Символьно-численная реализация модели квантовых измерений водородоподобных атомов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Зорин Александр Валерьевич

• Зорин Александр Валерьевич
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Зорин Александр Валерьевич

2.2 Правило квантования Вейля

2.3 Неопределённость значений физических величин

2.4 Правило квантования Курышкина-Вейля

2.5 Измеренные значения квантовых наблюдаемых

3 Представление оператора Гамильтона водородоподобного атома

в квантовой механике Курышкина-Вудкевича

3.1 Модель квантовых измерений в оснащённом гильбертовом пространстве

3.2 Вывод дифференциального представления операторов наблюдаемых водородоподобного атома

3.3 Оснащение гильбертова пространства системой норм, порожденных операторами измеренных наблюдаемых водородоподобного атома

3.4 Операторы наблюдаемых в КМК в зависимости от количества вспомогательных функций, сходимость

4 Структура спектра измеренного оператора Гамильтона водородоподобного атома

4.1 Описание спектра водородоподобного атома

4.2 Операторы Гамильтона водородоподобного атома в КМК

4.3 Описание спектра оператора О(Н) в КМК

4.4 Спектральные свойства (оператора Гамильтона) водородоподобного атома в квантовой механике Курышкина

4.5 Спектральный анализ вспомогательных операторов

5 Матрицы Ритца оператора Гамильтона водородоподобного атома

в квантовой механике Курышкина-Вудкевича

5.1 Зависимость спектра оператора Гамильтона в квантовой механике Курышкина-Вудкевича от параметров модели

5.2 Метод Ритца численного отыскания собственных значений и собственных векторов измеренного оператора Гамильтона

5.3 Явный вид матриц Ритца измеренного оператора в базисе штурмов-ских функций

5.4 Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы Ритца

5.5 Редукция трёхмерной краевой задачи методом Галёркина по угловым переменным

5.6 Приложение правила квантования Курышкина-Вейля к задаче Кеплера159

6 Модель Курышкина-Вудкевича для атомов щелочных металлов

6.1 Энергетический спектр валентного электрона в атомах щелочных металлов

6.2 Метод псевдопотенциалов описания многоэлектронных атомов

6.3 Моделирование измеренного энергетического спектра атомов щелочных металлов

6.4 Квантовая модель измерения Курышкина-Вудкевича для атомов щелочных металлов и ионов с одним валентным электроном

6.5 Особенности квантовой механики с неотрицательной функцией распределения для моделирования электронов в атомах щелочных металлов

6.6 Квантовая механика с неотрицательной функцией распределения

как теория квантовых измерений

7 Вычисление вероятностей оптических переходов в водородоподоб-

ных атомах в квантовой механике Курышкина-Вудкевича

7.1 Методы верификации спектральной проблемы

7.2 Вероятности радиационных переходов в изолированном атоме

7.3 Вероятности радиационных переходов в поле излучения

7.4 Силы осциллятора

7.5 Средние значения наблюдаемых и вычисление вероятностей результатов измерения

7.6 Вычисление вероятности измеренного перехода системы из одного собственного состояния в другое

7.7 Вероятности радиационных переходов в атомах щелочных металлов208

8 Состояния с минимальной дисперсией наблюдаемых в квантовой механике Курышкина-Вудкевича

8.1 Операторы момента импульса и квадрата момента импульса водородоподобного атома в первом приближении

8.2 Возможная постановка задач в квантовой механике Курышкина

8.3 Постановка задач на отыскание состояний с минимальной дисперсией в КМК

8.4 Приближенное вычисление состояний с минимальной дисперсией

в квантовой механике Курышкина-Вудкевича

8.5 Анализ решения задачи методом малого параметра

8.6 Численное решение задачи методом малого параметра

8.7 Альтернативные методы вычисления состояний с минимальной дисперсией

8.8 Заключение

9 Программа MAPLE для моделирования водородоподобных атомов в квантовой механике с неотрицательной функцией распределения

9.1 Введение

9.2 Программа ODF и примеры использования

9.3 Выводы

Заключение

А Непрямые квантовые измерения

Список иллюстраций

Список таблиц

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Символьно-численная реализация модели квантовых измерений водородоподобных атомов»

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Предельный переход квантовой механики в классическую статистическую теорию (Блохинцевым Д.И., Терлецкий Я.П.) и возможность введения различных квантовых функций распределения привели к попыткам интерпретировать квантовую механику как статистическую теорию классического типа на основе одной из квантовых функций распределения, рассматриваемой как плотность вероятности в квантовом пространстве, но вскоре выяснилось, что в общепринятой квантовой механике не существует положительно определенной квантовой функции распределения (Коэн). Однако можно поправить правило квантования наблюдаемых величин таким образом, что существует всюду неотрицательная квантовая функция распределения (Курышкин В.В.).

Фактически В.В. Курышкин предложил оригинальную версия квантовой механики, которая отличается от стандартной только правилом квантования, и в некотором смысле близка стандартной. Это правило квантовая возникло в другом контексте в работах Вудкевича, поэтому эту версию квантовой механики мы предложили называть квантовой механикой Курышкина-Вудкевича, и представляет собой конструктивную реализацию стандартной модели квантовых измерений

Холево-Хелстрома (Хелстром К, Холево А. С.). В настоящее время уровень эксперимента в квантовой механике подошел к той границе, когда величинами энергии взаимодействия нельзя пренебрегать по сравнению с величиной энергии квантового объекта, поэтому развитие методов исследования математических моделей квантовой теории измерений становится все более актуальной задачей.

Квантовая механика Курышкина (КМК) завершает теоретические работы Тер-лецкого Я.П. и Блохинцева Д.И. по установлению правила соответствия между классической и квантовой физикой. КМК развивает и совершенствует предложение Вигнера Е.П. о вычислении квантовых поправок к классическим выражениям для термодинамических характеристик с помощью фазовой функции распределения. Важным результатом теории, построенной таким образом, является вероятностный характер функции распределения на фазовом пространстве по сравнению с квазивероятностным характером функции распределения Вигнера, в то время как модель Вигнера не обеспечивает и корректного предельного перехода квантовой механики в классическую статистическую механику.

Из обобщенного соотношения неопределенностей теории квантовых измерений следует, что точность измерения даже одной, отдельно взятой наблюдаемой, в общем случае ограничена, чему нет аналога в общепринятой квантовой механике. В связи с этим актуальной является изучение модели квантовых измерений и ее компьютерная реализация. Прикладные и вычислительные аспекты теории квантовых измерений к настоящему времени систематически разработаны лишь для задач квантовой оптики, математические модели которой формулируются в виде линейной комбинации (конечной или бесконечной) линейных осцилляторов.

Своим рождением квантовая механика обязана исследованию спектров атомов, а описание спектральных линий водорода стала ее первым успехом. Поэтому модель водородоподбного атома важнейшей и наиболее изученной в стандартной квантовой механике. Механика Курышкина-Вудкевича предлагает для описания водородоподных атомов модель, отличающуюся от стандартной. Несмотря на всю очевидную важность для сравнения версий квантовой механики, методы исследования этой модели к настоящему времени не развиты. Можно ожидать, что эта модель, будучи моделью квантовой теории измерений, даст спектры, отличающиеся от стандартных небольшим размазыванием линий, вносимым измерением. Поэтому разработка методов исследования модели квантовых измерений в приложении к квантовым системам с одним валентным электроном, их реализация в виде комплекса программ и верификация результатов является актуальной проблемой.

Степень разработанности темы

Результатом работ Я.П. Терлецкого и Д.И. Блохинцева является установление того факта, что в пределе квантовая механика переходит в классическую статистику. В этом направлении опубликованы работы следующих авторов: E. Wigner, I.E. Moyal, C.L. Mehta, C.L. Mehta, L. Cohen, T.S. Shankara, Курышкин В.В., М.А. Мокуль-ский, Ю.Л. Климонтович, В.П. Силин, K. Imre, E Ozizmir, M. Rosenbaum, P.F. Zweifel, F. Bopp, А.А. Тяпкин, H. Margenau, R.N. Hill, H.J. Groenewold, J.R. Shewell.

Под руководством Терлецкого Я.П. его ученик Курышкин В.В. сформулировал постулаты квантовой механики с неотрицательной квантовой функцией распределения (КФР). КФР Курышкина является фазовым представлением матрицы

плотности. Аналог уравнения Лиувилля для КФР Курышкина переходит в уравнение Лиувилля для классической функции распределения в классическом пределе.

Каждая физическая модель и каждая физическая теория должна верифицироваться экспериментальными данными. Последние извлекаются в процессе измерения наблюдаемой величины. Разработаны два магистральных направления в теории квантовых измерений. Операциональная теория квантовых измерений (G. Ludwig, E.B. Davies, J.T. Lewis, K.Kraus, и др.). Она согласуется с понятиями повторных и неразрушающих измерений, созданных в работах E. P. Wigner, H. Araki, M. Yanase, В.Б. Брагинского, Ю.И. Воронцова, Ф.Я. Халили и др. физиков теоретиков и физиков экспериментаторов. Стандартная теория квантовых измерений, разработанная трудами Н.Н. Ченцова, М.А. Наймарка, А.С. Холево, Хелстрома (C.W. Helstrom) является законченной математической теорией. Она абстрактна и трудна для практических применений. Своеобразная конструктивная операциональная модель квантовых измерений создана в работах В.В. Курышкина, K.Wodkiewicz, G.M.D'Ariano, U.Leonhardt, H.Paul и др. Опираясь на результаты M.Ozawa, в диссертации показано, что она является частным случаем стандартной теории квантовых измерений. Эта модель обобщена в диссертации для описания измеренных спектральных данных "водородоподобных"атомов щелочных металлов.

Теоретическое исследование математической модели Курышкина-Вудкевича в диссертации базируется на результатах выдающихся ученых: В.Е. Тарасов, Ф.А. Березин, И.М. Гельфанд, Н.Я. Виленкин, H. Weyl, J.M. Gracia-Bondia, J.C. Varilly, Д.А. Славнов, R. de la Madrid, A. Bohm, M. Gadella, В.М. Клечковский, Ю.Н. Демков,

В.Н. Островский, Y. Kitagawara, A.O. Barut, И.И. Собельман, М.Г. Веселов, Л.Н. Лаб-зовский, J.W. Noh, A. Fougères, L. Mandel. В части прикладного функционального анализа, численных методов математической физики и методов математического моделирования анализ модели опирается на работы выдающихся ученых: J. Weidmann, K. Jorgens, F. Rellih, T. Kato, М. Рида, Б. Саймона, Е.П. Жидкова, С.Г. Михлина, Р. Рихтмайера, С.В. Христенко, А.И. Шерстюка. Исследование также использовало методы следующих авторов: A. Weinstein, N. Aronszajn, N.W. Bazley, D.W. Fox, O. Goscinski, M.B. Kadomtsev, S.I. Vinitsky, Z. Papp, M. Rotenberg.

Цели и задачи диссертации

Целью диссертации является развитие методов исследования энергетических спектров валентных электронов водородоподобных атомов и ионов, атомов щелочных металлов в рамках модели квантовых измерений Курышкина-Вудкевича, и их реализация в виде комплекса программ.

Для достижения поставленных целей были сформулированы и решены следующие задачи.

- Сформулировать и обосновать правило квантования Курышкина-Вейля для измеренных наблюдаемых с использованием операторной формулировки квантовой механики Курышкина-Вудкевича.

- Изучить геометрические и спектральные свойства операторов Курышкина-Вейля для квантовых моделей возмущенных водородоподобных атомов.

- Обосновать реализуемость и реализовать конструктивно метод Рэлея-Ритца для количественного описания измеренных энергетических спектров водоро-доподобных атомов.

- Установить хорошую обусловленность матриц Ритца измеренных операторов Гамильтона водородоподобных атомов в базисе Штурмовских функций в качестве координатных.

- Установить редуцируемость модели квантовых измерений Курышкина-Вудкевича для атомов щелочных металлов к соответствующей модели для водородоподобного атома в виде правила квантования Курышкина-Курышкина-Вейля.

- Вывести формулы для вероятностей оптических переходов в атомах с одним валентным электроном в терминах модели Курышкина-Вудкевича.

- Реализовать на компьютере расчеты измеренных энергетических спектров водородоподобных атомов.

- Верифицировать полученные результаты с помощью вычисленных на компьютере вероятностей соответствующих оптических переходов.

- На основании адекватных аналитических и численных методов и алгоритмов реализовать пакет символьно-численных компьютерных вычислений на базе Maple.

Новизна результатов проведенных исследований

В диссертации впервые исследованы энергетических спектров валентных электронов водородоподобных атомов и ионов, атомов щелочных металлов в рамках

модели квантовых измерений Курышкина-Вудкевича.

1. Установлено, что операциональная модель квантовых измерений Курышкина-Вудкевича является частным случаем стандартной модели квантовых измерений Холево-Хелстрома. В отличие от общего случая она обладает конструктивными преимуществами.

2. Измеренные наблюдаемые атомов водорода и атомов щелочных металлов, моделируемые оператором Гамильтона водородоподобного атома в квантовой механике с неотрицательной квантовой функцией распределения, описываются псевдо-дифференциальными операторами, обладающими следующими свойствами:

- Квантовые измеренные наблюдаемые получаются из классических наблюдаемых с помощью правила квантования Курышкина-Вейля.

- Квантовые измеренные наблюдаемые являются ограниченными снизу самосопряженными операторами.

- Квантовые измеренные наблюдаемые являются компактными, равными нулю на бесконечности возмущениями своих аналогов в общепринятой квантовой механике.

- Дискретный спектр квантовых измеренных наблюдаемых лежит ниже непрерывного спектра, как и для их аналогов в общепринятой квантовой механике.

- Штурмовские функции атома водорода образуют полную почти ортогональную систему функций для операторов Гамильтона водородоподобного атома, моделирующих измеренные операторы Гамильтона атомов водорода и щелочных металлов.

3. В рамках символьно-численной реализации операциональной модели

Курышкина-Вудкевича:

- Аналитически вычислены операторы Гамильтона водородоподобного атома в квантовой механике с неотрицательной квантовой функцией распределения.

- Аналитически вычислены матрицы Ритца операторов Гамильтона водородоподобного атома в базисе Штурмовских функций.

- Реализованы численные методы решения частичной и полной обобщенной задачи на собственные значения и собственные векторы матриц Ритца.

- Вычислены вероятности радиационных переходов в атомах водорода и щелочных металлов для верификации операциональной модели квантовых измерений Курышкина-Вудкевича.

Практическая значимость проведенных исследований

Теория квантовых измерений изучает взаимодействие квантового объекта с «квантовым» измерительным инструментом. Зависимость экспериментально измеренных величин от расположения и характеристик квантовых анализаторов и детекторов отмечалась многими исследователями на протяжение нескольких десятилетий. Результаты квантовой теории измерений важны для экспериментального исследования квантово-механических объектов, верификации теоретической структуры квантовой механики. К сожалению, в настоящее время возмущения квантовыми измерениями наблюдаемых величин атомных систем редко учитываются в компьютерных алгоритмах и вычислениях. Прикладные

и вычислительные аспекты теории квантовых измерений к настоящему времени систематически разработаны лишь для задач квантовой оптики.

Проведенные в диссертации теоретические исследования и разработанный на основе этих исследований алгоритмически-программный комплекс позволяет включить результаты модели квантовых измерений в экспериментальные исследования атомно-молекулярных структур, в том числе и для развития технологии передачи квантовой информации.

Теоретическая ценность научных работ соискателя

Теоретические ценность результатов, полученных в ходе компьютерного моделирования, заключается в том, что получены:

- Уравнение на собственные значения и собственные векторы оператора Гамильтона.

- Уравнение на состояния с минимальной дисперсией.

- Введение форм-фактора размазки точки в Штурмовских функциях.

- Граничные условия (в нуле и на бесконечности, в том числе по углам) на базисные функции в процедуре разложения в методе Галеркина (методе Канторовича).

- Следствия нецентральности потенциала оператора Гамильтона водородопо-добного атома, аналитически вычисленного в пакете Maple.

- Исследование спектральных свойств матрицы Рэлея-Ритца для оператора Гамильтона водородоподобного атома, аналитически вычисленного в пакете Maple.

- Теорема о спектральной сходимости матрицы Рэлея-Ритца к оператору Гамильтона водородоподобного атома, аналитически вычисленного в пакете Мэпл.

- Двусторонние оценки спектра матрицы Рэлея-Ритца для оператора Гамильтона водородоподобного атома, аналитически вычисленного в пакете Maple.

Методы исследования

В ходе проведения диссертационных исследований использовались методы функционального анализа в гильбертовых пространствах, прямые вариационные методы: метод Ритца и метод Галеркина, символьные методы компьютерной алгебры в пакете Maple, численные методы, встроенные в пакете Maple, методы исследования оснащённые гильбертовых пространств, спектральные методы исследования операторов Шредингера, символьные и численные методы компьютерных исследований, асимптотический метод, метод разложения по малому параметру.

Основные положения, выносимые на защиту:

- Показано, что операторы измеренных наблюдаемых описываются правилом квантования Вейля-Курышкина. Явное строение данных операторов описано конструктивной моделью Курышкина-Вудкевича. Изучение данной модели базируется на использовании символьных вычислений явного вида операторов Вейля-Курышкина с использованием систем компьютерной алгебры с помощью Штурмовских функций. Этим вычислениям посвящена первая половина представленной работы.

- Полученные явные выражения для операторов измеренных наблюдаемых (операторов Вейля-Курышкина) позволяют провести их сравнительный анализ с соответствующими операторами ожидаемых наблюдаемых (операторами Вейля-Березина). Проведенный анализ позволяет реализовать численное исследование дискретного спектра операторов Вейля-Курышкина для водоро-доподобных атомов. Основным инструментом такого исследования является матрица Ритца соответствующего оператора в базисе Штурмовских функций для атома водорода. Символьным вычислениям указанной матрицы Ритца посвящена вторая часть представленной работы.

- Все символьные вычисления проводились в пакете Maple с использованием базовых процедур и дополнительных возможностей. Проведенные символьные вычисления позволили приготовить инструментарий для последующего численного исследования спектральных характеристик измеренных наблюдаемых. Численные исследования показывают состоятельность модели Курышкина-Вудкевича для описания измеренных наблюдаемых квантовых систем водородоподобных атомов.

Степень достоверности результатов проведенных исследований

Операциональная модель Курышкина-Вудкевича реализована методом вычислительного эксперимента.

На основе сформированных целевых функций восстановления численно реализован устойчивый алгоритм восстановления параметров смотрового окна по измеренным спектральным данным атомов водорода и щелочных металлов.

По вычисленным вероятностям радиационных переходов (с использованием вычисленных параметров смотровых окон) в атомах водорода и щелочных металлов верифицирована операциональная модель квантовых измерений Курышкина-Вудкевича.

Аппробация

Результаты диссертационных исследований докладывались более чем на 40 Российских и Международных конференциях с 1998 года по 2020 год, в том числе:

- The seventh International Workshop "Supersymmetries and Quantum Symmetries" from July, 30 to August, 4 of International Conference SYMMETRIES IN PHYSICS, March 27-29,2008, Dubna, Russia.

- The XIII International Conference on Symmetry Methods in Physics (SYMPHYS-XIII) Dubna, Russia, July 6-9,2009.

- The XIV International Conference on Symmetry Methods in Physics (SYMPHYS-XIV) Tsakhkadzor, Armenia, at August 16 - 22,2010.

- 5-й Международный конгресс по математическому моделированию, г. Дубна, 30 сентября - 6 октября, 2002.

- Mathematical Modeling and Computational Physics 2006 High Tatra Mountains, Slovakia, August 28 - September 1,2006.

- Mathematical Modeling and Computational Physics 2009. Joint Institute for Nuclear Research, Laboratory of Information Technologies, Dubna, Moscow region, Russia July 7- July 11,2009.

- Mathematical Modeling and Computational Science — International Conference, MMCP 2011, Stara Lesna, Slovakia, July 4-8,2011.

- 15th International Workshop, CASC 2013, Berlin, Germany, September 9-13,2013.

- Mathematical Modeling and Computational Physics 2013. Joint Institute for Nuclear Research, Laboratory of Information Technologies, Dubna, Moscow region, Russia July 8- July 12,2013.

- Mathematical Modeling and Computational Physics 2015. Stara Lesna, High Tatra Mountains, Slovakia, July 13-17,2015.

- Mathematical Modeling and Computational Physics 2017. Dubna, Russia, July 3-7, 2017.

- The 9th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems, Munich, Germany on 6-8 November, 2017.

- 2018 10th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT 2018) Moscow, Russia in November 5-9,2018.

- 21st International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, CASC 2019, Moscow, Russia, August 2019.

- Mathematical Modeling and Computational Physics 2019. Stara Lesna, High Tatra Mountains, Slovakia, July 1-5,2019.

- 11th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), Dublin, Ireland, 2019.

- Analytical and Stochastic Modelling Techniques and Applications. ASMTA 23-25 Oct 2019, РУДН, Москва, Россия.

- 12th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), Brno, Czech Republic, 2020.

Личное участие соискателя в получении результатов, изложенных в диссертации

Соискателем получены подавляющее большинство теоретических результатов диссертации, большая часть алгоритмических построений и значительная часть проведенных компьютерных экспериментов. В частности, ему принадлежат:

- Теоретическое исследование и численное отыскание состояний с минимальной дисперсией;

- Исследование существенного и дискретного спектра операторов Гамильтона в модели Курышкина-Вудкевича;

- Описание вероятностей оптических переходов в водородоподобных атомах в квантовой механике Курышкина-Вудкевича;

- Построение структуры оснащенного пространства оператора Гамильтона водо-родоподобного атома в операционной модели квантовых измерений;

- Изучение квазистационарных состояний оператора Гамильтона водородо-подобного атома в стандартной модели квантовых измерений в связи с проблемами квантовой информации;

- Построение модели возмущения дискретного спектра валентного электрона остовом атома щелочного металла в терминах модели Курышкина-Вудкевича.

Соответствие пунктам паспорта научной специальности

Диссертация выполнена в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

и включает в себя оригинальные результаты, направленные на развитие численных и аналитических методов исследования модели квантовых измерений спектральных характеристик водородоподобных атомов.

Публикации

Основные положения диссертационного исследования отражены в 34 печатных работах [93-95; 112; 113; 115-124; 139; 142; 148-153; 155-157; 159-161; 163—165; 180; 209]. Из них 14 публикации выполнены в изданиях, индексируемых в международной БД SCOPUS, 18 статей представлены в изданиях, которые включены в перечень научных журналов, рекомендованных ВАК/РУДН.

Программный код

Общедоступный репозиторий программного кода, созданного при написании диссертации, находится по адресу https://github.com/yamadharma/ zorin-thesis-progs.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 9 глав, заключения, библиографии и 1 приложения. Общий объем диссертации 311 страниц, из них 274 —страницы основного текста. Библиография включает 211 наименований на 28 страницах.

Становление теории квантовых измерений

Непременным атрибутом каждой физической модели и каждой физической теории является верификация экспериментальными данными. Последние извлекаются из измерительного прибора в процессе измерения наблюдаемой величина. Взаимодействует при этом квантовый объект, наблюдаемые которого измеряются, с измерительным прибором или нет, в любом случае в процессе измерения он является открытой подсистемой составной системы: объект-прибор.

Измеренные значения зависят от диапазона пропускания «анализатора» и ориентации в пространстве «детектора». Так что измеренные значения наблюдаемой и функция распределения плотности вероятностей измеренных значений зависят не только от объекта. Именно измеренные значения и распределения этих измеренных значений хранятся в базах данных, и именно на них следует верифицировать квантовую теорию.

Постулат Борна не содержит зависимости измеренных значений от характеристики (полоса пропускания анализатора, ориентация и чувствительность детектора) измерительного прибора и, шире, измерительного процесса. Соответствующее обобщение постулата Борна является ядром любой теории квантовых измерений.

Квантовые функции распределения псевдовероятностей в общепринятой квантовой механике отличается от квантовых функций распределения вероятностей в теории квантовых измерений. Существует взаимно-однозначное соответствие между квантовыми функциями распределения и правилами квантования. Следовательно, правило квантования в теории квантовых измерений отличается

от общепринятых правил квантования в общепринятой квантовой механике — прямого, симметризованного правила Вейля и Дирака.

Операторы измеренных наблюдаемых в теории квантовых измерений имеют более сложную структуру и запись в виде псевдо-дифференциальных операторов по сравнению с операторами наблюдаемых в общепринятой квантовой механике. В частности, они не обязательно самосопряженные.

Рассмотрим два магистральных направления в теории квантовых измерений. Операциональная теория квантовых измерений (Людвиг, Дэйвис, Краус и др. [25; 29; 60; 61; 71; 72]. Она согласуется с понятиями повторных и неразрушающих измерений, созданных Вигнером, Араке-Яназе, Озавой, Брагинским и др. физиками теоретиками и физиками экспериментаторами [1; 107; 110; 132]. Стандартная теория квантовых измерений (Ченцов, Наймарк, Холево, Хелстром [183; 205; 206]) является законченной математической теорией. Она абстрактна и трудна для практических применений.

Своеобразная конструктивная операциональная модель квантовых измерений создана трудами Курышкина, Вудкевича, Дариано и др. [21; 23; 108; 172]. Мы показываем, что она является частным случаем стандартной теории квантовых измерений. Мы применяем эту модель для описания измеренных спектральных данных "водородоподобных"атомов щелочных металлов.

Исследование посвящено с одной стороны разрешению парадокса общепринятой квантовой механики: спектральные данные в базах зависят от процедуры измерения, а связываемые с ними ожидаемые значения, соответствуют постулату Борна, от нее не зависят.

С другой стороны, мы строим конструктивно алгоритм вычислений измеряемых значений, соответствующий модифицированному в рамках модели Курышкина-Вудкевича квантовых измерений постулату Борна, с которым следует сравнивать экспериментально измеренные значения наблюдаемых из базы данных [4].

Хотя уже давно признан тот факт, что наиболее естественным способом анализа любых квантовых измерений является метод квантового оценивания, этот способ до сих пор не получил соответствующей популярности. Вероятно, потому что его основное понятие — вероятностно-операторная мера — в общем случае не является ортогональным спектральным разложением. А вследствии этого кажется противоречащим постулату общепринятой квантовой механики: только «наблюдаемые» — ортогональные вероятностные операторные меры — могут быть измерены. Этот аспект был объяснен, например, в работах M. Ozawa, M. Naimark [5; 84]. В них было показано, что неортогональной вероятностно-операторной мере соответствует ортогональная вероятностно-операторная мера (истинная наблюдаемая — самосопряженный оператор) в большем гильбертовом пространстве. Это большее пространство включает в себя кроме гильбертова пространства измеряемой системы также гильбертово пространство состояний квантового фильтра измеряющего устройства. Очевидно, что данное рассмотрение дает нам правильную квантовую ситуацию для операционального подхода работы J. W. Noh, A. Fougères, and L. Mandel [5; 6; 22; 77; 78; 88]. В этих работах была продемонстрирована зависимость измеренных значений оператора от переменных фильтра вовлеченного в измерительную процедуру. Эта зависимость и эта вовлеченность являются неизбежными при измерении квантовой фазы электромагнитного поля PRA, 49,4,3022-3036; G.M. D'Ariano, M.G.A. Paris [22].

Теорема Вигнера-Араки-Яназе

Принцип неопределенности Гейзенберга утверждает, что положение и импульс точечной частицы не могут быть измерены одновременно. А может ли положение объекта быть измерено с бесконечной точностью хотя бы теоретически? В 1952 году Ю. Вигнер [107], а затем в более общей формулировке К. Араки и Т. Яназе [1; 110] доказали так называемую WAY теорему, которая утверждает невозможность произвести воспроизводимые точные измерения дискретной переменной, которая не коммутирует с величиной, сохраняющейся одновременно относительно измеряемого объекта и измерительного устройства. И все, на что можно рассчитывать, это приближенное измерение, которое тем точнее, чем больше размеры измерительного устройства.

В работе [70] P. Busch и L. Loveridge обсуждают состоятельность WAY-теоремы для случая непрерывных переменных и неограниченных сохраняющихся величин. До выхода этой работы многие полагали, что для таких величин WAY-теорема не выполняется.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Зорин Александр Валерьевич, 2022 год

Список литературы

1. Araki H., Yanase M. M. Measurement of Quantum Mechanical Operators // Phys. Rev. - 1960. - Oct. - Vol. 120, issue 2. - P. 622-626. - DOI: 10 . 1103 / PhysRev.120.622.

2. Aronszajn N. Approximation methods for eigenvalues of completely continuous symmetrie operators // Proc. Symposium on Spectral Theory and Differential Problems. - Okla., 1950. - P. 179-202.

3. Aronszajn N. The Rayleigh-Ritz and A. Weinstein methods fr approximation of eigenvalues. I. Operators in a Hilbert space//Proc. Nat. Acod. Sci. USA. - 1943. -Vol. 34. - P. 474.

4. Atomic Spectra Database Levels. - 2020. - URL: http : / /pfysics . hist. gov/PhysRefData/Handbook/index.html.

5. Barnett S. M., Pegg D. T. On the Hermitian Optical Phase Operator // Journal of Modern Optics. - 1989. - Vol. 36, no. 1. - P. 7-19. - DOI: 10 . 1080 / 09500348914550021.

6. Barnett S. M., Pegg D. T. Phase in quantum optics // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1986. - Dec. - Vol. 19, no. 18. - P. 3849-3862. - DOI: 10.1088/0305-4470/19/18/030.

7. Bathe K. J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. - Englewood Cliffs, Prentice Hall, New York, 1982.

8. Bazley N. W. Lower Bounds for Eigenvalues with Application to the Helium Atom// Phys. Rev. - 1960. - Oct. - Vol. 120, issue 1. - P. 144-149. - DOI: 10.1103/PhysRev.120.144.

9. Bazley N. W., FoxD. W. Lower Bounds for Eigenvalues of Schrodinger's Equation// Phys. Rev. - 1961. - Oct. - Vol. 124, issue 2. - P. 483-492. - DOI: 10.1103/ PhysRev.124.483.

10. Blokhintsev D. I. The Gibbs quantum ensemble and its connection with the classical ensemble // J. Phys. (USSR). - 1940. - Vol. 2, no. 1. - P. 71-74.

11. Blokhintzev D., Nemirovsky P. Connection of the quantum ensemble with the gibbs classical ensemble//J. Phys. - 1940. - Vol. III, no. 3. - P. 191-194.

12. Bohr N. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? // Physical Review. - 1935. - Vol. 48. - P. 696-702.

13. Burke P. G., Hibbert A., Robb W. D. Wavefunctions and Oscillator Strengths of the Beryllium Iso-Electronic Sequence // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 1972. - Vol. 5, no. 1. - P. 37-43.

14. BuschP., Grabowski M., Lahti P. Operational Quantum Physics // Lecture Notes in Physics. - Berlin, 1995. - Vol. m31.

15. Busch P., Lahti P. J., Mittelstaedt P. The Quantum Theory of Measurement // The Quantum Theory of Measurement. - Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1991. - DOI: 10.1007/978-3-662-13844-1_3.

16. Cohen L. Time-frequency distributions-a review // Proceedings of the IEEE. -1989. - Vol. 77, no. 7. - P. 941-981. - DOI: 10.1109/5.30749.

17. Cohen L. Can Quantum Mechanics Be Formulated as a Classical Probability Theory?//Philosophy of Science. - 1966. - Vol. 33, no. 4. - P. 317-322. - DOI: 10.1086/288104.

18. Cohen L. Generalized Phase-Space Distribution Functions // Journal of Mathematical Physics. - 1966. - Vol. 7, no. 5. - P. 781-786. - DOI: 10.1063/1.1931206.

19. Cohen L., Lee C. Instantaneous Frequency, Its Standard Deviation And Multicom-ponent Signals // Advanced Algorithms and Architectures for Signal Processing III. Vol. 0975 / ed. by F. T. Luk. - International Society for Optics, Photonics. SPIE, 1988. - P. 186-208. - DOI: 10.1117/12.948504.

20. Condon E. U., Shortley G. H. The Theory of Atomic Spectra. - Cambridge : Cambridge University Press, 1970.

21. D'Ariano G. M., Leonhardt U., Paul H. Homodyne detection of the density matrix of the radiation field//Phys. Rev. A. - 1995. - Sept. - Vol. 52, issue 3. - R1801-R1804. - DOI: 10.1103/PhysRevA.52.R1801.

22. D'Ariano G. M., Paris M. G. A. Lower bounds on phase sensitivity in ideal and feasible measurements // Phys. Rev. A. - 1994. - Apr. - Vol. 49, issue 4. -P. 3022-3036. - DOI: 10.1103/PhysRevA.49.3022.

23. DAriano G. Concepts and Advances in Quantum Optics and Spectroscopy of Solids. - Amsterdam : Kluwer Academic Publishers, 1997. - 139-174.

24. Davies E. B. Quantum Theory of Open Systems. - London : Acad. Press, 1976.

25. Davies E. B., Lewis J. T. An Operational Approach to Quantum Probability // Commun. Math. Phys. - 1970. - Vol. 17. - P. 239-260.

26. de la Madrid R. Rigged Hilbert space approach to the Schrödinger equation // Journal of Physics A. - 2002. - Vol. 35. - P. 319-342.

27. de la Madrid R. The role of the rigged Hilbert space in quantum mechanics // European Journal of Physics. - 2005. - Feb. - Vol. 26, no. 2. - P. 287-312. -DOI:10.1088/0143-0807/26/2/008.

28. de la Madrid R., Bohm A., Gadella M. Rigged Hilbert Space Treatment of Continuous Spectrum//Fortschritte der Physik. - 2002. - Vol. 50, no. 2. - P. 185-216. -DOI: 10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::AID-PROP185>3.0.CO; 2-S.

29. Devies E. B. Quantum theory of open systems. - London : Acad. press, 1976.

30. Eberly J. H., Wódkiewicz K. The time-dependent physical spectrum of light* // J. Opt. Soc. Am. - 1977. - Sept. - Vol. 67, no. 9. - P. 1252-1261. - DOI: 10 . 1364/JOSA.67.001252.

31. Einstein A., Podolsky B., Rosen N. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? // Physical Review. - 1935. - Vol. 47, no. 10.-P. 777-780.

32. Engenfield M. J. Group Theory and the Coulomb Problem. - Victoria, Monash university, 1972.

33. Englert B.-G., Wódkiewicz K. Intrinsic and operational observables in quantum mechanics // Phys. Rev. A. - 1995. - Apr. - Vol. 51, issue 4. - R2661-R2664. -DOI:10.1103/PhysRevA.51.R2661.

34. Entralgo E. E., Kuryshkin V. V., Zaparovamuy Y. Microphysical Reality and Quantum Formalism//. — Kluwer Academic Publ., 1988. — Chap. Quantization of Hamiltonian Theories based on a Probability Operator.

35. FESSDE, a program for the finite-element solution of the coupled-channel Schrodinger equation using high-order accuracy approximations / A. G. Abrashkevich, D. G. Abrashkevich, M. S. Kaschiev, I. V. Puzynin // Computer Physics Communications. — 1995. — Vol. 85, no. 1. — P. 65-81.

36. Friedrich H., Trefftz E. Configuration mixing and oscillator strengths for some two-electron spectra (Ca I, Ba I, and others) // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. — 1969. — Vol. 9, no. 3. — P. 333-359. — DOI: 10.1016/ 0022-4073(69)90030-2.

37. Furry W. Note on the Quantum-Mechanical Theory of Measurement // Physical Review. — 1936. — Vol. 49. — P. 393-399.

38. GadellaM., Gómez F. A measure-theoretical approach to the nuclear and inductive spectral theorems // Bulletin des Sciences Mathématiques. — 2005. — Vol. 129, no. 7.— P. 567-590.— DOI: 10.1016/j.bulsci.2005.02.004.

39. Gadella M., Gómez-Cubillo F. Eigenfunction Expansions and Transformation Theory//Acta Applicandae Mathematicae. — 2006. — Vol. 109. — P. 721-742.

40. Gadella M., Gómez-Cubillo F. A Unified Mathematical Formalism for the Dirac Formulation of Quantum Mechanics//Foundations of Physics. — 2002. — Vol. 32, no. 6. — P. 815-869. — DOI: 10.1023/A:1016069311589.

41. Goscinski O. Appendix. Preliminary research report 217 (1968) //. Vol. 41. — Academic Press, 2002. — P. 57-85. — (Advances in Quantum Chemistry). — DOI: 10.1016/S0065-3276(02)41047-7.

42. Gracia-Bondia J. M., Varilly J. C. Nonnegative mixed states in Weyl-Wigner-Moyal theory// Physics Letters A. — 1988. — Vol. 128, no. 1. — P. 20-24. — DOI: 10 . 1016/0375-9601(88)91035-3.

43. Guth E. Gruppentheorie und Quantenmechanik // Monatshefte für Mathematik und Physik volume. — 1927. — Jg. 36. — A48-A52. — DOI: 10 . 1007 / BF02307700.

44. Hameed S. Core polarization corrections to oscillator strengths and singlet-triplet splittings in alkaline earth atoms // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics. — 1972. — Apr. — Vol. 5, no. 4. — P. 746-760. — DOI: 10.1088/00223700/5/4/009.

45. Hameed S., Herzenberg A., James M. G. Core polarization corrections to oscillator strengths in the alkali atoms // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics. — 1968. — Sept. — Vol. 1, no. 5. — P. 822-830. — DOI: 10.1088/00223700/1/5/308.

46. Jones M. Mutual spin-orbit and spin-spin interactions in atomic structure calculations // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics. — 1971. — Nov. — Vol. 4, no. 11. —P. 1422-1439.— DOI: 10.1088/0022-3700/4/11/006.

47. Jones M. Relativistic corrections to atomic energy levels // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics. - 1970.-Dec.-Vol. 3,no. 12.-P. 1571-1592. — DOI:10.1088/0022-3700/3/12/003.

48. Jörgens K., Rellich F. Eigenwertheorie gewöhnliches Differentialoperatoren. — Borlin : Springer, 1976.

49. Kadomtsev M. B., Vinitsky S. I. Perturbation theory within the O(4,2) group for a hydrogen-like atom in the field of a distant charge // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1985. - Aug. - Vol. 18, no. 12. - P. L689-L695. -DOI:10.1088/0305-4470/18/12/001.

50. Kato T. Fundamental Properties of Hamiltonian Operators of Schrodinger Type // Trans. Amer. Math. Soc. - 1951. - Vol. 70. - P. 195-211.

51. Kato T. On the Existence of Solutions of the Helium Wave Equation // Trans. Amer. Math. Soc. - 1951. - Vol. 70. - P. 212-218.

52. Kholodenko A. L. From Mendeleev to Seiberg-Witten via Madelung. Available from. - 2020. - URL: https : //www. researchgate . net/publication/ 341597880 ; [accessed Jul 16 2020].

53. How the modified Bertrand theorem explains regularities of the periodic table I. From conformal invariance to Hopf mapping / A. L. Kholodenko, L. H. Kauffman. - 2019. - arXiv: 1906.05278.

54. Kim Y.-K., BagusP. S. Oscillator strengths for the resonance transitions in alkaline earth atoms // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics. - 1972. -

Oct. - Vol. 5, no. 10. - P. L193-L195. - DOI: 10.1088/0022-3700/5/10/ 001.

55. Kirzhnitz D., Lozovik Y., Shpatkovskaya G. Statistical model of matter // Sov. Phys. Uspekhi. - 1976. - No. 18. - P. 649-672.

56. Kitagawara Y., BarutA. O. On the dynamical symmetry of the periodic table. II. Modified Demkov-Ostrovsky atomic model // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics. - 1984. - Nov. - Vol. 17, no. 21. - P. 4251-4259. - DOI: 10.1088/0022-3700/17/21/013.

57. Kitagawara Y., BarutA. O. Period doubling in the n + I filling rule and dynamical symmetry of the Demkov-Ostrovsky atomic model // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics. - 1983. - Sept. - Vol. 16, no. 18. - P. 3305-3327. - DOI: 10.1088/0022-3700/16/18/006.

58. Kochanski P., Wodkiewicz K. Operational measurements in quantum mechanics // Rep. Math. Phys. - 1997. - Vol. 40. - P. 245-253.

59. Kraus K. Aspects of the infrared problem in quantum electrodynamics // Found. Phys. - 1983. - No. 13. - P. 701-713. - DOI: 10.1007/BF01889349.

60. Kraus K. Measuring Processes in Quantum Mechanics I. Continuous Observation and the Watchdog Effect // Foundations of Physics. - 1981. - Vol. 11, no. 7/8. -P. 547-576. - DOI: 10.1007/BF00726936.

61. Kraus K. Measuring Processes in Quantum Mechanics. II. The Classical Behavior of Measuring Instruments//Foundations of Physics. - 1985. - Vol. 15, no. 6. -P. 717-730. - DOI: 10.1007/BF00738299.

62. Kuryshkin V.V. // Compt. Rend. Acad. Sc. Serie B. - Paris, 1972. - Vol. 274. -P. 1107.

63. Kuryshkin V. V. La mechanique quantique avec une fonction nonnegative de distribution dans l'espace des phases//Annales Inst. Henry Pointcare. — 1972. — Vol. 17, no. 1. —P. 81-95.

64. Kuryshkin V. V. Some Problems of Quantum Mechanics Possessing a NonNegative Phase-Space Distribution Function // International Journal of Theoretical Physics. — 1973. — Vol. 7. — P. 451-466. — DOI: 10 . 1007 / BF00713247.

65. Kuryshkin V. V. Uncertainty Principle and the Problem of Joint Coordinate-Momentum Probability Density in Quantum Mechanics // The Uncertainty Principle and Foundation of Quantum Mechanics. — London : Press, 1977. — P. 61-83.

66. Kuryshkin V. V, Zaparovanay Y. I. L'atome d'hydrogene dans mechanique quantique a fonction de distribution non-negative dans l'espace des phases // Comp. Rend. Acad. Sc. Paris. Serie B. — 1974. — Vol. 277. — P. 17-21.

67. Kuryshkin V. V., Zaparovanny Y. I., Lyabis I. A. Sur les problemes de la regle de correspondance en theorie quantique //Annales Fond. L. de Broglie. — 1978. — Vol. 3, no. 1. —P. 45-61.

68. Kuryshkin V. V., Zaparovanuy Y. I., Lyabis I. A. Sur les problemes de la regle de correspondence en theorie quantique // Ann. Foud. L. de Broglie. — 1978. — Vol. 3, no. 1. —P. 45-61.

69. LayzerD. On a screening theory of atomic spectra//Annals of Physics. - 1959. -Vol. 8, no. 2. - P. 271-296. - DOI: 10.1016/0003-4916(59)90023-5.

70. LoveridgeL., BuschP. Measurement of quantum mechanical operators//Eur. Phys. J. D. -2011. - Vol. 62. - P. 297-307. - DOI: 10.1140/epjd/e2011-10714-3.

71. Ludwig G. Attempt of an axiomatic foundation of quantum mechanics and more general theories // Commun. Math. Phys. - 1967. - Vol. 4. - P. 331-348. - DOI: 10.1007/BF01653647.

72. Ludwig G. Foundations of Quantum Mechanics. - Springer-Verlag, 1983.

73. MadelungE. Die Mathematischen Hilfsmittel des Physikers, 3rd edition. - Berlin: Springer, 1936.

74. Margenau H., Hill R. N. Correlation between Measurements in Quantum Theory // Progress of Theoretical Physics. - 1961. - Nov. - Vol. 26, no. 5. - P. 722-738. -DOI: 10 . 1143/PTP . 26 . 722. - eprint: https : / /academic . oup . com/ ptp/article-pdf/26/5/722/5454875/26-5-722.pdf.

75. Mehta C. L. Phase-Space Formulation of the Dynamics of Canonical Variables // Journal of Mathematical Physics. - 1964. - Vol. 5, no. 5. - P. 677-686. - DOI: 10.1063/1.1704163.

76. Moyal J. E. Quantum mechanics as a statistical theory// Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1949. - Vol. 45, no. 1. - P. 99124. - DOI: 10.1017/S0305004100000487.

77. Noh J. W., Fougueres A., Mandel L. Further investigations of the operationally defined quantum phase // Phys. Rev. A. — 1992. — Sept. — Vol. 46, issue 5. — P. 2840-2852. — DOI: 10.1103/PhysRevA.46.2840.

78. Noh J. W., Fougueres A., Mandel L. Measurement of the quantum phase by photon counting//Phys. Rev. Lett. — 1991. — Sept. — Vol. 67, issue 11. — P. 1426-1429. — DOI:10.1103/PhysRevLett.67.1426.

79. Nussbaumer H. Improved bound wavefunctions for complex atoms. — 1972. — Oct. — DOI: 10.1088/0022-3700/5/10/012.

80. Ostrovsky V. N. What and How Physics Contributes to Understanding the Periodic Law//Foundations of Chemistry. — 2001. — No. 3. — P. 145-181. — DOI: 10 . 1023/A:1011476405933.

81. Ozawa M. Quantum reality and measurement: A quantum logical approach. Vol. 41. — 2011. — 592-607. — (Foundations of Physics).

82. Ozawa M., Kitajima Y. Reconstructing Bohr's Reply to EPR in Algebraic Quantum Theory. Vol. 42. — 2012. — 475-487. — (Foundations of Physics). — DOI: 10 . 1007/s10701-011-9615-7.

83. Ozawa M. Mathematical foundations of quantum information // SUGAKU. — 2009. — Vol. 61, no. 2. — P. 113-132. — DOI: 10.11429/sugaku.0612113.

84. Ozawa M. Quantum measuring processes of continuous observables // Journal of Mathematical Physics. - 1984. - Vol. 25, no. 1. - P. 79-87. - DOI: 10.1063/1. 526000.

85. Ozawa M. Uncertainty Relations for Noise and Disturbance in Generalized Quantum Measurements // Annals of Physics. - 2004. - Vol. 311, no. 2. - P. 350416. - DOI: 10.1016/j.aop.2003.12.012.

86. Ozawa M. Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement // Phys. Rev. A. - 2003. - Apr. - Vol. 67, issue 4. - P. 042105. - DOI: 10.1103/PhysRevA.67.042105.

87. Papp Z. Bound and resonant states in Coulomb-like potentials // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1987. - Jan. - Vol. 20, no. 1. - P. 153162. - DOI: 10.1088/0305-4470/20/1/024.

88. Pegg D. T., Barnett S. M. Phase properties of the quantized single-mode electromagnetic field//Phys. Rev. A. - 1989. - Feb. - Vol. 39, issue 4. - P. 1665-1675. -DOI:10.1103/PhysRevA.39.1665.

89. Physical Reference Data. - 2020. - URL: https : / /www. nist. gov/pml/ productsservices/physical-reference-data/ ; accessed Jul 16 2020.

90. Resonances in cross sections for excitation of forbidden lines in O2+/ W. Eissner, H. Nussbaumer, H. E. Saraph, M. J. Seaton. - 1969. - Mar. - DOI: 10. 1088/ 0022-3700/2/3/305.

91. Rotenberg M. Application of sturmian functions to the Schroedinger three-body problem: Elastic e+-H scattering//Annals of Physics. - 1962. - Vol. 19, no. 2. -P. 262-278. - DOI: 10.1016/0003-4916(62)90219-1.

92. Rothenberg M. Adv. in Atomic and Molec. Phys. //. Vol. 6 / ed. by D. Bates, I. Esterman. — N.Y. : Academic Press, 1970. — Chap. Theory and applications of Sturmian functions.

93. Sevastianov L., Zorin A., Gorbachev A. A quantum measurements model of hydrogen-like atoms in Maple // Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinfor-matics). — 2013. — Vol. 8136 LNCS. — P. 369-380. — DOI: 10 .1007/978-3-319-02297-0_30.

94. Sevastianov L. A., Zorin A. V. The Computer-Based Model of Quantum Measurement // Physics of Atomic Nuclei. — 2017. — Vol. 80, no. 4. — P. 774-780. — DOI: 10.1134/S1063778817040238.

95. Sevastyanov L., Zorin A., Gorbachev A. Pseudo-Differential Operators in an Operational Model of the Quantum Measurement of Observables // Mathematical Modeling and Computational Science / ed. by G. Adam, J. Busa, M. Hnatic. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2012. — P. 174-181. — DOI: 10.1007/978-3-642-28212-6_17.

96. Shankara T. S. A New Phase Space Distribution Function// Progress of Theoretical Physics. — 1967. — June. — Vol. 37, no. 6. — P. 1335-1336. — DOI: 10 . 1143/ PTP . 37 . 1335. — eprint: https : //academic . oup . com/ptp/article -pdf/37/6/1335/5214920/37-6-1335.pdf.

97. Shewell J. R. On the Formation of Quantum-Mechanical Operators //American Journal of Physics. — 1959. — Vol. 27, no. 1. — P. 16-21. — DOI: 10 . 1119/1. 1934740.

98. Shull H., Lowdin P.-O. Superposition of Configurations and Natural Spin Orbitals. Applications to the He Problem // The Journal of Chemical Physics. - 1959. -Vol. 30, no. 3. - P. 617-626. - DOI: 10.1063/1.1730019.

99. Simon B. Tosio Kato's work on non-relativistic quantum mechanics: Part 1 // Bulletin of Mathematical Sciences. - 2018. - No. 8. - P. 121-232. - DOI: 10.1007/s13373-018-0118-0.

100. Simon B. Tosio Kato's work on non-relativistic quantum mechanics, Part 2 // Bulletin of Mathematical Sciences. - 2019. - Vol. 9, no. 1. - P. 1950005. - DOI: 10.1142/S166436071950005X.

101. Slater J. C. Atomic Shielding Constants // Phys. Rev. - 1930. - July. - Vol. 36, issue 1. - P. 57-64. - DOI: 10.1103/PhysRev.36.57.

102. Strang G., Fix G. An Analisys of The Finite Element Method. - Englewood Cliffs, Prentice Hall, New York, 1973.

103. Von Neumann J. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. - Princeton: Princeton University Press, 1955.

104. Weiss A. W. Theoretical Multiplet Strengths for Mg I, Al II, and Si III // The Journal of Chemical Physics. - 1967. - Vol. 47, no. 9. - P. 3573-3578. - DOI: 10.1063/1.1712424.

105. Weyl H. Ramifications, old and new, of the eigenvalue problem // Bull. Amer. Math. Soc. - 1950. - Vol. 56. - P. 115-139. - DOI: 10 . 1090/S0002-9904-1950-09369-0.

106. Wigner E. On the Quantum Correction For Thermodynamic Equilibrium // Phys. Rev. - 1932. - June. - Vol. 40, issue 5. - P. 749-759. - DOI: 10.1103/PhysRev. 40.749.

107. Wigner E. P. Measurement of quantum mechanical operators // Zeitschrift fur Physik. - 1952. - No. 133. - P. 101-108.

108. Wodkiewicz K. Operational approach to phase-space measurements in quantum mechanics // Phys. Rev. Lett. - 1984. - Vol. 52. - P. 1064.

109. Wodkiewicz K. Operational Approach to Phase-Space Measurements in Quantum Mechanics // Phys. Rev. Lett. - 1984. - Mar. - Vol. 52, issue 13. - P. 10641067. - DOI: 10.1103/PhysRevLett.52.1064.

110. Yanase M. M. Optimal Measuring Apparatus // Phys. Rev. - 1961. - July. - Vol. 123, issue 2. - P. 666-668. - DOI: 10.1103/PhysRev.123.666.

111. Zare R. N. Correlation Effects in Complex Spectra. II. Transition Probabilities for the Magnesium Isoelectronic Sequence // The Journal of Chemical Physics. -1967. - Vol. 47, no. 9. - P. 3561-3572. - DOI: 10.1063/1.1712423.

112. Zhidkov E. P., Zorin A. V. Quantum Theory with Statistical Interpretation The Hydrogen-Like Atom Problem // Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering. - 2002. - Vol. 2, no. 1/2. - P. 293-307. - DOI: 10.3233/JCM-2002-21-240.

113. Zorin A., Tretyakov N. Quantum mechanics with non-negative distribution and measurements // International Congress on Ultra Modern Telecommunications

and Control Systems and Workshops. 2G2G-October. - 2G2G. - P. 185-188. -DOI:10.1109/ICUMT51630.2020.9222429.

114. Zorin A. V. Computer Implementation of Quantum Measurements Model // Information Technologies and Mathematical Modelling, ITMM 2G15.14th International Scientific Conference, named after A.F. Terpugov, Anzhero-Sudzhensk, Russia. - 2G15. - P. 273-275.

115. Zorin A. V. Kuryshkin-Wodkiewicz quantum measurement model for alkaline metal atoms // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. — 2G2G. — Vol. 28,no. 3. — P. 274-288. — DOI: 10.22363/2658-46702020-28-3-274-288.

116. Zorin A. V., Sevastianov L. A., Belomestny G. A. Numerical search for the states with minimal dispersion in quantum mechanics with non-negative quantum distribution function // Lecture Notes in Computer Science. Vol. 34G1. — 2GG5. — P. 613-62G.-DOI: 10.1007/978-3-540-31852-1_75.

117. Zorin A. V., Sevastianov L. A., Tretyakov N. P. States with Minimum Dispersion of Observables in Kuryshkin-Wodkiewicz Quantum Mechanics // Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics). - 2G19. - Vol. 11965 LNCS. - P. 5G8-519.-DOI: 10.1007/978-3-030-36614-8_39.

118. Zorin A., Sevastianov L. Hydrogen-like atom with nonnegative quantum distribution function // Physics of Atomic Nuclei. — 2GG7. — Vol. 7G, no. 4. — P. 792799. - DOI: 10.1134/S1063778807040229.

119. Zorin A., TretyakovN. Calculation of Transition Probabilities in Quantum Mechanics with a Nonnegative Distribution Function in the Maple Computer Algebra System // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2020. — No. 60. — P. 82-89. — DOI: 10.1134/S0965542520010157.

120. Zorin A. V. Approximate Computation of States with Minimal Dispersion in Kuryshkin-Wodkiewicz Quantum Mechanics // 2019 11th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). — 2019. — P. 1-5. — DOI: 10.1109/ICUMT48472.2019.8971007.

121. Zorin A. V., Sevastianov L. A., Tretyakov N. P. Dissipativity of the Quantum Measurement Model//Analytical and Stochastic Modelling Techniques and Applications/ ed. by M. Gribaudo, E. Sopin, I. Kochetkova. — Cham : Springer International Publishing, 2020. — P. 171-185. — DOI: 10.1007/978-3-030-62885-7_13.

122. Zorin A. V., Sevastyanov A. L., Sevastianov L. A. Application of the noncommuta-tive theory of statistical decisions to the modeling of quantum communication channels //2017 9th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). — 2017. — P. 26-31. — DOI: 10.1109/ICUMT.2017.8255195.

123. Zorin A. V., Sevastianov L. A., Tretyakov N. Application of the Model of Quantum Measurments of Valence Electrons of Alcali Metals to Modelling of Quantum Communication Channels // Proceedings of 10th ICUMT. — IEEE Communications Society. 2018.

124. Аналитическое вычисление операторов наблюдаемых водородоподобного атома в квантовой механике Курышкина/ А. В. Зорин, Л. А. Севастьянов,

Г. А. Беломестный, А. Л. Севастьянов// Вестник РУДН. Серия: Прикладная и компьютерная математика. — 2003. — Т. 2, № 1. — С. 25—51.

125. Атом водорода в искривленном пространстве. Разложение по свободным решениям на трехмерной сфере / С. И. Виницкий, Л. Г. Мардоян, Г. С. Пого-сян, А. Н. Сисакян, Т. А. Стриж//Ядерная физика. — 1993. — Т. 56, № 3. — С. 61—73.

126. Березин Ф.А. Квантование//Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1974. — Т. 38, № 5. — С. 1116—1175.

127. Березин Ф. А. Об одном представлении операторов с помощью функционалов // Труды Московского математического общества. — 1967. — Т. 17. — С. 117—196.

128. Березин Ф. А., Шубин М. А. Лекции по квантовой механике. — М. : Изд-во МГУ, 1972.

129. Березин Ф., Шубин М. Уравнение Шредингера. — М. : Изд. МГУ, 1977.

130. Бете Г., Солпитер Е. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. — М. : Физматгиз, 1960.

131. БлохинцевД. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1976.

132. Брагинский В. Б., Воронцов Ю. И., Халили Ф. Квантовые особенности понде-ромоторного измерителя электромагнитной энергии//Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1977. — Т. 73. — С. 1340—1343.

133. Вайншьтейн А. Промежуточные задачи и максимально-минимальная теория собственных значений // Математика. — 1964. — Т. 8, № 5. — С. 91.

134. Варламов В. В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов // Математические структуры и моделирование. — 2018. — Т. 46, №2. — С. 5—23. — DOI: 10.25513/2222-8772.2018.2.5-2.

135. Веселов М. Г., Лабзовский Л. Н. Теория атома. Строение электронных оболочек. — М. : Наука, 1986.

136. Воронцов Ю. И. Стандартные квантовые пределы погрешностей измерений и методы их преодоления//Успехи физических наук. — 1994. — Вып. 164. — С. 89—104.

137. Гейзенберг В. Физические принципы квантовой теории. — М.-Л. : ОНТИ, 1932.

138. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащённые гильбертовы пространства. — М. : Наука, 1961.

139. Горбачев А. В., Зорин А. В., Севастьянов Л. А. Модель квантовых измерений Курышкина-Вудкевича для атомов и ионов с одним валентным электроном // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика. — 2016. — № 2. — С. 44—52.

140. Демков Ю. Н., Островский В. Н. Правило заполнения п + I в периодической системе Менделеева и фокусирующие потенциалы//Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1972. — Т. 68, № 1. — С. 125.

141. Дирак П. Принципы квантовой механики. — М. : Наука, 1979.

142. Жидков Е. П., Зорин А. В. Описание спектра водородоподобного атома в квантовой механике с последовательно вероятностной интерпретацией. — Дубна : Изд-во ОИЯИ, 2000. — Р11-2000-316.

143. ЗапарованныйЮ. И. Квантово-механический формализм с неотрицательной функцией распределения: Дисс. канд. физ-мат. наук/Запарованный Ю. И. — М. : УДН, 1975.

144. Запарованный Ю. И. Теоретическая физика//. — — М. : Изд-во РУДН, 1992. — Гл. Оператор вероятности и возможное обобщение квантовой механики.

145. Запарованный Ю. И., Севастьянов Л. А. Численные исследования спектров водородоподобных атомов // Вестник РУДН. Серия: Физика. — 1993. — Т. 1, №1. — С. 35—39.

146. Запарованный Ю. И., Сорокин В. А. Проблемы статистической физики и теории поля //. — М. : Изд-во УДН, 1976. — Гл. К задаче о гармоническом осцилляторе в квантовой механике с неотрицательной КФР.

147. Зорин А., Севастьянов Л., Третьяков Н. Компьютерное моделирование водородоподобных атомов в квантовой механике с неотрицательной функцией распределения // Программирование. — 2007. — Т. 33, № 2. — С. 50—62. — DOI: 10.1134^0361768807020077.

148. Зорин А. В. Метод исследования существенного и дискретного спектров оператора Гамильтона водородоподобного атома в квантовой механике

Курышкина// Вестник РУДН. Серия: Прикладная и компьютерная математика. — 2004. — Т. 3, № 1. —С. 121—131.

149. Зорин А. В. Модель квантовых измерений водородоподобного атома в оснащенном гильбертовом пространстве // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика. — 2015. — № 4. — С. 38—45.

150. Зорин А. В. Моменты наблюдаемых по правилу квантования Курышкина // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2010. — № 4. — С. 112—117.

151. Зорин А. В. Переходные вероятности в квантовой механике Курышкина // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2008. — № 4. — С. 68—74.

152. Зорин А. В. Приближенное отыскание состояний с минимальной дисперсией в квантовой механике Курышкина// Вестник РУДН. Серия: Физика. — 2004.— №12.— С. 81—87.

153. Зорин А. В., Курышкин В. В., Севастьянов Л. А. Описание спектра водородоподобного атома// Вестник РУДН. Серия: Физика. — 1998. — Т. 6, № 1. — С. 62—66.

154. Зорин А. В., Севастьянов Л. А. Математическое моделирование квантовой механики с неотрицательной КФР//Вестник РУДН. Серия: Физика. — 2003. — Т. 11, №2. — С. 81—87.

155. Зорин А. В., Севастьянов Л. А. Математическое моделирование квантовой механики с неотрицательной КФР // Вестник РУДН. Серия: Прикладная и компьютерная математика. — 2004. — Т. 3, № 1. — С. 81.

156. Зорин А. В., Севастьянов Л. А. Метод оценок снизу для собственных значений дифференциального оператора Гамильтона в квантовой механике Курыш-кина// Вестник РУДН. Серия: Прикладная и компьютерная математика. — 2002. — Т. 1, № 1. — С. 134—144.

157. Зорин А. В., Севастьянов Л. А. Модель квантовых измерений Курышкина-Вудкевича// Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2010. — №3. — С. 99—104.

158. Зорин А. В., Севастьянов Л. А. Спектральные свойства операторов Гамильтона в квантовой механике с неотрицательной КФР // Тезисы 2-ой Международн. конф. «Функциональный анализ и дифференциальные операторы». — М. : Изд-во РУДН, 2003.

159. Зорин А. В., Севастьянов Л. А., Беломестный Г. А. Аналитическое вычисление матриц наблюдаемых водородоподобного атома в квантовой механике Курышкина// Вестник РУДН. Серия: Прикладная и компьютерная математика. — 2004. — Т. 3, № 1. — С. 106—120.

160. Зорин А. В., Севастьянов Л. А., Беломестный Г. А. Наборы наблюдаемых в квантовой механике Курышкина и разделение переменных // Вестник РУДН. Серия: Прикладная и компьютерная математика. — 2005. — Т. 4, № 1. — С. 115—121.

161. Зорин А. В., Севастьянов Л. А., Третьяков Н. П. Компьютерное моделирование водородоподобных атомов в квантовой механике с неотрицательной функцией распределения // Программирование. — 2007. — Т. 33, № 2. — С. 50—62.

162. Зорин А., Севастьянов Л. Математическое моделирование квантовой механики с неотрицательной КФР//Вестник РУДН. Серия: Физика (Спец. выпуск памяти Я.П. Терлецкого). — 2002. — № 10. — С. 18.

163. Зорин А., Севастьянов Л. Состояния с минимальной дисперсией наблюдаемых в квантовой механике Курышкина// Вестник РУДН. Серия: Физика. — 2002. —№ 10.— С. 72—92.

164. Зорин А., Третьяков Н. Расчет вероятностей перехода в квантовой механике с неотрицательной функцией распределения в системе компьютерной алгебры MAPLE // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2020. — Т. 60, № 1. — С. 88—95. — DOI: 10 . 1134 / S0965542520010157.

165. Зорин А. В. Операционная модель квантовых измерений Курышкина-Вудкевича// Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2012. —№2. —С. 43—55.

166. Зубарев A. Л. Вариационный принцип Швингера // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1978. — Т. 9. — С. 453—489.

167. Йордан К., ВайдманИ. Спектральные свойства гамильтоновых операторов. — Москва : Мир, 1972.

168. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — Москва : Мир, 1972.

169. Клечковский В. М. Распределение атомных электронов и правило последовательного заполнения (п + 1)-групп. — Москва : Атомиздат, 1968.

170. Кондратьев В. Н. Структура атомов и молекул. — М.—Л.,Изд. АН СССР, 1946.

171. КоэнЛ. Дискуссионные вопросы квантовой физики. — М.: Изд. РУДН, 1993. — 49-58.

172. Курышкин В. В. К построению квантовых операторов // Известия ВУЗОВ. Физика. — 1971. — № 11. — С. 102—106.

173. Курышкин В. В. Квантовая функция распределения : дис.... канд. / Курышкин В. В. — М., 1969. — Дисс. Канд. Физ.-мат. Наук: 01.04.02.

174. Курышкин В. В. Математика, механика, физика //. Т. 6. — М. : Изд-во УДН,

1969. — Гл. Правило соответствия и неопределенность значений физических величин в квантовой механике.

175. Курышкин В. В. Математика, механика, физика //. Т. 7. — М. : Изд-во УДН,

1970. — Гл. Возможный вариант квантовой теории.

176. Курышкин В. В. Сборник научных аспирантов. Вып. 7. — М. : УДН, 1969.

177. Курышкин В. В. Теоретическая физика. — М. : УДН, 1974. — 78-85.

178. Курышкин В. В. Фазовые представления матрицы плотности и квантовые функции распределения//Известия ВУЗов. Физика. — 1969. — № 4. — С. 111— 115.

179. Курышкин В. В., ТерлецкийЯ. П. Проблемы статистической физики и теория поля. — М. : УДН, 1976.

180. Матричные представления в квантовой механике с неотрицательной КФР на примере водородоподобного атома / Е. П. Жидков, А. В. Зорин, К. Ловецкий, Н. Третьяков. - Дубна : Изд-во ОИЯИ, 2002. - Р11-2002-253.

181. Михлин С. Проблема минимума квадратичного функционала. — М.-Л. : Го-стехиздат, 1952.

182. Михлин С. Численная реализация вариационных методов. — М. : Наука, 1966.

183. НаймаркМ. А. Спектральные функции симметрического оператора//Известия Академии наук СССР. Серия математическая. — 1940. — Т. 4, № 3. — С. 277—318.

184. Нейман Д. фон. Математические основы квантовой механики. — М.: Наука, 1964.

185. Пакет программ ODF. — 2021. — URL: https://github.com/yamadharma/ zorin-thesis-progs.

186. Попов Ю. В., Зайцев С. А., Виницкий С. И. J-матричный метод вычисления трехчастичных кулоновских волновых функций и сечений физических процессов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2011. — Т. 42. — С. 1311—1370.

187. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. — М.: Мир, 1978.

188. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том IV Анализ операторов. — М., 1979.

189. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. — М.: Мир, 1982.

190. Румер Ю. Б., Фет А. И. Группа Spin(4) и таблица Менделеева // Теоретическая и математическая физика. — 1971. — Т. 9, № 2. — С. 203—210.

191. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — М. : Физматгиз, 1963.

192. Сорокин В. А., Запарованный Ю. И. Современные задачи в точных науках//. Т. 1. — М. : Изд-во УДН, 1975. — Гл. К задаче об атоме водорода в квантовой механике с неотрицательной КФР.

193. Тарасов В. Е. Вейлевское квантование динамических систем с плоским фазовым пространством//Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. — 2001. — № 6. — С. 6—9.

194. Тарасов В. Е. Квантование негамильтоновых систем // Препринт НИИЯФ МГУ. — 2000. — С. 2000—33/637.

195. Тарасов В. Е. Квантовые диссипативные системы. I. Каноническое квантование и квантовое уравнение Лиувилля // Теоретическая и математическая физика. — 1994. — Т. 100, № 3. — С. 402—417.

196. Тарасов В. Е. Квантовые диссипативные системы. I. Каноническое квантование и квантовое уравнение Лиувилля // Теоретическая и математическая физика. — 1994. — Т. 100, № 3. — С. 402—417.

197. Тарасов В. Е. Квантовые диссипативные системы. III. Определение и алгебраическая структура//Теоретическая и математическая физика. — 1997. — Т. 110, № 1. —С. 73—85.

198. Тарасов В. Квантовая механика. — М. : Вузовская книга, 2000.

199. Терлецкий Я. П. О предельном переходе квантовой механики в классическую // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1937. — Т. 7.— С. 1290—1298.

200. Фет А. И. Группа симметрии химических элементов. — Новосибирск: Наука, 2010.

201. Филиппов В.М. Савчин В.М. Ш. С. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения //. Т. 40. — М. : ВИНИТИ, 1992. — Гл. Вариационные принципы для непотенциальных операторов.

202. Фок В. А. Атом водорода и неевклидова геометрия // Изв. АН СССР, ОМЕН. — 1935.—Т. 2.— С. 169—179.

203. Фок В. А. Начала квантовой механики. — М. : Наука, 1976.

204. Фриш С. Э. Оптические спектры атомов. — М. : Физматгиз, 1963.

205. Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания. — М. : Мир, 1979.

206. Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. — М. : Наука, 1980.

207. Холево А. С. Статистическая структура квантовой механики. — М.-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003.

208. Христенко С. В. Штурмовские разложения функций Грина для простейших систем//Теоретическая и математическая физика. — 1975. — Т. 22. — С. 31— 45.

209. Численное исследование дискретного спектра оператора Гамильтона водо-родоподобного атома в квантовой механике Курышкина / А. А. Гусев, А. В. Зорин, К. П. Ловецкий, Н. П. Третьяков // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2007. — № 3/4. — С. 76—84.

210. Шерстюк А. И. Определение замкнутых выражений для поправок теории возмущений к волновым функциям связанных состояний с помощью метода штурмовских разложений // Теоретическая и математическая физика. — 1974. — Т. 21, № 2. — С. 224—232.

211. Яковлев С. Л., Папп З. Кулоновская трехчастичная задача рассеяния в представлении дискретного базиса в гильбертовом пространстве // Теоретическая и математическая физика. — 2010. — Т. 163, № 2. — С. 314—327. — DOI: 10.4213/^6502.