Приближенные симметрии и решения дифференциальных уравнений с малым параметром тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Багдерина, Юлия Юрьевна

• Багдерина, Юлия Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Багдерина, Юлия Юрьевна

Введение

Глава 1. Инварианты многопараметрических приближенных групп преобразований

§1.1. Критерий инвариантности

§1.2. Полнота систем уравнений на инвариант приближенной группы

§1.3. Совместность систем уравнений на инвариант приближенной группы

Глава 2. Редукция дифференциальных уравнений с малым параметром

§2.1. Инвариантное представление уравнений с малым параметром

§2.2. Редукция дифференциальных уравнений в частных производных

§2.3. Понижение порядка обыкновенного дифференциального уравнения

§2.4. Интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений с широкой группой симметрий

Глава 3. Приближенные симметрии и решения двумерного нелинейного диффузионного уравнения с малой конвекцией

§3.1. Групповая классификация по приближенным симметриям диффузионно-конвективного уравнения

§3.2. Приближенно инвариантные решения диффузионно-конвективного уравнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенные симметрии и решения дифференциальных уравнений с малым параметром»

Несмотря на развитие ЭВМ, аналитические методы до сих пор остаются эффективным способом исследования дифференциальных уравнений, возникающих в прикладных задачах. Групповой анализ представляет собой один из таких методов, позволяющий, в частности, находить отдельные классы точных решений изучаемых дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных). Ценность точных частных решений линейных и нелинейных уравнений в частных производных состоит в том, что они позволяют судить о возможном поведении реальных физических процессов, описываемых этими уравнениями. Также они могут быть полезны при построении и обосновании численно-аналитических методов решения уравнений математической физики, могут использоваться как модельные при сравнительном анализе численных методов.

Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в 1870-90 гг. в работах С. Ли. К тому времени были развиты многочисленные частные приёмы интегрирования отдельных классов обыкновенных дифференциальных уравнений. С. Ли в своих трудах систематизировал их, используя созданную им теорию непрерывных групп преобразований [58]. Он дал классификацию всех обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка по допускаемым группам и тем самым описал всю совокупность уравнений, понижение порядка или полное интегрирование которых возможно осуществить групповыми методами.

Благодаря теоремам С. Ли о соответствии между группами и алгебрами Ли стало возможным сводить сложные нелинейные задачи к линейным. Для решения этой проблемы была создана инфинитезимальная техника исследования [30, 39, 41, 58]. Группе преобразований однозначно соответствует алгебра Ли дифференциальных операторов первого порядка. При таком переходе полностью сохраняется структура изучаемых объектов и удается получить инфинитезимальные критерии инвариантности.

Помимо интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, применение группового анализа связано с нахождением инвариантных решений уравнений в частных производных [13, 14, 28, 36, 42]. Большинство известных точных решений имело групповую природу (например, автомодельные решения), но при их отыскании методы группового анализа дифференциальных уравнений не использовались. В работах 1958-1962 гг. JI.B. Овсянников показал возможности применения допускаемых групп преобразований при построении точных частных решений и качественном анализе уравнений математической физики.

Методы классического группового анализа позволяют выделить среди всех уравнений математической физики уравнения, обладающие широкой группой симметрий, которая даёт возможность находить их решения. Однако такие уравнения, как правило, описывают реальные физические процессы лишь в первом приближении. Добавление в уравнения малого возмущения, отражающего дополнительные факторы, обычно ухудшает их групповые свойства. В качестве одного из возможных решений проблемы построения симметрий, устойчивых относительно малых возмущений дифференциальных уравнений, в работах В.А. Байкова, Р.К. Газизова и Н.Х. Ибрагимова была предложена теория приближенных групп преобразований [8]. Другой подход к решению этой проблемы разрабатывался В.И. Фущичем и его коллегами [54].

В рамках теории приближенных групп преобразований на основе теоремы Ли для приближенных групп преобразований было развито их ин-финитезимальное описание и доказан критерий приближенной инвариантности, который используется для вычисления приближенных симметрий уравнений с малым параметром [9, 11, 12, 15]. Метод поиска частных решений, аналогичный существующему в точном групповом анализе, применялся для построения примеров приближенно инвариантных решений уравнений с малым параметром [10, 11]. Для построения инвариантных решений была развита теория приближенных инвариантов: доказан инфи-нитезимальный критерий приближенной инвариантности функции, позволяющий сводить задачу нахождения инвариантов приближенных групп преобразований к решению линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с коэффициентами, зависящими от е. Доказана теорема о числе независимых инвариантов и предложена формула представления общего инварианта приближенной группы преобразований через известные инварианты [55].

Основной целью настоящей работы является построение теории приближенно инвариантных решений дифференциальных уравнений с малым параметром. А именно, получение достаточных условий полноты и совместности системы уравнений на инвариант приближенной группы, доказательство теорем об инвариантном представлении уравнений с малым параметром, о редукции числа независимых переменных системы уравнений в частных производных, о понижении порядка обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих приближенную группу симмет-рий, а также групповая классификация и построение некоторых приближенно инвариантных решений двумерного нелинейного диффузионного уравнения с малой конвекцией.

В работе используются методы классического группового анализа (такие, как представление уравнений с помощью инвариантных функций допускаемой группы, групповая классификация с применением преобразований эквивалентности уравнения) в сочетании с методами теории возмущений. Все утверждения доказываются с произвольным порядком точности по малому параметру.

Полученные теоретические и прикладные результаты являются новыми.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на девять параграфов, и заключения.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Багдерина, Юлия Юрьевна

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации

• доказательство достаточных условий полноты и совместности системы линейных уравнений в частных производных первого порядка на инвариант приближенной группы преобразований;

• доказательство теоремы о представлении уравнений с малым параметром, допускающих приближенную группу преобразований, с помощью функций инвариантов группы;

• доказательство теоремы о редукции числа независимых переменных в задаче построения решения системы уравнений в частных производных, инвариантного относительно допускаемой системой приближенной группы преобразований;

• доказательство утверждения о понижении порядка обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром, допускающего приближенную алгебру Ли, существенные операторы которой удовлетворяют условиям разрешимости;

• метод построения интегралов системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, инвариантных относительно приближенных симметрий Ли-Беклунда;

• проведение групповой классификации двумерного нелинейного диффузионного уравнения с малыми конвективными членами по допускаемым приближенным симметриям;

• примеры построения приближенно инвариантных решений диффузионного уравнения с малой конвекцией со степенным коэффициентом диффузии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Багдерина, Юлия Юрьевна, 2003 год

1. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. - М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения". - Т. 34. - С. 3-83.

2. Багдерина Ю.Ю., Газизов Р.К. Приближенные квазилокальные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности с конвекцией // Тезисы докладов междунар. конференции "Симметрия в естествознании". Красноярск: КГУ, 1998. - С. 15-16.

3. Багдерина Ю.Ю., Газизов Р.К. Приближенные квазилокальные симметрии и решения уравнений типа нелинейной диффузии с конвекцией // Межвуз. науч. сборник "Актуальные проблемы математики. Матем. методы в естествознании". Уфа: УГАТУ, 1999. С. 5 15.

4. Багдерина Ю.Ю. Приближенно инвариантные решения двумерного нелинейного диффузионного уравнения // Труды III Междунар. конференции "Средства матем. моделирования". СПб: Изд. СПбГТУ, 2001. - С. 208-211.

5. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром. М.: Препринт № 150 Института прикл. математики АН СССР, 1987. - 28 с.

6. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии // Матем. сборник. 1988. - Т. 136, вып. 4. - С. 435-450.

7. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенный групповой анализ нелинейного уравнения ии — (f(u)ux)a: + etр{и)щ = 0 // Диф. уравнения. 1988. - Т. 24, № 7. - С. 1127-1138.

8. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Методы возмущений в групповом анализе. М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения".- Т. 34. С. 85-147.

9. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные группы преобразований // Диф. уравнения. 1993. - Т. 29, № 10. - С. 17121732.

10. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // ПММ. 1952. - Т. 16, вып. 1. С. 67-78.

11. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: ИЛ, 1963. - 244 с.

12. Газизов Р.К. Алгебраические свойства приближенных симметрий уравнений с малым параметром // Межвуз. науч. сб. "Акт. проблемыматематики. Мат. методы в естествознании". Уфа: УГАТУ, 1999. -С. 66-75.

13. Гелъфанд И.М., Шилов Т.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. - 470 с.

14. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. M.-JL: ОНТИ, ГТТИ, 1934. - 360 с.

15. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства нелинейного уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях. М.: Препринт № 79 Института прикл. математики АН СССР, 1982. - 24 с.

16. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях // Диф. уравнения. 1983. - Т. 19, № 7. С. 1215 1223.

17. Дородницын В.А., Свирщевский С.Р. О группах Ли-Беклунда, допускаемых уравнением теплопроводности с источником. М.: Препринт № 101 Института прикл. математики АН СССР, 1983. 28 с.

18. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

19. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983. 280 с.

20. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. -48 с.

21. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике (к150.летию со дня рождения Софуса Ли) // УМН. 1992. - Т. 47, № 4.- С. 83-144.

22. Ибрагимов Н.Х. Семь миниатюр по групповому анализу // Диф. уравнения. 1993. - Т. 29, № 10. - С. 1739-1750.

23. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. - 576 с.

24. Кулабухова И.И., Полубаринова-Кочина П.Я. О неустановившейся фильтрации при неполной насыщенности грунта // Изв. АН СССР, сер. Механика и машиностроение. 1959. - № 2. - С. 57-63.

25. Овсянников JI.B. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118, № 3. С. 439-442.

26. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 125, № 3. С. 492-495.

27. Овсянников Я.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.- Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. 240 с.

28. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 400 с.

29. О леер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. -М.: Мир, 1989. 640 с.

30. Роде А.А. Основы учения о почвенной влаге, Т. 1. Л.: Гидрометео-издат, 1965. - 664 с.

31. Саламатин А.Н. Анализ простейших математических моделей куполовидных ледников. В сб.-"Исследования по прикл. математике". Казань, 1979. - Вып. 7. - С. 131-139.

32. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 480 с.

33. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 432 с.

34. Тонконог С.Л. Об уравнениях динамики неньютоновской жидкости, движущейся с проскальзыванием относительно ложа // Изв. вузов, сер. Математика. 1997. - № 10. - С. 67-74.

35. Тонконог С.Л., Эскин Л.Д. О некоторых симметриях и инвариантных решениях уравнения динамики неньютоновской жидкости // Изв. вузов, сер. Математика. 1998. - № 3. - С. 55-62.

36. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940. - 396 с.

37. Чугунов В.А. О групповых свойствах уравнения, описывающего течение ледников // Изв. вузов, сер. Математика. 1982. - № 10. -С. 84-87.

38. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947. - 359 с.

39. Ames W.F. Nonlinear Partial Differential Equations in Engineering. New York: Academic Press, 1972. 436 p.

40. Bagderina Yu. Yu. Number of invariants of multi-parameter approximate transformation group // Proceedings of the Int. conference "MOGRAN 2000: Modern Group Analysis for the New Millennium". Ufa: USATU, 2001. - P. 16-20.

41. Bagderina Yu. Yu. Solution of ordinary differential equations with a large Lie symmetry group // Nonlinear Dynamics. 2002. - V. 30. - P. 287294.

42. Bagderina Yu. Yu. Approximate Lie group analysis and solutions of 2D nonlinear diffusion-convection equations //J. Phys. A: Math. Gen. -2003. V. 36. - P. 753-764.

43. Bagderina Yu. Yu. Invariants of multi-parameter approximate transformation groups //J. Math. Analysis Appl. 2003. - V. 281. - P. 539-551.

44. Bagderina Yu. Yu. and Gazizov R.K. Invariant representation of equations with a small parameter / / in Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21st Century, edited by O.V.Rudenko and O.A.Sapozhnikov. Moscow: MSU, 2002. - V. 1. - P. 567-570.

45. Bluman G. W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 81. Berlin: Springer, 1989. - 412 p.

46. Cohen A. An Introduction to the Lie Theory of One-Parameter Groups, with Applications to the Solution of Differential Equations. New York: D. C., Heath & Co., 1911. - 248 p.

47. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, (N.H. Ibragimov, Ed.), Vol. 3. Boca Raton: CRC Press, 1996. - 536 p.

48. Edwards M.P. and Broadbridge P. Exact transient solutions to nonlinear diffusion-convection equations in higher dimensions //J. Phys. A: Math. Gen. 1994. V. 27. - P. 5455-5465.

49. Fokas A.S. and Yortsos Y.C. On the exactly solvable equation St — (/Зб1-!-l)~2Sx]x + ot(0S + 7)~2SX occuring in two-phase flow in porous media // SIAM J. Appl. Math. 1982. - V. 42. - P. 318-332.

50. Forsyth A.R. A Treatise on Differential Equations. New York: Dover, 1956. - 583 p.

51. Fushchich W.I. and Shtelen W.M. On approximate symmetry and approximate solutions of the non-linear wave equation with a small parameter //J. Phys. A: Math. Gen. 1989. - V. 22. - P. 887-890.

52. Gazizov R.K. Representation of General Invariants for Approximate Transformation Groups //J. Math. Analysis Appl. 1997. - V. 213. - P. 202-228.

53. Gilding B.H. and Kersner R. The characterization of reaction-convection-diffusion processes by travelling waves //J- Diff. Equations. 1996. -V. 124. - P. 27-79.

54. Ibragimov N.H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential Equations. Chichester: Joh,n Wiley, 1999. 347 p.

55. Lie S. Vorlesungen iiber Differentialgleichungen mit Bekannten Infmitesi-malen Transformationen, Bearbeitet und herausgegeben von Dr. G. Schef-fers. Leipzig: B.G. Teubner, 1891. 568 p.

56. Oron A. and Rosenau P. Some symmetries of the nonlinear heat and wave equations // Phys. Lett. A 1986. - V. 118. P. 172-176.

57. Philip J.R. and Knight J.H. Redistribution of soil water from plane, line, and point sources // Irrig. Sci. 1991. - V. 12. - P. 169-180.

58. Sophocleous C. Potential symmetries of nonlinear diffusion-convection equations // J. Phys. A: Math. Gen. 1996. - V. 29. - P. 6951-6959.

59. Stephani H. Differential Equations: Their Solution Using Symmetries. -Cambridge University Press, 1989. 260 p.

60. Yung C.M., Verburg K. and Baveye P. Group classification and symmetry reductions of the non-linear diffusion-convection equation ut = {D(u)ux)x-K'{u)ux // J. Non-Linear Mechanics 1994. - V. 29. - P. 273278.