Эффекты синхронизации во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Стальмахов, Петр Андреевич

• Стальмахов, Петр Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стальмахов, Петр Андреевич

Введение

1 Синхронизация и фазовая мультистабильность во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода

1.1 Введение.

1.2 Исследуемая система связанных бистабильных отображений

1.3 Синфазная синхронизация хаоса.

1.4 Бифуркационные механизмы разрушения полной синфазной синхронизации хаоса.

1.5 Бифуркационные механизмы формирования мультистабильности в окрестности синфазного подпространства.

1.6 Полная противофазная синхронизация

1.7 Формирование мультистабильности в окрестности антисимметричного подпространства.

1.8 Выводы.

2 Управляемая противофазная синхронизация хаоса

2.1 Введение.

2.2 Управляемая противофазная синхронизация хаоса.

2.3 Бифуркационный механизм потери управляемой противофазной синхронизации хаоса при симметричной дополнительной обратной связи.

2.4 Влияние асимметрии дополнительной управляющей связи на бифуркационный механизм потери противофазной синхронизации хаоса.

2.5 Эволюция структуры бассейна притяжения хаотического аттрактора с увеличением асимметрии управляющей связи

2.6 Выводы.

3 Полная и частичная синхронизация хаоса в цепочке связанных бистабильных систем с удвоением периода

3.1 Введение.

3.2 Полная и обобщенная хаотическая синхронизация в системе трех взаимодействующих кубических отображений

3.2.1 Исследуемая система. Виды синхронных режимов и их устойчивость.

3.2.2 Бифуркационный анализ разрушения полной синхронизации

3.2.3 Формирование режимов частичной синхронизации

3.3 Режим объединенного хаотического аттрактора.

3.4 Формирование режимов частичной синхронизации.

3.5 Вывод.

4 Параметрически индуцированная стохастическая синхронизация

4.1 Введение.

4.2 Исследуемая система.

4.3 Управление динамикой переключений с помощью периодической силы.

4.4 Шумовое управление динамикой переключений

4.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты синхронизации во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода»

Синхронизация автоколебаний - одно из фундаментальных нелинейных явлений в естествознании. Исследование синхронизации в ансамблях взаимодействующих систем с периодическим, квазипериодическим и хаотическим поведением на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики [1]- [7]. Изучение эффектов синхронизации, условий и механизмов их возникновения в базовых моделях нелинейной динамики имеет большое фундаментальное и прикладное значение не только для современной радиофизики, но и многих других областей науки.

В последние десятилетия особенно интенсивно проводились исследования явления синхронизации хаоса и в этом направлении достигнут довольно высокий уровень понимания, существенный вклад в который внесли работы Т. Yamada, Н. Fujisaka [59], A.C. Пиковского [60,66], С.П. Кузнецова [62,63], B.C. Афраймовича, H.H. Веричева, М.И. Рабиновича [64,98], В.Д. Шалфеева [5], В.Н. Белых, B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасовой [91]- [97], Д.Э. Постнова [18]-[21], М.А. Сафоновой, A.C. Дмитриева, С.О. Старкова, Б.П. Безручко, Е.П. Селезнева, В.И. Пономаренко, Ю.Л. Майстренко, М. Hasler, Т. Kapitaniak, В.И. Некоркина, L.Pecora, Т. Carroll [65], Н. Рулькова [81], П.С. Ланда [7], Ю.И. Неймарка, М. Розенблюма, J. Kurths, Г. Осипова, М. Закса, В.Б. Казанцева. P.Grassberger, P. Ashwin [67,68], E.Ott [42], Y.-C. Lai, С. Grebogi [47], J. Alexander, J. Yorke, L. Kocarev.

Согласно наиболее часто встречающейся в литературе [14]- [21] концепции, синхронизация хаоса, имеющий место при взаимодействии идентичных хаотических осцилляторов, состоит в том, что с ростом связи временные реализации соответствующих динамических переменных парциальных систем полностью повторяют друг друга без какого-либо сдвига во времени. Т.е. осцилляторы колеблются «синфазно». В работах [22]- [25] предложено обобщение классических представлений о синхронизации как о захвате или подавлении частот на случай взаимодействия осцилляторов в режиме спирального хаотического аттрактора. Рассматриваются случаи взаимной и вынужденной синхронизации хаоса, в том числе синхронизации хаоса гармонической внешней силой. В [26]- [28] в рамках классического подхода к явлению синхронизации развивается представление о захвате фаз хаотических осцилляторов. Кроме того, в работах некоторых авторов под синхронизацией хаотических автоколебаний понимается возникновение функциональной взаимосвязи между мгновенными состояниями парциальных систем (обобщенная синхронизация) [29]- [31].

Среди различных видов синхронизации взаимодействующих хаотических систем наиболее простой является полная синхронизация хаоса [59], [61], [63], [64], [65]. Она наблюдается в полностью идентичных связанных системах и характеризуется полным совпадением состояний систем во времени. Подобное поведение является довольно типичным и встречается в системах самой различной природы, причем не только в ансамблях с небольшим числом взаимодействующих элементов, но и в пространственно распределенных системах. Например, пространственно однородные хаотические колебания наблюдались в реакции Белоусова - Жаботинского [56]- [58]. Начиная с 1990 года к задачам, связанным с явлением полной синхронизации хаоса, появился повышенный интерес, который был вызван работой Л. Пекора и Т. Керролла [65]. В статье была высказана идея о возможности использования явления полной синхронизации хаоса для создания систем скрытой передачи информации.

Для данного типа синхронизации хаоса были выявлены условия возникновения и типичные бифуркационные механизмы потери синхронизации, обнаружены эффекты «пузырения» аттрактора и «изрешечивания» бассейнов притяжения, сопровождающие процесс потери синхронизации. Для связанных систем с бифуркациями удвоения периода было установлено, что потеря синхронизации хаоса и формирование фазовой мультистабильности происходит в результате последовательности одинаковых бифуркаций на базе одного и того же семейства седловых циклов, расположенных в симметричном подпространстве полного фазового пространства связанных систем [66], [70], [81], [82]. Например, в работе [82] было продемонстрировано, что потеря фазовой синхронизации начинается с седло - узловой бифуркации неустойчивого цикла, встроенного в хаотический аттрактор. Бифуркация основного седлового цикла, встроенного в хаотический аттрактор, приводит к потери грубости и возникновению пузырящегося поведения. В результате возникает специфический режим перемежаемости. В работе [70] показано, что субкритическая бифуркация «вил» седловой точки встроенной в симметричный хаотический аттрактор индуцирует изрешечивающий переход. Явление изрешече-вания бассейна притяжения хаотического аттрактора подробно изучается в работах [70]- [80].

Не смотря на достаточно детальное изучение явлений полной синхронизации хаоса и фазовой мультистабильности в связанных системах с бифуркациями удвоения периода, ряд вопросов остается не исследованным в полной мере. В основном данные явления исследовались во взаимодействующих системах с одним состоянием равновесия.

Однако имеется достаточно важный класс бистабильных систем, обладающих симметрией относительно преобразования координат (I : х «-» —х), применительно к которым явление полной синхронизации хаоса и фазовой мультистабильности исследовано значительно хуже. Примерами таких систем является ряд хорошо известных базовых моделей нелинейной динамики - одномерное дискретное кубическое отображение, двумерное дискретное отображение Холмса, осциллятор Дуффинга, генератор Чуа. Подобные би-стабильные системы широко использовались, например, при изучении эффекта стохастического резонанса [121,122], при исследовании вынужденной и взаимной синхронизации времен переключений между бистабильными состояниями. В подобных системах существует два симметричных подпространства. Поэтому для таких систем возможны два вида полной синхронизации хаоса, каждому из которых соответствует движение в своем симметричном подпространстве. Движения в первом из них соответствуют режиму полной синфазной синхронизации, а во втором - режиму полной противофазной синхронизации [89]. Более развитой является фазовая мультистабильность.

На сегодняшний день является важным и актуальным исследование эффектов синхронизации в таких взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода. Их поведение является более сложным и разнообразным, по сравнению со связанными системами, имеющими одно состояние равновесия. Системы с подобным поведением интересны не только с фундаментальной, но и с прикладной точки зрения: при разработке новых методов скрытой передачи информации. По сравнению с взаимодействующими системах с одним состоянием равновесия, для связанных бистабильных систем с удвоениями периода плохо изучены вопросы управляемой синфазной и противофазной синхронизации хаоса, задачи реализации того или иного режима синхронизации в зависимости от типа связи.

Известно, что устойчивые и грубые режимы полной синхронизации хаоса во взаимодействующих системах с одним состоянием равновесия могут быть реализованы только при определенных типах связи выше некоторого порогового значения. Часто, независимо от величины коэффициента связи в системе существуют синхронные хаотические движения, которые являются неустойчивыми к несимметричным возмущениям. В этих случаях в системе можно осуществить переход из режима несинхронных хаотических колебаний к режиму синхронизации, используя методы управления хаосом [37]- [45]. Под управлением хаосом обычно понимают целенаправленное воздействие на систему. С его помощью различные ненритягивающие предельные множества можно превратить в устойчивые по определенным собственным направлениям.

Не выявлены бифуркационные механизмы формирования симметричных хаотических предельных множеств, соответствующих режимам противофазной синхронизации, и возможные бифуркационные сценарии потери противофазной синхронизации хаоса во взаимодействующих бистабильных системах. Не рассматривались режимы полной и частичной синхронизации в цепочках бистабильных систем с удвоением периода. Не ставилась задача о синхронизации времен переключения между бистабильными состояниями методами управления хаосом.

Сформулированные выше вопросы и проблемы определили цель диссертационной работы, которая заключается в изучении эффектов синхронизации и фазовой мультистабильности во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода.

Приоритетными задачами являются:

1. Изучение полной синфазной и полной противофазной синхронизации хаоса в диффузионно связанных кубических отображениях.

2. Исследование бифуркационных механизмов потери управляемой противофазной синхронизации хаоса.

3. Изучение полной и частичной синхронизации хаоса в цепочке связанных бистабильных систем с удвоением периода.

4. Исследование стохастической синхронизации переключений между бистабильными состояниями в связанных осцилляторах Дуффинга при внешнем периодическом и шумовом воздействии с помощью периодической модуляции параметра связи.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Стальмахов, Петр Андреевич

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1. Показано, что поведение диффузионно связанных бистабильных отображений с удвоением периода, каждое из которых симметрично относительно преобразования координат

I X 4 ^ Д/, является более сложным и разнообразным, по сравнению с взаимодействующими системами, не обладающими указанной симметрией. При взаимодействии парциальных бистабильных систем наблюдаются явления полной синфазной и полной противофазной синхронизации, а также явление фазовой мультистабильности, которое является более развитым, по сравнению с взаимодействующими моностабильными системами.

2. Динамика диффузионно связанных кубических отображений в противофазном подпространстве (х = —у) имеет существенные отличия от динамики в синфазном подпространстве: бифуркации удвоения орбит в транс-версалыюм направлении к подпространству (х = —у) происходят раньше, чем бифуркации удвоения орбит в тангенциальном направлении. На плоскости управляющих параметров области устойчивости регулярных синхронных противофазных режимов разделены областями неустойчивости последних.

3. Проведен анализ устойчивости синхронных противофазных движений и найдена связь между тангенциальным и трансверсальным показателем Ляпунова. Показано, что в антисимметричном подпространстве трансверсально устойчивыми могут быть только периодические орбиты. У хаотического предельного множества траисверсальный ляпуновский показатель всегда будет больше нуля. Поэтому в диффузионно связанных дискретных бистабильных отображениях режимы собственной противофазной синхронизации хаоса наблюдаться не могут.

4. В результате проведенных исследований установлено, что в двух диффузионно связанных бистабильных отображениях устойчивый режим полной противофазной синхронизации хаоса можно обеспечить, используя методы управления хаосом, а именно, с помощью дополнительной управляющей связи. Стабилизация синхронных колебаний происходит в ограниченной области значений управляющего параметра.

5. Показано, что при симметричной управляющей связи потеря полной противофазной синхронизации хаоса происходит по тому же бифуркационному сценарию, что и потеря синфазной синхронизации хаоса. Наблюдается такая же последовательность бифуркаций и также на базе основного семейства седловых периодических орбит, формирующих скелет синхронного хаотического аттрактора. Однако в случае потери полной противофазной синхронизации хаоса до бифуркации прорыва наблюдается только пузырящийся переход, изрешечивания бассейна притяжения хаотического аттрактора не происходит.

6. При исследовании явления полной противофазной синхронизации хаоса в бистабильных системах с несимметричной, управляющей связью обнаружен новый бифуркационный сценарий потери синхронизации.

7. Показано, что несимметричность управляющей связи существенным образом меняет сценарий разрушения противофазной синхронизации, который в этом случае происходит через последовательность седло - репеллерной и транскритической бифуркации. При сильной асимметрии связи эта последовательность бифуркаций приводит к явлению изрешечивания бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора.

8. В ходе исследования было обнаружено, что в кольце из трех кубических отображений в зависимости от связи существуют как режимы полной синфазной синхронизации хаоса, при которых колебания во всех трех осцилляторах идентичны, так и режимы обобщенной синхронизации, когда колебания в двух осцилляторах идентичны друг другу, а в третьем - связаны с ними через некоторую детерминированную функцию. Последний случай также представляет собой режим частичной синхронизации хаоса, поскольку соответствующие хаотические аттракторы располагаются в одном из подпространств частичной симметрии.

9. Разрушение режима обобщенной синхронизации хаоса происходит также как и разрушение режима полной синхронизации хаоса - через бифуркацию прорыва. После этой бифуркации в системе наблюдаются только несинхронные колебания. Описанные механизмы разрушения полной синхронизации хаоса и формирования частичной синхронизации отличаются от соответствующих механизмов в ансамбле с несимметричной связью. Существование в подпространствах частичной симметрии режимов обобщенной синхронизации является особенностью выбранного типа связи и не наблюдается в ансамбле осцилляторов с однонаправленной связью.

10. В ходе исследования было обнаружено, что высокочастотная модуляция коэффициента связи приводит к синхронизации случайных процессов переключений между двумя хаотическими аттракторами системы. Данный эффект наблюдается в ограниченной области управляющих параметров. Размер этой области зависит от амплитуды шума, и с увеличением амплитуды шума область сокращается.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стальмахов, Петр Андреевич, 2006 год

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.:Физматгиз, 1959.

2. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем, Москва, Наука, 1971.

3. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике, Москва, Наука, 1981.

4. Мигулин В.В;, Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1978.

5. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький, ИПФ РАН, 1989.

6. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

7. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980.

8. Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. М.: Наука, 1969.

9. Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

10. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О., Некоторые вопросы математической теории процессов управления, ИЛ, 1962.

11. Рытов СМ., Введение в статистическую радиофизику, ч.1, М.:Наука, 1976.

12. Рытов СМ., Введение в статистическую радиофизику, ч.П, М.:Наука, 1978.

13. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С, Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981.

14. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982.

15. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.

16. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.:Наука, 1968.

17. Голубенцев А.Ф., Денисов Ю.И., Мникин Л.М. Введение в статистическую электронику. Саратов: Изд. СГУ, 1990.

18. Анищенко B.C. Введение в статистическую радиофизику, ч.1-И,Саратов: СГУ, 1979.

19. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990.

20. Anishchenko V.S. Dynamical chaos Models and experiments. World Scientific, 1995.

21. Анищенко В.С, Нейман A.B., Мосс Ф., Шиманский Гайер Л. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка.// УФН, 1999, N 1.

22. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967, 639с.

23. Hubler A.W., Luscher E. Resonant stimulation and control of nonlinear oscillations./ / Naturwissenschaft, 1989, V.76, P.67.

24. Jackson E.A. On the control of complex dynamic systems.// Physica, 1991, V.D50, P.341-366.

25. Jackson E.A. The entrainrnent and migration controls of multiple-attractor systems.// Physics Letters A, 1990, V.151, P.478-484.

26. Jackson E.A. On the control of complex dynamic systems. // PhysicaD, 1991, V. 50, P. 341-366.

27. Jackson E.A., Kodogeorgiou A. Entrainmant and migration controls of two-dimentionals maps. // Physica D, 1992, V. 54, P. 253-265.

28. Рождественский B.B. Синхронизация гладких периодических отображений внешним периодическим сигналом. //Радиотехника и электроника, 1997, Т.42, N 3, С. 307-312.

29. Ott Е., Grebogi С, Yorke J.A. Controlling Chaos.// Physical Review Letters, 1990, V.64, P.1196-1199.

30. Shinbrot Т., Grebogi C, Ott E., and Yorke A. Using small perturbations to control chaos.// Nature, 1993, V.363, P. 411-417.

31. Ditto W.L., Rauseo S.N., Spano M.L. Experimental control of chaos.// Physical Review Letters, 1990, V.65, P.3211-3214.

32. Shinbrot Т., Ott E., Grebogi С, Yorke J.A. Using chaos to directs trajectories to targets.// Physical Review Letters, 1990, V.65, P.3215-3218.

33. Singer J., Wang Y., Bau H. Controlling chaotic systems.// Physical Review Letters, 1991, V.66, P.1123.

34. Romeiras F.J., Grebogi C, Ott E., Dayawasn W.P. Controlling chaotic dynamical systems.// Physica, 1992, V.D58, P. 165-192.

35. Shinbrot T., Ditto W., Grebogi C, Ott E., Spano M., Yorke J.A. Using the sensitive dependence of chaos (the 'butterfly effect") to direct trajectories in experimental chaotic system.// Physical Review Letters, 1992, V.68, P.2863-2866.

36. Shinbrot T., Ott E., Grebogi C, Yorke J.A. Using chaos to direct orbits to targets in systems describable by a one-dimensional map.// Physical Review A, 1992, V.45, P.4165 -4168.

37. Garfinkel A., Spano M., Ditto W., Weiss J. Controlling cardiac chaos.// Science, 1992, V.257, P.1230.

38. Petrov V., Gaspar V., Masere J., Showalter K. Controlling chaos in the Belousov-Zhabotinsky reaction.// Nature, 1993, V.361, P.240.

39. Lay Y.C., Grebogi C. Converting transient chaos into susteined chaos by feedback contrail.// Physical Review E, 1994, V.49, N2, P.1094-1098.

40. Schiff S.J., Jerger K., Duong D.H., Chang T., Spano M.L., Ditto W.L. Controlling chaos in the brain.// Nature, 1994, V.370, P.615-620.

41. Hayes S., Grebogi C, Ott E., Mark A. Experimental control of chaos for communication.// Physical Review Letters, 1994, V.73, N13, P. 1781-1784.

42. Ott E., Spano M. Controlling chaos.// Physics Today, May 1995, P.34-40.

43. In V., Ditto W.L. Adaptive control and tracking of chaos in a magnetoelastic ribbon.// Physical Review E, 1995, V.51, N4, P.2689-2692.

44. Ott E., Spano M. Controlling chaos.// In: Chaotic, fractal and nonlinear signal processing. Mystic, CT July 10-14, (Ed. by R.A.Katz),1995, P.92-103.

45. Baretto E., Grebogi C Multiparameter control of chaos.// Physical Review E, 1995, V.52, N4, P.3553-3557.

46. Poon L., Grebogi C. Controlling complexity.// Physical Review Letters, 1995, V.75, N22, P.4023-4026.

47. Lay Y., Grebogi C. Synchronization of chaotic trajectories using control.// Physical Review E, 1993, V.47, N4, P.2357-2360.

48. Newell T.C., Aising P.M., Gavrielides A., Kovanis V. Synchronization of chaos using proportional feedback.// Physical Review E, 1994, V.49, N1, P.313-319.

49. Bernardo M. An adaptive approach to the control and synchronization of continuos-time chaotic systems. Int. J. of Bif. and Chaos, 1995,V.6, N3,P.557-568.

50. Suykens J.A.K., Curran P.F., Chua L.O. Master-slave synchronization using dynamic output feedback.// Int. J. of Bif. and Chaos,1996, V.7, N3, P.671-679.

51. Peng J.H., Ding E.J., Ding M., Yang W. Synchronization hyper-chaos with a scalar transmitted signal.// Phys. Rev. Let., 1996, V.76, N6, P.904-907.

52. Malescio G. Synchronization of chaotic systems by continuous control.// Physical Review E, 1996, V.53, N3, P.2949-2952.

53. Duan C.K., Yang S.S. Synchronization hyperchaos with a scalar signal by parameter controlling.// Physics Letters A, 1997, V.229, P. 151-155.

54. Yang J., Hu G., Xiao J. Chaos synchronization in coupled oscillators with multiple positive Lyapunov exponents.// Phys. Rev. Let., 1998, V.80, N3, P.496-499.

55. Капица П.JI. Маятник с вибрирующим подвесом.// УФЫ. 1951. Т.44. С.7.

56. Hudson T.L., Hart М., Marinko D., An experimental dtudy of multiple peak periodic and nonperiodic oscillations in the Belousov Zhabotinsky reaction.// J.Chem. Phys., 1979, V.71, No.4, P.1601.

57. Turnen J.S., Raux J.-C, McCormick W.D., Swinney H.L., Alternating periodic and chaotic regimes in a chemical reaction experiment anf theory.// Phys. Lett. A, 1981, V.85, No.l, P.9.

58. Simoyi R.H., Wolf A., Swinney H.L. One dimensional dynamics in a multi-component chemical reaction.// Phys. Rev. Lett., 1982, V.49, No.4, P.245.

59. Fujisaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems.// Prog. Theor. Phys., 1983, V.69, P.32.

60. Пиковский А.С, О взаимодействии странных аттракторов. N 79, ИПФ АН СССР, Горький, 1983.

61. Pikovsky A.S. On the interaction of strange attractors.// Z. Phys., 1984, V. 55 B, P. 149.

62. Кузнецов СП., О критическом поведении одномерных цепочек.// Письма в ЖТФ, 1983, Т.9, N 2, С.94-98.

63. Кузнецов СП. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума.// Изв. вузов Радиофизика, 1985, Т.28, N 8, С.991.

64. V.S, Afraimovich, N.N. Verichev, M.I. Rabinovich, Stochastic synchronization of oscillations in dissipative systems// Radiofizika 29, 1050-1060, 1986.

65. L.M. Pecora, T.L. Caroll, Synchronization in chaotic systems// Physical Review Letters 64, 821-824, 1990.

66. Pikovsky A.S., Grassberger P., Symmetry breaking bifurcation for coupled chaostic attractors// J.Phys. A: Math., v.24, pp.4587-4597, 1991.

67. P. Ashvin, J. Buescu, I. Stewart, "Bubbling of attractors and synchronisation of chaotic oscillators", Physics Letters A, No. 193, pp. 126-139,1994.

68. P. Ashvin, J. Buescu, I. Stewart, From attractors to chaotic saddle: a tale of transverse instability.// Nonlinearity, 9, 703- 737, 1996.70