Приближенные алгебры Ли малых размерностей, допускаемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Лукащук, Вероника Олеговна

• Лукащук, Вероника Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лукащук, Вероника Олеговна

Введение

1 Классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами

§1 Приближенная алгебра Ли.

§2 Приближенная алгебра Ли с двумя существенными векторами

§3 Приближенная алгебра Ли с тремя существенными векторами

§3.1 Шестимерная приближенная алгебра Ли.

§3.2 Пятимерная приближенная алгебра Ли.

§3.3 Четырехмерная приближенная алгебра Ли.

2 Подобие приближенных групп преобразований

§4 Реализация приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов первого порядка.

§5 Система дифференциальных уравнений для преобразования подобия.

§6 Условие полноты системы.

§7 Условие совместности системы.

§7.1 Случай линейно несвязных операторов

§7.2 Случай линейно связных операторов.

3 Классификация неподобных приближенных алгебр Ли дифференциальных операторов в К2 и инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром

§8 Реализация приближенных алгебр Ли с двумя существенными векторами.

§9 Реализация приближенных алгебр Ли с тремя существенными векторами.

§9.1 Неподобные шестимерные алгебры Ли.

§9.2 Неподобные пятимерные приближенные алгебры Ли

§9.3 Неподобные четырехмерные приближенные алгебры Ли

§10 Дифференциальные уравнения с малым параметром, допускающие приближенные алгебры Ли.

§11 Общий вид дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром с двумя существенными приближенными симметриями.

§12 Общий вид дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром с тремя существенными приближенными симметриями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенные алгебры Ли малых размерностей, допускаемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром»

Групповой, анализ дифференциальных уравнений возник в середине XIX века в работах выдающегося норвежского математика Софуса Ли. Основная цель его трудов - перенос теории Абеля-Галуа о разрешимости алгебраических уравнений на обыкновенные'дифференциальные уравнения. Исследования в этом направлении привели С. Ли к созданию теории непрерывных групп преобразований, названных впоследствии группами Ли преобразований.

Благодаря доказанным С. Ли теоремам, группам Ли могут быть поставлены в соответствие алгебраические объекты - алгебры Ли. С. Ли был предложен ряд методов, которые с использованием алгебры Ли операторов, допускаемой обыкновенным дифференциальным уравнением, позволяют понизить порядок уравнения и найти его решение. В частности, им разработан метод канонических переменных, позволяющий проинтегрировать в квадратурах обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее двумерную алгебру Ли операторов. В случае, когда такое уравнение допускает трехмерную алгебру Ли, им был предложен метод нахождения интегралов.

Построение классов дифференциальных уравнений, допускающих двух-и трехмерные алгебры Ли операторов, базируется на классификациях неизоморфных структур алгебр Ли и неподобных алгебр Ли операторов. Задача классификации неизоморфных двумерных и трехмерных алгебр Ли была решена в работах С. Ли (см., например, [19], [34]), Л. Бианки (см., например, [19]). Для алгебр Ли более высоких размерностей такая задача рассматривалась в работах Г.М. Мубаракзянова [28],[29], А.В. Аминовой [1] и их коллег. Подобие алгебр Ли операторов, а также его использование для анализа симметрийных свойств дифференциальных уравнений, рассматривалось в работах С.Ли (см., например, [19]), Л.П. Эйзенхарта [46], Л.В. Овсянникова [31], П. Винтернитца [65], Н.Х. Ибрагимова, М.К. Нучи [54], П. Лича [61],

Ф. Махомеда [63], [69], С.В. Хабирова [58] и др.

Исследование симметрий дифференциальных уравнений показало, что добавление в уравнение слагаемых с малым параметром чаще всего приводит к разрушению допускаемой им* "точной" группы преобразований. Одним из возможных способов решения этой проблемы является использование концепции- приближенных групп преобразований, предложенной в работах В.А. Байкова, Р.К. Газизова и Н.Х. Ибрагимова [3], [5], [43]. Другой подход к исследованию дифференциальных уравнений с малым параметром рассматривался в работах В.И. Фущича и его коллег [47], [37]. В этих работах под приближенной симметрией уравнения с малым параметром понимается точная симметрия системы уравнений, которая получается расщеплением исходного уравнения по степеням малого параметра в предположении, что решение разлагается в ряд по малому параметру. Дальнейшее развитие этого метода можно найти в работе [64].

В настоящее время приближенные группы преобразований стали хорошо зарекомендовавшим себя аппаратом современного группового анализа, используемым специалистами в области математической физики и механики. Так, например, в работах [35], [36], [45] проводится групповая классификация различных уравнений математической физики с малым параметром. Аналог теоремы Нетер для приближенных симметрий, используемый для построения законов сохранения, был получен в работе [4]. Вариационная формулировка законов сохранения с использованием приближенных симметрий приведена в работах [56], [55]. В работах [66], [67], [68] показано применение приближенного аналога теоремы Нетер для полученния первых интегралов и приближенного решения различных уравнений математической физики. В [22], [57], [62] представлен метод вычисления условных приближенных симметрий. В работах [6], [44], [60] использована комбинация методов теории приближенных групп преобразований и метода многих масштабов для построения приближенных инвариантных решений дифференциальных уравнений. В работах [59], [21], [53] развит метод ренормгруппо-вых приближенных симметрий в краевых задачах математической физики. В работе Н.Х. Ибрагимова [52]'построен аналог метода последовательного понижения порядка для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с использованием двух приближенных симметрий. В работе Ю.Ю. Багдериной [41] доказано утверждение о понижении порядка обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром, допускающего приближенную алгебру Ли, существенные операторы которой удовлетворяют условиям разрешимости.

Данная работа посвящена построению классов дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, которые допускают приближенные алгебры Ли с двумя и тремя существенными операторами, что позволяет их приближенно интегрировать. Одновременно решаются вопросы изоморфизма и подобия приближенных групп преобразований.

Целью настоящей работы является развитие pi применение методов теории приближенных групп преобразований для построения инвариантных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром. А именно, классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами, построение реализации таких приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов первого порядка с двумя переменными и выделение представителей их неподобных классов, построение инвариантных уравнений второго порядка с малым параметром.

При решении поставленной задачи были использованы методы классического группового анализа дифференциальных уравнений, теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, а также аппарат теории приближенных групп преобразований.

В работе впервые проведена классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами, сформулированы и доказаны теоремы о подобии приближенных алгебр Ли, выполнена классификация неподобных приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными операторами в пространстве 1R2, построен общий вид обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, допускающих приближенную алгебру Ли с двумя и тремя существенными операторами. В работе используются следующие обозначения: е - малый параметр; равенство /(эс,е) = о{е) означает, что lim-'— = 0; под приближенным

0 £ равенством f ~ д понимается f(x,e) = д(х,е) + В выражениях вида - предполагается суммирование по повторяющемуся индексу. Все

UJb рассматриваемые функций! предполагаются дифференцируемыми достаточное количество раз и разложимыми в ряд по степеням е.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 12 параграфов, и заключения.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Лукащук, Вероника Олеговна

Заключение

1. Решена задача классификации приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами. Найдено семь типов неизоморфных приближенных алгебр Ли, базис которых определяется двумя существенными векторами. Приведен алгоритм нахождения неизоморфных приближенных алгебр Ли, который был использован для классификации шести-, пяти- и четырехмерных приближенных алгебр с тремя существенными векторами. В результате получено 36 типов шестимерных, 24 типа пятимерных и 10 типов четырехмерных неизоморфных приближенных алгебр Ли.

2. Сформулированы и доказаны теоремы о подобии приближенных алгебр Ли операторов. Доказательство теорем основано на анализе систем полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с малым параметром, для которых получены условия полноты и совместности.

3. Выполнена классификация неподобных приближенных алгебр Ли дифференциальных операторов в пространстве IR2. В случае приближенных алгебр Ли с двумя существенными операторами найдено 9 видов четырехмерных и 6 видов трехмерных неподобных алгебр Ли операторов. В случае приближенных алгебр Ли с тремя существенными операторами найдено 62 вида шестимерных, 47 видов пятимерных и 35 видов четырехмерных неподобных алгебр Ли операторов.

4. Построен общий вид обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, допускающих приближенную алгебру Ли с двумя и тремя существенными операторами. Выявлены случаи шестимерных и пятимерных приближенных алгебр Ли, которые не допускаются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, для них выписаны инвариантные уравнения третьего порядка.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лукащук, Вероника Олеговна, 2010 год

1. Аминова А.В. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий // Изд-во Янус-К: Москва. - 2003. - 619 с.

2. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные группы преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29. - №10. -С. 1712-1732.

3. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии // Матем. сборник. 1988. - Т. 136, вып. 4. - С. 435 - 450.

4. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром // Препринт №150 Института прикл. математики АН СССР. 1987. - 28 с.

5. Байков В.А., Васильев И.В., Хабибуллин Р.А. Сращивание приближенных асимпотических групп для некоторых модельных примеров // Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании. Уфа: Изд-во УГАТУ, 1999. - С. 16 - 26.

6. Газизов Р.К. Алгебраические свойства приближенных симметрий уравнений с малым параметром // Межвуз. научн. сборник. Уфа: Изд-во УГАТУ, 1999. - С. 66 - 76.

7. Газизов Р.К., Лукащук В.О. Критерий подобия приближенных групп преобразований // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Уфа: ИМВЦ, 2007. - Т. 1. - С. 58 - 59.

8. Газизов Р.К., Лукащук В.О. Классификация алгебр Ли с тремя существенными векторами / / Известия ВУЗов. Математика. Казань, 2010-№ 10. - С. 3 - 17.

9. Газизов Р.К., Лукащук В.О. Подобие приближенных групп преобразований // Сибирский математический журнал. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2010. - Т. 51, № 1. - С. 3 - 15.

10. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных // ОНТИ ГТТИ: Ленинград, Москва, 1934. 360 с.

11. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964. - 355 с.

12. Дубровин Б.А., Новиков С.А., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986. - 760 с.

13. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. - 48 с.

14. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи математических наук 1992. - Т. 47, вып. 4(286). - С. 84 - 144.

15. Ибрагимов Н.Х. Опыты группового анализа // Новое в жизни, науке,технике. Сер."Математика, кибернетика" 1991. - № 7. - 48 с.

16. Ковалев В. Ф., Ширков Д. В. Ренормгрупповые симметрии для решений нелинейных краевых задач // Успехи физических наук. 2008. - Т. 178, № 8. - С. 849 - 865.

17. Кордюкова С.А. Иерархия Кортевега-де Фриза как асимптотический предел системы Буссинеска // Теоретическая и математическая физика. 2008. - Т. 154, № 2. - С. 294 - 304.

18. Лукащук В.О. Неподобные шестимерные приближенные алгебры Ли на плоскости и инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром // Уфимский математический журнал. -Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2009. Т. 1, № 3. - С. 97 - 110.

19. Лукащук В.О. Общее решение системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с малым параметром // Вестник УГАТУ. Уфа: Изд-во УГАТУ, 2007. - Т. 9, № 3 (21). - С. 145 - 149.

20. Лукащук В.О. Подобие изоморфных приближенных групп преобразований // Мавлютовские чтения: Всероссийская молодежная научная конференция, посвященная 75-летию УГАТУ: Сборник трудов. Уфа: Изд-во УГАТУ, 2007. - Т. 5. - С. 54 - 56.

21. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли. // Известия высших учебных заведений. Математика. 1963. - № 1. - С. 114 - 123.

22. Мубаракзянов Г.М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка. // Известия высших учебных заведений. Математика. 1963. - № 3. - С. 99 - 106.

23. Овсянников Л.В. Аналитические группы. Новосибирск, 1972. - 237 с.

24. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 400 с.

25. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: СО РАН, 1966. - 240 с.

26. Поптрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. - 520 с.

27. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука, 1966. - 496 с.

28. Тонконог С.Л. Об уравнениях динамики неньютоновской жидкости, движущейся с проскальзыванием относительно ложа // Изв. вузов. Ма-тем.:Казань. 1997. - № 10. - С. 67 - 74.

29. Тонконог С.Л., Эскин Л.Д. О точности приближенных симметрий урав1 нений динамики неньютоновской жидкости и их инвариантных решениях. I // Изв. вузов. Матем.: Казань. 2003. - № 8. - С. 53 - 62.

30. Фущич В.И., Штелен В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова Думка, 1989. - 336 с.

31. Хабиров С.В. Методы теории групп Ли-Беклунда в математической физике // Диссертация на соиск. уч.ст. д.ф.-м.н. Уфа: 1990. - С. 116 -122.

32. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940. - 396 с.

33. Эйзенхарт JI.П. Непрерывные группы преобразований. М.: Иностранная литература, 1947. - С. 94- 99.

34. Bagderina Yu.Yu. Sollution of ordinary differential equation with a large Lie symmetry group // Nonlinear Dynamics. 2002. - Vol. 30. - P. 287 - 294.

35. Bagderina Yu.Yu. Number of invariants of multi-parameter approximate transformation group // Proceedings of the International Conference "MOGRAN 2000: Modern Group Analysis for the New Millennium" Ufa: USATU, 2001. - P. 16 - 20.

36. Baikov V.A., Ibragimov N.H. Continuation of Approximate Transformatior; Groups via Multiple Time Scales Method // Nonlinear Dyn. 2000. -Vol. 22, № 1. - P. 3 - 13.

37. Bokhari A.H., Kara A.H., Zaman F.D. Exact solutions of some general nonlinear wave equations in elasticity // Nonlinear Dyn. 2007. - № 48. - P. 49 - 54.

38. Eisenhart L.P. Equivalent continuous groups // Annals of Math. 1932. -ser. 2, 33. - P. 665 - 670.

39. Pushchich W.I., Shtelen W.N. On approximate symmetry and approximate solution of the non-linear wave equation with a small parameter // J.Phys.A: Math.Gen. 1989. - Vol. 22. - P. 887 - 890.

40. Gazizov R.K. Representation of general invariants for approximate transformation groups //J. Math. Anal, and Appl. 1997. - Vol. 213, № 1. - P. 202 - 228.

41. Ibragimov N.H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential Equation // John Wiley and Sons. 1999. - 348 p.

42. Ibragimov N.H., Kovalev V.F. Approximate and Renormgroup Symmetries // Higher Education Press, Beijing and Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg. 2009. - 144 p.

43. Ibragimov N.H., Nucci M.C. Integration of third order differential equastions by Lie's method equastions admitting three-dimentional Lie algebras // Lie Groups and Their Appl. 1994. - № 1. - P. 49 - 64.

44. Ibrar Hussain, Mahomed F.M., Asghar Qadir Approximate Noether symmetries of the geodesic equations for the charged-Kerr spacetime and rescaling of energy // Gen Relativ Gravit. 2009. - Vol. 41. - P. 2399 -2414.

45. Johnpillai A.G., Kara A.H. Variational Formulation of Approximate Symmetries and Conservation Laws // International Journal of Theoretical Physics. 2001. - Vol. 40, №. 8. - P. 1501 - 1509.

46. Kara A. F., Mahomed F. M., Qu Changzheng Approximate potential symmetries for partial differential equations // J.Phys. A. 2000. - Vol. 33.- P. 6601 6613.

47. Khabirov S.V. Classification of three-dimentional Lie algebras in И3 and their second-order differential invariants // Lobachevskii Journal of Mathematics : MAIK Nauka. 2010. Vol. 31, № 2. - P. 152 - 156.

48. Kovalev V.F. Approximate Transformation Groups and Renormgroup Symmetries // Nonlinear Dyn. 2000. - Vol. 22. - P. 73 - 83.

49. Kordyukova S.A. Approximate Group Analysis and Multiple Time Scales Method for the Approximate Boussinesq Equation // Nonlinear Dyn. 2006.- Vol. 46. P. 73 - 85. .

50. Leach P.G.L. Equivalence classes of second-order ordinary differential equations with only a three-dimentional Lie algebra of point symmetries and linearisation // J. of Math. An. and Appl. 2003. - Vol. 284. - P. 31 -48.

51. Mahomed F.M., Changzheng Qu. Approximate conditional symmetries for partial differential equations // J.Phys.A: Math. Gen. 2000. - Vol. 33. -P. 343 - 356.

52. Mahomed F.M., Leach P.G.L. Lie algebras associated with scalar second-order ordinary differential equations //J. Math. Phys. 1989. - Vol. 30. -P. 2770 - 2777.

53. Pakdemirli M., Yurusoy M., Dolapci I. T. Comparison of Approximate Symmetry Methods for Differential Equations // Acta Applicandae Mathematicae. 2004. - № 80. - P. 243 - 271.

54. Patera J., Winternitz P. Subalgebras of real three- and four-dimensional Lie algebras // J. Math. Phys. 1977. - Vol. 18, № 7. - P. 1449 - 1455.

55. Unal G. Periodic Solutions and Approximate Symmetries // Nonlinear Dyn.- 2000. Vol. 22. - P. Ill - 120.

56. Unal G. Approximate First Integrals of Weakly Nonlinear, Damped-Driven Oscillators with One Degree of Freedom // Nonlinear Dyn. 2001. - Vol. 26.- P. 309 329.

57. Unal G., Gorali G. Approximate First Integrals of a Galaxy Model // Nonlinear Dyn. 2002. - Vol. 28. - P. 195 - 211.

58. Waho Soh, Mahomed F.M. Reduction of order for systems of ordinary differential equations // J. Nonl. Math. Phys. 2004. - Vol. 11, № 1. -P. 13 - 20.