Синхронизация и динамический хаос в малых ансамблях активных элементов с нелинейными связями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Захаров, Денис Геннадьевич

• Захаров, Денис Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Захаров, Денис Геннадьевич

Введение

1 Динамика двух нелинейно связанных автогенерато

1.1 Бифуркационный анализ периодических решений при малой нелинейности.

1.1.1 Анализ укороченных уравнений

1.1.2 Переход к конечной нелинейности.

1.2 Бифуркационный анализ периодических решений при сильной нелинейности.

1.3 Область хаотического поведения.

1.4 Механизмы перехода к хаосу.

1.5 Выводы.

2 Влияние расстройки параметров и случайных воздействий на динамику двух нелинейно связанных автогенераторов.

2.1 Влияние линейной расстройки частоты.

2.2 Влияние случайных воздействий.

2.2.1 Влияние аддитивного шума.

2.2.2 Влияние мультипликативного шума.

2.3 Выводы.

3 Динамика системы четырех автогенераторов с нелинейными связями

3.1 Симметричные связи.

3.2 Несимметричные связи

3.2.1 Система четырех автогенераторов с нелинейными связями как модель локомоторной активности человека.

3.3 Выводы.

4 Динамика системы релаксационных автогенераторов с однонаправленными нелинейными пороговыми связями под импульсным воздействием

4.1 Динамика элемента.

4.1.1 Быстрая подсистема.

4.1.2 Медленная подсистема

4.2 Динамика межэлементной связи.

4.3 Синхронизация релаксационного автогенератора периодическим импульсным сигналом.

4.4 Преобразование кодирующих сигналов

4.4.1 Преобразование импульсов в береты. 4.4.2 Преобразование беретов в импульсы.

4.4.3 Динамическая ненадежность.

4.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синхронизация и динамический хаос в малых ансамблях активных элементов с нелинейными связями»

Исследование коллективной динамики ансамблей автоколебательных систем на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики. С одной стороны такими ансамблями являются цепочки и решетки джозевсоновских контактов [1, 2], полупроводниковые лазеры [ 3]-[ 5] и генераторы переменного тока [6, 7], фазированные антенные решетки [ 8]-[ 13] и д.р. С другой стороны в дискретном приближении с помощью цепочек и решеток автогенераторов можно моделировать некоторые нелинейные процессы в таких распределенных системах как неоднородные гидродинамические среды [ 14]-[ 16], оптические волокна [ 17]-[ 20], неравновесные химические реакции [ 21]-[ 28] и др.

Динамика ансамблей автоколебательных элементов зависит от выбора базового активного элемента, типа и пространственной организации связей. В несвязанном состоянии элементы могут находится в покое, совершать периодические колебания или демонстрировать хаотическое поведение. В некоторых случаях этими свойствами элементы обладают одновременно, т.е. являются мультистабильными. Характер связи между элементами также варьируется в широких пределах. Рассмотрены ансамбли элементов связанных как локально, так и глобально. Связи могут быть линейными и нелинейными, обладать запаздыванием и т.д.

Наиболее хорошо изучены ансамбли автоколебательных систем с линейными связями. К этому типу относятся, например, ансамбли с резистивными, индуктивными и емкостными связями. Для малых ансамблей автогенераторов с линейными связями изучены такие явления как синхронизация, конкурентное подавление колебаний, регуляризация хаотической динамики элементов. В качестве примера можно привести два индуктивно связанных генератора Ван-дер-Поля [ 29], малые ансамбли ротаторов [ 30, 31], контактов Джозеф-сона [•!]-[ 5], элементов ФитцХью-Нагумо [ 32]-[ 34], генераторов Чуа [ 35, 36] и т.д. В цепочках и решетках автогенераторов проведены исследования пространственной синхронизации колебаний [ 31]-[ 45] и пространственно-временного беспорядка [ 37]-[ 43]. Для больших ансамблей мультистабильных элементов изучены явления формирования пространственных структур [ 46]-[ 51], нелинейные волновые процессы [ 52]-[ 58]: бегущие импульсы и диссипативные солитоны в возбудимых системах, фронты переключения в бистабильных системах, спиральные и концентрические волны в решеточных системах возбудимого типа.

Ансамбли автоколебательных систем с нелинейными связями исследованы значительно хуже. Вместе с тем изучение таких ансамблей важно, так как нелинейные связи существенно влияют на динамические свойства систем. Более того, за счет использования нелинейных связей можно существенно изменить коллективную динамику ансамбля и получить его новые свойства, которые при линейных связях не существуют. Например, нелинейное соединение систем фазовой автоподстройки в ансамбли позволяет улучшить их динамические характеристики (полосу захвата, фильтрующие свойства, быстродействие и т.д.), решить задачи, связанные с обработкой сложных сигналов, синтезом частот и т.д. [ 59]-[ 61].

В последнее время наблюдается повышенный интерес к нетрадиционным системам передачи, обработки и хранения информации, построенных на основе принципов функционирования нейронных ансамблей. Большое число работ посвящено моделированию малых нервных систем простейших организмов, нейронных ансамблей передающих и обрабатывающих информацию, генераторов ритма, управляющих движениями живых организмов и т.д. Наиболее широкое распространение получили автогенераторные модели нейродинами-ческих систем. Нейроны, как правило, моделируются релаксационными автогенераторами [ 62]-[ 66], которые могут периодически и хаотически, самостоятельно и под действием стимула генерировать как уединенные импульсы (спайки) так и пачки импульсов (береты). Взаимодействие между нейронами происходит посредством так называемых синаптических связей [ 67, 68], которые могут представлять из себя как линейные резистивные, так и нелинейные пороговые связи. Отметим, что для более развитых нервных систем свойственны именно нелинейные связи. Возникающие перед нейронными ансамблями задачи решаются за счет коллективной динамики, обеспечиваемой конфигурацией, типом и силой связей. Такое устройство обеспечивает гибкость и "обучаемость" нейронных ансамблей посредством перераспределения связей и их параметров.

Целью диссертационной работы является изучение динамических и информационных аспектов динамики малых ансамблей автоколебательных систем с нелинейными связями (кубичной и пороговой) и исследование влияния шума на динамику малых ансамблей автоколебательных систем.

Научная новизна:

1. Проведено исследование динамики двух нелинейно связанных автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга при сильной нелинейности. Получены области существования синхронных режимов, разность фаз между которыми равна А<р = ±</?, (р е (0,7г). Обнаружено существование хаотического аттрактора, рождение которого происходит через перемежаемость 1-рода с двумя метастабильными состояниями, проявляющуюся в чередовании временных интервалов с квазипериодическим и хаотическим поведением. Обнаружено, что при критическом значении управляющего параметра одновременно исчезают две пары предельных циклов и появляются два метастабильных состояния. Поэтому, в отличии от классического случая, в исследуемой системе для перемежаемости характерны нерегулярные переключения между двумя квазипериодическими режимами.

2. Изучено влияние шумов на перемежаемость первого рода с двумя метастабильными состояниями. Установлено, что мультипликативные шумы с большим временем корреляции (порядка длительности ламинарной фазы) качественно меняют зависимость средней длительности ламинарных фаз от надкритично-сти и плотность распределения вероятности ламинарных фаз, приводя их к виду характерному для оп-о££ перемежаемости.

3. Обнаружено, что при соединении двух пар автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга линейными связями (с нелинейными связями в каждой паре) возможно существование режима противофазной синхронизации этих пар как в регулярном, так и в хаотическом режиме.

4. Показано, что ансамбль линейно связанных двух пар автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга (с нелинейными кубическими функциями связи в каждой паре) может рассматриваться как модель локомоторного ритма человека для двуногого хождения. Такая модель качественно описывает результаты экспериментов по иницированию шагательных движений человека при нерезонансной вибрации мышц.

5. Установлен механизм генерации серий импульсов (беретов) релаксационным автогенератором, моделирующим нейрон Хинд-марша-Розе с тормозящей нелинейной связью, под действием импульсного сигнала. Показано, что генерации беретов соответствует переходный процесс, являющийся следствием специфической топологии фазового пространства системы, в окрестности единственного аттрактора.

Теоретическая и практическая значимость результатов:

В диссертации рассмотрены динамические и информационные аспекты коллективной динамики малых ансамблей автогенераторов с нелинейными связями. Результаты исследования развивают теорию малых ансамблей активных элементов с нелинейными связями и могут быть полезны при конструировании малых ансамблей активных элементов с заданными свойствами.

Результаты по исследованию импульсного воздействия на малый ансамбль релаксационных автогенераторов с нелинейными связями показали, что такие ансамбли могут рассматриваться в качестве элементных структур при построении нетрадиционных систем передачи и обработки информации.

Система четырех автогенераторов с линейными и кубическими функциями связи может рассматриваться как модель локомоторной активности человека под действием нерезонансной вибрации мышц. Практическая значимость этих результатов заключается в возможной диагностике состояния нервных центров, управляющими ходьбой. Параметры такой маломерной динамической системы, определяемые по временным реализациям колебаний суставов больного, могут использоваться в качестве критерия правильности выбранного курса тренировок при восстановлении утраченных локомоторных функций.

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ.

Апробация результатов: Основные результаты диссертации были опубликованы в [ 69]-[ 78] и представлены Научных конференциях ННГУ (1998-1999), Сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 1998-2001), II Всероссийской научной конференции студентов - радиофизиков (Санкт-Петербург, 1998), Пятой всероссийской конференции по биомеханике (Нижний Новгород, 2000), международных симпозиумах: The International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications Nolta'98 (Crans -Montana, Switzerland, 1998), The Int. Summer School-Workshop DYNAMICS DAYS in Nizhny Novgorod DDNN98 (Нижний Новгород, Россия, 1998), The 5th International School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations CHAOS'98 (Саратов, Россия,1998), The Second International Conference "Control of Oscillation and Chaos" COC'2000

Санкт-Петербург, Россия, 2000), The International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications NOLTA'2000 (Dresden, Germany, 2000), The International Conference "Dynamics Days 2001" (Dresden, Germany, 2001), The International Conference "Progress in Nonlinear Science" (Нижний Новгород, Россия, 2001), The International Conference "Experimental Chaos 2001" (Potsdam, Germany, 2001), The 6th International School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations CHAOS'Ol (Саратов, Россия, 2001), XII Научная школа "Нелинейные волны - 2004" (Нижний Новгород, 2004).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Захаров, Денис Геннадьевич

4.5 Выводы

В этой главе изучено влияние импульсного сигнала на динамику малого ансамбля релаксационных автогенераторов. Получены елле-дующие результаты:

• При действии периодической входной последовательности импульсов:

1. Для фиксированных значений параметров ¿¿с и а получены основные области захвата частоты на плоскости (до^{П).

2. Хаотические режимы, возникающие между областями синхронизации описаны с помощью функций последования, гистограммы межимпульсных интервалов и временных диаграмм межимпульсных интервалов.

3. Для больших значений силы связи до обнаружен эффект подавления колебаний.

При действии входной последовательности спайков со случайной плотностью вероятности межимпульсных интервалов:

1. Показано, что преобразование спайков в береты в простейшем случае может быть осуществлено находящимся в режиме генерации импульсов релаксационным автогенератором с тормозящей нелинейной связью. Изучена эффективность такого преобразования от параметров связи и контрольного параметра элемента.

2. установлено, что в процессе преобразования спайков в береты имеет место динамическая ненадежность связанная с наличием собственной динамики у элемента (предельного цикла или хаотического аттрактора). Установлен механизм динамической ненадежности.

3. Показано, что преобразование беретов в спайки может быть осуществлено находящимся в покое автогенератором с нелинейной возбуждающей связью. Показано, что зависимость эффективности такого преобразования от параметров связи и контрольного параметра элемента носит пороговый характер и осуществляется надежно в широкой области этих параметров.

1. Показано, что в системе автогенераторов с кубичной функцией связи С(жг, = ^у(х{—х^((хг—ху)2 — а) появляется вызванная связью бистабильность, проявляющаяся в одновременном существовании двух периодических решений, отвечающих колебаниям автогенераторов с разностью фаз А(р — е [0,7г]. Установлено, что в такой системе возможно хаотическое поведение. Переход к хаосу осуществляется через перемежаемость 1-го рода с двумя метастабильными состояниями.

2. Проведено исследование влияния слабых аддитивных и мультипликативных с различными временами корреляции на перемежаемость 1-го рода с двумя метастабильными состояниями. Получены смещения границы появления перемежаемости и скейлинги в зависимости средней длительности ламинарных фаз от надкритичности и плотности вероятности ламинарных фаз. Показано, что аддитивные шумы с различными временами корреляции и мультипликативные шумы с малыми временами корреляции (порядка периода колебаний) качественно не меняют динамику системы, тогда как мультипликативные шумы с большими временами корреляции (порядка длительности ламинарной фазы) меняют ее к виду характерному для оп-о!Т перемежаемости.

3. Показано, что две линейно связанных пары автогенераторов (с нелинейными связями в каждой паре) могут демонстрировать противофазную синхронизацию, что позволяет обобщить на эту систему результаты, полученные для одной пары автогенераторов с нелинейными свзями.

4. Предложена модель локомоторного ритма человека, которая качественно описывает наблюдаемые в эксперименте по инициированию локомоторных движений человека нерезонансной вибрацией мышц режимы хождения вперед и назад и нерегулярные переключения между ними.

5. Изучено явление синхронизации и подавления колебаний релаксационного автогенератора, находящегося в режиме, с пороговой нелинейной связью внешним импульсным сигналом. Получены области захвата частоты.

6. На примере системы релаксационных автогенераторов с нелинейными связями (один из которых находится в режиме генерации импульсов, а другой - в состоянии покоя) проведено исследование процессов преобразования кодирующих сигналов (последовательностей спайков в береты, и наоборот). Изучен механизм динамической ненадежности, наблюдающийся при преобразовании спайков в береты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Захаров, Денис Геннадьевич, 2005 год

1. Hedley P. Beasley M.R. and Wiesenfeld К. Phys.Rev.B 38(1988) 8712.

2. Hedley P. Beasley M.R. and Wiesenfeld К. Appl.Phys.Lett. 52(1988) 1619.

3. Wang S.S. and Winful H.G. Appl.Phys.Lett. 52(1988) 1774.

4. Wang S.S. and Winful H.G. Appl.Phys.Lett. 53(1988) 1894.

5. Jane A.K. et. al, Phys. Reports, 109(1984) 309

6. Веников В. А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М. Высшая школа, 1978. 415 с.

7. Варайя П., У Ф.Ф., Чжань Жунлян. ЕТТЭР, 73(1985), N 12, 8.

8. Линд сей В. Системы синхронизации в связи и управлении / / Перевод с английского под ред. Ю.Н. Бакаева, М.В. Капранова. М. Сов. Радио, 1978. 600 с.

9. Мучник Г.Ф. Наука и жизнь, 1988, N 3, с. 68-75.

10. Радиопередающие устройства Под ред. М.В. Благовещенского, Г.М. Уткина. М. Радио и связь, 1982. 408 с.

11. Самойленко В.И. Шишов Ю.Л. Управление фазированными антенными решетками. М. Радио и связь, 1983, 238 с.

12. Есин C.B., Каганов В.И. Зарубежная радиоэлектроника, 1986, N 8, с. 39-48.

13. Дворников A.A., Уткин Г.М. Фазированные автогенераторы радиопередающих устройств. М. Энергия, 1980. 176 с.

14. Арансон И.С., Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И., Рогаль-ский A.B., Caгдеев Р.В. Решеточные модели в нелинейной динамике неравновесных сред. Препринт N. 163. -Горький: ИПФ АН СССР. 1987. 24 С.

15. M.I.Rabinivich, V.P.Reutov, A.V.Rogal'skii. Phys. Let. A, (1992) 217.

16. A.B.Ezerskii, M.I.Rabinivich, V.P.Reutov, I.M.Starobinets. Sov. Pys. JETP 64 (1986) 1228.

17. Хаус X. Волны и поля в опто-электронике. M.: Мир, 1988 (пер. с англ. под ред. К.Ф. Шипилова).

18. Агравал Г. Нелинейная волновая оптика. М.: Мир, 1996 (пер. с англ. под ред. П. В. Малышева).

19. Hasegawa A., Kodama Y. Solitons in Optical Communications. Oxford: Oxford Univ. Press, 1995.

20. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. Советское радио: 1977. 368 с.

21. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука. 1984. 432 С.

22. Нелинейные волны. Самоорганизация. Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича.М.: Наука. 1983. 264 С.

23. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. М.: Наука. 1989. 398 С.

24. Saarloos W. and Hohenberg P.C., Fronts, pulses, sources and sinks in generalized complex Ginzburg-Landau equation. Physica D, 56(1992) 303.

25. Жаботинский A.M., Концентрационные автоколебания. M.: Наука. 1974. 250 С.

26. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Springer, New York, 1984.

27. Полак JI.С., Михайлов А.С. Процессы самоорганизации в физико-химических системах. М.: Наука, 1983, 115 С.

28. Колебания и бегущие волны в химических системах. Под ред. Филда Р., Бургер М. М.: Мир, 1988, 720 С.

29. Appleton E.V. The automatic synchronization of triod oscillators. Proc. Cambridge Phil. Soc. (Math, and Phys. Sci.) 21(1922) 231.

30. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. Наука: М. 1981.

31. Белых В.Н., Веричев Н.Н. Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1988. N. 6.

32. Volkov E.I. and Volkov D.V. Phys. Rev. E, 65(2002) 046232.

33. Volkov E.I., Stolyarov M.N., Zaikin A.A., and Kurths J. Phys. Rev. E, 67(2003) 066202.

34. Mosekilde E., Postnov D.E. and Sosnovtseva O.V. Progress of Theoretical Physics Supplement, N 150 (2003) 1-17.

35. Kazantsev V.B., Nekorkin V.I. and Velarde M.G. Int. J. Bifurcation and Chaos 7(1997) 1775-1790.

36. Nekorkin V.I., Kazantsev V.B. and Chua L.O. Int. J. Bifurcation and Chaos 6(1996) 1295-1317.

37. Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Nonlinearity. 1(1988) 581.

38. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B. and Velarde M.G. Physica D 100(1997) 330-342.

39. Afraimovich V.S., Nekorkin V.l., Osipov G.V. and Shalfeev V.D. Stability, structures and chaos in nonlinear synchronization networks. World Scientific, Singapore, 1994.

40. Astakhov V.V., Anishenko V.S., Shabunin A.V. IEEE Trans, on Circuits and Systems I. 42(1995), N 6, 352-357.

41. Winful H.G., Rahman L. Physical Review Letters, 65(1990) 15751578.

42. Otsuka K. Physical Review Letters, 65(1990) 329-332.

43. Рабинович М.И., Фабрикант А.Л., Цимринг Л.Ш. УФН, 162(1992), N 8.

44. Гуртовник A.C., Неймарк Ю.И. Динамика систем: Динамика и управление. Сб. науч.тр. под ред. Ю.И. Неймарка. Н.Новгород. Гос. ун-т, 1991, 84-97.

45. Sushchik М.М., Osipov G.V. Physics Letters A, N 201(1995) 205212.

46. Mori H., Kuramoto Y. Dissipative Structures and Chaos. SpringerVerlag, Berlin, 1998.

47. Chate H., Courbage M. (Editors). Physica D 1-4 (1997).

48. Nekorkin V.l., Kazantsev V.B. and Velarde M.G. Phys. Rev. E 59(1999) 4515-4522.

49. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. Под ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. М.: Наука. 1987. 398 с.

50. Полак Л.С., Михайлов А.С. Процессы самоорганизации в физико-химических системах. М.: Наука, 1983, 115 с.

51. Nicolis G., Prigozhin I. Self-Organization in Non-Equilibrium Systems, N.Y., Wiley, 1977.

52. Хаус X. Волны и поля в опто-электронике. M.: Мир, 1988 (пер. с англ. под ред. К.Ф. Шипилова).

53. Агравал Г. Нелинейная волновая оптика. М.: Мир, 1996 (пер. с англ. под ред. П. В. Малышева).

54. Hasegawa A., Kodama Y. Solitons in Optical Communications. Oxford: Oxford Univ. Press, 1995.

55. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. Советское радио: 1977. 368 с.

56. Нелинейные волны. Самоорганизация. Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. М.: Наука, 1983, 264 с.

57. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. М.: Наука, 1989, 398 с.

58. Perez-Munuzuri A., Perez-Munuzuri V., Perez-Villar V., Chua, L.O. IEEE Trans. Circuits Syst. 40(1993) 872-877.

59. Шагильдян В.В., Ляховкин A.A. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.:Связь, 1972.

60. Лиидсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. Пер. с англ.; под ред. Бакаева Ю.И., Капранова M.B. М.: Сов. радио, 1978.

61. Матросов В.В., Касаткин Д.В. Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 12(2004), N 1-2, 159-168.

62. Hodgkin A.L., Huxley A.F. J. Physiol (London), 117(1952) 500.

63. Ходжкин А. Нервный импульс. M.: Мир, 1965, 126 с.

64. Fitz Hugh R. Biophys. J., 1(1961) 445-446.

65. Nagumo J., Arimoto, S., Yoshizawa S. Proc. IRESO, 1962, 20612070.

66. Hindmarsh J.L., Rose R.M. Proc. R. Soc. Lond. B, 221(1984) 87102.

67. Methods in Neuronal Modeling. Edited by Koch, C. and Segev, I. MTI Press, Cambridge, MA, 1998.

68. A. Destexhe et. al, Neural Сотр., 6(1994) 14-18 .

69. Мольков Я.И., Сущик М.М., Кузнецов А.С Козлов А.К., Захаров Д.Г. "Динамическая модель локомоторных движений человека, вызванных вибрационным воздействием на мышцы". Вестник ННГУ. Сер. Радиофизика, Нижний Новгород, 1998, 63-88.

70. Захаров Д.Г., Мольков Я.И., Сущик М.М. "Синхронизированные колебания в системе двух связанных генераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга". Известия ВУЗов. Радиофизика, 1998, XLI, N12, 1531-1536.

71. Zakharov D.G., Ya.I. Molkov and М.М. Sushchik "Syncronized oscillations in a system of two coupled Van-der-Pol-Duffing oscillators". Radiophisics and Quantum Electronics, 41, N 12,1998, 1037-1041.

72. Мольков Я.И., Сущик М.М., Кузнецов А.С Козлов А.К., Захаров Д.Г. "Динамическая модель локомоторных движений человека, вызванных вибрационным воздействием на мышцы". Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1999, 7, N 2-3, 107-121.

73. Захаров Д.Г., Мольков Я.И., Сущик М.М. "Влияние случайных воздействий на систему нелинейно связанных генераторов Вандер-Поля-Дюффинга". Труды 3-й конференции по радиофизике, Нижний Новгород, 1999, с. 114.

74. D.G. Zakharov "Influence of inhibitory pukse train on a pacemaker Hindmarch-Rose neuron". The Proceedings of the International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics"(NWP-2003). Nizhny Novgorod, Russia. September, 6-12, 2003, 133-134.

75. Д.Г. Захаров "Динамика нейрона Хиндмарш-Розе при импульсном воздействии". Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2005, 13, N 1-2, 109-122.

76. Haken Н., Kelso J.A.S., Bunz Н. Biol. Cybern. 51(1985), 347.

77. Kelso J.A.S., Scholz J.P., Schover G. Phys. Lett. 118(1986) 279.81 828384 8586