Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Яревский, Евгений Александрович

• Яревский, Евгений Александрович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Яревский, Евгений Александрович

Оглавление

Введение

Глава 1. Теоретические методы

1.1. Введение

1.2. Представление полного углового момента для трёх частиц

1.3. Резонансные состояния и метод комплексного вращения

1.3.1. Внешнее комплексное вращение и теоремы о спектре

1.3.2. Представление трёхчастичного гамильтониана с комплексным вращением

1.4. Задача рассеяния для трёх частиц

1.4.1. Задача рассеяния для двух кулоновских частиц: метод расщепления потенциала

1.4.2. Граничная задача для трёхчастичного рассеяния

1.4.3. Метод расщепления потенциала

1.4.4. Уравнения рассеяния в представлении полного углового момента

1.4.5. Представления для амплитуд рассеяния

1.5. Выводы к первой главе

Глава 2. Вычислительные методы

2.1. Введение

2.2. Вариационное уравнение

2.3. Метод конечных элементов (МКЭ)

2.3.1. Одномерный МКЭ

2.3.2. Трёхмерный МКЭ

2.3.3. Метод Галёркина. Вычисление матричных элементов операторов

2.3.4. Спектральное разложение по угловой переменной

2.3.5. Вычисление матричных элементов потенциала

2.4. Оценки погрешности численного метода

2.4.1. Экстраполяционные формулы

2.4.2. Оценки погрешности и адаптивный подход

2.5. Особенности программной реализации

2.6. Выводы ко второй главе

Глава 3. Дискретный спектр некоторых трёхчастичных систем

3.1. Введение

3.2. Метастабильные состояния антипротонного гелия

3.2.1. Кулоновские уровни энергии

3.2.2. Численное решение

3.2.3. Нерелятивистские уровни энергии: результаты

3.2.4. Релятивистские и КЭД поправки к уровням энергии

3.2.5. Вероятности радиационных переходов

3.3. Связанные состояния тримеров благородных газов

3.3.1. Связанные состояния тримеров гелия

3.3.2. Связанные состояния тримера неона

3.3.3. Связанные состояния тримера аргона

3.4. Выводы к третьей главе

Глава 4. Резонансные состояния некоторых трёхчастичных систем

4.1. Введение

4.2. Двойные резонансы атома гелия

4.3. Резонансы ван-дер-Ваальсова комплекса NelCl

4.3.1. Численные расчёты

4.3.2. Результаты для нулевого момента J = 0

4.3.3. Результаты для ненулевого момента J = 0

4.4. Резонансы ядра углерода 12С

4.4.1. Модели взаимодействий в 12С

4.4.2. Матричные элементы нецентральных потенциалов

4.4.3. Связанные и узкие резонансные состояния

4.4.4. Широкие резонансные состояния

4.5. Выводы к четвёртой главе

Глава 5. Рассеяние в системах нескольких частиц

5.1. Введение

5.2. Двухчастичная модель аа-рассеяния

5.3. Рассеяние электрона на водороде и на водородоподобных ионах

5.3.1. Постановка задачи

5.3.2. Модель Темкина-Поэта

5.3.3. Рассеяние электрона на водороде и на положительном ионе гелия

5.4. Рассеяние позитрона на водороде и положительном ионе гелия

5.5. Выводы к пятой главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Кулоновские уровни энергии, длины волн главных переходов, релятивистские и КЭД поправки в антипротонном гелии

Приложение Б. Сечения рассеяния электрона на водороде и на положительном ионе гелия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел»

Введение

Актуальность темы исследования.

Исследование поведения квантовых систем на микроскопическом уровне является одной из актуальных задач физики. Среди прочих значительный интерес представляют различные состояния - связанные, резонансные и состояния рассеяния — в ядерных, атомных и молекулярных системах, которые во многих случаях можно рассматривать, как состояния квантовой системы нескольких тел. Задачи исследования таких состояний занимают особое место, так как сравнительно небольшое число степеней свободы делает возможным их анализ без дополнительных, плохо контролируемых, приближений. Таким образом, в рамках рассматриваемой физической модели, задача решается математически точно. С вычислительной точки зрения, однако, сложность расчётов даже для таких систем оказывается весьма велика, что требует разработки новых эффективных подходов, особенно для изучения резонансных состояний и процессов рассеяния. В дальнейшем, разработанные методы и подходы могут использоваться в качестве базы для моделей при рассмотрении более сложных систем, точное изучение которых не представляется возможным, и в качестве тестовых средств для анализа приближённых методов, разрабатываемых для таких систем.

Степень разработанности темы исследования.

Исследование связанных состояний систем трёх тел началось уже на раннем этапе развития квантовой теории. Задача на собственные значения сформулирована корректно, так что вопрос состоял в методах вычисления энергий и волновых функций. Начиная с работ Хиллераса (см. обзор в работе [1]), точность вычисления спектра атома гелия быстро росла, и через некоторое время стало возможно прецизионное сравнение теоретических и экспериментальных результатов для релятивистских и квантово-механических поправок [2, 3]. Современные вариационные методы позволяют добиться высочайшей точности

при расчётах спектра кулоповских систем [4-6], хотя для произвольных потенциалов точность расчётов оказывается ниже.

Другой тип состояний, представляющий несомненный интерес при изучении квантовых систем - резонансные состояния. Такие состояния имеют конечное время жизни, и обычно ассоциируются с полюсами аналитического продолжения ¿"-матрицы пли матричных элементов резольвенты. Подробный обзор разнообразных методов определения и исследования резонансов можно найти в работах [7-9]. Одним из хорошо разработанных и используемых методов для определения резонансных состояний является метод комплексных масштабных преобразований (вращений). Разработка теории масштабных преобразований, математически описывающей резонансы в квантовых системах, была начата в работах Агилара и Комба [10] и Бал слева и Комба [11]. В работе Саймона [12] этот подход был использован при определении квантовых резонансов. Сейчас этот метод используется не только для теоретического и вычислительного исследования резонансов [13], но и как важное средство при решении задачи рассеяния.

Корректное описание процессов рассеяния в квантовой системе трёх частиц является одной из центральных проблем в физике систем нескольких частиц. В случае нейтральных частиц эта проблема была решена в работах Л. Д. Фаддеева [14, 15] и С. П. Меркурьева [16]. В случае систем заряженных частиц, несмотря на значительные усилия и полученные важные результаты [16-20], теоретическая ситуация не достигла такой степени завершённости прежде всего потому, что до сих пор равномерная асимптотика волновой функции для системы трёх заряженных частиц в континууме не известна полностью. Несмотря па сложность учёта граничных условий, метод Д-матрицы [21] и ССС-метод [22, 23] позволяют достаточно аккуратно решать определённый круг задач рассеяния.

Поскольку главной проблемой при решении трёхчастичных уравнений является именно сложное асимптотическое поведение волновой функции в ко-

ординатном пространстве [16], появились методы, в которых решение задачи рассеяния может быть получено с помощью решения уравнения Шредингера с максимально простыми граничными условиями. Впервые такой способ решения задачи рассеяния, основанный на технике комплексных вращений координат, был предложен в работе [24]. Этот метод был позднее расширен на потенциалы, убывающие степенным образом на больших расстояниях [25]. Цикл работ, основанных на данном подходе, привёл к возможности безмодельного описания рассеяния электрона на атоме водорода [26]. Поскольку метод комплексных вращений показал свою высокую эффективность, появились работы, где такая техника применяется и для решения уравнений Фаддеева [27], несмотря на более простые граничные условия для компонент.

Цели и задачи диссертационной работы: Целями настоящей работы являются разработка единого формализма для исследования связанных состояний, резонансных состояний и состояний рассеяния трёхчастичных квантовых систем с различными типами взаимодействий, включая дальнодействуюгцие ку-лоновские силы, и применение этого формализма для изучения квантовых систем.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• был разработан метод расщепления потенциала для решения задачи рассеяния в системах с асимптотически дальнодействуюгцими потенциалами, в том числе в представлении полного углового момента, и найдены выражения для амплитуд рассеяния в рамках сформулированного метода;

•

плексной системы дифференциальных уравнений, возникающей при использовании представления полного углового момента для трёхчастично-го уравнения Шредингера;

татов на примере некоторых хорошо изученных систем;

• были вычислены релятивистские и квантово-электродинамические поправки к уровням энергии и длинам волн радиационных переходов антипротонного гелия;

•

уровней тримеров неона и аргона, и установлена связь статистического распределения уровней тримера аргона с видом парного взаимодействия между атомами;

•

резонансных уровней ван-дер-Ваальсова комплекса N6101, анализ ширин резонансов и распределения вращательных компонент комплексно-повёрнутых волновых функций;

рамках потенциальной модели трёх альфа-частиц, и проведено сравнение известных модельных потенциалов в рамках единого подхода;

•

атоме водорода и положительном ионе гелия в рамках метода расщепления потенциала, численно исследована возможность применения только главного уравнения метода расщепления потенциала.

Научная новизна. Все положения, выносимые на защиту, являются оригинальными и основаны на результатах, полученных впервые. Разработан единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел. С использованием этого подхода решён ряд задач, основные из которых перечислены в пунктах 1-7 положений, выносимых на защиту.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют высокую научную ценность и могут быть применены для исследования процессов рассеяния в квантовых системах нескольких частиц, в особенности с кулоновским взаимодействием, и их сопоставления с резо-

нансными состояниями этих систем. Разработанные методы и алгоритмы могут быть применены для изучения широкого набора квантово-механических систем в ядерной, атомной и молекулярной физике.

Методология и методы исследования. В работе используются в основном асимптотические методы исследования дифференциальных уравнений и результаты, полученные в рамках метода комплексных вращений. Вычислительные методы основаны на вариационных уравнениях и методе конечных элементов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. полная замкнутая формулировка метода расщепления потенциала для использования совместно с методом комплексного вращения. Формулировка метода в представлении полного углового момента; Определение амплитуд рассеяния в рамках метода расщепления потенциала.

2. программная реализация метода конечных элементов для решения комплексной системы трёхмерных дифференциальных уравнений, возникающей в представлении полного углового момента для уравнения IПрелин-гера;

3. совместное вычисление релятивистских и квантово-электродинамических (КЭД) поправок к уровням энергии и длинам волн радиационных переходов антипротонного гелия;

4. кии н то во-мехи н и чески и расчёт колебательно-вращательных уровней гримеров неона и аргона, установление связи статистического распределения уровней тримера аргона с видом парного взаимодействия между атомами;

5. квантово-механический расчёт колебательно-вращательных резонансных уровней ван-дер-Ваальсова комплекса N6101, анализ ширин резонансов и распределения вращательных компонент комплексно-повёрнутых волновых функций;

6. надёжное определение широких резонансов ядра атома углерода в рамках потенциальной модели трёх альфа-частиц, сравнение известных потенциальных моделей в рамках единого подхода;

7. расчёты сечений рассеяния электрона и позитрона на атоме водорода и положительном ионе гелия в рамках метода расщепления потенциала. Численное исследование возможности применения только главного уравнения метода расщепления потенциала.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах в Санкт-Петербургском государственном университете, в Стокгольмском университете (Швеция), в Международном Сольвеевском институте физики и химии (Брюссель, Бельгия), а также представлялись на различных международных конференциях и совещаниях, среди которых: XV International Conference on Few-Body Problems in Physics (Groningen, the Netherlands, 1997), 24 International Symposium on Free Radicals (Tallberg, Dalecarlia, Sweden, 1997), Workshop on Computational Physics Dedicated to the Memory of Stanislav Merkuriev (St. Petersburg, Russia, 2003), International Workshop on «Resonances - From Physics to Mathematics and back» (Dresden, Germany, 2004), Annual NordForsk Network Meeting 2006 (Fundamental Quantum Processes in Atomic and Molecular Systems) (Saint-Petersburg, Russia, 2006), Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии» (ПаВТ 2008) (С.-Петербург, Россия, 2008), Annual International Conference Days on Diffraction (St. Petersburg, Russia, 2009), Symposium on Quantum Resonances in Nuclear, Molecular, and Solid State Physics (Pretoria, SAR, 2010), Mathematical Modeling and Computational Physics 2011 (Stara Lesna, High Tatra Mountains, Slovakia, 2011), Russian-Ukrainian Seminar on Few-Body Problems with Strong and Coulomb Interactions (Kiev, Ukraine, 2012), 22 European Conference on Few-Body Problems in Physics (Krakow, Poland, 2013), XII Зимняя Школа по Теоретической Физике «Малочастичные системы: теория и приложения» (Дуб-

на, Россия, 2014), LXV International Conference on Nuclear Physics «Nucleus 2015» (St.Petersburg, Russia, 2015), Mathematical Modeling and Computational Physics 2015 (Stara Lesna, High Tatra Mountains, Slovakia, 2015), International Workshop on Few-Body Systems, dedicated to the memory of Vladimir Belyaev (Dubna, Russia, 2016), 23 European Conference on Few-Body Problems in Physics (Aarhus, Denmark, 2016), International Conference «Nuclear Theory in the Supercomputing Era 2016» (Khabarovsk, Russia, 2016).

Публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 39 печатных работах в рецензируемых журналах [28-66], из них 35 работ в изданиях, индексируемых базами данных "Web of Science" или "SCOPUS", и 4 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских и докторских диссертаций.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причём вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 248 страниц, из них 213 страниц текста, включая 48 рисунков. Библиография включает 302

28

В начале каждой главы приведён её краткий обзор и процитированы работы, в которых опубликованы вошедшие в данную главу результаты.

Глава 1 Теоретические методы

1.1. Введение

В первой главе обсуждаются аналитические методы, используемые для анализа трёхчастнчных систем в данной работе. В связи с тем, что после отделения центра масс уравнение Шредингера (или Фаддеева) является шестимерным уравнением, его непосредственный численный анализ был бы весьма трудоёмким. Таким образом, используется разложение по некоторому базису функций заданной размерности, а функции - коэффициенты разложения - удовлетворяют дифференциальному уравнению соответствующей коразмерности. Распространённые методы включают разложения по гиперсферическим функциям [67-69] (размерность 5, уравнение сводится к системе одномерных дифференциальных уравнений), по бисферическому базису [16, 18, 69] (размерность 4, уравнение сводится к системе двумерных дифференциальных уравнений) и по ^-функциям Вигнера [4, 70-73] (размерность 3, уравнение сводится к системе трёхмерных дифференциальных уравнений). Конечно, сложность решения уравнений мало зависит от выбора базиса, так что более простые уравнения требуют системы большей размерности для получения результатов с той же точностью. Размерность полученной системы уравнений зависит также и от способа задания потенциала взаимодействия. В случае потенциалов, заданных оператором умножения на функцию координат (например, кулоновских потенциалов), системы для гиперсферического и бисферического разложений оказываются бесконечными. В этом смысле разложение по ^-функциям Вигнера имеет то преимущество, что оно приводит к конечной системе дифференциальных уравнений. Сами уравнения, однако, оказываются наиболее сложными из-за своей трёхмерности.

Особая роль разложения по ^-функциям была попята и использована достаточно давно [70-72], однако недостаточные вычислительные ресурсы долгое время не позволяли непосредственно решать получающиеся уравнения. Применяемые же дополнительные аппроксимации делали преимущество конечности разложения не столь очевидным. В современных условиях, доступность вычислительных ресурсов позволяет удобно работать с получаемой конечной системой уравнений. Использование разложения исходного уравнения подфункциям Вигнера позволяет аккуратно сформулировать и решить задачу на поиск связанных состояний трёхчастичных систем.

Однако, изучение свойств квантовых систем нескольких частиц не ограничивается изучением связанных состояний. Ещё один тип состояний, наблюдающийся в природе и эксперименте - резонансные состояния. Такие состояния возникают практически во всех областях квантовой физики: в атомной, молекулярной и ядерной физике, в физике элементарных частиц и физике твёрдого тела. Резонансные состояния подобны связанным состояниям, но имеют конечное время жизни, как правило, превосходящее характерные времена процессов, происходящих в рассматриваемой системе. Эти состояния обычно ассоциируются с полюсами аналитического продолжения ¿"-матрицы или матричных элементов резольвенты. Физически мотивированная формула Брейта-Вигнера [74] связывает резонансное состояние с энергией Е с пиком в сечении рассеяния при той же энергии Е, однако дать корректное математическое описание резонанса на этом пути чрезвычайно сложно.

Необходимо подчеркнуть, что резонансы системы, описываемой гамильтонианом не соответствуют непосредственно никаким спектральным свойствам самосопряжённого оператора Н. Однако известно [7, 75], что полюса аналитического продолжения матричных элементов резольвенты совпадают с собственными значениями некоторого несамосопряжённого оператора, полученного из Н, см. 1.3.1.

Подробный обзор разнообразных методов определения и исследования ре-

зонансов можно найти в работах [7-9]. Само количество этих подходов и методов говорит о том, что проблема ещё не имеет своего окончательного, общепринятого решения. Однако, для отдельных типов задач, есть методы, которые не только обоснованы математически, но и эффективны с прикладной точки зрения. Именно таким методом является метод комплексных масштабных преобразований (вращений).

Разработка теории масштабных преобразований, математически описывающей резонансы в квантовых системах, была начата в работах Агилара и Ком-ба [10] и Балслева и Комба [11]. В этих работах метод комплексных масштабных преобразований был применён для доказательства отсутствия сингулярного спектра соответственно для двух- и Ж-частичного операторов Шредингера. В работе Саймона [12] этот подход был использован при определении квантовых резонансов. Современное состояние теории комплексных вращений позволяет не только получить строгие математические результаты о положении резонансных состояний квантовой системы для достаточно произвольных отображений координат в комплексную область, но и конструктивно использовать развитую теорию для осуществления вычислений. Кроме того, метод комплексных вращений может использоваться и для решения задачи рассеяния.

Собственно задача рассеяния является наиболее сложной, но одновременно и важной, задачей в нерелятивистской квантовой механике нескольких частиц. Разнообразие возможных процессов позволяют изучить взаимодействие частиц на разных расстояниях (энергиях) и в различных состояниях, предоставляя множество экспериментальных данных. Оборотная сторона такого разнообразия -сложность теоретического описания и численного моделирования соответствующих процессов. Особенно ярко все плюсы и минусы проявляются при наличии кулоновского взаимодействия, являющегося определяющим в атомных и молекулярных системах, и очень важным - в ядерных.

Методы решения задачи рассеяния для системы двух частиц, в том числе с кулоновскими взаимодействиями, хорошо разработаны [76]. Однако, попытки

перенесения таких методов на системы трёх и большего числа частиц не всегда приводят к успеху. Впервые математически корректная постановка задачи рассеяния для трёх частиц с короткодействующими взаимодействиями была получена в работах Л. Д. Фаддеева [14, 15], открывших новое направление в теоретической и математической физике. Переформулировка уравнений Фаддеева из интегральных в дифференциальные уравнения в конфигурационном пространстве позволила С. П. Меркурьеву описать задачу рассеяния, включая корректные граничные условия для компонент Фаддеева, и для системы заряженных частиц [16, 18-20]. Знание асимптотического поведения для компонент позволяет найти и существенно более сложное асимптотическое поведение для полной волновой функции системы.

Несмотря на корректную математическую постановку, главной проблемой при решении трёхчастичных уравнений является именно сложное асимптотическое поведение волновой функции в координатном пространстве [16]. По этой причине в последнее время возрос интерес к методам, в которых решение задачи рассеяния может быть получено с помощью решения уравнения Шредингера с упрощёнными граничными условиями (в идеале - тривиальными). Один из подобных подходов основан на отмеченном выше методе комплексных вращений [24, 25, 45], см. раздел 1.3. Это преобразование превращает расходящуюся волну в экспоненциально убывающую функцию. Тем самым, если задача рассеяния переформулирована таким образом, что асимптотическое граничное условие описывается расходящейся волной, то применение к ней преобразования комплексного вращения превратит эту задачу в задачу с нулевыми граничными условиями.

Впервые такой способ решения задачи рассеяния был предложен в работе [24]. Волновая функция представлялась в виде суммы падающей и рассеянной волн, и уравнение Шредингера переписывалось в виде неоднородного уравнения для рассеянной волны. После применения простейшего однородного комплексного вращения, ф(г) = г ехр(гв), была получена граничная задача

с нулевыми условиями. Такой подход весьма прост, однако имеет серьёзный недостаток: он применим только к задачам с экспоненциально убывающими потенциалами. Дело в том, что только для таких потенциалов правая часть неоднородного уравнения остаётся ограниченной функцией после применения комплексного вращения.

Модификация этого подхода для расширения класса используемых потенциалов была предложена в работе [25]. Использовалось то же неоднородное уравнение Шредингера, однако потенциал V(г) в гамильтониане заменялся на сконструированный финитный потенциал VR(r):

[ V(г), г< Я, VR(r)= { (), < , (1.1)

[ 0, г> Я.

Для такого потенциала правая часть в неоднородном уравнении Шредингера остаётся ограниченной при применении комплексного вращения. Более того, известно, что если потенциал V(г) убывает быстрее чем 1/г2 при г ^ то, то решение задачи рассеяния с потенциалом Уд (г) стремится при Я ^ то к решению задачи рассеяния с потенциалом V(г).

Однако, потенциал VR(r) имеет скачок и не является аналитической функцией, так что простейший метод однородного комплексного вращения применён быть не может. Авторы [25] предложили в этой ситуации использовать метод внешних комплексных вращений (1.35) с точкой вращения ( > Я. В этом случае метод внешних комплексных вращений может быть применён для решения граничной задачи с обрезанным потенциалом VR(r), и открывается возможность получить решение задачи рассеяние с заданной точностью, выбирая подходящее значение радиуса обрезания Я.

Необходимо отметить, что рассмотренный подход в его исходной формулировке не может быть применён для кулоновской задачи рассеяния, поскольку

Я

тотического поведения решения на бесконечности. В двухчастичной задаче рас-

сеяния возможна модификация рассмотренного метода, когда кулоновский потенциал включается в свободный гамильтониан, а потенциал V(г) описывает лишь короткодействующую часть полного взаимодействия. Поскольку решение задачи рассеяния с кулоновским потенциалом известно явно, такой метод успешно используется в вычислениях в атомной [77] и ядерной физике [78]. Однако этот подход не может быть использован в системах трёх и большего числа частиц, так как явное решение соответствующих кулоновских задач неизвестно.

Для преодоления указанной трудности, в данной работе развит метод расщепления потенциала. Неоднородное уравнение Шредингера формулируется в рамках этого метода таким образом, что внешнее комплексное вращение применимо к этому уравнению даже в случае кулоновского взаимодействия между частицами.

Результаты, приведённые в данной главе, опубликованы в работах [45, 49, 50, 55, 56, 59-61, 64, 66].

1.2. Представление полного углового момента для трёх частиц

Рассмотрим квантовую систему трёх частиц в трёхмерном пространстве К3. Будем нумеровать частицы греческими буквами, например, а = 1, 2,3, и считать тройку {а, 7) перестановкой чисел 1, 2,3. Будем обозначать приведённые координаты Якоби [16] двумя трёхмерными векторами {ха, у«}. Эти вектора могут быть объединены в шестимерный вектор X = {ха, уа}. Приведённые координаты Якоби определяются в терминах векторов позиций частиц г«:

ха = (г7 - Г0),

У„ = ^ и - ) , (1.2)

\ тр + т1 у

где та - массы частиц, М = т1 + т2 + т3 - полная масса системы, а приведённые массы определены соотношениями

татр та(т/з + т7)

та + М

Приведённые координаты Якоби с различными индексами связаны ортогональным преобразованием:

X, \ = / ^ ^ \( X, \ , ^ + ^ = !, (14)

Уа У у -5а!3 Сар ) \Ур ) коэффициенты которого выражаются через массы частиц:

сар = -(татр/(М — та)(М —т¡з))1/2, 5 ар = (—I)13-*и6п(0 — а)(1 — с1, )1/2. (1.5)

Гамильтониан Н системы с отделенным движением центра масс определяется выражением

Н = Но + У (X), Но = —Ах = —Аха — Луа. (1.6)

Свободный гамильтониан Н0 инвариантен относительно выбора пары координат Якоби а. Потенциал взаимодействия системы V(X) может включать как парные потенциалы различного типа, так и трёхчастичные потенциалы. Каждый парный потенциал Va зависит только от значения ха/у7

Более подробно вид V(X) для разных исследуемых систем будет обсуждаться ниже.

Волновая функция системы Ф(Х) удовлетворяет шестимерному уравнению Шредингера:

( Но + V(X) — Е) Ф(Х) = 0. (1.7)

В зависимости от типа проблемы, необходимо решать разные задачи для этого уравнения. Исследование связанных состояний приводит к задаче на собственные значения, а исследование процессов рассеяния - к линейной задаче. Для

исследования резонансных состояний и построения метода расщепления потенциала для решения задачи рассеяния, гамильтониан Н и уравнение (1.7) должны быть модифицированы с помощью метода комплексного вращения, см. 1.3.

Для анализа уравнения (1.7), в первую очередь нужно исследовать его свойства симметрии. Для этого удобно перейти в другое представление для шестимерного вектора X:

X = [ха,уа,0а, Qa}, а = 1,2,3.

(1.8)

Здесь cos 0а = (xa, уа)/(%аУа), так чт° первые три координаты описывают конфигурацию системы в плоскости, содержащей все три частицы. Ориентация плоскости по отношению к неподвижной системе координат определяется тремя углами Эйлера Qa = {фа,$а

В координатах (1.8) вектора xa и ya могут быть записаны как

x« = хаЩфа,>$а,ра)

'(Л

0 1

, У а = УаЩФа ,&а,<Ра)

( ■ п \

sin 0а

\

0

cos 0Г

/

(1.9)

где R матрица поворота [79]. Координаты (1.8) с различными индексами связаны (1.4), что приводит к следующему соотношению между наборами координат {ха,уа, cos 0а} и [хр ,ур, cos Op }:

Xj3

У/з cos Op

+ S^aVi. + 2c/3aS/За%аУа cos 0a)1/2,

(s^aXa + С^ЗаУа — 2c/3aS/За%аУа cos 0a)1/2, ,2

(1.10)

= (cpaspa(y2a - x2a) + (cL - sia)xaya cos 0a)/{xl3yp)

2

Соответствующие матрицы поворота связаны одним вращением так, что

) = К(фа )R(0, Uf3a, 0), (1.11)

где cot = cot 0а + сраха/(spaya sin 0а).

Уравнения (1.9) позволяют записать трёхчастичные операторы в координатах (1.8). Например, квадрат оператора полного углового момента J2 и его

проекция Лг на ось ^ неподвижной системы координат могут быть представлены в виде:

Л2 J ,

д2 а д + со! да——+

1

дда

д2

вШ2 ■$а\дф2а

(

— 2 сое да

д2

+

д2

дфад^а дф,

д

= —г

д фа

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яревский, Евгений Александрович, 2017 год

Список литературы

1. Hylleraas Е. A. Reminiscences from Early Quantum Mechanics of Two-Electron Atoms // Rev. Mod. Phys. 1903. Jul. Vol. 35. P. 421-430.

2. Pekeris C. L. Ground State of Two-Electron Atoms // Phys. Rev. 1958. — Dec. Vol. 112. P. 1649-1658.

3. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. 562 р.

4. Виницкий С. И., Пономарев Л. И. Адиабатическое представление в задаче трех тел с кулоновским взаимодействием // ЭЧАЯ. 1982. Т. 13. С. 1336-1418.

5. Korobov V. I. Variational calculation of energy levels in pHe+ molecular systems // Phys. Rev. A. 1996. Sep. Vol. 54. P. R1749 R1752.

6. Korobov V. I. Metastable states in the antiprotonic helium atom decaying via Auger transitions // Phys. Rev. A. 2003,-Jun. Vol. 67. P. 062501.

7. Hislop P. D., Sigal I. M. Introduction to Spectral Theory. Springer New York, 1996. 338 p.

8. Мотовилов А. К. Теория резонансов в многоканальных системах. Дисс. на соиск. уч. ст. д.ф.-м.н. Дубна: ОИЯИ, 2006.

9. Kukulin V. I., KrasnopoPsky V. M., Horâcek J. Theory of Resonances. Springer Netherlands, 1989. 355 p.

10. Aguilar J., Combes J. M. A class of analytic perturbations for one-body Schrôdinger Hamiltonians // Communications in Mathematical Physics. 1971. Vol. 22, no. 4. P. 269-279.

11. Balslev E., Combes J. M. Spectral properties of many-body Schrôdinger operators with dilatation-analytic interactions // Communications in Mathematical Physics. 1971. Vol. 22, no. 4. P. 280-294.

12. Simon B. Resonances in n-Body Quantum Systems With Dilatation Analytic

Potentials and the Foundations of Time-Dependent Perturbation Theory // Annals of Mathematics. 1973. Vol. 97, no. 2. P. 247-274.

13. Moiseyev N. Quantum theory of resonances: calculating energies, widths and cross-sections by complex scaling // Physics Reports. 1998. Vol. 302, no. 5-6. P. 212-293.

14. Фаддеев Л. Д. Теория рассеяния для системы трёх частиц // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1960. Т. 39. С. 1459-1467.

15. Фаддеев Л. Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трёх частиц // Труды математического института им. В.А. Стек-лова. 1963. Т. 69. С. 1-122.

16. Меркурьев С. П., Фаддеев Л. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М.: Наука, 1985. 400 с.

17. Петеркоп Р. К. Теория ионизации атомов электронным ударом. Рига: Зи-натне, 1975. 190 с.

18. Merkuriev S., Gignoux С., Laverne A. Three-body scattering in configuration space // Annals of Physics. 1976. Vol. 99, no. 1. P. 30-71.

19. Меркурьев С. П. О теории рассеяния для системы трёх частиц с кулонов-ским взаимодействием // Ядерная физика. 1976. Т. 24. С. 289.

20. Merkuriev S. On the three-body Coulomb scattering problem // Annals of Physics. 1980. Vol. 130, no. 2. P. 395-426.

21. Descouvemont P., Baye D. The R-matrix theory // Reports on Progress in Physics. 2010. Vol. 73, no. 3. P. 036301.

22. Bray I., Stelbovics A. T. Convergent close-coupling calculations of electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1992. ^ Dec. Vol. 46. P. 6995-7011.

23. Bray I., Fursa D. V., Kheifets A. S., Stelbovics A. T. Electrons and photons colliding with atoms: development and application of the convergent close-coupling method // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2002. Vol. 35, no. 15. P. R117.

24. Nuttall J., Cohen H. L. Method of Complex Coordinates for Three-Body Cal-

culations above the Breakup Threshold // Phys. Rev. 1969. — Dec. Vol. 188. P. 1542-1544.

25. Rescigno T. N., Baertschy M., Byrum D., McCurdy C. W. Making complex scaling work for long-range potentials // Phys. Rev. A. 1997. ^Jun. Vol. 55. P. 4253-4262.

26. Rescigno T. N., Baertschy M., Isaacs W. A., McCurdy C. W. Collisional Breakup in a Quantum System of Three Charged Particles // Science. 1999. Vol. 286, no. 5449. P. 2474-2479.

27. Lazauskas R., Carbonell J. Application of the complex-scaling method to few-body scattering // Phys. Rev. C. 2011.-Sep. Vol. 84. P. 034002.

28. Yarevsky E., Elander N. A finite-element approach to transition wavelengths in antiprotonic helium // EPL (Europhysics Letters). 1997. Vol. 37, no. 7. P. 453-458.

29. Elander N., Yarevsky E. Finite-element calculations of the antiprotonic helium atom including relativistic and QED corrections // Phys. Rev. A. 1997. — Sep. Vol. 56. P. 1855-1864.

30. Elander N., Yarevsky E. Erratum: Finite-element calculations of the antiprotonic helium atom including relativistic and QED corrections [Phys. Rev. A 56, 1855 (1997)] // Phys. Rev. A. 1998.^ Mar. Vol. 57. P. 2256-2256.

31. Andersson S., Elander N., Yarevsky E. A study of isotope effects in the antiprotonic helium system // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1998. Vol. 31, no. 3. P. 625-632.

32. Elander N., Yarevsky E. Exterior complex scaling method applied to doubly excited states of helium // Phys. Rev. A. 1998.^ Apr. Vol. 57. P. 3119-3122.

33. Elander N., Levin S., Yarevsky E. Low non-zero total angular momentum resonant levels in the NelCl van der Waals complex // Nuclear Physics A. 2001. Vol. 684, no. 1-4. P. 678-680. Few-Body Problems in Physics.

34. Elander N., Levin S., Yarevsky E. Dependence of the NelCl van der Waals complex resonance width on the total angular momentum // Nuclear Physics

A. 2001. Vol. 689, no. 1-2. P. 541-544. European Few-Body Problems in Physics.

35. Elander N., Levin S., Yarevsky E. Full-angular-momentum, three-dimensional, smooth-exterior complex dilated, finite-element method for computing resonances in triatomic molecules: Application to a model of the NelCl van der Waals complex // Phys. Rev. A. 2001.-Jun. Vol. 64. P. 012505.

36. Antoniou I., Melnikov Y., Yarevsky E. The connection between the rigged Hilbert space and the complex scaling approaches for resonances. The Friedrichs model // Chaos, Solitons & Fractals. 2001. Vol. 12, no. 14-15. P. 2683-2688. Irreversibility, Probability and Complexity.

37. Alferova T., Andersson S., Elander N. et al. Finite element three-body studies of bound and resonant states in atoms and molecules. Academic Press, 2001. Vol. 40 of Advances in Quantum Chemistry. P. 323-344.

38. Alferova T., Andersson S., Elander N. et al. Resonances in Three-Body Systems Studied by a Full Angular-Momentum, Smooth-Exterior Complex-Scaling Finite-Element Method // Few-Body Systems. 2002. Vol. 31, no. 2. P. 177-182.

39. Elander N., Levin S., Yarevsky E. Smooth exterior complex-scaling, full-angular-momentum, and three-dimensional finite-element method applied to doubly excited states of helium // Phys. Rev. A. 2003. ^Jun. Vol. 67. P. 062508.

40. Elander N., Shilyaeva K., Ostrovsky N. V. et al. Tools for Assigning Resonance Structures in Collisions of Few-Body Quantum Systems // Few-Body Systems. 2006. Vol. 38, no. 2. P. 109-114.

41. Salci M., Yarevsky E., Levin S. B., Elander N. Finite element investigation of the ground states of the helium trimers 4He3 and 4He2-3He // International Journal of Quantum Chemistry. 2007. Vol. 107, no. 2. P. 464-468.

42. Shilyaeva K., Elander N., Yarevsky E. Role of resonances in building cross sections: Comparison between the Mittag-Leffler and the T-matrix Green function expansion approaches // International Journal of Quantum Chemistry. 2007. Vol. 107, no. 6. P. 1301-1315.

43. Elander N., Shilyeava K., Volkov M. et al. The resonance wave function - is it relevant? // AIP Conference Proceedings. 2008. Vol. 998, no. 1. P. 43-58.

44. Salci M., Levin S. В., Elander N., Yarevsky E. A theoretical study of the rovibrational levels of the bosonic van der Waals neon trimer // The Journal of Chemical Physics. 2008. Vol. 129, no. 13. P. 134304.

45. Volkov M. V., Elander N., Yarevsky E., Yakovlev S. L. Solving the Coulomb scattering problem using the complex-scaling method // EPL (Europhysics Letters). 2009. Vol. 85, no. 3. P. 30001.

46. Elander N., Levin S. В., Yarevsky E. Convergence and quantum number assignment studies of rovibrational eigenstates in a model of predissociating NelCl van der Waals complex // International Journal of Quantum Chemistry. 2009. Vol. 109, no. 3. P. 459-468.

47. Shilyaeva K., Yarevsky E., Elander N. Identifying resonance structures in a scattering cross section using the + H ^ NH3+ ^ N2+ + H+ reaction as an example // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2009. Vol. 42, no. 4. P. 044011.

48. Shilyaeva K., Elander N., Yarevsky E. The role of resonances in building cross sections: The Mittag-Leffler expansion in a two-channel scattering // International Journal of Quantum Chemistry. 2009. Vol. 109, no. 3. P. 414-424.

49. Elander N., Volkov M., Larson A. et al. Quantum Scattering with the Driven Schrodinger Approach and Complex Scaling // Few-Body Systems. 2009. Vol. 45, no. 2. P. 197-201.

50. Волков M. В., Эландер H., Яковлев С. Л., Яревский Е. А. Задача рассеяния заряженных частиц и метод комплексного вращения координат // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2009. Т. 4. С. 275-284.

51. Gagin A., Yarevsky Е., Salci М., Elander N. Eigen Energies and the Statistical Distributions of the Rovibrational Levels of the Bosonic van der Waals Argon Trimer // The Journal of Physical Chemistry A. 2009. Vol. 113, no. 52. P. 14979-14986.

52. Пузырев Д. А., Яревский Е. А. Использование CUDA BLAS в решении квантовой задачи трёх частиц методом конечных элементов высоких порядков // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2010. Т. 2. С. 123-126.

53. Гагпн А. В., Яревский Е. А. Численное моделирование спектра и структурных свойств ван-дер-ваальсова тримера аргона с помощью трёхмерного метода конечных элементов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2010. Т. 2. С. 99-102.

54. Градусов В. А., Яревский Е. А. Нецентральные потенциалы в представлении полного углового момента и 0+ состояния ядра 12С // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2010. Т. 2. С. 103-106.

55. Yakovlev S. L., Volkov М. V., Yarevsky Е., Elander N. The impact of sharp screening on the Coulomb scattering problem in three dimensions // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2010. Vol. 43, no. 24. P. 245302.

56. Volkov M. V., Yakovlev S. L., Yarevsky E. A., Elander N. Potential splitting approach to multichannel Coulomb scattering: The driven Schrodinger equation formulation // Phys. Rev. A. 2011. Mar. Vol. 83. P. 032722.

57. Yarevsky E. Parallel Numerical Calculations of Quantum Trimer Systems // Mathematical Modeling and Computational Science: International Conference, MMCP 2011, Stara Lesna, Slovakia, July 4-8, 2011, Ed. by G. Adam, J. Busa, M. Hnatic. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2012. P. 290-295.

58. Волков M., Эландер H., Яковлев С., Яревский E. Изучение процессов рассеяния в малочастичных квантовых системах с дальнодействующими взаимодействиями с помощью метода комплексного вращения // Ядерная физика. 2013. Т. 76, № 2. С. 216-223.

59. Yarevsky Е., Yakovlev S. L., Elander N., Volkov M. V. On the Scattering of the Electron off the Hydrogen Atom and the Helium Ion Below and Above the Ionization Threshold: Temkin-Poet Model // Few-Body Systems. 2014. Vol. 55, no. 8. P. 1057-1058.

60. Yarevsky E., Yakovlev S. L., Larson A., Elander N. Potential-splitting approach

applied to the Temkin-Poet model for electron scattering off the hydrogen atom and the helium ion // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2015. Vol. 48, no. 11. P. 115002.

61. Volkov M. V., Yarevsky E. A., Yakovlev S. L. Potential splitting approach to the three-body Coulomb scattering problem // EPL. 2015. Vol. 110, no. 3. P. 30006.

62. Yarevsky E. Scattering Problem and Resonances for Three-Body Coulomb Quantum Systems: Parallel Calculations // EPJ Web of Conferences. 2016. Vol. 108. P. 02046.

63. Градусов В. А., Яревский E. А. Резонансные состояния ядра12С в модели трех а-частиц // Известия РАН. Серия физическая. 2016. Т. 80, № 8. С. 998-1003.

64. Волков М. В., Яревский Е. А., Яковлев С. Л. Метод расщепления потенциала для трехчастичной кулоновской задачи рассеяния // Известия РАН. Серия физическая. 2016. Т. 80, № 8. С. 1030-1034.

65. Яревский Е. А. Резонансы в S-волновой модели рассеяния электронов на водородоподобных ионах // Известия РАН. Серия физическая. 2016. Т. 80, № 8. С. 1035-1038.

66. Yarevsky Е., Yakovlev S. L., Elander N. Potential splitting approach to e-H and e-He+ scattering // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2017. Vol. 50, no. 5. P. 055001.

67. Джибути P. И., Крупенникова H. Б. Метод гиперсферических функций в квантовой механике нескольких тел. Тбилиси: Мецниереба, 1984. 181 с.

68. Abrashkevich A. G., Abrashkevich D. G., Khimich I. V. et al. Adiabatic description of resonant states in e - -H scattering by the method of extrapolation in the coupling constant // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1991. Vol. 24, no. 12. P. 2807-2816.

69. Пупышев В. В. Некоторые методы и результаты аналитических исследований задачи трех ядерных частиц // ЭЧАЯ. 1999. Т. 30. С. 1562-1649.

70. Curtiss С. F.. Hirschfelder J. O., Adler F. T. The Separation of the Rotational Coordinates from the N-Particle Schroedinger Equation // The Journal of Chemical Physics. 1950. Vol. 18, no. 12. P. 1638-1642.

71. Curtiss C. F., Adler F. T. The Scattering of Atoms from Diatomic Molecules // The Journal of Chemical Physics. 1952. Vol. 20, no. 2. P. 249-256.

72. Zickendraht W. Construction of a complete orthogonal system for the quantum-mechanical three-body problem // Annals of Physics. 1965. Vol. 35, no. 1. P. 18-41.

73. Kostrykin V. V., Kvitsinsky A. A., Merkuriev S. P. Faddeev approach to the three-body problem in total-angular-momentum representation // Few-Body Systems. Vol. 6, no. 2. P. 97-113.

74. Resonances / Ed. by E. Brandas, N. Elander. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1989. 566 p.

75. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.

76. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1969. 600 с.

77. McCurdy С. W., Martin F. Implementation of exterior complex scaling in B-splines to solve atomic and molecular collision problems // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2004. Vol. 37, no. 4. P. 917-936.

78. Kruppa А. Т., Suzuki R., Kato K. Scattering amplitude without an explicit enforcement of boundary conditions // Phys. Rev. C. 2007. — Apr. Vol. 75. P. 044602.

79. Варшалович Д. А., Москалев A. H., Херсонский В. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. 441 с.

80. Civitarese О., Gadella М. Physical and mathematical aspects of Gamow states // Physics Reports. 2004. Vol. 396, no. 2. P. 41-113.

81. Гельфанд И. M., Виленкин Н. . Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. (Обобщенные функции, выпуск 4). М.: ФМЛ, 1961. 492 с.

82. Antoniou I., Shkarin S. Extended Spectral Decompositions of Evolution Operators // Generalized Functions, Operator Theory, and Dynamical Systems (Chapman and Hall/CRC Research Notes in Mathematics), Ed. by I. Antoniou, G. Lumer. Chapman and Hall/CRC, 1998. P. 171-201.

83. Simon B. Resonances and complex scaling: A rigorous overview // International Journal of Quantum Chemistry. 1978. Vol. 14, no. 4. P. 529-542.

84. Newton R. G. Scattering Theory of Waves and Particles. Springer Berlin Heidelberg, 1982. 745 p.

85. Harrell E., Simon B. The mathematical theory of resonances whose widths are exponentially small // Duke Math. J. 1980.-12. Vol. 47, no. 4. P. 845-902.

86. Nakamura S. Scattering theory for the shape resonance model. I. Non-resonant energies // Annales de 1'I.H.P. Physique théorique. 1989. Vol. 50, no 2. P. 115-131.

87. Nakamura S. Scattering theory for the shape resonance model. II. Resonance scattering // Annales de 1'I.H.P. Physique théorique. 1989. Vol. 50, no 2. P. 133-142.

88. Gérard C., Martinez A., Robert D. Breit-Wigner formulas for the scattering phase and the total scattering cross-section in the semi-classical limit // Communications in Mathematical Physics. Vol. 121, no. 2. P. 323-336.

89. Nicolaides C. A., Beck D. R. The variational calculation of energies and widths of resonances // Physics Letters A. 1978. Vol. 65, no. 1. P. 11 - 12.

90. Simon B. The definition of molecular resonance curves by the method of exterior complex scaling // Physics Letters A. 1979. Vol. 71, no. 2. P. 211 -214.

91. Hunziker W. Distortion analyticity and molecular resonance curves // Annales de 1'I.H.P. Physique théorique. 1986. Vol. 45, no 4. P. 339-358.

92. Helffer B. Comparison between different notions of resonances // Resonances, Ed. by E. Brândas, N. Elander. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1989. P. 11-19.

93. Kurasov P. В., Scrinzi A., Elander N. 6J potential arising in exterior complex scaling // Phys. Rev. A. 1994. .Jim. Vol. 49. P. 5095-5097.

94. Scrinzi A., Elander N. A finite element implementation of exterior complex scaling for the accurate determination of resonance energies // The Journal of Chemical Physics. 1993. Vol. 98, no. 5. P. 3866-3875.

95. Мессия А. Квантовая механика. M.: Наука, 1979. 479 с.

96. Abramowitz М., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications, 1965. 1046 p.

97. McCurdy C. W., Baertschy M., Rescigno T. N. Solving the three-body Coulomb breakup problem using exterior complex scaling // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2004. Vol. 37, no. 17. P. R137.

98. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 1108 с.

99. Baertschy М., Rescigno Т. N., McCurdy С. W. Accurate amplitudes for electron-impact ionization // Phys. Rev. A. 2001.-Jul. Vol. 64. P. 022709.

100. Rescigno T. N., Baertschy M., McCurdy C. W. Resolution of phase ambiguities in electron-impact ionization amplitudes // Phys. Rev. A. 2003. Aug. Vol. 68. P. 020701.

101. Bray I., Fursa D., Kadyrov A. et al. Electron- and photon-impact atomic ionisation // Physics Reports. 2012. Vol. 520, no. 3. P. 135-174. Electron- and photon-impact atomic ionisation.

102. Bartlett P. L. A complete numerical approach to electron-hydrogen collisions // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2006. Vol. 39, no. 22. P. R379.

103. Thomee V. From finite differences to finite elements: A short history of numerical analysis of partial differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2001. Vol. 128, no. 1-2. P. 1-54. Numerical Analysis

2000. Vol. VII: Partial Differential Equations.

104. Jones S., Stelbovics A. T. Efficient solution of three-body quantum collision problems: Application to the Temkin-Poet model // Phys. Rev. A. 2002.^ Sep. Vol. 66. P. 032717.

105. Wang Y. D., Callaway J. Direct numerical approach to electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1993.^ Sep. Vol. 48. P. 2058-2069.

106. Suzuki Y., К. V. Stochastic Variational Approach to Quantum-Mechanical Few-Body Problems. Lecture Notes in Physics Monographs. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1998. 314 p.

107. Пупышев В. В. Методы сплайн-функций в проблеме нескольких тел // ЭЧАЯ. 2004. Т. 35. С. 257-347.

108. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы с пли и н-фу икни П. М.: Наука, 1980. 352 с.

109. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.

110. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. 416 с.

111. Zienkiewicz О., Taylor R., Zhu J. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. Elsevier Science, 2005. 752 p.

112. Babuska I., Aziz A. K. Survey Lectures on the Mathematical Foundations of the Finite Element Method // The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations, Ed. by A. K. Aziz. Academic Press New York and London, 1972. P. 3-359.

113. Ram-Mohan L. R. Finite Element And Boundary Element Applications In Quantum Mechanics. Oxford Texts In Applied And Engineering Mathematics. New York: Oxford University Press, 2002. 605 p.

114. Scrinzi A. A 3-dimensional finite elements procedure for quantum mechanical applications // Computer Physics Communications. 1995. Vol. 86, no. 1-2. P. 67 - 80.

115. Ackermann J., Erdmann В., Roitzsch R. A self-adaptive multilevel finite element method for the stationary Schrodinger equation in three space dimensions // The Journal of Chemical Physics. 1994. Vol. 101, no. 9. P. 7643-7650.

116. Ackermann J., Shertzer J. Finite-element calculations for the three-body Coulomb problem with two equal masses // Phys. Rev. A. 1996. — Jul. Vol. 54. P. 365-371.

117. Losilla S. A., Sundholm D. A divide and conquer real-space approach for all-electron molecular electrostatic potentials and interaction energies // The Journal of Chemical Physics. 2012. Vol. 136, no. 21. P. 214104.

118. Botero J., Shertzer J. Direct numerical solution of the Schrodinger equation for quantum scattering problems // Phys. Rev. A. 1992, —Aug. Vol. 46. P. R1155-R1158.

119. Shertzer J., Botero J. Finite-element analysis of electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1994.-May. Vol. 49. P. 3673-3679.

120. McCurdy C. W., Rescigno T. N., Byrum D. Approach to electron-impact ionization that avoids the three-body Coulomb asymptotic form // Phys. Rev. A. 1997.-Sep. Vol. 56. P. 1958-1969.

121. Rescigno T. N., McCurdy C. W. Numerical grid methods for quantum-mechanical scattering problems // Phys. Rev. A. 2000.-Aug. Vol. 62. P. 032706.

122. McCurdy C. W., Horner D. A., Rescigno T. N. Practical calculation of amplitudes for electron-impact ionization // Phys. Rev. A. 2001. —Jan. Vol. 63. P. 022711.

123. Rescigno T. N., McCurdy C. W., Isaacs W. A., Baertschy M. Use of two-body close-coupling formalisms to calculate three-body breakup cross sections // Phys. Rev. A. 1999.-Nov. Vol. 60. P. 3740-3749.

124. Яревский E. А., Немнюгин С. А., Чэнь Цзяндун. Расчет связанных состояний и резонансов квантовых трехчастичных систем на многоядерных и многопроцессорных системах // Труды международной научной конференции "Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2008) Санкт-

Петербург, 28 января — 1 февраля 2008 г. 2008. С. 276-281.

125. Demidov A. G., Yarevsky Е. Adaptive finite element method based on superconvergence // Days on Diffraction (DD), 2009 Proceedings of the International Conference. 2009.^ May. P. 197-201.

126. Canuto C., Hussaini M., Quarteroni A., Zang T. A. Spectral Methods. Fundamentals in Single Domains. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006. 581 p.

127. Flaherty J. Finite Element Analysis. Lecture notes. Oxford Texts In Applied And Engineering Mathematics. New York: Rensselaer Polytechnic Institute, 2000. 323 p.

128. Schiff В., Lifson H., Pekeris C. L., Rabinowitz P. 21'3P, З^Р, and 413 P States of He and the 21P State of Li+ // Phys. Rev. 1965.^ Nov. Vol. 140. P. A1104-A1121.

129. Verfiirth R. A review of a posteriori error estimation techniques for elasticity problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1999. Vol. 176, no. 1. P. 419-440.

130. Krizek M., Neittaanmaki P., Stenberg R. Finite Element Methods: Superconvergence, Post-Processing, and A Posterior Estimates. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. CRC Press, 1998. 368 p.

131. Racheva M. R., Andreev A. B. Superconvergence Postprocessing for Eigenvalues // Computational Methods in Applied Mathematics. 2002. Vol. 2, no. 2. P. 171-185.

132. Liu H., Sun J. Recovery type a posteriori estimates and superconvergence for nonconforming FEM of eigenvalue problems // Applied Mathematical Modelling. 2009. Vol. 33, no. 8. P. 3488-3497.

133. Wahlbin L. B. Superconvergence in Galerkin Finite Element Methods. Lecture Notes in Mathematics. Springer Berlin Heidelberg, 1995. 172 p.

134. Petra C. G., Schenk O., Lubin M., Gartner K. An augmented incomplete factorization approach for computing the Schur complement in stochastic optimization // SIAM Journal on Scientific Computing. 2014. Vol. 36, no. 2.

P. C139-C162.

135. Petra C. G., Schenk O., Anitescu M. Real-time stochastic optimization of complex energy systems on high-performance computers // IEEE Computing in Science & Engineering. 2014. Vol. 16, no. 5. P. 32-42.

136. Amestoy P. R., Duff I. S., Koster J., L'Excellent J.-Y. A fully asynchronous multifrontal solver using distributed dynamic scheduling // SIAM Journal of Matrix Analysis and Applications. 2001. Vol. 23, no. 1. P. 15-41.

137. Amestoy P. R., Guermouche A., L'Excellent J.-Y., Pralet S. Hybrid scheduling for the parallel solution of linear systems // Parallel Computing. 2006. Vol. 32, no. 2. P. 136-156.

138. Arnoldi W. E. The principle of minimized iterations in the solution of the matrix eigenvalue problem // Quart. J. Applied Mathematics. 1951. Vol. 9. P. 17-29.

139. Lehoucq R., Sorensen D., Yang C. ARPACK Users' Guide: Solution of Large-scale Eigenvalue Problems with Implicitly Restarted Arnoldi Methods. Software, Environments, Tools. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. 142 p.

140. Condo G. On the absorption of negative pions by liquid helium // Physics Letters. 1964. Vol. 9, no. 1. P. 65-66.

141. Russell J. E. Structure of Neutral Mesonic Atoms Formed in Liquid Helium // Phys. Rev. A. 1970.-Mar. Vol. 1. P. 721-734.

142. Russell J. E. Distortion of the Electron Wave Function ino^-e-, aK-e-, and ape- Atoms // Phys. Rev. A. 1970.-Mar. Vol. 1. P. 735-742.

143. Russell J. E. Auger Rates for Circular Orbits of aK-e-, and ape-Atoms // Phys. Rev. A. 1970.-Mar. Vol. 1. P. 742-750.

144. Ahlrichs R., Dumbrajs O., Pilkuhn H., Schlaile H. G. Antiprotonic helium and lithium with one or two electrons // Zeitschrift fur Physik A Atoms and Nuclei. 1982. Vol. 306, no. 4. P. 297-300.

145. Iwasaki M., Nakamura S. N., Shigaki K. et al. Discovery of antiproton trapping

by long-lived metastable states in liquid helium // Phys. Rev. Lett. 1991. — Sep. Vol. 67. P. 1246-1249.

146. Yamazaki T., Widmann E., Hayano R. S. et al. Formation of long-lived gas-phase antiprotonic helium atoms and quenching by H2 // Nature. 1993. — Jan. Vol. 361. P. 238-240.

147. Morita N., Kumakura M., Yamazaki T. et al. First observation of laser-induced resonant annihilation in metastable antiprotonic helium atoms // Phys. Rev. Lett. 1994. — Feb. Vol. 72. P. 1180-1183.

148. Hayano R. S., Maas F. E., Torii H. A. et al. Laser Studies of the Decay Chain of Metastable Antiprotonic Helium Atoms // Phys. Rev. Lett. 1994. — Sep. Vol. 73. P. 1485-1488.

149. Nakamura S. N., Hayano R. S., Iwasaki M. et al. Delayed annihilation of antiprotons in helium gas // Phys. Rev. A. 1994.— Jun. Vol. 49. P. 4457-4465.

150. Maas F. E., Hayano R. S., Ishikawa T. et al. Laser-induced resonant transition at 470.724 nm in the v = n - I -1=2 cascade of metastable antiprotonic helium atoms // Phys. Rev. A. 1995. Nov. Vol. 52. P. 4266-4269.

151. Torii H. A., Hori M., Ishikawa T. et al. Laser-induced resonant transitions in the v = n — I — 1 = 2 and 3 metastable cascades of antiprotonic 3He atoms // Phys. Rev. A. 1996.-Apr. Vol. 53. P. R1931-R1934.

152. Ketzer B., Hartmann F. J., Daniel H. et al. Isotope effects on delayed annihilation time spectra of antiprotonic helium atoms in a low-temperature gas // Phys. Rev. A. 1996.-Apr. Vol. 53. P. 2108-2117.

153. Widmann E., Sugai I., Yamazaki T. et al. Effects of impurity atoms and molecules on the lifetime of antiprotonic helium atoms // Phys. Rev. A. 1996. — May. Vol. 53. P. 3129-3139.

154. Hayano R. S., Ishikawa T., Tamura H. et al. Observation of double-resonant laser-induced transitions in the v=n-l-l=2 metastable cascade of antiprotonic 4 He atoms // Phys. Rev. A. 1997.-Jan. Vol. 55. P. R1-R4.

155. Ketzer B., Hartmann F. J., von Egidy T. et al. Hydrogen-Assisted Laser-In-

duced Resonant Transitions between Metastable States of Antiprotonic Helium Atoms // Phys. Rev. Lett. 1997.-Mar. Vol. 78. P. 1671-1674.

156. Hori M., Eades J., Hayano R. S. et al. Direct Measurement of Transition Frequencies in Isolated pHe+ Atoms, and New CPT-Violation Limits on the Antiproton Charge and Mass // Phys. Rev. Lett. 2003.-Sep. Vol. 91. P. 123401.

157. Shimamura I. Moleculelike metastable states of antiprotonic and mesic helium // Phys. Rev. A. 1992.-Oct. Vol. 46. P. 3776-3788.

158. Puzynin I. V., Puzynina T. P., Vinitsky S. I., Puzynin V. I. Energy level scheme of pHe+ system in generalized adiabatic approach // Hyperfine Interactions. 1996.-Dec. Vol. 101, no. 1. P. 493-502.

159. Yamazaki T., Ohtsuki K. Atomic core-polarization effects in metastable hadron-ic helium atoms // Phys. Rev. A. 1992.-Jun. Vol. 45. P. 7782-7786.

160. Greenland P. T., Thiirwachter R. The antiprotonic helium atom // Hyperfine Interactions. 1993.-Dec. Vol. 76, no. 1. P. 353-369.

161. Kartavtsev O. Variational calculation of anti-protonic helium atoms // Phys. Atom. Nucl. 1996. Vol. 59. P. 1483-1491.

162. Korobov V. I. Hyperfine structure of metastable states in3He+p atom // Phys. Rev. A. 2006.-Feb. Vol. 73. P. 022509.

163. Morita N., Ohtsuki K., Yamazaki T. Laser spectroscopy of metastable antiprotonic helium atomcules // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 1993. Vol. 330, no. 3. P. 439-446.

164. Beck W. A., Wilets L., Alberg M. A. Semiclassical description of antiproton capture on atomic helium // Phys. Rev. A. 1993. - Oct. Vol. 48. P. 2779-2785.

165. Korenman G. Y. Collisional quenching ofp He+ metastable states // Hyperfine Interactions. 1996. Vol. 101, no. 1. P. 463-469.

166. Korenman G. Y. Collisional processes in exotic atoms // Hyperfine Interactions. 2012. Vol. 209, no. 1. P. 15-20.

167. Miscellaneous tables, figures and formulae // Physics Letters B. 1990. Vol.

239. P. III1-III83.

168. Kono A., Hattori S. Energy levels for S , P , and D states in He through precision variational calculations // Phys. Rev. A. 1986.— Sep. Vol. 34. P. 1727-1735.

169. Drake G. W. Theoretical energies for the n = 1 and 2 states of the helium isoelectronic sequence up to Z = 100 // Canadian Journal of Physics. 1988. Vol. 66, no. 7. P. 586-611.

170. Sakurai J. J. Advanced Quantum Mechanics. New York: Addison-Wesley, 1967. 336 p.

171. Levin F. S., Shertzer J. Finite-element solution of the Schrodinger equation for the helium ground state // Phys. Rev. A. 1985. - Dec. Vol. 32. P. 3285-3290.

172. Shertzer J., Levin F. S. Solution of three-body Coulomb problems for J=0 // Phys. Rev. A. 1991.-Mar. Vol. 43. P. 2531-2534.

173. Korobov V. I., Bakalov D. D. Energies and Relativistic Corrections for the Metastable States of Antiprotonic Helium Atoms // Phys. Rev. Lett. 1997. — Nov. Vol. 79. P. 3379-3382.

174. Yamazaki Т., Morita N., Hayano R. S. et al. Antiprotonic helium // Physics Reports. 2002. Vol. 366, no. 4-5. P. 183-329.

175. Берестецкий В. В., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1989. 728 с.

176. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1988. 512 с.

177. Смирнов Б. М. Ван-дер-ваальсовские молекулы // Успехи физических наук. 1984. Т. 142, № 1. С. 31-60.

178. Schinke R. Photodissociation Dynamics. Cambridge University Press, 1993. Cambridge Books Online.

179. Demtroder W. Molecular Physics: Theoretical Principles and Experimental Methods. Wiley-VCH, 2006. 484 p.

180. Ефимов В. Слабосвязанные состояния трёх резонансно взаимодействующих частиц // Ядерная физика. 1970. Т. 12, № 5. С. 1080-1090.

181. Efimov V. Energy levels arising from resonant two-body forces in a three-body system // Physics Letters B. 1970. Vol. 33, no. 8. P. 563 - 564.

182. Lim T. K., Duffy S. K., Damer W. C. Efimov State in the4He Trimer // Phys. Rev. Lett. 1977.-Feb. Vol. 38. P. 341-343.

183. Ernesti A., Hutson J. M. Nonadditive intermolecular forces from the spectroscopy of van der Waals trimers: A theoretical study of Ar2-HF // Phys. Rev. A. 1995.-Jan. Vol. 51. P. 239-250.

184. Ernesti A., Hutson J. M. Non-additive intermolecular forces from the spectroscopy of Van der Waals trimers: A comparison of Ar2-HF and Ar2-HCl, including H/D isotope effects // The Journal of Chemical Physics. 1997. Vol. 106, no. 15. P. 6288-6301.

185. Esry B. D., Lin C. D., Greene C. H. Adiabatic hyperspherical study of the helium trimer // Phys. Rev. A. 1996,-Jul. Vol. 54. P. 394-401.

186. Kolganova E. A., Motovilov A. K., Sofianos S. A. Three-body configuration space calculations with hard-core potentials // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1998. Vol. 31, no. 6. P. 1279-1302.

187. Roudnev V., Yakovlev S. Investigation of 4He3 trimer on the base of Faddeev equations in configuration space // Chemical Physics Letters. 2000. Vol. 328, no. 1-2. P. 97 - 106.

188. Roy P.-N. Energy levels and wave functions of weakly bound bosonic trimers using Pekeris coordinates and a symmetry-adapted Lanczos approach // The Journal of Chemical Physics. 2003. Vol. 119, no. 11. P. 5437-5443.

189. Blume D., Greene C. H., Esry B. D. Comparative study of He3, Ne3, and Ar3 using hyperspherical coordinates // The Journal of Chemical Physics. 2000. Vol. 113, no. 6. P. 2145-2158.

190. Wright N. J., Hutson J. M. Regular and irregular vibrational states: Localized anharmonic modes in Ar3 // The Journal of Chemical Physics. 1999. Vol. 110, no. 2. P. 902-911.

191. Gonzalez-Lezana T., Rubayo-Soneira J., Miret-Artes S. et al. Comparative con-

figurational study for He, Ne, and Ar trimers // The Journal of Chemical Physics. 1999. Vol. 110, no. 18. P. 9000-9010.

192. Horn T. R., Gerber R. B., Valentini J. J., Ratner M. A. Vibrational states and structure of Ar3: The role of three-body forces // The Journal of Chemical Physics. 1991. Vol. 94, no. 10. P. 6728-6736.

193. Cooper A. R., Jain S., Hutson J. M. Methods for calculating the bound state energies of van der Waals trimers: Applications to Ar3 // The Journal of Chemical Physics. 1993. Vol. 98, no. 3. P. 2160-2169.

194. Hutson J. M., Jain S. On the coupled-channel calculation of bound states for trimeric systems using hyperspherical coordinates // The Journal of Chemical Physics. 1989. Vol. 91, no. 7. P. 4197-4203.

195. Garashchuk S., Light J. C. Quasirandom distributed Gaussian bases for bound problems // The Journal of Chemical Physics. 2001. Vol. 114, no. 9. P. 3929-3939.

196. Lipkin N., Moiseyev N., Leforestier C. A three-dimensional study of NelCl pre-dissociation resonances by the complex scaled discrete variable representation method // The Journal of Chemical Physics. 1993. Vol. 98, no. 3. P. 1888-1901.

197. Liu Y. D., Roy P.-N. Energy levels and wave functions of weakly-bound 4Hex 20NeyH (x+y=2) systems using Pekeris coordinates and a symmetry-adapted Lanczos approach // The Journal of Chemical Physics. 2004. Vol. 121, no. 13. P. 6282-6289.

198. Rick S. W., Lynch D. L., Doll J. D. A variational Monte Carlo study of argon, neon, and helium clusters // The Journal of Chemical Physics. 1991. Vol. 95, no. 5. P. 3506-3520.

199. Blume D., Greene C. H. Monte Carlo hyperspherical description of helium cluster excited states // The Journal of Chemical Physics. 2000. Vol. 112, no. 18. P. 8053-8067.

200. Bressanini D., Zavaglia M., Mella M., Morosi G. Quantum Monte Carlo investigation of small 4He clusters with a 3He impurity // The Journal of Chemical

Physics. 2000. Vol. 112, no. 2. P. 717-722.

201. Nightingale M. P., Melik-Alaverdian V. Optimization of Ground- and Excited-State Wave Functions and van der Waals Clusters // Phys. Rev. Lett. 2001. — Jul. Vol. 87. P. 043401.

202. Nightingale M. P., Roy P.-N. Excited States of Weakly Bound Bosonic Clusters: Discrete Variable Representation and Quantum Monte Carlo // The Journal of Physical Chemistry A. 2006. Vol. 110, no. 16. P. 5391-5394.

203. Cuervo J. E., Roy P.-N. Path integral ground state study of finite-size systems: Application to small (parahydrogen)N (N=2-20) clusters // The Journal of Chemical Physics. 2006. Vol. 125, no. 12. P. 124314.

204. Nielsen E., Fedorov D. V., Jensen A. S. The structure of the atomic helium trimers: halos and Efimov states // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1998. Vol. 31, no. 18. P. 4085-4106.

205. Herzberg G. Molecular Spectra and Molecular Structure II, Infrared and Raman Spectra of Polyatomic Molecules. Malabar, Florida: Krieger Publishing Company, 1991. P. 22-37, 400-446.

206. Aziz R. A., Slaman M. J. An examination of abinitio results for the helium potential energy curve // The Journal of Chemical Physics. 1991. Vol. 94, no. 12. P. 8047-8053.

207. Tang K. T., Toennies J. P., Yiu C. L. Accurate Analytical He-He van der Waals Potential Based on Perturbation Theory // Phys. Rev. Lett. 1995.— Feb. Vol. 74. P. 1546-1549.

208. Aziz R. A., McCourt F. R., Wong C. C. A new determination of the ground state interatomic potential for He2 // Molecular Physics. 1987. Vol. 61, no. 6. P. 1487-1511.

209. Aziz R. A., Slaman M. The Ne-Ne interatomic potential revisited // Chemical Physics. 1989. Vol. 130, no. 1. P. 187- 194.

210. Aziz R. A. A highly accurate interatomic potential for argon // The Journal of Chemical Physics. 1993. Vol. 99, no. 6. P. 4518-4525.

211. Lee T. G., Esry B. D., Gou B.-C., Lin C. D. The helium trimer has no bound rotational excited states // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2001. Vol. 34, no. 7. P. L203.

212. Braaten E., Hammer H.-W. Efimov physics in cold atoms // Annals of Physics. 2007. Vol. 322, no. 1. P. 120 - 163. January Special Issue 2007.

213. Rama Krishna M. V., Whaley K. B. Collective excitations of helium clusters // Phys. Rev. Lett. 1990.-Mar. Vol. 64. P. 1126-1129.

214. Lehmann K. K., Scoles G. The Ultimate Spectroscopic Matrix? // Science. 1998. Vol. 279, no. 5359. P. 2065-2066.

215. Motovilov, A. K., Sandhas, W., Sofianos, S. A., Kolganova, E. A. Binding energies and scattering observables in the 4He3 atomic system // Eur. Phys. J. D. 2001. Vol. 13, no. 1. P. 33-41.

216. Sandhas W., Kolganova E. A., Ho Y. K., Motovilov A. K. Binding Energies and Scattering Observables in the 4He3 and 3He4He2 Three-Atomic Systems // Few-Body Systems. 2004. Vol. 34, no. 1. P. 137-142.

217. Axilrod B. M., Teller E. Interaction of the van der Waals Type Between Three Atoms // The Journal of Chemical Physics. 1943. Vol. 11, no. 6. P. 299-300.

218. Thakkar A. J., Hettema H., Wormer P. E. S. Ab initio dispersion coefficients for interactions involving rare-gas atoms // The Journal of Chemical Physics. 1992. Vol. 97, no. 5. P. 3252-3257.

219. Novaro O. On the rightful place for He within the periodic table // Foundations of Chemistry. 2007. Vol. 10, no. 1. P. 3-12.

220. Baccarelli I., Gianturco F. A., González-Lezana T. et al. Bound-state energies in argon trimers via a variational expansion: The effects from many-body corrections // The Journal of Chemical Physics. 2005. Vol. 122, no. 14. P. 144319.

221. Karlicky F., Lepetit B., Kalus R., Gadéa F. X. Calculation of argon trimer rovibrational spectrum // The Journal of Chemical Physics. 2007. Vol. 126, no. 17. P. 174305.

222. Leitner D. M., Berry R. S., Whitnell R. M. Quantum chaos of Ar3: Statistics

of eigenvalues // Journal of Chem. Physics. 1989. Vol. 91, no. 6. P. 3470-3476.

223. Dyson F. J., Mehta M. L. Statistical Theory of the Energy Levels of Complex Systems. IV // Journal of Mathem. Physics. 1963. Vol. 4, no. 5. P. 701-712.

224. Haller E., Koppel H., Cederbaum L. On the statistical behaviour of molecular vibronic energy levels // Chemical Physics Letters. 1983. Vol. 101, no. 3. P. 215 - 220.

225. Berry M. V., Tabor M. Level Clustering in the Regular Spectrum // Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1977. Vol. 356, no. 1686. P. 375-394.

226. Табор M. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. Едиториал УРСС, 2001. 320 с.

227. Brody Т. A., Flores J., French J. В. et al. Random-matrix physics: spectrum and strength fluctuations // Rev. Mod. Phys. 1981,-Jul. Vol. 53. P. 385-479.

228. Lane A. M., Thomas R. G. R-Matrix Theory of Nuclear Reactions // Rev. Mod. Phys. 1958.-Apr. Vol. 30. P. 257-353.

229. Lindroth E. Calculation of doubly excited states of helium with a finite discrete spectrum // Phys. Rev. A. 1994. -Jun. Vol. 49. P. 4473-4480.

230. Burgers A., Wintgen D., Rest J. M. Highly doubly excited S states of the helium atom // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1995. Vol. 28, no. 15. P. 3163.

231. Bhatia A. K. Transitions (1s2p)3P° - (2p2)3Pe in He and (2s2p)3P° - (2p2)3Pe in H- // Phys. Rev. A. 1970.-Nov. Vol. 2. P. 1667-1668.

232. Ho Y. K. Doubly excited 3Po resonance states of He below the N =2 and N =3 He+ thresholds // Phys. Rev. A. 1993.-Nov. Vol. 48. P. 3598-3605.

233. Wintgen D., Delande D. Double photoexcitation of 1 P 0 states in helium // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1993. Vol. 26, no. 14. P. L399.

234. Ho Y. K., Bhatia A. K. Doubly excited 13 Pe states in heliumlike systems // Phys. Rev. A. 1993.-Apr. Vol. 47. P. 2628-2633.

235. Ho Y. K. Autoionizing lP0 states of He between the N =2 and 3 thresholds of He+ // Phys. Rev. A. 1991.-Oct. Vol. 44. P. 4154-4161.

236. Ho Y. K., Bhatia A. K. Complex-coordinate calculation of1,3 D resonances in two-electron systems // Phys. Rev. A. 1991.-Sep. Vol. 44. P. 2895-2899.

237. Roncero O., Beswick J. A., Halberstadt N. et al. Photofragmentation of the Ne...ICl complex: A three-dimensional quantum mechanical study // The Journal of Chemical Physics. 1990. Vol. 92, no. 6. P. 3348-3358.

238. Gray S. K., Wozny C. E. Fragmentation mechanisms from three-dimensional wave packet studies: Vibrational predissociation of NeC12, HeC12, NelCl, and HelCl // The Journal of Chemical Physics. 1991. Vol. 94, no. 4. P. 2817-2832.

239. Ryaboy V., Moiseyev N., Mandelshtam V. A., Taylor H. S. Resonance positions and widths by complex scaling and modified stabilization methods: van der Waals complex NelCl // The Journal of Chemical Physics. 1994. Vol. 101, no. 7. P. 5677-5682.

240. Monnerville M., Robbe J.-M. Optical potential discrete variable representation method applied to the three-dimensional calculations of NelCl predissociation resonances // Chemical Physics. 1996. Vol. 211, no. 1. P. 249-264.

241. Hoyle F. On Nuclear Reactions Occuring in Very Hot STARS.I. the Synthesis of Elements from Carbon to Nickel // The Astrophysical Journal Supplement Series. 1954. Vol. 1. P. 121-146.

242. Fynbo H. O. U., Diget C. A., Bergmann U. C. et al. Revised rates for the stellar triple-[alpha] process from measurement of 12C nuclear resonances // Nature. 2005. Vol. 433. P. 136-139.

243. Fynbo H. O. U., Diget C. A. Structure of 12C and the triple-a process // Hyperfine Interactions. 2014. Vol. 223, no. 1. P. 103-120.

244. Itoh M., Akimune H., Fujiwara M. et al. Study of the cluster state at Ex=10.3 MeV in 12C // Nuclear Physics A. 2004. Vol. 738. P. 268-272. Proceedings of the 8th International Conference on Clustering Aspects of Nuclear Structure and Dynamics.

in the Ab Initio Nuclear Shell Model // Phys. Rev. Lett. 2000.-Jun. Vol. 84. P. 5728-5731.

246. Kanada-En'yo Y. Variation after Angular Momentum Projection for the Study of Excited States Based on Antisymmetrized Molecular Dynamics // Phys. Rev. Lett. 1998.-Dec. Vol. 81. P. 5291-5293.

247. Chernykh M., Feldmeier H., Neff T. et al. Structure of the Hoyle State in12C // Phys. Rev. Lett. 2007.-Jan. Vol. 98. P. 032501.

248. Funaki Y., Tohsaki A., Horiuchi H. et al. Resonance states in 12C and a-particle condensation // Eur. Phys. J. A. 2005. Vol. 24, no. 3. P. 321-342.

249. Yamada Т., Schuck P. Single a-particle orbits and Bose-Einstein condensation in 12C // Eur. Phys. J. A. 2005. Vol. 26, no. 2. P. 185-199.

250. Demyanova A., Belyaeva Т., Danilov A. и др. а ^Ь

12

MEV: has exotic 7.65 MEV Hoyles state signatures of "alpha-condensate" structure? // Ядерная физика. 2009. Т. 72, № 10. С. 1668-1673.

251. Ikeda К., Takigawa N., Horiuchi H. The Systematic Structure-Change into the Molecule-like Structures in the Self-Conjugate 4n Nuclei // Progress of Theoretical Physics Supplement. 1968. Vol. E68. P. 464-475.

252. Ali S., Bodmer A. Phenomenological a-a potentials // Nuclear Physics. 1966. Vol. 80, no. 1. P. 99-112.

253. Filikhin I., Suslov V. M., Vlahovic B. 0+ states of the 12C nucleus: the Faddeev calculation in configuration space // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. 2005. Vol. 31, no. 11. P. 1207-1224.

254. Fedorov D., Jensen A. The three-body continuum Coulomb problem and the 3a structure of 12C // Physics Letters B. 1996. Vol. 389, no. 4. P. 631-636.

255. Fedotov S. I., Kartavtsev О. I., Kochkin V. I., Malykh A. V. За-cluster structure of the 0+ states in 12C and the effective a-a interactions // Phys. Rev. C. 2004.-Jul. Vol. 70. P. 014006.

12

for three-body resonant states // Nuclear Physics A. 2007. Vol. 792, no. 1.

P. 87-101.

257. Portilho О., Agrello D. A., Coon S. A. Three-body potential among alpha particles // Phys. Rev. C. 1983. -Jun. Vol. 27. P. 2923-2929.

258. Filikhin I. N. a8Be Cluster Model for the 0+ Resonance in the 12C Nucleus // Ядерная физика. 2000. Т. 63, № 9. С. 1612-1618.

259. Рарр Z., Filikhin I. N., Yakovlev S. L. Integral Equations for Three-Body Coulomb Resonances // Few-Body Systems. 2001. Vol. 30, no. 1. P. 31-37.

260. Suno H., Suzuki Y., Descouvemont P. Triple — a continuum structure and Hoyle resonance of 12C using the hyperspherical slow variable discretization // Phys. Rev. C. 2015.-Jan. Vol. 91. P. 014004.

261. S. I. Fedotov A. V. M., О. I. Kartavtsev. Consistent «-cluster description of the 12C(0+) "Hoyle" resonance // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т. 92. С. 715-719.

262. Kurokawa С., Kato К. New broad 0+ state in 12C // Phys. Rev. C. 2005,-Feb. Vol. 71. P. 021301.

263. Alvarez-Rodriguez, R., Garrido, E., Jensen, A. S. et al. Structure of low-lying 12

264. Ajzenberg-Selove F. Energy levels of light nuclei A = 11-12 // Nuclear Physics A. 1990. Vol. 506, no. 1. P. 1-158.

265. Fedorov D. V., Garrido E., Jensen A. S. Complex Scaling of the Hyper-Spheric Coordinates and Faddeev Equations // Few-Body Systems. 2003. Vol. 33, no. 2. P. 153-171.

266. Papadimitriou G. Calculation of Expectation Values of Operators in the Complex Scaling Method // Few-Body Systems. 2016. Vol. 57, no. 9. P. 833-849.

267. Ohtsubo S., Fukushima Y., Kamimura M., Hiyama E. A solution to the old puzzle of 0+ resonances above the 0+ Hoyle state in 12C - A new analysis with complex-scaled За OCM - // Journal of Physics: Conference Series. 2014. Vol. 569, no. 1. P. 012070.

268. Descouvemont P. 12C spectroscopy above the 3a threshold // Journal of Physics: Conference Series. 2011. Vol. 321, no. 1. P. 012013.

269. Freer M., Wuosmaa A. H., Betts R. R. et al. Limits for the 3a branching ratio of the decay of the 7.65 MeV, 0+ state in 12C // Phys. Rev. C. 1994.-Apr. Vol. 49. P. R1751-R1754.

270. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 498 с.

271. Henry R. J. Excitation of atomic positive ions by electron impact // Physics Reports. 1981. Vol. 68, no. 1. P. 1-91.

272. Temkin A. Nonadiabatic Theory of Electron-Hydrogen Scattering // Phys. Rev. 1962.-Apr. Vol. 126. P. 130-142.

273. Poet R. The exact solution for a simplified model of electron scattering by hydrogen atoms // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics. 1978. Vol. 11, no. 17. P. 3081-3094.

274. Bartlett P. L., Stelbovics A. T. Complete direct method for electron-hydrogen scattering: Application to the collinear and Temkin-Poet models // Phys. Rev. A. 2004.-Feb. Vol. 69. P. 022703.

275. Meyer K. W., Greene С. H., Bray I. Simplified model of electron scattering

using R-matrix methods // Phys. Rev. A. 1995. Aug. Vol. 52. P. 1334-1343.

He+

1997.-Apr. Vol. 55. P. 3236-3238.

277. Bray I., Clare B. ¿"-wave model for H-like ions // Phys. Rev. A. 1997.— Sep. Vol. 56. P. R1694-R1696.

278. Gorczyca T. W., Badnell N. R. Photoionization - excitation of helium using an R-matrix with pseudostates method // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1997. Vol. 30, no. 17. P. 3897-3912.

279. Pindzola M. S., Mitnik D., Robicheaux F. Electron-impact double ionization of a model helium atom // Phys. Rev. A. 1999.-Jun. Vol. 59. P. 4390-4398.

280. Bartlett P. L. Complete numerical solution of electron-hydrogen collisions (PhD thesis, Murdoch University). 2005.

-+

toionization of He // Proceedings of the Physical Society. 1965. Vol. 86, no. 5. P. 989-1006.

282. Bartlett P. L., Stelbovics A. T. Differential ionization cross-section calculations for hydrogenic targets with Z ^ 4 using a propagating exterior complex scaling method // Phys. Rev. A. 2004.-Apr. Vol. 69. P. 040701.

283. Breit G., Wigner E. Capture of Slow Neutrons // Phys. Rev. 1936. —Apr. Vol. 49. P. 519-531.

284. Wang Y. D., Fon W. C., Lin C. D. A benchmark calculation for resonant electron - hydrogen elastic scattering at low energies // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1996. Vol. 29, no. 2. P. L59-L66.

285. Bhatia A. K., Temkin A., Drachman R. J., Eiserike H. Generalized Hylleraas Calculation of Positron-Hydrogen Scattering // Phys. Rev. A. 1971. —Apr. Vol. 3. P. 1328-1335.

286. Register D., Poe R. Algebraic variational method - a quantitative assessment in e±-H scattering // Physics Letters A. 1975. Vol. 51, no. 7. P. 431-433.

287. Levin F. S., Shertzer J. Finite-Element Analysis of Low-Energy e+ — H Scattering // Phys. Rev. Lett. 1988.-Aug. Vol. 61. P. 1089-1092.

288. Mitroy J., Berge L., Stelbovics A. Positron-Hydrogen Scattering at Low Energies // Phys. Rev. Lett. 1994.-Nov. Vol. 73. P. 2966-2969.

289. Kuang Y. R., Gien T. T. Positron-hydrogen collisions at low energies // Phys. Rev. A. 1997.-Jan. Vol. 55. P. 256-264.

290. Kar S., Mandal P. Correlated basis functions for studies on positron collisions using Schwinger's principle // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1997. Vol. 30, no. 19. P. L627-L634.

291. Humberston J. W., Reeth P. V., Watts M. S. T., Meyerhof W. E. Positron -hydrogen scattering in the vicinity of the positronium formation threshold // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1997. Vol. 30, no. 10. P. 2477-2494.

292. Gien T. T. Algebraic coupled-state calculations of positron-hydrogen scatter-

ing near the positronium-formation threshold // Phys. Rev. A. 1999. — Feb. Vol. 59. P. 1238-1244.

293. Bromley M. W. J., Mitroy J. Variational calculation of positron-atom scattering using configuration-interaction-type wave functions // Phys. Rev. A. 2003. — Jun. Vol. 67. P. 062709.

294. Kvitsinsky A. A., Carbonell J., Gignoux C. s-wave positron-hydrogen scattering via Faddeev equations: Elastic scattering and positronium formation // Phys. Rev. A. 1995.-Apr. Vol. 51. P. 2997-3004.

295. Kvitsinsky A. A., Wu A., Hu C. Y. Scattering of electrons and positrons on hydrogen using the Faddeev equations // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1995. Vol. 28, no. 2. P. 275-286.

296. Papp Z., Hu C.-Y., Hlousek Z. T. et al. Three-potential formalism for the three-body scattering problem with attractive Coulomb interactions // Phys. Rev. A. 2001.-May. Vol. 63. P. 062721.

297. Bhatia A. K., Drachman R. J., Temkin A. Annihilation during positron-hydrogen collisions // Phys. Rev. A. 1974,-Jan. Vol. 9. P. 223-225.

298. Bransden B. H., Noble C. J., Whitehead R. J. Positron scattering by singly charged helium ions in the ground state // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2001. Vol. 34, no. 11. P. 2267-2280.

299. Gien T. T. Accurate calculation of phase shifts for positron-He+ collisions // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2001. Vol. 34, no. 16. P. L535-L542.

300. Yamanaka N., Kino Y. Time-dependent coupled-channel calculation for elastic scattering of positrons by hydrogen atoms and helium ions // Phys. Rev. A. 2003.-Nov. Vol. 68. P. 052715.

301. Novikov S. A., Bromley M. W. J., Mitroy J. Positron scattering and annihilation from hydrogenlike ions // Phys. Rev. A. 2004. May. Vol. 69. P. 052702.

302. Green D. G., Gribakin G. F. Positron scattering and annihilation in hydrogenlike ions // Phys. Rev. A. 2013.-Sep. Vol. 88. P. 032708.