Экспериментальное исследование синхронизации квазипериодических и индуцированных шумом автоколебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Феоктистов, Алексей Владимирович

• Феоктистов, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Феоктистов, Алексей Владимирович

Содержание

Введение

Глава 1. Синхронизация квазипериодических колебаний

1.1. Экспериментальная установка

1.2. Синхронизация резонансного предельного цикла на торе в окрестности резонанса 1:1

1.3. Синхронизация резонансного предельного цикла на торе в окрестности резонанса 1:3

1.4. Выводы

Глава 2. Возбудимые шумом системы

2.1. Исследуемая система и ее математическая модель

2.2. Исследование когерентного резонанса

2.3. Внешняя синхронизация системы ФитцХью-Нагумо гармоническим сигналом в режиме когерентного резонанса

2.4. Взаимная синхронизация двух связанных

систем ФХН

2.5. Вынужденная синхронизация связанных осцилляторов ФитцХью-Нагумо в режиме когерентного резонанса внешним периодическим воздействием

2.6. Аттрактор стохастических колебаний и баланс энергии в системе ФХН

2.7. Выводы

Глава 3. Система ФитцХью-Нагумо под действием внешнего

периодического сигнала

3.1. Исследуемая система и ее математическая модель

3.2. Анализ динамики системы

3.3. Влияние порога генерации

3.4. Области различных периодических режимов на плоскости параметров

3.5. Выводы

Глава 4. Синхронизация индуцированных шумом колебаний в генераторе с жестким возбуждением

4.1. Исследуемая система

4.2. Экспериментальная установка

4.3. Когерентный резонанс в генераторе с жестким возбуждением

4.4. Синхронизация индуцированных шумом колебаний в генераторе с жестким возбуждением в режиме когерентного резонанса

4.5. Синхронизация автоколебаний в системе с двумя предельными

циклами

4.6. Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспериментальное исследование синхронизации квазипериодических и индуцированных шумом автоколебаний»

Введение

Синхронизация как фундаментальное нелинейное явление, детально исследованное в рамках классической теории колебаний [1, 2], остается и сегодня актуальной проблемой междисциплинарного характера [3-5]. В настоящее время продолжает интенсивно развиваться теория синхронизации хаотических колебаний [3-7] и синхронизация в системах с задержкой [8]. В вопросе об эффекте синхронизации периодических колебаний на сегодняшний день достигнута практически полная ясность. Однако в силу непонятных причин, из рассмотрения выпала проблема синхронизации квазипериодических колебаний. К этой проблеме обратились совсем недавно, тем не менее не все вопросы здесь решены на сегодня в достаточной степени.

Впервые задача о синхронизации квазипериодических колебаний была поставлена и частично решена в работах [9-11]. В частности, в работе [9] введена в рассмотрение новая модель генератора квазипериодических колебаний имеющая размерность N — 4. Модель [9] разрабатывалась с целью обеспечить возможность генерации устойчивых двухчастотных автоколебаний и реализации эффекта бифуркаций удвоения двумерного тора. Цель была достигнута, причем особенностью генератора [9] явилось то, что он имеет наименьшую размерность N = 4, при которой эффект удвоения тора возможен в принципе. Эта модель содержит в основе модифицированный генератор с инерционной нелинейностью (генератор Анищенко-Астахова [12, 13]), в обратную связь которого помещена дополнительная ШиС цепочка, обладающая собственным временным масштабом. Далее базовый генератор с инерционной нелинейностью для краткости будем называть ГИН. Благодаря ЯЬС цепочке происходит модуляция параметра возбуждения ГИНа, в следствии чего в такой системе реализуется мягкая бифуркация рождения двухчастотных незатухающих колебаний, которые с изменением параметров претерпевают

бифуркации удвоения. Посредством расчета спектра ляпуновских показателей, авторами было показано, что в модифицированном ГИНе бифуркация удвоения двумерного тора происходит мягким образом. Связав два модифи-цировнных ГИНа в начале однонаправленной, а затем и симметричной связью, авторы [9] показали, что в такой системе имеет место как частичная синхронизация, так и новое явление - захват числа вращения двумерного тора, а само явление синхронизации отличается от классического случая синхронизации предельного цикла. В работе [10] ГИН с ЯЬС цепочкой в цепи обратной связи, но уже под действием внешнего гармонического воздействия, используется для исследования синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе. Исследования проведены как с помощью численных, так и натурных экспериментов. Численный эксперимент проводился для резонанса кратности 1:4а радиофизический для кратности 1 : 3. В первом случае модулирующая частота была в четыре раза меньше несущей, соответственно во втором - в три раза. Таким образом, в случае резонанса на торе, частота несущей равнялась частоте одной из гармоник модулирующей частоты. Оба эксперимента показали одинаковые результаты, а именно: возможен захват только одной из частот, либо модулирующей, либо несущей частоты. Захват числа вращения не происходит. Причем эксперимент с захватом второй гармоники модулирующей частоты привел к таким же результатам.

Следующие численные эксперименты проводились на другой модели реализующей режим резонансного предельного цикла на двумерном торе, а именно системе двух связанных генераторов Ван дер Поля, имеющих небольшую частотную расстройку друг относительно друга [11]. Выбор такой модели был обусловлен тем, что в ГИНе с ЯЬС цепочкой разница между амплитудами несущей и модулирующей частот велика и не может быть изменена в необходимом диапазоне значений, невозможно реализовать режим резонанса 1:1, невозможно менять связь между подсистемами. Эксперименты показали, что

синхронизация резонансного предельного цикла происходит совершенно отличным от синхронизации обычного предельного цикла способом. В резонансном случае внешнее воздействие в начале разрушает режим взаимной синхронизации генераторов, а затем по очереди захватывает частоты первого и второго генераторов. Таким образом, бифуркационная диаграмма на плоскости параметров "частота-амплитуда" внешнего воздействия содержит помимо области полной синхронизации и двухчастотных колебаний еще и область трехчастотных колебаний. Также было показано, что переходу из области трехчастотных в область двухчастотных колебаний в двойном сечении Пуанкаре соответствует классическая седло-узловая бифуркация неподвижных точек. Т.е. впервые была найдена седло-узловая бифуркация двумерных торов на поверхности трехмерного.

В работе [14] синхронизация двух связанных генераторов Ван дер Поля анализируется аналитически в фазовом приближении. Установлено, что в основе бифуркационного механизма синхронизации двухчастотных колебаний лежит седло-узловая бифуркация двумерных торов, что соответствует седло-узловой бифуркации инвариантных замкнутых кривых в фазовом приближении. Аналитически рассчитанная бифуркационная диаграмма в работе [14] принципиально отличается от экспериментально полученной в работе [11] тем, что в ней переход от трехчастотных колебаний к полной синхронизации реализуется только через двухчастотные колебания, что соответствует захвату одной из собственных частот системы. Синхронизация квазипериодических колебаний связанных фазовых осцилляторов в случае, когда между собственными частотами осцилляторов существует небольшая расстройка, т.е не резонансный случай, исследован в работе [15]. Диагностика характерных режимов осуществлялась путем расчета ляпуновских показателей. Были построены бифуркационные диаграммы на плоскости "амплитуда-частота" внешнего воздействия. В работе [16] предложена новая модель для исследова-

ния квазипериодических колебаний, базирующаяся на релаксационном генераторе. Главная ее особенность состоит в минимальной размерности (N=3), в сравнении с модифицированным ГИНом и парой связанных генераторов Ван дер Поля. Синхронизация системы двух конкурирующих мод внешним гармоническим сигналом исследована в работе [17]. Исследованию синхронизации связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными параметрами посвящена работа [18].

Итак, в указанных выше работах все эксперименты по синхронизации в окрестности резонанса 1 : 1 проводились численно, с использованием ряда математических моделей систем, демонстрирующих квазипериодические колебания. Бифуркационные диаграммы на плоскости параметров "амплитуда-частота" внешнего воздействия, полученные для системы полных уравнений двух связанных генераторов Ван дер Поля [11] и уравнений этой же системы в фазовом приближении [14] имеют принципиальные отличия. По этой причине мы сочли целесообразным провести радиофизический эксперимент, который позволит исследовать синхронизацию резонансного предельного цикла на торе и построить бифуркационную диаграмму на плоскости параметров "частота-амплитуда" внешнего воздействия. Радиофизический эксперимент позволит исследовать синхронизацию в окрестности резонанса 1:3, что невозможно сделать в фазовом приближении. А это в свою очередь дает возможность распространить теорию синхронизации квазипериодических колебаний на случай резонансов т : п (т и п отличны от 1). В дополнении эксперимент позволит убедиться в бифуркационном механизме, обоснованном в работах [11, 14] .

Говоря о синхронизации, следует отметить, что это явление считается присуще исключительно автоколебательным системам, однако оказалось, что и индуцированные шумом колебания в возбудимой системе возможно синхронизовать[19, 20]. Интерес к возбудимым системам во многом обуслов-

лен задачами моделирования в нейродинамике [21]. Возбудимыми называют такие системы, воздействие на которые заставляет систему производить нелинейный отклик. Если величина стимула превышает некоторое пороговое значение, то отклик системы намного превышает величину стимула. Такой отклик носит название потенциала действия или спайка. Ярким представителем возбудимой системы является нейрон. Впервые достаточно адекватную модель нейрона ввели Ходжкин и Хаксли [22-24], изучая распространение потенциала действия в аксоне гигантского кальмара. Их работа в 1963 году была удостоена Нобелевской премии. Важный результат исследования Ходж-кина и Хаксли состоит в том, что модель нейрона представляет собой систему дифференциальных уравнений, что позволяет проводить исследования с помощью теории динамических систем. С этой точки зрения нейроны возбудимы, поскольку находятся на границе бифуркации между состоянием покоя и режимом непрерывной генерации спайков. Нахождение нейрона в состоянии покоя соответствует устойчивому состоянию равновесия на фазовом портрете. Малое воздействие вызывает лишь небольшое отклонение от состояния равновесия, называемое постсинаптическим потенциалом, после чего фазовая точка снова возвращается в устойчивое состояние равновесия. Большое (надпороговое) воздействие усиливается внутренней динамикой нейрона и, как результат, нейрон дает отклик в виде спайка. Спайк представляет незамкнутую траекторию в фазовом пространстве, так называемую псевдоорбиту, которая возвращается к единственному в системе устойчивому состоянию равновесия, в окрестность той точки, откуда она стартовала. Если же на нейрон подать значительно большее постоянное воздействие то он перейдет в режим непрерывной генерации спайков, а в фазовом пространстве системы появится устойчивый предельный цикл. Воздействие на такую систему шумом приводит к наблюдению новых явлений, таких как когерентный резонанс [25-29].

Ходжкин разделил модели нейронов на два класса. К первому классу он отнес возбудимые системы, в которых порог имеет четкую границу и определяется наличием в системе седлового состояния равновесия [30]. Переход из возбудимого режима в колебательный происходит через седло-узловую бифуркацию, в результате которой в фазовом пространстве системы псевдоорбита замыкается. Такие системы еще называют интеграторами. Второй класс представляют системы, которые еще называют резонаторами. В них как такового нет ярко выраженного порогового значения, а существует скорее некоторый набор пороговых величин, некоторая пороговая область. В таких системах переход к режиму непрерывной генерации спайков происходит через бифуркацию Андронова-Хопфа. Резонаторами такие системы называются по причине их чувствительности к периоду внешнего воздействия (стимула), что напоминает явление резонанса в колебательном контуре.

Модель нейрона Ходжкина-Хаксли описывается системой четырех дифференциальных уравнений первого порядка и имеет размерность фазового пространства равную четырем, что является несколько неудобным при исследовании. Заметив, что при некоторых фиксированных переменных качественная картина динамики системы не меняется, она была упрощена ФитцХью и Нагумо до размерности два и носит их имя [30-32]. Система ФитцХью-Нагу-мо (ФХН) стала классическим примером возбудимой системы и качественной модели нейрона. Её исследованию, так же как и исследованию других возбудимых систем, посвящено большое количество работ [33-41]. По классификации Ходжкина она относится к возбудимым системам второго класса.

Среди множества интересных с точки зрения нелинейной динамики эффектов, наблюдаемых в возбудимых системах, особый интерес для нас представляет когерентный резонанс. Явление когерентного резонанса проявляется в наличии оптимального уровня шума, при котором возбуждаемые этим шумом колебания в системе наиболее когерентны. Т. е. ширина спектральной

линии индуцированных колебаний на уровне половинной мощности, имеет минимальное значение. Когерентный резонанс особо интересен и тем, что колебания в возбудимых системах оказывается можно синхронизовать, причем, как с помощью внешней силы (вынужденная синхронизация), так и с использованием двух связанных систем (взаимная синхронизация) [19, 20, 35, 42]. Хотя хорошо известно, что синхронизация является типичным явлением исключительно для автоколебательных систем. Следовательно возбудимые системы можно рассматривать как автоколебательные, хотя они в принципе являются неавтономными.

С другой стороны между фазовыми портретами автоколебательной системы и системы ФитцХью-Нагумо в возбудимом режиме существует значительная разница. Система ФХН в возбудимом режиме не имеет устойчивого предельного цикла, только устойчивый фокус, в то время как автоколебательная система характеризуется наличием устойчивого предельного цикла. Тем не менее, колебания в режиме когерентного резонанса могут быть синхронизованы через захват частоты и обладают собственной частотой. Поэтому мы предлагаем называть траекторию описываемую изображающей точкой в фазовом пространстве системы ФХН индуцированным шумом предельным циклом.

Мы можем расширить наши представления о бифуркационном механизме синхронизации на случай синхронизации индуцированных шумом колебаний через захват частоты. Однако, если эти представления верны, тогда синхронизация индуцированных шумом колебаний более чем с одной основной независимой частотой в спектре, должна подчиняться тому же сценарию, что и в случае квазипериодических автоколебаний. Таким образом, возникает необходимость в проведении эксперимента по синхронизации двух связанных осцилляторов ФХН в режиме когерентного резонанса внешним периодическим воздействием. Этот эксперимент не только вскроет механизм такой син-

хронизации, что само по себе является новым, не исследованным объектом, но и позволит провести дополнительные аналогии между возбудимыми неавтономными и автоколебательными системами. Дополнительно нам потребуется рассмотреть вопрос об аттракторе возбудимой системы [43] и механизме подкачки в систему энергии.

Задачи анализа возбудимых систем, находящихся под внешним воздействием, возникают во многих биологических и физиологических приложениях [44-55]. Большинство работ по этому вопросу можно разделить на два типа. К первому относятся работы, в которых возбудимые системы исследуются под действием различного вида шума, преимущественно белого гауссова. В работах второго типа воздействие на возбудимые системы осуществляется периодическим сигналом, преимущественно в виде последовательности импульсов. Именно с помощью воздействия последовательностью прямоугольных импульсов демонстрируются многие свойства возбудимых систем. Варьируя амплитуду импульса, можно показать существование порога, разделяющего режим непрерывной генерации спайков и возбудимый режим, а изменением скважности импульсов, легко продемонстрировать существование времени невосприимчивости возбудимой системы к внешнему воздействию [30]. Воздействие на систему ФитцХью-Нагумо последовательностью импульсов также представляет интерес в связи с исследованиями динамики клеток сердца [30, 56]. В работе [47] проведен подробный анализ возбудимых систем, в частности и системы ФитцХью-Нагумо, под действием внешнего периодического воздействия, представленного, как последовательностью импульсов, так и синусоидальным сигналом. В отличие от данной работы воздействие осуществлялось на медленную переменную системы. Построены области ре-зонансов на плоскости "амплитуда - частота" внешнего воздействия. Поскольку подавляющее большинство работ посвящено случаю когда внешнее воздействие представляет импульсы, как одиночные так и последовательности, ин-

тересным становится вопрос, как меняется динамика системы в зависимости от формы сигнала воздействия. Также большой интерес представляет выявление особенностей поведения системы в зависимости от параметров внешнего воздействия таких как амплитуда и частота. Анализ изоклин системы ФитцХью-Нагумо приводит к выводу, что наличие расстояния до порога генерации в системе ведет к значительному обогащению карты режимов на плоскости параметров, что подтверждается экспериментально [57]. Детальное исследование синусоидального воздействия на систему ФХН позволит перейти к рассмотрению воздействия уже амплитудно-модулированным сигналом, что еще в большей степени усложняет динамику, а отклик системы на такое воздействие открывает возможность в преобразовании АМ сигнала в последовательности групп спайков, что представляется возможным использовать в кодировании сигналов [55]. Периодическое воздействие на возбудимые системы не только служит мощным способом изучения таких систем и выявления их особенностей, но и открывает новые возможности использования возбудимых систем.

Понять динамику возбудимых систем легче, если рассматривать по-отдель-ности поведение ее подсистем [32]. Так, при рассмотрении системы ФХН зафиксировав медленную переменную, получим горизонтальную линию в фазовом пространстве системы, которую можно рассматривать как фазовую линию укороченной системы с единственной переменной (быстрая переменная в полной системе). Эта фазовая линия проходит через состояние равновесия и имеет три особых точки в местах пересечения с N - образной нульклиной. Средняя точка является неустойчивой (седловой) и определяет пороговое явление. Другие две - устойчивая "возбудимая" точка слева и устойчивая "неподвижная" точка справа, в которой пребывает фазовая точка в отсутствии внешнего воздействия (состояние равновесия). Смещение фазовой точки (внешним воздействием) от состояния равновесия в область левее

неустойчивой точки вызывает возбуждение в укороченной системе, а фазовая точка стремится к "возбудимой" устойчивой точке. Но затем (снова рассматривая полную систему) из-за изменения быстрой переменной медленная переменная, вступает в роль, в результате чего фазовая линия начинает двигаться вверх до тех пор, пока "возбудимая" устойчивая точка и неустойчивая точка не встретятся и не исчезнут. Тогда в укороченной системе фазовая точка быстро стремится к единственной оставшейся "неподвижной" особой точке справа. И в конце, медленная переменная уже медленно уменьшается, а фазовая точка возвращается в исходное состояние равновесия.

Теперь рассмотрим структуру фазового пространства генератора с жестким возбуждением. Далее будем его называть системой с двумя предельными циклами. Для некоторых значений параметров, его фазовое пространство содержит устойчивый фокус в начале координат, устойчивый предельный цикл и неустойчивый (седловой) предельный цикл, разделяющий два устойчивых режима. Заметно, что такая структура схожа со структурой системы ФХН с зафиксированной медленной переменной, но в отличие от последней не обладает медленной (возвращающей) переменной. Пусть фазовая точка находится на устойчивом фокусе. Подадим на систему внешний импульс и если он окажется больше расстояния до неустойчивого цикла (пороговое значение), то фазовая точка "перепрыгнет" на устойчивый предельный цикл и будет там находиться. Поскольку система не обладает "возвращающей" переменной, то фазовая точка будет пребывать на устойчивом цикле, пока новое внешнее воздействие, по величине большее расстояния между устойчивым и неустойчивым циклами, не перекинет ее обратно. Получается, что если осуществить в системе возвращающую силу, т.е. добавить в систему "медленную" переменную, подобно той, что существует в системе ФитцХью - Нагумо, то такой генератор превратиться в автономный генератор квазипериодических колебаний. Одну частоту задает устойчивый предельный цикл в системе, вторую -

перескоки с цикла на фокус и обратно. Эта идея была осуществлена авторами работы [16]. Другая интересная идея - шумовое воздействие на систему с жестким возбуждением. Если характеристики шума таковы, что любые значения его интенсивности имеют ненулевую плотность вероятности, получается что в такой системе должен наблюдаться эффект когерентного резонанса. Поскольку неустойчивый предельный цикл будет осуществлять пороговое действие, а шум - возвращающее действие. И действительно, в системе с двумя предельными циклами наблюдается явление когерентного резонанса. В работе [58] проводилось сравнение между когерентными резонансами в системах с суперкритической и субкритической бифуркациями Андронова-Хопфа и было установлено что в случае субкритической бифуркации (жесткое возбуждение) когерентный резонанс является истинным. Т.е. происходит сужение спектральной линии индуцированных колебаний, а не только увеличение ее амплитуды. Вопросы связанные с когерентным резонансом в системах с жестким возбуждением возникают в полупроводниковых лазерах [58]. Индуцированное когерентное движение наблюдалось также в отображения Фейгенба-умана и системе Реслера [59], системе ФитцХью-Нагумо с кусочно-линейной характеристикой [60], моно и бистабильных нелинейных системах [61, 62].

Особенностью индуцированных шумом колебаний в возбудимых системах является возможность их синхронизации [19, 20, 35, 37, 42, 57]. Продолжая аналогию с возбудимыми системами, встает вопрос о синхронизации стохастических колебаний в системе с двумя предельными циклами. По этой причине становится актуальным проведение эксперимента по исследованию когерентного резонанса и явлений синхронизации в генераторе с жестким возбуждением. Последний вопрос до настоящей работы оставался не исследованным.

Анализ колебаний генератора с жестким возбуждением в режиме когерентного резонанса приводит нас к задаче о его синхронизации внешним пе-

риодическим сигналом в отсутствии шума. Как оказалось, до работы [63] эта тема практически не изучалась. Авторами [63] был проведен анализ укороченного уравнения Ван дер Поля - Дуффинга, который показал, что синхронизация в системе может происходить как на устойчивых, так и на неустойчивых циклах. Соответственно, на плоскости параметров нормированная амплитуда - частота воздействия имеются две области синхронизации, а также области, в которых сосуществуют устойчивый и неустойчивый циклы. Укороченные уравнения могут иметь до пяти неподвижных точек [63], что предопределяет возможность новых нелокальных бифуркаций вблизи точек сборок. В системе пять управляющих параметров, и она может демонстрировать бифуркации высокой коразмерности, в том числе катастрофу "ласточкин хвост". При анализе плоскости параметров укороченного уравнения особое внимание авторами было уделено окрестности точки катастрофы. Такое богатство динамики создает интерес в проведении экспериментального исследования синхронизации в системе с двумя предельными циклами в отсутствии внешнего шумового воздействия.

Целью диссертационной работы являлся экспериментальный анализ механизмов и особенностей вынужденной и взаимной синхронизации квазипериодических и индуцированных шумом автоколебательных процессов.

Для достижения поставленной цели, в рамках диссертационного исследования, необходимо было решить следующие основные задачи:

1. Провести исследование по синхронизации резонансного предельного цикла на торе внешним гармоническим воздействием. Для этого необходимо разработать схему и создать саму установку, а также разработать программное обеспечение на основе комплекса Lab VIEW для сбора и анализа экспериментальных данных.

2. Исследовать сценарий синхронизации в системе двух связанных осцилляторов ФХН в режиме когерентного резонанса внешним гармоническим сигналом. Разработать схему и создать экспериментальную установку, модифицировать программный комплекс для сбора данных, созданный на первом этапе.

3. Рассмотреть вопросы об аттракторе системы ФитцХью - Нагумо и способе подкачки в нее энергии.

4. Исследовать динамику системы ФХН под действием внешнего синусоидального сигнала. Провести эксперименты по определению влияния расстояния до порога генерации в системе на карту режимов на плоскости параметров "амплитуда - частота" воздействия.

5. Исследовать особенности когерентного резонанса в системе с двумя предельными циклами, а так же провести эксперименты по синхронизации колебаний в режиме когерентного резонанса в такой системе. Для этого необходимо разработать схему и создать установку. Модифицировать программный комплекс для сбора данных, созданный на первом этапе.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертационной работы, проводится краткий обзор известных результатов, определяются цели исследования, ставятся основные задачи и формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе проводится экспериментальное исследование по синхронизации резонансного предельного цикла на торе внешним гармоническим воздействием. Рассматривается способ реализации режима резонансного цикла на торе за счет взаимодействия двух генераторов типа Ван дер Поля. При-

водятся бифуркационые диаграммы и обосновывается наличие касательных бифуркаций.

Во второй главе описывается сценарий синхронизации связанных осцилляторов ФХН в режиме когерентного резонанса внешним гармоническим воздействием. Проводятся аналогии между неавтономными возбудимыми и автоколебательными системами. Рассматривается вопрос об аттракторе системы ФХН и способе подкачки в нее энергии. Рассматриваются схемотехнические вопросы по созданию экспериментальной установки для проведения исследований.

В третьей главе исследуется динамика системы ФХН под воздействием синусоидального сигнала. Строится карта режимов на плоскости параметров "амплитуда - частота" внешнего воздействия. Обсуждается вляние порога на динамику системы.

В четвертой главе рассматривается радиофизическая модель генератора с жестким возбуждением. Исследуется явление когерентного резонанса в такой системе и его особенности. Проводится эксперимент по вынужденной синхронизации колебаний в режиме когерентного резонанса. Также исследуется синхронизация в системе с двумя предельными циклами в отсутствии шума.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Материал диссертационной работы изложен на 135 страницах, содержит 52 иллюстрации и список цитируемой литературы из 66 наименований.

Научная новизна результатов диссертационной работы определяется следующим:

1. Впервые в физическом эксперименте исследован бифуркационный механизм явления внешней синхронизации предельного цикла на двумерном

торе гармоническим воздействием.

2. Впервые в физическом эксперименте продемонстрирован механизм синхронизация двух связанных осцилляторов ФХН в режиме когерентного резонанса внешним периодическим воздействием и построена бифуркационная диаграмма на плоскости параметров "амплитуда - частота" воздействия.

3. Экспериментально установлено, что в системе ФХН наличие расстояния до порога генерации позволяет системе "различать" не только частоту, но и амплитуду внешнего воздействия, в следствие чего появляются дополнительные области резонансов.

4. В физическом эксперименте установлено, что в генераторе с жестким возбуждением после бифуркации рождения предельных циклов в режиме когерентного резонанса существует набор оптимальных значений интенсивности шума, при котором степень когерентности колебаний максимальна.

5. Впервые продемонстрирована возможность синхронизации индуцированных шумом колебаний в генераторе с жестким возбуждением до бифуркации рождения предельных циклов и выявлена структура области синхронизации.

6. Впервые в физическом эксперименте проведено исследование синхронизации в системе с двумя предельными циклами после бифуркации рождения предельных циклов в режиме когерентного резонанса и выявлена структура области синхронизации.

7. В физическом эксперименте проведено исследование синхронизации в генераторе с жестким возбуждением в отсутствии внешнего шумового

воздействия и подтверждено отличие структуры областей синхронизации от классического случая синхронизации в генераторе Ван дер Поля.

Достоверность научных выводов работы подтверждается взаимным соответствием результатов радиофизического эксперимента, результатов численного анализа и моделирования, а также аналитических результатов.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Возбудимые шумом незатухающие колебания в неавтономных системах типа ФитцХью-Нагумо и генератор Ван дер Поля с жестким возбуждением до бифуркации рождения предельных циклов (отсутствие генерации) реализуют режим автоколебаний, которые не зависят от начальных условий и демонстрируют эффект внешней и взаимной синхронизации.

2. Эффект вынужденной синхронизации связанных возбудимых осцилляторов ФитцХью-Нагумо характеризуется тем же бифуркационным механизмом, который имеет место при внешней синхронизации предельного цикла на двумерном торе в системе двух связанных генераторов Ван дер Поля.

3. Внешняя синхронизация индуцированных шумом автоколебаний в генераторе с жестким возбуждением в режиме когерентного резонанса характеризуется асимметрией области синхронизации. Результатом является возможность реализации эффекта синхронизации как через захват частоты, так и через подавление колебаний при постоянстве амплитуды внешнего сигнала и вариации его частоты.

Научно-практическая значимость результатов. Научные результаты, представленные в диссертационной работе, существенно развивают и

дополняют представления современной радиофизики и теории колебаний. Понятие автоколебательной системы в данной работе расширяется на случай неавтономных возбудимых систем, находящихся под действием шума. Результаты экспериментов по синхронизации квазипериодических автоколебаний не только существенно дополняет современную теорию колебаний в рамках теории синхронизации, но имеют и практическую ценность, поскольку позволяют определить наличие многочастотных колебаний в системе. Результаты экспериментов с возбудимыми системами обосновывают введение таких новых понятий как индуцированные шумом предельные циклы и торы, что в свою очередь дает новое направление в исследовании бифуркаций. Исследования синхронизации системы с двумя предельными циклами как с шумом так и без, значительно дополняют представления теории синхронизации. Работа выполнена при поддержке CRDF и Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (соглашение № 14.В37.21.0751)

Апробация работы и публикации. Результаты научных исследований по теме диссертационной работы были представлены на следующих научных конференциях:

• Научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов, 2009);

• Международная школа-семинар "Статистическая физика и информационные технологии" (STATINFO-2009) (Саратов, 2009);

• Международная школа-конференция "Нелинейная динамика в электронных системах" (Nonlinear Dynamics in Electronic Systems) (Швейцария, Рапперсвиль, 2009);

• Международная школа-конференция «Хаотические автоколебания и об-

разование структур» (Саратов, 2010);

• Всероссийской конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нано-фотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2011);

• Научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов, 2012);

а также на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ.

По теме диссертационной работы в международной и российской печати опубликовано 12 работ (5 статей в периодический изданиях, входящих в Перечень ВАК, 5 статей в сборниках трудов конференций и 1 публикация в сборнике тезисов докладов на конференции, 1 статья в книге).

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Феоктистов, Алексей Владимирович

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. В области, обозначенной Г3, неавтономная система двух связанных генераторов Ван дер поля характеризуется квазипериодическими колебаниями с тремя независимыми частотами Д, /2. Выход из областей Т3 в области Т2 характеризуется возникновением двумерного тора как частичного резонанса на трехмерном торе. Частичный резонанс отвечает эффекту захвата одной из парциальных частот. Здесь возможны случаи: ¡ех = Д и /2 ± Л, либо /ех = /2 и Д ф /2. Имеет место частичная синхронизация. Переход из областей Т2 в область резонансного предельного цикла отвечает режим установления устойчивых периодических движений. Рождается устойчивый предельный цикл, лежащий на поверхности двумерного тора, который, в свою очередь, лежит на поверхности трехмерного тора. Этому передельному циклу отвечает режим полной синхронизации, при котором внешний сигнал захватывает обе частоты парциальных генераторов (/еа; = Д = /2).

2. При входе в область трехчастотных колебаний Т3 происходит мгновенное возникновение третьей частоты с ненулевой амплитудой в спектре и без гистерезиса, что подтверждает наличии седло-узловой бифуркации инвариантных двумерных торов — седлового и устойчивого, лежащих на поверхности трехмерного тора.

3. Переход из области Т2 в область полной синхронизации сопровождается седло-узловой бифуркацией предельных циклов, лежащих на поверхности двумерного тора. Сгущение точек в стробоскопическом сечении и сгущение траекторий на фазовой плоскости в окрестности рождения устойчивого предельного цикла и разряжение траекторий и точек в стробоскопическом сечении в окрестности рождения неустойчивого (седлового) предельного цикла непосредственно перед бифуркацией, явно об этом свидетельствуют.

4. Результаты радиофизического эксперимента по синхронизации предельного цикла на двумерном торе в окрестности резонанса 1 : 3 позволяют распространить выводы теории фазовой синхронизации на случаи ре-зонансов кратности, отличной от 1 : 1. Построенная по результатам эксперимента бифуркационная диаграмма для области резонанса 1 : 3 качественно повторяет полученную для резонанса 1:1.

5. Полученные данные об аттракторе возбудимых шумом колебаний в системе ФитцХью-Нагумо, механизме подкачки и диссипации энергии в системе, а также наличие средней частоты в спектре мощности, позволяют ввести понятие индуцированного шумом предельного цикла, как образа индуцированных шумом колебаний в фазовом пространстве системы ФХН.

6. В результате эксперимента над неавтономной системой связанных осцилляторов ФХН в режиме когерентного резонанса были получены следующие результаты. Бифуркационная диаграмма, построенная на плоскости параметров амплитуда-частота внешнего воздействия топологически эквивалента такой же бифуркационой диаграмме, но построенной для неавтономной системы двух связанных генераторов Ван дер Поля. Это значит, что мы можем распространить представления о синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе внешним периодическим воздействием на случай неавтономных возбудимых систем.

7. Колебания в области Т3 неавтономной системы двух связанных осцилляторов ФХН в режиме когерентного резонанса характеризуются тремя независимыми частотами, в фазовом пространстве индуцированный шумом трехмерный тор. Выход в область Т2 соответствует либо захвату частоты одного из осцилляторов внешним периодическим воздействием, либо синхронизации между осцилляторами. В этом случае в спектре мощности наблюдаются две независимые частоты, а в фазовом пространстве двумерный индуцированный шумом тор. Область С соответствует режиму полной синхронизации, когда оба осциллятора захвачены внешним периодическим воздействием, а в фазом пространстве системы наблюдается индуцированный шумом предельный цикл.

8. Таким образом приведенные выше результаты позволяют сделать важный вывод: неавтономный режим функционирования системы ФХН реализует автоколебательный процесс, преобразуя энергию источника в режим незатухающих почти периодических колебаний, независимо от начальных условий. Роль шума заключается в том, что под действием флуктуаций система "выбивается" из устойчивого состояния равновесия в область фазового пространства, где включается нелинейный процесс подкачки энергии, приводящий к автоколебаниям.

9. Полученные в эксперименте результаты свидетельствуют о том, что внешнее периодическое воздействие для системы ФХН можно рассматривать, как способ управления этой системой. Задав параметры (амплитуду и частоту) внешнего воздействия возможно получить точно заданное число спайков, либо сформировать последовательность групп спайков.

10. Выявлено существенное влияние на динамику системы величины расстояния до порога генерации. Наличие порога генерации позволяет системе "различать" форму сигнала внешнего воздействия. Синусоидальная форма сигнала внешнего воздействия определяет количественные изменения в числе спайков при изменении амплитуды внешнего воздействия. Построена карта режимов на плоскости "амплитуда - частота" внешнего воздействия.

11. Выявлено, что при превышении амплитудой сигнала воздействия размеров области генерации, т.е. при выходе за "дальнюю" границу этой области, происходит деление каждой группы в последовательности спайков на две равные группы. В каждой такой группе при дальнейшем увеличении амплитуды внешнего воздействия происходит уменьшение числа спайков.

12. Определены точные границы области генерации для системы ФитцХью-Нагумо и их зависимость от управляющих параметров, а также от характеристики нелинейного элемента. Границы области генерации не могут превышать координаты экстремумов N характеристики нелинейного элемента и лишь в предельном случае совпадают с ними. В радиофизических системах область генерации всегда меньше расстояния между экстремумами, причем чем больше активное сопротивление в цепи, тем эта область меньше.

13. Экспериментально установлено, что в неизохронном генераторе с жестким возбуждением наблюдается явление когерентного резонанса. До бифуркации рождения предельных циклов, т.е. когда в системе существует единственное состояние равновесия (устойчивый фокус) когерентный резонанс проявляется в существовании одного оптимального значения интенсивности шума, подобно возбудимым системам. После бифуркации, когда в систему существуют три состояния равновесия устойчивый и неустойчивый предельные циклы, устойчивый фокус) особенностью когерентного резонанса является существование целого набора (множества) оптимальных значений интенсивности шума.

14. Исследование синхронизации индуцированных шумом колебаний в системе с двумя предельными циклами не только показало существование возможности синхронизовать такие колебания, причем не только после бифуркации рождения циклов, но и до нее. Области синхронизации на плоскости параметров амплитуда - частота внешнего воздействия отличаются от классического случая с одним предельным циклом в системе. Области синхронизации ассиметричны. Для небольших значений расстройки по частоте при /ех < /о наблюдается захват частоты, как и предсказывает классическая теория, а для значений /ех > /о области синхронизации через захват не существует, либо она настолько мала, что в эксперименте мы ее не можем наблюдать, а синхронизация происходит через подавление, что отличается от классической теории.

15. Эксперименты по синхронизации в системе с двумя предельными циклами в отсутствии шума, так же показали, что области синхронизации ассиметричны и отличаются, как от классических, так и тех, что построены для системы в режиме когерентного резонанса, т.е. при наличии шума. Но в отличие от последних при /ех > /о, область синхронизации через захват существует, но в разы меньше, чем та же область для /ех < /о- Используя неизохронность системы, было определено, что область синхронизации неустойчивого предельного цикла находится правее (выше по частоте) области синхронизации устойчивого предельного цикла на плоскости параметров амплитуда - частота воздействия.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Феоктистов, Алексей Владимирович, 2013 год

Литература

1. Hayashi С. Nonlinear Oscillations in Physical Systems. New York: McGraw-Hill Company, 1964.

2. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. Москва: Наука, 1971.

3. Pikovsky А., Rosenblum М., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

4. Balanov A., Janson N., Postnov D., Sosnovtseva 0. Synchronization: From Simple to Complex. Springer, 2008.

5. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Neiman A.B. et al. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Tutorial and Modern Development. Berlin: Springer, 2007.

6. Mosekilde E., Maistrenko Y., Postnov D. Chaotic Synchronization. Applications to Living Systems. World Scientific, 2002.

7. Rosenblum M., Pikovsky A., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators // Physical Review Letters. 1996. Vol. 76. Pp. 1804-1807.

8. Рыскин H.M., Усачева С.А. Синхронизация периодических колебаний автогенератора с запаздыванием внешним гармоническим сигналом // Изв. вузов ПНД. 2009. Т. 17, № 1. С. 3-12.

9. Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. Winding number locking on a two-dimensional torus: synchronization of quasiperiodic motions // Physical Review E. 2006. Vol. 73. P. 056202.

10. Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. Peculiarities of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Physical Review E. 2007. Vol. 76. P. 046216.

11. Anishchenko V., Nikolaev S.. Kurths J. Bifurcational mechanisms of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Chaos. 2008. Vol. 18, no. 3. P. 037123.

12. Анищенко B.C., Астахов В.В. Экспериментальное исследование механизма возникновения и структуры странного аттрактора в генераторе с инерционной нелинейностью // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, № 6. С. 1109-1115.

13. B.C. Анищенко. Сложные колебания в простых системах. Наука, 1990.

14. Anishchenko V., Astakhov S., Vadivasova Т. Phase dynamics of two coupled oscillators under external periodic force // Europhysics Letters. 2009. Vol. 86. P. 30003.

15. Кузнецов А.П., Сатаев И.P., Тюрюкина Л.В. Синхронизация квазипериодических колебаний связанных фазовых осцилляторов // Письма в ЖТФ. 2010. Т. 36, № 10. С. 73-80.

16. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Станкевич Н.В. Автономный генератор квазипериодических колебаний // Изв. вузов ПНД. 2010. Т. 18, № 2. С. 51-61.

17. Перегородова Е.Н., Рыскин Н.М., Усачева С.А. Синхронизация системы двух конкурирующих мод внешним гармоническим сигналом // Изв. вузов ПНД. 2011. Т. 19, № 2. С. 128-140.

18. Кузнецов А.П., Емельянова Ю.П., Селезнев Е.П. Синхронизация связанных автоколебательных осцилляторов с неидентичными параметрами // Изв. вузов ПНД. 2010. № 2. С. 62-78.

19. Neiman A., Schimansky-Geier L., Cornell-Bell A., Moss F. Noise-enhanced phasesynchronization in excitable media // Phys.Rev.Lett. 1999. Vol. 83(23). Pp. 4896-4899.

20. Han S.K., Yim T.G., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V. Interacting coherence resonance oscillators // Phys.Rev.Lett. 1999. Vol. 83. Pp. 1771-1774.

21. Izhikevich E.M. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. The MIT Press, Cambridge, MA., 2007.

22. Hodgkin A.L. Measurements of Current-Voltage Relations in the Membrane of the Giant Axon of Loligo // Jour. Physiol. 1952. Vol. 116. Pp. 428-48.

23. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A Quantitative Description of Membrane Current and Its Application to Conduction and Excitation in Nerve // Jour. Physiol. 1952. Vol. 117. Pp. 500-544.

24. Hodgkin A.L., Huxley A.F., Katz B. Ionic Currents Underlying Activity in the Giant Axon of the Squid // Arch. Sci. Physiol. 1949. Vol. 3. Pp. 129-150.

25. Pikovsky A.S., Kurths J. Coherence Resonance in a Noise-Driven Excitable System // Phys.Rev.Lett. 1997. Vol. 78. Pp. 775-778.

26. Linder В., Schimansky-Geier L. Analitical approach to the stochastic FitzHugh-Nagumo system and coherence resonance // Phys.Rev.E. 199. Vol. 60(6). Pp. 7270-7276.

27. Longtin A. Stochastic resonance in neuron models //J. Stat. Phys. 1993. Vol. 70. Pp. 309-327.

28. Сецинский Д.В., Постнов Д.Э. Индуцированная шумом когерентность в возбудимой системе с частотно-зависимой обратной связью // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, № 7.

29. DeVille R.E.L., Vanden-Eijnden Е., Muratov С.В. Two distinct mechanisms of coherence in randomly perturbed dynamical systems // Phys.Rev.E. 2005. Vol. 72.

30. FitzHugh R. Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane // Bull. Math. Biophysics. 1955. Vol. 17. Pp. 257-278.

31. FitzHugh R. Thresholds and Plateaus in the Hodgkin-Huxley Nerve Equations // The Jurnal of General Physiology. 1960. Vol. 43. Pp. 867-896.

32. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophysical Journal. 1961. Vol. 1. Pp. 445-466.

33. Baltanas J.P., Casado J.M. Bursting behaviour of the FitzHugh-Nagumo neuron model subject to quasi-monochromatic noise // Phys. D. 1998. Vol. 122, no. 1. Pp. 231-240.

34. Cizak M., Mirasso C.R., Toral R., Calvo O. Predict-prevent control method for perturbed excitable systems // Phys.Rev.E. 2009. Vol. 79. Pp. 046203-(l-5).

35. Cizak M., Marino F., Toral R., Balle S. Dynamical Mechanism of Anticipating Synchronization in Excitable Systems // Phys. Re v. Lett. 2004. Vol. 93, no. 11. Pp. 114102—(1—4).

36. Cizak M., Calvo O., Masoller C. et al. Anticipating the Response of Excitable Systems Driven by Random Forcing // Phys.Rev.Lett. 2003. Vol. 90, no. 20. Pp. 204102-(l-4).

37. Cizak M., Mirasso C.R., Toral R. Coupling and Feedback Effects in Excitable Systems: Anticipated Synchronyzation // Mod. Phys. Lett. B. 2004. Vol. 18, no. 23. Pp. 1135-1155.

38. Baier G., Muller M. Excitable chaos in diffusively coupled FtzHugh-Nagumo equations // Revista Mexicana De Fisica. 2004. Vol. 50(5). Pp. 422-426.

39. Dikansky A. FitzHugh-Nagumo equations in a nonhomogeneous medium // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2005. Pp. 216-224.

40. Jones C.K.R.T. Stability of the Travelling Wave Solution of The FitzHugh-Nagumo System // Trans, of the Amer. Math. Soc. 1984. Vol. 286, no. 2. Pp. 431-469.

41. Brandao A.J.V., Fernandez-Car a E., Magalhaes P.M.D., Rojas-Medar M.A. Theoretical Analysis and Control Results for the FitzHugh-Nagumo Equation // El. Jour, of Diff. Eq. 2008. Vol. 2008, no. 164. Pp. 1-20.

42. Ни В., Zhou Ch. Phase syncronization in coupled nonidentical excitable systems and array- enhanced coherence resonance // Phys.Rev.E. 2000. Vol. 61, no. 2. Pp. R1001-R1004.

43. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Стрелкова Г.И. Автоколебания динамических и стоха- стических систем и их матемематический образ-аттрактор // Нелинейная динамика. 2010. Т. принята к печати.

44. Yanagita Т., Nishiura Y., Kobayashi R. Signal propagation and failure in one-dimensional FitzHugh-Nagumo equations with periodic stimuli // Phys.Rev.E. 2005. Vol. 71. P. 036226.

45. Gong P.-L., Xu J.-X. Global dynamics and stochastic resonance of the forced FitzHugh-Nagumo neuronal model. // Phys.Rev.E. 2001. Vol. 63. P. 031906.

46. Coombes S., Osbaldestin A.H. Period-adding bifurcation and chaos in periodically stimulated excitable neuronal relaxation oscillator // Phys.Rev.E. 2000. Vol. 62, no. 3. Pp. 4057-4066.

47. Alexander J.C., Doedel E.J., Othmer H.G. On the resonance structure in a forced excitable system. // J. Appl. Math. 1990. Vol. 50, no. 5. P. 13731418.

48. Othmer H.G., Xie M. Subharmonic resonance and chaos in forced excitable systems // J.Math.Biol. 2006. Vol. 39. Pp. 139-171.

49. Lee S.-G., Seunghwan K. Bifurcation analysis of mode-locking structure in a Hodgkin-Haxley neuron under sinusoidal current // Phys.Rev.E. 2006. Vol. 73, no. 041924.

50. Othmer H.G., Xie M., Watanabe M. Resonance in excitable systems under step-function forcing. Subharmonic solutions and persistence // Phys. D. 1996. Vol. 98. Pp. 75-110.

51. Cytrynbaum E.N. Periodic stimulus and the single cardiac cell-getting more out of ID maps // J. of Theor. Biol. 2004. Vol. 229. Pp. 69-83.

52. Watanabe M. On resonance in periodically forced oscillators and coupled systems of excitable systems and nonlinear oscillator // Journal of the Faculty of Environmental Science and Technology. 1996. Vol. 1, no. 1. Pp. 55-64.

53. Wang H., Wang L., Yu L., Chen Y. Response of Morris-Lecar neurons to various stimuli // Phys.Rev.E. 2011. Vol. 83. P. 021915.

54. Borkowski L.S. Bistability and resonance in the periodically stimulated Hodgkin-Huxley model with noise // Phys.Rev.E. 2011. Vol. 83. P. 051901.

55. Tang Y., Othmer H. Frequency encoding in excitable systems with

applications to calcium oscillations // Proc. Natl. Acad Sci. USA 92. 1995. Vol. 92. Pp. 7869-7873.

56. Continuation and bifurcation analyses of a periodically forced slow-fast system, marc, 2009.

57. Анищенко B.C., Астахов С.В., Вадивасова Т.Е., Феоктистов А.В. Численное и экспериментальное исследование внешней синхронизации двухча-стотных колебаний // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 2. С. 237-252.

58. Ushakov O.V., Wunsche H.-J., Henneberger F. et al. Coherence Resonance Near a Hopf Bifurcation // Phys.Rev.Lett. 2005. Vol. 95. Pp. 123903-1-4.

59. Neiman A., Saparin P., Stone L. Coherence resonance at noisy precursors of bifurcations in nonlinear dynamical systems // Phys.Rev.E. 1997. Vol. 56. P. 270.

60. Linder В., Schimansky-Geier L. Coherence and stochastic resonance in a two-state system // Phys.Rev.E. 2000. Vol. 61. P. 6103.

61. Hu G., Ditzinger Т., Ning C.Z., Haken H. Stochastic resonance without external periodic force // Phys.Rev.Lett. 1993. Vol. 71. P. 807.

62. Ditzinger Т., Ning C.Z., Hu G. Resonancelike responses of autonomous nonlinear systems to white noise // Phys.Rev.E. 1994. Vol. 50. P. 3508.

63. Кузнецов А.П., Милованов С.В. Синхронизация в системе с бифуркацией слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов // Изв. вузов ПНД. 2003. Т. И, № 4-5. С. 16-30.

64. Анищенко B.C., Николаев С.М., Курте Ю. Механизмы синхронизации предельного цикла на двумерном торе // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4, № 1. С. 39-56.

65. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Наука, 1981.

66. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. Мир, 1986.