Модели квантовых систем на базе подхода граничных троек в теории расширений операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Бойцев Антон Александрович

• Бойцев Антон Александрович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Бойцев Антон Александрович

Содержание

Введение

Обзор литературы

1 Подход граничных троек для суммы тензорных произведений операторов

1.1 Предварительные сведения

1.1.1 Линейные отношения

1.1.2 Граничные тройки и расширения

1.1.3 𝛾-поле и функция Вейля

1.1.4 Формула Крейна для резольвент

1.1.5 Нормализованные граничные тройки

1.1.6 Матрица рассеяния

1.1.7 Интегралы по спектральной мере

1.2 Случай ограниченного самосопряженного оператора

1.3 Другой подход к случаю с ограниченным самосопряженным оператором

1.4 Общий случай

1.5 Случай неотрицательных слагаемых

1.5.1 Граничные тройки в случае неотрицательных 𝐴 и 𝑇

1.5.2 Расширения Фридрихса и Крейна оператора 𝑆 := 𝐴 ⊗ 𝐼T + 𝐼H ⊗ 𝑇

1.6 Выводы

2 Построение одномерных модельных гамильтонианов Дирака и Шре-

дингера

2.1 Взаимодействие нерелятивистского электрона и бозона в 1D

2.1.1 Оператор Шредингера на полуоси

2.1.2 Модели физических систем на базе оператора Шредингера

2.1.3 Оператор Шредингера на ограниченном интервале

2.2 Взаимодействие релятивистского электрона и бозона в 1D

2.2.1 Оператор Дирака на полуоси

2.2.2 Оператор Дирака на ограниченном интервале

2.2.3 Другой подход к оператору Дирака на ограниченном интервале

2.3 Туннелирование через квантовую точку и спин-орбитальное взаимодействие

2.4 Выводы

3 Модель светоизлучающего устройства

3.1 Построение модели

3.1.1 Эвристические соображения и постановка задачи

3.1.2 Строгое построение

3.1.3 Функция Вейля и матрица рассеяния

3.2 Выводы

4 Точечное возмущение оператора Ламе

4.1 Построение модели

2

4.2 Граничные тройки

4.3 Задача рассеяния

4.4 Двумерная полоса

4.5 Рассеяние с несколькими рассеивателями

4.5.1 Аналитические результаты

4.5.2 Диаграммы рассеяния для различных систем точечных рассеивателей

4.6 Выводы

Заключение

Список литературы

3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели квантовых систем на базе подхода граничных троек в теории расширений операторов»

Введение

Актуальность. Построение явно решаемых моделей физических систем различного

характера, корректных, с точки зрения математики, чрезвычайно востребовано. В то же

время, это представляет немало технических проблем. В свою очередь, теория расширений

симметрических операторов является стандартным подходом для корректного математи-

ческого описания взаимодействия физических систем. Метод граничных троек — активно

развивающийся математический аппарат, дающий общий абстрактный метод построения

расширений, позволяющий распространить построенную модель на большой круг физи-

ческих задач и исследовать различные свойства их решений. Исследование спектральных

свойств самосопряженных операторов (так называемых наблюдаемых) является ключе-

вым в описании поведения квантовой системы.

Операторы, представляющие из себя сумму тензорных произведений, часто возникают

в вопросах квантовой механики. В частности, оператор такой формы описывает точеч-

ное взаимодействие двух подсистем одной физической системы. До настоящего момента

подход граничных троек в теории расширений такого типа операторов разработан не был.

Тем самым, предлагаемое исследование полезно не только с точки зрения физики, для

которой строятся корректные модели систем, но и с точки зрения математики, так как

полученные результаты вносят фундаментальный вклад в развитие теории операторов.

Объектом исследования являются состоящие из отдельных подсистем физические

системы, гамильтонианы которых представляют собой суммы тензорных произведений

операторов. Предмет исследования – математические модели взаимодействия подсистем

и спектральные свойства гамильтонианов указанных сложных систем.

Цель диссертационного исследования — построение и исследование моделей кван-

товых систем, состоящих из взаимодействующих подсистем.

Для достижения этой цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Доказаны замкнутые формулы для гамма-поля и функции Вейля оператора, описы-

вающего точечное взаимодействие двухкомпонентных квантовых систем;

2. С помощью функции Вейля построены и исследованы матрицы рассеяния для мо-

дельных одномерных гамильтонианов Шредингера и Дирака;

3. Построена и изучена модель типа модифицированной модели Джейнса-Каммингса

для светоизлучающего устройства;

4. Описано туннелирование через квантовую точку с гамильтонианом, учитывающим

спин-орбитальное взаимодействие Рашбы;

5. Построена модель точечного возмущения для оператора Ламе и описаны свойства

матрицы рассеяния.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты, полученные в

данной работе, носят фундаментальный характер для общей квантовой теории рассеяния.

Практическая значимость заключается в том, что разработанный класс явно решаемых

4

моделей позволяет описывать спектральные свойства и свойства рассеяния для сложных

физических систем, состоящих из подсистем.

Методы исследования. Для достижения поставленной цели в настоящем диссерта-

ционном исследовании применялись методы теории рассеяния, операторные методы явно

решаемых моделей физических систем, спектральной теории, теории самосопряженных

расширений симметрических операторов, теории меры, теории обыкновенных дифферен-

циальных уравнений и уравнений в частных производных, модель Джейнса-Каммингса.

При численном моделировании использовался пакет Wolfram Mathematica.

Научная новизна. В работе предложен новый подход к построению явно решаемых

моделей сложных квантовых систем, состоящих из нескольких подсистем, в рамках мето-

да граничных троек в теории самосопряженных расширений симметрических операторов.

Этот подход дает общий метод построения таких моделей, позволяющий их эффектив-

но строить в различных физических ситуациях. С помощью предложенного метода были

построены новые модели для одномерных операторов Шредингера и Дирака, для светоиз-

лучающего устройства, найдены матрицы рассеяния данных систем. Описано туннелиро-

вание электрона через квантовую точку с гамильтонианом Рашбы со спин-орбитальным

взаимодействием в магнитном поле. С помощью подхода граничных троек построена но-

вая модель точечного взаимодействия для двумерной классической системы, описываемой

оператором Ламе, рассчитаны диаграммы рассеяния для продольных и поперечных упру-

гих волн (волн давления и сдвиговых волн).

Степень достоверности полученных результатов обеспечена использованием стро-

гих математических методов, а также подробным изложением всех математических вы-

кладок как в доказательствах, так и при построении моделей. Результаты работы нахо-

дятся в соответствии с результатами в исследовании спектральных свойств описанных

систем, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования были до-

ложены на международных и всероссийских конференциях:

1. A. A. Boitsev. Boundary triplets approach for sum of tensor products of operators //

Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems. ITMO University, Saint

Petersburg, Russia. 12.03.2013–15.03.2013.

2. A. A. Boitsev. Boundary triplets approach for Dirac operator // QMATH 12 —

Mathematical Results in Quantum Mechanics. Humboldt University, Berlin, Germany.

10.09.2013–13.09.2013.

3. A. A. Boitsev. Weyl function for sum of operator tensor products // IWOTA 2014. Vrije

Universiteit, Amsterdam, Netherlands. 14.07.2014–18.07.2014.

4. A. A. Boitsev. Boundary triplets approach for Dirac operator extensions // Mathematical

Challenge of Quantum Transport in Nanosystems. ITMO University, Saint Petersburg,

Russia. 23.09.2014–26.09.2014.

5. A. A. Boitsev. Boundary triplets approach to extensions of operator tensor products //

Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems, "Pierre Duclos

Workshop". ITMO University, Saint Petersburg, Russia. 09.09.2015–11.09.2015.

6. A. A. Boitsev. Boundary triplets approach to extensions of operator tensor products //

Spectral Theory and Applications. Stockholm University, Stockholm, Sweden. 13.03.2016–

15.03.2016.

7. A. A. Boitsev. Boundary triplets for sum of tensor products of operators // New Methods

in Extension Theory applied to Quantum Mechanics. WIAS, Berlin, Germany. 14.07.2016–

15.07.2016.

5

 8. A. A. Boitsev. Boundary triplets for point-like perturbation of Rashba Hamiltonian //

Days on Diffraction 2017. Mathematical Institute, Saint Petersburg and V. A. Fock

Institute in Physics, Petrodvorets, Russia. 19.06.2017–23.06.2017.

9. I. V. Blinova, A. A. Boitsev, A. Froehly, H. Neidhardt, I. Y. Popov. Scattering of elastic

waves by point-like obstacle in two-dimensional case // 23th International Symposium

on Mathematical Theory of Networks and Systems. IET, Hong Kong, China. 16.07.2018–

20.07.2018.

10. A. A. Boitsev. Operator extensions theory for the Jaynes-Cummings model //

Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems, "Pierre Duclos

Workshop". ITMO University, Saint Petersburg, Russia. 25.09.2018–26.09.2018.

11. А. А. Бойцев. Подход граничных троек для расширения тензорного произведения

операторов // II Всероссийский конгресс молодых учёных. НИУ ИТМО, Санкт-

Петербург, Россия. 09.04.2013–12.04.2013.

12. А. А. Бойцев. Гамма-поле и функция Вейля для тензорного произведения операто-

ров // III Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет ИТМО, Санкт-

Петербург, Россия. 08.04.2014–11.04.2014.

13. А. А. Бойцев. Явно решаемые модели, описываемые суммой тензорных произведений

операторов // IV Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет ИТМО,

Санкт-Петербург, Россия. 07.04.2015–10.04.2015.

14. А. А. Бойцев. Модели квантовых систем на базе подхода граничных троек в теории

расширений операторов // V Всероссийский конгресс молодых учёных. Университет

ИТМО, Санкт-Петербург, Россия. 12.04.2016–15.04.2016.

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 9 статей, из них

5 работ издано в журналах, рекомендованных Перечнем ВАК, 2 — в журналах, входящих

в списки Web of Science/Scopus.

Статьи, входящие в Перечень ВАК:

1. Boitsev A. A. Weyl function for sum of operators tensor products / A. A. Boitsev,

H. Neidhardt, I. Y. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2013. —

Vol. 4 — No. 6. — P. 747–759. — ISSN 2220-8054 (0,81 п.л. / 0,41 п.л.).

2. Бойцев А. А. Расширение тензорного произведения операторов на примере оператора

Дирака / А. А. Бойцев, Х. Нейдхардт, И. Ю. Попов // Научно-технический вестник

информационных технологий, механики и оптики. — 2014. — Т. 14. — № —4. — С. 164–

168. — ISSN 2226-1494 (0,31 п.л. / 0,17 п.л.).

3. Boitsev A. A. Dirac operator coupled to bosons / A. A. Boitsev, H. Neidhardt,

I. Y. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2016. — Vol. 7 —

No. 2. — P. 332–339. — ISSN 2220-8054 (0,5 п.л. / 0,32 п.л.).

4. Boitsev A. A. A model of electron transport through a boson cavity / A. A. Boitsev,

J. Brasche, H. Neidhardt, I. Y. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry,

Mathematics. — 2018. — Vol. 9 — No. 2. — P. 171–178. — ISSN 2220-8054 (0,5 п.л. /

0,23 п.л.).

5. Boitsev A. A. A model of an electron in a quantum graph interacting with a two-level

system / A. A. Boitsev, I. Y. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. —

2019. — Vol. 10 — No. 2. (апрель) — P. 131–140. — ISSN 2220-8054 (0,62 п.л. / 0,45 п.л.).

6

 Статьи, входящие в международные базы Web of Science/Scopus:

1. Boitsev A. A. Boundary Triplets, Tensor Products and Point Contacts to Reservoirs /

A. A. Boitsev, J. Brasche, M. Malamud, H. Neidhardt, I. Y. Popov // Annales Henri

Poincare. — 2018. — Vol. 19 — No 9. — P. 2783–2837. — DOI 10.1007/s00023-018-0698-y

(3,43 п.л. / 1,2 п.л.).

2. Boitsev A. A. Model of tunnelling through quantum dot and spin–orbit interaction /

A. A. Boitsev, D. A. Eremin, E. N. Grishanov, I. .Y. Popov // Pramana - Journal of

Physics. — 2019. — Vol. 92 (апрель) — P. 95 (0,31 п.л. / 0,15 п.л.).

Прочие публикации:

1. Бойцев А. А. Метод граничных троек для тензорного произведения операторов /

А. А. Бойцев // Труды студенческого центра прикладных математических исследо-

ваний / под ред. И. Ю. Попова. — Санкт-Петербург: НИУ ИТМО, 2013. — Т. 3. —

С. 31–35 (0,31 п.л. / 0,31 п.л.).

2. Boitsev A. A. Boundary triplets approach for Dirac operator / A. A. Boitsev //

Mathematical Results in Quantum Mechanics. Proceedings of the QMath12 Conference. —

2014. — P. 213–219 (0,43 п.л. / 0,43 п.л.).

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказано, что матрица рассеяния для двухкомпонентных квантовых систем выра-

жается через спектральные характеристики подсистем и параметры взаимодействия.

Выведены явные формулы для модельной матрицы рассеяния;

2. Показано, что рассеяние на квантовом графе с операторам Дирака и оператором

Шредингера в магнитном поле с учетом взаимодействия с двухуровневой системой

имеет резонансный характер, описываемый построенной моделью. Показана зависи-

мость коэффициента прохождения электрона через квантовую точку от параметров

спин-орбитального взаимодействия Рашбы и энергии электрона при различных на-

правлениях спина;

3. Показано влияние взаимодействия с бозонами при туннелировании электрона через

квантовую точку с двухуровневым атомом в рамках предложенной модифицирован-

ной модели Джейнса-Каммингса;

4. Найдены направления максимальных и минимальных амплитуд рассеянных упругих

волн двух типов в зависимости от их частоты, геометрии рассеивателей и параметров

упругой среды. Матрица рассеяния в рамках модели точечных возмущений получена

в явном виде.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 108 страницах, состоит из

введения, четырёх глав и заключения; содержит 14 рисунков. Список литературы содер-

жит 125 наименований.

7

Обзор литературы

Задачи современной квантовой механики все более и более требуют аналитически точ-

ных решений. В то же время, это представляет немало технических трудностей, так как

для решения поставленных задач требуется серьезный и современный математический

аппарат. В данной диссертации рассматривается развитие метода граничных троек для

операторов специального вида (суммы тензорных произведений), а также применение раз-

витого математического аппарата к построению явно решаемых моделей квантовомехан-

нических систем. Операторы, представляющие из себя сумму тензорных произведений,

часто возникают в вопросах квантовой механики. Исследование спектральных свойств

самосопряженных операторов (наблюдаемых) является ключевым в описании поведения

квантовой системы.

В качестве аппарата, используемого для построения (моделирования) точечного взаи-

модействия моделей физических систем, используется так называемая теория расширений

симметрических операторов. Последнюю успешно применяют для решения рассматрива-

емых задач уже практически в течение века. Под точечным взаимодействием физических

систем мы понимаем такие модели квантовой механики, в которых рассматриваемая ча-

стица не испытывает никаких сил, кроме тех, которые приложены в одной или нескольких

точках конфигурационного пространства. Типичным примером такого взаимодействия

может служить так называемый потенциал Дирака. Если удалить точку взаимодействия,

то мы получим хорошо определенный симметрический оператор. Самосопряженные рас-

ширения данного оператора могут рассматриваться, как точечное взаимодействие, име-

ющее различные физические свойства. Одной из первых моделей, описывающих точеч-

ное взаимодействие, является модель Кронига-Пенни [96] — модель частицы в одномер-

ном периодическом потенциале (с прямоугольными потенциальными ямами). Математики

Ф. Березин и Л. Фаддеев [1] были первыми, кто строго описал точечное взаимодействие

в терминах теории расширений плотно заданных замкнутых симметрических операторов.

В дальнейшем этот подход широко изучался и получил огромное развитие к настояще-

му времени. Большое количество результатов по этим вопросам, а также ссылок на них

можно найти в работе [21], в которой подробно и математически строго описан оператор

Шредингера с потенциалом, который определен на различных дискретных множествах

конфигурационного пространства. Отдельно стоит упомянуть работу [22], в которой рас-

сматриваются дифференциальные операторы второго порядка с возмущением конечного

и бесконечного рангов. В ней рассматриваются как 𝛿 и 𝛿 ′ взаимодействия, возникающие

на дискретном множестве без точек сгущения, так и на гиперповерхностях меньшей раз-

мерности.

В последнее время появились работы, рассматривающие взаимодействие не только на

дискретных множествах, но и на непрерывных (например, кривых в R3 ). В работе [27]

развивается спектральная теория для операторов Шредингера с 𝛿-взаимодействием, за-

данных на кривых в R3 . Доказываются оценки для количества отрицательных собствен-

ных значений в зависимости от формы кривой, рассматриваются свойства Шаттена-фон

Неймана для разности резольвент со свободным лапласианом, матрица рассеяния выпи-

сывается в явном виде.

Сложность, возникающая при использовании такого подхода (теории расширений сим-

метрических операторов), заключается в том, что нет унифицированного способа, поз-

воляющего по данному симметрическому оператору получить аналитическое выражение

всех его самосопряженных расширений. В работах М. Крейна [8] и Н. Наймарка [12]

описывается фундаментальная теория расширения симметрических операторов и теория

обобщенных резольвент. С точки зрения физики, расширение симметрического оператора

дает параметризованный набор самосопряженных операторов, из которого, при правиль-

8

ном выборе граничных параметров, можно получить оператор, корректно описывающий

взаимодействие систем [26], [4].

Спектральная теория операторов имеет огромное значение в математике и получает

немалые приложения в квантовой физике [62], [61]. Особое место в теории операторов

занимает теория самосопряженных операторов, а также теория самосопряженных расши-

рений симметрических операторов, как метод построения явно решаемых моделей. При

этом во многих интересных задачах (например, при описании взаимодействия фотонов

с электронами) возникают операторы, представляющие собой сумму тензорных произве-

дений операторов [74], [11], [104], [118]. Для построения аналитических решений задач,

связанных с данным типом операторов, необходимо уметь получать их самосопряженные

расширения. Этому вопросу посвящена первая глава предлагаемой диссертации.

Важно отметить, что существует несколько подходов к построению самосопряженных

расширений симметрических операторов. Задача построения всех самосопряженных рас-

ширений плотно заданного замкнутого симметрического оператора впервые была решена

Д. фон Нейманом в [111]. Подход Неймана заключается в преобразовании Кэли замкнуто-

го симметрического оператора, что является частичной изометрией. Все унитарные рас-

ширения этой частичной изометрии отвечают самосопряженным расширениям симметри-

ческого оператора.

Мы, в главе 1, будем использовать и развивать другой подход, называемый подходом

граничных троек. Этот подход к проблеме теории расширений был предложен А. Кочубе-

ем [7] и В. Бруком [3]. Основные определения и понятия рассматриваемой теории собраны

в [118]. Кратко, идея заключается в следующем. Пусть 𝐴 — плотно заданный симмет-

рический оператор в гильбертовом пространстве H. Тройка Π = {ℋ, Γ0 , Γ1 } называется

граничной тройкой для оператора 𝐴* , если выполняется тождество Грина

(𝐴* 𝑓, 𝑔) − (𝑓, 𝐴* 𝑔) = (Γ1 𝑓, Γ0 𝑔) − (Γ0 𝑓, Γ1 𝑔), 𝑓, 𝑔 ∈ dom 𝐴* ,

и линейные отображения Γ𝑖 : dom (𝐴* ) → ℋ сюръективны, то есть ran Γ𝑖 = ℋ. Граничная

тройка всегда существует, если индексы дефекта оператора 𝐴 равны. Как только получе-

на граничная тройка, то возникает взаимно-однозначное соответствие между множеством

всех самосопряженных отношений в ℋ и множеством самосопряженных расширений опе-

ратора 𝐴 (подробнее изложено в главе 1 и [74]). Далее строится такой вспомогательный

объект, как гамма-поле 𝛾(𝑧) и важнейший объект для изучения спектральных свойств —

функция Вейля 𝑀 (𝑧). Функция Вейля может быть рассмотрена и как обобщение функции

Вейля-Титчмарша для оператора Штурма-Лиувилля на положительной полуоси. Гамма

поле и функция Вейля были изобретены и тщательно изучены В. Деркачом и М. Маламу-

дом, например, в [62]. Используя гамма-поле и функцию Вейля, можно написать резоль-

вентную формулу Крейна (подробное изложение приведено в главе 1). Последняя может

быть переписана полностью в терминах граничной тройки.

Подход граничных троек позволил тщательно изучить спектральные вопросы, свя-

занные с самосопряженными расширениями [43]. Он может также быть использован для

вычисления матрицы рассеяния [32]. Обратные задачи теории рассеяния были рассмотре-

ны в [32]. Задача об унитарной эквивалентности различных самосопряженных расшире-

ний была решена в [103]. Результаты были применены к операторам Штурма-Лиувилля

с операторными потенциалами [104]. Столь богатая область применимости и большая аб-

страктность делают подход граничных троек достаточно привлекательным для различных

задач, касающихся построения явно решаемых моделей.

В первой главе рассматривается система, состоящая из двух квантовых систем {H, 𝐴0 }

и {T, 𝑇 } (вторую мы будем называть резервуаром), где 𝐴0 и 𝑇 — самосопряженные опе-

раторы, заданные на сепарабельных гильбертовых пространствах H и T, соответственно.

9

Гамильтониан этой системы задается выражением

𝑆0 := 𝐴0 ⊗ 𝐼T + 𝐼H ⊗ 𝑇,

где 𝑆0 действует в гильбертовом пространстве K := H ⊗ T. Для моделирования взаимодей-

ствия с резервуаром, обычно добавляют некоторое подходящее возмущение [56], [57], [58].

Мы же будем моделировать точеное возмущение и разрабатывать упомянутый выше под-

ход граничных троек для данного типа операторов, сужая оператор 𝐴0 до симметриче-

ского, а потом расширяя полученный симметрический оператор 𝑆 := 𝐴 ⊗ 𝐼T + 𝐼H ⊗ 𝑇 до

самосопряженного.

Технические трудности, возникающие при построении граничной тройки для такого

типа операторов, решаются так называемым процессом регуляризации. Идея построения

граничной

⨁︀ тройки заключается в том, чтобы представить оператор 𝑆, как прямую сумму

𝑆 = 𝑗 𝑆𝑗 с ограниченным оператором 𝑇𝑗 во втором слагаемом вместо неограниченного

*

оператора 𝑇 . Однако, зная граничную тройку ⨁︀ Π𝑆𝑗 , отвечающую оператору 𝑆𝑗 , вообще

говоря нельзя утверждать, что тройка Π𝑆 = 𝑗 Π𝑆𝑗 будет граничной тройкой, отвечающей

оператору 𝑆 * . ⨁︀

Впервые было доказано А. Кочубеем [6], что прямая сумма Π𝑛 граничных троек Π𝑛 ,

вообще говоря, граничной тройкой не является. В последствии были приведены и другие,

более простые примеры, например в работах [104], [92], [51]. В работе [92, теорема 3.2] было

показано, что Π𝑆 является лишь так называемой обобщенной граничной тройкой. Согласно

[59], тройка Π𝑆 является так называемой ES-обобщенной граничной тройкой для оператора

𝑆 * , так как оператор 𝑆0 := 𝑆 *  ker (Γ𝑆0 ) является существенно самосопряженным.

Причиной возникающей проблемы служит то, что область определения граничных опе-

раторов dom (Γ𝑆𝑗 ), 𝑗 ∈ {0, 1}, может быть более узкой, нежели dom (𝑆 * ), а значит и область

значений отображения Γ𝑆 := (Γ𝑆0 , Γ𝑆1 )𝑡 : dom (𝑆 * ) → (ℋ𝑆 ⊕ ℋ𝑆 )𝑡 может быть собственным

подмножеством (ℋ𝑆 ⊕ ℋ𝑆 )𝑡 , тем самым может нарушаться условие сюръективности. В то

же время, область определения dom (Γ𝑆𝑗 ), 𝑗 ∈ {0, 1} всегда плотна в H+ (𝑆 * ) (пространство

dom (𝑆 * ), снабженное нормой графика оператора 𝑆 * ), и образ ran (Γ𝑆 ) плотен в (ℋ𝑆 ⊕ℋ𝑆 )𝑡 .

Тем не менее, согласно [60, предложение 5.3], Π𝑆 является граничной тройкой всякий раз,

когда ran (Γ𝑆 ) = (ℋ𝑆 ⊕ ℋ𝑆 )𝑡 . Кроме того, в соответствии с [92, предложение 3.8], условия

∑︁ ⨁︁

‖Γ𝑆𝑗 𝑛 𝑓𝑛 ‖2 < ∞, 𝑓 = 𝑓𝑛 ∈ dom (𝑆 * ), 𝑗 ∈ {0, 1},

𝑛∈Z 𝑛∈Z

⨁︀

гарантируют, что тройка Π𝑆 = 𝑛∈Z Π𝑆𝑛 является обыкновенной граничной тройкой, в то

время как лишь одно условие, написанное выше (при 𝑗 = 0), гарантирует лишь то, что

тройка Π𝑆 является так называемой 𝐵-обобщенной граничной тройкой в смысле [61], [59].

Решение данной проблемы, то есть так называемая процедура регуляризации, описан-

ная подробно в первой главе, впервые была предложена в [104] и была применена для

построения граничной тройки для операторов Штурма-Лиувилля

−𝑑2 /𝑑𝑥2 ⊗ 𝐼T + 𝐼H ⊗ 𝑇, H = 𝐿2 (R+ ; T) = 𝐿2 (R+ ) ⊗ T,

с неограниченным оператором 𝑇 = 𝑇 * ∈ 𝒞(T). Дальнейшие обобщения процедуры регуля-

ризации, также как и применения этой процедуры к операторам Шредингера и Дирака

при 𝛿-взаимодействии, были получены в работах [92] и [51], соответственно.

Вторая глава посвящена применениям разработанной в первой главе техники к по-

строению моделей взаимодействия релятивистского и нерелятивистского электронов, ко-

торые описываются одномерными операторами Шредингера и Дирака, соответственно, с

некоторым резервуаром. Это же применение показывает, насколько важен вид выбранной

граничной тройки в первой главе, тройки, «чувствующей» тензорную структуру зада-

чи. Как будет сказано в дальнейшем, граничная тройка, отвечающая оператору 𝐴* , не

10

единственна. Выбор «удобной» граничной тройки подчас эквивалентен выбору «удачной»

системы координат в задачах аналитической геометрии. Наша задача — не единственный

такой прецедент. Подход граничных троек не раз применялся к операторам Шредингера

и Дирака. Например, в работе [92] рассматривается одномерный оператор Шредингера

с 𝛿-взаимодействием на дискретном множестве 𝑋 = {𝑥𝑛 }. Пространство разбивается на

прямую сумму пространств 𝐿2 [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ], а оператор — на прямую сумму одномерных опера-

торов Шредингера, действующих в этих пространствах, для которых строится «удобная»

граничная тройка. Похожий подход был применен в работе [51] для одномерного оператора

Дирака с точечным взаимодействием на прямой. Описанный подход оказался очень бога-

тым на приложения: дано описание абсолютно непрерывного спектра самосопряженных

расширений [43], [103], а также исследованы спектральные свойства одномерных операто-

ров Шредингера и Дирака с точечным взаимодействием [51], [92], [90]. Нельзя не отметить

описанные применения к операторам Шредингера в трехмерном пространстве [105], а так-

же к теории рассеяния [30], [31].

Стоит также отметить работы, в которых операторы Штурма-Лиувилля с неограничен-

ным потенциалом рассматривались как операторы, имеющие описанную выше тензорную

структуру, подробно изучаемую в первой главе данной диссертации. Операторы Штурма-

Лиувилля 𝑆𝑐 на ограниченном интервале с операторозначным потенциалом 𝑇 = 𝑇 * ∈ 𝒞(T),

подробно описанные в рамках нашей теории в разделе 2.1.3, впервые были рассмотрены

в работе М. Горбачука [73]. Граничная тройка для оператора 𝑆𝑐* впервые была построена

в работе [73] (см. [74]). Построение граничной тройки для 𝑆𝑟* на полуоси впервые было

предложено в работе [62, раздел 9]. В то же время, наш вид (2.3) граничной тройки для

оператора 𝑆𝑟*⨁︀заимствован из статьи [104], где представление оператора 𝑆, как прямой

суммы 𝑆 = 𝑗 𝑆𝑗 с ограниченным оператором 𝑇𝑗 вместо неограниченного оператора 𝑇

было предложено, и процесс регуляризации для прямых сумм операторов был изобретен

и применен к оператору 𝑆𝑟 .

После выхода работы [73], спектральная теория самосопряженных и диссипативных

расширений оператора 𝑆𝑐 в 𝐿2 (Δ𝑐 , T) интенсивно развивалась. Результаты собраны в [74,

глава 4], где, в частности, можно найти критерий дискретности спектра, асимптотиче-

ские формулы для собственных значений и др. Спектральный свойства самосопряженных

расширений оператора 𝑆𝑟 , описанного в разделе 2.1.1, были изучены в работе [104], см.

также [103]. В частности, критерий того, что все самосопряженные расширения оператора

𝑆𝑟 имеют неотрицательный абсолютно непрерывный спектр, тоже получены в этой работе.

Многие наноэлектронные устройства основаны на туннелировании через нанострукту-

ры. Отсюда, зависимость коэффициента прохождения от энергии частицы играет огром-

ную роль для инженерных приложений. Туннелирование электрона через квантовые точ-

ки, соединенные с проводами, изучались в [53], [49], [70], [71], [72]. Чтобы описать процесс,

можно использовать явно решаемую модель связи квантовой точки с проводами – через

точечный потенциал [14], [22], [41]. Абстрактная модель туннелирования была предложена

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бойцев Антон Александрович, 2019 год

Список литературы

1. Березин, Ф. А. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом /

Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев // Докл. АН СССР. — 1961. — Т. 137. — № 5. — С.

1011–1014.

2. Бойцев, А. А. Расширение тензорного произведения операторов на примере оператора

Дирака / А. А. Бойцев, Х. Нейдхардт, И. Ю. Попов // Научно-технический вестник

информационных технологий, механики и оптики. — 2014. — Т. 14. — № 4. — С. 164–

168.

3. Брук, В. М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном

условии / В. М. Брук // Матем. сб. — 1976. — Т. 100(142). — № 2(6). — С. 210–216.

4. Деркач, В. А. Эрмитовы операторы с лакунами и функция Вейля / В. А. Деркач и

М. М. Маламуд. // Докл. АН. СССР. — 1987. — Т. 293. — № 5. — С. 1041–1046.

5. Костенко, А. С. Матричный оператор Шрёдингера с 𝛿-взаимодействиями / А. С. Ко-

стенко, М. М. Маламуд, Д. Д. Натягайло // Матем. заметки. — 2016. — Т. 100. — № 1. —

С. 59–77.

6. Кочубей, А. Н. Симметрические операторы и неклассические спектральные задачи /

А.Н. Кочубей. // Матем. заметки. — 1979. — Т. 25. — № 3. — С. 425–434.

7. Кочубей, А. Н. О расширениях симметрических операторов и симметрических бинар-

ных отношений / А. Н. Кочубей. // Матем. заметки. — 1975. — Т. 17. — № 1. — С.

41–48.

8. Крейн, М. Г. О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова

оператора в пространстве Π𝜒 / М. Г. Крейн, Г. К. Лангер // Функциональный анализ

и приложения. — 1971. — Т. 5. — № 3. — С. 54–69.

9. Крейн, М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых опе-

раторов и ее приложения. I / М. Г. Крейн // Матем. сб. — 1947. — Т. 20(62). — № 3. —

С. 431–495.

10. Левитан, Б. М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б. М. Левитан, И. С. Сарг-

сян. — М. : Наука, 1988. — 432 с.

11. Малламуд, М. М. О некоторых классах расширений эрмитовых операторов с лакуна-

ми / М. М. Маламуд. // Укр. матем. журн. — 1992. — Т. 44. — № 2. — P. 215–233.

12. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. A. Наймарк. — 2-е изд.

перераб. и доп. — М. : Наука, 1969. — 526 с.

13. Павлов, Б. С. Модель потенциала нулевого радиуса с внутренней структурой /

Б. С. Павлов // ТМФ. — 1984. — Т. 59. — № 3. — С. 345–353.

100

14. Павлов, Б. С. Теория расширений и явнорешаемые модели / Б.С. Павлов // УМН. —

1987. — Т. 42. — № 6(258). — С. 99–131.

15. Павлов, Б. С. Теория расширений и потенциалы нулевого радиуса с внутренней струк-

турой / Б. С. Павлов, А. А. Шушков // Матем. сб. — 1988. — Т. 137(179). — № 2. — С.

147–183.

16. Фёрстер, К. Ловушечные моды в упругой пластине с отверстием / К. Фёрстер, Т. Вай-

дль // Алгебра и анализ. — 2011. — Т. 23. — № 1. — С. 255–288.

17. Abdullah, N. R. Electron transport through a quantum dot assisted by cavity photons /

N. R. Abdullah, Chi-S. Tang, A. Manolescu, V. Gudmundsson // Journal of Physics:

Condensed Matter. — 2013. — Vol. 25 — № 46 — P. 465302.

18. Achieser, N. I. Theorie der linearen Operatoren im Hilbert-Raum / N. I. Achieser,

I. M. Glasmann. — 8th edition. — Berlin : Harri Deutsch, 1981. — 496 p.

19. Adamyan, V. Spectral components of self-adjoint block operator matrices with unbounded

entries / V. Adamyan, H. Langer, R. Mennicken, J. Saurer // Mathematische

Nachrichten. — 1996. — Vol. 178. — № 1. — P. 43–80.

20. Albeverio, S. Inverse spectral theory for symmetric operators with several gaps: scalar-type

Weyl functions / S. Albeverio, J. F. Brasche, M. M. Malamud, H. Neidhardt // Journal of

Functional Analysis. — 2005. — Vol. 228. — № 1 — P. 144–188.

21. Albeverio, S. Solvable models in quantum mechanics / S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Høegh-

Krohn, H. Holden. — 2nd edition. — Providence : American Mathematical Society, 2005.

22. Albeverio, S. Singular perturbations of differential operators / S. Albeverio, P. Kurasov. —

Cambridge: Cambridge University Press. — 2000.

23. Ambrosetti, A. Quantum Monte Carlo study of the two-dimensional electron gas in presence

of Rashba interaction / A. Ambrosetti, F. Pederiva, E. Lipparini, and S. Gandolfi. // Phys.

Rev. B. — 2009. — Vol. 80. — № 12. — P. 125306.

24. Andronov, I. V. Zero-range potential model of a protruding stiffener / I. V. Andronov // J.

Phys. A. Math. Gen. — 1999. — Vol. 32. — № 20. — P. 231–238.

25. Aschbacher, W. Transport properties of quasi-free fermions / W. Aschbacher, V. Jaksic,

Y. Pautrat, C.-A. Pillet // Journal of Mathematical Physics. — 2007. — Vol. 48. — № 3. —

P. 032101.

26. Baumgärtel, H. Mathematical scattering theory. / H. Baumgärtel, M. Wollenberg. — Berlin:

Akademie-Verlag. — 1983.

27. Behrndt, J. Spectral Theory for Schrödinger Operators with 𝛿 - Interactions Supported on

Curves in R3 / J. Behrndt, R, L. Frank, C. Kühn, V. Lotoreichik, J. Rohleder // Annales

Henri Poincare. — 2017. — Vol. 18. — № 4. — P. 1305–1347.

28. Behrndt, J. Schrödinger operators with 𝛿 and 𝛿 ′ -potentials supported on hypersurfaces /

J. Behrndt, M. Langer, V. Lotoreichik // Annales Henri Poincare. — 2013. — Vol. 14. —

№ 2. — P. 285–423.

101

29. Behrndt, J. A remark on Schatten-von Neumann properties of resolvent differences

of generalized Laplacians on bounded domains / J. Behrndt, M. Langer, I. Lobanov,

V. Lotoreichik, I. Yu. Popov // Journal of Mathematical Analysis and Applications. —

2010. — Vol. 371. — № 2. — P. 750–758.

30. Behrndt, J. Scattering matrices and Weyl functions / J. Behrndt, M. M. Malamud, and

H. Neidhardt // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2008. — Vol. 97. —

№ 3. — P. 568–598.

31. Behrndt, J. Scattering matrices and Dirichlet-to-Neumann maps / J. Behrndt,

M. M. Malamud, H. Neidhardt // Journal of Functional Analysis. — 2017. — Vol. 273. —

№ 6. — P. 1970–2025.

32. Behrndt, J. Finite rank perturbations, scattering matrices and inverse problems /

J. Behrndt, M. M. Malamud, H. Neidhardt // Recent Advances in Operator Theory

in Hilbert and Krein Spaces. Operator Theory: Advances and Applications. — 2010. —

Vol. 198. — P. 61–85.

33. Berkolaiko, G. Introduction to Quantum Graphs / G. Berkolaiko, P. Kuchment. —

Providence: AMS, 2012.

34. Bird, J. P. Electron Transport in Quantum Dots / J. P. Bird. — Berlin : Springer Science

and Business Media, 2013.

35. Birman, M. S. Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert space / M. S. Birman,

M. Z. Solomjak. — Dordrecht : D. Reidel Publishing Company, 1987. — 302 p.

36. Blick, R. H. Photon-assisted tunneling through a quantum dot at high microwave

frequencies / R. H. Blick, R. J. Haug, D. W. van der Weide, K. von Klitzing, K. Eberl //

Appl. Phys. Lett. — 1995. — Vol. 67. — № 1. — P. 3924.

37. Boitsev, A. A. Dirac operator coupled to bosons / A. A. Boitsev, H. Neidhardt,

I. Y. Popov. // Nanosystems: Phys. Chem. Math. — 2016. — Vol. 7. — № 2. — P. 332–

339.

38. Boitsev, A. A. Weyl function for sum of operators tensor products / A. A. Boitsev,

H. Neidhardt, I. Y. Popov. // Nanosystems: Phys. Chem. Math. — 2013. — Vol. 4. —

№ 6. — P. 747–757.

39. Boitsev, A. A. Boundary Triplets, Tensor Products and Point Contacts to Reservoirs /

A. A. Boitsev, J. Brasche, M. Malamud, H. Neidhardt, I. Y. Popov // Annales Henri

Poincare. — 2018. — Vol. 19 — No 9. — P. 2783–2837. — DOI 10.1007/s00023-018-0698-y

40. Boitsev, A.A. A model of electron transport through a boson cavity / A. A. Boitsev,

J. Brasche, H. Neidhardt, I. Y. Popov // Nanosystems: Phys. Chem. Math. — 2018. —

Vol. 9. — № 2. — P. 171–178.

41. Boitsev A. A. A model of an electron in a quantum graph interacting with a two-level

system / A. A. Boitsev, I. Y. Popov // Nanosystems: Phys. Chem. Math. — 2019. —

Vol. 10 — No. 2. — P. 131–140.

42. Boitsev A. A. Model of tunnelling through quantum dot and spin–orbit interaction /

A. A. Boitsev, D. A. Eremin, E. N. Grishanov, I. .Y. Popov // Pramana - Journal of

Physics. — 2019. — Vol. 92 — P. 95.

102

43. Brasche, J. F. Weyl function and spectral properties of self-adjoint extensions /

J. F. Brasche, M. M. Malamud, H. Neidhardt // Integral Equations Operator Theory. —

2002. — Vol. 43. — № 3. — P. 264–289.

44. Brown, B. M. M-functions for closed extensions of adjoint pairs of operators with

applications to elliptic boundary problems / B. M. Brown, G. Grubb, I. Wood // Math.

Nachr. — 2009. — Vol. 282. — № 3. — P. 314–347.

45. Brown, B. M. Boundary triplets and M-functions for non-self-adjoint operators, with

applications to elliptic PDEs and block operator matrices / B. M. Brown, M. Marletta,

S. Naboko, I. Wood // J. Lond. Math. Soc. — 2008. — Vol. 77. — № 3. — P. 700–718.

46. Brüning, J. Scattering on compact manifold with infinitely thin horns / J. Brüning,

V. Geyler. // J. Math. Phys. — 2003. — Vol. 44. — № 2. — P. 371–405.

47. Brüning, J. Spectra of self-adjoint extensions and applications to solvable Schrödinger

operators / J. Brüning, V. Geyler, K. Pankrashkin // Rev. Math. Phys. — 2008. — Vol. 20. —

№ 1. — P. 1–70.

48. Brune, M. Realization of a two-photon maser oscillation / M. Brune, J. M. Raymond,

P. Goy, L. Davydovich, S. Haroiche // Phys. Rev. Lett. — 1987. — Vol. 59. — № 17. — P.

1899–1902.

49. Bulka, B. R. Fano and Kondo resonance in electric current through nanodevice /

B. R. Bulka, P. Stefanski // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Vol. 86. — № 22. — P. 5128–

5131.

50. Büttiker, M. Generalized many-channel conductance formula with application to small

rings / M. Büttiker, Y. Imry, R. Landauer, S. Pinhas // Phys. Rev. B. — 1985. — Vol. 31. —

№ 10. — P. 6207–6215.

51. Carlone, R. On the spectral theory of Gesztesy-Šeba realizations of 1-D Dirac operators

with point interactions on a discrete set / R. Carlone, M. Malamud, A. Posilicano // J.

Differential Equations. — 2013. — Vol. 254. — № 9. — P. 3835–3902.

52. Challa, D. P. Multiple Scattering of Electromagnetic Waves by Finitely Many Point-like

Obstacles / D. P. Challa, G. Hu, M. Sini // Math. Models Methods Appl. Sci. — 2014. —

Vol. 24. — № 5. — P. 863–899.

53. Clerk, A. A. Fano resonances as a probe of phase coherence in quantum dots / A. A. Clerk,

X. Waintal, P. W. Brouwer // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Vol. 86. — № 20. — P. 4636–4639.

54. Cornean, H. D. The Cayley transform applied to non-interacting quantum transport /

H. D. Cornean, H. Neidhardt, L. Wilhelm, V.A. Zagrebnov // J. Funct. Anal. — 2014. —

Vol. 266. — № 3. — P. 1421–1475.

55. Dahlen, F. A. Theoretical Global Seismology / A. F. Dahlen, J. Tromp. — Princeton:

Princeton University Press, 1998.

56. Davies, E. B. Quantum theory of open systems / E. B. Davies — New York : Academic

Press, 1976.

57. Dereziński, J. Fermi golden rule and open quantum systems / J. Dereziński, R. Früboes. //

in Open Quantum Systems III. Lecture Notes in Mathematics. — 2006. — Vol. 1882. —

№ 1. — P. 67–116.

103

58. Dereziński, J. On the nature of Fermi golden rule for open quantum systems / J. Dereziński,

V. Jakšić. // J. Statist. Phys. — 2004. — Vol. 116. — № 1–4. — P. 411–423.

59. Derkach, V. Boundary triplets and Weyl functions. Recent developments / V. Derkach,

S. Hassi, M. Malamud, H. de Snoo. // in Operator methods for boundary value problems.

London Math. Soc. Lecture Note Ser. — 2012. — Vol. 404. — № 1. — P. 161–220.

60. Derkach, V. A.. Boundary relations and their Weyl families / V. A. Derkach, S. Hassi,

M. M. Malamud, H. S. V. de Snoo // Trans. Amer. Math. Soc. — 2006. — Vol. 358. —

№ 12. — P. 5351–5400.

61. Derkach, V. A. The extension theory of Hermitian operators and the moment problem /

V. A. Derkach, M. M. Malamud. //J. Math. Sci. — 1995. — Vol. 73. — № 2. — P. 141–242.

62. Derkach, V. A. Generalized resolvents and boundary value problems for Hermitian operators

with gaps / V. A. Derkach // J. Funct. Anal. — 1991. — Vol. 95. — № 1. — P. 1–95.

63. Eberly, J. H. Periodic spontaneous collapse and revival in a simple quantum model /

J. H. Eberly, N. B. Narozhny, J. J. Sanchez-Mondragon // Phys. Rev. Lett. — 1980. —

Vol. 44. — № 20. — P. 1323–1326.

64. Eckhardt, J. One-dimensional Schrödinger operators with 𝛿 ′ -interactions on Cantor-type

sets / J. Eckhardt, A. Kostenko, M. Malamud, G. Teschl // J. Differential Equations —

2014. — Vol. 257. — № 2. — P. 415–449.

65. Foldy, L. The multiple scattering of waves. I. General theory of isotropic scattering by

randomly distributed scatterers / L. Foldy // Phys. Rev. — 1945. — Vol. 3(4). — № 2068. —

P. 107–119.

66. Förster, C. Trapped modes for an elastic strip with perturbation of the material properties /

C. Förster, T. Weidl. // Q. Jl. Mech. Appl. Math. — 2006. — Vol. 59. — № 3. — P. 399–418.

67. Juska, G. Complex optical sig-natures from quantum dot nanostructures and behavior in

inverted pyramidalrecesses / G. Juska, V. Dimastrodonato, L. O. Mereni, T. H. Chung,

A. Gocalinska, E. Pelucchi, B. Van Hattem, M. Ediger, P. Corfdir. // Phys. Rev. B. —

2014. — Vol. 89. — № 20. — P. 205430.

68. Folden, C. L. Quantum magnetic confinement and transport in spherical two-dimensional

electron gases / C. L. Foden, M. L. Leadbeater, M. Pepper. // Phys. Rev. B. — 1995. —

Vol. 52. — № 12. — P. 8646–8649.

69. Gerya, T. Introduction to Numerical Geodynamic Modelling / T. Gerya. — Cambridge:

Cambridge University Press, 2010.

70. Geyler, V. A. Resonant tunneling in zero-dimensional systems: Explicitly solvable model /

V. A. Geyler, I. Yu. Popov. // Phys. Lett. A. — 1994. — Vol. 187. — № 5. — P. 410–412.

71. Geyler, V. A. Ballistic transport in nanostructures: Explicity solvable models / V. A. Geyler,

I. Yu. Popov. // Theor. Math. Phys. — 1996. — Vol. 107. — № 1. — P. 427–434.

72. Geyler, V. A. Resonant tunneling through a two–dimensional nanostructure with connecting

leads / V. A. Geyler, V. A. Margulis, M. A. Pyataev. // J. Exper. Theor. Phys. — 2003. —

Vol. 97. — № 4. — P. 763–772.

104

73. Gorbachuk, M. L. Self-adjoint boundary problems for a second-order differential equation

with unbounded operator coefficient / M. L. Gorbachuk // Funct. Anal. Appl. — 1971. —

Vol. 5. — № 1. — P. 9–18.

74. Gorbachuk, V. I. Boundary value problems for operator differential equations /

V. I. Gorbachuk, M. L. Gorbachuk. — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers Group,

1991.

75. Gugel, Yu.V. Hydrotron: creep and slip / Yu.V. Gugel, I.Yu. Popov, S.L. Popova // Fluid.

Dyn. Res. — 1996. — Vol. 18. — № 4. — P. 199–210.

76. Grangier, P. Implementations of Quantum Computing Using Cavity Quantum

Electrodynamics Schemes / P. Grangier, G. Reymondand, N. Schlosser // Fortschritte

der Physik. — 2005. — Vol. 48. — № 9–11. — P. 89–104.

77. Gridin, D. Trapped modes in curved elastic plates / D. Gridin, R. V. Craster,

A. T. I. Adamou. // Proceedings Royal Soc. London (A). — 2005. — Vol. 461. — № 2056. —

P. 1181-1197.

78. Grubb, G. A characterization of the non local boundary value problems associated with

an elliptic operator / G. Grubb // Ann. Scuola Normale Superiore de Pisa — 1968. —

Vol. 22. — № 3. — P. 425–513.

79. Grubb, G. Distributions and Operators / G. Grubb. — New York : Springer, 2009.

80. Grubb, G. The mixed boundary value problem, Kreı̆n resolvent formula and spectral

asymptotic estimates / G. Grubb // J. Math. Anal. — 2011. — Vol. 382. — № 1. — P.

339-363.

81. Hänel, A. Eigenvalue asymptotics for an elastic strip and an elastic plate with a crack. The

Quart / A. Hänel, T. Weidl // J. Mech. Appl. Math. — 2016. — Vol. 69. — № 4. — P.

319–352.

82. Hu, G. Elastic scattering by finitely many point-like obstacles / G. Hu, M. Sini // J. Math.

Phys. — 2013. — Vol. 54. — № 4. — P. 042901.

83. Hu, Q. Photon-assisted quantum transport in quantum point contacts / Q. Hu. // Applied

physics letters. — 1993. — Vol. 62. — № 8. — P. 837–839.

84. Ismail-Zadeh, A. Computational Methods for Geodynamics / A. Ismail-Zadeh,

P. Tackley. — Cambridge: Cambridge University Press, 2010.

85. Jaynes, E. T. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application

to the beam maser / E. T. Jaynes, F. W. Cummings. // Proceedings of the IEEE. — 1963. —

Vol. 51. — № 1. — P. 89–109.

86. Jursenas, R. Spectrum of a family of spin-orbit coupled Hamiltonians with singular

perturbation / R. Jursenas. // J. Phys. A: Math. Theor. — 2016. — Vol. 49. — № 6. — P.

065202.

87. Karatsuba, A. A. A resummation formula for collapse and revival in the Jaynes–Cummings

model / A. A. Karatsuba, E. A. Karatsuba // J. Phys. A: Math. Theor. — 2009. — Vol. 42. —

№ 19. — P. 195304.

88. Kato, T. Perturbation theory for linear operators / T. Kato. — 2nd edition. – Berlin :

Springer-Verlag, 1976.

105

89. Kosheleva, O. K. Selective killing of cancer cells by nanoparticle-assisted ultrasound /

O. K. Kosheleva, T. C. Lai, N. G. Chen, V. Hsiao, H. Ch. Chen // J. Nanobiotechnol. —

2016. — Vol. 14. — № 1. — 11 p.

90. Kostenko, A. 1-D Schrödinger operators with local point interactions: a review /

A. Kostenko, M. Malamud. // Proc. Sympos. Pure Math. — 2013. — Vol. 87. — № 1. — P.

235–262.

91. Kostenko, A. Spectral theory of semibounded Schrödinger operators with 𝛿 ′ -interactions /

A. Kostenko, M. Malamud // Ann. Henri Poincare. — 2014. — Vol. 15. — № 3. — P. 501–541.

92. Kostenko, A. S. 1-D Schrödinger operators with local point interactions on a discrete set /

A. S. Kostenko, M. M. Malamud. // J. Differential Equations. — 2010. — Vol. 249. — № 2. —

P. 253–304.

93. van Kouwen, M. P. Single quantum dot nanowire photodetectors / M. P. van

Kouwen, M. H. M. van Weert, M. E. Reimer, N.. Akopian, U. Perinetti, R. E. Algra,

E. P. A. M. Bakkers, L. P. Kouwenhoven, V. Zwiller // Appl. Phys. Lett. — 2010. —

Vol. 97. — № 1. — P. 113108.

94. Kouwenhoven, L.P. Photon-assisted tunneling through a quantum dot / L. P. Kouwenhoven,

S. Jauhar, K. McCormick, D. Dixon, P. L. McEuen, Yu. V. Nazarov, N. C. van der Vaart,

C. T. Foxon. // Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 50. — № 3. — P. 2019–2022.

95. Krause, J. Quantum theory of the micromaser: Symmetry breaking via off-diagonal atomic

injection / J. Krause, M. Scully, H. Walther // Phys Rev A Gen Phys. — 1986. — Vol. 34. —

№ 3. — P. 2032–2037.

96. Kronig, R. de L. Quantum mechanics of electrons in crystal lattices / R. de L. Kronig,

W. G. Penney // Proceedings Royal Soc. London (A). — 1931. — Vol. 130. — № 814. — P.

499–513.

97. Hacker, B. A photon–photon quantum gate based on a single atom in an optical resonator /

B. Hacker, S. Welte, G. Rempe, S. Ritter // Nature. — 2016. — Vol. 536. — № 7615. — P.

193–196.

98. Landauer, R. Spatial Variation of Currents and Fields Due to Localized Scatterers in

Metallic Conduction / R. Landauer // IBM J. Res. Develop. — 1957. — Vol. 1. — № 3. —

P. 223–231.

99. Lobanov, I. S. Numerical approach to the Stokes problem with high contrasts in

viscosity / I. S. Lobanov, I. Y. Popov, A. I. Popov, T. Gerya // Applied Mathematics and

Computations. — 2014. — Vol. 235. — № 1. — P. 17–25.

100. Lobanov, I. S. On the Stokes flow computation algorithm based on Woodbury formula /

I. S. Lobanov, A. I. Popov, I. Y. Popov, T. Gerya // Nanosystems: Physics, Chemistry,

Mathematics. — 2015. — Vol. 6. — № 1. — P. 140–145.

101. Magarill, L. I. Ballistic transport and spin-orbit interaction of two-dimensional electrons

on cylindrical surface / L. I. Magarill, D. A. Romanov, A. V. Chaplik. // J. Exper. Theor.

Phys. — 1998. — Vol. 113. — № 4. — P. 1411–1428.

102. Malamud, M. M. Spectral theory of elliptic operators in exterior domains /

M. M. Malamud // Russ. J. Math. Phys. — 2010. — Vol. 17. — № 1. — P. 96–125.

106

103. Malamud, M. M. On the unitary equivalence of absolutely continuous parts of self-adjoint

extensions / M. M. Malamud, H. Neidhardt // J. Funct. Anal. — 2011. — Vol. 260. —

№ 3. — P. 613–638.

104. Malamud, M. M. Sturm-Liouville boundary value problems with operator potentials and

unitary equivalence / M.M. Malamud, H. Neidhardt // J. Differential Equations. — 2012. —

Vol. 252. — № 11. — P. 5875–5922.

105. Malamud, M. M. Spectral theory of Schrödinger operators with infinitely many point

interactions and radial positive definite functions / M. M. Malamud, K. Schmüdgen //

J. Funct. Anal. — 2012. — Vol. 263. — № 10. — P. 3144–3194.

106. Masuda, S. Observation of microwave absorption and emission from incoherent electron

tunneling through a normal-metal-insulator-superconductor junction / S. Masuda,

K. Y. Tan, M. Partanen, R. E. Lake, J. Govenius, M. Silveri, M. Möttönen // Scientific

Reports. — 2018. — Vol. 8. — № 1. — P. 1–8.

107. Melikhov, I. F. Asymptotic analysis of thin viscous plate model / I. F. Melikhov,

I. Y. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. — 2018. — Vol. 9. — № 4. —

P. 447–456.

108. Nakamura, Y. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair

box / Y. Nakamura, Y. A. Pashkin, J. S. Tsai // Nature. — 1999. — № 398. — P. 786–788.