983, 80С. (Новые идеи в естествознании).

118. Иосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций.// М.: Мир, 1983, 301С.

119. Томпсон Дж. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике.// М.: Мир, 1985, 254С.

120. Hasler M., Maistrenko Yu. An introduction to the synchronization of chaotic systems: coupled skew tent maps// IEEE Transactions on Circuits and Systems -1: Fundamental Theory and Applications, 1997, V.44, P.856-866.

121. Hunt В., Ott E. Optimal periodic orbits of chaotic systems.// Phys. Rev. Lett., 1996, V.76, P. 2254 -2257.

122. Linsay P.S. Period doubling and chaotic behavior in a driven anhar-monic oscillator// Phys. Rev. Lett., 1981. Vol.47. N19. P.1349-1352.

123. Matsumoto Т., Chua L.O., Komuro M. The double scroll. // IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1995, V. CAS-32, N 8, P. 797-818.

124. Komuro M., Tokunaga R., Matsumoto Т., Chua L.O., Hotta A. Global bifurcation analysis of the double scroll circuit. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1991, V.l, N 1, P. 139-182.

125. Анищенко B.C., Астахов В.В., Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А. К вопросу о структуре квазигиперболической стохастичности в инерционном генераторе. // Известия ВУЗов. Радиофизика, 1983, Т. 26, N 7, С. 832-842.

126. Hunt E.R. Stabilizing high periodic orbits in a chaotic system: The diode resonator. // Physical Review Letters, 1991, V.67, P. 1953-1955.

127. Roy R., Murphy T.D., Maier T.D., Gills Z., Hunt E.R. Dynamical control of a chaotic laser: experimental stabilization of a globally coupled system. // Physical Review Letters, 1992, V. 68, P. 1259-1262.

128. Козлов А.К., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Импульсное подавление хаотических колебаний. // Вестник Нижегородского университета. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос. Нижний Новгород: ННГУ, 1996, С. 113-120.

129. Osipov G.V., Kozlov А.К., Shalfeev V.D. Controlling chaotic oscillators by impulse feedback. // In: Proceedings of 5th International Specialist Workshop 'Nonlinear Dynamics of Electronic Systems", June 26-27, 1997, Moscow, Russia, P. 115-120.

130. Старобинец И.М., Угриновский В.А. Динамический метод оптимизации управления хаосом. // Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, 1995, Т. 3, N 3, С. 44-55.

131. Pyragas К. Continuous control of chaos by self-controlling feedback. // Physics Letters A, 1992, V. 170, P. 421-428.

132. Pyragas K., Tamasevisevicius A. Experimental control of chaos by delayed self-controlling feedback. // Physics Letters A, 1993, V. 180, P. 99-102.

133. Kaifen H., Gang H. Feedback control of chaotic motions and unstable wave packets in a space-time-dependent systems. // Physical Review E, 1996, V. 53, N 3, P. 2271-2282.

134. Nakajima H. On analitycal properties of delayed feedback control of chaos. // Physics Letters A, 1997, V. 232, P. 207-210.

135. Chen G., Xiaoning D. From chaos to order - perspectives and methodologies in controlling chaotic nonlinear dynamical systems. // Int. J. of Bifurc. and chaos, 1993, V. 3, N б, P.1363-1409.

136. Lindner J.F., Ditto W.L. Removal, suppression, and control of chaos by nonlinear design. // Applied Mechanics Review, 1995, V. 48, N 12, P. 795-808.

137. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Р. Хаотические колебания - генерация, синхронизация, управление. // Успехи Современной Радиоэлектроники, 1997, N 10, С. 27-49.

138. Дудник Е.Н., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Романовский Ю.М. Синхронизация в системах со странным аттрактором. // Вестник Московского университета, 1983, серия 3, Т. 24, N 4, С. 84-87.

139. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Порог синхронизации как характеристика фазового перехода хаос -порядок. // Препринт. Физический факультет МГУ. -М., 1984.

140. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф.. Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах. // ДАН СССР, 1985, Т. 281, N 2, С. 1164-1169.

141. Ланда П.С., Рендель Ю.С., Шер В.А. Синхронизация колебаний в системе Лоренца. // Известия ВУЗов, Радиофизика, 1989, Т. 32, N 9, С. 1172-1174.

142. Cao L.-Y., Lai Y.-C. Antiphase synchronism in chaotic systems.// Phys. Rev. E, 1998, V.58, N1, P.382-386.

143. Веричев H.H. Взаимная синхронизация стохастических автоколебаний систем Лоренца.// Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Межвузовский сборник. Горький, 1986, С.47-57.

144. Sushchik М.М., Rulkov N.F., Abarbanel H.D.I. Robustness and Stability of synchronized chaos: an illustrative model.// IEEE Transactions on circuits and systems - I: Fundamental Theory and Applications, 1997, V.44, No.10, , P. 867 - 873.

145. Viera M., Lichtenberg A., Lieberman M. Synchronization of regular and chaotic systems.// Physical Review A, 1992, V.46, N 12, P. 7359 - 7362.

146. Rulkov N.F. Images of synchronized chaos: Experiments with circuits.// Chaos, 1996, V.6, N 3, , P. 262 - 279.

147. Konnur R. Equivalence of synchronization and control of chaotic systems.// Phys. Rev. Lett., 1996, V. 77, N 14, P. 2937 - 2939.

148. Aston P.J., Bird C.M. Synchronization of coupled systems via parameter perturbations.// Physical Review E, 1998, V.57, N3, P.2787 -2794.

149. Pecora L.M. Synchronization conditions and desynchronizing patterns in coupled limit-cycle and chaotic systems.// Physical Review E, 1998, V.58, N1, P.347-360.

150. Zanette D.H., Mikhailov A.S. Mutual synchronization in ensembles of globally coupled neural networks.// Physical Review E, 1998, V.58, N 1, P.872 - 875.

151. Foss J., Longtin A., Mensour B., Milton J. Multistability and Delayed Recurrent Loops// Physical Review Letters, 1996, V. 76, N 4, P. 708711.

152. Parekh N., Parthasarathy S., Sinha S. Global and local control of spatiotemporal chaos in coupled map lattices.// Physical Review Letters, 1998, V.81, N7, P.1401 - 1404.

153. Parmananda P., Jiang Yu. Controlling localized spatiotemporal chaos in a one-dimensional coupled map lattice.// Physics Letters, 1997, V. A 231, P. 159-163.

154. Tereshko V., Shchekineva E. Resonant control of the Rossler system.// Physical Review E, 1998, V.58, N 1, P.423-426.

155. Yang T., Yang C.-M., Yang L.-B. Control of Rossler system to periodic motions using impulsive control methods.// Physics Letters, 1997, V. A 232, P. 356 - 361.

156. Nakajima H. On analytical properties of delayed feedback control of chaos.// Physics Letters, 1997, V. A 232, P. 207-210.

157. Hu H. Controlling chaos of a dynamical system with discontinuous vector field.// Physica, 1997, V. D 106, P. 1-8.

158. Pan S., Yin F. Using chaos to control chaotic systems.// Physics Letters, 1997, V. A 231, P. 173-178.

159. Volkovskii A. Synchronization of chaotic systems using phase control.// IEEE Transaction on circuits and systems - I: Fundamental theory and applications, 1997, V.44, N 10, P.913 - 917.

160. Dmitriev A.S., Shirokov M., Starkov S.O. Chaotic synchronization in ensembles of coupled maps// IEEE Transactions on circuits and systems - I:Fundamental theory and applications, 1997, V.44, N10, P.918-926.

161. Feldmann U., Hasler M., Schwarz W. Communication by chaotic signals: the inverse system approach.// Int. J. of circuit theory and applications, 1996, V.24, P.551-579.

162. Козлов А.К. Об использовании синхронизованных генераторов хаоса для передачи информации.// Письма в ЖТФ, 1994, Т.20, В.17, С.65-70. •

163. Дмитриев А.С., Куминов Д.А. Хаотическое сканирование и распознавание образов.// Радиотехника и электроника, 1994, Т.39, N4, С.633-641.

164. Cuomo К., Oppenheim A., Strogatz S. Synchronization of Lorenz -based chaotic circuits with applications to communications.// IEEE Transactions on circuits and systems - II: Analog and digital signal processing, 1993, V.40, N10, P.626-633.

165. Abarbanel H., Linsay P. Secure communications and unstable periodic orbits of strange attractors.// IEEE Transactions on circuits and systems - II: Analog and digital signal processing, 1993, V.40, N10, P.643-645.

166. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Стохастическая динамика неавтономного RC-генератора с трех-звенной цепочкой. Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (труды школы - семинара) - Саратов: Изд. Саратовского госуниверситета, 1986, кн.2, с.32-35.

167. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Колебательные режимы нелинейного коаксиального резонатора при гармоническом воздействии. Лекции по электронике СВЧ и радио-

физике (труды школы - семинара) - Саратов: Изд. Саратовского госуниверситета, 1986, кн.2, с.28-31.

168. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнев Б.П. Изменение структуры разбиения плоскости параметров стохастической системы при возбуждении дополнительной моды.// Письма в ЖТФ, 1987, т.13, вып.8, с.449-452.

169. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнев Б.П. Влияние возбуждения и развития новой моды на динамику стохастической системы. Нелинейные колебания механических систем. Тезисы докладов Всесоюзной конференции. - Горький, 1987, ч.1, с.22-25.

170. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии.// Радиотехника и электроника, 1987, т.32, N 12, с.2558-

. 2566.

171. Астахов В.В., Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Особенности возникновения квазипериодических движений в системе диссипативно связанных нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием.// Письма в ЖТФ, 1988, т.14, вып. 1, с.37-41.

172. В.В.Астахов, Б.П.Безручко, В.И.Пономаренко, Е.П.Селезнев. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов. Изв. вузов - Радиофизика, 1988, т.31, с.627-630.

173. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мульти-стабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем.// Письма в ЖТФ, 1989, т.15, вып.З, с.60-65.

174. Astakhov V.V., Bezruchko В.Р., Guljaev Yu.V., Seleznev Ye.P. "Mul-tistable states of dissipatively coupled Feigenbaum's systems", Nonlinear World, Proceedings of the IV Int. Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics, Kiev, USSR, Oktober 9-22, 1989, Naukova Dumka Publishers, Kiev, v.2, p.338-341 (1989).

175. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова E.H., Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах.// ЖТФ, 1990, т.60, N 10, с.19-26.

176. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Исследование динамики цепочек диссипативно связанных осцилляторов. Нелинейные колебания механических систем. Тезисы докладов 2-ой Всесоюзной конференции. - Горький, 1990, ч.1, с.143.

177. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование мультистабильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах.// Извести ВУЗов - Радиофизика, 1991, т.34, N 1, с.35 - 39.

178. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью.// Радиотехника и электроника, т.36, N 11, 1991, с. 2167 - 2170.

179. Astakhov V.V., Bezruchko В.P., Ponomarenko V.I., Seleznev Ye.P. "Regular and chaotic multistable states in the chain of nonlinear oscillators", In Proc. of Int. Seminar "Nonlinear circuits and systems", June 16-18, 1992, Moscow, Russia, v.2, p.213-222.

180. Astakhov V.V., Bezruchko B.P., Ponomarenko V.I., Trubetskov D.I., Cliernyavskaya L.I. "Oscillation regimes of a radiotechnical analogue of the oscillator based on vacuumfield emitter microdiode", IVMC'93 sixth International Vacuum Microelectronics Conference, Newport, Rhode Island, July 12-15, 1993, p.66-67.

181. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П. Фазовая мультистабильность и установление колебаний в нелинейных системах с удвоением периода.// Радиотехника и электроника, т.38, N 2, 1993, с.291 - 295.

182. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Strelkova G.I. "Controlling chaos in the modified oscillator with inertial nonlinearity", Proceedings of the Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems", Krakow, Poland, 1994, p.153-155.

183. Astakhov V.V., Bezruchko B.P., Ponomarenko V.I. Experimental and numerical observation of multistability and chaos in 1-dimensional lattice of period-doubling elements", Abstracts of the Second International Scientific Scool-Seminar "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena", Nizhniy Novgorod, 1994, p.43.

184. Astakhov V.V., Shabunin A.V. The bifurcation analysis of coupled Chua's circuit. //In: International Conference "Differential equations: bifurcations and chaos", Katsiveli, Ukraine, 1994, p.10.

185. Анищенко B.C., Астахов В.В., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В1 Стабилизация симметричных седловых циклов в связанных системах с хаотической динамикой.// Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, т.З, N 4, 1995, стр.73 - 80.

186. Anishchenko V.S., Astakhov V.V. "Bifurcations and chaos in oscillator with inertial nonlinearity", In book "Nonlinear Dynamics in Circuits", ed. L.M.Pecora, World Scientific, Singapore, (1995).

187. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Strelkova G.I. Controlling chaos in the modified oscillator with inertial nonlinearity", IEEE transaction on circuit and systems - 1: Fundamental Theory and Applications, v.42, No.6, p.366-368 (1995).

188. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Shabunin A.V. Controlling Spatiotemporal Chaos in a Chain of the Coupled Logistic Maps. IEEE Trans, on Circuits and Systems I, 1995, v.42, N6, pp.352-357.

189. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Astakhov V.V., Sosnovtseva O.V., Wu C.W., Chua L.O. Dynamics of two coupled Chua's circuits. Int. Journ. of Bifurcation and Chaos, v.5, No.6, p.1677-1699 (1995).

190. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Shabunin A.V., Strelkova G.I. "Controlling spatiotemporal chaos in one- and two-dimensional coupled logistic map lattices", in "Chaotic, Fractal, and Nonlinear Signal Processing",- ed. R.A. Katz, AIP Conference Proceedings 375 (Mystic, CT July 10-14, 1995), AIP Press, Woodbury, New York (1996), p.104-118.

191. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность и хаос в замкнутой цепочке элементов с удвоением периода. Межвуз. сб. науч. тр. Кн.2. Саратов: Изд-во Гос-УНЦ "Колледж", 1996, с.51 - 77. .

192. Астахов В.В., Сильченко А.Н., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В., Анищенко B.C. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов. Радиотехника и электроника, 1996, т.41, N11, стр.1323-1331.

193. Anishchenko V., Astakhov V., Strelkova G., Shabunin A. "Fourier analysis of symmetrically coupled Chua's oscillators", Abstracts of the International Conference "Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine", Saratov, Russia, July 8-14, 1996, p.17.

194. Astakhov V., Shabunin A., Silchenko A., Strelkova G., Anishchenko V. Controlling chaos in the system of coupled Chua's oscillators, Abstracts of the International Conference "Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine", Saratov, Russia, July 8-14, 1996, p.23.

195. Astakhov V., Kapitaniak T. Stabilization of symmetric motions of coupled oscillators by periodic parametric perturbations. Abstracts of the International Conference "Applied Chaotic Systems", Inowlodz -Lodz, Poland, September 26-30, 1996, p.6.

196. Астахов В.В., Шабунин А.В., Сильченко А.Н., Стрелкова Г.И., Анищенко B.C. Нелинейная динамика двух связанных через емкость генераторов Чуа. Радиотехника и электроника, 1997, т.42, N3, стр.320-327.

197. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Kapitaniak Т., Shabunin A.V. Synchronization of chaotic oscillators by periodic parametric perturbations. Physica D, 1997, v.109, N1-2, pp.11-16.

198. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak Т., Anishchenko V. Loss of Chaos Synchronization through the Sequence of bifurcations of Saddle Periodic Orbits. Physical Review Letters, 1997, v.79, N 6, p.1014-1017.

199. Астахов В.В., Шабунин А.В. Синхронизация хаотических осцилляторов посредством периодической модуляции коэффициента связи. Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, 1997, т.5, N1, стр.15-29.

200. Astakhov V., Shabunin A., Anishchenko V. Synchronization by chaos control in symmetrically coupled Chua's circuits. In: Proceedings of 5th International Specialist Workshop 'Nonlinear Dynamics of Electronic Systems", June 26-27, 1997, Moscow, Russia, pp.172-177.

201. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Shabunin A.V. Stabilization of inphase motions in symmetrically coupled oscillators by parametric per-

turbations. In: Proceedings of 1st International Conference 'Control of Oscillations and Chaos", August 27-29, 1997, v.2, pp.374-375, St. Petersburg, Russia.

202. Астахов В.В., Шабунин А.В., Анищенко B.C. Спектральные закономерности при формировании мультистабильности в связанных генераторах с удвоением периода. Радиотехника и электроника, 1997, том 42, N 8, с. 974-981.

203. Stefanski A., Kapitaniak Т., Brindley J., Astakhov V. Torus on-off intermittency in coupled Lorenz systems. Physical Review E, 1998, v.57, N 1, p.1175-1177.

204. Astakhov V., Shabunin A., Anishchenko V. Synchronization of self -oscillations by parametric excitation. Int. J. of Bif. and Chaos, 1998, v.8, N 7,

205. Astakhov V., Hasler M., Kapitaniak Т., Shabunin A., Anishchenko V. The effect of parameter mismatch on the mechanism of chaos synchronization loss in coupled systems. Physical Review E, 1998, v.58, N 5, p.5620.

206. Анищенко B.C., Астахов B.B., Николаев В.В., Шабунин А.В. Исследование хаотической синхронизации в системе симметрично связанных генераторов. Радиотехника и электроника, 1998 (в печати).

207. Usliio Т. Chaotic synchronization and controlling chaos based on contracting mappings.// Physical Letters, 1995, V. A 198, P.14-22.

208. Белых И.В. Синхронизация диффузионно связанных неавтономных хаотических маятников.// Известия ВУЗов, Радиофизика, 1995, Т. 38, N 1-2, С.69-73.

209. Tanaka Н.А., Lichtenberg A.J., Oishi S. Self-synchronization of coupled oscillators with hysteretic responses.// Physica, 1997, V. D 100, P.279-300.

210. Bunimovich L.A., Franceschini V., Giberti C., Vernia C. On stability of structures and patterns in extended systems.// Physica, 1997, V. D 103, P.412-418.

211. Rudzick О., Pikovsky A., Scheffczyk C., Kurths J. Dynamics of chaosorder interface in coupled map lattices. Physica, 1997, V. D 103, P.330-347.

212. Carr T.W., Schwartz I.B. Symmetry-breaking control of splay-phase states in globally coupled oscillators.// Physics Letters, 1997, V. A 227, P.41-46.

213. Konishi K., Kokame H. Control of chaotic systems using an on-line trained linear neural controller.// Physica, 1997, V. D 100, P.423-438.

214. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Spatial disorder and pattern formation in lattices of coupled bistable elements.// Physica, 1997, V. D 100, P.330-342.

215. Goryachev A., Chate H., Kapral R. Synchronization defects and broken symmetry in spiral waves.// Physical Review Letters, 1998, V.80, N4, P.873-876.

216. Matias M.A., Guemez J., Martin C. On the behavior of coupled chaotic systems exhibiting marginal synchronization. Physics Letters, 1997, V. A 226, P.264-268.

217. Yang Т., Yang L.B., Yang C.M. Impulsive synchronization of Lorenz systems.// Physics Letters, 1997, V, A 226, P.349-354.

218. John J.K., Amritkar R.E. Synchronization of unstable orbits using adaptive control.// Physical Review E, 1994, V.49, N6, P.4843-4848.

219. Sinha S. Unidirectional adaptive dynamics.// Physical Review E, 1994, V.49, N6, P.4832-4842.

220. Parlitz U., Ergezinger S. Robust communication based on chaotic spreading sequences.// Physics Letters, 1994, V. A 188, P.146-150.

221. Lathrop D.P., Kostelich E.J. Characterization of an experimental strange attractor by periodic orbits.// Physical Review, 1989, V. A 40, N7, P.4028-4031.

222. Шноль Э.Э. О синхронизации осцилляторов, взаимодействующих через среду.// ПММ, 1987, Т.51, N1, С.15-20.

223. Mensour В., Longtin A. Controlling chaos to store information in delay - differential equations.// Physics Leters, 1995, V. A205, P.18-24.

224. Kocarev L., Parlitz U. Synchronizing spatiotemporal chaos in coupled nonlinear oscillators.// Phys. Rev. Lett., 1996, V.77, N11, P.2206-2209.

225. Blekhman I., Landa P., Rosenblum M. Synchronization and chaoti-zation in interacting dynamical systems.// Appl. Mech. Rev., 1995, V.48, N11, P.733-752.

226. Galkin O. Resonance regions for Mathieu type dynamical systems on a torus.// Physica, 1989, V.39d, P.287-298.

227. Antoranz J., Rubio M., Torre M. Soft transition between type -I and -III intermittencies in nonlinear map.// Prog. Theor. Phys., 1989, V.81, P.544-548.

228. Schuster H., Wagner P. Mutual entrainment of two limit cycle oscillators with time delayed coupling.// Prog. Theor. Phys., 1989, V.81, P.939-945.

229. Yamane T., Yamada T., Fujisaka H. Scaling properties of characteristic exponents in a coupled - chaos systems.// Prog. Theor. Phys., 1988, V.80, N4, P.588-593.

230. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization in a population of globally coupled chaotic oscillators.// Europhysics Letters, 1996, V.34, N3, P.165-170.

231. Afraimovich V., Chow S., Hale J. Synchronization in lattices of coupled oscillators.// Physica, 1997, V.103D, P.442-451.

232. Biham O., Wenzel W. Characterization of unstable periodic orbits in chaotic attractors and repellers.// Phys. Rev. Lett., 1989, V.63, N8, P.819-822.

233. Chossat P., Golubitsky M. Symmetry - increasing bifurcation of chaotic attractors.// Physica, 1988, V.32D, N3, P.423-436.

234. Chate H., Manneville P. Spatiotemporal intermittency in coupled map lattices.// Physica, 1988, V.32D, N3, P.409-422.

235. Kaneko K. Spatiotemporal chaos in one- and two - dimensional coupled map lattices.// Physica, 1989, V.37D, P.60-82.

236. Varghese M., Thorp J. Truncated - fractal basin boundaries in forced pendulum systems.// Phys. Rev. Lett., 1988, V.60, N8, P.665-668.

237. Qammar H.K., Mossayebi F., Murphy L. Dynamical complexity arising in the adaptive control of a chaotic system.// Physics Letters, 1993, V.178A, P.279-283.

238. Hammel S., Jones C. Jumping stable manifolds for dissipative maps on the plane.// Physica, 1989, V.35D, P.87-106.

239. Wiesenfeld K., Hadley P. Attractor crowding in oscillator arrays.// Phys. Rev. Lett., 1989, V.62, P.1335-1338.

240. Gurevich A., Mints R., Pukhov A. Motion of a kink in a bistable medium with hysteresis.// Physica, 1989, V.35D, P.382-394.

241. Marcus C., Westervelt R. Stability of analog neural networks with delay.// Physical Review, 1989, V.39A, P.347-359.

242. Vastano J., Swinney H. Information transport in spatiotemporal systems.// Phys. Rev. Lett., 1988, V.60, N18, P.1773-1776.

243. Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.O. Storing and recognizing information based on stable cycles of one-dimensional maps.// Physics Letters, 1991, V.155A, P.494.

244. Kapitaniak T., Steeb W. Transition to hyperchaos in coupled generalized van der Pol equations.// Physics Letters, 1991, V.152A, P.33.

245. Pikovsky A.S., Chaotic wavefront propagation in coupled map lattices.// Physics Letters, 1991, V.156A, P.223.

246. Ding M., Ott E., Grebogi C. Controlling chaos in a temporally irregular environment.// Physica, 1994, V.74D, P.386-394.

247. Zhilin Q., Gang H. Spatiotemporally periodic states, periodic windows, and intermittency in coupled - map lattices.// Physical Review E, 1994, V.49, N2, P.1099-1108.

248. Yu Z., Steinshnider J., Littler C.L., Perez J.M., Kowalski J.M. Stabilization of quasiperiodic orbits for line-coupled diode resonator sys. terns.// Physical Review E, 1994, V.49, N1, P.220-226.