Ренормгрупповой алгоритм для краевых задач в математических моделях нелинейных физических процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Ковалев, Владимир Федорович

• Ковалев, Владимир Федорович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ковалев, Владимир Федорович

Введение

Используемые математические понятия и обозначения.

1 Алгоритм построения ренормгрупповых симметрий для краевых задач математической физики

1.1 Метод ренормализационной группы в теории полей.

1.1.1 Функциональные уравнения в КТП и РГ Боголюбова.

1.1.2 Преобразования РГ: общая формулировка.

1.1.3 Ренормгрупповой метод

1.2 Структурная схема реализации РГ алгоритма.

1.3 Иллюстрация алгоритма: примеры построения и применения РГС.

1.3.1 Построение РГС для краевых задач, описываемых ДУ в частных производных

1.3.2 РГС для краевых задач, описываемых ОДУ первого порядка. Использование метода инвариантного погружения.

1.3.3 Ренормгруппа как подгруппа группы Ли-Беклунда, допускаемой исходными дифференциальными уравнениями

1.3.4 РГС для краевых задач, описываемых системой исходных уравнений и дифференциальными связями.

2 Построение и применение РГС в краевых задачах для уравнений квазичаплыгинских сред

2.1 Уравнения квазичаплыгинских сред: обзор моделей и теоретико-групповая точка зрения.

2.2 Групповая симметрия уравнений квазичаплыгинских сред.

2.2.1 Линейные формы для координат группового оператора

2.2.2 Симметрии Ли-Беклунда второго порядка.

2.2.3 Операторы рекурренции.

2.3 РГС краевых задач для уравнений КЧС и примеры решений.

2.4 Приближенные РГС в задачах нелинейной геометрической оптики: произвольные краевые данные.

2.4.1 РГС для двумерного пучка: и = 1.

2.4.2 РГС для трехмерного пучка: и = 2.

2.4.3 Построение решений краевой задачи.

2.4.4 Приближенные группы преобразований и РГС: оценка эффективности подхода

2.5 Ренормгруппой анализ сингулярности в задаче о самофокусировке волнового пучка.

2.5.1 РГС и решение краевой задачи

2.5.2 Пространственная структура волнового пучка и возникновение особенности.

2.5.3 Глобальные характеристики процесса самофокусировки

2.6 Симметрии КЧС и новые решениях длинноволновой ВЭАГ вейбелевской плазмы.

2.6.1 Группа симметрии и инвариантные решения ВЭАГ.

2.6.2 Симметрии Ли-Беклунда и новые решения ВЭАГ.

2.7 Использование методов компьютерной алгебры для вычисления РГС.

3 Ренормгрупповые симметрии в задачах теории плазмы

3.1 РГС в задаче о нелинейном взаимодействии интенсивного электромагнитного излучения с неоднородной плазмой.

3.1.1 Исходные уравнения и РГ многообразие.

3.1.2 Группа симметрии уравнений электронной плазмы.

3.1.3 РГ преобразования и нелинейная структура поля.

3.1.4 Генерация гармоник электромагнитного излучения и квазистатических неоднородных полей в плазме.

3.1.5 Спектральный состав излучения гармоник неоднородной плазмой в поле сильной электромагнитной волны

3.1.6 Сильнонелинейная генерация гармоник излучения лазерной плазмой: исследование температурной зависимости.

3.1.7 Температурные осцилляции гармоник излучения, генерируемых лазерной плазмой.

3.1.8 Лазерный поток опрокидывания плазменных волн.

3.2 РГ подход в задачах кинетической теории плазмы.

3.2.1 Способы вычисления симметрий для интегро-дифференциальных уравнений: обзор различных методов.

3.2.2 Группа симметрии для системы уравнений Власова-Максвелла: пример вычисления.

3.2.3 Продолжение операторов точечной группы Ли на нелокальные переменные

3.2.4 Преобразование Лоренца для диэлектрических проницаемостей плазмы как пример ренормгруппового преобразования.

3.2.5 РГС в задаче о динамике плазменного сгустка: квазинейтральное приближение.

3.2.6 Приближенные РГС в задаче о динамике плазменного сгустка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ренормгрупповой алгоритм для краевых задач в математических моделях нелинейных физических процессов»

В математической физике теоретическое исследование любого сложного физического процесса начинается с построения математической модели, которая передает наиболее существенные черты изучаемого явления. В большинстве случаев модель задается системой уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегро-дифференциальных и т.д.) и краевых (граничных, начальных) условий.

При анализе математических моделей различают качественные, аналитические и численные методы. К качественным методам, например, можно отнести исследование вопроса о корректности постановки краевой задачи, формулировку и доказательство теорем существования и единственности решения, а также анализ его устойчивости. Аналитические методы направлены на построение различных точных и приближенных аналитических решений краевых задач, их асимптотический анализ и т.д. Численные методы, интенсивно развивавшиеся в последнее время, для нахождения приближенного (численного) решения задачи используют вычислительный алгоритм, который реализуется при расчетах на ЭВМ в виде некоторой вычислительной схемы; обычно применяется метод конечных разностей (метод сеток), что позволяет свести решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений.

Конечно, такое подразделение методов в значительной степени является условным и скорее характеризует различные стадии (этапы) общего способа исследования любой сложной математической модели - так называемого вычислительного эксперимента [1, 2]. Зачастую эти методы взаимно дополняют друг друга: например, результаты численных расчетов могут быть использованы для уточнения некоторых параметров и коэффициентов, входящих в приближенные аналитические решения. В свою очередь, точные аналитические решения играют роль тестов при проверке численных алгоритмов, а приближенные аналитические решения указывают на наиболее характерные особенности в поведении решений, которые следует ожидать в результате численных расчетов. С точки зрения вычислительного эксперимента проводимое ниже исследование связано с его первым этапом и посвящено разработке аналитических методов, применяемых при теоретическом исследовании математических моделей.

Для достаточно сложных математических моделей, включающих нелинейные дифференциальные (и/или интегро-дифференциальные) уравнения, универсальных аналитических методов построения решений при произвольных краевых условиях не существует. Поэтому особую актуальность приобретают как задача разработки методов построения точных частных решений с краевыми данными специального вида, так и задача развития различных подходов к нахождению приближенных аналитических решений при произвольных краевых данных.

В первом случае ценность любого точного частного аналитического решения (пусть даже с краевыми данными специального вида) определяется не только его приложениями в конкретных условиях, но и возможным использованием при тестировании (проверке) численных алгоритмов.

Во втором случае достоинства разнообразных вариантов построения приближенных решений заключаются в том, они позволяют отыскать аналитическое решение при достаточно широком произволе в выборе краевых данных. При этом в приближенном аналитическом решении, полученном для упрощенной математической модели и справедливом на ограниченном интервале изменения входящих в исходные уравнения переменных и/или параметров, как правило, сохраняются основные свойства, присущие и более сложной математической модели.

С практической точки зрения представляется целесообразным разработка такого алгоритма для нахождения аналитических решений краевых задач, который бы позволил совместить в едином подходе достоинства, свойственные для методов построения точных решений, такие как отсутствие дополнительных ограничений на величину параметров и пределов изменения переменных, со свободой в выборе краевых условий, которая обычно характерна для приближенных методов. При этом в качестве математической основы предполагаемого алгоритма, может рассматриваться один из современных методов отыскания и анализа решений уравнений математической физики.

С этой точки зрения одним из наиболее мощных и развитых инструментов для построения и исследования решений нелинейных дифференциальных уравнений математической физики, который обращает на себя внимание, является метод группового анализа.

Групповой анализ дифференциальных уравнений является одной из главных составляющих теории непрерывных групп и, как самостоятельное научное направление, берет свое начало из работ выдающегося математика XIX века Софуса Ли (1842-1899). Основная задача группового анализа - проблема интегрирования дифференциальных уравнений в квадратурах - была фактически решена самим Ли [3], который показал, что большинство методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, специально разработанных применительно к различным типам уравнений, являются следствием общего группового подхода. Он также привел классификацию обыкновенных дифференциальных уравнений на языке групп симметрий, т.е. указал полный список уравнений, которые могут быть проинтегрированы или порядок которых может быть понижен при использовании нового метода. К сожалению, эти результаты не получили в то время достаточно широкого распространения. Интерес к групповому анализу возродился в середине пятидесятых годов XX века после работ Л.В.Овсянникова, которые фактически заложили фундамент для современных приложений группового анализа; основные результаты этих работ приведены в монографиях [4], [5]. Использованный им подход к описанию свойств дифференциальных уравнений на языке допускаемых групп преобразований оказался эффективным не только при качественном анализе уравнений механики и математической физики, но и при построении конкретных инвариантно-групповых решений уравнений в частных производных [6], [7], [8]. Расширение сферы возможных приложений результатов группового анализа оказало стимулирующий эффект для развития теоретико-групповых подходов в целом, и привело к созданию новых понятий и алгоритмов.

Не претендуя на полноту картины, в качестве примера здесь можно упомянуть о создании теории групп преобразований Ли-Беклунда [9, 10] (этот термин был введен Н.Х.Ибрагимовым, используются также термины "высшие" [11] и "обобщенные" симметрии [12]), обобщающих группу точечных преобразований Ли на случай групп касательных преобразований бесконечного порядка, о новой формулировке теоремы Нётер [13] и применении симметрий для получения законов сохранения [14, 15], о развитии понятия инвариантных и частично-инвариантных решений и о классификации этих решений путем построения оптимальной системы подалгебр алгебры Ли [16, 7, 8]. Существенный вклад в развитие современного группового анализа и его приложений внесли теории нелокальных ("скрытых") [17,18,19], нелиевских (неклассических) и условных [20, 21, 22, 23] симметрий. Применительно к анализу групповых свойств дифференциальных уравнений с малым параметром был разработан метод приближенных симметрий, использующий концепцию приближенных групп преобразований [24, 25]. В связи с интенсивным развитием вычислительной техники актуальными стали приложения идей группового анализа к конечно-разностным уравнениям [26], а также использование пакетов специализированных прикладных программ при проведении вычислений конкретных групп преобразований [27]. Возникают также новые области приложения группового анализа, например, к интегро-дифференциальным уравнениям [28], [29]. Более подробно этот и другой материал можно найти в различных монографиях [5], [30], [12], [31], [15], [32]. Наиболее полное представление о решенных задачах и о масштабе приложений современного группового анализа дает недавно увидевший свет трехтомный Справочник по групповому анализу [33].

Возвращаясь к вопросу об использовании группового анализа для построения решения краевых задач уравнений математической физики, отметим, что для этой цели иногда используется следующий полуэмпирический принцип [34], строго обоснованный пока в немногих случаях (см. [5, §29], [36, §89], [37], [38]).

Принцип инвариантности: если краевая задача инвариантна относительно некоторой группы, то решение следует искать в классе функций, инвариантных относительно этой группы.

Инвариантность краевой задачи подразумевает инвариантность дифференциального уравнения, а также многообразия, несущего данные, и самих данных на этом многообразии. Поскольку произвольные краевые данные, как правило, не инвариантны при преобразованиях группы, то считается, что использование метода инвариантных решений, вообще говоря, неэффективно при решении краевых задач. Однако недавно было показано, что принцип инвариантности дает регулярный способ отыскания решений линейных начальных задач, если его использовать в сочетании с теорией обобщенных функций и фундаментальных решений [34, 35]. Эта процедура требует расширения классического алгоритма Ли на дифференциальные уравнения в пространстве обобщенных функций (Т.З, Гл.З и Т.2, Гл.3,4,7 в [33]).

Таким образом, использование алгебраических конструкций, алгоритмичность процедуры нахождения и классификации симметрий, возможность получения точных решений, в том числе и сингулярных - вот те преимущества, благодаря которым метод группового анализа широко применяется в математической физике для отыскания допускаемой исследуемой системой уравнений группы симметрии, построения аналитических инвариантно-групповых решений нелинейных уравнений и нахождения законов сохранения. Используемый в основном с целью классификации и построения всех допускаемых группой симметрии решений (инвариантных, частично инвариантных и т.д.), групповой анализ, однако, не ставит перед собой задачу применения симметрии для улучшения конкретного приближенного решения краевой задачи, полученного каким-либо другим способом, например, в рамках теории возмущений (ТВ) по некоторому малому параметру (за редким исключением, как было сказано выше). Под улучшением приближенного решения в этом случае подразумевается преобразование его к такому виду, когда оказывается возможным отказаться от ограничений, налагаемых ТВ на величину этого параметра, а в случае решения с особенностью - восстановление правильной структуры решения в окрестности сингулярности. В этом смысле можно сказать, что групповой анализ нацелен на исследование свойств симметрии систем дифференциальных уравнений "в целом" при априори не конкретизированных краевых данных, которые уточняются в процессе построения каждого отдельного решения.

С другой стороны, с середины пятидесятых годов в одном из разделов теоретической физики (в квантовой теории поля) возник [39] и в дальнейшем распространился на другие ее разделы [40] метод улучшения приближенных решений, использующий представление о виде симметрии конкретного решения - так называемый метод ренормализационной группы. В этом методе в его классической (квантово-полевой) формулировке [41], именуемой также Боголюбовская ренормгруппа, масштабное преобразование одной из независимых переменных и связанное с ним функциональное преобразование характеристики решения используется для систематического (последовательного) улучшения набора приближенных решений, найденных в рамках теории возмущений (ТВ) по известному малому параметру. Получаемое при такой процедуре каждое улучшенное приближенное аналитическое решение из этого набора подчиняется известным краевым условиям, в пределе малых значений параметра переходит в решение по теории возмущений и при этом удовлетворяет некоторому функциональному уравнению, гарантирующему существование группового свойства решения, которое либо предполагается известным, либо следует из дополнительных физических предположений.

Не останавливаясь подробно на деталях, укажем только основные этапы развития метода ренормализационной группы в теоретической и математической физике, которые иллюстрируются схемой на рис.1. Первоначально ренормализацион-ная группа (или для краткости просто ренормгруппа (РГ)) возникла около 50 лет назад в квантовой теории поля (КТП). Существование особой группы непрерывных преобразований, связанных с конечным произволом, возникающим в результате квантово-полевой процедуры устранения ультрафиолетовых расходимостей, бы

Теория\ полимеров, Перколяция \&Хаоу)

Рис. 1: Развитие концепции РГ на раннем этапе: от РГ Боголюбова до РГ Вильсона и функциональной автомодельности (ФА). ло установлено в 1951-53 году Штюкельбергом и Петерманом [42], которые ввели термин "группа нормировок" и указали на возможность построения дифференциальных уравнений Ли, а в 1954 году Гелл-Манн и Лоу [43] вывели функциональные уравнения для пропагаторов квантовой электродинамики в ультрафиолетовом пределе. Решающий шаг в создание метода РГ был сделан в 1955-56 годах в работах Боголюбова и Ширкова [44, 39]. Используя групповые свойства конечных преобразований Дайсона для константы связи и полей, они получили наиболее общую форму групповых функциональных уравнений для пропагаторов и вершин квантовой электродинамики, ввели термин "ренормализационная группа" и определили понятие инвариантного заряда, известного также как эффективная или бегущая константа связи и являющегося фактическим параметром разложения. В этих работах также были приведены дифференциальные групповые уравнения, соответствующие бесконечно малым групповым преобразованиям. Общее решение этих уравнений было дано Л.В.Овсянниковым в 1956 году [45]. На основе дифференциальных РГ уравнений в [44, 39, 46, 47], была предложена регулярная процедура улучшения результатов теории возмущений в ультрафиолетовой (УФ) и инфракрасной (ИК) областях, т.е. в таких областях, когда решения уравнений движения имеют сингулярное поведение. Эта процедура, использующая требование РГ-инвариантности каждого из членов ряда теории возмущений и впервые успешно примененная к асимптотикам функций Грина квантовой электродинамики, известна теперь как метод ренормализационной группы (МРГ).

В начале 70-х годов философия ренормгруппы была применена в теории критических явлений статистической физики, а именно в теории фазовых переходов в спиновых системах на решетке [48]. Эта новая версия Вильсоновской ренормгруппы основывалась на идее Каданова о блочном объединении нескольких близлежащих спинов с одновременной заменой (перенормировкой) константы связи и последующем усреднением спинов в каждом блоке. Последовательное выполнение преобразований Каданова соответствует переходу к блокам все более крупных размеров при одновременном уменьшении их числа. При этом параметры уравнения описывающих взаимодействие в такой системе перенормируются, а вид уравнения в случае соответствующим образом подобранного преобразования амплитуд при масштабном преобразовании сохраняется. В результате возникает новая модельная система, характеризующаяся некоторыми новыми значениями элементарного масштаба и величины константы связи. Многократное повторение этой операции дает упорядоченное дискретное множество моделей и переход от одной модели к другой является (с физической точки зрения) приближенной и необратимой операцией, задающей групповую структуру в пространстве моделей. Таким образом, используемая в критических явлениях РГ Вильсона является приближенной полугруппой дискретных преобразований, связывающей дискретный набор вспомогательных моделей.

Эта конструкция явилась более ясной с общефизической точки зрения, чем РГ процедура в квантовой теории поля, благодаря чему в семидесятые годы концепция ренормгруппы Вильсона и ее алгоритмическая структура были перенесены в новые разделы теоретической физики, такие как физика полимеров [49], теория некогерентного переноса излучения [50], динамического хаоса [51].

Еще один характерный пример использования РГ подхода дает теория турбулентности [52, 53, 54]. Здесь свойство РГ-инвариантности заключается в независимости усредненных характеристик системы в ИК-области (крупномасштабные и долгопериодные явления) от параметра обрезания по волновым числам в УФ области. Процедура использования РГ подхода в теории турбулентности сводится к построению производящего функционала для корреляционных функций, записи этого функционала в представлении интеграла по траекториям и установлению соответствия (путем преобразования функционального интеграла) между классической статистической системой и некоторой эквивалентной квантово-полевой моделью. Дальнейшие действия, в результате которых получаются РГ уравнения для определения фиксированных точек и скейлингового поведения, выполняются обычным для КТП модели способом.

Таким образом, из множества различных формулировок РГ, имеющих хождение в физике, можно выделить несколько основных типов: а) в КТП и некоторых других примерах из области макроскопической физики, РГ симметрия это точная симметрия решения, формулируемая на языке естественных переменных задачи; б) в теории турбулентности, в физике фазовых переходов (на основе модели непрерывного поля спинов) - РГС это симметрия некой эквивалентной КТП модели и, наконец, в) в теории фазовых переходов в спиновых системах на решетках, в физике полимеров, теории перколяции и некоторых других, где основой является "блоковая" идеология Каданова-Вильсона, РГ преобразование - это преобразование на множестве вспомогательных моделей, характеризующее переход между различными вспомогательными (специально сконструированными с этой целью) моделями данной системы. Ренормализационную группу, использованную для анализа сингулярностей в КТП [44]-[47], будем называть квантово-полевой или Боголюбовской РГ, чтобы отличать ее от приближенной РГ, введенной Вильсоном [48] для анализа критических явлений в задачах статистической физики.

Следующим этапом в развитии РГ идеологии стало введение в математическую физику в начале восьмидесятых годов [55] (см. также работы [56, 57]) понятие функциональной автомодельности (ФА). Это понятие характеризует единое свойство инвариантности решений широкого круга физических задач, анализируемых с помощью метода РГ, относительно групповых преобразований, затрагивающих не только естественные независимые переменные задачи, но также параметры граничных условий, задаваемых в некоторой "опорной" точке. При этом РГ-преобразование соответствует репараметризации некоторого данного решения при переходе к другой опорной точке путем изменения (сдвига или растяжения) некоторой независимой (координатной) переменной и одновременного функционального преобразования (граничных) характеристик искомых функций. Указанные "функции преобразования" подчиняются групповым функциональным уравнениям. В частном случае, когда решения функциональных групповых уравнений приводят к степенным зависимостям преобразуемых функций от независимых переменных и параметров, ФА сводится к обычной (степенной) автомодельности первого или второго рода, хорошо известной в механике жидкости и газа еще с XIX века (см. ссылки в [58]). Наиболее наглядным понятие ФА становится при приложении к классическим системам, например, в задачах гидродинамики [59] и теории переноса [60], где функциональная формулировка соответствующих свойств симметрии происходит в реальном конфигурационном пространстве. При этом преобразование, соответствующее РГ преобразованию изменения масштаба шкалы импульсов или частот в КТП, в данном случае есть преобразование сдвига по пространственной координате.

Продвижение РГ идеологии в математическую физику в основном исходило из того факта, что в КТП, как и в других областях теоретической физики, МРГ позволяет улучшать результаты теории возмущений и упрощает анализ решения вблизи сингулярности, которое, как правило, становится близким к масштабно-инвариантному в окрестности особенности. Это наблюдение находится в прямой аналогии с типичной для асимптотического анализа решений дифференциальных уравнений ситуацией, при которой асимптотика решения на больших временах демонстрирует автомодельный режим [58]. Поэтому казалось логичным применить РГ подходы для исследования сильнонелинейных режимов и для анализа асимптотического поведения физических систем, описываемых дифференциальными уравнениями.

В частности, методы квантово-полевой РГ использовались в работах [61, 62] для построения асимптотик нелинейных параболических дифференциальных уравнений, которые описывают широкий круг физических явлений, таких как течение грунтовых вод под действием силы тяжести, динамику ударных волн, перенос излучения. Как вспомогательный механизм при проведении анализа эти авторы использовали концепцию промежуточной асимптотики [63, 58]. Позднее, с целью построения концепции глобального асимптотического анализа, они создали и проиллюстрировали на многочисленных примерах "пертурбативную теорию ренормализационной группы" (см. [64] и приведенные там ссылки), которая использовала условие инвариантности, близкое к тому, которое применялось в КТП. Точнее, использованный в

64] алгоритм для улучшения решений по ТВ, содержащих особенности, заключается а) во введении в решение некоторых дополнительных параметров, б) специальном подборе этих параметров таким образом, чтобы устранить возникающие расходимости, и в) наложении требования независимости решения от способа введения этих параметров. В отдельных случаях этот алгоритм, идеология которого заимствована из квантово-полевой РГ, приводит к точному решению. Однако остается открытым вопрос о соответствии этой конструкции группе преобразования решений краевой задачи. Геометрическая трактовка сформулированного подхода для глобального анализа поведения решения дифференциальных уравнений позднее была дана в работе

65] на основе классической теории огибающих.

Несколько другой подход с использованием идей РГ был применен для анализа нелинейных дифференциальных уравнений в работах [66]-[68]. Здесь авторами была использована итерационная процедура преобразования масштабов, аналогичная той, которая используется в Вильсоновской РГ и которая образует полугруппу. В результате им удалось доказать глобальную устойчивость и вычислить асимптотики решений на больших временах для некоторых классов нелинейных параболических уравнений.

Таким образом, за почти 50-летний период своего развития МРГ получил широкое распространение в теоретической физике, благодаря универсальности используемого подхода и его применимости к разнообразным физическим задачам. Ключевым моментом в МРГ (в его наиболее последовательной, квантово-полевой формулировке) является использование точных групповых свойств решения для систематического улучшения результатов теории возмущений. Получаемое при такой процедуре улучшенное приближенное аналитическое решение удовлетворяет функциональному уравнению, гарантирующему существование группового свойства, которое либо предполагается известным, либо следует из дополнительных физических предположений.

В каждом конкретном случае обнаружение этого группового свойства решения, которое мы будем называть симметрией ренормгруппового типа, или РГ-симметрией (РГС), требует специального рассмотрения (см., например, обсуждение в работах [69, 57, 40, 64]) и не является алгоритмической процедурой, что снижает универсальность РГ-метода. Одна из причин такого положения кроется в том, что математический объект, симметрия которого изучается в КТП, не является в той же степени формализованным, как изучаемые в групповом анализе системы уравнений, и не имеет подобного аппарата для отыскания симметрий, хотя элементы группового анализа использовались на этапе становления МРГ для получения дифференциального аналога групповых уравнений, выводе уравнений типа Овсянникова-Каллана-Симанзика [41] и построения их инвариантно-групповых решений общего вида.

Для краевых задач математической физики, где применение методов современного группового анализа для исследования уравнений является не только реальным, но и естественным, возникает возможность создания такой конструкции для построения аналитических (точных и приближенных) решений краевых задач, которая объединяет в себе идеологию РГ подхода в теоретической физике с регулярными методами построения используемых при этом ренормгрупповых симметрий.

Целью работы поэтому явилось создание регулярного метода построения РГ-симметрий на основе достижений современного группового анализа, а также использование этих симметрий для нахождения последовательных аналитических приближений к решениям конкретных краевых задач математической физики.

Область применения метода охватывает все математические модели нелинейных физических процессов, которые используют дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения. Основу математического аппарата метода составляют алгоритмы современного группового анализа и стандартные методы теории возмущений.

Схематически современный этап в эволюции концепции РГ и МРГ и его объединение с методами современного группового анализа представлены на рис. 2. Начало

РГ-Симметрии в Мат. Физике -Ä

Функциональная Автомодельность -Ä

МРГ в других областях физики

-Д

Ренормгруппа Боголюбова

Современный Групповой Анализ I

Расширение вычислительного алгоритма Ли. Новые типы симметрий: приближенные, Ли-Беклунда, нелокальные, и др. I

Классический Групповой Анализ Ли

Рис. 2: Эволюция РГ концепции: от РГ Боголюбова и ФА до РГС в математической физике. этого этапа было положено в 1987 году, когда регулярный алгоритм для вычисления РГС был впервые сформулирован и применен при решении краевой задачи о взаимодействии мощного электромагнитного излучения с неоднородной плазмой [70, 71]. Последующие работы были направлены на дальнейшее развитие алгоритма построения РГС и на его практическое использование для нахождения решений конкретных краевых задач математической физики. В современном виде алгоритм построения

РГС был сформулирован в [72] (см.также [73], где приведены ссылки на последние публикации).

Научная новизна и теоретическое значение работы заключаются в следующем:

1. Создан регулярный алгоритм построения и применения симметрий ренорм-группового типа для решений краевых задач математической физики, основанных на дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Для нахождения этих симметрий алгоритм использует современные методы группового анализа и реализуется как последовательность шагов, ведущих к построению ренормгруппового многообразия, нахождению допускаемой им группы симметрий и ее последующем сужении на решении краевой задачи по теории возмущений, а также к отысканию отвечающего этим симметриям искомого аналитического решения.

2. Эффективность алгоритма доказана на примерах построения ренормгруппо-вых симметрий и нахождения с их помощью регулярных приближений к аналитическим решениям ряда краевых задач математической физики. Полученные решения представляют интерес как с методологической точки зрения в качестве примеров реализации алгоритма, так и с точки зрения практического приложения в нелинейной физике, например в теории плазмы и нелинейной оптике.

3. Продемонстрирована возможность существенного ускорения процесса отыскания РГ-симметрий и, как следствие, алгоритма в целом, при использовании методов символьных вычислений. Приведены конкретные примеры вычислений РГС с указанием характерного времени расчета при использовании пакета DIMSYM и системы компьютерной алгебры REDUCE.

Научная и практическая значимость работы заключаются в том, что разработанный алгоритм построения ренормгрупповых симметрий может быть использован для теоретического исследования краевых задач для различных математических моделей нелинейных физических процессов. Получаемые с использованием РГС аналитические решения краевых задач (как точные, так и приближенные) зачастую оказываются применимыми в более широкой области изменения переменных и параметров, чем аналогичные решения, предлагаемые другими теоретическими подходами, и дают более адекватное математическое описание исследуемых физических процессов. Рассмотренные в диссертации примеры построения и детального анализа решений для набора краевых задач из теории плазмы и нелинейной оптики являются наглядной иллюстрацией возможностей алгоритма.

Автор выносит на защиту

1. Метод построения и анализа точных и приближенных решений краевых задач математической физики с использованием ренормгрупповых симметрий.

2. Алгоритм отыскания ренормгрупповых симметрий на основе методов современного группового анализа.

3. Результаты использования алгоритма для построения точных и приближенных аналитических решений краевых задач нелинейной оптики и физики плазмы.

4. Результаты реализации алгоритма с применением методов компьютерной алгебры.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных форумах:

• Международный семинар "Современный групповой анализ", 17-22 июня 1991 г., г. Уфа, СССР.

• IX Коллоквиум "Современный групповой анализ. Методы и приложения", 2430 июня 1992 г., г. Нижний Новгород, Россия.

• XI Российский Коллоквиум "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования", 7-11 июня 1993 г., г. Самара, Россия.

• Sixth International Conference on Modern Group Analysis: Developments in Theory, Computation and Application. January 15-20, 1996, Johannesburg, South Africa.

• MOGRAN - 2000, "Modern group analysis for the new millennium", September 27 - October 3, 2000, Ufa, Russia.

• International conference "100 Years after Sophus Lie", July 8-9, 1999, Leipzig, Germany.

• Second international conference "Renormalization group'91", 3 6 September, Dubna, USSR, 1991.

• Third international conference "Renormalization group'96", August 26-31, 1996, Dubna, USSR.

• RG-2000, "Renormalization group theory at the turn of the millennium", January 11-15, 1999, Taxco, Mexico.

• International workshop "Symmetry methods in physics. In memory of professor Ya.A.Smorodinsky", July 6-10, 1993, Dubna, Russia.

• International Seminar on Nonlinear and Quantum Optics, May 23-26, 1995, Poznan', Poland.

• International conference "Symmetry in nonlinear mathematical physics", July 3-8, 1995, Kyiv, Ukraina.

• Международная конференция "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений", 14-19 ноября 1996 г., г. Орел, Россия.

• Fourth International Workshop on Software Engineering, Artificial Intelligence and Expert Systems for High Energy and Nuclear Physics, April 3-8, 1995, Pisa, Italy.

• International conference SNADE'97 "Symbolic-Numeric Analysis of Differential Equations", June 16-18, 1997, Prague, Czech Republic.

• Second Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, "CASC'99", May 31 - June 4, 1999, Munich, Germany.

• ICPP'87 "1987 International conference on plasma physics", April 6-12, 1987, Kiev, USSR.

• Международная конференция "Хохловские чтения", МГУ, 15-16 октября 1996 г., г. Москва, Россия.

• Конференция "Герценовские чтения", С.-Петербургский Педагогический Университет, г. С.-Петербург, апрель, 1994.

• Семинары Физического Института им.П.Н.Лебедева РАН, ОИЯИ Дубна, МГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации отражены в 50 опубликованных статьях и тезисах докладов на конференциях.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 214 страниц, включая 27 иллюстраций и 2 таблицы. Список литературы содержит 284 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ковалев, Владимир Федорович

Заключение

Подведем итог. Используя идеологию метода ренормализационной группы квантовой теории поля и алгоритмы современного группового анализа, в диссертационной работе сформулирован, развит и проиллюстрирован на конкретных примерах новый метод построения регулярных аналитических приближений для решений краевых задач математической физики с помощью ренормгрупповых симметрий. Метод универсален и применим к широкому кругу задач математической физики, использующих дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения. Возможность его дальнейшего развития связана с разработкой новых алгоритмов современного группового анализа, в том числе для систем, которые описываются не только дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями, а также с разработкой новых подходов к построению ренормгрупповых симметрий. Здесь можно указать на пока не реализованные варианты построения и применения РГС с использованием нелокальных и условных симметрий, построения РГС, ведущих к частично-инвариантным решениям, построение РГС для математических моделей с обобщенными функциями.

Сформулируем основные полученные в диссертации результаты:

1. Разработан регулярный алгоритм построения симметрий ренормгруппового типа для решений краевых задач математической физики, использующих дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения. Для нахождения этих симметрий алгоритм использует современные методы группового анализа и реализуется как последовательность шагов, ведущих к построению ренормгруппового многообразия, нахождению допускаемой им группы симметрий и ее последующем сужении на решении краевой задачи по теории возмущений, а также к отысканию отвечающего этим симметриям искомого аналитического решения.

2. Эффективность алгоритма доказана на примерах построения ренормгрупповых симметрий и нахождения с их помощью регулярных приближений для аналитических решений ряда краевых задач математической физики. Полученные решения представляют интерес как с методологической точки зрения в качестве примеров реализации алгоритма, так и с точки зрения практического приложения в нелинейной физике, например в теории плазмы и нелинейной оптике.

3. Показана возможность значительного ускорения процесса построения ренормгрупповых симметрий при использовании методов символьных вычислений; в качестве конкретной реализации использовался пакет DIMSYM и система компьютерной алгебры REDUCE.

4. Конкретные результаты применения ренормгруппового алгоритма к анализу краевых задач нелинейной оптики и физики плазмы можно сформулировать следующим образом: а) Построены РГС краевых задач для широкого круга уравнений, объединенных общим термином "квазичаплыгинские среды", в том числе и для системы уравнений, описывающих в приближении геометрической оптики распространение мощного излучения в нелинейной среде. С помощью этих симметрий найдены новые точные и приближенные решения задачи о самофокусировке плоского (щелевого) лазерного пучка в нелинейной среде и приведены явные аналитические зависимости, характеризующие пространственную эволюцию лазерного пучка при различных распределениях его интенсивности на границе среды. б) Сравнением точных и приближенных решений краевых задач квазича-плыгинских уравнений для различных краевых данных доказана корректность использования теории приближенных симметрий для построения РГС. в) С помощью ренормгруппового подхода найдены новые решения краевой задачи для системы уравнений, описывающих в параболическом приближении самофокусировку волнового пучка. Детально описана не только структура волнового пучка вплоть до возникновения особенности решения, но и зависимость его глобальных (интегральных) характеристик от параметров, характеризующих нелинейные свойства среды и пучка на ее границе. г) Использованием групповых симметрий уравнений квазичаплыгинских сред построены новые ограниченные регулярные решения и решения вида магнитного взрыва для уравнений вихревой электронной анизотропной гидродинамики, описывающие крупномасштабные магнитные структуры в плазме с анизотропным давлением. д) При использовании РГ алгоритма решена граничная нелинейная задача о взаимодействии р-поляризованной электромагнитной волны с неоднородной плазмой. Рассчитан спектр гармоник электромагнитного поля как излучаемых в вакуум, так и локализованных в области плазменного резонанса. Найдены аналитические зависимости комплексной амплитуды излучаемой из плазмы гармоники от ее номера, ширины плазменного резонанса и угла падения электромагнитной волны на плазму во всем диапазоне изменения плотности потока взаимодействующего с плазмой излучения вплоть до значения, при котором происходит опрокидывание профиля возбуждаемых нелинейных ленгмюровских колебаний. Проведен теоретический анализ температурной зависимости коэффициента преобразования в гармоники, показано существование температурных осцилляций этого коэффициента и вычислен их период. е) Сформулирован и продемонстрирован на примере системы уравнений Власова-Максвелла в кинетической теории плазмы алгоритм построения РГС для краевых задач, использующих интегро-дифференциальные уравнения. Этот алгоритм применен к начальной задаче о динамике плазменного сгустка с заданными в начальный момент функциями распределения частиц. Получены новые точные решения задачи в квазинейтральном приближении, которые характеризуют эволюцию функций распределения частиц каждого сорта, их плотности и потенциала электрического поля в плазме. Построены новые приближенные решения, описывающие динамику частиц плазмы при нарушении условия квазинейтральности.

В заключение я хочу выразить свою глубокую благодарность профессору Д.В. Шир-кову и профессору Н.Х. Ибрагимову за творческое сотрудничество, внимание и поддержку работы на всех ее этапах.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ковалев, Владимир Федорович, 2001 год

1. Самарский, A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР, 1979, № 5, С. 38-49.

2. Самарский, A.A. Теория разностных схем, М.: Наука, 1989.

3. Lie, Sophus. Сборник трудов (Gesammelte Abhandlungen) // Leipzig-Oslo: В. G. Turbner-H. Aschehoug, 1922-1937.

4. Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений // Новосибирск: Изд-во Сиб.отд. АН СССР, 1962.

5. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений // М.: Наука, 1978.

6. Овсянников Л. В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений // Докл.АН СССР, 1958, Т.118, № 3, С. 439-442.

7. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Прикладная математика и механика, 1994, Т. 58, ВЫП. 4, С. 30-55.

8. Овсянников Л. В., Чупахин А. П. Регулярные частично-инвариантные решения // Прикладная математика и механика, 1996, Т. 60, ВЫП. 6, С. 990-999.

9. Ибрагимов Н.Х., Андерсон Р. Л. Группы касательных преобразований Ли-Беклунда // Докл. АН СССР, 1976, Т. 227, № 3, С. 539-542.

10. Ибрагимов H. X. К теории групп преобразований Ли-Беклунда // Мат. сборник, 1979, Т. 109, № 2, С. 229-253.

11. Виноградов А. М. Теория высших инфинитезимальных симметрий нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными // Докл. АН СССР, 1979, Т. 248, № 3, С. 274-278.

12. Olver Peter J. Applications of Lie groups to differential equations // N.-Y.: Springer-Verlag, 1986. (Русский пер.: Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям // М.: Мир, 1989).

13. Ибрагимов Н.Х. Тождество Нётер //в сб.: Динамика сплошной среды, ВЫП.38, Новосибирск: Институт гидродинамики, 1979, С. 26-32.

14. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли-Беклунда и законы сохранения // Докл. АН СССР, 1976, Т. 230, № 1, С. 26-30.

15. Бочаров А. В., Вербовецкий А. М., Виноградов А. М. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики, под ред. А.М.Виноградова и И.С.Красильщика // М.: Изд-во Факториал. 1997, 464 С.

16. Овсянников Л. В. Регулярные и нерегулярные частично-инвариантные решения // Докл. РАН, 1995, Т. 343, № 2, С. 156-159.

17. Ахатов И. Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. X. Преобразование Беклунда и нелокальные симметрии // Докл. АН СССР, 1987, Т.297, № 1, С. 11-14.

18. Ахатов И. Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. X. Квазилокальные симметрии уравнений математической физики // в сб.: Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука, 1987, С. 22-56.

19. Ахатов И. Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов И. X. Нелокальные симметрии. Эвристический подход // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т.34, (Итоги науки и техники), М.: ВИНИТИ, 1989, С. 3-83.

20. Bluman G. W., Cole J.D. The general similarity solution of the heat equation // J. Math. Mech., 1969, V. 18, P. 1025-1042.

21. Olver P. J., Rosenau P. The construction of special solutions to partial differential equations // Phys. Letters, 1986, V. 114, № 3, P. 107-112.

22. Воробьев E. M. Частные симметрии систем дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР, 1986, Т. 287, С. 536-539.

23. Фущич В. И., Серов И. И. Условная инвариантность и точные решения Бус-синеска // Симметрия и решения уравнений математической физики. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989, С. 96-103.

24. Банков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. X. Приближенные симметрии // Ма-тем. сб., 1988, Т. 136, ВЫП. 4, С. 435-450.

25. Байков В. А., Газизов Р. К, Ибрагимов Н. X. Методы возмущений в групповом анализе // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, Т. 34, М.: ВИНИТИ, 1989, С. 85-147.

26. Дородницын В. А. Группы преобразований в сеточных пространствах // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, Т. 34. М.: ВИНИТИ, 1989, С. 149-190.

27. Hereman W. Symbolic software for the Lie symmetry analysis //in 33], P. 367-413.

28. Таранов В. Б. О симметрии одномерных высокочастотных движений бесстолк-новительной плазмы // ЖТФ, 1976, Т. 46, № 6, С. 1271-1277.

29. Григорьев Ю. Н., Мелешко С. В. Групповой анализ интегро-дифференциаль-ного уравнения Больцмана // Докл. АН СССР, 1987, Т. 297, ВЫП. 2, С. 323327.

30. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике // М.: Наука, 1983.

31. Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой механики // М.: Наука, 1990, 400 С.

32. Ibragimov N. Н. Elementary group analysis and ordinary differential equations // John Wiley & Sons, Chichester-N.Y.Weinheim-Brisbane-Singapore-Toronto, 1999, 347 P.

33. Ибрагимов H. X. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи мат. наук, 1992, Т. 47, ВЫП. 4(286), С. 83-144.

34. Ibragimov N. Н. Sophus Lie and harmony in mathematical physics, on the 150th anniversary of his birth // The Mathematical Intelligencer, 1994, V. 16(1), P. 2028.

35. Birkhoff G. Hydrodynamics, A study in Logic, Fact and Similitude // Princeton Univ. Press: 1960.

36. Меньшиков В. M. О непрерывном сопряжении инвариантных решений //в сб. Динамика сплошной среды, Новосибирск: Институт гидродинамики. 1972, Вып. X, С. 70-74.

37. Пухначев В. В. Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса, описывающие движения со свободной границей // Докл. СССР, 1972, Т. 202, № 2, С. 302305.

38. Боголюбов Н. Н. и Ширков Д. В. Приложение ренормализационной группы к улучшению формул теории возмущений // Докл. АН СССР, 1955, Т. 103, № 3, С. 391-394.

39. Ширков Д. В. Ренормгруппа Боголюбова // Успехи мат. наук, 1994, Т. 49, С. 47-64; Препринт ОИЯИ Р2-94-310, см.также hep-th/9602024.

40. Боголюбов Н. Н. и Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей, 4-е изд. // М.: Наука, 1984.

41. Stueckelberg Е. Е. С., and Petermann A. La normalisation des constantes dans la theorie des quanta // Helv. Phys. Acta, 1953, V. 22, P. 499-520 (in French).

42. Gell-Mann M. and Low F. Quantum Electrodynamics at Small Distances // Phys. Rev., 1954, V. 95, P. 1300 1312.

43. Боголюбов H. H. и Ширков Д. В. О ренормализационной группе в квантовой электродинамике, Докл. АН СССР, 1955, Т. 103, № 2, С. 203-206.

44. Овсянников Л. В. Общее решение уравнений ренормализационной группы // Докл. АН СССР, 1956, Т. 109, № 6, С. 1112-1114.

45. Боголюбов Н. Н. и Ширков Д. В. Группа мультипликативной перенормировки в КТП // ЖЭТФ, 1956, Т. 30, № 1, С. 77-86.

46. Bogoliubov N. N. and Sbirkov D. V. Charge Renormalization Group in Quantum Field Theory // Nuovo Cim., 1956, V. 3, P. 845-863.

47. Bell T.L. et a1. RG approach to noncoherent radiative transfer // Phys.Rev., 1978, V. A17, P. 1049-1057;

48. Chapline G.F. Renormalization-group approach to nonlinear radiation-transfer problems // Phys. Rev., 1980, V. A21, P. 1263-1271.

49. Chirikov В. V., Shepelyansky D.L. Chaos Border and Statistical Anomalies //in Renormalization Group, (Proceed. 1986 Dubna Conference), Eds. D.V. Shirkov, D.I. Kazakov and A.A. Vladimirov, WS, Singapore, 1988, P. 221-250.

50. Sinai Yu. G., Khanin К. M. Renormaslization group method in the theory of dynamical systems // ibid, P. 251-277.

51. Васильев A. H. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике // С.-Петербург: изд-во Петербургского института ядерной физики, 1998, 773 С.

52. Ширков Д. В. Ренормализационная группа, принцип инвариантности и функциональная автомодельность // Докл. АН СССР, 1982, Т. 263, № 1, С. 64-67.

53. Ширков Д. В. Ренормгруппа и функциональная автомодельность в различных областях физики // ТМФ, 1984, Т. 60(2), С. 218-223.

54. Shirkov D.V. Renormalization group in modern physics // Int. J. Mod. Phys., 1988, V. A3, P. 1321-1341 (см. также Ренормгруппа в современной физике // в сб.:"Ренормгруппа-86", (труды конференции, Дубна), изд.ОИЯИ, Д2-86-123, 1987, С. 9-23).

55. Barenblatt G.I. Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics // Cambridge Univ. Press, 1996.

56. Shirkov D. V. Several topics on renorm-group theory //in Renormalization group '91, (Proc. of Second Intern. Conf., Sept. 1991, Dubna, USSR), Eds. D.V.Shirkov & V.B.Priezzhev, WS, Singapore, 1992, P. 1-10.

57. Мнацаканян M. А. Нелинейные задачи теории переноса и ренормализационная группа // Докл. АН СССР, 1982, Т. 262, С. 856-859.

58. Goldenfeld N., Martin О., and Ооло Y. Intermediate Asymptotics and Renormalization Group Theory //J. Sci. Comput, 1989, V. 4, P. 355-372.

59. Goldenfeld N., Martin 0., Oono Y., and Lui F. Anomalous Dimensions and the renormalization group in a Nonlinear Diffusion Process // Phys. Rev. Lett., 1990, V. 64, P. 1361-1364.

60. Chen L.-Y., Goldenfeld N., and Oono Y. The Renormalization group and singular perturbations: multiple-scales, boundary layers and reductive perturbation theory // Phys. Rev., 1996, V. E 54, № 1, P. 376-394.

61. Kunihiro T. A geometrical formulation of the renormalization group method for global analysis // Progr. Theor. Phys., 1995, V. 94, № 4, P. 503-514.

62. Bricmont J. and Kupiainen A. RG and the Ginzburg-Landau Equation // Comm. Math. Physics, 1992, V. 150, P. 193-203.

63. Bricmont J., Kupiainen A. and Lin G. RG and Asymptotics of solutions of nonlinear parabolic equations // Comm. Pure Appl. Math., 1994, V. 47, P. 893-922.

64. Bricmont J., Kupiainen A. and Xin J. Global Large Time Self-similarity of a thermal-diffusive combustion system with critical nonlinearity //J. Diff. Eqs, 1996, V. 130, P. 9-35.

65. Бланк В. 3., Бонч-Бруевич В. JI., Ширков Д. В. Замечание к группе мультипликативной перенормировки в квантовой теории поля // ЖЭТФ, 1957, Т. 33, ВЫП. 1(7), С. 265-266.

66. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Сильная нелинейность и генерация высших гармоник в неоднородной плазме // Препринт ФИ АН СССР, № 78, 1987, 40 С.

67. Kovalev V.F., Pustovalov V. У., and Shirkov D.V. Group analysis and renorm-group symmetries // J. Math. Phys., 1998, V. 39, № 2, P. 1170-1188.

68. Shirkov D. V., Kovalev V. F. BOGOLIUBOV Renormalization Group and Symmetry of Solution in Mathematical Physics // Препринт ОИЯИ E2-2000-9, Дубна, 2000; hep-th/0001210.

69. Боголюбов H. H., Парасюк О. С. К теории умножения причинных сингулярных функций // Докл. АН СССР, 1955, Т. 100, № 1, С. 25-28;

70. О вычитательном формализме при умножении причинных сингулярных функций, 1955, Т. 100, № 3, С. 429-432.

71. Ширков Д. В. Двухзарядная ренормализационная группа в псевдоскалярной мезонной теории // Докл. АН СССР, 1955, Т. 105, № 5, С. 972-975.

72. Callan С. Broken scale invariance in scalar field theory // Phys. Rev., 1970, V. D2, P. 1541-1547;

73. Symanzik K. Small distance behaviour in field theory and power counting // Comm. Math. Phys., 1970, V. 18, P. 227-246.

74. Соловцов И. Л., Ширков Д. В. Аналитический подход в квантовой хромодина-мике // ТМФ, 1999, Т. 120(3), С. 482-510.

75. Ковалев В.Ф., Кривенко С. В., Пустовалов В. В. О ренормгруппе в групповом анализе дифференциальных уравнений // Межд. семинар "Современный групповой анализ", Уфа, 17-22 июля, 1991, Тезисы докладов, С. 19-21.

76. Ковалев В. Ф., Кривенко С. В., Пустовалов В. В. Ренормгрупповой подход в групповом анализе дифференциальных уравнений // Препринт ФИ АН СССР им. П.Н.Лебедева, № 152, 1991, 57 С.

77. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В., Ширков Д. В. Групповой анализ и ренорм-группа // Сообщение ОИЯИ, 1995, Р5-95-447, 33 С.

78. Kovalev V. F. RG-symmetries: constructing and applications // in: Third International Conference "Renormalization group'96", August 26-31, 1996, Dubna, Editors D.V.Shirkov, D.I.Kazakov, V.B.Priezzhev, Dubna, 1997, P. 263-276.

79. Ковалев В. Ф., Ширков Д. В. Функциональная автомодельность и ренормгруп-повая симметрия в математической физике // ТМФ, 1999, Т. 121, № 1, С. 66-88; math-ph/0001056.

80. Амбарцумян В. А. О рассеянии света атмосферами планет // Астр, журнал, 1942, Т. 19(5), С. 30; см. также Научные труды, Т. 1, 1960, Изд-во АН Армянской ССР.

81. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, (издлпестое) // М.: ГИТТЛ, 1953, 468 С.

82. Касти Дж., Калаба Р. Методы погружения в прикладной математике // пер. с англ. С.П.Чеботарева, М.: Мир, 1974.

83. Велман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных // М.: Мир, 1974.

84. Кляцкин В. И. Методы погружения в теории распространения волн // М.: Наука, 1986.

85. Сидоров А.Ф., Шапеев В. П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике // Новосибирск: Наука, 1984, 272 С.

86. Седов JI. И. Методы подобия и размерности в механике // М.: Наука, 1981.

87. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Ренормгрупповой подход к построению решения уравнения Бюргерса // Межд. семинар "Современный групповой анализ", Уфа, 17-22 июля, 1991, Тезисы докладов, С. 21-23.

88. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Функциональная автомодельность точного решения уравнения Бюргерса // Препринт ФИ АН СССР им. П.Н.Лебедева, № 116, 1991, 29 С.

89. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Восьмимерная алгебра Ли ренормгруппы, допускаемой начальной задачей для уравнения Бюргерса // Препринт ФИ АН СССР им. П.Н.Лебедева, № 53, 1992, 14 С.

90. Kovalev У. F., Pustovalov V. V. Lie algebra of renormalization group admitted by initial value problem for Burgers equation // Lie Group and their Applications, 1994, V. 1, № 2, P. 104-120.

91. Ахманов С. А., Сухоруков А. П., Хохлов Р. В. О самофокусировке и самоканализации интенсивных световых пучков в нелинейной среде // ЖЭТФ, 1966, Т.50, № 6, С. 1537-1549.

92. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В., Сенатов С. И. Симметрия Ли-Беклунда уравнений геометрической оптики // Дифференциальные уравнения, 1993, Т. 29, № 10, С. 1751-1764.

93. Kovalev V. F., Pustovalov V. V. Group and renormgroup symmetry of a simple model for nonlinear phenomena in optics, gas dynamics and plasma theory // Mathl. Comput. Modelling, 1997, V. 25, P. 165-179.

94. Kovalev V. F., Krivenko S. V. and Pustovalov V. V. Lie symmetry and a group on a solution of a boundary-value problem // P.N.Lebedev Physical Institute, preprint № 13, 1995, 22 P.

95. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Уравнения квазичаплыгинских сред: теоретико-групповая точка зрения // Препринт ИММ РАН, 1994, № 14, 27 С.

96. Kovalev V.F., Pustovalov V. V., Senashov S.I. Lie-Backlund symmetry of the elliptic type system of two quasilinear equations // P.N.Lebedev Physical Institute, Preprint № 56, 1992, 30 P.

97. Kovalev V.F., Shirkov D. V. Renormalization group in mathematical physics and some problems of laser optics // Journal of Nonlinear Optical Physics & Materials, 1997, V. 6, P. 443-454.

98. Ковалев В. Ф. Ренормгрупповые симметрии в задачах нелинейной геометрической оптики // ТМФ, 1997, Т. 111, С. 369-388.

99. Kovalev V. F. Approximate Transformation Groups and Renormgroup Symmetries // Nonlinear Dynamics, 2000, V. 22, P. 73-83.

100. Ковалев В. Ф. Ренормгруппой анализ сингулярности в задаче о самофокусировке волнового пучка // ТМФ, 1999, Т. 119(3), С. 405-418.

101. Kovalev V.F., Bychenkov V.Yu., Tikhonch.uk V.T. Renormalization-group approach to the problem of light-beam self-focusing // Phys. Rev. A, 2000, V. 61(3), P. 033809(1-10).

102. Ковалев В. Ф., Выченков В. Ю., Пустовалов В. В. О новых решениях длинноволновой ВЭАГ вейбелевской плазмы // Физика плазмы, 1997, Т. 22, № 12, С. 1101-1106.

103. Силин В. П., Рухадзе A.A. Электромагнитные свойства плазмы и плазмопо-добных сред // М.: Госатомиздат, 1961.

104. Ibragimov N.H., Torrisi M. Equivalence groups for balance equations // J. Math. Phys., 1994, V. 184, № 3, 1994, P. 441-452.

105. Уизем Д. Линейные и нелинейные волны // М.: Мир, 1977, С.523.

106. Пустовалов В. В., Шварев А. К. Групповой и ренормгрупповой анализ уравнений нелинейной геометрической оптики. 1. Симметрии Ли. // Препринт ФИ РАН № 15, 1994, 87 С.

107. Reid G. J. Finding abstract Lie symmetry algebras of differential equations without integrating determining equations // Euro. J. Appl. Math., 1991, V. 2, P. 319-332.

108. Topunov V.L. Reducing systems of linear differential equations to a passive form // Acta Appl. Mathem., 1989, V. 16, P. 191-199.

109. Мешков А. Г., Михаляев Б. Б. Уравнения газовой динамики, допускающие бесконечной число симметрий // ТМФ, 1987, Т. 72, № 2, С. 163-171.

110. Михаляев Б. Б. Симметрии и точные решения некоторых уравнений механики сплошных сред. Кандидатская диссертация // Калмыцкий государственный университет, Элиста, 1990.

111. Андреев В. К., Родионов А. А. Групповой анализ уравнений плоских течений идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Докл. АН СССР, 1988, Т. 298, № 6, С. 1358-1361.

112. Банков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром // Препринт ИПМ АН СССР, № 150, М., 1987.

113. Sherring J. DIMSYM: symmetry determination and linear differential equations package // LaTrobe University Mathematics Department Research Report 1993, Melbourne, Australia;

114. Sherring J., Head A. K. and Prince G.E. DIMSYM and LIE: symmetry determination packages // this issue.

115. Шварцбург А. Б. Нестационарное распространение локализованных волновых полей в нелинейной диспергирующей среде // в кн. "Нелинейные электромагнитные волны" (под ред. П.Усленги), М.: Мир, 1983, Гл.6.

116. Таланов В. И. О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах // Письма в ЖЭТФ, 1965, Т. 2, ВЫП. 5, С. 218-222.

117. Дышко А. Л., Луговой В. Я., Прохоров А. М. Самофокусировка интенсивных световых пучков // Письма в ЖЭТФ, 1967, Т. 6, ВЫП. 5, С. 655-657.

118. Луговой В. Н., Прохоров А. М. Теория распространения мощного лазерного излучения в нелинейной среде // УФН, 1973, Т. 111, ВЫП. 2, С. 203-247.

119. Sprangle P., Esaxey E., Krall J., and Joyce G. Propagation and guiding of intense laser pulses in plasmas // Phys. Rev. Lett., 1992, V. 69, P. 2200-2203.

120. Bulanov S. V., Pegoraro F., and Pukhov A.M. Two-dimensional regimes of self-focusing, wake field generation, and induced focusing of a short intense laser pulse in an underdense plasma // Phys. Rev. Lett., 1995, V. 74, P. 710-713.

121. Mora P. and Antonsen Т. ill, Jr. Electron cavitation and acceleration in the wake of an ultra-intense self-focused laser pulse // Phys. Rev. E, 1996, V. 53, P. 2068-2071.

122. Захаров В. E., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солито-нов: Метод обратной задачи // М.: Наука, 1980, С. 85.

123. Власов С. Н., Таланов В. И. Самофокусировка волн // ИПФ РАН, Нижний Новгород, 1997, 220 С.

124. Андреев В. А. Метод обратной задачи в уравнениях квантовой оптики. II. Сингулярные и радиационные решения // Труды Физического института им. П.Н.Лебедева, 1991, Т. 211, С. 3.

125. Beige L. Wave collapse in Physics: Principles and applications to light and plasma waves // Physics reports, 1998, V. 303, № 5-6, P. 260-370.

126. Захаров B.E., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ, 1971, Т. 61, № 1(7), С. 118-134.

127. Власов С.Н., Петрищев В. А., Таланов В. И. Усредненное описание волновых пучков в линейных и нелинейных средах (метод моментов) // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1971, Т. 14, № 9, С. 1353-1363.

128. Anderson D. and Bonnedal М. Variational approach to nonlinear self-focusing of Gaussian laser beams // Phys. Fluids, 1979, V. 22(1), P. 105-109.

129. Захаров B.E., Манаков С. В. Асимптотическое поведение нелинейных волновых систем, интегрируемых методом обратной задачи // ЖЭТФ, 1976, Т. 71, № 1, С.203-215.

130. Enns R.H. and Rangnekar S.S. Radiation solution of the nonlinear Shrodinger equation // Canad.J.of Physics, 1985, V. 63, № 5, P.632-641.

131. Елеонский В. M., Силин В. П. Теория волн, близких к точным решениям нелинейной электродинамики и оптики //1. ЖЭТФ, 1969, Т. 56, ВЫП.2, С. 574-591; II. ЖЭТФ, 1969, Т. 57, ВЫП.2(8), С. 478-488.

132. Мах С.Е. Strong self-focusing due to the ponderomotive force in plasmas // Phys. Fluids, 1976, V. 19, P. 74-77.

133. Francisco J.L., Lippmann В., Tappert F. Self-trapped laser beams in plasma // Phys. Fluids, 1977, V. 20, P. 1176-1179.

134. Wood D. Self-focusing singularity in the nonlinear Shrodinger equation // Stud. Appl. Math., 1984, V. 71, № 2, P. 103-115.

135. Rypdal K., Rasmussen J. J., Tbomsen K. Similarity structure of wave collapse// Physca D, 1985, V. 16, P. 339-357.

136. Виноградова M.B., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн // М., Наука, 1979, 373 С.

137. Янкаускас 3. К. Радиальные распределения поля в сфокусировавшемся пучке // Известия ВУЗов, Радиофизика, 1966, Т. 9, С. 412-415.

138. Haus И. A. High order trapped light beam solutions // Appl. Phys. Lett., 1966, V. 8, P. 128-129.

139. Гольдберг В. П., Таланов В. И., Эрм Р. Э. Самофокусировка аксиально симметричных волновых пучков // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1967, Т. 10, С. 674-685.

140. Андреев Н. Е., Горбунов Л. М., Зыков А. И., Чижонков Е. В. Переходные нелинейные волны при пондеромоторной самофокусировке излучения в плазме // ЖЭТФ,1994, Т. 106, ВЫП. 6(12), С. 1676-1686.

141. Kosmatov N. Е., Shvets V. F., Zakharov V". Е. Computer simulation of wave collapses in the nonlinear Shrodinger equation // Physica D, Nonlinear phenomena,1991, V. 52, № 1, P. 16-35.

142. Власов С. H., Пискунова Л. В., Таланов В. И. Структура поля вблизи особенности, возникающей при самофокусировке в кубичной среде // ЖЭТФ, 1978, Т. 75, № 5(11), С. 1602-1609;

143. Власов С. Н., Таланов В. И. Распределенный волновой коллапс в модели нелинейного уравнения Шредингера // в сб. "Нелинейные волны: динамика и эволюция", М.: Наука, 1989, с.218-227.

144. Berkshire F.H., Gibbon J.D. Collapse in the n—dimensional nonlinear Shrodinger equation // Stud. Appl. Math., 1983, V. 69, P. 229-262.

145. Rypdal K., Rasmussen J. J. Blow up in nonlinear Shrodinger equations, I,II // Phys. Scr., 1986, V. 33, P. 481-504.

146. LeMesurier B.J., Papanicolaou G.C., Sulem C., and Sulem P.L. Local structure of the self-focusing singularity of the nonlinear Shrodinger equation // Physica D, Nonlinear phenomena, 1988, V. 32, P. 210-226.

147. Фрайман Г. M. Асимптотическая устойчивость многообразия автомодельных решений при самофокусировке // ЖЭТФ, 1985, Т. 88(2), С. 390-400.

148. Malkin V. М. Dynamics of wave collapse in the critical case // Phys. Lett. A, 1990, V. 151, № 6,7, P. 285-288.

149. Berge L. and Pesme D. Time dependent solutions of wave collapse // Phys. Lett. A,1992, V. 166, P. 116-122.

150. Таланов В. И. Автомодельные волновые пучки в нелинейном диэлектрике // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1966, Т. 9, № 2, С. 410-415.

151. Kaw P., Schmidt G., and Wilcox Т. Filamentation and trapping of electromagnetic radiation in plasmas // Phys. Fluids, 1973, V. 16, № 9, P. 1522-1525.

152. Brantov A. V., Bychenkov V. Yu., Tikhonchuk V. Т., and Rozmus W. Nonlocal electron transport in laser heated plasmas // Phys. Plasmas, 1998, V. 5, P. 27422754.

153. Glassey R. T. On the blowing up solutions to the Cauchy problem for nonlinear Shrodinger equations //J. Math. Phys. 1977, V. 18, P. 1794-1797.

154. Выченков В. Ю., Романов А. Ю., Силин В. П., Тихончук В. Т. Генерация электромагнитных полей в плазме, создаваемой импульсом ионизирующего излучения // Физика плазмы, 1992, Т.18, № 7, С. 869-878.

155. Corkum P. В., Burnett N. K, Brunell F. Above-threshold ionization in the long-wavelength limit // Phys. Rev. Lett., 1989, V. 62, № 11, P. 1259-1262.

156. Burnett N.H., Corkum P.B. Cold plasma production for recombination extreme-ultraviolet lasers by optical-field induced ionization //J. Opt. Soc. Am. В., 1989, V. 6, P. 1195-1199.

157. Bychenkov V. Yu., Tikhonchuk V. T. Instability and generation of electromagnetic waves in plasma produced by a short high-power laser pulse // Laser Physics, 1992, V. 2, № 4, P. 525-532.

158. Bychenkov V. Yu., Silin V. P. and Tikhonchuk V. T. Singular vortex flows in plasma with anisotropic pressure // Phys.Lett., 1989, V. A 138, № 3, P. 127-130.

159. Силин В. П. О магнитном взрыве в вейбелевской плазме // Физика плазмы, 1994, Т. 20, № 4, С. 441-446.

160. Мак-Лахлан Н.В. // Теория и приложения функций Матье, М.: Изд-во ИЛ,1953 (пер. с англ. N.W.McLachlan, Theory and applications of Mathieu Functions, Oxford, 1947).

161. Выченков В.Ю., Ковалев В. Ф., Терехин В. А., Уваров Е.В. Группы симмет-рий и инвариантные решения уравнений вихревой электронной анизотропной гидродинамики// Физика плазмы, 1999, Т. 25, № 5, С. 453-464.

162. Катков В. Л., Костюкова Н. И. Процессор КИНО. // в сб."Динамика сплошной среды", ВЫП. 1, Новосибирск, 1969, С. 48-60.

163. Hereman W. Review of Symbolic Software for Computation of Lie Symmetries of Differential Equations // Department of Mathematical and Computer Sciences, Colorado School of Mines, Golden, CO 80401, USA, Preprint No. MCS-93-01, January 1993.

164. Sherring J., Prince G. DIMSYM Symmetry determination and linear differential equations package // Department of Mathematics, La Trobe University, Melbourne, Australia, Preprint 1992.

165. Сыровой В. А. Инвариантно-групповые решения уравнений плоского стационарного пучка заряженных частиц // ПМТФ, 1962, № 4, С. 10-20.

166. Сыровой В. А. Инвариантно-групповые решения уравнений пространственного стационарного пучка заряженных частиц // ПМТФ, 1963, № 3, С. 26-35.

167. Сыровой В. А. Инвариантно-групповые решения уравнений нестационарного пучка заряженных частиц // ПМТФ, 1964, № 1, С. 3-25.

168. Жмудский А. А., Таранов В. Б. О симметрии ВЧ движений плазмы // ЖТФ, 1974, Т. 44, ВЫП. 6, С. 1133-1136.

169. Жмудский А. А., Таранов В. Б. О симметрии движений двухкомпонентной плазмы // ЖТФ, 1975, Т. 45, № 1, С. 158-161.

170. Хасанов А. И. Задача Коши для уравнений холодной плазмы // в сб. "Динамика сплошной среды. Нестационарные проблемы гидродинамики", Сиб. Отд. АН СССР, Институт гидродинамики, ВЫП. 30, 1977, С. 122-140.

171. Roberts D. J. The general Lie group and similarity solutions for the one-dimensional Vlasov-Maxwell equations // Plasma Physics, 1985, V. 33, Pt. 2, P. 219-236.

172. Abraham-Shrauner R. Lie transformation group solutions nonlinear one-dimensional Vlasov equation //J. Math. Phys., 1985, V. 26, № 6, P. 1428-1435.

173. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Функциональная автомодельность в одной из задач теории плазмы с электронной нелинейностью // ТМФ, 1989, Т. 81, №1(10), С. 69-85.

174. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Группа симметрии нелинейных одномерных уравнений электронной плазмы // сб. Краткие сообщения по физике ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева, 1991, № 2, С. 29-32.

175. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Функциональная автомодельность в нелинейной теории плазмы // сб. Краткие сообщения по физике ФИ АН СССР им. П.Н.Лебедева, 1989, № 3, С. 41-43.

176. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Спектральный состав излучения гармоник неоднородной плазмой в поле сильнонелинейной волны // Физика плазмы, 1989, Т. 15, № 5, С. 563-568.

177. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Сильнонелинейная генерация гармоник излучения лазерной плазмой // Физика плазмы, 1989, Т. 15, № 1, С. 47-54.

178. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Генерация гармоник горячей лазерной плазмой при укручении профиля возбуждаемой ленгмюровской волны // Препринт ФИ АН СССР, № 56, 1988, 35 С.

179. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Температурные осцилляции гармоник излучения, генерируемых лазерной плазмой // Квантовая электроника, 1989, Т. 16, № 11, С. 2261-2266.

180. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Лазерный поток опрокидывания плазменных волн // Квантовая электроника, 1988, Т. 15, № 4, С. 726-731.

181. Ковалев В. Ф., Кривенко С. В., Пустовалов В. В. Группа симметрии уравнений кинетики плазмы без соударений // Письма в ЖЭТФ, 1992, Т. 55, № 4, С. 256259.

182. Ковалев В. Ф., Кривенко С. В., Пустовалов В. В. Симметрия Ли кинетического уравнения Власова. 1. Электронный газ. Одномерное нерелятивистское приближение // Препринт ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева, № 62, 1992, 68 С.

183. Электронный газ. Одномерное релятивистское приближение // Препринт ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева, № 58, 1993, 29 С.

184. Ковалев В. Ф., Кривенко С. В., Пустовалов В. В. Симметрия Ли кинетического уравнения Власова // Доклад на IX Коллоквиуме "Современный групповой анализ. Методы и приложения", Нижний Новгород, Июнь, 24-30, 1992, Тезисы докладов, С. 28.

185. Ковалев В. Ф., Кривенко С. В., Пустовалов В. В. Решение нелокальных определяющих уравнений в групповом анализе кинетического уравнения Власова // сб. Краткие сообщения по физике ФИ АН им. П.Н.Лебедева, 1993, № 3-4, С. 2733.

186. Ковалев В.Ф., Кривенко С. В., Пустовалов B.B. Групповой анализ кинетического уравнения Власова, I. // Дифференциальные уравнения, 1993, Т. 29, № 10, С. 1804-1817.

187. Ковалев В. Ф., Кривенко С. В., Пустовалов В. В. Групповой анализ кинетического уравнения Власова, II.// Дифференциальные уравнения, 1993, Т. 29, № 11, С. 1971-1983.

188. Ковалев В. Ф., Быченков В.Ю., Тихончук В. Т. Ускорение ионов при адиабатическом разлете плазмы: ренормгрупповой подход // Письма в ЖЭТФ, 2001, Т. 74, № 1, С. 12-16.

189. Caruso A., DeAngelis A., Gatti G., Gratton R., Martellucci S. Second harmonic generation in laser produced plasmas // Phys. Letters, 1970, V. 33A, P. 29-30.

190. Baldis H. A., Pepin H., Grek B. Third harmonic generation from laser-produced plasma // Appl. Phys. Letters, 1975, V. 27, № 5, P. 291-292.

191. Burnett N.H., Baldis H.A., Richardson M. C., Enright G.D. Harmonic generation in C02 laser target interaction // Appl.Phys.Letters, 1977, V. 31, № 3, P. 172-174.

192. McLean E.A., Stamper J. A., Ripin B.H., Griem H.R., McMahon J.M., Bodner S. E. Harmonic generation in Nd: laser-produced plasmas // Appl. Phys. Letters, 1977, V. 31, P. 825-827.

193. Carman R. L., Phodes С. K., Benjamin R. F. Observation of harmonics in the visible and ulraviolet created in C02-laser-produced plasmas // Phys. Rev. A, 1981, V. 24, № 5, P. 2649-2662.

194. Ерохин H. С., Захаров В. К., Моисеев С. С. Генерация второй гармоники в изотропной неоднородной плазме // ЖЭТФ, 1969, Т. 56, № 1, С. 179-185.

195. Владимирский А. В., Силин В. П., Стародуб А. Н. Генерация третьей гармоники излучения в неоднородной плазме // сб. Краткие сообщения по физике ФИ АН, 1978, № 12, С. 34-37.

196. Владимирский А. Б., Силин В. П. Теория генерации высших гармоник в неоднородной плазме // Физика плазмы, 1980, Т. 6, № 2, С. 354-362.

197. Троценко Н. П. Сильно нелинейная теория плазмы без столкновений на основе нелинейных диэлектрических проницаемостей: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М., 1983. 184 С.

198. Erokhin N. S., Moiseev S. S., Mukhin V. V. Theory of second harmonic generation in inhomogeneous hot plasma // Nucl. Fusion, 1974, V. 14, № 3, P. 333-339.

199. Пустовалов В. В., Троценко Н. П. Теория генерации третьей гармоники в горячей лазерной плазме // Препринт ФИАН, М., 1988, № 55.

200. Ахиезер А. И., Любарский Г. Я. К нелинейной теории колебания электронной плазмы // Докл. АН СССР, 1951, Т. 80, С. 193-195.

201. Dawson J.M. Nonlinear electron oscillations in a cold plasma // Phys. Rev., 1959, V. 113, № 2, P. 383-387.

202. Coffey T. P. Breaking of large amplitude plasma oscillations // Phys. Fluids, 1971, V. 14, № 7, P. 1402-1410.

203. Буланов С. В., Коврижных Л. М. О максимальной амплитуде ВЧ поля в области плазменного резонанса // Физика плазмы, 1976, Т. 2, № 1, С. 105-112.

204. Koch. P., Albritton J. Electron and ion heating through resonant plasma oscillations // Phys. Rev. Letters, 1974, V. 32, № 25, P. 1420-1423.

205. Буланов С. В., Коврижных Л. M., Сахаров А. С. Ленгмюровские колебания конечной амплитуды в области плазменного резонанса // ЖЭТФ, 1977, Т. 72, № 5, С. 1869-1873.

206. Friedberg J. P., Mitchell R. W., Morse R. L., Rudsinski L. I. Resonant absorption of laser light by plasma targets // Phys.Rev.Letters, 1982, V. 28, P. 795-799.

207. Kruer W. L. Wave-breaking amplitudes in warm, inhomogeneous plasma // Phys.Fluids, 1979, V. 22, № 25, P. 1111-1114.

208. Исиченко M. Б., Яньков В. В. Генерация высоких гармоник лазерного излучения в плазме при опрокидывании электронных потоков // ЖЭТФ, 1984, Т. 87, № 6(12), С. 1914-1924.

209. Albritton J., Koch P. Cold plasma wave-breaking: production of energetic electrons // Phys. Fluids, 1975, V. 18, № 9, P. 1136-1139.

210. Денисов Н.Г. Об одной особенности поля электромагнитной волны, распространяющейся в неоднородной плазме // ЖЭТФ, 1957, Т. 31, № 4, С. 609-619.

211. Andreev N. Е., Auer G., Baumgartel К, Sauer К. Temperature effects on harmonic generation in laser-irradiated plasmas // Phys. Fluids, 1981, V. 24, № 8, P. 14921498.

212. Афанасьев Ю. В., Басов H. Г., Крохин О. Я., Пустовалов В. В., Силин В. П., Склизков Г. В., Тихончук В. Т., Шиканов А. С. Взаимодействие мощного лазерного излучения с плазмой // М.: ВИНИТИ, 1978.

213. Бойко В. А. Рентгеновская спектроскопия лазерной плазмы. Т. 1 // Докторская дисс. ФИ АН, М.: 1977, С. 37 и С. 205.

214. Бойко В. А., Крохин О. Н., Склизков Г. В. Исследование параметров и динамики лазерной плазмы при острой фокусировке излучения на твердую мишень // Труды ФИ АН СССР, 1974, Т. 76, С. 186-228.

215. Green Т. S. Ionization in a laser produced plasma // Phys. Letters, 1970, V.32A, № 7, P. 530-531.

216. Власов А. А. О вибрационных свойствах электронного газа // ЖЭТФ, 1938, Т. 8, № 3, С. 291-317; УФН, 1967, Т. 93, № 3, С. 444-470.

217. Гуревич А. В., Парийская Л. В., Питаевский Л. П. Автомодельное движение разреженной плазмы // ЖЭТФ, 1965, Т. 49, № 2(8), С. 649-654.

218. Mora P., Pellat R. Self-similiar expansion of a plasma into a vacuum // Phys. Fluids, 1979, T. 22(12), P. 2300-2304.

219. Wickens L. ill, Allen J. E., Rumsby P. T. Ion emission from laser produced plasma with two electron temperatures // Phys. Rev. Lett., 1978, V. 41(4), P. 243-246.

220. Bezzerides В., Forslund D. W., Lindman E.L. Existence of rarefaction shocks in a laser-plasma corona // Phys. Fluids, 1978, V. 21(12), P. 2179-2185.

221. Gurevich A., Anderson D., Wilhelmsson H. Ion acceleration in an expanding rarefied plasma with non-maxwellian electrons // Phys. Rev. Lett., 1979, V. 42(12), P. 769-772.

222. Гуревич А. В., Мещеркин А. П. Ускорение ионов в расширяющейся плазме // ЖЭТФ, 1981, Т. 80(5), С. 1810-1826.

223. Гуревич А. В., Мещеркин А. П. Ускорение ионов при сферическом расширении плазмы // Физика плазмы, 1983, Т. 9, № 5, С. 955-963.

224. Гуревич А. В., Мещеркин А. Л. Сильный разрыв на фронте волны разрежения в плазме // ЖЭТФ, 1981, Т. 81, № 4(10), С. 1295-1306.

225. El-Zein Y., Amin A., Kim H.S. et.al. Expansion of negative ion plasma into vacuum // Phys. Plasmas, 1995, V. 2(4), P. 1073-1076.

226. Ditmire Т., Zweiback J., V.P.Yanovsky, Cowan Т.Е., Hays G., Wharton K.B. Nuclear fusion from explosions of femtosecond laser-heated deuterium clusters // Nature (London) 1999, V. 398, P. 489-492.

227. Zweiback J., Smith R.A., Cowan Т.Е., Hays G., Wharton K.B., Yanovsky V. P. Nuclear fusion driven by Coulomb explosions of large deuterium clusters // Phys. Rev. Lett., 2000, V. 84, P. 2634-2637.

228. Rosmej F.B., Hoffmann D.H.H., Suess W., et al. Observation of Mev-ions in long large scale laser produced plasmas // Pis'ma v ZhETF, 1999, V. 70, № 4, P. 262267.

229. Hicks D. G.et al. Observations of fast protons above 1 MeV produced in direct-drive laser-fusion experiments // Phys. Plasmas, 2001, V. 8, P. 606-610.

230. Gitomer S.J.et al. Fast ions and hot electrons in the laser-plasma interaction // Phys. Fluids, 1986, V. 29, P. 2679-2688.

231. Springate E. et al. Explosion of atomic clusters irradiated by high-intensity laser pulses: Scaling of ion energies with cluster and laser parameters // Phys. Rev. A, 2000, V. 61, P. 063201(1-7).

232. Sack Ch., ShameI H. Plasma expansion into vacuum a hydrodynamic approach // Physics Reports, 1999, V. 156(6), P. 311-395.

233. Manfredi G., Mola S., Feix M.R. Rescaling methods and plasma expansion into vacuum // Phys.Fluids B, 1993, V. 5(2), P. 388-401.

234. Garcia L. G., Goedert J., Figua H. et al. Numerical simulation of a negative ion plasma expansion into vacuum // Phys. Plasmas, 1997, V. 4(12), P. 4240 4253.

235. Dorozhkina D.S. and Semenov V.E. Exact solution of Vlasov equations for quasineutral expansion of plasma bunch into vacuum // Phys. Rev. Lett., 1998, V. 81, P. 2691-2694.

236. Дорожкина Д. С., Семенов В. E. Точное решение задачи о квазинейтральном расширении в вакуум локализованной бесстолкновительной плазмы с холодными ионами // Письма в ЖЭТФ, 1998, Т. 67, С. 543-547.

237. Дорожкина Д. С., Семенов В.Е. Точное решение задачи о квазинейтральном расширении в вакуум сгустка бесстолкновительной плазмы // Препринт № 464 ИПФ РАН, Н.Новгород, 1998, 20 С.

238. Дорожкина Д. С., Семенов В. Е. Ударные волны разрежения и коллективное ускорение ионов при расширении в вакуум плазмы с функцией распределения электронов, обогащенной энергичными частицами // Физика плазмы, 1998, Т. 24(4) С. 328-339.

239. Дорожкин а Д. С., Семенов В. Е. Расширение в вакуум ограниченного сгустка бесстолкновительной плазмы // Физика плазмы, 1998, Т. 24(6), С. 481-487.

240. Baitin А. У., Kuzanayn К. М. A self-similar solution for expansion into vacuum a collisionless plasma bunch // J. Plasma Phys., 1998, V. 59(1), P. 83-90.

241. Дорожкина Д. С., Семенов В. Е. Динамика плазменных сгустков в плавно-неоднородных внешних полях // ЖЭТФ, 1999, Т. 116, № 3(9), С. 885-901.

242. Dorozhkina D.S., Semenov V.E. Transverse dynamics of a collisionless plasma column in a homogeneous magnetic Field // Phys. Rev. E, 2000, V. 61(3), P. 30583062.

243. Таранов В. Б. О симметрии ВЧ движений плазмы (кинетическая теория) // Препринт КИЯИ-74-21, Киев, 1974.

244. Краснослободцев А. В. Газодинамические и кинетические аналогии в теории вертикально неоднородной мелкой воды // Труды Института Общей Физики АН СССР, М.: Наука, 1989, Т. 18, С. 33 71.

245. Chetverikov V. N. and Kudryavtsev A. G. A Method for Computing Symmetries and Conservation Laws of Integro-Differential Equations // Acta Appl. Math., 1995, V. 41, P. 45-56.

246. Chetverikov V. N. and Kudryavtsev A. G. Modeling Integro-Differential Equations and a Method for Computing their Symmetries and Conservation Laws // American Mathematical Society Translations, 1995, V. 167, P. 1-22.

247. Григорьев Ю.Н., Мелешко С. В. Исследование инвариантных решений нелинейного кинетического уравнения Больцмана и его моделей // Институт теоретической и прикладной механики СО АН СССР, Новосибирск, Препринт № 18-86, 1986.

248. Мелешко С. В. Классификация решений с вырожденным годографом уравнений газовой динамики и теории пластичности. Докторская диссертация.// Новосибирск, Институт теоретической и прикладной механики СО АН СССР, 1991.

249. Meleshko S. V. Application of group analysis in gas kinetics. Symmetry analysis and mathematical modelling // The International Institute for Symmetry Analysis and Mathematical Modelling, 1998, P. 45-59.

250. Grigoryev Yu. N., Meleshko S. V. Group theoretical analysis of the kinetic Boltz-mann equation and its models // Arch. Mech., 1990, V.42(6), P. 693-701.

251. Ковалев В. Ф., Кривенко С. В. Группы симметрий интегродифференциальных уравнений // Препринт ФИ им. П. Н.Лебедева РАН, № 60, Москва, 1998, 36 С.

252. Ковалев В. Ф., Пустовалов В. В. Группа преобразований в теории релятивистской плазмы // сб. Краткие сообщения по физике ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева, 1991, № 4, С. 27-30.

253. Пустовалов В. В., Силин В. П. Нелинейная теория взаимодействия волн в плазме // Труды ФИ им. П. Н.Лебедева АН СССР, 1972, Т. 61, С. 42-283.