Динамика ансамблей нелинейно связанных бистабильных элементов: Подавление колебаний, структурообразование, синхронизация тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Алексей Сергеевич

• Кузнецов, Алексей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Алексей Сергеевич

Оглавление:

Введение

1 Базовые модели

1.1 Осциллятор Чуа

1.2 Автогенератор с частотным управлением (АЧУ)

1.3 Преобразование моделей к общему виду

1.4 Динамика асимметричного осциллятора Чуа

1.4.1 Симметричный случай

1.4.2 Асимметричный случай

1.5 Функции связей в исследуемых моделях

1.6 Выводы

2 Стационарные пространственные распределения в ансамблях связанных бистабильных элементов

2.1 Стационарные распределения в цепочке связанных АЧУ

2.1.1 Изолированный элемент

2.1.2 Цепочка элементов АЧУ с потоковыми связями

2.1.3 Цепочка элементов АЧУ с взаимными связями

2.2 Стационарные распределения в цепочке осцилляторов Чуа

2.2.1 Задание структур с помощью начальных условий

2.2.2 Задание структур с помощью параметра

2.3 Структурообразование в двумерной решетке осцилляторов Чуа

2.3.1 Математическая модель

2.3.2 Формирование структур

2.4 Выводы

3 Анализ процессов подавления колебаний в ансамблях

связанных осцилляторов Чуа

3.1 Динамика пары связанных осцилляторов Чуа

3.1.1 Потоковое воздействие

3.1.2 Взаимные связи

3.2 Динамика ансамбля глобально связанных осцилляторов

3.2.1 Асинхронный режим

3.2.2 Синхронные режимы

3.3 Анализ процессов регуляризации динамики в кольцевой цепочке бистабильных хаотических элементов с переменным числом связей

3.3.1 Однородные режимы

3.3.2 Пара кластеров

3.4 Выводы

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика ансамблей нелинейно связанных бистабильных элементов: Подавление колебаний, структурообразование, синхронизация»

Введение

Исследование коллективного поведения ансамблей, состоящих из большого числа взаимосвязанных активных элементов, является актуальной проблемой современной радиофизики. Среди факторов, определяющих динамику ансамбля можно выделить, например, тип и силу взаимодействия. Типы взаимодействия могут быть как достаточно простыми (линейные диффузионные), так и очень сложными (нелинейные каналы связи с запаздыванием). Другим фактором является топология связей. Взаимодействие элементов ансамбля может быть локальным (взаимодействие только с ближайшими соседями), нелокальным (наличие связи с элементами, лежащими на некотором удалении в пространстве) и глобальным (каждый элемент взаимодействует с каждым). Ансамбль может иметь различную пространственную структуру: от цепочки до многомерной решетки. Далее среди факторов, влияющих на динамику ансамбля, необходимо отметить свойства элементов, его составляющих. Динамика элементов в несвязанном состоянии может быть как простой, так и очень сложной, хаотической. Элементы ансамбля могут быть как одинаковыми, так и разными.

Одним из примеров подобной задачи в радиофизике является цепочка, образованная связанными джозефсоновскими контактами [1, 2]. Такие цепочки вызывают значительный интерес при создании автогенераторов, смесителей и параметрических усилителей в сантиметровом и миллиметровом диапазонах. Ансамбли таких контактов имеют значительные преимущества над уединенными контактами поскольку их

мощность и входной импеданс могут быть увеличены до практически полезного уровня.

Другой пример, который приводит к задаче о динамике ансамбля связанных автогенераторов - цепочки и решетки связанных полупроводниковых лазеров [3, 4]. Такие цепочки и решетки предлагаются в качестве источников пространственно - когерентных пучков, обладающих высокой мощностью. Здесь, как и в предыдущем примере, объединение лазеров в ансамбль позволяет достичь большей мощности пучка в режиме их когерентного излучения. Однако, практическое использование таких ансамблей затруднено тем, что при связывании этот режим может становиться неустойчивым в значительной области параметров системы.

В качестве еще одного примера можно упомянуть систему связанных релятивистских магнетронов [5]. В коллективной системе удается достичь существенно большей мощности поля.

К задаче исследования ансамблей активных элементов сводится также ряд гидродинамических задач исследования неравновесных сред в дискретном приближении [6]. Такие неравновесные дискретные среды характеризуются эффектами спонтанного возникновения структур, т.е. возможностью самоорганизации, или наоборот, возникновением пространственно - временного беспорядка (турбулентности). Так, дискретные модели применялись для описания квази - двумерной и одномерной турбулентности, вызванной параметрическим возбуждением [7, 8]. Здесь в физических и компьютерных экспериментах получен один из сценариев развития турбулентности через перемежаемость при разрушении квазипериодического пространственного распределения.

Остановимся еще на задаче синхронизации нескольких генераторов переменного тока, работающих на общую нагрузку, т.е. на задаче о синхронизации в энергосетях [9, 10]. Здесь взаимодействие электрогенераторов позволяет достичь необходимой стабильности частоты в

энергосети. Интересно отметить, что именно энергосети весьма эффективно продемонстрировали возможность существования в сетях, наряду с режимом синхронизации, еще и сложных хаотических режимов [11, 12].

В качестве примера можно привести также задачу об управлении элементами фазированных антенных решеток [11, 13, 14]. Здесь для ансамбля генераторов требуется обеспечить как синхронность работы, так и управление фазовыми сдвигами. Межэлементные связи могут формироваться как целенаправленно, например, с помощью сравнения фаз сигналов соседних элементов [15], так и осуществляться через общее поле излучения [16].

Задачи, связанные с исследованием коллективной динамики ансамблей активных элементов, возникают не только в физике, но характерны и для биологии, экономики и др. Уже на протяжении многих лет устойчивый интерес вызывают биологические задачи о динамике нейронных ансамблей, которые тоже принадлежат к задачам исследования ансамблей активных элементов [17]. Наиболее глобальный вопрос здесь это построение динамической теории нервных систем. Особенно успешно эта задача решается на уровне малых нервных систем - генераторов ритмической активности живых организмов [18]-[29]. Здесь для простейших животных известны ответы на все ключевые вопросы: какие модели нейронов следует использовать, каково должно быть их взаимодействие, как используется внешняя информация. Источником этих знаний послужило экспериментальное исследование малых нервных систем. К сожалению, экспериментальный подход невозможен при исследовании больших нервных систем (например, коры головного мозга). Основные знания здесь базируются на построении умозрительных моделей, которые позволяют проиллюстрировать принципиальную разрешимость той или иной проблемы, т.е. предложить вероятный путь ее решения в живом мозге.

Таким образом, очень разнообразные по своей физической природе системы могут быть представлены в виде ансамбля взаимодействующих активных элементов. Естественно, что при построении моделей таких ансамблей используется и большой набор типов элементов, составляющих ансамбль. Фактически любой выбор элемента от сложного, обладающего хаотической динамикой, до наиболее простого является оправданным.

При моделировании больших ансамблей нейронов часто используют совсем простые модели триггерного типа. Здесь неприменимость экспериментального подхода привела к развитию исследований клеточных нейронных сетей [30, 31]. Клеточные нейронные сети [32] представляют собой искуственную дискретную активную среду для моделирования различных нелинейных динамических эффектов, известных из многих дисциплин. В работах [33, 34] в качестве парциального элемента взят генератор Ван-Дер-Поля. Часть наблюдаемых в этой работе эффектов основана на совместном существовании устойчивых стационарного и колебательного режимов в некоторой области параметров парциального элемента.

Остановимся подробнее на возможных вариантах элементов, которые обладают хаотической динамикой [35]. Достаточно простыми примерами генераторов хаотических колебаний являются генераторы с туннельными диодами [36, 37, 38]. К схеме такого генератора можно подойти, например, изменив привычную схему генератора Ван-дер-Поля введением в нее туннельного диода [36, 37]. Хаос, получаемый в такого рода системах, обычно соответствует аттрактору спирального типа. Другими достаточно простыми вариантами хаотических генераторов являются кольцевой генератор [39] и генератор с инерционной нелинейностью [40]. Для радиотехнических приложений привлекательным является анализ широко известных систем частотной и фазовой автоподстройки (ЧАП и ФАП) в режиме хаотических колебаний [42]. Эти

системы могут обеспечивать генерацию хаотически модулированных колебаний со стабилизированной средней частотой [41].

Отметим, что инверсное включение частотного дискриминатора в системе ЧАП позволяет получить существенно более сложные хаотические колебания (аттрактор типа "двойной завиток" или "double scroll") [42]. По - видимому, впервые возможность возникновения сложных хаотических колебаний, соответствующих аттрактору "двойной завиток", была отмечена для генератора с туннельным диодом в работе [43]. Впоследствии изучению таких хаотических колебаний в схемах, известных под названием " осциллятор Чуа", была посвящена обширная литература [44, 45, 46]. При исследовании ансамблей, состоящих из таких осцилляторов в качестве элементов [47], обычно используется характерное для них свойство бистабильности.

Еще одним классом моделей, которые широко используются в качестве элементов ансамблей, являются математические модели нейронов [48, 49, 50, 51, 52]. В результате экспериментального изучения биологических систем оказалось [17], что нервную клетку можно рассматривать как сосредоточенную систему. Более того, нейрон можно представить как нелинейную электрическую цепь из RC -элементов. Эксперименты последних лет показывают, что нормальная активность одиночного нейрона представляет собой динамический хаос. В некоторых случаях реконструируемый по реализации странный аттрактор вкладывается в трехмерное пространство. Построенные для этих случаев трехмерные математические модели получили широкое распространение [48, 52], хотя известны и более сложные модели.

Таким образом, из приведенных примеров следует, что системы, используемые в качестве элементов ансамблей, обладают свойством мультистабильности или способностью качественно изменять свою динамику при изменении параметра, или и тем и другим сразу.

Другим определяющим фактором для систем связанных элементов

является выбор варианта связи между ними. До недавнего времени исследования ограничивались линейными связями между элементами [53, 54, 55, 56]. Особый интерес вызывали диффузионные (разностные) связи, при которых воздействие на элемент пропорционально разнице состояний этого элемента и воздействующего. Такой интерес был продиктован многообразием приложений, в которых возникал именно такой вид связей. Это прежде всего гидродинамические задачи и задачи о соединении различных электронных схем. Как показали недавние исследования [17], в биологических системах наряду с диффузионными (электрическими) существуют так называемые синаптические связи, которые носят химический характер.

Синаптическая связь [17, 32] характеризуется наличием порога, т.е. грубо может быть аппроксимирована ступенчатой функцией (функцией Хэвисайда). Обнаружено [17], что синаптическая связь регуляри-зует поведение индивидуально хаотических нейронов, тогда как электрическая может привести только к обратному эффекту. Важно, что синаптическая связь имеет принципиально нелинейный характер и не принадлежит к разностному типу. Нелинейные недиффузионные связи ранее использовались лишь в задачах о связанных системах частотного управления [59], но при этом обычно использовались простейшие одномерные парциальные элементы. Таким образом, в последнее время возрос интерес к исследованию нелинейных связей недиффузионного типа. Один из актуальных вопросов здесь — это вопрос регуляризации динамики ансамбля за счет введения межэлементных связей.

Важным является выбор топологии (геометрии) связи. До последнего времени наиболее хорошо были изучены системы с одномерной и двумерной геометрией и локальными связями (взаимодействие только с ближайшими соседями). Такой выбор обусловлен с одной стороны физикой рассматриваемых задач, а с другой - соображениями простоты. Например, в клеточных нейронных сетях принято выбирать именно

локальные связи с тем, чтобы уменьшить трудности их последующей схемной реализации [32]. Тем не менее, в последнее время появляются работы, которые посвящены изучению ансамблей с большим количеством связей, в том числе глобальными связями (каждый элемент взаимодействует с каждым) [60, 62]. Значимость таких систем обусловлена предположениями о связях между элементами коры головного мозга [17]. Сейчас исследования таких систем представлены очень фрагментарно. Таким образом, возникает, вопрос о влиянии числа связей на динамику системы.

Основное внимание исследователей уделялось явлениям формирования пространственных структур [62]-[65], возникновению пространственного хаоса [66]-[72], нелинейным волновым процессам [73]-[79], включающим фронты переключения в бистабильных системах, бегущие импульсы в возбудимых системах, спиральные и концентрические волны [80]. В решетках, элементы которых обладают колебательными свойствами исследовались явления глобальной пространственной синхронизации колебаний [81, 82, 83]. Цепочки и решетки, составленные из элементов со сложной собственной динамикой, были изучены сравнительно мало.

Целью диссертационной работы является исследование зависимости динамики ансамблей связанных бистабильных активных элементов от силы и числа связей для случая нелинейной связи недиффузионного типа. Исследования проводятся исходя из задач управления динамическими свойствами таких ансамблей - регуляризации хаотической динамики и структурообразования.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Обосновать выбор базовой математической модели бистабильного динамического элемента, обладающего достаточно богатым набором динамических режимов (от простых до хаотических) и допус-

кающего различные варианты объединения в ансамбль с помощью нелинейных недиффузионных связей

2. Провести исследование цепочки локально связанных одномерных бистабильных элементов и сформулировать закономерности явления структурообразования в данном простейшем случае. Провести численное исследование зависимости динамики решетки локально связанных бистабильных элементов с различной, в том числе и хаотической, динамикой от силы связи. Рассмотреть вопрос структурообразования в такой системе.

3. Провести исследование динамики простейшего ансамбля - пары связанных бистабильных активных элементов в зависимости от вида и силы связи между ними для выяснения роли нелинейности связи.

4. Исследовать динамику ансамбля глобально связанных хаотических элементов в зависимости от силы связи, как простейший случай системы с большим количеством связей. Рассмотреть изменения, вносимые в параметрический портрет системы при уменьшении числа связей в ней от глобальных к локальным.

Научная новизна результатов работы;

• Обнаружена аналогия математических моделей, описывающих радиоэлектронный осциллятор Чуа и автогенератор с частотным управлением. На основании этой аналогии дано обоснование выбора базовой модели бистабильного динамического элемента.

• Изучен вопрос структурообразования в цепочке одномерных бистабильных элементов для случая нелинейной недиффузионной связи и выделены два возможных в этой системе способа формирования стационарных структур, основанных на свойствах нелинейной динамики системы.

• Обнаружена возможность подавления колебаний в двумерной решетке нелинейно недиффузионно связанных активных бистабиль-ных элементов. Отмечена возможность формирования стационарных пространственных распределений, основанная на таком подавлении.

• Исследован процесс подавления колебаний в системе с нелинейными недиффузионными связями на примере предельно малого ансамбля - пары связанных активных бистабильных элементов. Обнаружена возможность возникновения мультистабильности при введении связи между элементами.

• Изучен процесс подавления хаотических колебаний и регуляризации динамики в ансамбле глобально связанных активных бистабильных элементов с нелинейными недиффузионными связями. Обнаружено возникновение в широкой области параметров кластерного режима.

• Исследовано влияние изменения количества связей на проявление эффектов кластеризации и регуляризации в кольцевой цепочке активных бистабильных элементов с нелинейной недиффузионной связью. Обнаружено, что наиболее резкое изменение всех рассмотренных бифуркационных значений происходит в области наименьшего числа связей.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Введение недиффузионной связи в ансамбле, состоящем из большого числа бистабильных элементов, которые обладают колебательным, в том числе хаотическим, поведением, приводит к подавлению колебаний в системе и установлению стационарного состояния.

2. Регуляризация динамики системы хаотических глобально связанных бистабильных элементов, происходящая при введении связи между ними, сопровождается возникновением кластерных режимов.

3. При уменьшении количества связей в кольцевой цепочке бистабильных элементов от глобальных к локальным обнаружено, что наиболее резкое изменение всех рассмотренных бифуркационных значений происходит в области наименьшего числа связей.

Теоретическая и практическая значимость. В работе исследованы процессы регуляризации хаотической динамики и формирования пространственных структур в ансамблях, состоящих из бистабильных активных элементов. Результаты исследования существенны для развития теории коллективной динамики систем. Полученные в диссертации результаты по образованию стационарных пространственных распределений в ансамблях элементов с различной собственной динамикой могут служить теоретической основой для построения систем обработки, кодирования и передачи информации. Проведенные исследования позволяют дать практические рекомендации по выбору типа силы и топологии связей в системе для реализации конкретного динамического режима функционирования системы, формирования различных пространственных структур, осуществления полного или частичного стирания, выделения определенной части, или наоборот, контрастирования и проявления структур. Результаты диссертации могут быть полезными при изучении нелинейных явлений в ансамблях взаимодействующих активных бистабильных элементов, с недиффузионным типом связи, которые относятся к другим приложениям.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, научных конференциях ННГУ (1996-1999 гг.), сессиях молодых ученых

(Нижний Новгород 1997,1998 гг.), международных симпозиумах: Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA) (GransMontana, Switzerland 1998); Int. Specialist Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES) (Dublin, 1995; Москва 1997); Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems (Нижний Новгород, 1996); Международная Школа-Семинар 'Дни Нелинейной Динамики в Нижнем Новгороде-98" (Нижний Новгород, 1998); 5th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Forrhation (CHAOS 98) (Саратов 1998).

Личный вклад автора. Результаты, составляющие основу диссертации, получены лично автором. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [84]-[96].

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Кузнецов, Алексей Сергеевич

3.4 Выводы

В настоящей главе проведено детальное исследование явления подавления колебаний в ансамбле бистабильных активных элементов при введении нелинейных недиффузионных связей между ними. В качестве простейшей модели такого ансамбля рассматривалась пара связанных осцилляторов Чуа. Исследования показали, что режим, который демонстрирует элемент при сильном потоковом воздействии, не зависит от его режима в отсутствии воздействия и полностью определяется внешним сигналом, т.е. режимом воздействующего элемента. На основании свойств данного режима можно заключить, что он представляет собой вынужденные колебания. В случаях, когда осциллятор в отсутствии воздействия находится в колебательном режиме, переход в режим вынужденных колебаний происходит в результате подавления собственной активности осциллятора. Можно утверждать, что причиной такого подавления является увеличение стационарной части воздействующего сигнала. В случае взаимных связей увеличение параметра связи может привести к подавлению колебаний в системе и установлению стационарного состояния. Кроме того при введении взаимных связей в некоторых из рассмотренных случаев формируется мультистабиль-ность. Мультистабильность появляется в результате того, что становятся устойчивыми режимы, в которых амплитуда колебаний парциальных элементов сильно различается. Это дает возможность введения понятия активного и пассивного элемента в данном режиме.

Исследование системы глобально связанных хаотических биста-бильных элементов показало, что увеличение параметра связи здесь приводит к возникновению пары кластеров. Часть элементов системы принадлежит к одному из них, все остальные — к другому. Различие по амплитуде колебаний элементов, принадлежащих разным кластерам, позволяет ввести понятия активного и пассивного кластера. В области существования кластерных режимов ансамбль обладает муль-тистабильностью. Механизм появления таких режимов становится понятен из аналогии с ансамблем из двух взаимосвязанных элементов.

Динамика системы в кластерных и однородных режимах описывается в рамках маломерных моделей. Кроме того, эти модели позволяют рассчитать границы существования соответствующих режимов. При увеличении параметра связи возникают переходы между кластерными режимами, в результате которых уменьшается число элементов, составляющих активный кластер. В конечном итоге в системе происходит подавление колебаний, устанавливается однородный пассивный режим, которому соответствует состояние равновесия.

Исследование кольцевой цепочки бистабильных хаотических элементов при изменении числа связей показывает, что наиболее резкое изменение всех рассмотренных бифуркационных значений происходит в области наименьшего числа связей. Как следствие этого болыпинство из рассмотренных режимов не реализуется ни при каких параметрах связи в случае локальных связей. Здесь могут существовать кластерные режимы только с малым количеством автивных элементов. Область существования этих режимов мала. Тем не менее эффект подавления колебаний при увеличении параметра связи наблюдается и в этом случае.

Заключение

В соответствии с поставленной целью, в работе проведено исследование динамики ансамблей различным облазом связанных бистабильных активных элементов для случая нелинейной функции связи, зависящей только от состояния воздействующего элемента. Основными результатами диссертационной работы являются следующие:

1. Обнаружена аналогия математических моделей, описывающих разные физические системы: радиоэлектронный осциллятор Чуа и автогенератор с частотным управлением. На основании этой аналогии дано обоснование выбора базовой модели бистабильного динамического элемента. Проведены исследования динамики данного элемента, построен его параметрический портрет.

2. Изучен вопрос структурообразования в цепочке одномерных бистабильных элементов для случая нелинейной недиффузионной связи. Выделены два возможных в этой системе способа формирования стационарных структур, основанных на бистабильности парциальных элементов и зависимости состояния элемента от параметра соответственно. Обнаружен эффект контрастирования начального пространственного распределения координаты.

3. Обнаружен эффект подавления колебаний в двумерной решетке нелинейно недиффузионно связанных активных бистабильных элементов при увеличении параметра связи. В результате такого подавления устанавливается стационарная пространственная структура, соответствующая исходному распределению.

4. Получено, что введение недиффузионной (линейной или нелинейной) связи между двумя активными бистабильными элементами может привести к подавлению активности, которое вызвано увеличением стационарной части воздействующего сигнала. В случае сильного потокового воздействия динамика элемента не зависит от его режима в отсутствии воздействия, а полностью определяется внешним сигналом, т.е. данный режим элемента является режимом колебаний, вызванных внешним воздействием. В случае взаимных связей при увеличении параметра связи увеличение стационарной части воздействия на каждый из элементов может привести к подавлению колебаний. Кроме того, здесь обнаружена возможность возникновения мультистабильности при введении связи между элементами.

5. Обнаружено, что введение глобальных связей в ансамбле хаотических бистабильных элементов приводит к возникновению кластерных колебательных режимов, в которых элементы по амплитуде колебаний делятся на два кластера - активный и пассивный. Проведена аналогия мепжду мультистабильностью, реализующейся в области сущестовования кластерных режимов и формирующейся в ансамбле из двух взаимосвязанных бистабильных элементов. Подавление колебаний здесь происходит в результате разрушения кластерных режимов.

6. Получено, что наиболее резкое изменение всех рассмотренных бифуркационных значений при уменьшении числа связей от глобальных к локальным в кольцевой цепочке хаотических бистабильных элементов происходит в области наименьшего числа связей. Как следствие этого в случае локальных связей могут реализоваться кластерные режимы лишь с малым количеством активных элементов и в узкой области параметра связи. Тем не менее, качественная картина остается той же: подавление колебаний происходит в результате разрушения кластерных режимов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Алексей Сергеевич, 1999 год

Библиография

[1] Hedley P. Beasley M.R. and Wiesenfeld K. Phys.Rev.B 38(1988) 8712.

[2] Hedley P. Beasley M.R. and Wiesenfeld K. Appl.Phys.Lett. 52(1988) 1619.

[3] Wang S.S: and Winful H.G. Appl.Phys.Lett. 52(1988) 1774.

[4] Wang S.S. and Winful H.G. Appl.Phys.Lett. 53(1988) 1894.

[5] Benford J., Sze H., Woo W., Smith R.R. and Harteneck B. Phys.Rev.Lett. 62(1989) 969.

[6] Арансон И.С., Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И., Рогальский А.В., Сагдеев Р.В. Решеточные модели в нелинейной динамике неравновесных сред // Препринт N. 163. -Горький: ИПФ АН СССР. 1987. 24 С.

[7] M.I.Rabinivich, V.P.Reutov, A.V.Rogal'skii. Large - scale intermit-tance in parametrically excited capillary wave patterns. Pys. Let. A 1992 p. 217-221.

[8] A.B.Ezerskii, M.I.Rabinivich, V.P.Reutov, I.M.Starobinets. Spatiotemporal chaos in the parametric excitation of a capillary ripple. Sov. Pys. JETP 64 (6), 1986 p. 1228-1236.

[9] Веников В. А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М. Высшая школа, 1978. 415 с.

[10] Варайя П., У Ф.Ф., Чжань Жунлян. Прямые методы анализа динамической устойчивости энергосистем: Новые результаты.// ЕТТЭР. 1985. т.73, N 12 с. 8-22.

[11] Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении // Перевод с английского под ред. Ю.Н. Бакаева, М.В. Капранова. М. Сов. Радио, 1978. 600 с.

[12] Мучник Г.Ф. Порядок и хаос // Наука и жизнь. 1988. N 3. с. 68-75.

[13] Радиопередающие устройства / Под ред. М.В. Благовещенского, Г.М. Уткина. М. Радио и связь, 1982. 408 с.

[14] Самойленко В.И. Шишов Ю.Л. Управление фазированными антенными решетками. М. Радио и связь, 1983, 238 с.

[15] Есин С.В., Каганов В.И. Системы автоматического фазирования в передающих ФАР и устройствах сложения мощности СВЧ сигналов // Зарубежная радиоэлектроника. 1986. N 8. с. 39-48.

[16] Дворников A.A., Уткин Г.М. Фазированные автогенераторы радиопередающих устройств. М. Энергия, 1980. 176 с.

[17] Абарбанель Г.Д.И., Рабинович М.И., Селверстон А., Баженов М.В., Хуэрта Р., Сущик М.М., Рубчинский Л.Л. Синхронизация в нейронных ансамблях. УФН, 1996. Т.166, Э 4. С.363-390.

[18] Haken Н., Kelso J. A. S., Bunz Н. A theoretical model of phase transitions in human hand movements // Biol. Cybern. 1985. Vol. 51. P. 347-356.

[19] Kelso J. A. S., Scholz J. P., Schöner G. Nonequilibrium phase transitions in coordinated biological motions: critical fluctuations // Phys. Lett. 1986. Vol. 118. P. 279-284.

[20] Schöner G., Kelso J. A. S. Dynamic pattern generation in behavior and neural systems // Science. 1988. Vol. 239. P. 1513-1520.

[21] Buchanan J. J., Kelso J. A. S., Fuchs A. Coordination dynamics of trajectory formation // Biol. Cybern. 1995. Vol. 74. No. 1. P. 41-54.

[22] Fuchs A., Jirsa V. K., Haken H., Kelso J. A. S. Extending the HKB model of coordinated movement to oscillators with different eigen frequencies. // Biol. Cybern. 1996. Vol. 74. No. 1. P. 21-30.

[23] Sternad D., Turvey M. Т., Schmidt R. C. Average phase difference theory and 1:1 phase entrainment in interlimb coordination // Biol. Cybern. 1992. Vol. 67. P. 223-231.

[24] Kelso J. A. S., Delcolle J. D., Schöner G. Action-perception as a pattern formation process / Jeannerod M. (Ed.) Attention and Performance XIII. Erlbaum, Hillsdale, NJ, 1990. P. 136-169.

[25] Kelso J. A. S., Jeka J. J. Symmetry breaking dynamics of human multilimb coordination. J. Exp. Psychol. Hum. Percept. Perform., 1992. Vol. 18. P. 645-668.

[26] Мольков Я. И., Сущик М. М., Кузнецов А. С., Козлов А. К., Захаров Д. Г. Динамическая модель локомоторных движений человека, вызванных вибрационным воздействием на мышцы // Вестник Нижегородского университета, серия Радиофизика N 1, Н.Новгород 1998, стр. 63-89.

[27] Гурфинкель B.C., Левик Ю. С., Казенников О. В., Селионов В. А. Активация шагательного автоматизма вибрационной стимуляцией мышечных рецепторов у человека // Вестник Нижегородского университета, серия Радиофизика N 1, Н.Новгород 1998.

[28] Козлов А. К., Хуэрта Р., Рабинович М. И., Абарбанель Г. Д. И., Баженов М. В. Нейронные ансамбли с балансной связью как приемники информации. // ДАН. 1997. Т. 357. N 6. С. 752-757.

[29] Козлов А. К., Баженов М. В., Хуэрта Р., Рабинович М. И. Муль-тистабильность в нейронных ансамблях с балансной связью // Вестник Нижегородского университета, серия Радиофизика N 1, Н.Новгород 1998.

[30] CNNA'96 // 1996 Fourth IEEE International Workshop on Cellular Neural Networks and their Applications Proceedings, Sevilla, Spain, 1996.

[31] Pivka L. Autowaves and Spatio-Temporal Chaos in CNNs - Part I,II // IEEE Trans. Circ. Syst. 1995, Vol. 42, No. 10, pp. 638-664.

[32] L.O.Chua,

M.Hasler, G.S.Moschytz, J.Neirynck, Futunomous Cellular Newral Networks: A Unified Hfradigm for Pattern Formation and Acnive Wave Propagation. IEEE Trans. Circuits Syst., 1995. v.42, pp. 559577.

[33] Некоркин В.И., Казанцев В.Б., Velarde M.G. Динамическое копирование в многослойных бистабильных решетках // Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика, 1997, т. 5, N 5, сс. 5668.

[34] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Rabinovich M.I., Velarde M.G. Controlled disordered patterns and information transfer between coupled neural lattices with oscillatory states // Phys. Rev. E, 1998, Vol. 57, No. 3, pp. 3344-3351.

[35] Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А,Р. Хаотические колебания — генерация, синхронизация, управление. Успехи современной радиоэлектроники. 1997. N 10. С.27-49.

[36] Кияшко C.B., Пиковский A.C., Рабинович М.И. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением. Радиотехника и электроника, 1980, т.25, N 2. С.336-343.

[37] Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

[38] Андрушкевич A.B., Кипчатов A.A., Красичков JI.B., Коронов-ский A.A. Путь к хаосу в кусочно-линейной модели генератора на туннельном диоде. Изв. ВУЗов. ПНД. 1993. Т.1, N 1, С.93-103.

[39] Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

[40] Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

[41] Заулин И.А., Пономаренеко В.П. Динамические режимы и бифуркационные явления в нелинейных статических системах синхронизации. - Радиотехника и электроника. 1993, т.38, Э 5, с.889-900.

[42] Пономарнеко В.П, Матросов В.В.. Моделирование динамических процессов в автогенераторных системах с частотным управлением. Уч. пособие. Н.Новгород, Изд - во Нижегородского ун - та, 1997.

[43] Рабинович М.И. Стохастические колебания и турбулентность. -УФН, 1978, Т.125, с.123.

[44] Matsumoto Т. A chaotic attractor from Chua's circuit. - IEEE Trans. Circ. Syst., 1984, vol.31, no.12, pp.1055-1058.

[45] Chua L.O. Global unfolding of Chua'scircuit. - IEICE Trans. Fundamentals, 1993, vol. E76-A, no.5, pp.704-734.

[46] Chua's circuit: A Paradigm for Chaos. Edited by R.Madan. - Singapore: World Scientific, 1993.

[47] Некоркин В.И., Макаров В.А., Казанцев В.Б. Пространственный беспорядок в решетках связанных бистабильных систем. Вестник ННГУ, Нелинейная динамика - синхронизация и хаос. 1996. С.61-76.

[48] Hodgkin A.L., Huxley A.F. //A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve J. Physiol (London), 1952, V.117, p. 500.

[49] Ходжкин A. // Нервный импульс Из-во "Мир", Москва, 1965, 126с.

[50] Fitz Hugh R. // Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane, Biophys. J., 1961, V.l, pp. 445-446.

[51] Nagumo J., Arimoto, S., Yoshizawa S. // An active pulse transmission line simulating nerve axon, Proc. IRESO, 1962, pp. 2061-2070.

[52] Hindmarsh J.L., Rose R.M. //A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations, Proc. R. Soc. Lond. B, 1984, V. 221, pp. 87-102.

[53] Афраймович B.C., Некоркин В.И. Устойчивые стационарные движения в цепочке диффузионно связанных отображений // Препринт N. 303. -Горький: Изд-во ИПФ АН СССР. 1991. 18 С.

[54] Афраймович B.C., Некоркин В.И. Устойчивые состояния в цепочечных моделях неограниченных неравновесных сред // Мат. Моделирование. 1992. Т. 4, N. 1. С. 83-95.

[55] Астахов В.В., Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Особенности возникновения квазипереодических движений в системе диссипативно связанных нелинейных осцилляторов под внешним переменным воздействием // Письма в ЖТФ.1988. Т. 14. N. 1. С. 37-41.

[56] Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мультистабильность состояний диссипативно связанных фейгенбаумовских систем / / Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15. N. 3. С. 60-65.

[57] Kennedy М.Р., Three Steps to Chaos; Theory, IEEE Trans. Circuits Syst., 1993. v.40, pp. 640-674.

[58] Osipov G.V. Shalfeev V.D. The Evolution of Spatio - Temporal Disorder in a Chain of Unidirectionally - Coupled Chua's Circuits IEEE Trans. Circuits Syst., 1995. v.42, pp. 687-692.

[59] Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д., Устойчивость структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Изд-во ИПФ РАН, Горький 1989.

[60] H.Daido, Discrete-Time Population Dynamics of Interacting Self-Oscillators. Prog. Theor. Phys. Vol. 75, No. 6, June 1986, Progress Letters.

[61] H.Daido, Inntrinsic Fluctuations and a Phase Transition in a Class of Large Populations of Interacting Oscillators, Journal of Statistical Physics, Vol.60, Nos. 5/6,1990.

[62] Golomb D., Hansel D., Shraiman В., Sompolinsky H. Clustering in globally coupled phase oscillators // Physical Review A, 1992, Vol. 45, N. 6, pp. 3516-3530.

[63] Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича -М.: Наука. 1987. 398 С.

[64] Полак JI.C., Михайлов А.С. Процессы самоорганизации в физико-химических системах. -М.: Наука, 1983, 115 С.

[65] Nicolis G., Prigozhin I., Self-Organization in Non-Equilibrium Systems, N.Y., Wiley, 1977.

[66] Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Space-time chaos in coupled map lattices // Nonlinearity. 1988. Vol. 1. P. 581.

[67] Kaneko K. Spatiotemporal chaos in one and two-dimensional coupled map lattices // Physica D. 1989. Vol. 37. P. 60.

[68] Nekorkin V.I., Chua L.O. Spatial disorder and wave fronts in a chain of coupled Chua's circuits // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3. PP. 1281-1291.

[69] Astakhov V.V., Anishenko V.S., Shabunin A.V. Controlling spatiotemporal chaos in a chain of the coupled logistic maps // IEEE Trans, on Circuits and Systems I. 1995. V. 42. N. 6. P. 352-357.

[70] Winful H.G., Rahman L. Synchronized Chaos and Spatiotemporal Chaos in Arrays of Coupled Lasers // Physical Review Letters, 1990, Vol. 65, N. 13, PP. 1575-1578.

[71] Otsuka K. Self-Induced Phase Turbulence and Chaotic Itenerancy in Coupled Laser Systems // Physical Review Letters, 1990, Vol. 65, N. 3, PP. 329-332.

[72] Рабинович М.И., Фабрикант A.JI., Цимринг JI.HI. Конечномерный пространственный беспорядок , УФН, 1992, т. 162, N. 8.

[73] Хаус X. Волны и поля в опто-электронике. - М.: Мир, 1988 (пер. с англ. под ред. К.Ф. Шипилова).

[74] Агравал Г. Нелинейная волновая оптика. - М.: Мир, 1996 (пер. с англ. под ред. П. В. Малышева).

[75] Hasegawa A., Kodama Y. Solitons in Optical Communications. Oxford: Oxford Univ. Press, 1995.

[76] Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. // Советское радио, 1977. 368 е..

[77] Нелинейные волны. Самоорганизация. / Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича-М.: Наука. 1983. 264 С.

[78] Нелинейные волны. Динамика и эволюция. / Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича -М.: Наука. 1989. 398 С.

[79] Saarloos W. and Hohenberg Р.С., Fronts, pulses, sources and sinks in generalized complex Ginzburg-Landau equation // Physica D, 1992, Vol. 56, pp. 303-367.

[80] Perez-Munuzuri A., Perez-Munuzuri V., Perez-Villar V., Chua, L.O. Spiral waves on a 2-D array of nonlinear circuits // IEEE Trans. Circuits Syst. 1993, Vol. 40, No. 11, pp. 872-877.

[81] Белых B.H., Веричев H.H. О динамике взаимосвязанных ротаторов // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1988. N. 6.

[82] Гуртовник А.С., Неймарк Ю.И. Синхронизмы в системе циклически слабосвязанных осцилляторов // Динамика систем: Динамика и управление, сб. науч.тр. под ред. Ю.И. Неймарка -Н.Новгород, гос. ун-т, 1991, С. 84-97.

[83] Sushchik М.М., Osipov G.V. Coherent structures in coupled chains of self-excited oscillators // Physics Letters A, 1995, N. 201, PP. 205-212.

[84] V.D.Shalfeev, G.V.Osipov, A.S.Kuznetsov "Spatio-temporal dynamics in Chua's circuits networks". Pros, of the third international spetialist workshop on nonlinear dynamics of electronic systems NDES'95, ed. M.P.Kennedy, University College Dublin, 1995, pp. 299-302.

[85] V.D.Shalfeev A.S.Kuznetsov "Controlling pattern formation in a CNN of Chua's circuits" Int. J. Bifurcation and chaos, 1996 v.6(ll), pp. 2127-2144.

[86] А.А.Алексеев, А.С.Кузнецов, В.Д.Шалфеев "Об управлении структурами в решетке связанных осцилляторов Чуа". Юбилейная научная конференция посвященная 100-летию радио и 50-летию Радиофизического факультета ННГУ. Тезисы докладов, ред. А.В.Якимов. Изд-во ННГУ, Н.Новгород, 1995 г., стр.5.

[87] М.В.Корзинова, А.С.Кузнецов "Моделирование пространственно - временной динамики цепочки каскадно связанных генераторов". Юбилейная научная конференция посвященная 100-летию радио и 50-летию Радиофизического факультета ННГУ. Тезисы докладов, ред. А.В.Якимов. Изд-во ННГУ, Н.Новгород, 1995 г., стр.39-40.

[88] А.С.Кузнецов В.Д.Шалфеев "О формировании структур в решетке связанных активных элеминтов". Известия ВУЗов Радиофизика, т.38(3-4), 1995, стр.110-115.

[89] V.D.Shalfeev, A.S.Kuznetsov "Asymmetrical Chua's circuit", Int. Conf. on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems, Abstr., N.Novgorod, 1996, p.46.

[90] V.D.Shalfeev, A.S.Kuznetsov "Pattern formation in coupled Chua's circuits", Int. Conf. on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems, Abstr., N.Novgorod, 1996, pp.46-47.

[91] V.D.Shalfeev, A.S.Kuznetsov "Structure formation and regulariza-tion in an array of globally cooupled oscillators", Pros, of the 5'th international spetialist workshop on nonlinear dynamics of electronic systems NDES'97, Moscow 1997, pp. 347-351.

[92] А.С.Кузнецов, В.Д.Шалфеев, "О структурообразовании и регуляризации в системе глобально связанных осцилляторов", Вестник нижегородского университета Нелинейная динамика - синхронизация и хаос - II, Н.Новгород 1997 стр. 84-92.

[93] А.С.Кузнецов, "Динамика модифицированного осциллятора Чуа" Вестник нижегородского университета серия Радиофизика N 1, Н.Новгород 1998 стр. 136-145.

[94] А.С.Кузнецов, В.Д.Шалфеев, "О кластеризации и упорядочении в системе глобально связанных осцилляторов" Вторая нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докладов, Н.Новгород, изд-во ИПФ РАН, 1997, стр. 75.

[95] А.С.Кузнецов, "Зависимость коллективной динамики системы глобально" связанных элементов от вида функции связи" Третья нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докладов, Н.Новгород 1998, .

[96] А.С.Кузнецов, В.Д.Шалфеев, "Анализ процессов регуляризации в ансамбле связанных хаотических осцилляторов", Известия ВУЗов Радиофизика, т.41(12), 1998, стр.1558-1564.

[97] М. I. Rabinovich, Н. D. I. Abarbanel, R. Huerta, R. Elson, and A. Selverston, Self-regularization of Chaos in Neural Systems: Experimental and Theoretical Results. IEEE Transactions on Circuits and Systems 44(10), 997-1005, 1997.

[98] H. D. I. Abarbanel, R. Huerta, M. I. Rabinovich, N. F. Rulkov, P. F. Rowat, and A. I. Selverston. Synchronized Action of Synaptically Coupled Chaotic Model Neurons. Neural Computation 8 , 1567-1602, 1996.

[99] H. D. I. Abarbanel, M. I. Rabinovich, A. Selverston, M. V. Bazhenov, R. Huerta, L. L. Rubchinsky, and M. M. Sushchik, The synchronization of Neural Assemblies, Uspekhi Fizicheskih Nauk 166(4) , 1-28, 1996.