Сильная асимптотика аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Христофоров, Денис Викторович

• Христофоров, Денис Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Христофоров, Денис Викторович

Введение

1 Равномерное приближение аппроксимациями Паде мероморф-ных функций марковского типа

1.1 Исторический обзор и основные результаты.

1.2 Явление ложной интерполяции.

1.3 Равномерное приближение при помощи аппроксимаций Паде

2 Сильная асимптотика двухточечных аппроксимаций Паде для мероморфных функций марковского типа с двумя точками ветвления

2.1 Исторический обзор и основные результаты.

2.2 Краевая задача Римана.

2.3 Формулы сильной асимптотики

3 Асимптотические свойства интерполяционных многочленов и аналог теоремы Сегё

3.1 Исторический обзор и основные результаты.

3.2 Обобщенная формула Коши-Адамара и сильная асимптотика интерполяционных многочленов.

3.3 Обобщенная теорема Сегё

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сильная асимптотика аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов»

Понятие локально наилучших рациональных аппроксимаций степенного ряда впервые возникло в конце XIX в. в работах Фробениуса [27] и Паде [35]. Классические результаты Чебышёва, Маркова и Стилтьеса о фундаментальных свойствах таких рациональных функций, сформулированные в терминах непрерывных дробей, положили начало развитию новой области в теории рациональных приближений. Во второй половине XX в. появилось большое количество работ, связанных с аппроксимациями Паде и их обобщениями. Такой интерес объясняется широким применением рациональных приближений в задачах механики, теоретической физики, технических расчетах (см. [23], [29], [36], [37], [33], [28], [12]). В ряде случаев хорошо известно поведение физической величины в локальной окрестности одной или нескольких точек и необходимо ее вычислить на некотором интервале значений. Аппроксимации Паде строятся только по локальным данным и позволяют эффективно приближать и вычислять соответствующую функцию. Асимптотическое поведение аппроксимаций Паде позволяет проводить анализ глобальных свойств локально заданной функции: находить расположение и распознавать характер ее особенностей, исследовать свойства аналитического продолжения и т.п.

Настоящая диссертация посвящена сильной асимптотике диагональных аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов, являющихся частным случаем рациональных приближений. Сильная асимптотика дает возможность определить поведение отклонения аппроксимаций от приближаемой функции при увеличении порядка аппроксимаций. Такая асимптотика позволяет делать выводы о скорости сходимости, поведении нулей и полюсов аппроксимаций, получать результаты теоретико-числового характера.

Диссертация состоит из трех глав, в начале каждой из которых приведены основные определения, дан краткий исторический обзор и сформулированы основные результаты. Первая глава тесно связана с изучением явления так называемых ложных полюсов, препятствующих равномерной сходимости аппроксимаций Паде . На основании теоретических выводов о поведении таких полюсов предлагается конструкция, включающая в себя две соседних аппроксимации Паде и приближающая мероморфную функцию марковского типа равномерно.

Вторая глава посвящена выводу формул сильной асимптотики двухточечных аппроксимаций Паде мероморфных функций марковского типа.

В третьей главе главе изучается интерполяция многочленами функций, голоморфных на произвольном континуме, не разбивающим комплексную плоскость. При некотором естественном условии на таблицу интерполяции выводится асимптотика интерполяционных многочленов в области расходимости интерполяционного процесса. В качестве следствия устанавливается обобщение классических теорем Иенча-Сеге о поведении нулей этих многочленов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Христофоров, Денис Викторович, 2010 год

1. А. И. Аптекарев, "Точные константы рациональных аппроксимаций аналитических функций", Матем. сб., 193:1, 3—72, 2002.

2. Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис, Аппроксимации Паде, М., Мир, 1986.

3. В. И. Буслаев, "Соотношения для коэффициентов и особые точки функции", Матем. сб., 131: 3, 1986, 357-384.

4. В. И. Буслаев, " О теореме Фабри об отношении для ортогональных рядов", 253:Труды мат. института им. Стеклова, 14-29, 2006.

5. В. И. Буслаев, "О гипотезе Бейкера-Гаммеля-Уиллса в теории аппроксимаций Паде", Матем. сб., 193:6, 25-38, 2002.

6. Голузин Г. М., "Геометрическая теория функций комплексного переменного", Москва, 1966.

7. А. А. Гончар, "Полюсы строк таблицы Паде и мероморфное продолжение функций", Матем. сб., 115(157): 4, 1981, 590-613.

8. А. А. Гончар, "О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций", Матем. сб., 97(139):4(8) 607-629, 1975.

9. А. А. Гончар, Г. Лопес Лагомасино, "О теореме Маркова для многоточечных аппроксимаций Паде", Матем. сб., 105(147):4 512— 524, 1978.

10. Гончар A.A., Суетин С.П., "Об аппроксимациях Паде мероморфных функций марковского типа", Совр. пробл. матем., 5, МИАН, М., 367, 2004.

11. Э.И. Зверович, "Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях", УМН, 26:1, 113— 179, 1971.

12. В. А. Ильина, П. К. Силаев, Численные методы для физиков-теоретиков, Ч. 1, М., Ижевск, ИКИ, 2003.

13. Г. Л. Лопес, "Об асимптотике отношения ортогональных многочленов и сходимости многоточечных аппроксимаций Паде", Матем. сб., 128(170):2(10), 216-229, 1985.

14. В. И. Смирнов, Н. А. Лебедев, "Конструктивная теория функций комплексного переменного", М., Наука, 1964.

15. С. П. Суетин, "О полюсах т-й строки таблицы Паде", Матем. сб., 120(162): 4, 1983, 500-504.

16. Суетин С.П., "Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда", У МИ, 57:1, 45-142, 2002.

17. С. П. Суетин, "О сходимости чебьтшевских непрерывных дробей для эллиптических функций", Матем. сб., 194:12, 63-92, 2003.

18. С. П. Суетин, "О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций", Матем. сб., 191: 9, 81-114, 2000.

19. С. П. Суетин, "Об интерполяционных свойствах диагональных аппроксимаций Паде эллиптических функций", УМН, 59: 4, 201-202, 2004.

20. Дж. Уолш, "Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области" , М. , ИЛ, 1961.

21. О. Форстер, Римановы поверхности, М., Мир, 1980.

22. Ле Ба Кхань Чинь, "Обратные теоремы для многоточечных аппроксимаций Паде", Матем. сб., 181: 10, 1990, 1306-1319.

23. Шатров A.B., "Соединение асимптотик с помощью Паде-аппроксимант в переходных слоях гидрогазодинамики", Дис. д-ра физ.-мат. наук, 05.13.18 : Киров, 2002 280 с. РГБ ОД, 71:05-1/80.

24. L. Baratchart, М. Yattselev, "Multipoint Pade approximants to complex Cauchy transforms with polar singularities", Journal of Approximation Theory, 156, p. 187-211, 2009.

25. Rajendran, "Two-point, Pade approximation of mass transfer rate at mi-crodisc electrodes in a channel flow for all Peclet numbers", Electrochimica Acta, 51: 25, 5407-5411, 2006.

26. Rajendran, M. V. Sangaranarayanan, "A two-point Pade approximation for the non-steady-state chronoamperometric current at ultramicrodisc electrodes", Journal of Electroanalytical Chemistry 392: 1-2, 75-78, 1995.

27. H. Stahl, "The convergence of Padé approximants to functions with branch points", J. Approx. Theory, 91:2, 139-204, 1997.

28. H. Stahl, "Diagonal Padé approximants to hyperelliptic functions", Ann. Fac. Sei. Toulouse Math., Special issue, 121-193, 1996.

29. H. Stahl, "Spurious poles in Padé approximation" J. Comput. Appl. Math., 99:1-2, 511-527, 1998.

30. G. Szegô, "Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Ebene gehören", Math. Z., 9: 3-4, 1921, 218-270.

31. G. Szego, "Uber die Nullstellen von Polynomen, die in einem Kreise gleichmassig konvergieren", Sitzungsberichte Berlin Math. Ges., 59-64, 1922.

32. V. Totik, "Orthogonal polynomials with respect to varying weights", Journal of Computational and Applied Mathematics, 99: 1-2, 373-385, 1998.

33. Д. В. Христофоров, "О явлении ложной интерполяции эллиптических функций диагональными аппроксимациями Паде", Матем. заметки, 87:4 604-615, 2010.

34. Д. В. Христофоров, "О сходимости диагональных аппроксимаций Паде для эллиптических функций", Матем. сб., 200:6, 143—160, 2009.

35. Д. В. Христофоров, "Об асимптотических свойствах интерполяционных многочленов", Матем. заметки, 83:1, 129—138, 2008.

36. Д. В. Христофоров, "Асимптотика двухточечных аппроксимаций Паде", материалы Международной научной конференции, посвященной 105-летию С.М. Никольского, 87, 2010.