Приложения групп ЛИ к конструированию дивергентных форм уравнения Эйлера и моделированию в задачах ламинарного пограничного слоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Никифорова, Светлана Витальевна

• Никифорова, Светлана Витальевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никифорова, Светлана Витальевна

Введение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приложения групп ЛИ к конструированию дивергентных форм уравнения Эйлера и моделированию в задачах ламинарного пограничного слоя»

Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося норвежского математика XIX века Софуса Ли (1842-1899 г.г.) [51,52] и служил главной составной частью его важнейшего творения - теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа - вопрос о разрешимости в квадратурах обыкновенных дифференциальных уравнений - была решена самим Ли, но не нашла практического применения.

Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, который в 1958 г. опубликовал работу [40], положившую начало систематическим исследованиям в области группового анализа дифференциальных уравнений механики. В основе этой теории лежит понятие непрерывной группы преобразований, введенное Софусом Ли.

Л.В. Овсянниковым [41,42] были введены понятия инвариантных и частично-инвариантных решений и предложены простые и эффективные алгоритмы их построения. Примерами инвариантных решений являются широко использующиеся в механике стационарные, одномерные, осесимметрические, автомодельные решения. Теоретико-групповой подход создал возможность для регулярного поиска и классификации частных решений нелинейных дифференциальных уравнений и позволил построить отдельные классы точных решений дифференциальных уравнений механики и математической физики.

Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Это направление исследований получило название современного группового анализа.

Основной идеей группового анализа в области интегрирования дифференциальных уравнений является поиск так называемых непрерывных групп симметрии дифференциального уравнения, то есть непрерывных преобразований зависимых и независимых переменных, оставляющих уравнение инвариантным. Таким образом, инфинитезимальный аппарат Ли-Овсянникова является эффективным средством отыскания частных (инвариантных и частично инвариантных) решений уравнений математической физики. Этот аппарат позволяет в ряде случаев понижать порядок дифференциального уравнения с помощью операции группового расслоения. Но, тем не менее, краевые условия к фактор-системам задаются только в соответствии с уже найденными преобразованиями. Это говорит о том, что теория Ли носит локальный характер.

Что же касается механики сплошных сред, то методы теории групп Ли оказались плодотворными для отыскания решений дифференциальных уравнений в частных производных, моделирующих различные процессы в аэрогазодинамике, теории упругости, теории относительности и в других Г естественнонаучных дисциплинах.

Одним из основных инструментов построения законов сохранения физических процессов, допускающих вариационную формулировку, является первая теорема Эмми Нетер [53], которая устанавливает связь между инвариантностью вариационного интеграла относительно конечномерной группы Ли и дивергентными формами уравнения Эйлера. Эта теорема дает достаточное условие существования законов сохранения для уравнений Эйлера. Н.Х. Ибрагимов [19] дал новое доказательство этой теоремы для n-мерных интегралов на языке инфинитезимальных операторов Ли, что в сочетании с техникой группового анализа, развитого Л.В. Овсянниковым, дает возможность удобного способа построения законов сохранения. Используя понятие слабого лагранжиана, он также установил не только достаточные, но и необходимые условия существования законов сохранения уравнений Эйлера.

В первые годы развития теории пограничного слоя ученые пытались найти автомодельные решения, которые физически описывали бы некоторые частные течения. Фундаментальностью и глубиной отличаются труды А.А. Дородницына 1942-1948 гг. [16-18] по теории пограничного слоя в сжимаемом газе, определившие развитие этого раздела аэродинамики. Их идеи неразрывно связаны с природой сжимаемости и поэтому стали основой современных аналитических и численных методов расчета пограничного слоя в газе, включая самые сложные случаи с теплопередачей, излучением, протеканием равновесных и неравновесных физико-химических процессов. В работе [17] предложено преобразование переменных, которое теперь стало классическим и носит имя автора. Групповые свойства уравнений ламинарного пограничного слоя получили дальнейшее развитие в работах И.И. Пухначева [46], Ю.Н. Павловского [44,45], B.C. Каплан [22], К.Г. Гараева [1-6,8], В.Г. Павлова [6,8,13], С.А. Дербенева [12-15], В.А. Овчинникова [8,43]. С тех пор новые полученные автомодельные решения, имеющие физическую интерпретацию, автору неизвестны.

Как правило, в большинстве этих работ ограничивались отысканием группы непрерывных преобразований, допускаемой уравнениями ламинарного пограничного слоя, и построением соответствующих фактор-систем. Это позволило с единых позиций систематизировать полученные ранее различными авторами автомодельные решения.

Метод группового анализа дает возможность выделить из всего множества решений исследуемой системы дифференциальных уравнений инвариантные решения. В результате получаем совокупность фактор-систем, содержащих меньшее число независимых переменных, чем в исходной системе.

Диссертационная работа выполнена на кафедре специальной математики Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева.

Приведем краткое содержание диссертационной работы.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений. Работа изложена на 84 страницах основного текста; иллюстративный материал представлен в виде 5 графиков; приложения содержат 33 таблицы; библиография включает 53 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Никифорова, Светлана Витальевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены новые первые интегралы уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного исчисления. построена дивергентная форма уравнения Эйлера-Остроградского для вариационной задачи с двумя независимыми переменными. Задача вычисления экстремального значения функционала по области V сведена к вычислению интеграла по поверхности S, ограничивающей эту область.

3. Дано приложение однопараметрической группы К вариационной задаче с подвижным концом.

4. Исследованы групповые свойства уравнений ламинарного пограничного слоя в задаче обтекания непроницаемого цилиндрического тела сверхзвуковым потоком газа. Получены определяющие уравнения для отыскания координат инфинитезимального оператора Ли. В общем случае эти уравнения разрешить не удалось. Однако подробно рассмотрены два случая.

Случай 1. Pr = 1; Ь(т) = 1 (линейная зависимость вязкости от температуры); т = const; безразмерная скорость на внешней границе пограничного слоя подчиняется специальному дифференциальному уравнению имеет решение, отличное от классического.

Построена фактор-система, поставлена и решена соответствующая краевая задача. Получено новое автомодельное решение. Это стало возможным потому, что в качестве математической модели были взяты уравнения пограничного слоя в переменных Дородницына, которые

2. Основываясь на теории L*- инвариантности функционалов у с начальным условием а (0) = 0, которое е редуцируют исходные уравнения в уравнения, содержащие меньшее число искомых функций, нежели исходные. Использование аппарата Ли-Овсянникова позволило свести уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям, для которых формулируется соответствующая краевая задача.

Построены распределения безразмерной скорости ае(х) на внешней границе пограничного слоя и соответствующие им формы обтекаемого профиля при различных значениях параметра С* е (0;0.5].

Получены формулы для аэродинамических характеристик обтекаемого тела (касательного напряжения трения и локального теплового потока). Построены характерные графики. Случай 2. ?гф\; Ь(т) = const; г = const.

Условие инвариантности уравнений пограничного слоя относительно оператора приводит к постоянной скорости на внешней границе a - const, что соответствует случаю обтекания клина в сверхзвуковом потоке.

5. В задаче обтекания тела вращения сверхзвуковым потоком газа показано, что соответствующая фактор-система совпадает по форме с фактор-системой для случая обтекания цилиндрического тела. Получены формулы для касательного напряжения трения и локального теплового потока.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никифорова, Светлана Витальевна, 2007 год

1. Гараев К.Г. Групповые свойства уравнений нестационарного пространственного пограничного слоя несжимаемой жидкости. //Труды КАИ. Казань. - 1970. - Вып.119. - С.47-53.

2. Гараев К.Г. Замечание к теории Нетер // Изв. высш. учеб. заведений, Математика. 1989. - №5. - С. 69-71.

3. Гараев К.Г. Группы Ли и теория Нетер в проблеме управления с приложениями к оптимальным задачам пограничного слоя. Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева. 1994. 240 с.

4. Гараев К.Г. Приложения непрерывных групп преобразований к дифференциальным уравнениям. М.: Соросовский Образовательный Журнал. - 1998. - №12. - С. 113-118.

5. Гараев К.Г., Дружинин Г.В., Павлов В.Г. Анализ автомодельности и расслоение уравнений нестационарного пограничного слоя на пластине методами теории групп Ли. // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника. 1976. - №4. - С.27-30.

6. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Об управлении температурой поверхности сферы, обтекаемой высокоскоростным потоком вязкого газа. // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника. 1987.- №2. - С.22-25.

7. Гараев К.Г., Овчинников В.А., Павлов В.Г. К задаче оптимизации теплообмена в ламинарном пограничном слое сжимаемого газа. //

8. Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника . 1984.- №4. -С. 18-21.

9. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М., Л.: Физматгиз, 1961. - 228 с.

10. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. JL: Изд-во ЛГУ. 1970.568 с.

11. П.Гошек И. Аэродинамика больших скоростей. М.: Изд-во иностр. лит-ры. 1954. 546 с.

12. Дербенев С.А. Групповые свойства уравнений пограничного слоя при наличии магнитного поля и химических реакций. // Казань: Труды КАИ. 1970. - Выпуск 119.

13. Дербенев С.А., Павлов В.Г. Инвариантно-групповые свойства уравнений пограничного слоя электропроводящей жидкости при наличии магнитного поля. // Казань: Труды КАИ. 1970. - Выпуск 125.

14. Дербенев С.А. Некоторые исследования уравнений пограничного слоя. // Казань: Автореферат диссертации. -1971.

15. Дербенев С.А. Групповые свойства уравнений пограничного слоя гиперзвукового потока газа. // Казань: Труды КАИ. 1972. - Выпуск 144.-С.82-86.

16. Дородницын А.А. Пограничный слой в сжимаемом газе // Прикл. матем. и механ. 1942. Т. 6. Вып. 6. С. 449-486.

17. Дородницын А.А. Ламинарный пограничный слой в сжимаемом газе // Сб. теоретических работ по аэродинамике. М.: Оборонгиз. 1957. -С.140-173.

18. Дородницын А.А. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя. // Прикл. математика техн. физика. 1960.-№3.-С.111-118.

19. Ибрагимов Н.Х. Инвариантные вариационные задачи и их законы сохранения. Теор. и мат. физика. - 1969. - T.I, №3. - С.350-369.

20. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука.- 1983.-278 с.

21. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа // Новое в жизни, науке и технике. Сер. Математика, кибернетика. -М: Знание. 1989. - №8. -48 с.

22. Каплан B.C. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений стационарного трехмерного пограничного слоя. // Труды ЦАГИ. 1978. - Вып. 1857. - 79 с.

23. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. -Т. II. М.: Физматгиз. - 1963.

24. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. М.: Высшая школа. 1971. 630 с.

25. Ладыженская О.А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными // УМН. 1957. - Т.12, №5. - с.123-149.

26. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1979. 847 с.

27. Лю-Шень-Цюань. Расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе при наличии отсоса или вдува // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. № 5. С. 868-883.

28. Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробогатько А.А. Методы вычислений. (Численный анализ. Методы решения задач математической физики). Киев: Вища школа, 1977. 408 с.

29. Миеле А., Халд Д. Трехмерные тела минимального полного сопротивления // Теория оптимальных аэродинамических форм. -М.: Мир.-1969.-с.328-347.

30. Никифорова С.В. О существовании неклассических первых интегралов в простейшей задаче вариационного исчисления. // Казань: Материалы Всероссийской молодежной школы-конференции по математическому моделированию, алгебре и геометрии,- 1998.-С.25.

31. Никифорова С.В. Теоретико-групповой подход к исследованию одной задачи вариационного исчисления. // Казань: Вестник КГТУ. -1999.-№4.-С. 53-57.

32. Никифорова С.В. О достаточных условиях приводимости краевой задачи для уравнения Эйлера к задаче Коши. // Казань: Труды VIII Четаевской Международной конференции по аналитической механике, устойчивости и управлении движением. 2002.- С.353.

33. Никифорова С.В. О достаточных условиях сведения краевой задачи для уравнения Эйлера к задаче Коши // Казань: Вестник КГТУ. -2003.-№2.-С. 41-42.

34. Никифорова С.В. О новых фактор-системах уравнений пограничного слоя при сверхзвуковых режимах течения // Казань: Материалы Всероссийской молодежной школы-конференции по математическому моделированию, алгебре и геометрии. 2003. -С.29.

35. Никифорова С.В. О новых фактор-системах уравнений пограничного слоя при сверхзвуковых режимах течения // Казань: Вестник КГТУ. 2004. - №3. - С. 65-67.

36. Никифорова С.В. Определение формы профиля в задаче обтекания сверхзвуковым потоком газа // Труды II Всероссийской научной конференции. Самара. -2005. - Часть 2. - С. 187-189.

37. Никифорова С.В. Инвариантные решения уравнений пограничного слоя при сверхзвуковых режимах // Екатеринбург: Краткие сообщения XXV Российской школы по проблемам науки и технологий, посвященная 60-летию Победы. 2005. - С.45-47.

38. Овсянников JI.B. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений. // Доклады Академии наук СССР. -1958. Т.118, N 3. - С.439-442.

39. Овсянников J1.B. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. - 1962. - 240 с.

40. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. 400 с.

41. Овчинников В.А. Устойчивость сдвиговых течений при переменных физических свойствах жидкости. // Казань: Автореферат диссертации. 1974.

42. Павловский Ю.Н. Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного слоя. // Вычислительная математика и физика. 1961. - №2. - С. 280-294.

43. Павловский Ю.Н. Групповые свойства управляемых динамических систем и фазовые организационные структуры. I. Группы, характеризующие динамические системы. // Вычислительная математика и физика. 1971. - №4. - С. 862-872.

44. Пухначев И.И. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса в плоском случае. // Прикл.механика и техн.физика. 1960. - №1. -С.83-90.

45. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

46. Тихонов А.И., Васильев А.Б., Свешникова А.Г. Дифференциальные уравнения. -М.: Наука. 1980.

47. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.

48. Hidman P.G. Generalited coordinate farms of governing fluid equations and associated geometrically juduced errors // AIAA Journ. №5. 1983. -P.47-57.

49. Lie S., Scheffers G. Vorlesungen uber Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformations gruppen. Leipzig, 1891. -568 s.

50. Lie S., Engel F. Theorie der Transformations gruppen. Bd. 1-3. Leipzig, Teubner, 1883-1893. - 638 s., 554 s., 830 s.